考點分析：二次函數的實際應用考察銷售利潤方案問題是最常見的，并且根據二次函數的性質，在一定的范圍內，求出符合要求的最大值得出最大利潤，那么我們就要對銷售利潤問題的知識掌握熟練，以下知識點能很好的幫助我們解決這類題目。

總利潤=單個的利潤

×

總數量

單個的利潤=

售價—進價

利潤率=利潤

÷成本

遇到二次函數的應用題我們需要考慮以下問題：

1.看清題目，理清楚條件，弄懂題目的意思，知道要求什么，便于我們找準合適的自變量X與相應的函數Y，這是開頭也是非常重要的。

2.條件整理清楚后，抓住數量關系列出函數關系式，如果要研究面積那就根據求解面積來列式，如果要求利潤那就列關于利潤的表達式。

3.列完函數表達式之后要求最值，那么這里要首先寫清楚自變量的取值范圍，這一點很容易被忽略掉，自變量的取值決定著函數的最值在哪里可以取。

【例1】我市某鎮的一種特產由于運輸原因，長期只能在當地銷售．當地政府對該特產的銷售投資收益為：每投入x萬元，可獲得利潤P＝－(x－60)2＋41(萬元)．當地政府擬在“十二·五”規劃中加快開發該特產的銷售，其規劃方案為：在規劃前后對該項目每年最多可投入100萬元的銷售投資，在實施規劃5年的前兩年中，每年都從100萬元中撥出50萬元用于修建一條公路，兩年修成，通車前該特產只能在當地銷售；公路通車后的3年中，該特產既在本地銷售，也在外地銷售．在外地銷售的投資收益為：每投入x萬元，可獲利潤Q＝－(100－x)2＋(100－x)＋160(萬元)．

(1)若不進行開發，求5年所獲利潤的最大值是多少；

(2)若按規劃實施，求5年所獲利潤(扣除修路后)的最大值是多少；

(3)根據(1)、(2)，該方案是否具有實施價值？

【解析】(1)當x＝60時，P最大且為41萬元，故五年獲利最大值是41×5＝205(萬元)．

(2)前兩年：0≤x≤50，此時因為P隨x的增大而增大，所以x＝50時，P值最大且為40萬元，所以這兩年獲利最大為40×2＝80(萬元)．

后三年：設每年獲利為y萬元，當地投資額為x萬元，則外地投資額為(100－x)萬元，所以y＝P＋Q＝＋＝－x2＋60x＋165＝－(x－30)2＋1

065，表明x＝30時，y最大且為1

065，那么三年獲利最大為1

065×3＝3

195(萬元)，故五年獲利最大值為80＋3

195－50×2＝3

175(萬元)．

(3)有極大的實施價值．

方法總結

運用二次函數的性質解決生活和實際生產中的最大值和最小值問題是最常見的題目類型，解決這類問題的方法是：

1．列出二次函數的關系式，列關系式時，要根據自變量的實際意義，確定自變量的取值范圍．

2．在自變量取值范圍內，運用公式法或配方法求出二次函數的最大值和最小值．

同步練習

某服裝店購進一批秋衣，價格為每件30元．物價部門規定其銷售單價不高于每件60元，不低于每件30元．經市場調查發現：日銷售量y(件)是銷售單價x(元)的一次函數，且當x＝60時，y＝80；x＝50時，y＝100.在銷售過程中，每天還要支付其他費用450元．

(1)求出y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)求該服裝店銷售這批秋衣日獲利W(元)與銷售單價x(元)之間的函數關系式；

(3)當銷售單價為多少元時，該服裝店日獲利最大？最大獲利是多少元？

【例2】某公司銷售某一種新型通訊產品，已知每件產品的進價為4萬元，每月銷售該種產品的總開支(不含進價)總計11萬元．在銷售過程中發現，月銷售量y(件)與銷售單價x(萬元)之間存在著如圖3－2－2所示的一次函數關系．

(1)求y關于x的函數關系式(直接寫出結果)；

(2)試寫出該公司銷售該種產品的月獲利z(萬元)關于銷售單價x(萬元)的函數關系式，當銷售單價x為何值時，月獲利最大？并求這個最大值(月獲利＝月銷售額－月銷售產品總進價－月總開支)；

