第一篇：二次函數習題及答案
基礎達標驗收卷
一、選擇題:
1.(2003?大連)拋物線y=(x-2)2+3的對稱軸是（）.A.直線x=-3
B.直線x=3
C.直線x=-2
D.直線x=2
2.(2004?重慶)二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖,則點M(b,)在（）.A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;
D.第四象限
3.(2004?天津)已知二次函數y=ax2+bx+c,且a<0,a-b+c>0,則一定有（）.A.b2-4ac>0
B.b2-4ac=0
C.b2-4ac<0
D.b2-4ac≤0
4.(2003?杭州)把拋物線y=x2+bx+c的圖象向右平移3個單位,再向下平移2個單位,所得圖象的解析式是y=x2-3x+5,則有（）.A.b=3,c=7
B.b=-9,c=-15 C.b=3,c=3
D.b=-9,c=21 5.(2004?河北)在同一直角坐標系中,一次函數y=ax+c和二次函數y=ax2+c的圖象大致為（）.6.(2004?昆明)已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的頂點P的橫坐標是4,?圖象交x軸于點A(m,0)和點B,且m>4,那么AB的長是（）.A.4+m
B.m
C.2m-8
D.8-2m
二、填空題
1.(2004?河北)若將二次函數y=x2-2x+3配方為y=(x-h)2+k的形式,則 y=_______.2.(2003?新疆)請你寫出函數y=(x+1)2與y=x2+1具有的一個共同性質_______.3.(2003?天津)已知拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=2,且經過點(1,4)和點(5,0),則該拋物線的解析式為_________.4.(2004?武漢)已知二次函數的圖象開口向下,且與y軸的正半軸相交,請你寫出一個滿足條件的二次函數的解析式:_________.5.(2003?黑龍江)已知拋物線y=ax2+x+c與x軸交點的橫坐標為-1,則a+c=_____.6.(2002?北京東城)有一個二次函數的圖象,三位學生分別說出了它的一些特點:
甲:對稱軸是直線x=4;
乙:與x軸兩個交點的橫坐標都是整數;
丙:與y軸交點的縱坐標也是整數,且以這三個交點為頂點的三角形面積為3.請你寫出滿足上述全部特點的一個二次函數解析式:
三、解答題
1.(2003?安徽)已知函數y=x2+bx-1的圖象經過點(3,2).(1)求這個函數的解析式;
(2)畫出它的圖象,并指出圖象的頂點坐標;(3)當x>0時,求使y≥2的x取值范圍.2.(2004?濟南)已知拋物線y=-x2+(6-)x+m-3與x軸有A、B兩個交點,且A、B兩點關于y軸對稱.(1)求m的值;
(2)寫出拋物線解析式及頂點坐標;(3)根據二次函數與一元二次方程的關系將此題的條件換一種說法寫出來.3.(2004?南昌)在平面直角坐標系中,給定以下五點A(-2,0),B(1,0),C(4,0),D(-2,),E(0,-6),從這五點中選取三點,使經過這三點的拋物線滿足以平行于y?軸的直線為對稱軸.我們約定:把經過三點A、E、B的拋物線表示為拋物線AEB(如圖所示).(1)問符號條件的拋物線還有哪幾條?不求解析式,?請用約定的方法一一表示出來;
(2)在(1)中是否存在這樣的一條拋物線,它與余下的兩點所確定的直線不相交?如果存在,試求出解析式及直線的解析式;如果不存在,請說明理由.能力提高練習
一、學科內綜合題
1.(2003?新疆)如圖,二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于B、C兩點,?與y軸交于A點.(1)根據圖象確定a、b、c的符號,并說明理由;(2)如果點A的坐標為(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,?求這個二次函數的解析式.二、實際應用題
2.(2004?河南)?某市近年來經濟發展速度很快,?根據統計:?該市國內生產總值1990年為8.6億元人民幣,1995年為10.4億元人民幣,2000年為12.9億元人民幣.經論證,上述數據適合一個二次函數關系,請你根據這個函數關系,預測2005?年該市國內生產總值將達到多少?
3.(2003?遼寧)某公司推出了一種高效環保型洗滌用品,年初上市后,?公司經歷了從虧損到盈利的過程.下面的二次函數圖象(部分)?刻畫了該公司年初以來累積利潤s(萬元)與銷售時間t(月)之間的關系(即前t個月的利潤總和s與t之間的關系).根據圖象(圖)提供的信息,解答下列問題:
(1)由已知圖象上的三點坐標,求累積利潤s(萬元)與時間t(月)之間的函數關系式;(2)求截止到幾月末公司累積利潤可達到30萬元;(3)求第8個月公司所獲利潤是多少萬元?
4.(2003?吉林)如圖,有一座拋物線形拱橋,在正常水位時水面AB?的寬為20m,如果水位上升3m時,水面CD的寬是10m.(1)建立如圖所示的直角坐標系,求此拋物線的解析式;(2)現有一輛載有救援物資的貨車從甲地出發需經過此橋開往乙地,已知甲地距此橋280km(橋長忽略不計).貨車正以每小時40km的速度開往乙地,當行駛1小時時,?忽然接到緊急通知:前方連降暴雨,造成水位以每小時0.25m的速度持續上漲(貨車接到通知時水位在CD處,當水位達到橋拱最高點O時,禁止車輛通行),試問:如果貨車按原來速度行駛,能否完全通過此橋?若能,請說明理由;若不能,?要使貨車安全通過此橋,速度應超過每小時多少千米?
三、開放探索題 5.(2003?濟南)?某校研究性學習小組在研究有關二次函數及其圖象性質的問題時,發現了兩個重要的結論.一是發現拋物線y=ax2+2x+3(a≠0),當實數a變化時,它的頂點都在某條直線上;二是發現當實數a變化時,若把拋物線y=ax2+2x+3的頂點的橫坐標減少 ,縱坐標增加 ,得到A點的坐標;若把頂點的橫坐標增加 ,縱坐標增加 ,得到B點的坐標,則A、B兩點一定仍在拋物線y=ax2+2x+3上.(1)請你協助探求出當實數a變化時,拋物線y=ax2+2x+3的頂點所在直線的解析式;
(2)問題(1)中的直線上有一個點不是該拋物線的頂點,你能找出它來嗎?并說明理由;
(3)在他們第二個發現的啟發下,運用“一般——特殊——一般”的思想,?你還能發現什么?你能用數學語言將你的猜想表述出來嗎?你的猜想能成立嗎?若能成立,請說明理由.6.(2004?重慶)如圖,在直角坐標系中,正方形ABCD的邊長為a,O為原點,?點B在x軸的負半軸上,點D在y軸的正半軸上.直線OE的解析式為y=2x,直線CF過x軸上一點C(-a,0)且與OE平行.現正方形以每秒 的速度勻速沿x軸正方向平行移動,?設運動時間為t秒,正方形被夾在直線OE和CF間的部分的面積為S.(1)當0≤t<4時,寫出S與t的函數關系;(2)當4≤t≤5時,寫出S與t的函數關系,在這個范圍內S有無最大值?若有,?請求出最大值;若沒有,請說明理由.答案: 基礎達標驗收卷
一、1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.C
二、1.(x-1)2+2
2.圖象都是拋物線或開口向上或都具有最低點(最小值)3.y=-x2+2x+
4.如y=-x2+1 5.1
6.y= x2-x+3或y=-x2+ x-3或y=-x2-x+1或y=-x2+ x-1
三、1.解:(1)∵函數y=x2+bx-1的圖象經過點(3,2)，∴9+3b-1=2,解得b=-2.∴函數解析式為y=x2-2x-1.(2)y=x2-2x-1=(x-1)2-2.圖象略.圖象的頂點坐標為(1,-2).(3)當x=3時,y=2,根據圖象知,當x≥3時,y≥2.∴當x>0時,使y≥2的x的取值范圍是x≥3.2.(1)設A(x1,0)B(x2,0).∵A、B兩點關于y軸對稱.∴
∴
解得m=6.(2)求得y=-x2+3.頂點坐標是(0,3)
(3)方程-x2+(6-)x+m-3=0的兩根互為相反數(或兩根之和為零等).3.解:(1)符合條件的拋物線還有5條,分別如下:
①拋物線AEC;②拋物線CBE;③拋物線DEB;④拋物線DEC;⑤拋物線DBC.(2)在(1)中存在拋物線DBC,它與直線AE不相交.設拋物線DBC的解析式為y=ax2+bx+c.將D(-2,),B(1,0),C(4,0)三點坐標分別代入,得
解這個方程組,得a= ,b=-,c=1.∴拋物線DBC的解析式為y= x2-x+1.【另法:設拋物線為y=a(x-1)(x-4),代入D(-2,),得a= 也可.】
又將直線AE的解析式為y=mx+n.將A(-2,0),E(0,-6)兩點坐標分別代入,得
解這個方程組,得m=-3,n=-6.∴直線AE的解析式為y=-3x-6.能力提高練習
一、1.解:(1)∵拋物線開口向上,∴a>0.又∵對稱軸在y軸的左側, ∴-<0,∴b>0.又∵拋物線交于y軸的負半軸.∴c<0.(2)如圖,連結AB、AC.∵在Rt△AOB中,∠ABO=45°, ∴∠OAB=45°.∴OB=OA.∴B(-3,0).又∵在Rt△ACO中,∠ACO=60°，∴OC=OA?cot60°= ,∴C(,0).設二次函數的解析式為
y=ax2+bx+c(a≠0).由題意
∴所求二次函數的解析式為y= x2+(-1)x-3.2.依題意,可以把三組數據看成三個點:
A(0,8.6),B(5,10.4),C(10,12.9)
設y=ax2+bx+c.把A、B、C三點坐標代入上式,得
解得a=0.014,b=0.29,c=8.6.即所求二次函數為
y=0.014x2+0.29x+8.6.令x=15,代入二次函數,得y=16.1.所以,2005年該市國內生產總值將達到16.1億元人民幣.3.解:(1)設s與t的函數關系式為s=at2+bt+c 由題意得
或
解得
∴s= t2-2t.(2)把s=30代入s= t2-2t, 得30= t2-2t.解得t1=0,t2=-6(舍).答:截止到10月末公司累積利潤可達到30萬元.(3)把t=7代入,得s= ×72-2×7= =10.5;
把t=8代入,得s= ×82-2×8=16.16-10.5=5.5.答:第8個月公司獲利潤5.5萬元.4.解:(1)設拋物線的解析式為y=ax2,橋拱最高點O到水面CD的距離為hm，則D(5,-h),B(10,-h-3).∴
解得
拋物線的解析式為y=-x2.(2)水位由CD處漲到點O的時間為:1÷0.25=4(小時).貨車按原來速度行駛的路程為:40×1+40×4=200<280，∴貨車按原來速度行駛不能安全通過此橋.設貨車速度提高到xkm/h.當4x+40×1=280時,x=60.∴要使貨車完全通過此橋,貨車的速度應超過60km/h.5.略
6.解:(1)當0≤t<4時，如圖1,由圖可知OM= t,設經過t秒后,正方形移動到ABMN，∵當t=4時,BB1=OM= ×4= a，∴點B1在C點左側.∴夾在兩平行線間的部分是多邊形COQNG，其面積為:
平行四邊形COPG-△NPQ的面積.∵CO= a,OD=a，∴四邊形COPQ面積= a2.又∵點P的縱坐標為a,代入y=2x得P(,a),∴DP=.∴NP=t)2-(t-a)2 = a2-[(5-t)2+(t-4)2] = a2-(2t2-18t+41)= a2-[2?(t-)2+ ].∴當t= 時,S有最大值,S最大= a-? = a2.
