§3.4二次函數(shù)

復習目標

1．二次函數(shù)的定義：形如〔a≠0，a，b，c為常數(shù)〕的函數(shù)為二次函數(shù)．

2．二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)：

〔1〕二次函數(shù)的圖象是一條拋物線．頂點為〔－，〕，對稱軸x=－；當a＞0時，拋物線開口向上，圖象有最低點，且x＞－，y隨x的增大而增大，x＜－，y隨x的增大而減小；當a＜0時，拋物線開口向下，圖象有最高點，且x＞－，y隨x的增大而減小，x＜－，y隨x的增大而增大．

〔2〕當a＞0時，當x=－時，函數(shù)有最小值；當a＜0時，當x

=－時，函數(shù)有最大值

3．圖象的平移：將二次函數(shù)y=ax2

(a≠0〕的圖象進行平移，可得到y(tǒng)=a(x－h(huán))2＋k的圖象．

將y=ax2的圖象向左〔h<0〕或向右(h＞0〕平移|h|個單位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|個單位，即可得到y(tǒng)=a(x－h(huán))2

+k的圖象，其頂點是〔h，k〕，對稱軸是直線x=h，形狀、開口方向與拋物線y=ax2相同．

4.二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系：

(1)

a的符號：a的符號由拋物線的開口方向決定．拋物線開口向上，那么a＞0；物線開口向下，那么a＜0．

〔2〕b的符號出的符號由對稱軸決定，假設對稱軸是y軸，那么b=0；假設對稱軸在y軸左側(cè)，那么－＜0即＞0，那么a、b為同號；假設對稱軸在y軸右側(cè)，那么－＞0，即＜0．那么a、b異號．即“左同右異〞．

〔3〕c的符號：c的符號由拋物線與y軸的交點位置確定．假設拋物線交y軸于正半軸，那么

c＞0，拋物線交y軸于負半軸．那么c＜0；假設拋物線過原點，那么c=0．

〔4〕△的符號：△的符號由拋物線與x軸的交點個數(shù)決定．假設拋物線與x軸只有一個交點，那么△=0；有兩個交點，那么△＞0；沒有交點，那么△＜0

．

5．二次函數(shù)表達式的求法：

⑴假設拋物線上三點坐標，可利用待定系數(shù)法求得；

⑵假設拋物線的頂點坐標或?qū)ΨQ軸方程，那么可采用頂點式：其中頂點為(h，k)對稱軸為直線x=h；

⑶假設拋物線與x軸的交點坐標，那么可采用交點式：,其中與x軸的交點坐標為〔x1，0〕，〔x2，0〕

6．二次函數(shù)與一元二次方程的關系：

〔1〕一元二次方程就是二次函數(shù)當函數(shù)y的值為0時的情況．

〔2〕二次函數(shù)的圖象與x軸的交點有三種情況：有兩個交點、有一個交點、沒有交點；當二次函數(shù)的圖象與x軸有交點時，交點的橫坐標就是當y=0時自變量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根．

〔3〕當二次函數(shù)的圖象與

x軸有兩個交點時，那么一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當二次函數(shù)的圖象與x軸有一個交點時，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個相等的實數(shù)根；當二次函數(shù)y＝ax2+

bx+c的圖象與

x軸沒有交點時，那么一元二次方程沒有實數(shù)根．

典例精析

【例1】(1)

拋物線的局部圖象如圖，那么

再次與x軸相交時的坐標是〔

〕

A．〔5，0〕

B。〔6，0〕

C．〔7，0〕

D。〔8，0〕

〔2〕二次函數(shù)的圖象如下圖，那么a、b、c滿足〔

〕

A．a(chǎn)＜0，b＜0，c＞0

B．a(chǎn)＜0，b＜0，c＜0

C．a(chǎn)＜0，b＞0，c＞0

D．a(chǎn)＞0，b＜0，c＞0

【分析】〔1〕由，可知其對稱軸為x=4,而圖象與x軸已交于(1，0)，那么與x軸的另一交點為(7，0)。

〔2〕由拋物線開口向下可知a＜0；與y軸交于正半軸可知c＞0；拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)，可知－

