第一篇：二次函數教學內容

二次函數

考點1：二次函數的圖像與性質、圖象與系數的關系

1.二次函數的定義：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數，a≠0),那么，y叫做x的二次函數。當b=c=0時，y=ax2（a≠0）叫做最簡二次函數。

2.二次函數解析式的形式： 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）

頂點式：y=a(x-h)2+k（a≠0）,其中（h，k）為拋物線的頂點。交點式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0）,其中x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個實數根。

3.二次函數的圖象與性質

b4ac?b2)，對（1）二次函數圖象是一條拋物線。定點坐標為(?,2a4a稱軸是直線x??b。2a（2）畫二次函數的圖象通常是運用列表、描點、連線等步驟作圖。（3）二次函數中的a、b、c與圖象的關系。

① a確定圖象的開口方向和開口大小。a>0，圖象開口向上，a<0，開口向下。|a|越大，則開口越小，反之，|a|越小，開口越大。

② c決定了二次函數圖象與y軸的交點的位置。c>0，圖象與y軸交于y軸的正半軸上；c<0，圖象與y軸交于y軸的負半軸上；c=0，圖象經過坐標原點。

③ 二次函數圖象的對稱軸的位置由a和b共同決定。a和b同號，對稱軸在y軸左側；a和b異號，對稱軸在y軸右側；b=0，對稱軸為y軸。即：左同右異（4）二次函數圖象與性質。

b4ac?b2)。① 頂點坐標(?,2a4a

②對稱軸是直線x??b。2ab 時2a③最值：當a>0時，二次函數開口向上，有最小值，當x??4ac?b2y取得最小值；當a<0時，二次函數開口向下，有最大值，當4a4ac?b2bx?? 時y取得最大值。

2a4a（5）二次函數的增減性。

① 當a>0時，在對稱軸左側，y隨x的增大而減小；在對稱軸右側，y隨x的增大而增大。

②當a<0時，在對稱軸左側，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側，y隨x的增大而減小。（6）二次函數的平移。

口訣：自變量左加右減，函數值上加下減。簡稱：左加右減，上加下減。

考點2：二次函數解析式的求法.設一般式： y=ax2+bx+c（a≠0）。若已知圖象上三個點的坐標，代入一般式解方程組即可求出三個待定系數a、b、c。.設頂點式：y=a(x-h)2+k（a≠0）。若已知頂點坐標或對稱軸方程與最大（小）值，代入即可求出待定系數a，最后將解析式化為一般式。.設交點式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0）。若已知圖象與x軸的兩個交點坐標（x1，0）,（x2，0），只需將第三點的坐標代入即可求出待定系數a，最后將解析式化為一般式。

考點3：二次函數與一元二次方程的關系

1.二次函數y=ax2+bx+c的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標x1，x2是對應的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個實數根．拋物線與x?軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：

①有兩個交點?△>0?拋物線與x軸相交；

②有一個交點（頂點在x軸上）?△=0?拋物線與x軸相切；

③沒有交點?△<0?拋物線與x軸相離。

2.與y軸平行的直線x=h與拋物線y=ax2+bx+c有且只有一個交點（h，ah2+bh+c）。

3.平行于x軸的直線與拋物線的交點：可能有0個交點，1個交點，2個交點。當有2個交點時，?兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為k，則橫坐標是ax2+bx+c=k的兩個實數根。

4.一次函數y=kx+n（k≠0）的圖像L與二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）

?y?kx?n的圖像G的交點，由方程組?的解的數目確定：①當方程2y?ax?bx?c?組有兩組不同的解時?L與G有兩個交點；②方程組只有一組解時?L與G只有一個交點；③方程組無解時?L與G沒有交點。考點4：二次函數的實際應用

1.二次函數的應用包括以下兩個方面

（1）用二次函數表示實際問題中變量之間的關系；

（2）用二次函數解決實際問題中的最優化問題，其實質就是求二次函數的最大值或最小值。

2.利用二次函數模型解決實際問題的基本思路（1）理解實際問題；

（2）分析問題中的變量、常量以及變量之間的關系；（3）用二次函數的模型表示出變量之間的關系；（4）利用二次函數的有關性質對實際問題進行研究；（5）回歸實際問題本身，對解的合理性進行實驗。

第二篇：二次函數

2．二次函數定義__________________________________________________二次函數（1）導學案

一.教學目標：

（1）能夠根據實際問題，熟練地列出二次函數關系式，并求出函數的自變量的取值范圍。

（2）注重學生參與，聯系實際，豐富學生的感性認識，培養學生的良好的學習習慣

重點難點：

能夠根據實際問題，熟練地列出二次函數關系式，并求出函數的自變量的取值范圍。教學過程：

二、教學過程

（一）提出問題

某商店將每件進價為8元的某種商品按每件10元出售，一天可銷出約100件．該店想通過降低售價、增加銷售量的辦法來提高利潤，經過市場調查，發現這種商品單價每降低0.1元，其銷售量可增加10件。將這種商品的售價降低多少時，能使銷售利潤最大?在這個問題中，1．商品的利潤與售價、進價以及銷售量之間有什么關系?[利潤=(售價－進價)×銷售量]

2．如果不降低售價，該商品每件利潤是多少元?一天總的利潤是多少元?[10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]

3．若每件商品降價x元，則每件商品的利潤是多少元?一天可銷售約多少件商品?