圖3－2－2

(3)若公司希望該產品一個月的銷售獲利不低于5萬元，借助(2)中函數的圖象，請你幫助該公司確定銷售單價的范圍．在此情況下，要使產品銷售量最大，你認為銷售單價應定為多少萬元．

(2)根據題意得z＝(x－4)y－11

＝(x－4)－11

＝－x2＋10x－43

第5題答圖

＝－(x－10)2＋7，∴當x＝10萬元時，最大月獲利為7萬元．

(3)令z＝5，得5＝－x2＋10x－43，整理，得x2－20x＋96＝0，解得x1＝8，x2＝12，由圖象(如答圖)可知，要使月獲利不低于5萬元，銷售單價應在8萬元到12萬元之間．

∵銷售單價越低，銷售量越大，∴要使銷售量最大，又要使月獲利不低于5萬元，銷售單價應定為8萬元．

同步練習

某公司銷售A，B兩種產品，根據市場調研，確定兩條信息：信息①：銷售A種產品所獲利潤y(萬元)與銷售產品重量x(t)之間存在二次函數關系，如圖3－2－1所示；信息②：銷售B種產品所獲利潤y(萬元)與銷售產品重量x(t)之間存在正比例函數關系：y＝0.3x.根據以上信息，解答下列問題：

(1)求二次函數的表達式；

(2)該公司準備購進A，B兩種產品共10

t，求銷售A，B兩種產品獲得的利潤之和最大是多少萬元．

圖3－2－1

(2)設購進A產品m

t，購進B產品(10－m)t，銷售A，B兩種產品獲得的利潤之和為W元，則W＝－0.1m2＋1.5m＋0.3(10－m)

＝－0.1m2＋1.2m＋3＝－0.1(m－6)2＋6.6，∵－0.1＜0，∴當m＝6時，W取得最大值，最大值為6.6萬元．

答：當購進A產品6

t，購進B產品4

t時，銷售A，B兩種產品獲得的利潤之和最大，最大利潤是6.6萬元．

練習：

1.某商人將進價為8元的商品按每件10元出售，每天可銷售100件，已知這種商品每提高2元，其銷量就要減少10件，為了使每天所賺利潤最多，該商人應將銷售價(為偶數)提高

()

A．8元或10元

B.12元

C．8元

D.10元

2．某大學生利用業余時間銷售一種進價為60元/件的文化衫，前期了解并整理了銷售這種文化衫的相關信息如下：

(1)月銷量y(件)與售價x(元)的關系滿足：y＝－2x＋400；

(2)工商部門限制銷售價x滿足：70≤x≤150(計算月利潤時不考慮其他成本)．給出下列結論：

①這種文化衫的月銷量最小為100件；

②這種文化衫的月銷量最大為260件；

③銷售這種文化衫的月利潤最小為2

600元；

④銷售這種文化衫的月利潤最大為9

000元．

其中正確的是__①②③__(把所有正確結論的序號都填上)．

【解析】

由題意知當70≤x≤150時，y＝－2x＋400，∵－2＜0，y隨x的增大而減小，∴當x＝150時，y取得最小值，最小值為100，故①正確；當x＝70時，y取得最大值，最大值為260，故②正確；設銷售這種文化衫的月利潤為W，則W＝(x－60)(－2x＋400)＝－2(x－130)2＋9

800，∵70≤x≤150，∴當x＝70時，W取得最小值，最小值為－2×(70－130)2＋9

800＝2

600元，故③正確；當x＝130時，W取得最大值，最大值為9

800元，故④錯誤．故答案為①②③.3.某廠按用戶的月需求量x(件)完成一種產品的生產，其中x＞0，每件的售價為18萬元，每件的成本y(萬元)是基礎價與浮動價的和，其中基礎價保持不變，浮動價與月需求量x(件)成反比，經市場調研發現，月需求量x與月份n(n為整數，1≤n≤12)符合關系式x＝2n2－2kn＋9(k＋3)(k為常數)，且得到了表中的數據．

月份n(月)

成本y(萬元/件)

需求量x(件/月)