第二篇：二次函數練習題及答案
二次函數練習題
一、選擇題：
1.下列關系式中，屬于二次函數的是(x為自變量)()
A.B.C.D.2.函數y=x2-2x+3的圖象的頂點坐標是()
A.(1，-4)
B.(-1，2)
C.(1，2)
D.(0，3)
23.拋物線y=2(x-3)的頂點在()
A.第一象限
B.第二象限
C.x軸上
D.y軸上
4.拋物線的對稱軸是()
A.x=-
2B.x=2
C.x=-
4D.x=4
5.已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結論中，正確的是()
A.ab>0，c>0
B.ab>0，c<0
C.ab<0，c>0
D.ab<0，c<0 6.二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則點
在第___象限()
A.一
B.二
C.三
D.四
7.如圖所示，已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的頂點P的橫坐標是4，圖象交 x軸于點A(m，0)和點B，且m>4，那么AB的長是()
A.4+m
B.m
C.2m-8
D.8-2m
8.若一次函數y=ax+b的圖象經過第二、三、四象限，則二次函數y=ax2+bx的圖象只可能是()
9.已知拋物線和直線 在同一直角坐標系中的圖象如圖所示，拋物線的對稱軸為直線x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是拋物線上的點，P3(x3，y3)是直線 上的點，且-1 1C.y3 10.把拋物線物線的函數關系式是（）A.C.的圖象向左平移2個單位，再向上平移3個單位，所得的拋 B.D.二、填空題： 11.二次函數y=x2-2x+1的對稱軸方程是______________.12.若將二次函數y=x2-2x+3配方為y=(x-h)2+k的形式，則y=________.13.若拋物線y=x2-2x-3與x軸分別交于A、B兩點，則AB的長為_________.14.拋物線y=x2+bx+c，經過A(-1，0)，B(3，0)兩點，則這條拋物線的解析式為_____________.15.已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于C點，且△ABC是直角三角形，請寫出一個符合要求的二次函數解析式________________.16.在距離地面2m高的某處把一物體以初速度v0(m/s)豎直向上拋物出，在不計空氣阻力的情況下，其上升高度s(m)與拋出時間t(s)滿足： (其中g是常數，通常取10m/s2).若v0=10m/s，則該物體在運動過程中最高點距地面_________m.17.試寫出一個開口方向向上，對稱軸為直線x=2，且與y軸的交點坐標為(0，3)的拋物線的解析式為______________.18.已知拋物線y=x2+x+b2經過點 三、解答題：，則y1的值是_________.19.若二次函數的圖象的對稱軸方程是，并且圖象過A(0，-4)和B(4，0)，(1)求此二次函數圖象上點A關于對稱軸 對稱的點A′的坐標； (2)求此二次函數的解析式； 20.在直角坐標平面內，點 O為坐標原點，二次函數 y=x2+(k-5)x-(k+4)的圖象交 x軸于點A(x1，0)、B(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=-8.(1)求二次函數解析式； (2)將上述二次函數圖象沿x軸向右平移2個單位，設平移后的圖象與y軸的交點為C，頂點為P，求△POC的面積.21.已知：如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，其中A點坐標為(-1，0)，點C(0，5)，另拋物線經過點(1，8)，M為它的頂點.(1)求拋物線的解析式； (2)求△MCB的面積S△MCB.22.某商店銷售一種商品，每件的進價為2.50元，根據市場調查，銷售量與銷售單價滿足如下關系：在一段時間內，單價是13.50元時，銷售量為500件，而單價每降低1元，就可以多售出200件.請你分析，銷售單價多少時，可以獲利最大.3 答案與解析： 一、選擇題 1.考點：二次函數概念.選A.2.考點：求二次函數的頂點坐標.解析：法一，直接用二次函數頂點坐標公式求.法二，將二次函數解析式由一般形式轉換為頂點式，即y=a(x-h)2+k的形式，頂點坐標即為(h，k)，y=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以頂點坐標為(1，2)，答案選C.3.考點：二次函數的圖象特點，頂點坐標.解析：可以直接由頂點式形式求出頂點坐標進行判斷，函數y=2(x-3)2的頂點為(3，0)，所以頂點在x軸上，答案選C.4.考點：數形結合，二次函數y=ax2+bx+c的圖象為拋物線，其對稱軸為 .解析：拋物線，直接利用公式，其對稱軸所在直線為答案選B.5.考點：二次函數的圖象特征.解析：由圖象，拋物線開口方向向下，拋物線對稱軸在y軸右側，拋物線與y軸交點坐標為(0，c)點，由圖知，該點在x軸上方，答案選C.6.考點：數形結合，由拋物線的圖象特征，確定二次函數解析式各項系數的符號特征.解析：由圖象，拋物線開口方向向下，拋物線對稱軸在y軸右側，拋物線與y軸交點坐標為(0，c)點，由圖知，該點在x軸上方，在第四象限，答案選D.7.考點：二次函數的圖象特征.解析：因為二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的頂點P的橫坐標是4，所以拋物線對稱軸所在直線為x=4，交x軸于點D，所以A、B兩點關于對稱軸對稱，因為點A(m，0)，且m>4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，答案選C.8.考點：數形結合，由函數圖象確定函數解析式各項系數的性質符號，由函數解析式各項系數的性質符號畫出函數圖象的大致形狀.解析：因為一次函數y=ax+b的圖象經過第二、三、四象限，所以二次函數y=ax2+bx的圖象開口方向向下，對稱軸在y軸左側，交坐標軸于(0，0)點.答案選C.9.考點：一次函數、二次函數概念圖象及性質.解析：因為拋物線的對稱軸為直線x=-1，且-1 .答案選C.二、填空題 11.考點：二次函數性質.解析：二次函數y=x2-2x+1，所以對稱軸所在直線方程.答案x=1.12.考點：利用配方法變形二次函數解析式.解析：y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2.答案y=(x-1)2+2.13.考點：二次函數與一元二次方程關系.解析：二次函數y=x2-2x-3與x軸交點A、B的橫坐標為一元二次方程x2-2x-3=0的兩個根，求得x1=-1，x2=3，則AB=|x2-x1|=4.答案為4.14.考點：求二次函數解析式.解析：因為拋物線經過A(-1，0)，B(3，0)兩點，解得b=-2，c=-3，答案為y=x2-2x-3.15.考點：此題是一道開放題，求解滿足條件的二次函數解析式，答案不唯一.解析：需滿足拋物線與x軸交于兩點，與y軸有交點，及△ABC是直角三角形，但沒有確定哪個角為直角，答案不唯一，如：y=x2-1.16.考點：二次函數的性質，求最大值.解析：直接代入公式，答案：7.17.考點：此題是一道開放題，求解滿足條件的二次函數解析式，答案不唯一.解析：如：y=x2-4x+3.18.考點：二次函數的概念性質，求值.5 答案： 三、解答題 19.考點：二次函數的概念、性質、圖象，求解析式.解析：(1)A′(3，-4) .(2)由題設知： ∴y=x2-3x-4為所求 (3) 20.考點：二次函數的概念、性質、圖象，求解析式.解析：(1)由已知x1，x2是x2+(k-5)x-(k+4)=0的兩根 又∵(x1+1)(x2+1)=-8 ∴x1x2+(x1+x2)+9=0 ∴-(k+4)-(k-5)+9=0 ∴k=5 ∴y=x2-9為所求 (2)由已知平移后的函數解析式為： y=(x-2)2-9 且x=0時y=-5 ∴C(0，-5)，P(2，-9) 21.解： (1)依題意： .(2)令y=0，得(x-5)(x+1)=0，x1=5，x2=- 1∴B(5，0) 由，得M(2，9) 作ME⊥y軸于點E，則 可得S△MCB=15.22.思路點撥：通過閱讀，我們可以知道，商品的利潤和售價、銷售量有關系，它們之間呈現如下關系式： 總利潤=單個商品的利潤×銷售量.要想獲得最大利潤，并不是單獨提高單個商品的利潤或僅大幅提高銷售量就可以的，這兩個量之間應達到某種平衡，才能保證利潤最大.因為已知中給出了商品降價與商品銷售量之間的關系，所以，我們完全可以找出總利潤與商品的價格之間的關系，利用這個等式尋找出所求的問題，這里我們不妨設每件商品降價x元，商品的售價就是(13.5-x)元了.單個的商品的利潤是(13.5-x-2.5) 這時商品的銷售量是(500+200x) 總利潤可設為y元.利用上面的等量關式，可得到y與x的關系式了，若是二次函數，即可利用二次函數的知識，找到最大利潤.解：設銷售單價為降價x元.頂點坐標為(4.25，9112.5).即當每件商品降價4.25元，即售價為13.5-4.25=9.25時，可取得最大利潤9112.5元 2．二次函數定義__________________________________________________二次函數（1）導學案 一.教學目標： （1）能夠根據實際問題，熟練地列出二次函數關系式，并求出函數的自變量的取值范圍。 （2）注重學生參與，聯系實際，豐富學生的感性認識，培養學生的良好的學習習慣 重點難點： 能夠根據實際問題，熟練地列出二次函數關系式，并求出函數的自變量的取值范圍。教學過程： 二、教學過程 （一）提出問題 某商店將每件進價為8元的某種商品按每件10元出售，一天可銷出約100件．該店想通過降低售價、增加銷售量的辦法來提高利潤，經過市場調查，發現這種商品單價每降低0.1元，其銷售量可增加10件。將這種商品的售價降低多少時，能使銷售利潤最大?在這個問題中，1．商品的利潤與售價、進價以及銷售量之間有什么關系?[利潤=(售價－進價)×銷售量] 2．如果不降低售價，該商品每件利潤是多少元?一天總的利潤是多少元?