[(10－8－x)；(100＋100x)]

4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，請求出它的范圍，[x的值不能任意取，其范圍是0≤x≤2]

5．若設該商品每天的利潤為y元，求y與x的函數關系式。[y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)]

將函數關系式y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化為：

y=－2x2＋20x(0＜x＜10)……………………………(1)將函數關系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化為：y=－100x2＋100x＋20D(0≤x≤2)……………………(2)

（二）、觀察；概括

(1)函數關系式(1)和(2)的自變量各有幾個?

(2)多項式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分別是幾次多項式?(3)函數關系式(1)和(2)有什么共同特點?(4)這些問題有什么共同特點？

三、課堂練習

1.下列函數中，哪些是二次函數?(1)y=5x＋1(2)y=4x2－1

(3)y=2x3－3x2(4)y=5x4－3x＋1

2．P25練習第1，2,3題。

四、小結

1．請敘述二次函數的定義．

2，許多實際問題可以轉化為二次函數來解決，請你聯系生活實際，編一道二次函數應用題，并寫出函數關系式。

五.堂堂清

下列函數中，哪些是二次函數?

(1)Y=2x+1（2）y=2x2+1（3）y=x(x-2)（4）y=(2x-1)(2x-2)（5）y=x2(x-1)-1

第三篇：二次函數

?二次函數?測試

一．選擇題〔36分〕

1、以下各式中，y是的二次函數的是

（）

A．

B．

C．

D．

2．在同一坐標系中，作+2、-1、的圖象，那么它們

（）

A．都是關于軸對稱

B．頂點都在原點

C．都是拋物線開口向上

D．以上都不對

3．假設二次函數的圖象經過原點，那么的值必為

（）

A．

0或2

B．

0

C．

D．

無法確定

4、點〔a，8〕在拋物線y=ax2上，那么a的值為〔

〕

A、±2

B、±2

C、2

D、－2

5．把拋物線y=3x2先向上平移2個單位，再向右平移3個單位，所得拋物線的解析式是〔

〕

〔A〕y=3〔x+3〕2

〔B〕y=3〔x+2〕2+2

〔C〕y=3〔x-3〕2

〔D〕y=3〔x-3〕2+2

6．拋物線y=x2+6x+8與y軸交點坐標〔

〕

〔A〕〔0，8〕

〔B〕〔0，-8〕

〔C〕〔0，6〕

〔D〕〔-2，0〕〔-4，0〕

7、二次函數y=x2＋4x＋a的最大值是2，那么a的值是〔

〕

A、4

B、5

C、6

D、7

8．原點是拋物線的最高點，那么的范圍是

（）

A．

B．

C．

D．

9．拋物線那么圖象與軸交點為

〔

〕

A．

二個交點

B．

一個交點

C．

無交點

D．

不能確定

10．不經過第三象限，那么的圖象大致為

〔

〕

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D

11．對于的圖象以下表達正確的選項是

〔

〕

A

頂點作標為(－3，2)

B

對稱軸為y=3

C

當時隨增大而增大

D

當時隨增大而減小

12、二次函數的圖象如下圖，那么以下結論中正確的選項是：〔

〕

A

a>0

b<0

c>0

B

a<0

b<0

c>0

C

a<0

b>0

c<0

D

a<0

b>0

c>0

二．填空題：〔每題4分，共24分〕

13．請寫出一個開口向上，且對稱軸為直線x

=3的二次函數解析式。

14．寫出一個開口向下，頂點坐標是〔—2，3〕的函數解析式；

15、把二次函數y=－2x2＋4x+3化成y=a〔x+h〕2+k的形式是________________________________.16.假設拋物線y=x2

+

4x的頂點是P，與X軸的兩個交點是C、D兩點，那么

△

PCD的面積是________________________.17.(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)是二次函數y=x2-4x+m上的點,那么

y1,y2,y3從小到大用

“<〞排列是

.18．小敏在某次投籃中，球的運動路線是拋物線的一局部(如圖)，假設命中籃圈中心，那么他與籃底的距離是________________________.三．解答題(共60分)

