第一篇：21.1 二次函數(shù)-教案

21.1 二次函數(shù)-教案

安慶市開發(fā)區(qū)實驗學校 王琪瓊 秦奮

一、教學目標：

（1）經(jīng)歷探索和表示二次函數(shù)關(guān)系的過程，獲得用二次函數(shù)表示變量之間關(guān)系的體驗。

（2）知道實際問題中存在的二次函數(shù)關(guān)系中，對自變量的取值范圍可能有不同的要求。

二、教材分析：

（1）內(nèi)容分析：本節(jié)從實際問題入手，結(jié)合學生已有的知識經(jīng)驗觀察、歸納出二次函數(shù)的概念，以及二次函數(shù)的一般表達式y(tǒng)=ax2+bx+c(其中a,b,c是常數(shù)，a≠0)，并使學生從中體會函數(shù)的思想。

（2）教學重點：二次函數(shù)的概念。

（3）教學難點：具體地分析、確定實際問題中函數(shù)關(guān)系式。

三、教學過程： 1．基礎(chǔ)回顧，鋪墊新知

（教師）在八年級我們已經(jīng)學習了函數(shù)的相關(guān)知識，那么哪位同學能幫助大家回憶一下函數(shù)的基本概念？

（學生）在某變化過程中的兩個變量x、y，當變量x在某個范圍內(nèi)取一個確定的值，另一個變量y總有唯一的值與它對應。

這樣的兩個變量之間的關(guān)系我們把它叫做函數(shù)關(guān)系。

對于上述變量x、y，我們把y叫x的函數(shù)。x叫自變量，y叫應變量。（教師）那么目前為止，我們已經(jīng)學習了哪種函數(shù)類型？（學生）一次函數(shù)以及一次函數(shù)的特殊形式—正比例函數(shù) 今天我們將學習一種新的函數(shù)

【設(shè)計意圖：本課時內(nèi)容是九年級的第一節(jié)，先幫助學生回憶函數(shù)的基本概念以及已經(jīng)學習過的一次函數(shù)，能讓學生更好地接受新知識】

2．設(shè)置情景，引入新知 問題1：正方體的六個面是全等的正方形,設(shè)正方形的棱長為x,表面積為y,顯然對于x的每一個值,y都有一個對應值,即y是x的函數(shù),它們的具體關(guān)系可以表示為y=6x2

問題2：某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶用長40m的圍網(wǎng)，在水庫中圍一塊矩形的水面，投放魚苗。要使圍成的水面面積S最大，它的長應是多少米? 解：設(shè)長為x m，則寬為（20-x）m 由題意，得：S=x（20-x）=-x2 + 20x

問題3：一玩具廠，有裝配工15人，規(guī)定每人每天應裝配玩具190個，但如果每增加一人，那么每人每天可少裝配10個。問增加多少人可使每天裝配總數(shù)最多？最多時是多少個？

解：設(shè)增加x人，裝配總數(shù)為y 由題意，得：y=（190-10x）（15+x）=-10x2 + 40x + 2850

【設(shè)計意圖：由現(xiàn)實中的實際問題入手給學生創(chuàng)設(shè)熟悉的問題情境，通過問題的解決，為得出二次函數(shù)的定義做好鋪墊，同時能讓學生感受到身邊的數(shù)學。學生通過分析、交流，探求二次函數(shù)的概念，加深對概念的理解，為解決問題打下基礎(chǔ)。】

3．觀察概括，學習新知

（1）教師引導學生觀察函數(shù)關(guān)系式(1)和(2)、（3），提出以下問題讓學生思考回答：

① 函數(shù)關(guān)系式(1)、(2)、（3）中的自變量各有幾個?(各有1個)② 函數(shù)關(guān)系式(1)和(2)有什么共同特點?(都是自變量最高次項為二次)（2）讓學生討論、交流，發(fā)表意見，歸結(jié)為

二次函數(shù)定義：形如y=ax2＋bx＋c(a、b、、c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù)。

注意：①等號左邊是變量y，右邊是關(guān)于自變量x的整式 ②a,b,c為常數(shù)，且a≠0 ③等式的右邊最高次數(shù)為2.二次函數(shù)的特殊形式：

– 當b＝0時，y＝ax2＋c – 當c＝0時，y＝ax2＋bx – 當b＝0，c＝0時，y＝ax2

【設(shè)計意圖：通過上述具體事例中列出的關(guān)系式，啟發(fā)學生觀察，思考，歸納出二次函數(shù)的概念。并且讓學生結(jié)合引例各不相同的特點總結(jié)特殊情況下二次函數(shù)的解析式，有助于學生更好地理解、掌握其特征，為接下來的二次函數(shù)相關(guān)性質(zhì)的學習做好鋪墊。】

