第一篇：二次函數的應用教案

30.4二次函數應用（第一課時）

教學目標

知

識

與

技

能

通過本節學習，鞏固二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與性質，理解頂點與最值的關系，會求解最值問題。過

程

與

方

法

通過觀察圖象，理解頂點的特殊性，會把實際問題中的最值轉化為二次函數的最值問題，通過動手動腦，提高分析解決問題的能力，并體會一般與特殊的關系，了解數形結合思想、函數思想。情感、態度與價值觀

通過學生之間的討論、交流和探索，建立合作意識，提高探索能力，激發學習的興趣和欲望，體會數學在生活中廣泛的應用價值。

教學重點：利用二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與性質，求面積最值問題

教學難點：(1)正確構建數學模型

(2)對函數圖象頂點、端點與最值關系的理解與應用

一、復習引入

1、二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）圖象的頂點坐標、對稱軸和最值。

2、（1）求函數y＝x2+2x－3的最值。

（2）求函數y＝x2+2x－3的最值。（0≤x ≤ 3）

3、拋物線在何位置取最值？

二、新課講授

1、講解例題教師提出問題，引導學生觀察思考，學生獨立研究解決方案、展示

師生共同分析解決問題，引導學生討論、交流、歸納，深入參與討論，重點關注是否準確建立函數關系及討論自變量取值范圍 匯報、展示

師生共同小結并反思，加深理解

2、歸納總結復習提問讓學生回憶二次函數圖象、頂點與最值，求最值方法；實際問題中，提醒學生注意求解函數問題不能離開自變量取值范圍這個條件的制約才有意義，做完練習后及時讓學生總結出了取最值的點的位置往往在頂點和兩個端點之間選擇，為學習新課做好知識鋪墊。

例題及練習的設計是尋找了學生熟悉的家門口的生活背景，從學生身邊較熟悉的事情

入手，讓學生初步體會數學不能脫離生活實際，加深對知識的理解，做到數與形的完美結合，從而提煉出解題方法。讓學生對自變量的意義有更深刻的理解，這樣既培養了學生思維的嚴密性，又為今后能靈活地運用知識解決問題奠定了堅實的基礎。

小結過程中讓學生體會到數學思想與方法。

三、練習

四、小結、作業

第二篇：6.4二次函數應用教案

課 題: §6.3二次函數的應用（2）教學目標：

1.能根據揭示實際問題中數量變化關系的圖象特征，用相關的二次函數知識解決實際問題； 2.會用二次函數的相關知識解決現實生活中一些有關拋物線的問題

教學重點：運用二次函數的相關知識解決現實生活中一些有關拋物線的問題 教學難點：揭示實際問題中數量變化關系的圖象特征 教學程序設計：

一、情境創設

打高爾夫球時，球的飛行路線可以看成是一條拋物線，如果不考慮空氣的阻力，某次球的飛行高度y（單位：米）與飛行距離x（單位：百米）滿足二次函數：y＝－5x2＋20x.（1）這個球飛行的水平距離最遠是多少米？（2）這個球飛行的最大高度是多少米？

y(米）30 20 10 師生活動設計：師：出示問題，讓學生思考后嘗試解答

生：思考并嘗試解答情境中的兩個問題

設計意圖：該情境屬于簡單、常見的問題，根據已有的知識立刻可以知道該如何去做，從而為本節課做一個很好的鋪墊，也符合學生的認知規律

二、探索活動 活動：

（1）如何求這個球飛行時最遠的水平距離？

（2）如何求出飛行路線與x軸的兩個交點坐標呢？（3）如何求這個球飛行的最大高度？（4）如何求出拋物線的頂點坐標？

師生活動設計：生1：求這個球飛行時最遠的水平距離就是求落地點與原點的距離，因此只要求出飛行路線與x軸的兩個交點坐標.生2：只要令y=0，求出相應x的值，就可求出飛行路線與x軸的兩個交點坐標.生3：只要求出拋物線的頂點坐標.生4：把解析式配成頂點式或利用頂點公式.師：根據學生的回答依次板演解答過程.設計意圖：通過活動的引導，讓學生理解解決二次函數圖象問題時，數形結合是重要的方法，而在解決問題的過程中，求拋物線上某點的坐標是關鍵

