一、考點分析：二次函數與三角形的綜合解答題一般涉及到這樣幾個方面：1.三角形面積最值問題

2.特殊三角形的存在問題包括等腰等邊和直角三角形。這類題目一般出現在壓軸題最后兩道上，對知識的綜合運用要求比較高。

一解決此類題目的基本步驟與思路

1.抓住目標三角形，根據動點設點坐標

2.根據所設未知數去表示三角形的底和高，一般常用割補法去求解三角形的面積從而得出面積的關系式

3.根據二次函數性質求出最大值.4.特殊三角形問題首先要畫出三角形的大概形狀，分類討論的去研究。例如等腰三角形要弄清楚以哪兩條邊為要，直角三角形需要搞清楚哪個角作為直角都需要我們去分類討論。

注意事項：1.簡單的直角三角形可以直接利用底乘高進行面積的表示2.復雜的利用“補”的方法構造矩形或者大三角形，整體減去部分的思想3.利用“割”的方法時，一般選用橫割或者豎割，也就是做坐標軸的垂線。4.利用點坐標表示線段長度時注意要用大的減去小的。

5.圍繞不同的直角進行分類討論，注意檢驗答案是否符合要求。6.在勾股定理計算復雜的情況下，靈活的構造K字形相似去處理。

二、二次函數問題中三角形面積最值問題

（一）例題演示

1.如圖，已知拋物線(a為常數，且a＞0)與x軸從左至右依次交于A，B兩點，與y軸交于點C，經過點B的直線與拋物線的另一交點為D，且點D的橫坐標為﹣5．

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)P為直線BD下方的拋物線上的一點，連接PD、PB,求△PBD面積的最大值．

D

B

O

A

y

x

C

解答：(1)拋物線令y＝0，解得x＝－2或x＝4，∴A(－2，0)，B(4，0)．

∵直線經過點B(4，0)，∴，解得，∴直線BD解析式為：

當x＝－5時，y＝3，∴D(－5，3)

∵點D(－5，)在拋物線上，∴，∴．

∴拋物線的函數表達式為：．

(2)設P(m,)

∴

∴△BPD面積的最大值為．

【試題精煉】

2.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線（）與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），經過點A的直線l：與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且．

（1）直接寫出點A的坐標，并用含a的式子表示直線l的函數表達式（其中k、b用含a的式子表示）.（2）點E為直線l下方拋物線上一點，當△ADE的面積的最大值為時，求拋物線的函數表達式；

H

F

解答：1）A（－1，0）

∵CD＝4AC，∴點D的橫坐標為4

∴，∴.∴直線l的函數表達式為y＝ax＋a

（2）過點E作EH∥y軸，交直線l于點H

設E（x，ax

2－2ax－3a），則H（x，ax＋a）.∴

∴.∴△ADE的面積的最大值為，∴，解得.∴拋物線的函數表達式為.【中考鏈接】

3.如圖，直線l：y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）經過點B．

（1）求該拋物線的函數表達式；

（2）已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內，連接AM、BM，設點M的橫坐標為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數表達式，并求出S的最大值；

解答：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，∴y=3，∴B（0，3），把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，∴3=a+4，∴a=﹣1，∴二次函數解析式為：y=﹣x2+2x+3；

（2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3，∴0=﹣x2+2x+3，∴x=﹣1或3，∴拋物線與x軸的交點橫坐標為﹣1和3，∴S=DM?BE+DM?OE=DM（BE+OE）=DM?OB=××3=

=（m﹣）2+

∵0＜m＜3，∴當m=時，S有最大值，最大值為；

二、二次函數問題中直角三角形問題

（一）例題演示

如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=1，且拋物線經過A（1，0），C（0，3）兩點，與x軸交于點B．

（1）若直線y=mx+n經過B、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；

（2）設點P為拋物線的對稱軸x=1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的坐標．

解答：（1）依題意得：，解得，∴拋物線解析式為.把B（，0）、C（0，3）分別代入直線y=mx+n，得，解得，∴直線y=mx+n的解析式為y=x+3；

（2）設P（，t），又∵B（－3，0），C（0，3），∴BC2=18，PB2=（+3）2+t2=4+t2，PC2=（）2+（t－3）2=t26t+10，①若點B為直角頂點，則BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2－6t+10解得：t=；

②若點C為直角頂點，則BC2+PC2=PB2即：18+t2－6t+10=4+t2解得：t=4，③若點P為直角頂點，則PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2－6t+10=18解得：，.綜上所述P的坐標為（，）或（，4）或（，）或（，）．

【試題精煉】

如圖，二次函數（其中a，m是常數，且a>0，m>0）的圖象與x軸分別交于點A，B（點A位于點B的左側），與y軸交于點C(0，－3)，點D在二次函數的圖象上，CD∥AB，連接AD．過點A作射線AE交二次函數的圖象于點E，AB平分∠DAE．

（1）用含m的代數式表示a；

（2）)求證：為定值；

（3）設該二次函數圖象的頂點為F．探索：在x軸的負半軸上是否存在點G，連接CF，以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個滿足要求的點G即可，并用含m的代數式表示該點的橫坐標；如果不存在，請說明理由．