4．課堂練習，鞏固新知

例

1、說一說，下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？ 1(1)y=3(x－1)2 +1(2)y=x+

x(3)s=3－2t2(4)y=(x+3)2－x2(5)y=

例

2、函數(shù)y=ax2＋bx＋c(a、b、、c是常數(shù))當a、b、c滿足什么條件時（1）它是二次函數(shù)（2）它是一次函數(shù)（3）它是正比例函數(shù)

例3：是否任何情況下二次函數(shù)中的自變量的取值范圍都是任意實數(shù)呢？ －x(6)v=8πr2 x2例如：圓的面積 y(cm2)與圓的半徑 X（cm)的函數(shù)關(guān)系是y =πX2 其中自變量x能取哪些值呢？(還是一切實數(shù)嗎？負數(shù)能取嗎?)注意:當二次函數(shù)表示某個實際問題時,還必須根據(jù)題意確定自變量的取值范圍.回顧前三個問題中的自變量取值范圍。

例

4、一農(nóng)民用40m長的籬笆圍成一個一邊靠墻的長方形菜園，和墻垂直的一邊長為xm，菜園的面積為ym2，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并說出自變量的取值范圍。當x=12m時，計算菜園的面積。

【設(shè)計意圖：學習了二次函數(shù)的概念后，讓學生在練習中感悟什么樣的函數(shù)是二次函數(shù)，將理論知識應用到實踐應用中。例1加強了學生對二次函數(shù)概念的理解，并且通過對各種解析式的辨別，熟練、正確、全面地理解了二次函數(shù)的概念。例2的設(shè)置更是融合了新舊知識，將已學的函數(shù)類型進行分析比對，理解各種函數(shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別。例3的意圖是希望學生注意實際問題中自變量的取值范圍，為后面學習函數(shù)實際應用打下基礎(chǔ)。例4是課本上的引例1的改編，在提升了難度之后，把此題放在本課的最后。此時，學生對二次函數(shù)的知識已有一定的基礎(chǔ)和相應的能力，學生會很容易列出函數(shù)關(guān)系式，也很容易分辨出是二次函數(shù)。通過這樣的實際例題，讓學生用所學的知識解決生活中的問題，體驗成功的快樂。】

5．課堂小結(jié)，再溫新知（1）請敘述二次函數(shù)的定義。

（2）許多實際問題可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來解決，請你聯(lián)系生活實際，編一道二次函數(shù)應用題，并寫出函數(shù)關(guān)系式。

【設(shè)計意圖：學生歸納本節(jié)課學習的主要內(nèi)容，讓學生自覺對所學知識進行梳理，形成體系，養(yǎng)成良好的學習習慣。】

6．布置作業(yè),加強新知

課堂作業(yè):課后練習、習題21.1第1、2題。

家庭作業(yè)：習題21.1第3、4、5、6題。(補充題選做)

【設(shè)計意圖：根據(jù)學生的個性特點及基礎(chǔ)水平情況，設(shè)計不同的作業(yè)，兼顧不同層次的學生，使學生都能得到不同程度的提高，體現(xiàn)因材施教的原則。】

板書設(shè)計：

21.1二次函數(shù)

導入練習：（1）y=6x2（2）S=-x2 + 20x（3）y=-10x2 + 40x + 2850 二次函數(shù)一般形式：

（1）y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，a≠0)特殊形式：

（2）y=ax2

（a≠0，但是b＝c＝0）（3）y=ax2＋bx(a≠0，且b ≠0,而c＝0）（4）y=ax2＋c(a≠0，且c ≠0,而b＝0）

第二篇：二次函數(shù)教案

二次函數(shù)教案

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20.1二次函數(shù)

一、教學目標：

．知識與技能：

通過對多個實際問題的分析，讓學生感受二次函數(shù)作為刻畫現(xiàn)實世界有效模型的意義；通過觀察和分析，學生歸納出二次函數(shù)的概念并能夠根據(jù)函數(shù)特征識別二次函數(shù).2．數(shù)學思考：

學生能對具體情境中的數(shù)學信息作出合理的解釋，能用二次函數(shù)來描述和刻畫現(xiàn)實事物間的函數(shù)關(guān)系.3．解決問題：

體驗數(shù)學與日常生活密切相關(guān)，讓學生認識到許多問題可以用數(shù)學方法解決，體驗實際問題“數(shù)學化”的過程.4．情感與態(tài)度：

通過觀察、歸納、猜想、驗證等教學活動，給學生創(chuàng)造成功機會，使他們愛學、樂學、學會，同時培養(yǎng)學生勇于探索，積極合作精神以及公平競爭的意識.二、教學重點、難點：

教學重點：認識二次函數(shù)，經(jīng)歷探索函數(shù)關(guān)系、歸納二次函數(shù)概念的過程.教學難點：根據(jù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，歸納出二次函數(shù)的概念.三、教學方法和教學手段：

