第一篇：二次函數(shù)問題是近幾年來中考
二次函數(shù)問題是近幾年來中考、高考的壓軸題，因為一方面二次函數(shù)的基本內(nèi)容與近現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展有密切聯(lián)系，是學習高等數(shù)學極為重要的知識點，另一方面圍繞二次函數(shù)能全面考查對函數(shù)性態(tài)的分析，以二次函數(shù)為載體把數(shù)（計算、證明）與形（圖象）融合起來，把方程、不等式、絕對值等知識融合起來，圍繞著二次問題，溝通了一元二次函數(shù)、一元二次不等式、一元二次方程問題的內(nèi)在聯(lián)系，很好的體現(xiàn)了數(shù)學學科的內(nèi)在聯(lián)系和知識綜合運用，體現(xiàn)了在知識網(wǎng)絡(luò)交匯點上設(shè)計試題的指導思想。縱觀歷屆中考對二次函數(shù)的考察，反復出現(xiàn)的內(nèi)容可以歸納為以下幾點：二次函數(shù)的定義式問題，解析式問題(求參數(shù))，圖像問題，圖像平移問題，二次函數(shù)與方程、不等式問題，含絕對值的二次函數(shù)問題，二次函數(shù)的最值問題，以及二次函數(shù)和直線相交問題，二次函數(shù)實際應(yīng)用問題。
第二篇：2018中考數(shù)學專題二次函數(shù)
2018中考數(shù)專題二次函數(shù)
（共40題）
1．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與直線AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）兩點，直線AC：y=﹣x﹣6交y軸于點C．點E是直線AB上的動點，過點E作EF⊥x軸交AC于點F，交拋物線于點G．
（1）求拋物線y=﹣x2+bx+c的表達式；
（2）連接GB，EO，當四邊形GEOB是平行四邊形時，求點G的坐標；
（3）①在y軸上存在一點H，連接EH，HF，當點E運動到什么位置時，以A，E，F(xiàn)，H為頂點的四邊形是矩形？求出此時點E，H的坐標；
②在①的前提下，以點E為圓心，EH長為半徑作圓，點M為⊙E上一動點，求AM+CM它的最小值．
2．如圖，拋物線y=a（x﹣1）（x﹣3）與x軸交于A，B兩點，與y軸的正半軸交于點C，其頂點為D．
（1）寫出C，D兩點的坐標（用含a的式子表示）；（2）設(shè)S△BCD：S△ABD=k，求k的值；
（3）當△BCD是直角三角形時，求對應(yīng)拋物線的解析式．
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3．如圖，直線y=kx+b（k、b為常數(shù)）分別與x軸、y軸交于點A（﹣4，0）、B（0，3），拋物線y=﹣x2+2x+1與y軸交于點C．（1）求直線y=kx+b的函數(shù)解析式；
（2）若點P（x，y）是拋物線y=﹣x2+2x+1上的任意一點，設(shè)點P到直線AB的距離為d，求d關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求d取最小值時點P的坐標；
（3）若點E在拋物線y=﹣x2+2x+1的對稱軸上移動，點F在直線AB上移動，求CE+EF的最小值．
4．如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與y軸相交于點A（0，3），與x正半軸相交于點B，對稱軸是直線x=1（1）求此拋物線的解析式以及點B的坐標．
（2）動點M從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向運動，同時動點N從點O出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿y軸正方向運動，當N點到達A點時，M、N同時停止運動．過動點M作x軸的垂線交線段AB于點Q，交拋物線于點P，設(shè)運動的時間為t秒．
①當t為何值時，四邊形OMPN為矩形．
②當t＞0時，△BOQ能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．
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5．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點．（1）求拋物線的解析式；
（2）在第二象限內(nèi)取一點C，作CD垂直X軸于點D，鏈接AC，且AD=5，CD=8，將Rt△ACD沿x軸向右平移m個單位，當點C落在拋物線上時，求m的值；
（3）在（2）的條件下，當點C第一次落在拋物線上記為點E，點P是拋物線對稱軸上一點．試探究：在拋物線上是否存在點Q，使以點B、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
6．我們知道，經(jīng)過原點的拋物線可以用y=ax2+bx（a≠0）表示，對于這樣的拋物線：（1）當拋物線經(jīng)過點（﹣2，0）和（﹣1，3）時，求拋物線的表達式；（2）當拋物線的頂點在直線y=﹣2x上時，求b的值；
（3）如圖，現(xiàn)有一組這樣的拋物線，它們的頂點A1、A2、…，An在直線y=﹣2x上，橫坐標依次為﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n（n為正整數(shù)，且n≤12），分別過每個頂點作x軸的垂線，垂足記為B1、B2，…，Bn，以線段AnBn為邊向左作正方形AnBnCnDn，如果這組拋物線中的某一條經(jīng)過點Dn，求此時滿足條件的正方形AnBnCnDn的邊長．
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7．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象交坐標軸于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點，點P是直線BC下方拋物線上一動點．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）是否存在點P，使△POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由；
（3）動點P運動到什么位置時，△PBC面積最大，求出此時P點坐標和△PBC的最大面積．
8．如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA=4，OC=3，若拋物線經(jīng)過O，A兩點，且頂點在BC邊上，對稱軸交BE于點F，點D，E的坐標分別為（3，0），（0，1）．（1）求拋物線的解析式；
（2）猜想△EDB的形狀并加以證明；
（3）點M在對稱軸右側(cè)的拋物線上，點N在x軸上，請問是否存在以點A，F(xiàn)，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．
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9．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）點D為直線AC上方拋物線上一動點；
①連接BC、CD，設(shè)直線BD交線段AC于點E，△CDE的面積為S1，△BCE的面積為S2，求的最大值；
②過點D作DF⊥AC，垂足為點F，連接CD，是否存在點D，使得△CDF中的某個角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求點D的橫坐標；若不存在，請說明理由．
10．已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c+1，①當b=1時，求這個二次函數(shù)的對稱軸的方程；
②若c=﹣b2﹣2b，問：b為何值時，二次函數(shù)的圖象與x軸相切？
③若二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，與y軸的正半軸交于點M，以AB為直徑的半圓恰好過點M，二次函數(shù)的對稱軸l與x軸、直線BM、直線AM分別交于點D、E、F，且滿足
=，求二次函數(shù)的表達式．
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11．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，點B坐標為（6，0），點C坐標為（0，6），點D是拋物線的頂點，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．
（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；
（2）點F是拋物線上的動點，當∠FBA=∠BDE時，求點F的坐標；
（3）若點M是拋物線上的動點，過點M作MN∥x軸與拋物線交于點N，點P在x軸上，點Q在坐標平面內(nèi)，以線段MN為對角線作正方形MPNQ，請寫出點Q的坐標． 12．拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A（1，0）和點B（5，0）．（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）該拋物線與直線y=x+3相交于C、D兩點，點P是拋物線上的動點且位于x軸下方，直線PM∥y軸，分別與x軸和直線CD交于點M、N．
①連結(jié)PC、PD，如圖1，在點P運動過程中，△PCD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由；
②連結(jié)PB，過點C作CQ⊥PM，垂足為點Q，如圖2，是否存在點P，使得△CNQ與△PBM相似？若存在，求出滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．
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13．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與y軸交與點C（0，3），與x軸交于A、B兩點，點B坐標為（4，0），拋物線的對稱軸方程為x=1．（1）求拋物線的解析式；
（2）點M從A點出發(fā)，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動，同時點N從B點出發(fā)，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動，設(shè)△MBN的面積為S，點M運動時間為t，試求S與t的函數(shù)關(guān)系，并求S的最大值；
（3）在點M運動過程中，是否存在某一時刻t，使△MBN為直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由．
14．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c過點A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其頂點為D．（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點M（1，m），當MB+MD的值最小時，求m的值；
（3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值；
（4）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點N，E為直線AC上任意一點，過點E作EF∥ND交拋物線于點F，以N，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由．
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15．如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三點．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）點D是該二次函數(shù)圖象上的一點，且滿足∠DBA=∠CAO（O是坐標原點），求點D的坐標；
（3）點P是該二次函數(shù)圖象上位于第一象限上的一動點，連接PA分別交BC、y軸于點E、F，若△PEB、△CEF的面積分別為S1、S2，求S1﹣S2的最大值．
16．如圖，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過B（﹣1，0），D（﹣2，5）兩點，與x軸另一交點為A，點H是線段AB上一動點，過點H的直線PQ⊥x軸，分別交直線AD、拋物線于點Q，P．（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在點P，使∠APB=90°，若存在，求出點P的橫坐標，若不存在，說明理由；（3）連接BQ，一動點M從點B出發(fā)，沿線段BQ以每秒1個單位的速度運動到Q，再沿線段QD以每秒個單位的速度運動到D后停止，當點Q的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時t最少？
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17．如圖1，拋物線C1：y=x2+ax與C2：y=﹣x2+bx相交于點O、C，C1與C2分別交x軸于點B、A，且B為線段AO的中點．（1）求 的值；
（2）若OC⊥AC，求△OAC的面積；
（3）拋物線C2的對稱軸為l，頂點為M，在（2）的條件下：
①點P為拋物線C2對稱軸l上一動點，當△PAC的周長最小時，求點P的坐標；
②如圖2，點E在拋物線C2上點O與點M之間運動，四邊形OBCE的面積是否存在最大值？若存在，求出面積的最大值和點E的坐標；若不存在，請說明理由．
18．如圖，已知直角坐標系中，A、B、D三點的坐標分別為A（8，0），B（0，4），D（﹣1，0），點C與點B關(guān)于x軸對稱，連接AB、AC．（1）求過A、B、D三點的拋物線的解析式；
（2）有一動點E從原點O出發(fā)，以每秒2個單位的速度向右運動，過點E作x軸的垂線，交拋物線于點P，交線段CA于點M，連接PA、PB，設(shè)點E運動的時間為t（0＜t＜4）秒，求四邊形PBCA的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出四邊形PBCA的最大面積；
（3）拋物線的對稱軸上是否存在一點H，使得△ABH是直角三角形？若存在，請直接寫出
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點H的坐標；若不存在，請說明理由．
19．如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx﹣5與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）若點D是y軸上的一點，且以B，C，D為頂點的三角形與△ABC相似，求點D的坐標；（3）如圖2，CE∥x軸與拋物線相交于點E，點H是直線CE下方拋物線上的動點，過點H且與y軸平行的直線與BC，CE分別相交于點F，G，試探究當點H運動到何處時，四邊形CHEF的面積最大，求點H的坐標及最大面積；
（4）若點K為拋物線的頂點，點M（4，m）是該拋物線上的一點，在x軸，y軸上分別找點P，Q，使四邊形PQKM的周長最小，求出點P，Q的坐標．
20．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的頂點坐標是（2，1），并且經(jīng)過點（4，2），直線y=x+1與拋物線交于B，D兩點，以BD為直徑作圓，圓心為點C，圓C與直線m交于對稱軸右側(cè)的點M（t，1），直線m上每一點的縱坐標都等于1．（1）求拋物線的解析式；（2）證明：圓C與x軸相切；
（3）過點B作BE⊥m，垂足為E，再過點D作DF⊥m，垂足為F，求BE：MF的值．
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21．如圖1，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A（﹣
2，0）、B（0，﹣2）兩點，點C在y軸上，△ABC為等邊三角形，點D從點A出發(fā)，沿AB方向以每秒2個單位長度的速度向終點B運動，設(shè)運動時間為t秒（t＞0），過點D作DE⊥AC于點E，以DE為邊作矩形DEGF，使點F在x軸上，點G在AC或AC的延長線上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將矩形DEGF沿GF所在直線翻折，得矩形D'E'GF，當點D的對稱點D'落在拋物線上時，求此時點D'的坐標；