120

(1)求y與x滿足的關系式，請說明一件產品的利潤能否是12萬元；

(2)求k，并推斷是否存在某個月既無盈利也不虧損；

(3)在這一年12個月中，若第m個月和第(m＋1)個月的利潤相差最大，求m.(2)將n＝1，x＝120代入x＝2n2－2kn＋9(k＋3)，得

120＝2－2k＋9k＋27，解得k＝13，∴x＝2n2－26n＋144，將n＝2，x＝100代入x＝2n2－26n＋144也，等式成立，∴k＝13.由題意，得18＝6＋，解得x＝50，∴50＝2n2－26n＋144，即n2－13n＋47＝0，∵Δ＝(－13)2－4×1×47＜0，∴方程無實數根，∴不存在某個月既不盈利也不虧損；

(3)設第m個月的利潤為W，則

W＝x(18－y)＝18x－x＝12(x－50)

＝24(m2－13m＋47)，∴第(m＋1)個月的利潤為W′＝24[(m＋1)2－13(m＋1)＋47]＝24(m2－11m＋35)，若W≥W′，則W－W′＝48(6－m)，m取最小1，W－W′取得最大值240；

若W＜W′，則W′－W＝48(m－6)，由m＋1≤12知m取最大11，W′－W取得最大值240.∴m＝1或11.4.某公司生產一種新型節能電水壺并加以銷售，現準備在甲城市和乙城市兩個不同地方按不同銷售方案進行銷售，以便開拓市場．

若只在甲城市銷售，銷售價格為y(元/件)，月銷量為x(件)，y是x的一次函數，如表所示：

月銷量x(件)

500

000

銷售價格y(元/件)

185

180

成本為50元/件，無論銷售多少，每月還需支出廣告費72

500元，設月利潤為W甲(元)(利潤＝銷售額－成本－廣告費)．

若只在乙城市銷售，銷售價格為200元/件，受各種不確定因素影響，成本為a元/件(a為常數，40≤a≤70)，當月銷量為x(件)時，每月還需繳納x2元的附加費，設月利潤為W乙(元)(利潤＝銷售額－成本－附加費)．

(1)當x＝1

000時，y甲＝__190__元/件，W甲＝__67_500__元；

(2)分別求出W甲，W乙與x間的函數關系式(不必寫出x的取值范圍)；

(3)當x為何值時，在甲城市銷售的月利潤最大(銷售價格不得低于成本)？若在乙城市銷售月利潤的最大值與在甲城市銷售月利潤的最大值相同，求a的值；

(4)如果某月要將5

000件產品全部銷售完，請你通過分析幫公司決策，選擇在甲城市還是在乙城市銷售才能使所獲月利潤較大？

(2)W甲＝－x2＋150x－72

500，W乙＝－x2＋(200－a)x；

(3)∵y甲＝－x＋200＞50，∴0＜x＜15

000，∴當x＝－＝7

500時，W甲最大．

由題意，得

＝，解得a1＝60，a2＝340(不合題意，舍去)，∴a＝60；

《中考壓軸題全揭秘》

專題06

反比例函數問題

一、單選題

1．已知反比例函數的解析式為，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

2．如圖，直角三角形的直角頂點在坐標原點，∠OAB=30°，若點A在反比例函數y=（x＞0）的圖象上，則經過點B的反比例函數解析式為（）

A．y=﹣

B．y=﹣

C．y=﹣

D．y=

3．如圖，點C在反比例函數y=（x>0）的圖象上，過點C的直線與x軸，y軸分別交于點A，B，且AB=BC，△AOB的面積為1，則k的值為（）

A．1

B．2

C．3

D．4

4．如圖，點A在雙曲線y═（x＞0）上，過點A作AB⊥x軸，垂足為點B，分別以點O和點A為圓心，大于OA的長為半徑作弧，兩弧相交于D，E兩點，作直線DE交x軸于點C，交y軸于點F（0，2），連接AC．若AC=1，則k的值為（）