在確定二次函數(shù)的概念和尋求生活實例中的二次函數(shù)關(guān)系式的過程中，引導學生觀察、比較、分析和概括，以小組討論的形式，進行合作探究．

在教學手段方面，選擇了多媒體輔助教學的方式．

四、教學過程：

師生活動

設(shè)計意圖

、問題感知，情境切入.教師展示實際問題：

“第18屆世界杯足球賽”是今年夏天最“熱”的一個話題，綠蔭場上運動員揮汗如雨，綠蔭場外教練員運籌帷幄.足球運動是一項對運動員狀態(tài)（包括體能、速度和技術(shù)意識）要求很高的項目，一般情況下，足球運動員的狀態(tài)會隨著時間的變化而變化：比賽開始后，球員慢慢進入狀態(tài)，中間有一段時間球員保持較為理想的狀態(tài)，隨后球員的狀態(tài)慢慢下降.經(jīng)實驗分析可知：球員的狀態(tài)綜合指數(shù)y隨時間t的變化規(guī)律有如下關(guān)系：

（1）比賽開始后第10分鐘時與比賽開始后第50分鐘時比較，什么時間球員的狀態(tài)更好？

（2）比賽開始后多少分鐘時，球員的狀態(tài)最好，這樣的最好狀態(tài)能持續(xù)多少分鐘？

通過學生之間的討論，很容易得出第（1）問的答案：比賽開始后第10分鐘時，y=140；比賽開始后第50分鐘時，y=220；所以，比賽開始后第50分鐘時球員的狀態(tài)更好.當學生開始進行第（2）問的解答時，遇到了不同的困難：

（1）不知道如何討論當50t90時，y的變化范圍？

（2）通過模仿一次函數(shù)的性質(zhì)，學生求出了函數(shù)y=

中，y的變化范圍是.卻無法說出這樣做的數(shù)學依據(jù)是什么？

所有的困難都指向一個焦點問題：

y=

是個什么樣的函數(shù)？它具有什么樣的獨特性質(zhì)？

因此，學生產(chǎn)生了研究函數(shù)y= 的興趣，教師趁勢提出今天的學習內(nèi)容.以“世界杯足球賽”這樣貼近學生生活實際的問題為背景，力求更好地激發(fā)學生的求知欲，使之成為主動、積極的探索者，并在解決實際問題的過程中體驗成功的快樂，同時為新課的引出和學習奠定了基礎(chǔ).這是一道結(jié)合實際的自編題，其中的數(shù)據(jù)于自己做的社會調(diào)查.足球運動是一項集體運動項目，對運動員的配合意識要求很高，所以運動員上場后30分鐘左右才進入最佳狀態(tài)，中場休息后狀態(tài)仍能保持到最佳，50分鐘后由于體能的下降影響了狀態(tài)的發(fā)揮.2、講解新課，提煉知識.（1）對比、分析

教師舉出生活中的其它實例，感受二次函數(shù)的意義，進一步深化對二次函數(shù)概念的認識.①如圖，正方形中圓的半徑是4cm，陰影部分的面積Q和正方形的邊長a的函數(shù)關(guān)系式是____________________．

②某種藥品現(xiàn)價每盒26元，計劃兩年內(nèi)每年的降價率都為p，那么，兩年后這種藥品每盒的價格m（元）和年降價率p的函數(shù)關(guān)系式是____________________．

答案：m=262

（2）類比、遷移

教師順勢提問：對y=、Q=a2-

16、m=262這三個函數(shù)你能用一個一般形式來表示嗎？

教師參與到學生的分組討論中去，合作交流，注意及時抓住學生智慧火花的閃現(xiàn)進行引導.教師鼓勵學生用不同字母表示，只要把握概念的實質(zhì)即可，必要時可提示學生，類比一次函數(shù)的知識.（3）二次函數(shù)的認識

一般地，我們把形如y=ax2+bx+c（a≠0）（說明：括號內(nèi)的條件，在第步之后再補寫）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中a、b分別是二次項系數(shù)、一次項系數(shù)，c是常數(shù)項.（4）加深理解

二次函數(shù)的定義給出后，教師引導學生分別討論“a、b、c的取值范圍”.學生就問題自由發(fā)言，教師充分引導學生發(fā)表自己的看法，只要合理，都應肯定.最后師生達到共識：