[10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)] 3．若每件商品降價x元，則每件商品的利潤是多少元?一天可銷售約多少件商品? [(10－8－x)；(100＋100x)] 4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，請求出它的范圍，[x的值不能任意取，其范圍是0≤x≤2] 5．若設該商品每天的利潤為y元，求y與x的函數關系式。[y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)] 將函數關系式y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化為： y=－2x2＋20x(0＜x＜10)……………………………(1)將函數關系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化為：y=－100x2＋100x＋20D(0≤x≤2)……………………(2) （二）、觀察；概括 (1)函數關系式(1)和(2)的自變量各有幾個? (2)多項式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分別是幾次多項式?(3)函數關系式(1)和(2)有什么共同特點?(4)這些問題有什么共同特點？ 三、課堂練習 1.下列函數中，哪些是二次函數?(1)y=5x＋1(2)y=4x2－1 (3)y=2x3－3x2(4)y=5x4－3x＋1 2．P25練習第1，2,3題。 四、小結 1．請敘述二次函數的定義． 2，許多實際問題可以轉化為二次函數來解決，請你聯系生活實際，編一道二次函數應用題，并寫出函數關系式。 五.堂堂清 下列函數中，哪些是二次函數? (1)Y=2x+1（2）y=2x2+1（3）y=x(x-2)（4）y=(2x-1)(2x-2)（5）y=x2(x-1)-1 ?二次函數?測試 一．選擇題〔36分〕 1、以下各式中，y是的二次函數的是 （） A． B． C． D． 2．在同一坐標系中，作+2、-1、的圖象，那么它們 （） A．都是關于軸對稱 B．頂點都在原點 C．都是拋物線開口向上 D．以上都不對 3．假設二次函數的圖象經過原點，那么的值必為 （） A． 0或2 B． 0 C． D． 無法確定 4、點〔a，8〕在拋物線y=ax2上，那么a的值為〔 〕 A、±2 B、±2 C、2 D、－2 5．把拋物線y=3x2先向上平移2個單位，再向右平移3個單位，所得拋物線的解析式是〔 〕 〔A〕y=3〔x+3〕2 〔B〕y=3〔x+2〕2+2 〔C〕y=3〔x-3〕2 〔D〕y=3〔x-3〕2+2 6．拋物線y=x2+6x+8與y軸交點坐標〔 〕 〔A〕〔0，8〕 〔B〕〔0，-8〕 〔C〕〔0，6〕 〔D〕〔-2，0〕〔-4，0〕 7、二次函數y=x2＋4x＋a的最大值是2，那么a的值是〔 〕 A、4 B、5 C、6 D、7 8．原點是拋物線的最高點，那么的范圍是 （） A． B． C． D． 9．拋物線那么圖象與軸交點為 〔 〕 A． 二個交點 B． 一個交點 C． 無交點 D． 不能確定 10．不經過第三象限，那么的圖象大致為 〔 〕 y y y y O x O x O x O x A B C D 11．對于的圖象以下表達正確的選項是 〔 〕 A 頂點作標為(－3，2) B 對稱軸為y=3 C 當時隨增大而增大 D 當時隨增大而減小 12、二次函數的圖象如下圖，那么以下結論中正確的選項是：〔 〕 A a>0 b<0 c>0 B a<0 b<0 c>0 C a<0 b>0 c<0 D a<0 b>0 c>0 二．填空題：〔每題4分，共24分〕 13．請寫出一個開口向上，且對稱軸為直線x =3的二次函數解析式。 14．寫出一個開口向下，頂點坐標是〔—2，3〕的函數解析式； 15、把二次函數y=－2x2＋4x+3化成y=a〔x+h〕2+k的形式是________________________________.16.假設拋物線y=x2 + 4x的頂點是P，與X軸的兩個交點是C、D兩點，那么 △ PCD的面積是________________________.17.(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)是二次函數y=x2-4x+m上的點,那么 y1,y2,y3從小到大用 “<〞排列是 .18．小敏在某次投籃中，球的運動路線是拋物線的一局部(如圖)，假設命中籃圈中心，那么他與籃底的距離是________________________.三．解答題(共60分) 19.〔6分〕假設拋物線經過點A〔，0〕和點B〔-2，〕，求點A、B的坐標。 20、(6分)二次函數的圖像經過點〔0，－4〕，且當x = 2，有最大值—2。求該二次函數的關系式： 21．〔6分〕拋物線的頂點在軸上，求這個函數的解析式及其頂點坐標。 25米x22、〔6分〕農民張大伯為了致富奔小康，大力開展家庭養殖業，他準備用40米長的木欄圍一個矩形的雞圈，為了節約材料，同時要使矩形面積最大，他利用了自己家房屋一面長25米的墻，設計了如圖一個矩形的羊雞圈。請你設計使矩形雞圈的面積最大？并計算最大面積。 23、二次函數y=－〔x－4〕2 +4 〔本大題總分值8分〕 1、先確定其圖象的開口方向，對稱軸和頂點坐標，再畫出草圖。 2、觀察圖象確定：X取何值時，①y=0，②y﹥0，⑶y﹤0。 24．〔8分〕某水果批發商場經銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經市場調查發現，在進貨價不變的情況下，假設每千克漲價一元，日銷售量將減少20千克。 〔1〕現要保證每天盈利6000元，同時又要讓顧客得到實惠，那么每千克應漲價多少元？ 〔2〕假設該商場單純從經濟角度看，那么每千克應漲價多少元，能使商場獲利最多。 25．〔8分〕某市人民廣場上要建造一個圓形的噴水池，并在水池中央垂直安裝一個柱子OP，柱子頂端P處裝上噴頭，由P處向外噴出的水流〔在各個方向上〕沿形狀相同的拋物線路徑落下〔如下圖〕。假設OP＝3米，噴出的水流的最高點A距水平面的高度是4米，離柱子OP的距離為1米。 〔1〕求這條拋物線的解析式； 〔2〕假設不計其它因素，水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不至于落在池外。 26．〔12分〕二次函數的圖象與x軸從左到右兩個交點依次為A、B，與y軸交于點C，〔1〕求A、B、C三點的坐標； 〔2〕如果P(x，y)是拋物線AC之間的動點，O為坐標原點，試求△POA的面積S與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍； 〔3〕是否存在這樣的點P，使得PO=PA，假設存在，求出點P的坐標；假設不存在，說明理由。 第六章 二次型 ??B1?與???合同.AB?2??2? 證：因為A1與B1合同，所以存在可逆矩C1，使B1?C1TAC11，1．設方陣A1與B1合同，A2與B2合同，證明?T 因為A2與B2合同，所以存在可逆矩C2，使B2?C2A2C2.?A 1令 C???C1???，則C可逆，于是有 C2?T1??C1?B1??C1TAC??A1??C11 ???????????TBC2??A2CAC?2????222???A1??B1?即 ?與???合同.AB?2??2? 2．設A對稱，B與A合同，則B對稱 證：由A對稱，故A?A.因B與A合同，所以存在可逆矩陣C，使B?CAC，于是 TTA?T?1??C?C?2???CA2?BT?(CTAC)T?CTATC?CTAC?B 即B為對稱矩陣.3．設A是n階正定矩陣，B為n階實對稱矩陣，證明：存在n階可逆矩陣P，使PTAP與PTBP均為對角陣.證：因為A是正定矩陣，所以存在可逆矩陣M，使 MTAM?E 記B1?MBM，則顯然B1是實對稱矩陣，于是存在正交矩陣Q，使 TQTB1Q?D?diag(?1,?,?n) 其中?1,?,?n為B1?MTBM的特征值.令P=MQ，則有 PTAP?E,PTBP?D A,B同時合同對角陣.4．設二次型f??(ai?1mi11令A?(aij)m?n，則二次型f的秩等于r(A).x???ainxn)2，證：方法一 將二次型f寫成如下形式： f??(ai1x1???aijxj???ainxn)2 i?1m設Ai=(ai1,?,aij,?,ain) (i?1,?,m) ·107· ?a11?a1j?a1n??A1?????????????則 A??ai1?aij?ain???Ai? ?????????????a????m1?amj?amj??Am??A1??????mTTTT于是 AA?(A1,?,Ai,?,Am)?Ai???AiTAi ??i?1????A??m??ai1??????mm22故 f??(ai1x1???aijxj???ainxn)=?[(x1,?xj,?xn)?aij?] ??i?1i?1????a??in??ai1??x1??x1????????????????mmT =?[(x1,?xj,?xn)?aij?(ai1,?aij,?ain)?xj?]=(x1,?xj,?xn)(?AiAi)?xj? ??????i?1i?1??????????a??x??x??in??n??n? =X(AA)X 因為AA為對稱矩陣，所以AA就是所求的二次型f的表示矩陣． 顯然TTTTr(ATA)=r(A)，故二次型f的秩為r(A)． T方法二 設yi?ai1x1???ainxn,i?1,?,n.記Y?(y1,?,ym)，于是 Y?AX，其中X?(x1,?,xn)T，則 2f??yi2?y12???ym?YTY?XT(ATA)X.i?1m 因為AA為對稱矩陣，所以AA就是所求的二次型f的表示矩陣． 顯然TTr(ATA)=r(A)，故二次型f的秩為r(A)． T 5．設A為實對稱可逆陣，f?xAx為實二次型，則A為正交陣?可用正交變換將f化成規范形.證：?設?i是A的任意的特征值，因為A是實對稱可逆矩陣，所以?i是實數，且?i?0,i?1,?,n.因為A是實對稱矩陣，故存在正交矩陣P，在正交變換X?PY下，f化為標準形，· ·108即 f?XTAX?YT(PTAP)Y?YTDY?YTdiag(?1,?,?i,?,?n)Y 2??1y1 （*）????iyi2????nyn 因為A是正交矩陣，顯然D?PTAP?diag(?1,?,?i,?,?n)也是正交矩陣，由D為對角實矩陣，故?i2?1即知?i只能是?1或?1，這表明（*）恰為規范形.?