＜0．那么b＜0．應選A．

【解答】〔1〕C

〔2〕A

【例2】〔2006寧波〕如圖，拋物線與x軸相交于B〔1，0〕、C〔-3，0〕，且過點A〔3，6〕。

（1）

求a，b，c的值。

（2）

設拋物線的頂點為P，對稱軸與線段AC相交于點Q，連結(jié)CP、PB、BQ。試求四邊形PBQC的面積。

【分析】此題第〔1〕小題考察用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，結(jié)合條件可以考慮用交點式。第〔2〕小題關鍵是求出Q點的坐標，因為它是對稱軸與線段AC的交點，所以要先求出直線AC的解析式。

【解答】〔1〕由題意可設：，把點A〔3，6〕坐標代入可得

所以，即

所以

（2）

頂點P的坐標為〔-1，-2〕，對稱軸是直線

而直線AC的解析式為

所以對稱軸與線段AC的交點Q的坐標為〔-1，2〕

設對稱軸與x軸相交于點D，那么可得：DP=DB=DQ=DC=2

所以四邊形PBQC的面積為8。

【例3】，≠0，把拋物線向下平移1個單位，再向左平移5個單位所得到的新拋物線的頂點是〔－2，0〕，求原拋物線的解析式。

【分析】①由可知：原拋物線的圖像經(jīng)過點〔1，0〕；②新拋物線向右平移5個單位，再向上平移1個單位即得原拋物線。

【解答】可設新拋物線的解析式為，那么原拋物線的解析式為，又易知原拋物線過點〔1，0〕

∴，解得

∴原拋物線的解析式為：

【例4】如圖是拋物線型的拱橋，水位在AB位置時，水面寬米，水位上升3米就到達警戒水位線CD，這時水面寬米，假設洪水到來時，水位以每小時0.25米的速度上升，求水過警戒線后幾小時淹到拱橋頂？

【分析】此題關鍵是建立適宜的直角坐標系。

【解答】以AB所在直線為軸，AB的中點為原點，建立直角坐標系，那么拋物線的頂點M在軸上，且A〔，0〕，B〔，0〕，C〔，3〕，D〔，3〕，設拋物線的解析式為，代入D點得，頂點M〔0，6〕，所以〔小時〕

【例5】已拋物線〔為實數(shù)〕。

〔1〕為何值時，拋物線與軸有兩個交點？

〔2〕如果拋物線與軸相交于A、B兩點，與軸交于點C，且△ABC的面積為2，求該拋物線的解析式。

【分析】拋物線與軸有兩個交點，那么對應的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，將問題轉(zhuǎn)化為求一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根應滿足的條件。

【解答】〔1〕由有，解得且

〔2〕由得C〔0，－1〕

又∵

∴

∴或

∴或

課內(nèi)穩(wěn)固

1.〔2006臨安〕拋物線y=3(x-1)+1的頂點坐標是〔

〕

A．〔1，1〕

B．〔-1，1〕

C．〔-1，-1〕

D．〔1，-1〕

2．直線y=x與二次函數(shù)y=ax2

－2x－1的圖象的一個交點

M的橫標為1，那么a的值為〔

〕

A、2

B、1

C、3

D、4

3．二次函數(shù)的圖像向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到函數(shù)圖像的解析式為，那么與分別等于〔

〕

A、6、4

B、－8、14

C、4、6

D、－8、－14

4．〔2006湖州〕二次函數(shù)y=x2－bx+1〔－1≤b≤1〕，當b從－1逐漸變化到1的過程中，它所對應的拋物線位置也隨之變動。以下關于拋物線的移動方向的描述中，正確的選項是〔

〕

A、先往左上方移動，再往左下方移動;

B、先往左下方移動，再往左上方移動;

C、先往右上方移動，再往右下方移動;