（3）如圖2，在x軸上有一點M（2，0），連接BM、CM，在點D的運動過程中，設(shè)矩形DEGF與四邊形ABMC重疊部分的面積為S，直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．
22．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點，其中點A，C的坐標分別為（1，0），（﹣4，0），拋物線的頂點為點D．（1）求拋物線的解析式；
（2）點E是直角三角形ABC斜邊AB上的一個動點（不與A，B重合），過點E作x軸的垂線，交拋物線于點F，當線段FE的長度最大時，求點E的坐標；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點P，使△PEF是以EF為直角邊的直角三角形？
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若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．
23．如圖1，點A坐標為（2，0），以O(shè)A為邊在第一象限內(nèi)作等邊△OAB，點C為x軸上一動點，且在點A右側(cè)，連接BC，以BC為邊在第一象限內(nèi)作等邊△BCD，連接AD交BC于E．
（1）①直接回答：△OBC與△ABD全等嗎？ ②試說明：無論點C如何移動，AD始終與OB平行；
（2）當點C運動到使AC2=AE?AD時，如圖2，經(jīng)過O、B、C三點的拋物線為y1．試問：y1上是否存在動點P，使△BEP為直角三角形且BE為直角邊？若存在，求出點P坐標；若不存在，說明理由；
（3）在（2）的條件下，將y1沿x軸翻折得y2，設(shè)y1與y2組成的圖形為M，函數(shù)y=的圖象l與M有公共點．試寫出：l與M的公共點為3個時，m的取值．
24．如圖，拋物線y=ax2﹣2x+c（a≠0）與x軸、y軸分別交于點A，B，C三點，已知點A（﹣2，0），點C（0，﹣8），點D是拋物線的頂點．
x+
m
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（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）如圖1，拋物線的對稱軸與x軸交于點E，第四象限的拋物線上有一點P，將△EBP沿直線EP折疊，使點B的對應(yīng)點B'落在拋物線的對稱軸上，求點P的坐標；
（3）如圖2，設(shè)BC交拋物線的對稱軸于點F，作直線CD，點M是直線CD上的動點，點N是平面內(nèi)一點，當以點B，F(xiàn)，M，N為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點M的坐標． 25．拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（m，0），與y軸交于C．
（1）若m=﹣3，求拋物線的解析式，并寫出拋物線的對稱軸；
（2）如圖1，在（1）的條件下，設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于D，在對稱軸左側(cè)的拋物線上有一點E，使S△ACE=S△ACD，求點E的坐標；
（3）如圖2，設(shè)F（﹣1，﹣4），F(xiàn)G⊥y于G，在線段OG上是否存在點P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．
26．如圖，⊙M的圓心M（﹣1，2），⊙M經(jīng)過坐標原點O，與y軸交于點A．經(jīng)過點A的一條直線l解析式為：y=﹣x+4與x軸交于點B，以M為頂點的拋物線經(jīng)過x軸上點D（2，第13頁（共118頁）
0）和點C（﹣4，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）求證：直線l是⊙M的切線；
（3）點P為拋物線上一動點，且PE與直線l垂直，垂足為E；PF∥y軸，交直線l于點F，是否存在這樣的點P，使△PEF的面積最小．若存在，請求出此時點P的坐標及△PEF面積的最小值；若不存在，請說明理由．
27．如圖，拋物線y=ax2+bx+4交y軸于點A，并經(jīng)過B（4，4）和C（6，0）兩點，點D的坐標為（4，0），連接AD，BC，點E從點A出發(fā)，以每秒
個單位長度的速度沿線段AD向點D運動，到達點D后，以每秒1個單位長度的速度沿射線DC運動，設(shè)點E的運動時間為t秒，過點E作AB的垂線EF交直線AB于點F，以線段EF為斜邊向右作等腰直角△EFG．（1）求拋物線的解析式；
（2）當點G落在第一象限內(nèi)的拋物線上時，求出t的值；
（3）設(shè)點E從點A出發(fā)時，點E，F(xiàn)，G都與點A重合，點E在運動過程中，當△BCG的面積為4時，直接寫出相應(yīng)的t值，并直接寫出點G從出發(fā)到此時所經(jīng)過的路徑長．28．拋物線y=ax2+bx+c過A（2，3），B（4，3），C（6，﹣5）三點．
第14頁（共118頁）
（1）求拋物線的表達式；
（2）如圖①，拋物線上一點D在線段AC的上方，DE⊥AB交AC于點E，若滿足求點D的坐標；
（3）如圖②，F(xiàn)為拋物線頂點，過A作直線l⊥AB，若點P在直線l上運動，點Q在x軸上運動，是否存在這樣的點P、Q，使得以B、P、Q為頂點的三角形與△ABF相似，若存在，求P、Q的坐標，并求此時△BPQ的面積；若不存在，請說明理由．
29．如圖，已知拋物線y=ax2+x+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于丁C，且A（2，0），C（0，﹣4），直線l：y=﹣x﹣4與x軸交于點D，點P是拋物線y=ax2+x+c上的一動點，過點P作PE⊥x軸，垂足為E，交直線l于點F．
=，（1）試求該拋物線表達式；
（2）如圖（1），過點P在第三象限，四邊形PCOF是平行四邊形，求P點的坐標；（3）如圖（2），過點P作PH⊥y軸，垂足為H，連接AC． ①求證：△ACD是直角三角形；
②試問當P點橫坐標為何值時，使得以點P、C、H為頂點的三角形與△ACD相似？ 30．如圖，已知拋物線y=ax2﹣
2ax﹣9a與坐標軸交于A，B，C三點，其中C（0，3），∠BAC的平分線AE交y軸于點D，交BC于點E，過點D的直線l與射線AC，AB分別交于點
第15頁（共118頁）
M，N．
（1）直接寫出a的值、點A的坐標及拋物線的對稱軸；
（2）點P為拋物線的對稱軸上一動點，若△PAD為等腰三角形，求出點P的坐標；（3）證明：當直線l繞點D旋轉(zhuǎn)時，+
均為定值，并求出該定值．
31．《函數(shù)的圖象與性質(zhì)》拓展學習片段展示：
【問題】如圖①，在平面直角坐標系中，拋物線y=a（x﹣2）2﹣經(jīng)過原點O，與x軸的另一個交點為A，則a=
．
【操作】將圖①中拋物線在x軸下方的部分沿x軸折疊到x軸上方，將這部分圖象與原拋物線剩余部分的圖象組成的新圖象記為G，如圖②．直接寫出圖象G對應(yīng)的函數(shù)解析式． 【探究】在圖②中，過點B（0，1）作直線l平行于x軸，與圖象G的交點從左至右依次為點C，D，E，F(xiàn)，如圖③．求圖象G在直線l上方的部分對應(yīng)的函數(shù)y隨x增大而增大時x的取值范圍．
【應(yīng)用】P是圖③中圖象G上一點，其橫坐標為m，連接PD，PE．直接寫出△PDE的面積不小于1時m的取值范圍．
32．如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點B坐標為（4，t）（t＞0），二次函數(shù)y=x2+bx（b＜0）的圖象經(jīng)過點B，頂點為點D．（1）當t=12時，頂點D到x軸的距離等于
；
（2）點E是二次函數(shù)y=x2+bx（b＜0）的圖象與x軸的一個公共點（點E與點O不重合），求OE?EA的最大值及取得最大值時的二次函數(shù)表達式；
（3）矩形OABC的對角線OB、AC交于點F，直線l平行于x軸，交二次函數(shù)y=x2+bx（b＜0）
第16頁（共118頁）的圖象于點M、N，連接DM、DN，當△DMN≌△FOC時，求t的值．
33．在平面直角坐標系中，直線y=﹣x+1交y軸于點B，交x軸于點A，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點B，與直線y=﹣x+1交于點C（4，﹣2）．（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，橫坐標為m的點M在直線BC上方的拋物線上，過點M作ME∥y軸交直線BC于點E，以ME為直徑的圓交直線BC于另一點D，當點E在x軸上時，求△DEM的周長．（3）將△AOB繞坐標平面內(nèi)的某一點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△A1O1B1，點A，O，B的對應(yīng)點分別是點A1，O1，B1，若△A1O1B1的兩個頂點恰好落在拋物線上，請直接寫出點A1的坐標．
34．已知，拋物線y=ax2+bx+3（a＜0）與x軸交于A（3，0）、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸是直線x=1，D為拋物線的頂點，點E在y軸C點的上方，且CE=．（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；（2）求證：直線DE是△ACD外接圓的切線；
（3）在直線AC上方的拋物線上找一點P，使S△ACP=S△ACD，求點P的坐標；
（4）在坐標軸上找一點M，使以點B、C、M為頂點的三角形與△ACD相似，直接寫出點M
第17頁（共118頁）的坐標．
35．如圖①，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象與坐標軸交于A，B，C三點，其中點A的坐標為（﹣3，0），點B的坐標為（4，0），連接AC，BC．動點P從點A出發(fā)，在線段AC上以每秒1個單位長度的速度向點C作勻速運動；同時，動點Q從點O出發(fā)，在線段OB上以每秒1個單位長度的速度向點B作勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒．連接PQ．（1）填空：b=
，c=
；
（2）在點P，Q運動過程中，△APQ可能是直角三角形嗎？請說明理由；
（3）在x軸下方，該二次函數(shù)的圖象上是否存在點M，使△PQM是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請求出運動時間t；若不存在，請說明理由；
（4）如圖②，點N的坐標為（﹣，0），線段PQ的中點為H，連接NH，當點Q關(guān)于直線NH的對稱點Q′恰好落在線段BC上時，請直接寫出點Q′的坐標．
36．如圖，已知直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點，拋物線
y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點，點P在線段OA上，從點O出發(fā)，向點A以每秒1個單位的速度勻速運動；同時，點Q在線段AB上，從點A出發(fā)，向點B以每秒運動，連接PQ，設(shè)運動時間為t秒．（1）求拋物線的解析式；
第18頁（共118頁）
個單位的速度勻速
（2）問：當t為何值時，△APQ為直角三角形；
（3）過點P作PE∥y軸，交AB于點E，過點Q作QF∥y軸，交拋物線于點F，連接EF，當EF∥PQ時，求點F的坐標；
（4）設(shè)拋物線頂點為M，連接BP，BM，MQ，問：是否存在t的值，使以B，Q，M為頂點的三角形與以O(shè)，B，P為頂點的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
37．如圖，直線y=﹣x+3與x軸，y軸分別相交于點B，C，經(jīng)過B，C兩點的拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一交點為A，頂點為P，且對稱軸是直線x=2．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；
（2）請問在拋物線上是否存在點Q，使得以點B，C，Q為頂點的三角形為直角三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）過S（0，4）的動直線l交拋物線于M，N兩點，試問拋物線上是否存在定點T，使得不過定點T的任意直線l都有∠MTN=90°？若存在，請求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．
38．如圖，拋物線C1：y1=ax2+2ax（a＞0）與x軸交于點A，頂點為點P．
（1）直接寫出拋物線C1的對稱軸是
，用含a的代數(shù)式表示頂點P的坐標
；（2）把拋物線C1繞點M（m，0）旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C2（其中m＞0），拋物線C2與x軸右側(cè)的交點為點B，頂點為點Q．
第19頁（共118頁）
①當m=1時，求線段AB的長；
②在①的條件下，是否存在△ABP為等腰三角形，若存在請求出a的值，若不存在，請說明理由；
③當四邊形APBQ為矩形時，請求出m與a之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出當a=3時矩形APBQ的面積．
39．已知二次函數(shù)y=ax2﹣4ax+a2+2（a＜0）圖象的頂點G在直線AB上，其中 A（﹣，0）、B（0，3），對稱軸與x軸交于點E．（1）求二次函數(shù)y=ax2﹣4ax+a2+2的關(guān)系式；
（2）點P在對稱軸右側(cè)的拋物線上，且AP平分四邊形GAEP的面積，求點P坐標；（3）在x軸上方，是否存在整數(shù)m，使得當
＜x≤
時，拋物線y隨x增大而增大？若存在，求出所有滿足條件的m值；若不存在，請說明理由．
40．如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y=x2+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，直線y=x﹣3經(jīng)過B、C兩點．（1）求拋物線的解析式；
（2）過點C作直線CD⊥y軸交拋物線于另一點D，點P是直線CD下方拋物線上的一個動點，且在拋物線對稱軸的右側(cè)，過點P作PE⊥x軸于點E，PE交CD于點F，交BC于點M，連接AC，過點M作MN⊥AC于點N，設(shè)點P的橫坐標為t，線段MN的長為d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；
第20頁（共118頁）
（3）在（2）的條件下，連接PC，過點B作BQ⊥PC于點Q（點Q在線段PC上），BQ交CD于點T，連接OQ交CD于點S，當ST=TD時，求線段MN的長．
第21頁（共118頁）
參考答案與試題解析
（共40題）
1．（2017?蘭州）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與直線AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）兩點，直線AC：y=﹣x﹣6交y軸于點C．點E是直線AB上的動點，過點E作EF⊥x軸交AC于點F，交拋物線于點G．
（1）求拋物線y=﹣x2+bx+c的表達式；
（2）連接GB，EO，當四邊形GEOB是平行四邊形時，求點G的坐標；
（3）①在y軸上存在一點H，連接EH，HF，當點E運動到什么位置時，以A，E，F(xiàn)，H為頂點的四邊形是矩形？求出此時點E，H的坐標；
②在①的前提下，以點E為圓心，EH長為半徑作圓，點M為⊙E上一動點，求AM+CM它的最小值．
【解答】解：（1）∵點A（﹣4，﹣4），B（0，4）在拋物線y=﹣x2+bx+c上，∴∴，∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+4；
（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n過點A，B，∴∴，第22頁（共118頁）
，∴直線AB的解析式為y=2x+4，設(shè)E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四邊形GEOB是平行四邊形，∴EG=OB=4，∴|﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4|=4，∴m=﹣2或m=2+2或m=2﹣
2，）或（2﹣2，﹣12+12）． ∴G（﹣2，4）或（2+2
（3）①如圖1，﹣12﹣12由（2）知，直線AB的解析式為y=2x+4，∴設(shè)E（a，2a+4），∵直線AC：y=﹣x﹣6，∴F（a，﹣a﹣6），設(shè)H（0，p），∵以點A，E，F(xiàn)，H為頂點的四邊形是矩形，∵直線AB的解析式為y=2x+4，直線AC：y=﹣x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF為對角線，∴（﹣4+0）=（a+a），（﹣4+p）=（2a+4﹣a﹣6），∴a=﹣2，P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；