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形，此時點G的橫坐標為－3m.【解析】

試題分析：（1）將C點代入函數解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐標，再根據，CD∥AB，求點D的坐標，由△ADM∽△AEN,對應邊成比例，將求的比轉化成求比，結果不含m即為定值.（3）連接FC并延長，與x軸負半軸的交點即為所求點G..過點F作FH⊥x軸于點H，在Rt△CGO和Rt△FGH中根據同角的同一個三角函數相等，可求OG（用m表示），然后利用勾股定理求GF和AD（用m表示），并求其比值，由（2）是定值，所以可得AD∶GF∶AE=3∶4∶5，由此可根據勾股定理逆定理判斷以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形，直接得點G的橫坐標.試題解析：解：（1）將C（0，-3）代入函數表達式得，∴.（2）證明：如答圖1，過點D、E分別作x軸的垂線，垂足為M、N.由解得x1=－m，x2=3m．∴A(－m，0)，B(3m，0).∵CD∥AB，∴點D的坐標為（2m，－3）．

∵AB平分∠DAE．∴∠DAM=∠EAN．

∵∠DMA=∠ENA=900，∴△ADM∽△AEN,∴.設點E的坐標為（x,）,∴,∴x=4m.∴為定值.（3）存在，如答圖2，連接FC并延長，與x軸負半軸的交點即為所求點G.由題意得：二次函數圖像頂點F的坐標為（m，-4），過點F作FH⊥x軸于點H，在Rt△CGO和Rt△FGH中,∵tan∠CGO＝,tan∠FGH＝,∴=．∴OG=“3m,“

由勾股定理得，GF=，AD=

∴.由（2）得，∴AD∶GF∶AE=3∶4∶5．

∴以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形，此時點G的橫坐標為－3m.考點：1.二次函數綜合題；2.定值和直角三角形存在性問題；3.曲線上點的坐標與方程的關系；4.二次函數的性質；5.勾股定理和逆定理；6相似三角形的判定和性質；7.銳角三角函數定義.【中考鏈接】

如圖所示，在平面直角坐標系中，將一塊等腰直角三角板ABC斜靠在兩坐標軸上放在第二象限，點C的坐標為（－1，0）．B點在拋物線y＝x2＋x－2的圖像上，過點B作BD⊥x軸，垂足為D，且B點的橫坐標為－3．

(1)求BC所在直線的函數關系式．

(2)拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△ACP是以AC

為直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；

若不存在，請說明理由．

解答：（1）∵C點坐標為（-1,0），∴BD=CO=1．

∵B點的橫坐標為-3，∴B點坐標為（-3,1）

設BC所在直線的函數關系式為y=kx+b，則有，解得

∴BC所在直線的函數關系式為y=x．

（2）①若以為AC直角邊，點C為直角頂點，如圖所示，作CP1⊥AC，因為BC⊥AC，所以點P1為直線BC與對稱軸直線的交點，即點P1的橫坐標為-。又因為直線BC的解析式為y=x，所以將代入可得點P1的坐標為(-,-)。

②若以為AC直角邊，點A為直角頂點，對稱軸上有一點P2，使AP2⊥AC，如圖所示，過點A作AP2∥BC，因為BC的解析式為y=x，設直線AP2的解析式為y=x+d。直線交對稱軸直線于點P2，即點P2的橫坐標為-。因為OD=3，OC=1，所以OA=CD=2，所以A點的坐標為(0,2)。將點A的坐標代入直線AP2，所以直線的解析式為2y=x+2，所以點P2的坐標為(-,)。

綜上所述，點的坐標為P1

(-,-)、P2(-,)。

三、二次函數問題中等腰等邊三角形問題

1.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數y=-x2+bx的圖像過點A(4,0),頂點為B，連接AB、BO.(1)求二次函數的表達式；

(2)若C是BO的中點，點Q在線段AB上，設點B關于直線CP的對稱點為B′，當△OCB′為等邊三角形時，求BQ的長度；

(3)若點D在線段BO上，OD=2BD，點E、F在△OAB的邊上，且滿足△DOF與△DEF全等，求點E的坐標.解答：(1)將A(4,0)代入y=-x2+bx得，-×42+b×4=0,解得b=2,所以二次函數的表達式為y=-x2+2x；

(3)

①當點F在OB上時，如圖，當且僅當DE∥OA，即點E與點A重合時△DOF≌△FED，此時點E的坐標為E(4,0)；

②點F在OA時，如圖DF⊥OA，當OF=EF時△DOF≌△DEF，由于OD=2BD，所以點D坐標為(，)，點F坐標為(，0)，點E坐標為(，0)；

綜上滿足條件的點E的坐標為(4,0)、(，0)、(2+，2-)．

2.如圖1，已知的三頂點坐標分別為，，二次函數y

=

ax2

+

bx+c恰好經過A、B、C三點．

(1)求二次函數的解析式；

(2)如圖1，若點P是邊AB上的一個動點，過點P作PQ∥，交于點Q，連接CP，當的面積最大時，求點P的坐標；

(3)如圖2，點是直線上的一個動點，點N是二次函數圖像上的一動點，若

構成以為斜邊的等腰直角三角形，直接寫出所有滿足條件的點N的橫坐標．

解答：

(1)．

3分

(2)設點()，則AP=t+1，BP=3?t，三角形的面積為6．

∵，∴．

∴，∴

5分

又∵．

∴．

8分

∴t=1時，最大，此時點．

9分

(3)

所有滿足條件的點N的橫坐標為．

12分