A．2

B．

C．

D．

5．已知關于的方程有唯一實數解，且反比例函數的圖象在每個象限內隨的增大而增大，那么反比例函數的關系式為（）

A．

B．

C．

D．

6．在同一平面直角坐標系中，反比例函數y（b≠0）與二次函數y＝ax2+bx（a≠0）的圖象大致是（）

7．如圖，平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別落在x、y軸上，點B坐標為（6，4），反比例函數的圖象與AB邊交于點D，與BC邊交于點E，連結DE，將△BDE沿DE翻折至△B＇DE處，點B＇恰好落在正比例函數y=kx圖象上，則k的值是（）

A．

B．

C．

D．

8．如圖，在同一平面直角坐標系中，一次函數y1=kx+b（k、b是常數，且k≠0）與反比例函數y2=（c是常數，且c≠0）的圖象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）兩點，則不等式y1＞y2的解集是（）

A．﹣3＜x＜2

B．x＜﹣3或x＞2

C．﹣3＜x＜0或x＞2

D．0＜x＜2

9．如圖，菱形ABCD的邊AD⊥y軸，垂足為點E，頂點A在第二象限，頂點B在y軸的正半軸上，反比例函數y=（k≠0，x＞0）的圖象同時經過頂點C，D．若點C的橫坐標為5，BE=3DE，則k的值為（）

A．

B．3

C．

D．5

10．如圖，一次函數y=2x與反比例函數y=（k＞0）的圖象交于A，B兩點，點P在以C（﹣2，0）為圓心，1為半徑的⊙C上，Q是AP的中點，已知OQ長的最大值為，則k的值為（）

A．

B．

C．

D．

11．如圖，直線y=﹣x與反比例函數y=的圖象交于A，B兩點，過點B作BD∥x軸，交y軸于點D，直線AD交反比例函數y=的圖象于另一點C，則的值為（）

A．1：3

B．1：2

C．2：7

D．3：10

12．如圖，曲線C2是雙曲線C1：y=（x＞0）繞原點O逆時針旋轉45°得到的圖形，P是曲線C2上任意一點，點A在直線l：y=x上，且PA=PO，則△POA的面積等于（）

A．

B．6

C．3

D．12

13．如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點O與坐標原點重合，頂點A、C分別在x軸、y軸上，反比例函數y=（k≠0，x＞0）的圖象與正方形OABC的兩邊AB、BC分別交于點M、N，ND⊥x軸，垂足為D，連接OM、ON、MN，則下列選項中的結論錯誤的是（）

A．△ONC≌△OAM[來源:Z*X*X*K]

B．四邊形DAMN與△OMN面積相等

C．ON=MN

D．若∠MON=45°，MN=2，則點C的坐標為（0，+1）

14．如圖，∠AOB=90°，且OA、OB分別與反比例函數y=（x＞0）、y=﹣（x＜0）的圖象交于A、B兩點，則tan∠OAB的值是（）

A．

B．

C．1

D．

15．如圖，是函數上兩點，為一動點，作軸，軸，下列說法正確的是（）

①；②；③若，則平分；④若，則

A．①③

B．②③

C．②④

D．③④

16．如圖，P為反比例函數y=（k＞0）在第一象限內圖象上的一點，過點P分別作x軸，y軸的垂線交一次函數y=﹣x﹣4的圖象于點A、B．若∠AOB=135°，則k的值是（）

A．2

B．4

C．6

D．8

二、填空題

17．如圖，矩形OABC的邊OA，OC分別在軸、軸上，點B在第一象限，點D在邊BC上，且∠AOD=30°，四邊形OA′B′D與四邊形OABD關于直線OD對稱（點A′和A，B′和B分別對應），若AB=1，反比例函數的圖象恰好經過點A′，B，則的值為_________．

18．如圖，點A是反比例函數y=（x＞0）圖象上一點，直線y=kx+b過點A并且與兩坐標軸分別交于點B，C，過點A作AD⊥x軸，垂足為D，連接DC，若△BOC的面積是4，則△DOC的面積是______．

19．已知直線

y=ax（a≠0）與反比例函數

y=（k≠0）的圖象一個交點

坐標為（2，4），則它們另一個交點的坐標是_____．

20．在平面直角坐標系中，四邊形AOBC為矩形，且點C坐標為（8,6），M為BC中點，反比例函數（k是常數，k≠0）的圖象經過點M，交AC于點N，則MN的長度是________.21．如圖，反比例函數y=的圖象經過?ABCD對角線的交點P，已知點A，C，D在坐標軸上，BD⊥DC，?ABCD的面積為6，則k=_____．