D、先往右下方移動，再往右上方移動

5．〔2006諸暨〕拋物線y=ax2+2ax+a2+2的一局部如下圖，那么該拋

物線在y軸右側(cè)與x軸交點的坐標是

（）

A．〔，0〕；

B．〔1，0〕；

C．〔2，0〕；

D．〔3，0〕

6．函數(shù)的圖象如下圖，給出以下關于系數(shù)a、b、c的不等式：①a＜0，②b＜0，③c＞0，④2a＋b

＜0，⑤a＋b＋c＞0．其中正確的不等式的序號為___________。

7．二次函數(shù)的圖象如下圖：

〔1〕這個二次函數(shù)的解析式是y=__________．

〔2〕當x=_______時，y=3；

〔3〕根據(jù)圖象答復：當x______時，y＞0．

8．某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程。下面的二次函數(shù)圖象〔局部〕刻畫了該公司年初以來累積利潤S〔萬元〕與銷售時間〔月〕之間的關系〔即前個月的利潤總和S與之間的關系〕。根據(jù)圖象提供的信息，解答以下問題：

〔1〕由圖象上的三點坐標，求累積利潤S〔萬元〕與時間〔月〕之間的函數(shù)關系式；

〔2〕求截止到幾月末公司累積利潤可到達30萬元；

〔3〕求第8個月公司所獲利潤是多少萬元？

9．四邊形DEFH為△ABC的內(nèi)接矩形，AM為BC邊上的高且長為8厘米，BC長為12厘米，DE長為x，矩形的面積為y，請寫出y與x之間的函數(shù)關系式，并判斷它是不是關于x的二次函數(shù).課外拓展

A組

1.〔2006舟山〕二次函數(shù)y=x2+10x-5的最小值為〔

〕．

A．-35

B．-30

C．-5

D．20

2.〔2006紹興〕小敏在某次投籃中，球的運動路線是拋物線y=的一局部(如圖)，假設命中籃圈中心，那么他與籃底的距離是（）

A．3.5m

B．4m

C．4.5m

D．4.6m

3.函數(shù)y=

x2－4的圖象與y

軸的交點坐標是〔

〕

A.〔2，0〕

B.〔－2，0〕

C.〔0，4〕D.〔0，－4〕

4.〔2006蘇州〕拋物線y＝2x2+4x+5的對稱軸是x=_________

．

5.〔2006浙江〕如圖，二次函數(shù)的圖象開口向上,圖像經(jīng)過點〔-1，2〕和〔1，0〕且與y軸交于負半軸．

〔1〕給出四個結(jié)論：①＞0；②＞0；③＞0；

④a+b+c=0　　　　　　　其中正確的結(jié)論的序號是

．

〔２〕給出四個結(jié)論：①abc＜0；②2a+＞0；③a+c=1；

④a＞1．其中正確的結(jié)論的序號是。

6.二次函數(shù)的圖象開口向下，且與y軸的正半軸相交，請你寫出一個滿足條件的二次函數(shù)解析式：_______________.7.假設拋物線的最低點在軸上，那么的值為。

8.拋物線過三點〔－1，－1〕、〔0，－2〕、〔1，l〕．

〔1〕求這條拋物線所對應的二次函數(shù)的表達式；

〔2〕寫出它的開口方向、對稱軸和頂點坐標；

〔3〕這個函數(shù)有最大值還是最小值？

這個值是多少？

9．(2006鹽城)：拋物線y=-x2+4x-3與x軸相交于A、B兩點(A點在B點的左側(cè))，頂點為P．

(1)求A、B、P三點坐標；

(2)

在如圖的直角坐標系內(nèi)畫出此拋物線的簡圖，并根據(jù)簡圖寫出當x取何值時，函數(shù)值y大于零；

(3)確定此拋物線與直線y=-2x+6公共點的個數(shù)，并說明理由.10.〔2005棗莊〕拋物線的圖象的一局部如下圖，拋物線的頂點在第一象限，且經(jīng)過點A(0，-7)和點B.(1)求a的取值范圍；

(2)假設OA=2OB，求拋物線的解析式．

B組

11．〔2005常州〕拋物線的局部圖象如圖,那么拋物線的對稱軸為直線x=,滿足y＜0時的x的取值范圍是,將拋物線

向

平移

個單位,那么得到拋物線.12．〔2006大連〕如圖是二次函數(shù)y1＝ax2＋bx＋c和一次函數(shù)y2＝mx＋n的圖象，觀察圖象寫出y2≥y1時，x的取值范圍______________。