②如圖2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH=，AE=2，設(shè)AE交⊙E于G，取EG的中點P，∴PE=，第23頁（共118頁）
連接PC交⊙E于M，連接EM，∴EM=EH=，∴∵∴=，=，=，∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴，∴PM=AM，∴AM+CM的最小值=PC，設(shè)點P（p，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，∵PE=，∴5（p+2）2=，∴p=﹣或p=﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（﹣，﹣1），∵C（0，﹣6），∴PC=即：AM+CM=．
=，第24頁（共118頁）
2．（2017?貴港）如圖，拋物線y=a（x﹣1）（x﹣3）與x軸交于A，B兩點，與y軸的正半軸交于點C，其頂點為D．
（1）寫出C，D兩點的坐標（用含a的式子表示）；（2）設(shè)S△BCD：S△ABD=k，求k的值；
（3）當△BCD是直角三角形時，求對應(yīng)拋物線的解析式．
第25頁（共118頁）
【解答】解：
（1）在y=a（x﹣1）（x﹣3），令x=0可得y=3a，∴C（0，3a），∵y=a（x﹣1）（x﹣3）=a（x2﹣4x+3）=a（x﹣2）2﹣a，∴D（2，﹣a）；
（2）在y=a（x﹣1）（x﹣3）中，令y=0可解得x=1或x=3，∴A（1，0），B（3，0），∴AB=3﹣1=2，∴S△ABD=×2×a=a，如圖，設(shè)直線CD交x軸于點E，設(shè)直線CD解析式為y=kx+b，把C、D的坐標代入可得，解得，∴直線CD解析式為y=﹣2ax+3a，令y=0可解得x=，∴E（，0），∴BE=3﹣=
∴S△BCD=S△BEC+S△BED=××（3a+a）=3a，∴S△BCD：S△ABD=（3a）：a=3，第26頁（共118頁）
∴k=3；
（3）∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a），∴BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（﹣a﹣3a）2=4+16a2，BD2=（3﹣2）2+a2=1+a2，∵∠BCD＜∠BCO＜90°，∴△BCD為直角三角形時，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°兩種情況，①當∠CBD=90°時，則有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=﹣1（舍去）或a=1，此時拋物線解析式為y=x2﹣4x+3；
②當∠CDB=90°時，則有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=﹣此時拋物線解析式為y=
x2﹣
2x+
；
x2﹣2
x+
．
（舍去）或a=，綜上可知當△BCD是直角三角形時，拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3或y=3．（2017?濱州）如圖，直線y=kx+b（k、b為常數(shù)）分別與x軸、y軸交于點A（﹣4，0）、B（0，3），拋物線y=﹣x2+2x+1與y軸交于點C．（1）求直線y=kx+b的函數(shù)解析式；
（2）若點P（x，y）是拋物線y=﹣x2+2x+1上的任意一點，設(shè)點P到直線AB的距離為d，求d關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求d取最小值時點P的坐標；
（3）若點E在拋物線y=﹣x2+2x+1的對稱軸上移動，點F在直線AB上移動，求CE+EF的最小值．
【解答】解：（1）由題意可得，解得，∴直線解析式為y=x+3；
（2）如圖1，過P作PH⊥AB于點H，過H作HQ⊥x軸，過P作PQ⊥y軸，兩垂線交于點
第27頁（共118頁）
Q，則∠AHQ=∠ABO，且∠AHP=90°，∴∠PHQ+∠AHQ=∠BAO+∠ABO=90°，∴∠PHQ=∠BAO，且∠AOB=∠PQH=90°，∴△PQH∽△BOA，∴==，設(shè)H（m，m+3），則PQ=x﹣m，HQ=m+3﹣（﹣x2+2x+1），∵A（﹣4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，AB=5，且PH=d，∴==，，整理消去m可得d=x2﹣x+=（x﹣）2+∴d與x的函數(shù)關(guān)系式為d=（x﹣）2+∵＞0，∴當x=時，d有最小值，此時y=﹣（）2+2×+1=∴當d取得最小值時P點坐標為（，）；，（3）如圖2，設(shè)C點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C′，由對稱的性質(zhì)可得CE=C′E，第28頁（共118頁）
∴CE+EF=C′E+EF，∴當F、E、C′三點一線且C′F與AB垂直時CE+EF最小，∵C（0，1），∴C′（2，1），由（2）可知當x=2時，d=×（2﹣）2+即CE+EF的最小值為
．
=，4．（2017?廣安）如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與y軸相交于點A（0，3），與x正半軸相交于點B，對稱軸是直線x=1（1）求此拋物線的解析式以及點B的坐標．
（2）動點M從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向運動，同時動點N從點O出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿y軸正方向運動，當N點到達A點時，M、N同時停止運動．過動點M作x軸的垂線交線段AB于點Q，交拋物線于點P，設(shè)運動的時間為t秒．
①當t為何值時，四邊形OMPN為矩形．
②當t＞0時，△BOQ能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．
第29頁（共118頁）
【解答】解：
（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c對稱軸是直線x=1，∴﹣=1，解得b=2，∵拋物線過A（0，3），∴c=3，∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3，令y=0可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，∴B點坐標為（3，0）；
（2）①由題意可知ON=3t，OM=2t，∵P在拋物線上，∴P（2t，﹣4t2+4t+3），∵四邊形OMPN為矩形，∴ON=PM，∴3t=﹣4t2+4t+3，解得t=1或t=﹣（舍去），∴當t的值為1時，四邊形OMPN為矩形； ②∵A（0，3），B（3，0），∴OA=OB=3，且可求得直線AB解析式為y=﹣x+3，∴當t＞0時，OQ≠OB，∴當△BOQ為等腰三角形時，有OB=QB或OQ=BQ兩種情況，由題意可知OM=2t，∴Q（2t，﹣2t+3），∴OQ=
=，BQ=
第30頁（共118頁）
=|2t﹣3|，又由題意可知0＜t＜1，當OB=QB時，則有當OQ=BQ時，則有綜上可知當t的值為|2t﹣3|=3，解得t=
=
（舍去）或t=
；
|2t﹣3|，解得t=；
或時，△BOQ為等腰三角形．
5．（2017?宜賓）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點．（1）求拋物線的解析式；
（2）在第二象限內(nèi)取一點C，作CD垂直X軸于點D，鏈接AC，且AD=5，CD=8，將Rt△ACD沿x軸向右平移m個單位，當點C落在拋物線上時，求m的值；
（3）在（2）的條件下，當點C第一次落在拋物線上記為點E，點P是拋物線對稱軸上一點．試探究：在拋物線上是否存在點Q，使以點B、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：
（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，∴，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+4x+5；
（2）∵AD=5，且OA=1，∴OD=6，且CD=8，∴C（﹣6，8），設(shè)平移后的點C的對應(yīng)點為C′，則C′點的縱坐標為8，第31頁（共118頁）
代入拋物線解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，∴C′點的坐標為（1，8）或（3，8），∵C（﹣6，8），∴當點C落在拋物線上時，向右平移了7或9個單位，∴m的值為7或9；
（3）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，∴拋物線對稱軸為x=2，∴可設(shè)P（2，t），由（2）可知E點坐標為（1，8），①當BE為平行四邊形的邊時，連接BE交對稱軸于點M，過E作EF⊥x軸于點F，過Q作對稱軸的垂線，垂足為N，如圖，則∠BEF=∠BMP=∠QPN，在△PQN和△EFB中
∴△PQN≌△EFB（AAS），∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，設(shè)Q（x，y），則QN=|x﹣2|，∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，當x=﹣2或x=6時，代入拋物線解析式可求得y=﹣7，第32頁（共118頁）
∴Q點坐標為（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）； ②當BE為對角線時，∵B（5，0），E（1，8），∴線段BE的中點坐標為（3，4），則線段PQ的中點坐標為（3，4），設(shè)Q（x，y），且P（2，t），∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入拋物線解析式可求得y=5，∴Q（4，5）；
綜上可知Q點的坐標為（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．
6．（2017?貴陽）我們知道，經(jīng)過原點的拋物線可以用y=ax2+bx（a≠0）表示，對于這樣的拋物線：
（1）當拋物線經(jīng)過點（﹣2，0）和（﹣1，3）時，求拋物線的表達式；（2）當拋物線的頂點在直線y=﹣2x上時，求b的值；
（3）如圖，現(xiàn)有一組這樣的拋物線，它們的頂點A1、A2、…，An在直線y=﹣2x上，橫坐標依次為﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n（n為正整數(shù)，且n≤12），分別過每個頂點作x軸的垂線，垂足記為B1、B2，…，Bn，以線段AnBn為邊向左作正方形AnBnCnDn，如果這組拋物線中的某一條經(jīng)過點Dn，求此時滿足條件的正方形AnBnCnDn的邊長．
【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點（﹣2，0）和（﹣1，3），∴，解得，∴拋物線的表達式為y=﹣3x2﹣6x；
（2）∵拋物線y=ax2+bx的頂點坐標是（﹣∴﹣=﹣2×（﹣），﹣），且該點在直線y=﹣2x上，∵a≠0，∴﹣b2=4b，第33頁（共118頁）
解得b1=﹣4，b2=0；
（3）這組拋物線的頂點A1、A2、…，An在直線y=﹣2x上，由（2）可知，b=4或b=0．
①當b=0時，拋物線的頂點在坐標原點，不合題意，舍去； ②當b=﹣4時，拋物線的表達式為y=ax2﹣4x．
由題意可知，第n條拋物線的頂點為An（﹣n，2n），則Dn（﹣3n，2n），∵以An為頂點的拋物線不可能經(jīng)過點Dn，設(shè)第n+k（k為正整數(shù)）條拋物線經(jīng)過點Dn，此時第n+k條拋物線的頂點坐標是An+k（﹣n﹣k，2n+2k），∴﹣=﹣n﹣k，∴a=
=﹣，x2﹣4x，∴第n+k條拋物線的表達式為y=﹣∵Dn（﹣3n，2n）在第n+k條拋物線上，∴2n=﹣×（﹣3n）2﹣4×（﹣3n），解得k=n，∵n，k為正整數(shù)，且n≤12，∴n1=5，n2=10． 當n=5時，k=4，n+k=9；
當n=10時，k=8，n+k=18＞12（舍去），∴D5（﹣15，10），∴正方形的邊長是10．
7．（2017?畢節(jié)市）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象交坐標軸于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點，點P是直線BC下方拋物線上一動點．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）是否存在點P，使△POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由；
（3）動點P運動到什么位置時，△PBC面積最大，求出此時P點坐標和△PBC的最大面積．
第34頁（共118頁）
【解答】解：
（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，把A、B、C三點坐標代入可得∴拋物線解析式為y=x2﹣3x﹣4；
（2）作OC的垂直平分線DP，交OC于點D，交BC下方拋物線于點P，如圖1，解得，∴PO=PD，此時P點即為滿足條件的點，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P點縱坐標為﹣2，代入拋物線解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2，解得x=∴存在滿足條件的P點，其坐標為（（3）∵點P在拋物線上，∴可設(shè)P（t，t2﹣3t﹣4），過P作PE⊥x軸于點E，交直線BC于點F，如圖2，﹣2）；
（小于0，舍去）或x=，第35頁（共118頁）
∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直線BC解析式為y=x﹣4，∴F（t，t﹣4），∴PF=（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）=﹣t2+4t，∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF?OE+PF?BE=PF?（OE+BE）=PF?OB=（﹣t2+4t）×4=﹣2（t﹣2）2+8，∴當t=2時，S△PBC最大值為8，此時t2﹣3t﹣4=﹣6，∴當P點坐標為（2，﹣6）時，△PBC的最大面積為8．
8．（2017?西寧）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA=4，OC=3，若拋物線經(jīng)過O，A兩點，且頂點在BC邊上，對稱軸交BE于點F，點D，E的坐標分別為（3，0），（0，1）．（1）求拋物線的解析式；
（2）猜想△EDB的形狀并加以證明；
（3）點M在對稱軸右側(cè)的拋物線上，點N在x軸上，請問是否存在以點A，F(xiàn)，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．
第36頁（共118頁）
【解答】解：
（1）在矩形OABC中，OA=4，OC=3，∴A（4，0），C（0，3），∵拋物線經(jīng)過O、A兩點，∴拋物線頂點坐標為（2，3），∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+3，把A點坐標代入可得0=a（4﹣2）2+3，解得a=﹣，∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣2）2+3，即y=﹣x2+3x；（2）△EDB為等腰直角三角形． 證明：
由（1）可知B（4，3），且D（3，0），E（0，1），∴DE2=32+12=10，BD2=（4﹣3）2+32=10，BE2=42+（3﹣1）2=20，∴DE2+BD2=BE2，且DE=BD，∴△EDB為等腰直角三角形；（3）存在．理由如下： 設(shè)直線BE解析式為y=kx+b，把B、E坐標代入可得，解得，∴直線BE解析式為y=x+1，當x=2時，y=2，∴F（2，2），①當AF為平行四邊形的一邊時，則M到x軸的距離與F到x軸的距離相等，即M到x軸的第37頁（共118頁）