三、例題教學 O 1 2 3 4

例1：某噴灌設備的噴頭B高出地面1.2m，如果噴出的拋物線形水流的水平距離x(m)與高度y(m)之間的關系為二次函數y=a（x-4）2+2.求水流落地點D與噴頭底部A的距離（精確到0.1m）

B O（A）D

答案：

∵水流拋物線對應的二次函數為y=a（x-4）2+2，且該拋物線經過點B（0，1.2）∴把x＝0、y＝1.2代入y=a（x-4）2+2，得1.2=a（0-4）2+2，解得a＝－0.05 ∴y=－0.05（x-4）2+2，把y＝0代入y=－0.05（x-4）2+2，得－0.05（x-4）2+2＝0，解得x1≈－2.3（舍去），x2≈10.3 答：水流落地點D與噴頭底部A的距離約為10.3m.例2：如圖，小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了一根繩子，給他做了一個簡易的秋千，拴繩子的地方距地面高都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1米的小明距較近的那棵樹0.5米時，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點距地面的距離為 米．

y 0.5米 2.5米 O 2米 1米 x 師生活動設計師：出示例1 生：先思考嘗試解答.師：請學生回答并說出解答過程，教師根據學生的回答板書 師：出示例2 生：獨立思考后小組交流.師：請同學談談自己的做法，然后師生共同總結.設計意圖：例1與例2是兩個基本的二次函數的圖象問題.例1相對簡單，關鍵是確定二次函數的解析式，并求出二次函數的圖象上某點的坐標去解決；而例2有所深化，要綜合分析題意后思考解決.四、課堂小結

本節課學到了什么？

本節課主要探索由“形（函數圖象）”到“數（函數關系式）”的實際問題，如噴泉、噴灌等噴出的拋物線形水流及體育運動中一些呈拋物線狀的運動軌跡等.確定這些“隱性”函數圖象對應的函數關系式，并進行有效調控，可以使有關實際問題獲得理想的解決.師生活動設計：生：總結本節課的內容，并發言，其它學生補充。師：在學生完成小結后給出完善的小結。

設計意圖：幫助學生深化知識理解，完善認知結構，領悟思想方法，強化情感體驗，提高學生元認知的能力

五、當堂反饋（見導學案當堂反饋）

師生活動設計：獨立思考并完成。

設計意圖：通過當堂反饋，鞏固和復習本節課的內容。

六、課后作業（見導學案課后作業）

設計意圖：既照顧全體，又關注個別，真正體現全面關注所有學生的發展，并鞏固學生所學習的知識.七、教學反思

第三篇：《二次函數 》教案

命題人：劉英明 審題人：曹金滿 課型：新授課

《二次函數 》教案

學習重點：通過具體問題引入二次函數的概念，在解決問題的過程中體會二次函數的意義．

學習難點：理解二次函數的概念，掌握二次函數的形式.一、知識回顧：

1.若在一個變化過程中有兩個變量和，如果對于的每一個值，都有唯一的值與它對應，那么就說是的，叫做.2.形如 的函數是一次函數，當時，它是正比例函數；

形如 的函數是反比例函數.二、探究新知：

1.用16m長的籬笆圍成長方形圈養小兔，圈的面積與長方形的長之間的函數關系式為.2.支球隊參加比賽，每兩隊之間進行一場比賽．寫出比賽的場次數與球隊數之間的關系式_______________________．

3.用一根長為40的鐵絲圍成一個半徑為的扇形，求扇形的面積與它的半徑之間的函數關系式是.4.觀察上述函數函數關系有哪些共同之處？

5.歸納：一般地，形如，（）的函數為二次函數。其中是自變量，是__________，是___________，是_____________．

6.方法：①等號右邊是整式； ②自變量最高次數為2； ③二次項系數不等于0.三、舉例應用：

例1.當 值時，函數二次函數；

當 值時，函數為一次函數；

例2.下列函數中，哪些是二次函數？

(1)(2)(3)

(4)(5)(6)

例3.填出下列二次函數的二次項系數、一次項系數、常數項

四、鞏固練習：

1.下列函數中哪些是二次函數？

(1)；(2)；(3)；

(4)；(5)．

2.若函數為二次函數，則的值為.3.分別說出下列二次函數的二次項系數、一次項系數和常數項：

(1)(2)(3)