19.〔6分〕假設拋物線經過點A〔，0〕和點B〔-2，〕，求點A、B的坐標。

20、(6分)二次函數的圖像經過點〔0，－4〕，且當x

=

2，有最大值—2。求該二次函數的關系式：

21．〔6分〕拋物線的頂點在軸上，求這個函數的解析式及其頂點坐標。

25米x22、〔6分〕農民張大伯為了致富奔小康，大力開展家庭養殖業，他準備用40米長的木欄圍一個矩形的雞圈，為了節約材料，同時要使矩形面積最大，他利用了自己家房屋一面長25米的墻，設計了如圖一個矩形的羊雞圈。請你設計使矩形雞圈的面積最大？并計算最大面積。

23、二次函數y=－〔x－4〕2

+4

〔本大題總分值8分〕

1、先確定其圖象的開口方向，對稱軸和頂點坐標，再畫出草圖。

2、觀察圖象確定：X取何值時，①y=0，②y﹥0，⑶y﹤0。

24．〔8分〕某水果批發商場經銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經市場調查發現，在進貨價不變的情況下，假設每千克漲價一元，日銷售量將減少20千克。

〔1〕現要保證每天盈利6000元，同時又要讓顧客得到實惠，那么每千克應漲價多少元？

〔2〕假設該商場單純從經濟角度看，那么每千克應漲價多少元，能使商場獲利最多。

25．〔8分〕某市人民廣場上要建造一個圓形的噴水池，并在水池中央垂直安裝一個柱子OP，柱子頂端P處裝上噴頭，由P處向外噴出的水流〔在各個方向上〕沿形狀相同的拋物線路徑落下〔如下圖〕。假設OP＝3米，噴出的水流的最高點A距水平面的高度是4米，離柱子OP的距離為1米。

〔1〕求這條拋物線的解析式；

〔2〕假設不計其它因素，水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不至于落在池外。

26．〔12分〕二次函數的圖象與x軸從左到右兩個交點依次為A、B，與y軸交于點C，〔1〕求A、B、C三點的坐標；

〔2〕如果P(x，y)是拋物線AC之間的動點，O為坐標原點，試求△POA的面積S與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

〔3〕是否存在這樣的點P，使得PO=PA，假設存在，求出點P的坐標；假設不存在，說明理由。

第四篇：二次函數綜合題

二次函數綜合題

如圖所示，在直角坐標系中，A(-1，0),B(3,0),C(0，3)

1.用三種方法求出經過A B C三點的拋物線解析式

2.拋物線的頂點坐標為D（）3.求△ABC的面積，求四邊形ACDB的面積，求△DCB的面積

4.證明△DCB是直角三角形（兩種方法）

5.證明：△DCB∽△AOC

6.在直線BC的下方是否存在一點G，使得△GCB的面積等于△ACB的面積

7.在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得△ACP的周長最小，若存在，求出P點坐標，若不存在，請說明理由。

8.設Q為拋物線第一象限內一點，是否存在點Q使得△BCQ的面積最大，若存在，求出Q點的坐標及最大面積，若不存在，請說明理由。

9.設Q為拋物線第一象限內一點，過 Q向x軸引垂線交BC于I。若拋物線對稱軸與直線BC交于點E,是否存在點Q,使得以點D,Q,I,E為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，求出Q點的坐標，若不存在，請說明理由。

10.求△ABC外接圓圓心O’的坐標

11.拋物線上是否尋在點M，使得CM垂直于CA，若存在，求出點M的坐標，若不存在，說明理由。

12.在對稱軸上是否存在點N，使得△CDN是直角三角形，請求出所有符合條件的N點的坐標

13.在拋物線上是否存在點S，使得△BCS為直角三角形，若存在，求出所有S點的坐標，若無，請說明理由

第五篇：二次函數練習

二次函數練習

1，函數f?x??x2?bx?c，對于任意t?r，均有f?2?x??f?2?x?則f?1?，f?2?，f?4?，的大小關系是_____________________

2，二次函數y?ax2?4x?a?3的最大值恒為負，則a的取值范圍是________________------3，二次函數y?x2?(a?2)x?5在區間?2，???上是增函數，則a的取值范圍是_______________

4，已知函數f(x)?mx2?(m?3)x?1的圖像與X軸的交點至少一個在原點的右側，求實數m的范圍。

5，已知不等式ax2

?x?c?0的解集為?x?x?1,x??5?則a=______c=___________

6，已知二次函數f?x?同時滿足條件：（1）f?1?x??f?1?x?；（2）f?x?的最大值為15；方程f?x?=0的兩根的平方和為4，求f?x?的解析式。

7，已知不等式x2?2x?3?0的解集為A,不等式?x2?x?6?0的解集為B，不等式x2?ax?b?0的解集為A?B, 求a,b的值。

8，已知不等式ax2?5x?b?0的解集為?x??3?x??2?，求不等式bx2?5x?a?0的解集

9，解不等式：

2x2?ax?2?0x2?(a?1

a)x?1?0

10.（2009安徽卷）（本小題滿分12分）已知函數f(x)?x?

x

?a(2?lnx),(a?0)，討論f(x)的單調性.