距離為2，∴點M的縱坐標為2或﹣2，在y=﹣x2+3x中，令y=2可得2=﹣x2+3x，解得x=∵點M在拋物線對稱軸右側(cè)，∴x＞2，∴x=，2）；，∴M點坐標為（在y=﹣x2+3x中，令y=﹣2可得﹣2=﹣x2+3x，解得x=∵點M在拋物線對稱軸右側(cè)，∴x＞2，∴x=，﹣2）； ∴M點坐標為（②當AF為平行四邊形的對角線時，∵A（4，0），F(xiàn)（2，2），∴線段AF的中點為（3，1），即平行四邊形的對稱中心為（3，1），設(shè)M（t，﹣t2+3t），N（x，0），則﹣t2+3t=2，解得t=∵點M在拋物線對稱軸右側(cè)，∴x＞2，∴t=，2）；，2）或（，﹣2）．，∴M點坐標為（綜上可知存在滿足條件的點M，其坐標為（9．（2017?鹽城）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
第38頁（共118頁）
（2）點D為直線AC上方拋物線上一動點；
①連接BC、CD，設(shè)直線BD交線段AC于點E，△CDE的面積為S1，△BCE的面積為S2，求的最大值；
②過點D作DF⊥AC，垂足為點F，連接CD，是否存在點D，使得△CDF中的某個角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求點D的橫坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得A（﹣4，0），C（0，2），∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點，∴，∴，∴y=﹣x2﹣x+2；（2）①如圖，令y=0，∴﹣x2﹣x+2=0，∴x1=﹣4，x2=1，∴B（1，0），過D作DM⊥x軸交AC于點M，過B作BN⊥x軸交于AC于N，∴DM∥BN，∴△DME∽△BNE，∴==，第39頁（共118頁）
設(shè)D（a，﹣a2﹣a+2），∴M（a，a+2），∵B（1，0），∴N（1，），∴==
（a+2）2+；
∴當a=﹣2時，的最大值是；
②∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），∴AC=2，BC=，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，取AB的中點P，∴P（﹣，0），∴PA=PC=PB=，∴∠CPO=2∠BAC，∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=，過D作x軸的平行線交y軸于R，交AC的延長線于G，情況一：如圖，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，∴∠CDG=∠BAC，∴tan∠CDG=tan∠BAC=，即，令D（a，﹣a2﹣a+2），∴DR=﹣a，RC=﹣a2﹣a，∴，∴a1=0（舍去），a2=﹣2，第40頁（共118頁）
∴xD=﹣2，情況二，∴∠FDC=2∠BAC，∴tan∠FDC=，設(shè)FC=4k，∴DF=3k，DC=5k，∵tan∠DGC==，∴FG=6k，∴CG=2k，DG=3k，∴RC=k，RG=k，DR=3k﹣k=k，∴==，∴a1=0（舍去），a2=﹣，點D的橫坐標為﹣2或﹣
．
第41頁（共118頁）
10．（2017?株洲）已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c+1，①當b=1時，求這個二次函數(shù)的對稱軸的方程；
②若c=﹣b2﹣2b，問：b為何值時，二次函數(shù)的圖象與x軸相切？
③若二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，與y軸的正半軸交于點M，以AB為直徑的半圓恰好過點M，二次函數(shù)的對稱軸l與x軸、直線BM、直線AM分別交于點D、E、F，且滿足
=，求二次函數(shù)的表達式．
【解答】解：①二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c+1的對稱軸為x=，當b=1時，=，∴當b=1時，求這個二次函數(shù)的對稱軸的方程為x=． ②二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c+1的頂點坐標為（，∵二次函數(shù)的圖象與x軸相切且c=﹣b2﹣2b，），∴，解得：b=，∴b為，二次函數(shù)的圖象與x軸相切． ③∵AB是半圓的直徑，∴∠AMB=90°，∴∠OAM+∠OBM=90°，∵∠AOM=∠MOB=90°，∴∠OAM+∠OMA=90°，∴∠OMA=∠OBM，第42頁（共118頁）
∴△OAM∽△OMB，∴，∴OM2=OA?OB，∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A（x1，0），B（x2，0），∴OA=﹣x1，OB=x2，x1+x2，=b，x1?x2=﹣（c+1），∵OM=c+1，∴（c+1）2=c+1，解得：c=0或c=﹣1（舍去），∴c=0，OM=1，∵二次函數(shù)的對稱軸l與x軸、直線BM、直線AM分別交于點D、E、F，且滿足∴AD=BD，DF=4DE，DF∥OM，∴△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，∴∴DE=∴，DF=×4，，=，∴OB=4OA，即x2=﹣4x1，∵x1?x2=﹣（c+1）=﹣1，∴，解得：，∴b=﹣+2=，∴二次函數(shù)的表達式為y=﹣x2+x+1．
11．（2017?棗莊）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，點B坐標為（6，0），點C坐標為（0，6），點D是拋物線的頂點，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．
第43頁（共118頁）
（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；
（2）點F是拋物線上的動點，當∠FBA=∠BDE時，求點F的坐標；
（3）若點M是拋物線上的動點，過點M作MN∥x軸與拋物線交于點N，點P在x軸上，點Q在坐標平面內(nèi)，以線段MN為對角線作正方形MPNQ，請寫出點Q的坐標． 【解答】解：
（1）把B、C兩點坐標代入拋物線解析式可得∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+6，∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，∴D（2，8）；
（2）如圖1，過F作FG⊥x軸于點G，解得，設(shè)F（x，﹣x2+2x+6），則FG=|﹣x2+2x+6|，∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，∴△FBG∽△BDE，∴=，∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6﹣x，第44頁（共118頁）
∴=，當點F在x軸上方時，有（﹣1，）；
=，解得x=﹣1或x=6（舍去），此時F點的坐標為當點F在x軸下方時，有為（﹣3，﹣）；
=﹣，解得x=﹣3或x=6（舍去），此時F點的坐標綜上可知F點的坐標為（﹣1，）或（﹣3，﹣）；
（3）如圖2，設(shè)對角線MN、PQ交于點O′，∵點M、N關(guān)于拋物線對稱軸對稱，且四邊形MPNQ為正方形，∴點P為拋物線對稱軸與x軸的交點，點Q在拋物線的對稱軸上，設(shè)Q（2，2n），則M坐標為（2﹣n，n），∵點M在拋物線y=﹣x2+2x+6的圖象上，∴n=﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n=﹣1+
或n=﹣1﹣，）． ∴滿足條件的點Q有兩個，其坐標分別為（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣212．（2017?海南）拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A（1，0）和點B（5，0）．（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）該拋物線與直線y=x+3相交于C、D兩點，點P是拋物線上的動點且位于x軸下方，直線PM∥y軸，分別與x軸和直線CD交于點M、N．
①連結(jié)PC、PD，如圖1，在點P運動過程中，△PCD的面積是否存在最大值？若存在，求
第45頁（共118頁）
出這個最大值；若不存在，說明理由；
②連結(jié)PB，過點C作CQ⊥PM，垂足為點Q，如圖2，是否存在點P，使得△CNQ與△PBM相似？若存在，求出滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．
【解答】解：
（1）∵拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A（1，0）和點B（5，0），∴，解得，∴該拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=x2﹣
x+3；
（2）①∵點P是拋物線上的動點且位于x軸下方，∴可設(shè)P（t，t2﹣t+3）（1＜t＜5），∵直線PM∥y軸，分別與x軸和直線CD交于點M、N，∴M（t，0），N（t，t+3），∴PN=t+3﹣（t2﹣
t+3）=﹣（t﹣）2+
聯(lián)立直線CD與拋物線解析式可得，解得或，∴C（0，3），D（7，），分別過C、D作直線PN的直線，垂足分別為E、F，如圖1，第46頁（共118頁）
則CE=t，DF=7﹣t，∴S△PCD=S△PCN+S△PDN=2PN?CE+PN?DF=PN=[﹣（t﹣）2+
]=﹣（t﹣）+，； ∴當t=時，△PCD的面積有最大值，最大值為②存在．
∵∠CQN=∠PMB=90°，∴當△CNQ與△PBM相似時，有∵CQ⊥PM，垂足為Q，∴Q（t，3），且C（0，3），N（t，t+3），∴CQ=t，NQ=t+3﹣3=t，∴=，t+3），M（t，0），B（5，0），第47頁（共118頁）
或=兩種情況，∵P（t，t2﹣
∴BM=5﹣t，PM=0﹣（t2﹣當
t+3）=﹣t2+
t﹣3，時，則PM=BM，即﹣t2+
t﹣3=（5﹣t），解得t=2或t=5（舍去），此時P（2，﹣）； 當=時，則BM=PM，即5﹣t=（﹣t2+，﹣）；，﹣）．
t﹣3），解得t=
或t=5（舍去），此時P（綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（2，﹣）或（13．（2017?內(nèi)江）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與y軸交與點C（0，3），與x軸交于A、B兩點，點B坐標為（4，0），拋物線的對稱軸方程為x=1．（1）求拋物線的解析式；
（2）點M從A點出發(fā)，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動，同時點N從B點出發(fā)，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動，設(shè)△MBN的面積為S，點M運動時間為t，試求S與t的函數(shù)關(guān)系，并求S的最大值；
（3）在點M運動過程中，是否存在某一時刻t，使△MBN為直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）∵點B坐標為（4，0），拋物線的對稱軸方程為x=1． ∴A（﹣2，0），把點A（﹣2，0）、B（4，0）、點C（0，3），分別代入y=ax2+bx+c（a≠0），得，第48頁（共118頁）
解得，所以該拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+3；
（2）設(shè)運動時間為t秒，則AM=3t，BN=t． ∴MB=6﹣3t．
由題意得，點C的坐標為（0，3）． 在Rt△BOC中，BC=
=5．
如圖1，過點N作NH⊥AB于點H． ∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC，∴，即=，∴HN=t．
∴S△MBN=MB?HN=（6﹣3t）?t=﹣當△PBQ存在時，0＜t＜2，∴當t=1時，S△PBQ最大=．
；
t2+t=﹣
（t﹣1）2+，答：運動1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是
（3）如圖2，在Rt△OBC中，cos∠B=
=．
設(shè)運動時間為t秒，則AM=3t，BN=t． ∴MB=6﹣3t．
當∠MNB=90°時，cos∠B=化簡，得17t=24，解得t=
=，即，第49頁（共118頁）
=，當∠BMN=90°時，cos∠B=化簡，得19t=30，解得t=綜上所述：t=或t=
=，時，△MBN為直角三角形．
14．（2017?廣元）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c過點A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其頂點為D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點M（1，m），當MB+MD的值最小時，求m的值；
（3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值；
（4）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點N，E為直線AC上任意一點，過點E作EF∥ND交拋物線于點F，以N，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由．
第50頁（共118頁）
第三篇：二次函數(shù)
2．二次函數(shù)定義__________________________________________________二次函數(shù)（1）導學案
一.教學目標：
（1）能夠根據(jù)實際問題，熟練地列出二次函數(shù)關(guān)系式，并求出函數(shù)的自變量的取值范圍。
（2）注重學生參與，聯(lián)系實際，豐富學生的感性認識，培養(yǎng)學生的良好的學習習慣
重點難點：
能夠根據(jù)實際問題，熟練地列出二次函數(shù)關(guān)系式，并求出函數(shù)的自變量的取值范圍。教學過程：
二、教學過程
（一）提出問題
某商店將每件進價為8元的某種商品按每件10元出售，一天可銷出約100件．該店想通過降低售價、增加銷售量的辦法來提高利潤，經(jīng)過市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低0.1元，其銷售量可增加10件。將這種商品的售價降低多少時，能使銷售利潤最大?在這個問題中，1．商品的利潤與售價、進價以及銷售量之間有什么關(guān)系?[利潤=(售價－進價)×銷售量]
2．如果不降低售價，該商品每件利潤是多少元?一天總的利潤是多少元?[10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]
3．若每件商品降價x元，則每件商品的利潤是多少元?一天可銷售約多少件商品?
[(10－8－x)；(100＋100x)]
4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，請求出它的范圍，[x的值不能任意取，其范圍是0≤x≤2]
5．若設(shè)該商品每天的利潤為y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式。[y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)]
將函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化為：
y=－2x2＋20x(0＜x＜10)……………………………(1)將函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化為：y=－100x2＋100x＋20D(0≤x≤2)……………………(2)
（二）、觀察；概括
(1)函數(shù)關(guān)系式(1)和(2)的自變量各有幾個?
(2)多項式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分別是幾次多項式?(3)函數(shù)關(guān)系式(1)和(2)有什么共同特點?(4)這些問題有什么共同特點？
三、課堂練習
1.下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)?(1)y=5x＋1(2)y=4x2－1
(3)y=2x3－3x2(4)y=5x4－3x＋1
2．P25練習第1，2,3題。
四、小結(jié)
1．請敘述二次函數(shù)的定義．
2，許多實際問題可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來解決，請你聯(lián)系生活實際，編一道二次函數(shù)應(yīng)用題，并寫出函數(shù)關(guān)系式。
五.堂堂清
下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)?