4.已知函數，(1)當為何值時，這個函數是二次函數？

(2)當為何值時，這個函數是一次函數？

五、課堂小結：

談談今天你的收獲.六、課后作業：

數學同步練習冊.隨堂檢測

一、選擇題：

1.若是二次函數，則的值為（）

A.±2 B.﹣2 C.2 D.0

2.下列函數中是二次函數的是()

A.B.C.D.3.一定條件下,若物體運動的路段(米)與時間(秒)之間的關系為,則當秒時,該物體所經過的路程為（）

A.28米 B.48米 C.68米 D.88米

二、填空題：

4.觀察：①；②；③；④；⑤；⑥．這6個式子中二次函數有（只填序號）.5.是二次函數，則的值為______________．

6.若物體運動的路段（米）與時間（秒）之間的關系為，則當秒時，該物體所經過的路程為.7.把函數化成的形式是.8.二次函數．當時，則這個二次函數解析式為 ．

9.是二次函數,則的值為_________________.三、解答題：

10.取哪些值時，函數是以為自變量的二次函數？

11.已知與成正比例,并且當時,.求與之間的函數關系式.12.一個長方形的長是寬的2倍，寫出這個長方形的面積與寬之間的函數關系式.13.某種商品的價格是2元，準備連續兩次降價.如果每次降價的百分率都是，經過兩次降

價后的價格（單位：元）隨每次降價的百分率的變化而變化，與之間的關系可以用怎樣的函數來表示：

14.為了改善小區環境，某小區決定要在一塊一邊靠墻（墻長25m）的空地上修建一個矩形綠化帶ABCD，綠化帶一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍住（如圖）．若設綠化帶的BC邊長為m，綠化帶的面積為．求與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍．

第四篇：二次函數教案

二次函數教案

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20.1二次函數

一、教學目標：

．知識與技能：

通過對多個實際問題的分析，讓學生感受二次函數作為刻畫現實世界有效模型的意義；通過觀察和分析，學生歸納出二次函數的概念并能夠根據函數特征識別二次函數.2．數學思考：

學生能對具體情境中的數學信息作出合理的解釋，能用二次函數來描述和刻畫現實事物間的函數關系.3．解決問題：

體驗數學與日常生活密切相關，讓學生認識到許多問題可以用數學方法解決，體驗實際問題“數學化”的過程.4．情感與態度：

通過觀察、歸納、猜想、驗證等教學活動，給學生創造成功機會，使他們愛學、樂學、學會，同時培養學生勇于探索，積極合作精神以及公平競爭的意識.二、教學重點、難點：

教學重點：認識二次函數，經歷探索函數關系、歸納二次函數概念的過程.教學難點：根據函數解析式的結構特征，歸納出二次函數的概念.三、教學方法和教學手段：

在確定二次函數的概念和尋求生活實例中的二次函數關系式的過程中，引導學生觀察、比較、分析和概括，以小組討論的形式，進行合作探究．

在教學手段方面，選擇了多媒體輔助教學的方式．

四、教學過程：

師生活動

設計意圖

、問題感知，情境切入.教師展示實際問題：

“第18屆世界杯足球賽”是今年夏天最“熱”的一個話題，綠蔭場上運動員揮汗如雨，綠蔭場外教練員運籌帷幄.足球運動是一項對運動員狀態（包括體能、速度和技術意識）要求很高的項目，一般情況下，足球運動員的狀態會隨著時間的變化而變化：比賽開始后，球員慢慢進入狀態，中間有一段時間球員保持較為理想的狀態，隨后球員的狀態慢慢下降.經實驗分析可知：球員的狀態綜合指數y隨時間t的變化規律有如下關系：

（1）比賽開始后第10分鐘時與比賽開始后第50分鐘時比較，什么時間球員的狀態更好？

（2）比賽開始后多少分鐘時，球員的狀態最好，這樣的最好狀態能持續多少分鐘？

通過學生之間的討論，很容易得出第（1）問的答案：比賽開始后第10分鐘時，y=140；比賽開始后第50分鐘時，y=220；所以，比賽開始后第50分鐘時球員的狀態更好.當學生開始進行第（2）問的解答時，遇到了不同的困難：