13．閱讀材料：當拋物線的解析式中含有字母系數(shù)時，隨著系數(shù)中的字母取值的不同，拋物線的頂點坐標也將發(fā)生變化．

例如：由拋物線①，有y=②，所以拋物線的頂點坐標為〔m，2m－1〕，即當m的值變化時，x、y的值隨之變化，因而y值也隨x值的變化而變化，將③代人④，得y=2x—1⑤．可見，不管m取任何實數(shù)，拋物線頂點的縱坐標y和橫坐標x都滿足關系式y(tǒng)=2x－1。答復以下問題：〔1〕在上述過程中，由①到②所用的數(shù)學方法是________，其中運用了_________公式，由③④得到⑤所用的數(shù)學方法是______；〔2〕根據(jù)閱讀材料提供的方法，確定拋物線頂點的縱坐標與橫坐標x之間的關系式_________.14．〔2006臺州〕如圖，拋物線y=ax2+4ax+t〔a＞0〕交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，點B的坐標為〔－1，0〕.〔1〕求此拋物線的對稱軸及點A的坐標；

〔2〕過點C作x軸的平行線交拋物線的對稱軸于點P，你能判斷四邊形ABCP是什么四邊形嗎？請證明你的結(jié)論；

x

y

〔3〕連結(jié)AC，BP，假設AC⊥BP，試求此拋物線的解析式.15．〔2006大連〕如圖，拋物線E：y＝x2＋4x＋3交x軸于A、B兩點，交y軸于M點，拋物線E關于y軸對稱的拋物線F交x軸于C、D兩點。

〔1〕求F的解析式；

〔2〕在x軸上方的拋物線F或E上是否存在一點N，使以A、C、N、M為頂點的四邊形是平行四邊形。假設存在，求點N的坐標；假設不存在，請說明理由；

〔3〕假設將拋物線E的解析式改為y＝ax2＋bx＋c，試探索問題〔2〕。

16．〔2006嘉興〕某旅游勝地欲開發(fā)一座景觀山．從山的側(cè)面進行堪測，迎面山坡線ABC由同一平面內(nèi)的兩段拋物線組成，其中AB所在的拋物線以A為頂點、開口向下，BC所在的拋物線以C為頂點、開口向上．以過山腳〔點C〕的水平線為x軸、過山頂〔點A〕的鉛垂線為y軸建立平面直角坐標系如圖〔單位：百米〕．AB所在拋物線的解析式為y＝－x2＋8，BC所在拋物線的解析式為y＝(x－8)2，且B〔m，4〕．

〔1〕設P〔x，y〕是山坡線AB上任意一點，用y表示x，并求點B的坐標；

〔2〕從山頂開始、沿迎面山坡往山下鋪設觀景臺階．這種臺階每級的高度為20厘米，長度因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每級臺階的兩端點在坡面上〔見圖〕．

①分別求出前三級臺階的長度〔精確到厘米〕；

②這種臺階不能一起鋪到山腳，為什么？

〔3〕在山坡上的700米高度〔點D〕處恰好有一小塊平地，可以用來建造索道站．索道站的起點選擇在山腳水平線上的點E處，OE＝1600〔米〕．假設索道DE可近似地看成一段以E為頂點、開口向上的拋物線，解析式為y＝(x－16)2．試求索道的最大懸空高度．

反思糾錯

1．如圖，有長為24米的籬笆，一面利用墻〔墻的最大可利用長度a為10米〕圍成中間隔一道籬笆的長方形花圃。設花圃的寬AB為米，面積為平方米。

（1）

求與的函數(shù)關系式；

（2）

如果要圍成面積為45平方米的花圃，AB的長是多少米？

（3）

能圍成面積比45平方米更大的花圃嗎？如果能，請求出最大面積，并說明圍法；如果不能，請說明理由。

解：〔1〕花圃寬米，長為米，那么它的面積與的函數(shù)關系式為。

〔2〕

當時，所以，當AB長為3米或5米時花圃的面積為45平方米。

〔3〕

所以，能圍成面積比45平方米更大的花圃，它的最大面積為48平方米。

上述解法正確嗎？為什么？