(1)Y=2x+1（2）y=2x2+1（3）y=x(x-2)（4）y=(2x-1)(2x-2)（5）y=x2(x-1)-1
第四篇：二次函數(shù)
?二次函數(shù)?測試
一．選擇題〔36分〕
1、以下各式中，y是的二次函數(shù)的是
（）
A．
B．
C．
D．
2．在同一坐標系中，作+2、-1、的圖象，那么它們
（）
A．都是關(guān)于軸對稱
B．頂點都在原點
C．都是拋物線開口向上
D．以上都不對
3．假設(shè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，那么的值必為
（）
A．
0或2
B．
0
C．
D．
無法確定
4、點〔a，8〕在拋物線y=ax2上，那么a的值為〔
〕
A、±2
B、±2
C、2
D、－2
5．把拋物線y=3x2先向上平移2個單位，再向右平移3個單位，所得拋物線的解析式是〔
〕
〔A〕y=3〔x+3〕2
〔B〕y=3〔x+2〕2+2
〔C〕y=3〔x-3〕2
〔D〕y=3〔x-3〕2+2
6．拋物線y=x2+6x+8與y軸交點坐標〔
〕
〔A〕〔0，8〕
〔B〕〔0，-8〕
〔C〕〔0，6〕
〔D〕〔-2，0〕〔-4，0〕
7、二次函數(shù)y=x2＋4x＋a的最大值是2，那么a的值是〔
〕
A、4
B、5
C、6
D、7
8．原點是拋物線的最高點，那么的范圍是
（）
A．
B．
C．
D．
9．拋物線那么圖象與軸交點為
〔
〕
A．
二個交點
B．
一個交點
C．
無交點
D．
不能確定
10．不經(jīng)過第三象限，那么的圖象大致為
〔
〕
y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
O
x
A
B
C
D
11．對于的圖象以下表達正確的選項是
〔
〕
A
頂點作標為(－3，2)
B
對稱軸為y=3
C
當時隨增大而增大
D
當時隨增大而減小
12、二次函數(shù)的圖象如下圖，那么以下結(jié)論中正確的選項是：〔
〕
A
a>0
b<0
c>0
B
a<0
b<0
c>0
C
a<0
b>0
c<0
D
a<0
b>0
c>0
二．填空題：〔每題4分，共24分〕
13．請寫出一個開口向上，且對稱軸為直線x
=3的二次函數(shù)解析式。
14．寫出一個開口向下，頂點坐標是〔—2，3〕的函數(shù)解析式；
15、把二次函數(shù)y=－2x2＋4x+3化成y=a〔x+h〕2+k的形式是________________________________.16.假設(shè)拋物線y=x2
+
4x的頂點是P，與X軸的兩個交點是C、D兩點，那么
△
PCD的面積是________________________.17.(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)是二次函數(shù)y=x2-4x+m上的點,那么
y1,y2,y3從小到大用
“<〞排列是
.18．小敏在某次投籃中，球的運動路線是拋物線的一局部(如圖)，假設(shè)命中籃圈中心，那么他與籃底的距離是________________________.三．解答題(共60分)
19.〔6分〕假設(shè)拋物線經(jīng)過點A〔，0〕和點B〔-2，〕，求點A、B的坐標。
20、(6分)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點〔0，－4〕，且當x
=
2，有最大值—2。求該二次函數(shù)的關(guān)系式：
21．〔6分〕拋物線的頂點在軸上，求這個函數(shù)的解析式及其頂點坐標。
25米x22、〔6分〕農(nóng)民張大伯為了致富奔小康，大力開展家庭養(yǎng)殖業(yè)，他準備用40米長的木欄圍一個矩形的雞圈，為了節(jié)約材料，同時要使矩形面積最大，他利用了自己家房屋一面長25米的墻，設(shè)計了如圖一個矩形的羊雞圈。請你設(shè)計使矩形雞圈的面積最大？并計算最大面積。
23、二次函數(shù)y=－〔x－4〕2
+4
〔本大題總分值8分〕
1、先確定其圖象的開口方向，對稱軸和頂點坐標，再畫出草圖。
2、觀察圖象確定：X取何值時，①y=0，②y﹥0，⑶y﹤0。
24．〔8分〕某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，假設(shè)每千克漲價一元，日銷售量將減少20千克。
〔1〕現(xiàn)要保證每天盈利6000元，同時又要讓顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？
〔2〕假設(shè)該商場單純從經(jīng)濟角度看，那么每千克應(yīng)漲價多少元，能使商場獲利最多。
25．〔8分〕某市人民廣場上要建造一個圓形的噴水池，并在水池中央垂直安裝一個柱子OP，柱子頂端P處裝上噴頭，由P處向外噴出的水流〔在各個方向上〕沿形狀相同的拋物線路徑落下〔如下圖〕。假設(shè)OP＝3米，噴出的水流的最高點A距水平面的高度是4米，離柱子OP的距離為1米。
〔1〕求這條拋物線的解析式；
〔2〕假設(shè)不計其它因素，水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不至于落在池外。
26．〔12分〕二次函數(shù)的圖象與x軸從左到右兩個交點依次為A、B，與y軸交于點C，〔1〕求A、B、C三點的坐標；
〔2〕如果P(x，y)是拋物線AC之間的動點，O為坐標原點，試求△POA的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
〔3〕是否存在這樣的點P，使得PO=PA，假設(shè)存在，求出點P的坐標；假設(shè)不存在，說明理由。
第五篇：2018年中考二次函數(shù)壓軸題
2018年中考二次函數(shù)壓軸題匯編
2．如圖1，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于C點，點P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個動點，且點P的橫坐標為t．
（1）求拋物線的表達式；
（2）設(shè)拋物線的對稱軸為l，l與x軸的交點為D．在直線l上是否存在點M，使得四邊形CDPM是平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，連接BC，PB，PC，設(shè)△PBC的面積為S． ①求S關(guān)于t的函數(shù)表達式；
②求P點到直線BC的距離的最大值，并求出此時點P的坐標．
3．如圖，拋物線y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）與x軸交于A、B兩點，拋物線上另有一點C在x軸下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求線段OC的長度；
（2）設(shè)直線BC與y軸交于點M，點C是BM的中點時，求直線BM和拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，直線BC下方拋物線上是否存在一點P，使得四邊形ABPC面積最大？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
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4．如圖，拋物線y=ax2+bx（a＜0）過點E（10，0），矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點A在點B的左邊），點C，D在拋物線上．設(shè)A（t，0），當t=2時，AD=4．（1）求拋物線的函數(shù)表達式．
（2）當t為何值時，矩形ABCD的周長有最大值？最大值是多少？
（3）保持t=2時的矩形ABCD不動，向右平移拋物線．當平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點G，H，且直線GH平分矩形的面積時，求拋物線平移的距離．
5．如圖，點P為拋物線y=x2上一動點．
（1）若拋物線y=x2是由拋物線y=（x+2）2﹣1通過圖象平移得到的，請寫出平移的過程；
（2）若直線l經(jīng)過y軸上一點N，且平行于x軸，點N的坐標為（0，﹣1），過點P作PM⊥l于M．
①問題探究：如圖一，在對稱軸上是否存在一定點F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出點F的坐標：若不存在，請說明理由．
②問題解決：如圖二，若點Q的坐標為（1，5），求QP+PF的最小值．
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6．已知直線y=x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，點M在線段OA上，從O點出發(fā)，向點A以每秒1個單位的速度勻速運動；同時點N在線段AB上，從點A出發(fā)，向點B以每秒速運動，連接MN，設(shè)運動時間為t秒（1）求拋物線解析式；
（2）當t為何值時，△AMN為直角三角形；
（3）過N作NH∥y軸交拋物線于H，連接MH，是否存在點H使MH∥AB，若存在，求出點H的坐標，若不存在，請說明理由．
個單位的速度勻
7．如圖，拋物線經(jīng)過原點O（0，0），點A（1，1），點（1）求拋物線解析式；
．
（2）連接OA，過點A作AC⊥OA交拋物線于C，連接OC，求△AOC的面積；（3）點M是y軸右側(cè)拋物線上一動點，連接OM，過點M作MN⊥OM交x軸于點N．問：是否存在點M，使以點O，M，N為頂點的三角形與（2）中的△AOC相似，若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．
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8．如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+1（a≠0，a為實數(shù)）的圖象過點A（﹣2，2），一次函數(shù)y=kx+b（k≠0，k，b為實數(shù)）的圖象l經(jīng)過點B（0，2）．（1）求a值并寫出二次函數(shù)表達式；（2）求b值；
（3）設(shè)直線l與二次函數(shù)圖象交于M，N兩點，過M作MC垂直x軸于點C，試證明：MB=MC；
（4）在（3）的條件下，請判斷以線段MN為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系，并說明理由．
9．如圖，已知拋物線y=ax2+x+4的對稱軸是直線x=3，且與x軸相交于A，B兩點（B點在A點右側(cè)）與y軸交于C點．（1）求拋物線的解折式和A、B兩點的坐標；
（2）若點P是拋物線上B、C兩點之間的一個動點（不與B、C重合），則是否存在一點P，使△PBC的面積最大．若存在，請求出△PBC的最大面積；若不存在，試說明理由；
（3）若M是拋物線上任意一點，過點M作y軸的平行線，交直線BC于點N，當MN=3時，求M點的坐標．
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10．已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與坐標軸分別交于點A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），點P是線段AB上方拋物線上的一個動點．（1）求拋物線的解析式；
（2）當點P運動到什么位置時，△PAB的面積有最大值？
（3）過點P作x軸的垂線，交線段AB于點D，再過點P做PE∥x軸交拋物線于點E，連結(jié)DE，請問是否存在點P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．
11．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2﹣x﹣4與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C．（1）求點A，B，C的坐標；
（2）點P從A點出發(fā)，在線段AB上以每秒2個單位長度的速度向B點運動，同時，點Q從B點出發(fā)，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動．設(shè)運動時間為t秒，求運動時間t為多少秒時，△PBQ的面積S最大，并求出其最大面積；
（3）在（2）的條件下，當△PBQ面積最大時，在BC下方的拋物線上是否存在點M，使△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．
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12．綜合與探究 如圖，拋物線y=
x﹣4與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，連接AC，BC．點P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點，點P的橫坐標為m，過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，PM交BC于點Q，過點P作PE∥AC交x軸于點E，交BC于點F．（1）求A，B，C三點的坐標；
（2）試探究在點P運動的過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請直接寫出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）請用含m的代數(shù)式表示線段QF的長，并求出m為何值時QF有最大值．
13．已知拋物線y=ax2+bx+c過點A（0，2）．（1）若點（﹣，0）也在該拋物線上，求a，b滿足的關(guān)系式；
（2）若該拋物線上任意不同兩點M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足：當x1＜x2＜0時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；當0＜x1＜x2時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原點O為心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為B，C，且△ABC有一個內(nèi)角為60°．
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①求拋物線的解析式；
②若點P與點O關(guān)于點A對稱，且O，M，N三點共線，求證：PA平分∠MPN． 14．如圖，已知拋物線y=ax2+bx與x軸分別交于原點O和點F（10，0），與對稱軸l交于點E（5，5）．矩形ABCD的邊AB在x軸正半軸上，且AB=1，邊AD，BC與拋物線分別交于點M，N．當矩形ABCD沿x軸正方向平移，點M，N位于對稱軸l的同側(cè)時，連接MN，此時，四邊形ABNM的面積記為S；點M，N位于對稱軸l的兩側(cè)時，連接EM，EN，此時五邊形ABNEM的面積記為S．將點A與點O重合的位置作為矩形ABCD平移的起點，設(shè)矩形ABCD平移的長度為t（0≤t≤5）．
（1）求出這條拋物線的表達式；（2）當t=0時，求S△OBN的值；
（3）當矩形ABCD沿著x軸的正方向平移時，求S關(guān)于t（0＜t≤5）的函數(shù)表達式，并求出t為何值時，S有最大值，最大值是多少？
15．如圖，已知拋物線經(jīng)過點A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點，點D與點C關(guān)于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，設(shè)點P的坐標為（m，0），過點P做x軸的垂線l交拋物線于點Q，交直線BD于點M．（1）求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達式；
（2）已知點F（0，），當點P在x軸上運動時，試求m為何值時，四邊形DMQF是平行四邊形？