①a不能為0，因為當a=0時，右邊不再是x的二次式；

②b、c都能為0，因為當b=0、c=0或b、c都為0時，右邊仍是x的二次式.教師對所得出的常量范圍，進行概念補寫.通過兩個實例的分析，讓學生通過自己列解析式，來思考所列解析式的結(jié)構(gòu)特征，為概括二次函數(shù)的定義打下基礎(chǔ).引導學生側(cè)重從解析式的特征思考，透過“引用不同字母”的表層現(xiàn)象，看到解析式的“結(jié)構(gòu)一致”的本質(zhì).敞開思想，廣泛議論，實現(xiàn)對二次函數(shù)本質(zhì)的認識.充分肯定學生的探究結(jié)果，使其樹立“我也能發(fā)現(xiàn)數(shù)學”的信心.教師的提問意在引起學生的思維沖突，使之產(chǎn)生探究的欲望.遵循學生認知發(fā)展及知識系統(tǒng)的形成過程，由一般到特殊逐步為概念的理解鋪平道路.3、分層實踐，能力升級.[快速搶答]

下面各函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？

（1）①y=2x2

②y=－x2+3

③y=（x≠0）

④y=15x-1

⑤y=2+2

⑥y=3x2-2x-5

⑦y=-x（x2+4）

⑧y=

答：①、②、⑤、⑥是二次函數(shù)

（2）請寫出這些二次函數(shù)中a、b、a

b

c

①y=2x2

0

c的值.0

②y=－x2+3

－

0

⑤y=2+2

=x2+2x+3

⑥y=3x2-2x-5

特別強調(diào)：只有把解析式⑤整理成一般形式，才能正確判斷解析式中的a、b、c.1.[輕松完成]：矩形的周長為20cm，它的面積S（cm2）和它的一邊長a（cm）的函數(shù)關(guān)系式是怎樣的？并求出此函數(shù)的定義域.答案：S=a=-a2+10a，其中函數(shù)的定義域為：0

（1）寫出即時速度Vt與時間t的函數(shù)關(guān)系式；

（2）寫出平均速度與時間t的函數(shù)

關(guān)系式；（提示：本題中，平均速度）

（3）寫出滾動的距離S（單位：米）與滾動的時間t（單位：秒）之間的關(guān)系式.（提示：本題中，距離S=平均速度時間t）

（4）請判斷以上三個函數(shù)的類型，如果是二次函數(shù)，寫出解析式中的a、b、c.答案：

（1）Vt=1.5t；

（2）

=

= ；

（3）S=

t=

；

（4）函數(shù)Vt=1.5t和

=是一次函數(shù)，函數(shù)S=

是二次函數(shù)，解析式中的a=，b=0，c=0.3.[請你幫個忙]：某果園有100棵橘子樹，每一棵樹平均結(jié)600個橘子.現(xiàn)準備多種一些橘子樹以提高產(chǎn)量，但是如果多種樹，那么樹與樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據(jù)經(jīng)驗估計，每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結(jié)5個橘子.那么，如何表示增種的橘子樹的數(shù)量x（棵）與橘子總產(chǎn)量y（個）之間的函數(shù)關(guān)系式呢？判斷這個函數(shù)的類型，如果是二次函數(shù)，寫出解析式中的a、b、c.答案：

解析式中的a=-5，b=100，c=60000.4.你出題大家做如圖，正方形ABcD的邊長是5，E是AB上的一個動點，G是AD的延長線上一點，且BE=DG，GF∥AB，EF

∥

AD，_____________________________________________?

請同學們以小組為單位嘗試編一道實際函數(shù)問題，列出的函數(shù)關(guān)系是可以是二次函數(shù)，也可以是一次函數(shù).估計學生可能想到：

①矩形AEGF的面積y與BE的長x

之間的關(guān)系可以用怎樣的函數(shù)來表示？

答案：

②矩形AEmD的面積y與BE的

長x之間的關(guān)系可以用怎樣的函數(shù)來表示？

答案：

③矩形BEmc的面積y與BE的長x之間的關(guān)系可以用怎樣的函數(shù)來表示？

答案：

④矩形DmFG的面積y與BE的長x之間的關(guān)系可以用怎樣的函數(shù)來表示？

答案：

⑤其它類型：六邊形ABcmFG的周長y與BE的長x之間的函數(shù)關(guān)系；矩形AEGF的周長y與BE的長x之間的函數(shù)關(guān)系；……

這是一道概念辨析題，目的是讓學生正確識別二次函數(shù)，同時認識二次函數(shù)解析式中a、b、c的意義.通過求函數(shù)的定義域，讓學生體會實際問題中的二次函數(shù)的特點。

通過這道題的安排，讓學生體會到了二次函數(shù)應用的廣泛性。同時，學生在列解析式的過程中，從對比的角度全面了解判定二次函數(shù)的方法，進一步了解不同函數(shù)的差異，從而對函數(shù)的本質(zhì)有更深入了解。