因為A為實對稱可逆矩陣，故二次型f的秩為n.設在正交變換X?QY下二次型f化成規范形，于是 22?YDY f?XTAX?Y(QTAQ)Y?y1???yr2?yr2?1???ynT其中r為f的正慣性指數，D?diag(1,?,1,?1,?,?1).TT 顯然D是正交矩陣，由D?QAQ，故A?QDQ，且有AA?AA?E，故ATT是正交矩陣.6．設A為實對稱陣，|A|?0，則存在非零列向量ξ，使ξTAξ?0.證：方法一 因為A為實對稱陣，所以可逆矩陣P，使 PTAP?D?diag(?1,?,?i,?,?n) 其中?i(i?1,?,n)是A的特征值，由|A|?0，故至少存在一個特征值?k，使?k?0，?0??????取ξ?P?1?，則有 ??????0?????1??0??0????????????????TT??1???k?0 ，1,?0?,0)?k ξAξ?(0,?,1,?,0)PAP?1??(0?????????????????0?????n??????0? 方法二（反證法） T 若?X?0，都有XAX?0，由A為實對稱陣，則A為半正定矩陣，故|A|?0與|A|?0矛盾.222 7．設n元實二次型f?XAX，證明f在條件x1?x2???xn?1下的最大值恰T為方陣A的最大特征值． 解：設?1,?2,?,?n是f的特征值，則存在正交變換X?PY，使 f?XTAX?YT(PTAP)Y??1y12??2y2????nyn設?k是?1,?2,?,?n中最大者，當XX?x1?x2???xn?1時，有 ·109· T22222XTX?YTPTPY?YTY?y12?y2???yn?1 因此 2222f??1y12??2y2????nyn ??k(y12?y2???yn)??k 222這說明在x1=1的條件下f的最大值不超過?k． ?x2???xn 設 Y0?(y1,?,yk,?,yn)T?(0,?,0,1,0,?.0)T 則 Y0TY0?1 222f??1y12??2y2????kyk????nyn??k 令X0?PY0，則 TX0X0?Y0TY?1 并且 Tf(X0)?X0AX0?Y0T(PTAP)Y0??k 222這說明f在X0達到?k，即f在x1?x2???xn?1條件下的最大值恰為方陣A的最大特征值． 8．設A正定，P可逆，則PAP正定.證：因為A正定，所以存在可逆矩陣Q，使A?QTQ，于是 PAP?PQQP?(QP)QP，顯然QP為可逆矩陣，且 TTTTT(PTAP)T?(QP)TQP?PTAP，即PTAP是實對稱陣，故PTAP正定.9．設A為實對稱矩陣，則A可逆的充分必要條件為存在實矩陣B，使AB+BA正定． 證：先證必要性 取B?A，因為A為實對稱矩陣，則 ?1TAB?BTA?E?(A?1)TA?2E 當然AB?BA是正定矩陣． 再證充分性，用反證法． 若A不是可逆陣，則r（A） 因為A是實對稱矩陣，B是實矩陣，于是有 TTTX0(AB?BTA)X0?(AX0)TBX0?X0B(AX0)?0 這與ABAB?BA是正定矩陣矛盾． 10．設A為正定陣，則A?A?3A仍為正定陣.證：因為A是正定陣，故A為實對稱陣，且A的特征值全大于零，易見A,A,A2*?1A?A?3A全是實對稱矩陣，且它們的特征值全大于零，故A,A,A全是正定矩陣，2*T2*?12*?1?1為實對稱陣.對?X?0，有 XT(A2?A*?3A?1)X?XTA2X?XTA*X?XTA?1X?0 · ·110 即 A?A?3A的正定矩陣.11．設A正定，B為半正定，則A?B正定.T 證：顯然A,B為實對稱陣，故A?B為實對稱陣.對?X?0，XAX?0，2*?1XTBX?0，因XT(A?B)X?0，故A?B為正定矩陣.12．設n階實對稱陣A,B的特征值全大于0，A的特征向量都是B的特征向量，則AB正定.證：設A,B的特征值分別為?i,?i(i?1,?,n).由題設知?i?0,?i?0,i?1,?,n.PTAP?diag(?1,?,?i,?,?n) 為PiA的特征向量，i?1,?,n.因為A是實對稱矩陣，所以存在正交矩陣P?(P1,?,Pi,?,Pn)，使 即 AP,ii??iP 由已知條件Pi也是B的特征向量，故 BPi??iPii?1,?i,?,n 因此 ABPi?A?iPi?(?i?i)Pi，這說明?i?i是AB的特征值，且?i?i?0，i?1,?,n.又因為 ABP?Pdiag(?1?1,?,?i?i,?,?n?n),PT?P?1.故 AB?Pdiag(?1?1,?,?i?i,?,?n?n)P，顯然AB為實對稱陣，因此AB為正定矩陣.13．設A?(aij)n?n為正定矩陣，b1,b2,?,bn為非零實數，記 B?(aijbbij)n?n 則方陣B為正定矩陣． 證：方法一 因為A是正定矩陣，故A為對稱矩陣，即aij?aji，所以aijbibj?ajibjbi，這說明B是對稱矩陣，顯然 ?a11?b21abb1?anbb1221n1???b1?0??a11?a1n??b1?0?2abbab?abb2121222n2n?2? B??=?????????????? ????0?b??a?a??0?b???n??n1nn??n???abbabb?abb???nnnn??n1n1n2n1 對任給的n維向量X?(x1,?,xn)?0，因b1,b2,?,bn為非零實數，所以 T(b1x1,?,bnxn)T?0，又因為A是正定矩陣，因此有 ?b1?0??a11?a1n??b1?0?TT XBX?X???????????????X ?0?b??a?a??0?b?n??n1nn??n???a11?a1n??b1x1? =(b1x1,?,bnxn)?????????0 ?a?a??bx?nn??nn??n1即B是正定矩陣． ·111· 方法二 記 ?a11b12a12b1b2?a1nb1bn??abbab2?abb?2n2n? B??2121222??????abbabb?abb?nnnn??n1n1n2n1則因為A是實對稱矩陣，顯然B是實對稱矩陣，?b1?0? B的k階順序主子陣Bk可由A的階順序主子陣分別左，右相乘對角陣?????而 ?0?b?n??得到，即 ?b1?0??a11?a1k??b1?0?Bk???????????????? ?0?b??a?a??0?b?k??k1kk??k??計算Bk的行列式，有 Bk??bi2Ak?0 i?1n故由正定矩陣的等價命題知結論正確． 14．設A為正定矩陣，B為實反對稱矩陣，則A?B?0.證：因為M是n階實矩陣，所以它的特征值若是復數，則必然以共軛復數形式成對出現；將M的特征值及特征向量寫成復數形式，進一步可以證明對于n階實矩陣M，如果對任意非零列向量X，均有 XTMX?0 可推出M的特征值(或者其實部)大于零． 由于M的行列式等于它的特征值之積，故必有M?0 ． 因為A是正定矩陣，B是反對稱矩陣，顯然對任意的 非零向量X，均有 XT(A?B)X?0,而A+B顯然是實矩陣，故A?B?0.T 15．設A是n階正定矩陣，B為n?m矩陣，則r(BAB)=r(B)． T 證：考慮線性方程組BX?0與BABX?0，顯然線性方程組BX?0 的解一定是BTABX?0的解． TT 考慮線性方程組BABX?0，若X0是線性方程組BABX?0的任一解，因此有BTABX0?0． 上式兩端左乘X0有 T(BX0)TA(BX0)?0 · ·112 T 因為A是正定矩陣，因此必有BX0?0，故線性方程組BX?0與 BABX?0是同解方程組，所以必有r(BAB)= r(B).16．設A為實對稱陣，則存在實數k，使|A?kE|?0.證：因為A為實對稱陣，則存在正交矩陣P，使 TP?1AP?diag(?1,?,?i,?,?i).其中?i為A的特征值，且為實數，i?1,?,2.于是 A?Pdiag(?1,?,?i,?,?n)P?1 ?1?k? |A?kE|?|P|?i?k?|P|??(?i?k) ?1i?1n?n?k取k?max{|?i|?1}，則1?i?n|?(??k)?0，故 |A?kE?ii?1n0.17．設A為n階正定陣，則對任意實數k?0，均有|A?kE|?kn.證：因為A為正定矩陣，故A為實對稱陣，且A的特征值?i?0,i?1,?,n.則存在正交矩陣P，使 ??1???????1?,PAP???i???????n???于是對任意k?0，有 ?1?k?|P| |A?kE?|??1???????P?1 A?P??i???????n????i?k?P|?1?|?(?i?k)??k?kn.i?1i?1nn?n?k 18．設A為半正定陣，則對任意實數k?0，均有|A?kE|?0.證：因為A為半正定矩陣，故A為實對稱矩陣，且A的特征值?i?0，i?1,?,n.則存在正交矩陣P，使 PAP?diag?1(?,于是對任意k?0，有 |A?kE?|P||di?a1g?(k??,i?k,? ?1?i,?,?n,，A)?Pdiag(?1,?,?i,?,?n)P?1 ?n,?k,P?1?|?(?|i?k)?kn?0.)i?1n·113· 19．A為n階實矩陣，?為正實數，記B??E?AA，則B正定.T 證：BT?(?E?ATA)T??E?AA?B，故B是實對稱矩陣.T 對?X?0，有(X,X)?0,(AX,AX)?0，因此有 AX??(X,X)?AX(AX,?)0 XTBX?XT(?E?ATA)X??XTX?XTAT故 B??E?AA為正定矩陣.20．A是m?n實矩陣，若AA是正定矩陣的充分必要條件為A是列滿秩矩陣． 證：先證必要性 方法一 設AA 是正定矩陣，故?X0?0，有 TX0(ATA)X0?(AX0)T(AX0)?0 由此AX0?0，即線性方程組AX?0僅有零解，所以r(A)=n，即A是列滿秩矩陣． TTT方法二 因為AA 是正定矩陣，故r(AA)=n，由于 TTn?r(ATA)?r(A)?n 所以r(A)=n． 即A是列滿秩矩陣． 再證充分性：因A是列滿秩矩陣，故線性方程組僅有零解，?X?0，X為實向量，有AX?0．因此 XT(ATA)X?(AX)T(AX)?(AX,AX)?0 顯然AA 是實對稱矩陣，所以AA 是正定矩陣． 21．設A為n階實對稱陣，且滿足A?6A?4E?0，則A為正定陣.證：設?為A的任意特征值，ξ為A的屬于特征值?的特征向量，故ξ?0，則 2TTAξ??ξ,2A2ξ??2ξ 由 A?6A?4E?0 有 Aξ?6Aξ?4ξ?0 2(?2?6??4)ξ?0 2由 ξ?0，故 ??6??4?0.??3?5?0.