（3）點P在線段AB運動過程中，是否存在點Q，使得以點B、Q、M為頂點的三角形與△BOD相似？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
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16．如圖，拋物線y=ax2﹣5ax+c與坐標軸分別交于點A，C，E三點，其中A（﹣3，0），C（0，4），點B在x軸上，AC=BC，過點B作BD⊥x軸交拋物線于點D，點M，N分別是線段CO，BC上的動點，且CM=BN，連接MN，AM，AN．（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；
（2）當△CMN是直角三角形時，求點M的坐標；（3）試求出AM+AN的最小值．
17．如圖①，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，且與y軸交于點C．（1）求拋物線的表達式；
（2）如圖②，用寬為4個單位長度的直尺垂直于x軸，并沿x軸左右平移，直尺的左右兩邊所在的直線與拋物線相交于P、Q兩點（點P在點Q的左側(cè)），連接PQ，在線段PQ上方拋物線上有一動點D，連接DP、DQ．
（1）若點P的橫坐標為﹣，求△DPQ面積的最大值，并求此時點D的坐標；（Ⅱ）直尺在平移過程中，△DPQ面積是否有最大值？若有，求出面積的最大值；若沒有，請說明理由．
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18．在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線的頂點坐標為（2，0），且經(jīng)過點（4，1），如圖，直線y=x與拋物線交于A、B兩點，直線l為y=﹣1．（1）求拋物線的解析式；
（2）在l上是否存在一點P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）知F（x0，y0）為平面內(nèi)一定點，M（m，n）為拋物線上一動點，且點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等，求定點F的坐標．
19．在平面直角坐標系中，點O（0，0），點A（1，0）．已知拋物線y=x2+mx﹣2m（m是常數(shù)），頂點為P．
（Ⅰ）當拋物線經(jīng)過點A時，求頂點P的坐標；
（Ⅱ）若點P在x軸下方，當∠AOP=45°時，求拋物線的解析式；
（Ⅲ）無論m取何值，該拋物線都經(jīng)過定點H．當∠AHP=45°時，求拋物線的解析式．
20．如圖所示，將二次函數(shù)y=x2+2x+1的圖象沿x軸翻折，然后向右平移1個單位，再向上平移4個單位，得到二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象．函數(shù)y=x2+2x+1的圖象的頂點為點A．函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點為點B，和x軸的交點為點C，第9頁（共107頁）
D（點D位于點C的左側(cè)）．（1）求函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式；
（2）從點A，C，D三個點中任取兩個點和點B構(gòu)造三角形，求構(gòu)造的三角形是等腰三角形的概率；
（3）若點M是線段BC上的動點，點N是△ABC三邊上的動點，是否存在以AM為斜邊的Rt△AMN，使△AMN的面積為△ABC面積的？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，請說明理由．
21．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若以點A為圓心的圓與直線BC相切于點M，求切點M的坐標；
（3）若點Q在x軸上，點P在拋物線上，是否存在以點B，C，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．
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22．已知頂點為A拋物線（1）求拋物線的解析式；
經(jīng)過點，點．
（2）如圖1，直線AB與x軸相交于點M，y軸相交于點E，拋物線與y軸相交于點F，在直線AB上有一點P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面積；
（3）如圖2，點Q是折線A﹣B﹣C上一點，過點Q作QN∥y軸，過點E作EN∥x軸，直線QN與直線EN相交于點N，連接QE，將△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若點N1落在x軸上，請直接寫出Q點的坐標．
23．已知拋物線y=ax2+bx+c過點A（0，2），且拋物線上任意不同兩點M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足：當x1＜x2＜0時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；當0＜x1＜x2時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原點O為圓心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為B，C，且B在C的左側(cè)，△ABC有一個內(nèi)角為60°．（1）求拋物線的解析式；（2）若MN與直線y=﹣2決以下問題：
①求證：BC平分∠MBN；
②求△MBC外心的縱坐標的取值范圍．
24．如圖，已知二次函數(shù)的圖象過點O（0，0）．A（8，4），與x軸交于另一點B，且對稱軸是直線x=3．（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）若M是OB上的一點，作MN∥AB交OA于N，當△ANM面積最大時，求M的坐標；
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x平行，且M，N位于直線BC的兩側(cè)，y1＞y2，解
（3）P是x軸上的點，過P作PQ⊥x軸與拋物線交于Q．過A作AC⊥x軸于C，當以O(shè)，P，Q為頂點的三角形與以O(shè)，A，C為頂點的三角形相似時，求P點的坐標．
25．如圖，拋物線y=ax2+bx+c與兩坐標軸相交于點A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是拋物線的頂點，E是線段AB的中點．（1）求拋物線的解析式，并寫出D點的坐標；（2）F（x，y）是拋物線上的動點：
①當x＞1，y＞0時，求△BDF的面積的最大值； ②當∠AEF=∠DBE時，求點F的坐標．
26．如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=ax2+bx+3交x軸于B、C兩點（點B在左，點C在右），交y軸于點A，且OA=OC，B（﹣1，0）．
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（1）求此拋物線的解析式；
（2）如圖2，點D為拋物線的頂點，連接CD，點P是拋物線上一動點，且在C、D兩點之間運動，過點P作PE∥y軸交線段CD于點E，設(shè)點P的橫坐標為t，線段PE長為d，寫出d與t的關(guān)系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BD，在BD上有一動點Q，且DQ=CE，連接EQ，當∠BQE+∠DEQ=90°時，求此時點P的坐標．
27．已知拋物線F：y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過坐標原點O，且與x軸另一交點為（﹣，0）．
（1）求拋物線F的解析式；（2）如圖1，直線l：y=
x+m（m＞0）與拋物線F相交于點A（x1，y1）和點B（x2，y2）（點A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=，設(shè)點A′是點A關(guān)于原點O的對稱點，如圖2． ①判斷△AA′B的形狀，并說明理由；
②平面內(nèi)是否存在點P，使得以點A、B、A′、P為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
28．已知：如圖，一次函數(shù)y=kx﹣1的圖象經(jīng)過點A（3，m）（m＞0），與y軸交于點B．點C在線段AB上，且BC=2AC，過點C作x軸的垂線，垂足為點D．若AC=CD．
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（1）求這個一次函數(shù)的表達式；
（2）已知一開口向下、以直線CD為對稱軸的拋物線經(jīng)過點A，它的頂點為P，若過點P且垂直于AP的直線與x軸的交點為Q（﹣函數(shù)表達式．，0），求這條拋物線的
29．如圖，已知拋物線y=ax2+bx（a≠0）過點A（點A作直線AC∥x軸，交y軸于點C．（1）求拋物線的解析式；，﹣3）和點B（3，0）．過（2）在拋物線上取一點P，過點P作直線AC的垂線，垂足為D．連接OA，使得以A，D，P為頂點的三角形與△AOC相似，求出對應(yīng)點P的坐標；
（3）拋物線上是否存在點Q，使得S△AOC=S△AOQ？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
30．如圖1，拋物線C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．已知點A的坐標為（﹣1，0），點O為坐標原點，OC=3OA，拋物線C1的頂點為G．
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（1）求出拋物線C1的解析式，并寫出點G的坐標；
（2）如圖2，將拋物線C1向下平移k（k＞0）個單位，得到拋物線C2，設(shè)C2與x軸的交點為A′、B′，頂點為G′，當△A′B′G′是等邊三角形時，求k的值：（3）在（2）的條件下，如圖3，設(shè)點M為x軸正半軸上一動點，過點M作x軸的垂線分別交拋物線C1、C2于P、Q兩點，試探究在直線y=﹣1上是否存在點N，使得以P、Q、N為頂點的三角形與△AOQ全等，若存在，直接寫出點M，N的坐標：若不存在，請說明理由．
31．在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象經(jīng)過點C（0，2）和點D（4，﹣2）．點E是直線y=﹣x+2與二次函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)的交點．（1）求二次函數(shù)的解析式及點E的坐標．
（2）如圖①，若點M是二次函數(shù)圖象上的點，且在直線CE的上方，連接MC，OE，ME．求四邊形COEM面積的最大值及此時點M的坐標．（3）如圖②，經(jīng)過A、B、C三點的圓交y軸于點F，求點F的坐標．
32．如圖，已知頂點為C（0，﹣3）的拋物線y=ax2+b（a≠0）與x軸交于A，B兩點，直線y=x+m過頂點C和點B．（1）求m的值；
（2）求函數(shù)y=ax2+b（a≠0）的解析式；
（3）拋物線上是否存在點M，使得∠MCB=15°？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
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33．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；
（2）請在y軸上找一點M，使△BDM的周長最小，求出點M的坐標；（3）試探究：在拋物線上是否存在點P，使以點A，P，C為頂點，AC為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．
34．已知拋物線y=a（x﹣1）2過點（3，1），D為拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式；
（2）若點B、C均在拋物線上，其中點B（0，），且∠BDC=90°，求點C的坐標；
（3）如圖，直線y=kx+4﹣k與拋物線交于P、Q兩點． ①求證：∠PDQ=90°； ②求△PDQ面積的最小值．
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35．拋物線y=﹣x2+x﹣1與x軸交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，其頂點為D．將拋物線位于直線l：y=t（t＜）上方的部分沿直線l向下翻折，拋物線剩余部分與翻折后所得圖形組成一個“M”形的新圖象．（1）點A，B，D的坐標分別為
，；
（2）如圖①，拋物線翻折后，點D落在點E處．當點E在△ABC內(nèi)（含邊界）時，求t的取值范圍；
（3）如圖②，當t=0時，若Q是“M”形新圖象上一動點，是否存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點P？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
36．如圖，拋物線y=ax2+4x+c（a≠0）經(jīng)過點A（﹣1，0），點E（4，5），與y軸交于點B，連接AB．（1）求該拋物線的解析式；
（2）將△ABO繞點O旋轉(zhuǎn)，點B的對應(yīng)點為點F．
①當點F落在直線AE上時，求點F的坐標和△ABF的面積； ②當點F到直線AE的距離為請直接寫出交點的坐標．
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時，過點F作直線AE的平行線與拋物線相交，37．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的圖象與x軸交于點A、B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點D，過其頂點C作直線CP⊥x軸，垂足為點P，連接AD、BC．（1）求點A、B、D的坐標；
（2）若△AOD與△BPC相似，求a的值；
（3）點D、O、C、B能否在同一個圓上？若能，求出a的值；若不能，請說明理由．
38．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于原點及點A，且經(jīng)過點B（4，8），對稱軸為直線x=﹣2．（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)直線y=kx+4與拋物線兩交點的橫坐標分別為x1，x（，當2x1＜x2）時，求k的值；
（3）連接OB，點P為x軸下方拋物線上一動點，過點P作OB的平行線交直線AB于點Q，當S△POQ：S△BOQ=1：2時，求出點P的坐標．（坐標平面內(nèi)兩點M（x1，y1），N（x2，y2）之間的距離MN=）
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39．如圖，在平面直角坐標系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，點B的坐標為（1，0）．拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點．（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是直線AB上方拋物線上的一點，過點P作PD垂直x軸于點D，交線段AB于點E，使PE=DE． ①求點P的坐標；
②在直線PD上是否存在點M，使△ABM為直角三角形？若存在，求出符合條件的所有點M的坐標；若不存在，請說明理由．
40．如圖1，經(jīng)過原點O的拋物線y=ax2+bx（a、b為常數(shù)，a≠0）與x軸相交于另一點A（3，0）．直線l：y=x在第一象限內(nèi)和此拋物線相交于點B（5，t），與拋物線的對稱軸相交于點C．
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（1）求拋物線的解析式；
（2）在x軸上找一點P，使以點P、O、C為頂點的三角形與以點A、O、B為頂點的三角形相似，求滿足條件的點P的坐標；