這道實際問題的解決，培養(yǎng)了學生的觀察能力和歸納能力，更重要的是讓學生體驗了實際問題“數(shù)學化”的過程.興趣是學習的動力源泉，學生在參與編題的過程中，培養(yǎng)了與人合作的精神和創(chuàng)新意識，通過學生多層次、多角度地解決問題的方式，使原本枯燥的數(shù)學課堂逐漸被開放、熱烈，富于創(chuàng)造性的課堂氣氛所代替，成為激發(fā)學生潛力的最佳土壤.4、展示交流，總結(jié)新知.（1）學生自己總結(jié)，并在班上交流

本節(jié)課——

我學會了……

使我感觸最深的……

我感到最困難的是……

我最值得學習的同學是……

（2）結(jié)合學生所述，教師給予指導：

①正確理解“二次函數(shù)”定義，關(guān)注和定義有關(guān)的注意問題.②生活中處處有數(shù)學的影子，只要留心觀察身邊的事物，開動腦筋，就能用數(shù)學知識解決許多的生活實際問題.課堂小結(jié)以教師提問、學生自由討論的形式進行，借此促進師生心靈的交流，學生對自己清醒的認識和總結(jié)，必然促進其自主學習，獲得可持續(xù)發(fā)展的動力.5、布置作業(yè)、鞏固知識.（1）閱讀教材相應內(nèi)容，完成課后習題第45--46頁第1、2題.（2）實踐題：

推測植物的生長與溫度的關(guān)系

科幻小說《實驗室的故事》中，有這樣一個情節(jié)：科學家把一種珍奇植物分別放在不同溫度的環(huán)境中，經(jīng)過一定時間后，測試出這種植物的增長情況（如下表）

溫度t/℃

植物高度

增長量L/mm

由這些數(shù)據(jù)，科學家推測出植物的增加量L與溫度t的函數(shù)關(guān)系，并由它推測出最適合這種植物增長的溫度.你能想出科學家是怎樣推測的嗎？請在直角坐標系里畫出這個函數(shù)的大致圖象，根據(jù)圖象寫出你的分析.必做題促進知識的鞏固，實踐題供學有余力的學生完成，進一步培養(yǎng)發(fā)散思維及社會實踐能力.設(shè)置貼近學生生活的實際問題情境，并要求學生嘗試畫出二次函數(shù)的圖象來解決實際問題，激發(fā)學生探究新知的欲望，為以后的教學埋下伏筆.五、教案設(shè)計說明:

．注意聯(lián)系實際，滲透用教學的意識，力求呈現(xiàn)“問題情景——建立數(shù)學模型——解釋、應用與拓展”的過程，讓“人人學有價值的數(shù)學”.教學中以實際問題主線貫穿整個教學，強調(diào)具體問題的分析、抽象，滲透數(shù)學建模思想.注重問題的實際意義，選用貼近學生生活和具有時代氣息的例題、習題，激發(fā)學生的興趣，使學生體會二次函數(shù)在現(xiàn)實世界中的作用.2．給學生提供探索和交流的空間，數(shù)學活動力求避免單純的依賴模仿與記憶，而是一個生動活潑、主動和富有個性的過程.圍繞本節(jié)課所學知識，設(shè)置有現(xiàn)實意義的、具有挑戰(zhàn)性的開放型問題，激發(fā)學生積極思考，引導學生自主探索與合作交流，既能在探索中獲取知識，又能不斷豐富數(shù)學活動的經(jīng)驗，學會探索，學會學習，提高解決問題的能力，發(fā)展創(chuàng)新意識和實踐能力.3．談化概念的形式記憶，關(guān)注概念的實際背景與形成過程，采用直觀導入、動手操作的方法，借助直觀形象，讓學生能夠理解概念，并初步學會應用.4．內(nèi)容設(shè)計有彈性，真正實現(xiàn)“不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”.關(guān)注學生群體的差異，尊重學生的個體差異，滿足多樣化的學習需要，所設(shè)置的問題既能使所有學生參與，又有一定的拓展、探索余地和廣闊的思維空間，使全體學生在獲得必要發(fā)展的前提下，不同的學生獲得不同的體驗。

第三篇：九年級數(shù)學下冊《1.1二次函數(shù)》教學教案(湘教版)

九年級數(shù)學下冊《1.1二次函數(shù)》教學

教案（湘教版）

【知識與技能】

.理解具體情景中二次函數(shù)的意義，理解二次函數(shù)的概念,掌握二次函數(shù)的一般形式.2.能夠表示簡單變量之間的二次函數(shù)關(guān)系式,并能根據(jù)實際問題確定自變量的取值范圍.【過程與方法】

經(jīng)歷探索,分析和建立兩個變量之間的二次函數(shù)關(guān)系的過程,進一步體驗如何用數(shù)學的方法描述變量之間的數(shù)量關(guān)系.【情感態(tài)度】