（1）不知道如何討論當50t90時，y的變化范圍？

（2）通過模仿一次函數的性質，學生求出了函數y=

中，y的變化范圍是.卻無法說出這樣做的數學依據是什么？

所有的困難都指向一個焦點問題：

y=

是個什么樣的函數？它具有什么樣的獨特性質？

因此，學生產生了研究函數y= 的興趣，教師趁勢提出今天的學習內容.以“世界杯足球賽”這樣貼近學生生活實際的問題為背景，力求更好地激發學生的求知欲，使之成為主動、積極的探索者，并在解決實際問題的過程中體驗成功的快樂，同時為新課的引出和學習奠定了基礎.這是一道結合實際的自編題，其中的數據于自己做的社會調查.足球運動是一項集體運動項目，對運動員的配合意識要求很高，所以運動員上場后30分鐘左右才進入最佳狀態，中場休息后狀態仍能保持到最佳，50分鐘后由于體能的下降影響了狀態的發揮.2、講解新課，提煉知識.（1）對比、分析

教師舉出生活中的其它實例，感受二次函數的意義，進一步深化對二次函數概念的認識.①如圖，正方形中圓的半徑是4cm，陰影部分的面積Q和正方形的邊長a的函數關系式是____________________．

②某種藥品現價每盒26元，計劃兩年內每年的降價率都為p，那么，兩年后這種藥品每盒的價格m（元）和年降價率p的函數關系式是____________________．

答案：m=262

（2）類比、遷移

教師順勢提問：對y=、Q=a2-

16、m=262這三個函數你能用一個一般形式來表示嗎？

教師參與到學生的分組討論中去，合作交流，注意及時抓住學生智慧火花的閃現進行引導.教師鼓勵學生用不同字母表示，只要把握概念的實質即可，必要時可提示學生，類比一次函數的知識.（3）二次函數的認識

一般地，我們把形如y=ax2+bx+c（a≠0）（說明：括號內的條件，在第步之后再補寫）的函數叫做二次函數，其中a、b分別是二次項系數、一次項系數，c是常數項.（4）加深理解

二次函數的定義給出后，教師引導學生分別討論“a、b、c的取值范圍”.學生就問題自由發言，教師充分引導學生發表自己的看法，只要合理，都應肯定.最后師生達到共識：

①a不能為0，因為當a=0時，右邊不再是x的二次式；

②b、c都能為0，因為當b=0、c=0或b、c都為0時，右邊仍是x的二次式.教師對所得出的常量范圍，進行概念補寫.通過兩個實例的分析，讓學生通過自己列解析式，來思考所列解析式的結構特征，為概括二次函數的定義打下基礎.引導學生側重從解析式的特征思考，透過“引用不同字母”的表層現象，看到解析式的“結構一致”的本質.敞開思想，廣泛議論，實現對二次函數本質的認識.充分肯定學生的探究結果，使其樹立“我也能發現數學”的信心.教師的提問意在引起學生的思維沖突，使之產生探究的欲望.遵循學生認知發展及知識系統的形成過程，由一般到特殊逐步為概念的理解鋪平道路.3、分層實踐，能力升級.[快速搶答]

下面各函數中，哪些是二次函數？

（1）①y=2x2

②y=－x2+3

③y=（x≠0）

④y=15x-1

⑤y=2+2

⑥y=3x2-2x-5

⑦y=-x（x2+4）

⑧y=

答：①、②、⑤、⑥是二次函數

（2）請寫出這些二次函數中a、b、a

b

c

①y=2x2

0

c的值.0

②y=－x2+3

－

0

⑤y=2+2

=x2+2x+3

⑥y=3x2-2x-5

特別強調：只有把解析式⑤整理成一般形式，才能正確判斷解析式中的a、b、c.1.[輕松完成]：矩形的周長為20cm，它的面積S（cm2）和它的一邊長a（cm）的函數關系式是怎樣的？并求出此函數的定義域.答案：S=a=-a2+10a，其中函數的定義域為：0