因為A為實對稱矩陣，故A為正定陣.22．設三階實對稱陣A的特征值為1,2,3，其中1,2對應的特征向量分別為ξ1?(1,0,0)T,ξ2?(0,1,1)T，求一正交變換X?PY，將二次型f?XTAX化成標準形.解：設ξ3?(x1,x2,x3)T為A的屬于特征值3的特征向量，由于A是實對稱矩陣，故ξ1,ξ2,ξ3滿足正交條件 ?1?x1?0?x2?0?x3?0 ?0?x?1?x?1?x?023?1 解之可取ξ3?(0,1,?1)，將其單位化有 · ·11 411T1?1T,),P3?(0，)2222???100???11?? 令 P?(P1,P2,P3)??0.?22??11??0???22??則在正交變換X?PY下，將f化成標準形為 P1?(1,0,0)T,P2?(0,22 f?XTAX?YT(PTAP)Y?y12?2y2?3y 323．設 ?1?22???A???24a? ?2a4???2二次型f?XTAX經正交變換X?PY化成標準形f?9y3，求所作的正交變換.2解：由f的標準形為f?9y3，故A的特征值為?1??2?0,?3?9.??1故 |?E?A|?2?2?a??2(??9) ??4?22?2?1??4?a2 令??0，則 2解之 a??4.?4?a?0 ?2?a?4?1?22???由此 A???24?4? ?2?44??? 對于?1??2?0有 ??12?2??1?22????? 0E?A??2?44???000? ??24?4??000?????可得A的兩個正交的特征向量 ?2???2?????ξ1??2?,ξ2??1? ?1??2????? ·115· ?1???對于?3?9，可得A的特征向量為??2? ?2???將特征向量單位化得 ?2???2??1?1??1??1??P1??2?,P2??1?,P3???2? 3??3??3??12?????2??2?21?1??則P?(P1,P2,P3)??21?2?為正交矩陣，3???122??2?21?1??正交變換X?PY為X??21?2?Y.3???122? 注：因特征向量選擇的不同，正交矩陣P不惟一.222 24．已知二次型f?x1?2x2?(1?k)x3?2kx1x2?2x1x3正定，求k.解：二次型的表示矩陣 1??1k??A??k20? ?101?k????1k2??0??k?2?0由A正定，應有A的各階順序主子式全大于0.故 ?k2，即?.2??|A|?0?k(k?k?2)?0?解之 ?1?k?0.222 25．試問：三元方程3x1?3x2?3x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3?x1?x2?x3?0，在三維空間中代表何種幾何曲面.222 解：記f?3x1?3x2?3x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3?x1?x2?x3 ?311??x1??x1???????則 f?(x1,x2,x3)?131??x2??(?1,?1,?1)?x2? ?113??x??x????3??3??311??? 設 A??131?.?113???2則|?E?A|?(??2)(??5).故A的特征值為?1??2?2,?3?5.· ·116 對于?1??2?2，求得特征向量為 ??1???ξ1??1?,?0???由Schmidt正交化得 ??1???ξ2??0?.?1?????1???β1??1?,?0????1???2???1β2????.?2???1???????1???對于?3?5得特征向量ξ3??1?，標準化得 ?1????1??1??1?????????632???????1??1??1?P1??,P??,P?23???? ?26???3????2??1??0??????????6??3?11??1????263??11??1 令 P?(P1,P2,P3)???? 63??221??0??63??則在正交變換X?PY下 22f?2y12?2y2?5y3?3y3 于是f?0為 22y12?2y2?5(y3?323)? 102022為橢球面.26．求出二次型f?(?2x1?x2?x3)?(x1?2x2?x3)?(x1?x2?2x3)的標準形及相應的可逆線性變換.解：將括號展開，合并同類項有 ·117· 222222 f?4x1?x2?x3?4x1x2?4x1x3?2x2x3?x12?4x2?x3?4x1x2?2x1x3?4 2x3x222 ?x1?x2?4x3?2x1x2?4x1x3?4x2x3 22222 ?6x1?6x2?6x3?6x1x2?6x1x3?6x2x3?6(x12?x2?x3?x1x2?x1x3?x2x3) 1132323119x2?x3)2?x2?x3?x2x3]?6(x1?x2?x3)2?(x2?x3)2 2244222211?y?x?x??11222x3? 令 ?y2?x2?x3 ?y?x3?3?11??1???y1??22??x1???????1?1即 y2??0??x2? ???y??001??x3??3??????? ?6[(x1?則可逆變換為 ?1?x1??????x2???0?x??0?3???在此可逆線性變換下f的標準形為 1?12??y1????11??y2? 01??y3?????92y2.2f?6y12? 27．用初等變換和配方法分別將二次型 222 （1）f1??x1?3x2?2x4?4x1x2?4x1x4?2x2x4 （2）f2?2x1x2?6x2x3?2x1x3 化成標準形和規范形，并分別寫出所作的合同變換和可逆變換.解：先用配方法求解 （1）f1?(?x1?4x1x2?4x1x4)?3x2?2x4?2x2x4 ??(x1?2x2?2x4)?x2?6x4?6x2x4??(x1?2x2?2x4)?(x2?3x4)?3x4 222222222?y1?x1?2x2?2x4?y?x?3x?224 令 ? 即 y?x3?3??y4?x4?x1?y1?2y2?4y4?x?y?3y?224 ?x?y3?3??x4?y4 · ·118 ?1204???0103? 令 P???0010???0001???? 則二次型f經可逆線性變換x?Py化成標準形 f1??y12?y2?3y4?y1?z1?z1?y1?y?z?z?y22?2??2 若再令 ? 即 ?y3?z3 z?y3??3?y?3z?z?3y?4444?3??1???1??? 令 Q??1??3????3??222則原二次型f1經可逆線性變換x?PQz化成規范形f1??y1.?y2?y4?x1?y1?y2? （2）先線性變換?x2?y1?y2 ?x?y3?3原二次型化成 2222 f2?2(y1?y2)?6y1y3?6y2y3?2y1y3?2y2y3?2y1?2y2?4y1y3?8y2y3 222 ?2(y1?y3)2?2y2 ?2(y1?y3)2?2(y2?2y3)2?6y3?8y2y3?2y3?z1?y1?y3?y1?z1?z3?110??101??????? 令?z2?y2?2y3，即?y2?z2?2z3.令P1??1?10?，P2??012? ?z?y?y?z?001??001?????33?3?3則原二次型f2經可逆線性變換x?P1P2z化成標準形 f2?2z12?2z2?6z3??z1??w1?2z1????? 若再令?w2?2z2 即 ?z2???w?6z3???3?z3??? 2w122w2 26w36·119· ?2???2????2 令 Q??? 2???6?????6??則原二次型f2經可逆線性變換x?P1P2Qw化成規范形 22.f2?w12?w2?w3 用初等變換法求解 ??12?2?3? （1）設A??00???21???12?2?3? (A?E4)??00???21?0?2??01? 00??02??***0?2010002000?***00???1??0?r2?2?r1?0????0?c2?2?c1?0????21???0???1??0?r4?3?r2?0????c4?3?c2??00???01???00?0?10?0 01?0?3?30?3?010?301000?2100?***000?***100??0? 0??1??0??0? ?0?1????10?r4?(?2)?r1?01 ?????c4?(?2)?c1?00??0?3???10?1?01?r33??00 ???1?c3?3??00?120?20000?1T433000??10?100???2100????2100?? 令 P1?，P2??0010? ?001?0????3?430??43?130????3??3222則原二次型f1經過可逆線性變換x?P1y化成標準形f1??y1?y2?3y3.二次型經過可逆線性變換x?P2z化成規范形f1??z1?z2?z4.· ·120 222T?011??? （2）設A??10?3? ?1?30???110?0?01?0??r3?(?1)?r2?0?301?????0c3?(?1)?c2??1 (A?E3)??1?1?3000?1?0???100?3?360??010? 0?11??10?01 ???r3?3?r1c3?3?c1??010100??100010??21r1?r2?c1?c2??1000?0063?11?????????0063?200110? ????r12?(??2)?r1?111?c1?0?0?2?(?2)?c1??2220?? ?0063?11????1001120??1 ?????2?r1?21,2?c11?2?r2,2?c???0?10?162220?? 6?r23,6?c3?????00162?66?66???11T?0???110?T?? 令 P11??221????0?，P?112???0???22?22??3?11?????66??2?666??則原二次型f2經過可逆線性變換x?P1y化成標準形 f?2y212221?2y2?6y3 二次型經過可逆線性變換x?P2z化成規范形 f2222?z1?z2?z3 28．用三種不同方法化下列二次型為標準形和規范形.（1）f2221?2x1?3x2?4x2x3?3x3 （2）f22222?x1?x2?x3?x4?2x1x2?2x1x4?2x2x3?2x3x4 解：先用配方法求解 00?10?11? ???121· · 42522x2x3)?3x3?2x12?3(x2?x3)2?x3 333?y1?x1?x1?y1??22?? 