體會數(shù)學與實際生活的密切聯(lián)系,學會與他人合作交流,培養(yǎng)合作意識.【教學重點】

二次函數(shù)的概念.【教學難點】

在實際問題中,會寫簡單變量之間的二次函數(shù)關(guān)系式教學過程.一、情境導入，初步認識

.教材P2“動腦筋”中的兩個問題：矩形植物園的面積S的關(guān)系式是S=-2x2+100x,；電腦價格y（元）與平均降價率x的關(guān)系式是y=6000x2-1XXx+6000,.它們有什么共同點?一般形式是y=ax2+bx+c這樣的函數(shù)可以叫做什么函數(shù)?二次函數(shù).2.對于實際問題中的二次函數(shù),自變量的取值范圍是否會有一些限制呢?有.二、思考探究，獲取新知

二次函數(shù)的概念及一般形式

在上述學生回答后,教師給出二次函數(shù)的定義:一般地,形如y=ax2+bx+c的函數(shù)，叫做二次函數(shù)，其中x是自變量,a,b,c分別是函數(shù)解析式的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.注意:①二次函數(shù)中二次項系數(shù)不能為0.②在指出二次函數(shù)中各項系數(shù)時,要連同符號一起指出.

第四篇：22.1.1-二次函數(shù)(教案)

第二十二章 二次函數(shù) 22.1 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

22.1.1 二次函數(shù)教案

教學目標

【知識與技能】

1.能結(jié)合具體情境體會二次函數(shù)的意義，理解二次函數(shù)的有關(guān)概念.2.能夠表示簡單變量之間的二次函數(shù)關(guān)系.【過程與方法】

通過具體問題情景中的二次函數(shù)關(guān)系了解二次函數(shù)的一般表述式，在類比一次函數(shù)、反比例函數(shù)表達式時感受二次函數(shù)中二次項系數(shù)a≠0的重要特征.【情感態(tài)度】

在探究二次函數(shù)的學習活動中，體會通過探究發(fā)現(xiàn)的樂趣.教學重點

結(jié)合具體情境體會二次函數(shù)的意義，掌握二次函數(shù)的有關(guān)概念.教學難點

1.能通過生活中的實際問題情境，構(gòu)建二次函數(shù)關(guān)系； 2.重視二次函數(shù)y=ax2+bx+c中a≠0這一隱含條件.教學過程

一、情境導入，初步認識

展示執(zhí)實心球圖片，體驗體育中的數(shù)學

二、溫故知新

1.什么叫做函數(shù)？（學生回顧）2.我們學過哪些函數(shù)？（PPT展示）

三、探究新知

問題1 如圖所示是一個棱長為xcm的正方體，它的表面積為ycm2,則y與x之間的關(guān)系式可表示為

，y是x的函數(shù)嗎？

問題2 多邊形的對角線總數(shù)d與邊數(shù)n有什么關(guān)系？可以想出,如果多邊形有n條邊,那么它有

個頂點,從一個頂點出發(fā),連接與這點不相鄰的各頂點,可以作

條對角線，用n的式子表d為：

。示這里d是n的函數(shù)嗎？

全班同學合作交流，共同完成上面的問題，教師全場巡視，發(fā)現(xiàn)問題可給予

1個別指導.在同學們基本完成情形下，教師再針對問題2，解釋d=n(n-3)而不是

2d=n(n-3)的原因.【教學說明】上述活動的目的在于引導同學們能通過具體問題情境建立二次函數(shù)關(guān)系式，體會二次函數(shù)是刻畫實際生活中自變量與因變量的關(guān)系的重要模型之一.11思考函數(shù)y=6x2，m=n2-n,y=20x2+40x+20有哪些共同點？

22【教學說明】在同學們相互交流、發(fā)言的過程中，教師應關(guān)注：（1）語言是否規(guī)范；（2）是否抓住共同點；（3）針對少數(shù)同學可能進一步探索出其不同點等問題應及時引導，讓同學們在輕松快樂的環(huán)境中進入二次函數(shù)的學習.【歸納結(jié)論】上述三個函數(shù)都是用自變量的二次式表示的，從而引出二次函數(shù)定義.一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a≠0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù).其中x是自變量，a、b、c分別是二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項.【教學說明】

針對上述定義，教師應強調(diào)以下幾個問題：（1）關(guān)于自變量x的二次式必須是二次整式，即可以是二次單項式、二次二項式和二次三項式；（2）二次項的系數(shù)a≠0是定義中不可缺少的條件，若a=0，則它是一次函數(shù)；（3）二次項和二次項系數(shù)不同，二次項指ax2,二次項系數(shù)則僅是指a的值；同樣，一次項與一次項系數(shù)也不同.四、運用新知，深化理解 1.下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)，哪些不是？若是二次函數(shù)，指出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項：