（1）寫出即時速度Vt與時間t的函數關系式；

（2）寫出平均速度與時間t的函數

關系式；（提示：本題中，平均速度）

（3）寫出滾動的距離S（單位：米）與滾動的時間t（單位：秒）之間的關系式.（提示：本題中，距離S=平均速度時間t）

（4）請判斷以上三個函數的類型，如果是二次函數，寫出解析式中的a、b、c.答案：

（1）Vt=1.5t；

（2）

=

= ；

（3）S=

t=

；

（4）函數Vt=1.5t和

=是一次函數，函數S=

是二次函數，解析式中的a=，b=0，c=0.3.[請你幫個忙]：某果園有100棵橘子樹，每一棵樹平均結600個橘子.現準備多種一些橘子樹以提高產量，但是如果多種樹，那么樹與樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據經驗估計，每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結5個橘子.那么，如何表示增種的橘子樹的數量x（棵）與橘子總產量y（個）之間的函數關系式呢？判斷這個函數的類型，如果是二次函數，寫出解析式中的a、b、c.答案：

解析式中的a=-5，b=100，c=60000.4.你出題大家做如圖，正方形ABcD的邊長是5，E是AB上的一個動點，G是AD的延長線上一點，且BE=DG，GF∥AB，EF

∥

AD，_____________________________________________?

請同學們以小組為單位嘗試編一道實際函數問題，列出的函數關系是可以是二次函數，也可以是一次函數.估計學生可能想到：

①矩形AEGF的面積y與BE的長x

之間的關系可以用怎樣的函數來表示？

答案：

②矩形AEmD的面積y與BE的

長x之間的關系可以用怎樣的函數來表示？

答案：

③矩形BEmc的面積y與BE的長x之間的關系可以用怎樣的函數來表示？

答案：

④矩形DmFG的面積y與BE的長x之間的關系可以用怎樣的函數來表示？

答案：

⑤其它類型：六邊形ABcmFG的周長y與BE的長x之間的函數關系；矩形AEGF的周長y與BE的長x之間的函數關系；……

這是一道概念辨析題，目的是讓學生正確識別二次函數，同時認識二次函數解析式中a、b、c的意義.通過求函數的定義域，讓學生體會實際問題中的二次函數的特點。

通過這道題的安排，讓學生體會到了二次函數應用的廣泛性。同時，學生在列解析式的過程中，從對比的角度全面了解判定二次函數的方法，進一步了解不同函數的差異，從而對函數的本質有更深入了解。

這道實際問題的解決，培養了學生的觀察能力和歸納能力，更重要的是讓學生體驗了實際問題“數學化”的過程.興趣是學習的動力源泉，學生在參與編題的過程中，培養了與人合作的精神和創新意識，通過學生多層次、多角度地解決問題的方式，使原本枯燥的數學課堂逐漸被開放、熱烈，富于創造性的課堂氣氛所代替，成為激發學生潛力的最佳土壤.4、展示交流，總結新知.（1）學生自己總結，并在班上交流

本節課——

我學會了……

使我感觸最深的……

我感到最困難的是……

我最值得學習的同學是……

（2）結合學生所述，教師給予指導：

①正確理解“二次函數”定義，關注和定義有關的注意問題.②生活中處處有數學的影子，只要留心觀察身邊的事物，開動腦筋，就能用數學知識解決許多的生活實際問題.課堂小結以教師提問、學生自由討論的形式進行，借此促進師生心靈的交流，學生對自己清醒的認識和總結，必然促進其自主學習，獲得可持續發展的動力.5、布置作業、鞏固知識.（1）閱讀教材相應內容，完成課后習題第45--46頁第1、2題.（2）實踐題：

推測植物的生長與溫度的關系

科幻小說《實驗室的故事》中，有這樣一個情節：科學家把一種珍奇植物分別放在不同溫度的環境中，經過一定時間后，測試出這種植物的增長情況（如下表）

溫度t/℃

植物高度

增長量L/mm

由這些數據，科學家推測出植物的增加量L與溫度t的函數關系，并由它推測出最適合這種植物增長的溫度.你能想出科學家是怎樣推測的嗎？請在直角坐標系里畫出這個函數的大致圖象，根據圖象寫出你的分析.必做題促進知識的鞏固，實踐題供學有余力的學生完成，進一步培養發散思維及社會實踐能力.設置貼近學生生活的實際問題情境，并要求學生嘗試畫出二次函數的圖象來解決實際問題，激發學生探究新知的欲望，為以后的教學埋下伏筆.五、教案設計說明:

．注意聯系實際，滲透用教學的意識，力求呈現“問題情景——建立數學模型——解釋、應用與拓展”的過程，讓“人人學有價值的數學”.教學中以實際問題主線貫穿整個教學，強調具體問題的分析、抽象，滲透數學建模思想.注重問題的實際意義，選用貼近學生生活和具有時代氣息的例題、習題，激發學生的興趣，使學生體會二次函數在現實世界中的作用.2．給學生提供探索和交流的空間，數學活動力求避免單純的依賴模仿與記憶，而是一個生動活潑、主動和富有個性的過程.圍繞本節課所學知識，設置有現實意義的、具有挑戰性的開放型問題，激發學生積極思考，引導學生自主探索與合作交流，既能在探索中獲取知識，又能不斷豐富數學活動的經驗，學會探索，學會學習，提高解決問題的能力，發展創新意識和實踐能力.3．談化概念的形式記憶，關注概念的實際背景與形成過程，采用直觀導入、動手操作的方法，借助直觀形象，讓學生能夠理解概念，并初步學會應用.4．內容設計有彈性，真正實現“不同的人在數學上得到不同的發展”.關注學生群體的差異，尊重學生的個體差異，滿足多樣化的學習需要，所設置的問題既能使所有學生參與，又有一定的拓展、探索余地和廣闊的思維空間，使全體學生在獲得必要發展的前提下，不同的學生獲得不同的體驗。

第五篇：6.4 二次函數的應用

§6.4 二次函數的應用（2）

教學目標:

了解數學的應用價值，掌握實際問題中變量之間的二次函數關系，并運用二次函數的知識求出實際問題的最大值、最小值． 教學重點: 是應用二次函數解決實際問題中的最值．應用二次函數解決實際問題，要能正確分析和把握實際問題的數量關系，從而得到函數關系，再求最值．實際問題的最值，不僅可以幫助我們解決一些實際問題，也是中考中經常出現的一種題型． 教學難點: 本節難點在于能正確理解題意，找準數量關系．建立直角坐標系。教學方法: 在教師的引導下自主教學。教學過程:

一、情境創設

1、在平原上，一門迫擊炮發射的一發炮彈飛行的高度y（m）與飛行時間x（s）的關系12滿足y=－x＋10x． 5（1）經過多長時間，炮彈達到它的最高點？最高點的高度是多少？（2）經過多長時間，炮彈落在地上爆炸？

二、例題教學

1、解決書27頁問題二：

學生自主學習，相互探究解決問題的方案。

2、如圖所示,桃河公園要建造圓形噴水池.在水池中央垂直于水面處安裝一個柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子頂端A處的噴頭向外噴水,水流在各個方向沿形狀相同的拋物線落下,為使水流形狀較為漂亮,要求設計成水流在離OA距離為1m處達到距水面最大高度2.25m.(1)如果不計其它因素,那么水池的半徑至少要多少m,才能使噴出的水流不致落到池外？(2)若水流噴出的拋物線形狀與(1)相同,水池的半徑為3.5m,要使水流不落到池外,此時水流的最大高度應達到多少m(精確到0.1m)？

3、某涵洞是拋物線形，它的截面如圖26．2．9所示，現測得水面寬1．6m，涵洞頂點O到水面的距離為2．4m，在圖中直角坐標系內，涵洞所在的拋物線的函數關系式是什么？

4．一個涵洞成拋物線形，它的截面如圖現測得，當水面寬AB＝1.6 m時，涵洞頂點與水面的距離為2.4 m．這時，離開水面1.5 m處，涵洞寬ED是多少？

三、5．某工廠大門是一拋物線型水泥建筑物，如圖所示，大門地面寬AB=4m，頂部C離地面高度為4．4m．現有一輛滿載貨物的汽車欲通過大門，貨物頂部距地面2．8m，裝貨寬度為2．4m．請判斷這輛汽車能否順利通過大門．