（3）直線l沿著x軸向右平移得到直線l′，l′與線段OA相交于點M，與x軸下方的拋物線相交于點N，過點N作NE⊥x軸于點E．把△MEN沿直線l′折疊，當點E恰好落在拋物線上時（圖2），求直線l′的解析式；
（4）在（3）問的條件下（圖3），直線l′與y軸相交于點K，把△MOK繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△M′OK′，點F為直線l′上的動點．當△M'FK′為等腰三角形時，求滿足條件的點F的坐標．
第20頁（共107頁）
2018年07月10日139****3005的初中數(shù)學組卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共1小題）
1．如圖，點A，B在雙曲線y=（x＞0）上，點C在雙曲線y=（x＞0）上，若AC∥y軸，BC∥x軸，且AC=BC，則AB等于（）
A． B．2 C．4 D．
3【解答】解：點C在雙曲線y=上，AC∥y軸，BC∥x軸，設(shè)C（a，），則B（3a，），A（a，），∵AC=BC，∴﹣=3a﹣a，解得a=1，（負值已舍去）
∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），∴AC=BC=2，∴Rt△ABC中，AB=2故選：B．
二．解答題（共39小題）
2．如圖1，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于C點，點P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個動點，且點P的橫坐標為t．
（1）求拋物線的表達式；
（2）設(shè)拋物線的對稱軸為l，l與x軸的交點為D．在直線l上是否存在點M，使
第21頁（共107頁），得四邊形CDPM是平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，連接BC，PB，PC，設(shè)△PBC的面積為S． ①求S關(guān)于t的函數(shù)表達式；
②求P點到直線BC的距離的最大值，并求出此時點P的坐標．
【解答】解：（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，解得：，∴拋物線的表達式為y=﹣x2+2x+3．
（2）在圖1中，連接PC，交拋物線對稱軸l于點E，∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，∴拋物線的對稱軸為直線x=1．
當t=2時，點C、P關(guān)于直線l對稱，此時存在點M，使得四邊形CDPM是平行四邊形．
∵拋物線的表達式為y=﹣x2+2x+3，∴點C的坐標為（0，3），點P的坐標為（2，3），∴點M的坐標為（1，6）； 當t≠2時，不存在，理由如下：
若四邊形CDPM是平行四邊形，則CE=PE，∵點C的橫坐標為0，點E的橫坐標為0，∴點P的橫坐標t=1×2﹣0=2． 又∵t≠2，第22頁（共107頁）
∴不存在．
（3）①在圖2中，過點P作PF∥y軸，交BC于點F． 設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n（m≠0），將B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，解得：，∴直線BC的解析式為y=﹣x+3． ∵點P的坐標為（t，﹣t2+2t+3），∴點F的坐標為（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=PF?OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+②∵﹣＜0，∴當t=時，S取最大值，最大值為
．
．
∵點B的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，3），∴線段BC=
=
3，∴P點到直線BC的距離的最大值為=，此時點P的坐標為（，）．
第23頁（共107頁）
3．如圖，拋物線y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）與x軸交于A、B兩點，拋物線上另有一點C在x軸下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求線段OC的長度；
（2）設(shè)直線BC與y軸交于點M，點C是BM的中點時，求直線BM和拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，直線BC下方拋物線上是否存在一點P，使得四邊形ABPC面積最大？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）由題可知當y=0時，a（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0），∴OA=1，OB=3 ∵△OCA∽△OBC，∴OC：OB=OA：OC，第24頁（共107頁）
∴OC2=OA?OB=3，則OC=；
（2）∵C是BM的中點，即OC為斜邊BM的中線，∴OC=BC，∴點C的橫坐標為，又OC=，點C在x軸下方，），∴C（，﹣設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b，把點B（3，0），C（，﹣解得：b=﹣∴y=x﹣，k=，）在拋物線上，代入拋物線解析式，）代入得：，又∵點C（，﹣解得：a=，∴拋物線解析式為y=（3）點P存在，設(shè)點P坐標為（x，則Q（x，∴PQ=x﹣x﹣），x2﹣
x+2；
x2﹣
x+2），過點P作PQ⊥x軸交直線BM于點Q，﹣（x2﹣
x+2）=﹣
x2+
3x﹣3，當△BCP面積最大時，四邊形ABPC的面積最大，S△BCP=PQ（3﹣x）+PQ（x﹣）=PQ=﹣當x=﹣（，﹣
x2+
x﹣，=時，S△BCP有最大值，四邊形ABPC的面積最大，此時點P的坐標為）．
第25頁（共107頁）
4．如圖，拋物線y=ax2+bx（a＜0）過點E（10，0），矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點A在點B的左邊），點C，D在拋物線上．設(shè)A（t，0），當t=2時，AD=4．（1）求拋物線的函數(shù)表達式．
（2）當t為何值時，矩形ABCD的周長有最大值？最大值是多少？
（3）保持t=2時的矩形ABCD不動，向右平移拋物線．當平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點G，H，且直線GH平分矩形的面積時，求拋物線平移的距離．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax（x﹣10），∵當t=2時，AD=4，∴點D的坐標為（2，4），∴將點D坐標代入解析式得﹣16a=4，解得：a=﹣，拋物線的函數(shù)表達式為y=﹣x2+x；
（2）由拋物線的對稱性得BE=OA=t，∴AB=10﹣2t，第26頁（共107頁）
當x=t時，AD=﹣t2+t，∴矩形ABCD的周長=2（AB+AD）=2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）] =﹣t2+t+20 =﹣（t﹣1）2+∵﹣＜0，∴當t=1時，矩形ABCD的周長有最大值，最大值為，；
（3）如圖，當t=2時，點A、B、C、D的坐標分別為（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4），∴矩形ABCD對角線的交點P的坐標為（5，2），當平移后的拋物線過點A時，點H的坐標為（4，4），此時GH不能將矩形面積平分；
當平移后的拋物線過點C時，點G的坐標為（6，0），此時GH也不能將矩形面積平分；
∴當G、H中有一點落在線段AD或BC上時，直線GH不可能將矩形的面積平分，當點G、H分別落在線段AB、DC上時，直線GH過點P，必平分矩形ABCD的面積，∵AB∥CD，∴線段OD平移后得到的線段GH，∴線段OD的中點Q平移后的對應(yīng)點是P，在△OBD中，PQ是中位線，第27頁（共107頁）
∴PQ=OB=4，所以拋物線向右平移的距離是4個單位．
5．如圖，點P為拋物線y=x2上一動點．
（1）若拋物線y=x2是由拋物線y=（x+2）2﹣1通過圖象平移得到的，請寫出平移的過程；
（2）若直線l經(jīng)過y軸上一點N，且平行于x軸，點N的坐標為（0，﹣1），過點P作PM⊥l于M．
①問題探究：如圖一，在對稱軸上是否存在一定點F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出點F的坐標：若不存在，請說明理由．
②問題解決：如圖二，若點Q的坐標為（1，5），求QP+PF的最小值．
【解答】解：（1）∵拋物線y=（x+2）2﹣1的頂點為（﹣2，﹣1）
∴拋物線y=（x+2）2﹣1的圖象向上平移1個單位，再向右2個單位得到拋物線y=x2的圖象．
（2）①存在一定點F，使得PM=PF恒成立． 如圖一，過點P作PB⊥y軸于點B
第28頁（共107頁）
設(shè)點P坐標為（a，a2）∴PM=PF=a2+1 ∵PB=a ∴Rt△PBF中 BF=∴OF=1
∴點F坐標為（0，1）②由①，PM=PF
QP+PF的最小值為QP+PM的最小值
當Q、P、M三點共線時，QP+PM有最小值，最小值為點Q縱坐標加M縱坐標的絕對值．
∴QP+PF的最小值為6．
6．已知直線y=x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，點M在線段OA上，從O點出發(fā)，向點A以每秒1個單位的速度勻速運動；同時點N在線段AB上，從點A出發(fā)，向點B以每秒速運動，連接MN，設(shè)運動時間為t秒（1）求拋物線解析式；
（2）當t為何值時，△AMN為直角三角形；
（3）過N作NH∥y軸交拋物線于H，連接MH，是否存在點H使MH∥AB，若存在，求出點H的坐標，若不存在，請說明理由．
個單位的速度勻
第29頁（共107頁）
【解答】解：（1）∵直線y=x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，∴點A的坐標為（﹣3，0），點B的坐標為（0，3）． 將A（﹣3，0）、B（0，3）代入y=x2+bx+c，得：，解得：，∴拋物線解析式為y=x2+4x+3．
（2）當運動時間為t秒時，點M的坐標為（﹣t，0），點N的坐標為（t﹣3，t），∴AM=3﹣t，AN=t．
∵△AMN為直角三角形，∠MAN=45°，∴△AMN為等腰直角三角形（如圖1）． 當∠ANM=90°時，有AM=解得：t=1；
當∠AMN=90°時，有t﹣3=﹣t，解得：t=．
綜上所述：當t為1秒或秒時，△AMN為直角三角形．（3）設(shè)NH與x軸交于點E，如圖2所示．
當運動時間為t秒時，點M的坐標為（﹣t，0），點N的坐標為（t﹣3，t），∴點E的坐標為（t﹣3，0），點H的坐標為（t﹣3，t2﹣2t）． ∵MH∥AB，∴∠EMH=45°，∴△EMH為等腰直角三角形，∴ME=HE，即|2t﹣3|=|t2﹣2t|，解得：t1=1，t2=3（舍去），t3=當t=
AN，即3﹣t=2t，t4=﹣（舍去）．
時，點E在點M的右邊，點H在x軸下方，第30頁（共107頁）
∴此時MH⊥AB，∴t=1．
∴存在點H使MH∥AB，點H的坐標為（﹣2，﹣1）．
7．如圖，拋物線經(jīng)過原點O（0，0），點A（1，1），點（1）求拋物線解析式；
（2）連接OA，過點A作AC⊥OA交拋物線于C，連接OC，求△AOC的面積；（3）點M是y軸右側(cè)拋物線上一動點，連接OM，過點M作MN⊥OM交x軸于點N．問：是否存在點M，使以點O，M，N為頂點的三角形與（2）中的△AOC相似，若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．
．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax（x﹣），把A（1，1）代入得a?1（1﹣）=1，解得a=﹣，第31頁（共107頁）
∴拋物線解析式為y=﹣x（x﹣），即y=﹣x2+x；
（2）延長CA交y軸于D，如圖1，∵A（1，1），∴OA=，∠DOA=45°，∴△AOD為等腰直角三角形，∵OA⊥AC，∴OD=OA=2，∴D（0，2），易得直線AD的解析式為y=﹣x+2，解方程組∴S△AOC=S△COD﹣S△AOD =×2×5﹣×2×1 =4；（3）存在．
如圖2，作MH⊥x軸于H，AC=設(shè)M（x，﹣x2+x）（x＞0），∵∠OHM=∠OAC，∴當=時，△OHM∽△OAC，即
=，（舍去），此時M點坐標為（，﹣54）；
=
4，OA=，得
或，則C（5，﹣3），解方程﹣x2+x=4x得x1=0（舍去），x2=﹣解方程﹣x2+x=﹣4x得x1=0（舍去），x2=當=時，△OHM∽△CAO，即=，此時M點的坐標為（，），解方程﹣x2+x=x得x1=0（舍去），x2=
第32頁（共107頁）
解方程﹣x2+x=﹣x得x1=0（舍去），x2=﹣∵MN⊥OM，∴∠OMN=90°，∴∠MON=∠HOM，∴△OMH∽△ONM，∴當M點的坐標為（，﹣54）或（，此時M點坐標為（，﹣）；）或（，﹣）時，以點O，M，N為頂點的三角形與（2）中的△AOC相似．
8．如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+1（a≠0，a為實數(shù)）的圖象過點A（﹣2，2），一次函數(shù)y=kx+b（k≠0，k，b為實數(shù)）的圖象l經(jīng)過點B（0，2）．（1）求a值并寫出二次函數(shù)表達式；（2）求b值；
（3）設(shè)直線l與二次函數(shù)圖象交于M，N兩點，過M作MC垂直x軸于點C，試證明：MB=MC；
（4）在（3）的條件下，請判斷以線段MN為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系，并說明理由．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+1（a≠0，a為實數(shù)）的圖象過點A（﹣2，2），第33頁（共107頁）
∴2=4a+1，解得：a=，∴二次函數(shù)表達式為y=x2+1．
（2）∵一次函數(shù)y=kx+b（k≠0，k，b為實數(shù)）的圖象l經(jīng)過點B（0，2），∴2=k×0+b，∴b=2．
（3）證明：過點M作ME⊥y軸于點E，如圖1所示． 設(shè)點M的坐標為（x，x2+1），則MC=x2+1，∴ME=|x|，EB=|x2+1﹣2|=|x2﹣1|，∴MB=====x2+1． ∴MB=MC．
（4）相切，理由如下：
過點N作ND⊥x軸于D，取MN的中點為P，過點P作PF⊥x軸于點F，過點N作NH⊥MC于點H，交PF于點Q，如圖2所示． 由（3）知NB=ND，∴MN=NB+MB=ND+MC．
∵點P為MN的中點，PQ∥MH，∴PQ=MH．
∵ND∥HC，NH∥DC，且四個角均為直角，∴四邊形NDCH為矩形，∴QF=ND，∴PF=PQ+QF=MH+ND=（ND+MH+HC）=（ND+MC）=MN． ∴以MN為直徑的圓與x軸相切．
第34頁（共107頁）
，，9．如圖，已知拋物線y=ax2+x+4的對稱軸是直線x=3，且與x軸相交于A，B兩點（B點在A點右側(cè)）與y軸交于C點．（1）求拋物線的解折式和A、B兩點的坐標；
（2）若點P是拋物線上B、C兩點之間的一個動點（不與B、C重合），則是否存在一點P，使△PBC的面積最大．若存在，請求出△PBC的最大面積；若不存在，試說明理由；
（3）若M是拋物線上任意一點，過點M作y軸的平行線，交直線BC于點N，當MN=3時，求M點的坐標．
【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+x+4的對稱軸是直線x=3，第35頁（共107頁）
∴﹣=3，解得：a=﹣，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+4． 當y=0時，﹣x2+x+4=0，解得：x1=﹣2，x2=8，∴點A的坐標為（﹣2，0），點B的坐標為（8，0）．（2）當x=0時，y=﹣x2+x+4=4，∴點C的坐標為（0，4）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0）． 將B（8，0）、C（0，4）代入y=kx+b，解得：，∴直線BC的解析式為y=﹣x+4．