（1）y=(x+2)(x-2);(2)y=3x(2-x)+3x2;(3)y=1-2x+1;x2(4)y=1-3x2.2.說出下列二次函數(shù)的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項。（1）y=-x2+58x-112（2）y=πx2（3）y=x(1+x)（4）s=3－2t2(5)y=3(x－1)2+1

五、拓展探究

已知函數(shù)y=(m+1)xm2-2m-1 ?m?m?3?x?m是二次函數(shù)，求出它的解析式。【教學說明】這個環(huán)節(jié)的教學自主性很強，可讓同學們分小組完成，對優(yōu)勝小組給予鼓勵，培養(yǎng)學生團隊精神，讓部分學生分享成功的快樂。

學生探究后老師用PPT展示答案。拓展練習：

a?1y?(a?1)x是二次函數(shù)，求常數(shù)a的值。學生小組合作解答。

六、師生互動，課堂小結(jié) 1.二次函數(shù)的定義；

2.熟記二次函數(shù)y=ax2+bx+c中a≠0,a、b、c為常數(shù)的條件.【教學說明】本環(huán)節(jié)設(shè)置的目的在于讓學生進一步認識二次函數(shù)的相關(guān)定義，教師可與學生一起回。

七、隨堂演練

1.下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（）

A.y=2x+1

B.y=-2x+1

C.y=x2+2

D.y=

x-2 2.二次函數(shù)y=3x2-2x-4的二次項系數(shù)與常數(shù)項的和是（）

A.1

B.-1

C.7

D.-6 3.已知函數(shù)y=(a-1)x2+3x-1,若y是x的二次函數(shù)，則a的取值范圍是。

4.某種商品的價格是2元，準備進行兩次降價，如果每次降價的百分率都是x，則經(jīng)過兩次降價后的價格y（單位：元）與每次降價的百分率x的函數(shù)關(guān)系式是。

5.正方形的邊長為10cm，在中間挖去一個邊長為xcm的正方形，若剩余部分的面積為ycm2，則y與x的函數(shù)關(guān)系式是

，x的取值范圍為。

學生練習后集體訂正。課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：教材習題22.1第1、2、7題； 2.完成創(chuàng)優(yōu)作業(yè)中本課時練習的“課時作業(yè)”部分.教學反思

第五篇：21.1二次函數(shù)教案

二次函數(shù)y=ax2 的圖像與性質(zhì)教學設(shè)計

一、教材分析：

本節(jié)是學生學習了二次函數(shù)的概念之后，對其圖象及性質(zhì)逐步進行探究的一個內(nèi)容，在此之前學生已經(jīng)對正比例函數(shù)、一次函數(shù)和反比例函數(shù)的概念及圖象與性質(zhì)進行了學習，因此在本節(jié)課的學習方法上學生已經(jīng)有了一定的經(jīng)驗。但二次函數(shù)，它是進一步學習函數(shù)知識，體現(xiàn)函數(shù)知識螺旋發(fā)展的一個重要環(huán)節(jié)。同時在此節(jié)后，我們還將循序漸進，在此基礎(chǔ)上由簡到繁逐步展開二次函數(shù)的研究。二次函數(shù)的圖像是拋物線，是人們最為熟悉的曲線之一，同時拋物線形狀在建筑上也有著廣泛的應用，如拋物線型拱橋、拋物線型隧道等。可以說這節(jié)課既是承上啟下，同時本節(jié)課的學習也能讓學生體會到數(shù)學的實用及美感。其地位及作用不可小看。

二、設(shè)計思想

1.函數(shù)及其圖象在初中數(shù)學中占有很重要的位置。如何突破這個既重要又抽象的內(nèi)容，其實質(zhì)就是將抽象的符號語言與直觀的圖象語言有機的結(jié)合起來，通過具有一定思考價值的問題，激發(fā)學生的求知欲望――持久的好奇心。我們知道，函數(shù)的表示法有三種：列表法、圖象法、解析法，初二時的函數(shù)的學習大多只關(guān)注到圖象的作用，這其實只是借助了圖象的直觀性，只是從一個角度看函數(shù)，具有一定的片面性。本節(jié)課，力圖讓初三學生從不同的角度去研究函數(shù)，對函數(shù)進行一個全方位的研究，并通過對比總結(jié)得到研究的方法，讓學生去體會這種研究方法,以便能將其遷移到其他函數(shù)的研究中去。

2.結(jié)合新課程實施的教學理念，在本課的教學中我努力實踐以下兩點：

（1）在課堂活動中通過同伴合作、自主探究嘗試培養(yǎng)學生積極主動、勇于探索的學習方式。（2）在教學過程中努力做到師生的互動，并且在對話之后重視體會、總結(jié)、反思，力圖在培養(yǎng)和發(fā)展學生數(shù)學素養(yǎng)的同時讓學生掌握一些學習、研究數(shù)學的方法。（3）通過課堂教學活動向?qū)W生滲透數(shù)學思想方法。