令 ?y2?x2?x3 即 ?x2?y2?y3 33?????y3?x3?x3?y3?100???2 令 P??01?? ?3??001??? （1）f1?2x1?3(x2?22則二次型f1經可逆線性變換x?Py化成標準形 2f1?2y12?3y2?52y3 3?2z1??y1?2?z1?2y1???3??z2 若再令 ?z2?3y2 即 ?y2?3??15??z?15y33y?z3??33?5???2???2????3 令 Q??? 3???15????5???原二次型f1經可逆線性變換x?PQz化成規范形 22.f1?z12?z2?z3 （2）f2?(x1?2x1x2?2x1x4)?x2?x3?x4?2x2x3?2x3x4 ?(x1?x2?x4)2?x3?2x2x3?2x3x4?2x2x4 2 ?(x1?x2?x4)2?(x3?x2?x4)2?(x2?2x4)2?3x4 2222?y1?x1?x2?x4?y?x?2x?224 令 ? 即 ?y3??x2?x3?x4??y4?x4 · ·122 ?x1?y1?y2?y4?x?y?2y?224 ??x3?y2?y3?y4??x4?y4?1?1?010?1??02 令 P?????0111? ??0001???則二次型f2經可逆線性變換x?Py化成標準形 f2?y22?3y22?y12?y34 ???z1?y1?y1?z1? 若再令 ??z2?y2 即 ?y2?z2?z?y 3?y 3??3?z3?z4?3y4???y4?33z4??1??1?? 令 Q???1? ???3??3?? 原二次型f?PQz化成規范形f22222經可逆線性變換x2?z1?z2?z3?z4.用初等變換法求解 ?20 （1）設A??0??032?? ??023????20010???200100? (A?E??03)??03201??????0r?(?233)?r2c(?2??030010?3????02300??13)?c2??52??0030?31????100100?1?2?? ?????12?r112?c1??010010?3?r1?? 23?c215?35?r15?35?c3??21515??0010?155?? 123· · ??10?1 令 P1??0?2?0?3??0??0?,?1??T????P2??????1200?01321515?0???0? ?15??5?22T則原二次型f1經過可逆線性變換x?P1y化成標準形f1?2y1?3y2?222可逆線性變換x?P2z化成規范形f1?z1.?z2?z352y3.二次型經過3?110?1???11?10? （2）設A???0?111????1011????10?1100?0?1??11?100100?? (A?E4)? ?0?1110010????10110001?????100?11000??10001???00?11?110000?11?1r2?(?1)?r1r4?r1??? ?????????c2?(?1)?c1?0?1110010?c4?c1?0?1110????11110001???01101????10001000??10001???00?11?11000001?1r3?r2r3?r4??? ????????c3?c2?0?1?12?1110?c3?c4?00320???01201001???01201????10001000??10001???0001?110002010r3?(?2)?r2r2?r4??? ?????????c3?(?2)?c2?00302?111?c2?c4?00302???01001001???01001????10001000???020001011??r4?(?)?r22 ??????00302?111? 1c4?(?)?c2??2111??1?0?000???222? · ·124 000??100? 010??001??000??100? 111??001??000??101? ?111??001???1??0?11?r2?c222 ???????11?0?r3?c333?2?r42?c4??0??***??01233220033000?10??1??1?2??0? 令 P1??2333? ??333???1??22??0?22?12222f?y?2y?3y?y4.f2可則原二次型f2可經可逆線性變換x?P化成標準形y212312經可逆線性變換x?P2z化成規范形 222 f2?z12?z2?z3?z4?1T?000??0??101??? P2??23?111??311??0??22??2??0??1?2??3? 3??2??2?00102T用正交變換法求解 ?200??? （1）f1的矩陣為A??032?，?023?????200由 |?E?A|?知A的特征值為1,2,5.00??3?2?2?(??1)(??2)(??5)，??3??100??x1??0??x1??0??0?????????????對?1?1，解?0?2?2??x2???0?，得?x2??k?1?，取T1??1?，單位化 ??1??0?2?2??x??0??x???1??????3????3??????0????000??x1??0??x1??1??1?2?????????????P??0x?k0P1??，對?2?2，解?0?1?2??x?，得，取22?0?，?2??????2??0??x??0??0?2???0???1?????3??????x3???2??????2? ·125· 0??x1??0??30??????對?3?5解?02?2??x2???0?，得?0?22??x??0????3????x1??0??0???????x?k1T? 取32?1?，單位化得?????1??x??1????3??????P3??????????00???2??2，令 P??22???2?2????2??2100?0??2?，則P為正交陣，經正交變換X?PY，?2?2??2?222原二次型f化為f?XTAX?y1.?2y2?5y3?110?1???11?10? （2）f2的矩陣為 A???0?111????1011??????1?101?1??110由 |?E?A|??(??1)(??3)(??1)2 01??1?110?1??1知A的特征值為?1,3,1,1.?x1???2?101??x1?0???1??1??????x???????x?1?2100?122??????, 得 ???k??，取T???1?對?1??1，解?1?x3??01?????1???1?2?1??x3?0??????????1???x???1??x10?1?20???4??????4????1??2????21?????1?2??單位化得P1??對?2?3，解?，?01?????2??1?1????2??10210??x1?0?????10??x2?0??21???x3?0?????1?2??x4?0?1???, 得 ????x1???1?????x2???k??1?.?x3??1????1???x?????4? · ·126 ?1???2????1?? 取 T?1?????1?2?2???? ?1?單位化得 P2????1?.??1?????2?1???2?? 對?3??4?1，解 ??0?101??x1??x1???1010?????0??1??x0??x????0??20???2????,得 ??010?1??10?10????x3??x???0????x???k1????k?1? 3?1?2?0?4??0???x?4????0??????1?????1?? 取 T3??0????0?,T4??1??，?1????0????0???1?????2??0??2??? 再令 P?0???2?3??,P??2??2?4?0? ?????2??2?0?????2????11??2?2220?????112? 令 P??2?202?????112，則P為正交陣，經正交變換X?PY，0??222????11?2202?2??原二次型f化為 f?XTAX??y22221?3y2?y3?y4.29．判斷下列二次型正定，負定還是不定.（1）f2221??2x2?6x2?4x3?2x1x2?2x1x3 127· · 解：二次型f1的矩陣為 1???21??A??1?60? ?10?4???A的各階順序全子式 ?2?0,?211?6?2?11?0,1111?60??38?0.0?4所以二次型f1是負定二次型.2222 （2）f2?x1?3x2?9x3?19x4?2x1x2?4x1x3?2x1x4?6x2x4?12x3x4 解：二次型f2的矩陣為 ?1?121????130?3? A???209?6???1?3?619????A的各階順序主子式 1?1211?121?1?130?31?0,?2?0，?130?6?0，?24?0 ?13209?62091?3?619所以二次型f2是正定二次型.2222 （3）f3?x1?x2?14x3?7x4?6x1x3?4x1x4?4x2x3 解：二次型f3的矩陣為 ?103?01?2?A??3?214??200?A的各階順序主子式 2??0? 0??7??20??33?0.071?0,1031001?2?1?0，01?2?1?0，013?2143?214200103所以二次型f3是不定二次型.222 30．求一可逆線性變換X?CY，把二次型f1?2x1?5x2?4x3?2x1x2?4x1x3化成 · ·128規范形fy22?y21?1?y23，同時也把二次型 f32?2x222x21?3x2?3?2x1x3?2x1x3?4x2x3 化成標準形f2222?k1y1?k2y2?k3y3.解：記f1?XTAX，其中 ?A??2?1?2???150???204? ????200??2?1?2??????150???09?1?r?A???204?3?r1?r1r?1?2?0?12??E?????100????2?2??? ??c3?c1c12?c1??111?2??010???001???2???010???001????200?00??9??110??00????r1?1?02216?2?001??025????r2?03?9r2?9?r2?3??3?1?c2?3?66?9c2??1110????r3?4c1?1??22??29?21???2?c2?23??0?c3?013?436???9????001??03?????04????125??266???取 P???021?36?