假設(shè)存在，設(shè)點P的坐標為（x，﹣x2+x+4），過點P作PD∥y軸，交直線BC于點D，則點D的坐標為（x，﹣x+4），如圖所示． ∴PD=﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）=﹣x2+2x，∴S△PBC=PD?OB=×8?（﹣x2+2x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16． ∵﹣1＜0，∴當x=4時，△PBC的面積最大，最大面積是16． ∵0＜x＜8，∴存在點P，使△PBC的面積最大，最大面積是16．
（3）設(shè)點M的坐標為（m，﹣m2+m+4），則點N的坐標為（m，﹣m+4），∴MN=|﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）|=|﹣m2+2m|． 又∵MN=3，∴|﹣m2+2m|=3．
第36頁（共107頁）
當0＜m＜8時，有﹣m2+2m﹣3=0，解得：m1=2，m2=6，∴點P的坐標為（2，6）或（6，4）； 當m＜0或m＞8時，有﹣m2+2m+3=0，解得：m3=4﹣2，m4=4+
2，﹣1）或（4+2，﹣
﹣1）．，﹣∴點P的坐標為（4﹣2綜上所述：M點的坐標為（4﹣2﹣1）．
﹣1）、（2，6）、（6，4）或（4+
210．已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與坐標軸分別交于點A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），點P是線段AB上方拋物線上的一個動點．（1）求拋物線的解析式；
（2）當點P運動到什么位置時，△PAB的面積有最大值？
（3）過點P作x軸的垂線，交線段AB于點D，再過點P做PE∥x軸交拋物線于點E，連結(jié)DE，請問是否存在點P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．
【解答】解：（1）∵拋物線過點B（6，0）、C（﹣2，0），∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣6）（x+2），第37頁（共107頁）
將點A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣，所以拋物線解析式為y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；
（2）如圖1，過點P作PM⊥OB與點M，交AB于點N，作AG⊥PM于點G，設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，將點A（0，6）、B（6，0）代入，得：，解得：，則直線AB解析式為y=﹣x+6，設(shè)P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，則N（t，﹣t+6），∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t，∴S△PAB=S△PAN+S△PBN =PN?AG+PN?BM =PN?（AG+BM）=PN?OB
=×（﹣t2+3t）×6 =﹣t2+9t =﹣（t﹣3）2+，∴當t=3時，△PAB的面積有最大值；
第38頁（共107頁）
（3）如圖2，∵PH⊥OB于H，∴∠DHB=∠AOB=90°，∴DH∥AO，∵OA=OB=6，∴∠BDH=∠BAO=45°，∵PE∥x軸、PD⊥x軸，∴∠DPE=90°，若△PDE為等腰直角三角形，則PD=PE，設(shè)點P的橫坐標為a，∴PD=﹣a2+2a+6﹣（﹣a+6）=﹣a2+3a，PE=2|2﹣a|，∴﹣a2+3a=2|2﹣a|，解得：a=4或a=5﹣，3﹣5）． 所以P（4，6）或P（5﹣
11．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2﹣x﹣4與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C．（1）求點A，B，C的坐標；
（2）點P從A點出發(fā)，在線段AB上以每秒2個單位長度的速度向B點運動，同時，點Q從B點出發(fā)，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動．設(shè)運動時間為t秒，求運動時間t為多少秒時，△PBQ的面積S最大，并求出其最大面積；
第39頁（共107頁）
（3）在（2）的條件下，當△PBQ面積最大時，在BC下方的拋物線上是否存在點M，使△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）當x=0時，y=x2﹣x﹣4=﹣4，∴點C的坐標為（0，﹣4）； 當y=0時，有x2﹣x﹣4=0，解得：x1=﹣2，x2=3，∴點A的坐標為（﹣2，0），點B的坐標為（3，0）．（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），將B（3，0）、C（0，﹣4）代入y=kx+b，解得：，∴直線BC的解析式為y=x﹣4．
過點Q作QE∥y軸，交x軸于點E，如圖1所示，當運動時間為t秒時，點P的坐標為（2t﹣2，0），點Q的坐標為（3﹣t，﹣t），∴PB=3﹣（2t﹣2）=5﹣2t，QE=t，∴S△PBQ=PB?QE=﹣t2+2t=﹣（t﹣）2+． ∵﹣＜0，∴當t=時，△PBQ的面積取最大值，最大值為．
第40頁（共107頁）
（3）當△PBQ面積最大時，t=，此時點P的坐標為（，0），點Q的坐標為（，﹣1）．
假設(shè)存在，設(shè)點M的坐標為（m，m2﹣m﹣4），則點F的坐標為（m，m﹣4），∴MF=m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）=﹣m2+2m，∴S△BMC=MF?OB=﹣m2+3m．
∵△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍，∴﹣m2+3m=×1.6，即m2﹣3m+2=0，解得：m1=1，m2=2． ∵0＜m＜3，∴在BC下方的拋物線上存在點M，使△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍，點M的坐標為（1，﹣4）或（2，﹣）．
第41頁（共107頁）
12．綜合與探究 如圖，拋物線y=
x﹣4與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，連接AC，BC．點P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點，點P的橫坐標為m，過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，PM交BC于點Q，過點P作PE∥AC交x軸于點E，交BC于點F．（1）求A，B，C三點的坐標；
（2）試探究在點P運動的過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請直接寫出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）請用含m的代數(shù)式表示線段QF的長，并求出m為何值時QF有最大值．
【解答】解：（1）當y=0，∴A（﹣3，0），B（4，0），當x=0，y=∴C（0，﹣4）；（2）AC==5，x﹣4=﹣4，x﹣4=0，解得x1=﹣3，x2=4，易得直線BC的解析式為y=x﹣4，設(shè)Q（m，m﹣4）（0＜m＜4），當CQ=CA時，m2+（m﹣4+4）2=52，解得m1=點坐標為（，﹣4）；，m2=﹣
（舍去），此時Q當AQ=AC時，（m+3）2+（m﹣4）2=52，解得m1=1，m2=0（舍去），此時Q點坐標為（1，﹣3）；
第42頁（共107頁）
當QA=QC時，（m+3）2+（m﹣4）2=52，解得m=綜上所述，滿足條件的Q點坐標為（，（舍去），﹣4）或（1，﹣3）；
（3）解：過點F作FG⊥PQ于點G，如圖，則FG∥x軸．由B（4，0），C（0，﹣4）得△OBC為等腰直角三角形
∴∠OBC=∠QFG=45
∴△FQG為等腰直角三角形，∴FG=QG=FQ，∵PE∥AC，PG∥CO，∴∠FPG=∠ACO，∵∠FGP=∠AOC=90°，∴△FGP～△AOC． ∴=，即=，F(xiàn)Q，F(xiàn)Q=
FQ，∴PG=FG=?∴PQ=PG+GQ=∴FQ=PQ，F(xiàn)Q=FQ+設(shè)P（m，m2﹣m﹣4）（0＜m＜4），則Q（m，m﹣4），∴PQ=m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）=﹣m2+m，∴FQ=∵﹣（﹣m2+m）=﹣＜0，（m﹣2）2+
∴QF有最大值．
∴當m=2時，QF有最大值．
第43頁（共107頁）
13．已知拋物線y=ax2+bx+c過點A（0，2）．（1）若點（﹣，0）也在該拋物線上，求a，b滿足的關(guān)系式；
（2）若該拋物線上任意不同兩點M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足：當x1＜x2＜0時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；當0＜x1＜x2時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原點O為心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為B，C，且△ABC有一個內(nèi)角為60°．
①求拋物線的解析式；
②若點P與點O關(guān)于點A對稱，且O，M，N三點共線，求證：PA平分∠MPN． 【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c過點A（0，2），∴c=2． 又∵點（﹣∴a（﹣∴2a﹣，0）也在該拋物線上，）+c=0，）2+b（﹣b+2=0（a≠0）．
（2）①∵當x1＜x2＜0時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0，∴當x＜0時，y隨x的增大而增大； 同理：當x＞0時，y隨x的增大而減小，∴拋物線的對稱軸為y軸，開口向下，∴b=0．
∵OA為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為B、C，∴△ABC為等腰三角形，又∵△ABC有一個內(nèi)角為60°，第44頁（共107頁）
∴△ABC為等邊三角形．
設(shè)線段BC與y軸交于點D，則BD=CD，且∠OCD=30°，又∵OB=OC=OA=2，∴CD=OC?cos30°=，OD=OC?sin30°=1．，﹣1）． 不妨設(shè)點C在y軸右側(cè)，則點C的坐標為（∵點C在拋物線上，且c=2，b=0，∴3a+2=﹣1，∴a=﹣1，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2．
②證明：由①可知，點M的坐標為（x1，﹣直線OM的解析式為y=k1x（k1≠0）． ∵O、M、N三點共線，∴x1≠0，x2≠0，且∴﹣x1+=﹣x2+，，﹣
+2）． =，+2），點N的坐標為（x2，﹣
+2）．
∴x1﹣x2=﹣∴x1x2=﹣2，即x2=﹣∴點N的坐標為（﹣設(shè)點N關(guān)于y軸的對稱點為點N′，則點N′的坐標為（∵點P是點O關(guān)于點A的對稱點，∴OP=2OA=4，∴點P的坐標為（0，4）． 設(shè)直線PM的解析式為y=k2x+4，∵點M的坐標為（x1，﹣∴﹣，﹣+2）．
+2），+2=k2x1+4，第45頁（共107頁）
∴k2=﹣，∴直線PM的解析式為y=﹣x+4．
∵﹣?+4==﹣+2，∴點N′在直線PM上，∴PA平分∠MPN．
14．如圖，已知拋物線y=ax2+bx與x軸分別交于原點O和點F（10，0），與對稱軸l交于點E（5，5）．矩形ABCD的邊AB在x軸正半軸上，且AB=1，邊AD，BC與拋物線分別交于點M，N．當矩形ABCD沿x軸正方向平移，點M，N位于對稱軸l的同側(cè)時，連接MN，此時，四邊形ABNM的面積記為S；點M，N位于對稱軸l的兩側(cè)時，連接EM，EN，此時五邊形ABNEM的面積記為S．將點A與點O重合的位置作為矩形ABCD平移的起點，設(shè)矩形ABCD平移的長度為t（0≤t≤5）．
第46頁（共107頁）
（1）求出這條拋物線的表達式；（2）當t=0時，求S△OBN的值；
（3）當矩形ABCD沿著x軸的正方向平移時，求S關(guān)于t（0＜t≤5）的函數(shù)表達式，并求出t為何值時，S有最大值，最大值是多少？
【解答】解：（1）將E（5，5）、F（10，0）代入y=ax2+bx，解得：，∴拋物線的表達式為y=﹣x2+2x．
（2）當t=0時，點B的坐標為（1，0），點N的坐標為（1，），∴BN=，OB=1，∴S△OBN=BN?OB=
．
（3）①當0＜t≤4時（圖1），點A的坐標為（t，0），點B的坐標為（t+1，0），∴點M的坐標為（t，﹣t2+2t），點N的坐標為（t+1，﹣（t+1）2+2（t+1）），∴AM=﹣t2+2t，BN=﹣（t+1）2+2（t+1），∴S=（AM+BN）?AB=×1×[﹣t2+2t﹣（t+1）2+2（t+1）]，=﹣t2+t+，=﹣（t﹣）2+∵﹣＜0，∴當t=4時，S取最大值，最大值為；
②當4＜t≤5時（圖2），點A的坐標為（t，0），點B的坐標為（t+1，0），第47頁（共107頁）
∴點M的坐標為（t，﹣t2+2t），點N的坐標為（t+1，﹣（t+1）2+2（t+1）），∴AM=﹣t2+2t，BN=﹣（t+1）2+2（t+1），∴S=（5﹣t）（﹣t2+2t+5）+（t﹣4）[5﹣（t+1）2+2（t+1）]，=（t3﹣3t2+5t+25）+（﹣t3+=﹣=﹣∵﹣t2+t﹣，t2+t﹣），（t﹣）2+＜0，∴當t=時，S取最大值，最大值為∵=＜，．
∴當t=時，S有最大值，最大值是．
15．如圖，已知拋物線經(jīng)過點A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點，點D與點C關(guān)于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，設(shè)點P的坐標為（m，0），過點P做x軸的垂線l交拋物線于點Q，交直線BD于點M．（1）求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達式；
第48頁（共107頁）
（2）已知點F（0，），當點P在x軸上運動時，試求m為何值時，四邊形DMQF是平行四邊形？
（3）點P在線段AB運動過程中，是否存在點Q，使得以點B、Q、M為頂點的三角形與△BOD相似？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）由拋物線過點A（﹣1，0）、B（4，0）可設(shè)解析式為y=a（x+1）（x﹣4），將點C（0，2）代入，得：﹣4a=2，解得：a=﹣，則拋物線解析式為y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2；
（2）由題意知點D坐標為（0，﹣2），設(shè)直線BD解析式為y=kx+b，將B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：解得：，∴直線BD解析式為y=x﹣2，∵QM⊥x軸，P（m，0），∴Q（m，﹣m2+m+2）、M（m，m﹣2），則QM=﹣m2+m+2﹣（m﹣2）=﹣m2+m+4，第49頁（共107頁）
∵F（0，）、D（0，﹣2），∴DF=，∵QM∥DF，∴當﹣m2+m+4=時，四邊形DMQF是平行四邊形，解得：m=﹣1（舍）或m=3，即m=3時，四邊形DMQF是平行四邊形；
（3）如圖所示：
∵QM∥DF，∴∠ODB=∠QMB，分以下兩種情況：
①當∠DOB=∠MBQ=90°時，△DOB∽△MBQ，則===，∵∠MBQ=90°，∴∠MBP+∠PBQ=90°，∵∠MPB=∠BPQ=90°，∴∠MBP+∠BMP=90°，∴∠BMP=∠PBQ，∴△MBQ∽△BPQ，∴=，即=，第50頁（共107頁）
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