22．如圖，直線AB與雙曲線y=（k＜0）交于點A，B，點P是直線AB上一動點，且點P在第二象限．連接PO并延長交雙曲線于點C．過點P作PD⊥y軸，垂足為點D．過點C作CE⊥x軸，垂足為E．若點A的坐標為（﹣2，3），點B的坐標為（m，1），設△POD的面積為S1，△COE的面積為S2，當S1＞S2時，點P的橫坐標x的取值范圍為__．

23．如圖，矩形OABC的邊AB與x軸交于點D，與反比例函數(k>0)在第一象限的圖像交于點E，∠AOD=30°，點E的縱坐標為1，ΔODE的面積是，則k的值是________

24．以矩形ABCD兩條對角線的交點O為坐標原點，以平行于兩邊的方向為坐標軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，BE⊥AC，垂足為E．若雙曲線y=（x＞0）經過點D，則OB?BE的值為___．

25．如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數y=（k＞0）的圖象與半徑為5的⊙O交于M、N兩點，△MON的面積為3.5，若動點P在x軸上，則PM+PN的最小值是_____．

26．設雙曲線與直線交于，兩點（點在第三象限），將雙曲線在第一象限的一支沿射線的方向平移，使其經過點，將雙曲線在第三象限的一支沿射線的方向平移，使其經過點，平移后的兩條曲線相交于點，兩點，此時我們稱平移后的兩條曲線所圍部分（如圖中陰影部分）為雙曲線的“眸”，為雙曲線的“眸徑”.當雙曲線的眸徑為6時，的值為__________.27．如圖，已知等邊△，頂點在雙曲線上，點的坐標為．過作交雙曲線于點，過作交軸于點，得到第二個等邊△；過作交雙曲線于點，過作交軸于點，得到第三個等邊△；以此類推，則點的坐標為__．

28．如圖，矩形ABCD的頂點A，B在x軸上，且關于y軸對稱，反比例函數y=（x＞0）的圖象經過點C，反比例函數y=（x＜0）的圖象分別與AD，CD交于點E，F，若S△BEF=7，k1+3k2=0，則k1等于_____．

三、解答題

29．已知反比例函數的圖象經過三個點A（﹣4，﹣3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞0．

（1）當y1﹣y2=4時，求m的值；

（2）如圖，過點B、C分別作x軸、y軸的垂線，兩垂線相交于點D，點P在x軸上，若三角形PBD的面積是8，請寫出點P坐標（不需要寫解答過程）．

30．如圖所示，在平面直角坐標系中，一次函數y=kx+b(k≠0)與反比例函數y=(m≠0)的圖象交于第二、四象限A、B兩點，過點A作AD⊥x軸于D，AD=4，sin∠AOD=，且點B的坐標為(n,-2)．

（1）求一次函數與反比例函數的解析式；

（2）E是y軸上一點，且△AOE是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的E點坐標．

31．如圖，已知點A在反比例函數(x>0)的圖象上，過點A作AC⊥x軸，垂足是C，AC=OC．一次函數y=kx+b的圖象經過點A，與y軸的正半軸交于點B．

（1）求點A的坐標；

（2）若四邊形ABOC的面積是3，求一次函數y=kx+b的表達式．

32．如圖，四邊形ABCD的四個頂點分別在反比例函數與(x＞0，0＜m＜n)的圖象上，對角線BD//y軸，且BD⊥AC于點P．已知點B的橫坐標為4．

（1）當m=4，n=20時．

①若點P的縱坐標為2，求直線AB的函數表達式．

②若點P是BD的中點，試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由．

（2）四邊形ABCD能否成為正方形？若能，求此時m，n之間的數量關系；若不能，試說明理由．

[來源:ZXXK]

33．如圖，菱形ABCD的頂點A在y軸正半軸上，邊BC在x軸上，且BC=5，sin∠ABC=，反比例函數（x>0）的圖象分別與AD，CD交于點M、點N，點N的坐標是（3，n），連接OM，MC.（1）求反比例函數的解析式；