，則PTAP?E ??????00?4???記 fT2?XBX，其中 129· · ?3?0?1?2???B??03?2? ??1?22???????100???2?12?5???31???20?266?則 BT?22????03?2??21?1?PBP??0?63??? ?????0?1?22??36??513????3???664???????00??4????31?11??220??2??125?266????34422? ?????252??42??021??????13?2??6????36???444? ??1??11???23???003???????4???121??22?42????312? ?1?4??13?2???1B2 ??2?22??4??其中 B?312?2???13?2?? ???2?22??顯然B都是實對稱矩陣，它們的特征值為11,B24倍的關系，特征向量相同.??3?1?20(??33)?1?2?(4) |?E?B2|??1??32?1?(??3)?2??(??42)??22??20?2?(?4)??4則B2的特征值為??0,?2??3?4，故B1的特征值為0,1,1.以下求B2的特征向量.·130 · 0?1??1??????2?2????11?? 對于?1?0，求得α1??，單位化后???1??2??2? ??1????1???????2????2? 對于??1???α??2??3?4，求得α2?1,?3??0??0? ????1?? 由Schmidt標準正交化后得 ??1???2??1??2????1??2???13???2?,??? ??0???2??????1???2?????111??222? 令 Q?(??11?1,?2,?3)??2?1??22?.??11???202?? 則Q為正交矩陣，且有 ?0?QTB(PTBP)Q???1?1Q?QT? ??1????125??11??266??1???2??12?22 令 C?PQ??1??2?1?023?1???6????1222????3????1??221?3?00?4??1?0???22????42于是 QTPTAPQ?QTEQ?E 27?362?1?3?1?62?03??42??131· · 即 CAC?E T?0???CTBC??1? ?1???在可逆線性變換X?CY下 f1?y12?y2?y322.f2?y2?y3（注：經驗算本題所得C是正確的，需要注意的是C并不惟一） 31．求一可逆線性變換X?PY，將二次型f化成二次型g.22f?2x12?9x2?3x3?8x1x2?4x1x3?10x2x3 22g?2y12?3y2?6y3?4y1y2?4y1y3?8y2y3 4?2??2?2?2?2?????9?5?，g?YTBY，B???234? 解：f?XTAX，A??4??2?53???246????? 將A,B分別作合同變換如下： ?24?2??200??200???????49?501?1010??????2?2r1?0?11?r?r?000??A???2?53?rr3?r132?????? ?????c2?2c1?????? c3?c2?E??100?c3?c1?1?21??1?2?1??010??010??011?????001???001???001???????? 在可逆線性變換X?C1Z下 f?2z12?z2?1?2?1???C1??011? ?001????2??20??4??012?r1?026?rr3?r1??????2?c10?cc3?c1?11?010?????001?? 其中 ?2?2???23?B???24?????E??10?01??00?22在可逆線性變換Y?C2Z下g?2z1?z2.· ·132 0??2??2??04?r3?r2?0??????1?c3?c2?1?00?????01??0101100??0?0?? ?1??2??1???11?1???其中 C2??01?2? ?001????1由 Z?C2Y得 ?1X?C1Z?C1C2Y ?1?2?1??11?1??1?3?6????????1101?2?003令 P?C1C2?01?????? ?001??001??001???????22在可逆線性變換X?PY下f?g?2z1.?z2 32．A是正定矩陣，AB是實對稱矩陣，則AB是正定矩陣的充分必要條件是B的特征值全大于零． 證：先證必要性． 設? 為B的任一特征值，對應的特征向量為X,則X?0, 且有 ?1BX??X 用XA左乘上式有 TXT(AB)X??XTAX 因為AB，A都是正定矩陣，故 XT(AB)X?0,于是??0，即B的特征值全大于零． 再證充分性． XTAX?0 因為A是正定矩陣，所以A合同于單位矩陣，故存在可逆矩陣P，使 PTAP?E （1） 由AB是對稱矩陣，知P(AB)P也是實對稱矩陣，因此存在正交矩陣Q，使 TQT[PT(AB)P]Q?D?diag(?1,?,?i,?,?n) （2） 即有 (QPA)B(PQ)?D?diag?(1,?,?i,?,?n) （3） 其中?1,?,?i,?,?n是P(AB)P的特征值． 在（1）的兩端左乘Q，右乘Q有 TTTTQT(PTAP)Q?E即(QTPTA)(PQ)?E TT這說明(QPA)與(PQ)互逆，也就是說 (QTPTA)?(PQ)?1 將上式代入（3），說明矩陣B與對角陣D相似，故它們的特征值相等；由條件知B的特征值全大于零，因此對角陣D的特征值也全大于零． 由（2）知AB與D合同，因此AB的特征值全大于零． ·133· T 33．設A,B為n階實正定陣，證明：存在可逆陣P，使PAP?E且PTBP?diag(?1,?2,?,?n)，其中?1??2????n?0為|?A?B|?0的n個實根.證：因A正定，故存在可逆矩陣P1，使 TP1AP1?E 因B正定，故存在可逆矩陣P2，使 B?P2TP2 于是 TTTTP1BP1?P1P2P2P1?(P2P1)(P2P1) 易見P1BP1為正定矩陣，不妨設它的特征值為 T?1??2????n?0.TTTT則 |?E?PBP|?|?PAP?PBP|?|P|111111|?A?B||P1| T故 |?E?P1BP1|?0?|?A?B|?0 即 ?1??2????n?0為|?A?B|?0的幾個實根.由 P1BP1為正定陣，知其為實對稱矩陣，所以存在正交矩陣Q，使 TQT(P1BP1)Q?diag(?1,?2,?,?n)T 令 P?P，則 1Q PTAP?E,PTBP?diag(?1,?2,?,?n) 34．設A為n階實正定陣，B為n階實半正定陣，則|A?B|?|A|.證：因為A是n階正定矩陣，所以存在n階可逆矩陣C，使得 CTAC?E.T 因為B是n階半正定陣，則CBC仍是實對稱半正定陣，故存在正交陣Q，使得 Q?1(CTBC)Q?QT(CTBC)Q?D?diag(?1,?,?i,?,?n) 其中 ?i?0,i?1,?n,為CTBC的特征值，且有 QT(CTAC)Q?E 令P?CQ，則P為可逆矩陣，于是 PTAP?E,PTBP?D PT(A?B)P?PTAP?PTBP?E?D 上式兩端取行列式，得 |P||A?B||P|?|E?D|??(1??i)?1?|PT||A||P| Ti?1n因 |P|?|P|?0，故 |A?B|?|A|.35．設A,B均為實正定陣，證明：方程|?A?B|?0的根全大于0.證：由33題知|?E?P1BP1|?0?|?A?B|?0.其中P1BP1為正交矩陣，它的特征值?i?0，i?1,?,n，故|?A?B|?0的根全大于0.· ·134TTT 36．設A為n階正定矩陣，試證：存在正定矩陣B，使A?B． 證：因為A是正定矩陣，所以是實對稱矩陣，于是存在正交矩陣P，使 2??1???2?P-1AP?PTAP?D??? ?????n???其中?1,?2,?,?n 令?i?為A的n個特征值，它們全大于零． ?i(i?1,2,?,n), 則 2???1??1???1???1?2?????2?????2??22??D????????? ??????????????????2??????n??n?n??n?????1???1???????22T???PT 而 A?PDP?P?????????????n??n????1???1???????22?PTP??PT ?P?????????????n?n?????1???2?T 令 B=P??P ??????n??2顯然B為正定矩陣，且A?B． 37．設A為n階可逆實方陣，證明：A可表示為一個正定陣與一正交陣的乘積． T 證：因為A是n階可逆實方陣，故AA是正定矩陣，所以存在n階正定矩陣B，使 ATA?B2.于是有 (AB?1)T(AB?1)?(B?1)TATAB?1?(B?1)TB2B?1?E 這說明AB是正交陣.令 AB?Q 則 A?QB，其中Q是正交矩陣，B是正定矩陣.38．A、B 為n階正定矩陣，則AB也為n階正定矩陣的充分必要條件是： AB=BA，即A與B可交換． ·135· ?1?1證：方法一 先證必要性． 由于A、B、AB都是正定矩陣，所以知它們都是對稱矩陣，因此有 AT?A,BT?B,(AB)T?AB 于是 AB?(AB)T?BTAT?BA 即A與B可交換． 再證充分性． 由條件AB=BA得 (AB)T?(BA)T?ATBT?AB 因此AB是對稱矩陣． 因為A,B是正定矩陣，故它們皆為實對稱矩陣，且有可逆矩陣P、Q，使 A?PTP,B?QTQ 于是 AB?PTPQTQ 上式左乘Q，右乘Q?1得 Q(AB)Q?1?QPTPQT?(PQT)T(PQT) 這說明AB與對稱矩陣(PQT)T(PQT)相似；因為PQT是可逆矩陣，故矩陣(PQT)T(PQT)是正定矩陣，故它的特征值全大于零，所以AB的特征值也全大于零． 綜合上述知AB正定． 方法二 必要性同方法一，以下證明充分性． 由條件AB=BA得 (AB)T?(BA)T?ATBT?AB 因此AB是對稱矩陣． 由于A正定，所以存在可逆矩陣Q，使 A=QQ 于是 TTTT? ?E?AB??E?QQB??E?QQBQ(Q) T ??QTE(QT)?1?QT(QBQT)(QT)?1?QT?E?QBQT(QT)?1??E?QBQTT ?E?AB?0??E?QBQT?0 這說明AB與QBQ有相同的特征值． 因為B是正定矩陣，易見QBQ也是正定矩陣，故它的特征值全大于零，所以AB的特征值也全大于零． · ·136 T綜合上述知AB正定． 39．設A、B為實對稱矩陣，且A為正定矩陣，證明：AB的特征值全是實數． 