（2）求證：△OMC是等腰三角形.34．如圖，一次函數的圖像與反比例函數(k＞0)的圖像交于A，B兩點，過點A做x軸的垂線，垂足為M，△AOM面積為1.（1）求反比例函數的解析式；

（2）在y軸上求一點P,使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P點坐標.35．如圖，在平面直角坐標系中，A點的坐標為（a，6），AB⊥x軸于點B，cos∠OAB═，反比例函數y=的圖象的一支分別交AO、AB于點C、D．延長AO交反比例函數的圖象的另一支于點E．已知點D的縱坐標為．

（1）求反比例函數的解析式；

（2）求直線EB的解析式；

（3）求S△OEB．

[來源:Z。X。X。K]

36．某蔬菜生產基地的氣溫較低時，用裝有恒溫系統的大棚栽培一種新品種蔬菜．如圖是試驗階段的某天恒溫系統從開啟到關閉后，大棚內的溫度y

（℃）與時間x（h）之間的函數關系，其中線段AB、BC表示恒溫系統開啟階段，雙曲線的一部分CD表示恒溫系統關閉階段．

請根據圖中信息解答下列問題：

（1）求這天的溫度y與時間x（0≤x≤24）的函數關系式；[來源:]

（2）求恒溫系統設定的恒定溫度；

（3）若大棚內的溫度低于10℃時，蔬菜會受到傷害．問這天內，恒溫系統最多可以關閉多少小時，才能使蔬菜避免受到傷害？

37．如圖，在平面直角坐標系xOy中，函數y=（m為常數，m＞1，x＞0）的圖象經過點P（m，1）和Q（1，m），直線PQ與x軸，y軸分別交于C，D兩點，點M（x，y）是該函數圖象上的一個動點，過點M分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為A，B．

（1）求∠OCD的度數；

（2）當m=3，1＜x＜3時，存在點M使得△OPM∽△OCP，求此時點M的坐標；

（3）當m=5時，矩形OAMB與△OPQ的重疊部分的面積能否等于4.1？請說明你的理由．

38．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A是反比例函數y=（x＞0，m＞1）圖象上一點，點A的橫坐標為m，點B（0，﹣m）是y軸負半軸上的一點，連接AB，AC⊥AB，交y軸于點C，延長CA到點D，使得AD=AC，過點A作AE平行于x軸，過點D作y軸平行線交AE于點E．

（1）當m=3時，求點A的坐標；

（2）DE=，設點D的坐標為（x，y），求y關于x的函數關系式和自變量的取值范圍；

（3）連接BD，過點A作BD的平行線，與（2）中的函數圖象交于點F，當m為何值時，以A、B、D、F為頂點的四邊形是平行四邊形？

39．如圖是輪滑場地的截面示意圖，平臺AB距x軸（水平）18米，與y軸交于點B，與滑道y=（x≥1）交于點A，且AB=1米．運動員（看成點）在BA方向獲得速度v米/秒后，從A處向右下飛向滑道，點M是下落路線的某位置．忽略空氣阻力，實驗表明：M，A的豎直距離h（米）與飛出時間t（秒）的平方成正比，且t=1時h=5，M，A的水平距離是vt米．

（1）求k，并用t表示h；

（2）設v=5．用t表示點M的橫坐標x和縱坐標y，并求y與x的關系式（不寫x的取值范圍），及y=13時運動員與正下方滑道的豎直距離；

（3）若運動員甲、乙同時從A處飛出，速度分別是5米/秒、v乙米/秒．當甲距x軸1.8米，且乙位于甲右側超過4.5米的位置時，直接寫出t的值及v乙的范圍．

40．菱形ABCD在平面直角坐標系中的位置如圖所示，對角線AC與BD的交點E恰好在y軸上，過點D和BC的中點H的直線交AC于點F，線段DE，CD的長是方程x2﹣9x+18=0的兩根，請解答下列問題：

（1）求點D的坐標；[來源:]

（2）若反比例函數y=（k≠0）的圖象經過點H，則k=；

（3）點Q在直線BD上，在直線DH上是否存在點P，使以點F，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．