證：因為A是正定矩陣，故存在可逆矩陣Q，使A?QTQ，于是有 ?E?AB??E?QTQB??E?QT(QBQT)(QT)?1?Q?E?QBQ(Q)即|?E?AB|?0?|?E?QBQT|?0.TTTT?1??E?QBQT 因為B是實對稱矩陣，所以QBQ也是實對稱矩陣，因此它的特征值都是實數，故AB的特征值也都是實數． 40．設A是正定矩陣，B是實反對稱矩陣，則AB的特征值的實部為零． 證：因為A是正定矩陣，故存在可逆矩陣Q，使A?QTQ ?E?AB??E?QTQB??E?QT(QBQT)(QT)?1?Q?E?QBQ(Q)AB的特征值實部也為零． TTT?1??E?QBQT 因為B是實反對稱矩陣，所以QBQT也是實反對稱矩陣，因此它的特征值實部為零，故 41．設A是正定矩陣，B是半正定的實對稱矩陣，則AB的特征值是非負的實數． 證：由于A是正定的，所以A也是正定的，于是存在可逆矩陣P，使得A因此 ?1?1?PTP，?E?AB?A?A?1?B?A?PTP?B?APT?E?(PT)?1BP?1P ?APTP?E?(PT)?1BP?1?AA?1?E?(PT)?1BP?1??E?(PT)?1BP?1??E?(P?1)TBP?1 ?1T?1即?E?AB?0??E?(P)BP?0.由于B是半正定的實對稱矩陣，故(P)BP?1T?1是半正定的實對稱矩陣，因此?E?(P?1)TBP?1?0的根是非負實數．于是?E?AB?0的根也是非負實數，即AB的特征值是非負的實數． 42．求證實二次型f(x1,?,xn)? 證：二次型的矩陣為 ??(krs?r?s)xx的秩和符號差與k無關． rsr?1s?1nn2k?33k?4?k?2?2k?34k?46k?5?6k?59k?6A??3k?4?????nk?(n?1)2nk?(n?2)3nk?(n?3)? ?nk?(n?1)??2nk?(n?2)??3nk?(n?3)? ???2?nk?2n??·137· 對矩陣A作合同變換，即把A的第1行的(-2)，(-3)，…，(-n)倍加到第2，3，…，n行上；同時把A的第1列的(-2)，(-3)，…，(-n)倍加到第2，3，…，n列上，得到與矩陣A合同的矩陣B為 ?2??(n?1)?0?0?0?0? ????0?0??k?2,?2,??(n?1)倍依次加到第1，3，對矩陣B作合同變換，即把B的第2行的2k?2,?2,??(n?1)倍依次加到第1，3，4，…，n4，…，n行上；同時把B的第2列的2列上，得到與矩陣B合同的矩陣C為 ?k?2??1B???2?????(n?1)??100?0?0??1C??0????0??100?0000?0?0??0??0? ????0??由合同變換的傳遞性，故A與C合同，于是原二次型可經可逆線性變換化簡成 f(x1,?,xn)??2y1y2 ?y1?z1?z2?再作可逆線性變換 ?y2?z1?z2?y?zi?i于是二次型f化成規范形 (i?3,?,n)2 f(x1,?,xn)??2z12?2z 2顯然二次型f(x1,?,xn)的秩為2，符號差為0，它們的值均與k無關． 43．設二次型f?a時，二次型f正定． 證：二次型 f的矩陣A的各階順序主子式的值與它的階數n的奇偶性有關： （1）當n=2m+1時，二次型f的矩陣為 ?xi?1n2i?bi?n?i?1?xxinn?i?1，其中a、b為實數，問a、b滿足什么條件 b??a??????ab??A??a? ba???????ba??? · ·138它的各階順序主子式為 a,?,am?1,am(a2?b2),am?1(a2?b2)2,?,a(a2?b2)m （2）當n=2m時，二次型f的矩陣為 b??a??????ab? A??ba???????ba???它的各階順序主子式為 a,?,am,am?1(a2?b2),am?2(a2?b2)2,?,(a2?b2)m 綜合（1），（2）可知：當a?0且a2?b2時，二次型f是正定的． 44．設A為n階實對稱矩陣，r(A)=n,Aij是A?(aij)n?n中元素aij的代數余子式 nnAijxixj(i,j?1,2,?,n)，二次型f(x1,x2,?,xn)???i?1j?1A?1 （1）記X?(x1,x2,?,xn)T，把f(x1,x2,?,xn)寫成矩陣形式，并證明二次型f（X）的矩陣為A． （2）二次型g(X)?XAX與f(X)的規范形是否相同？說明理由． 證：方法一 （1）因為A是實對稱矩陣，故AijT?Aji．由r(A)=n, 故A可逆，且 A?1?1*A A二次型f(x1,x2,?,xn)的矩陣形式為 ?A11A21?An1??x1?1?AA?An2??x2?f(X)?(x1,x2,?,xn)?1222???? ???A???AA?A????x?nn??n??1n2n?1?1?1TT?1?1從而(A)?(A)?A.故A也是實對稱矩陣，因此二次型f(X)的矩陣為A． ?1?1T?1T?1?1 （2）因為(A)AA?(A)E?A，所以A與A合同，于是二次型g(X)?XTAX與f(X)有相同的規范形． 方法二 （1）同證法１ （2）對二次型g(X)?XAX作可逆線性變換，X?AY, 其中 T?1Y?(y1,y2,?,yn)T,則 T?1T?1T?1?1TT?1?1 g(X)?XAX?(AY)A(AY)=Y(A)AAY=Y(A)AAY=YAY T?1由此可知A與A合同，二次型g(X)?XAX與f(X)有相同的規范形． ·139· ?1T 45．試說明二次型 f(x1,x2,x3)?(x1?x2?x3)2?[ax1?(a?d1)x2?(a?2d1)x3]2 +n?[(a?d)xii?22 ?(a?2d)x?(a?3d)x]1i2i3當d1?0時，無論n為何值，f(x1,x2,x3)的秩均為2． 解：f?XT(ATA)X，其中 ?1??aA??a?d2????a?dn?1a?d1a?2d2?a?2dn1??a?2d1?a?3d2? ???a?3dn???111??0d12d1?行對矩陣A作行的初等變換，可得A????000?.????????000??? 所以當d1?0時，A的秩為2，這與n的取值無關，因此二次型f的秩為2． 46．已知A是n階正定矩陣，令二次型f(x1,x2,?,xn)?XTAX?xn的矩陣為B，求證：（1）B是正定矩陣；（2）B?A． 證：（1）設 ?a11?aA??21????an1?a11?a21則 B?????a?n1a12?a1n??a22?a2n?，aij?aji ????an2?ann?a12?a1n?a22?a2n?? ???an2?ann?1?? 顯然B為實對稱矩陣，且B與A的前n-1階順序主子式完全相同，由于A是正定矩陣，故它的各階順序主子式全大于零，因此B的前n-1階順序主子式也全大于零． 現考慮B的第n階順序主子式即它的行列式，有 a11a B?21?an1可見B是正定矩陣． · ·140a12?a1na11?a1n?1a22?a2n??+ an?11?an?1n?1??an2?annan1?ann?10?=A?An?1?0 （*）01 （2）由（*）即知B?A． 47．設n元實二次型f?XTAX，?1,?2,?,?n 是A的特征值，且?1??2????n． 證明：對于任一實維列向量X有?1XTX?XTAX??nXTX.證：設?1,?2,?,?n是f的特征值，則存在正交變換X=PY，使 f?XTAX?YT(PTAP)Y??1y12??2y2????nyn 由已知條件?1??2????n，有 ?1YTY?f?XTAX??nYTY （1） 又因為P是正交矩陣，于是有 XTX?YTPTPY?YTY 將此結果代入（1）即為 ?1XTX?XTAX??nXTX 48．證明：若二次型??ai?1i?1nnijxixj?XTAX是正定二次型，則 a11a21f(y1,y2,?,yn)??an1y1是負定二次型． a12a22?an2y2?a1n?a2n??ann?yny1y2? yn0 證：因為f 是正定二次型，故它的表示矩陣A是正定矩陣，因此A是可逆矩陣，作可逆線性變換Y=AZ．對上述行列式的列作消法變換，將第j列的-zj(j?1,2,?,n)倍加入第n+1列，其中Z?(z1,z2,?,zn)T,則 a11a21 f(y1,y2,?,yn)??an1y1a12a22?an2y2?a1n?a2n??ann?yny1a11y2a21???ynan10y1a12a22?an2y2?a1n0?a2n0 ???ann0?yn?(y1z1?y2z2??ynzn)TTTT ??A(y1z1?y2z2??ynzn)=?AYZ=?AZAZ=?AZAZ 因為A是正定矩陣，所以?A<0，可見f(y1,y2,?,yn)是負定二次型． 49．設A是正定矩陣，則 （1）A?annAn?1，其中An?1是A的n-1階順序主子式； （2）A?a11a22?ann． 解：（1）因為A是正定矩陣，故 ·141· ?a11a12?a1n?1??a21a22?a2n?1?An?1??? ??????a?a?an?1n?1??n?11n?12也是正定矩陣，于是由48題知 a11?a1n?1y1??? fn?1(y1,y2,?,yn?1)= an?11?an?1n?1yn?1y1?yn?10是負定二次型，因此由行列式的加法運算有 a11?a1n?1a1na11?a1n?1?????A??an?11?an?1n?1an?1nan?11?an?1n?1an1?ann?10an1?ann?1其中An?1為A的順序主子式． ?0??fn?1(a1n,a2n,?,an?1n)?annAn?1 0ann當a1n,a2n,?,an?1n中至少有一個不為零時，fn?1(a1n,a2n,?,an?1n)<0 A 50．設P?(pij)n?n是n階可逆矩陣，求證：P222??(p12j?p2j???pnj).j?1n?p11p21?pn??1p???pp?p1222n2p?? 證：PTP????????????pp?p2nnn??pn?1nTpp21?1pn11?pn???pn?22????p2nn?12?n2??pi1?i?11??2?????*???pi?1n2i?*???2? ????n2?pin??i?1? 因為P是可逆矩陣，故PP是正定矩陣，由49題的結論（2），有 22PP??(?p)??(p12j?p2j???pnj)T2ijj?1i?1j?12nnn顯然 PP?P，所以有PT222??(p12j?p2j???pnj).j?1n · ·142第三篇：二次函數
第四篇：二次函數
第五篇：線性代數二次型習題及答案
點擊咨詢 