三、教學目標

1、知識技能：經(jīng)歷探索二次函數(shù)y=x2的圖象的作法和性質(zhì)的過程，獲得利用圖象研究函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗。直接給學生出示y= x2，并作圖及觀察性質(zhì)，這樣，讓學生能通過運用過去的知識經(jīng)驗去發(fā)現(xiàn)新知識，解決新知識，從而實現(xiàn)由掌握到遷移運用的過程。

2、數(shù)學思考：能夠利用描點法作出y= x2的圖象，并能根據(jù)圖象認識和理解二次函數(shù)y= x2的性質(zhì)。學生通過畫圖，觀察，分析，得出有關(guān)結(jié)論，培養(yǎng)學生觀察，比較，概括的邏輯思維能力。

3、解決問題：能夠作出二次函數(shù)y=-x2的圖象，并能夠比較與y=x2的圖象的異同，初步建立二次函數(shù)表達式與圖象之間的聯(lián)系。提高學生的觀察、交流、概括、總結(jié)及表達的能力，而且更進一步讓學生體會到數(shù)、形的轉(zhuǎn)化。

4、數(shù)學體驗：學生通過自己畫圖，觀察，比較得出有關(guān)結(jié)論，使學生有一種獲得成功的喜悅，提高學生的學習積極性；通過畫圖使學生更能體會到數(shù)形可以互相轉(zhuǎn)化的關(guān)系，激發(fā)了學生探究新知的欲望。【來源：21?世紀?教育?網(wǎng)】

四、教學重點

會畫y=ax2的圖象，通過觀察圖象理解其性質(zhì)。

五、教學難點

描點法畫y=ax2的圖象，體會數(shù)與形的相互聯(lián)系。

六、教學方法：

學習二次函數(shù)關(guān)鍵是學習其性質(zhì)（開口方向，頂點坐標，對稱軸，單調(diào)區(qū)間等），而用描點法畫函數(shù)圖像是我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象的特征和了解其性質(zhì)的一個重要途徑。因此，在教學過程中應讓學生畫出函數(shù)圖象，引導學生觀察圖像的特點，概括出函數(shù)的性質(zhì)。在此過程中，可用“特殊----一般，具體----抽象“的方法來學習二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，給學習足夠的探索和交流的時間，讓學生在自己動手體驗中得出結(jié)果。2-1-c-n-j-y

七、教學過程

一 復習舊知，引入新課

1.提問：請同學們回顧二次函數(shù)的概念和一般形式是什么？ 2.下列函數(shù)中哪些是二次函數(shù)？

ｙ＝３ｘ－１

ｙ＝３ｘ２

ｙ＝３ｘ２＋２ｘ２

ｙ＝ｘ２－x（１－ｘ）

ｙ＝３ｘ３－２ｘ２

ｙ＝２ｘ２－２ｘ＋１ ３．一次函數(shù)的圖像，正比例函數(shù)的圖像，反比例函數(shù)的圖像各是怎么樣的呢？它們各有什么特點，又有哪些性質(zhì)呢?2?1?c?n?j?y 上節(jié)課我們學習了二次函數(shù)的概念，掌握了他的一般形式，這節(jié)課我們先來探究二次函數(shù)中最簡單的y=ax2的圖像和性質(zhì)。21教育名師原創(chuàng)作品（設(shè)計說明：利用前面學過的函數(shù)的圖像啟發(fā)學生思考二次函數(shù)的圖像。將本節(jié)課的內(nèi)容與已有知識聯(lián)系起來，便于學生類比學習。同時，通過設(shè)問讓學生了解本節(jié)課所要探索的問題，激發(fā)學生的探索興趣。）

二

探究活動：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1、引導學生畫出函數(shù) ｙ＝ｘ２的圖像。

(1)：在x的取列表值范圍內(nèi)列出函數(shù)對應值表： x ? －3 －2 －1 0 1 2 3 ? y … 9 4 1 0 1 4 9 …

(2)在直角坐標系中描點：用表里各組對應值作為點的坐標，在平面直角坐標系中描點(3)連線：用光滑的曲線順次連結(jié)各點，得到函數(shù)y=x2的圖象，如圖所示。

（4）讓學生概括圖像的特點，提示學生從開口方向、對稱性等方面考慮。學生互相交流、討論、回答：圖像是曲線，開口向上；它是軸對稱圖形，對稱軸是y軸。21世紀教育網(wǎng)版權(quán)所有

（5）肯定學生的表現(xiàn)，講解：拋物線。它有一條對稱軸，拋物線與它的對稱軸的交點叫做拋物線的頂點。

（6）請學生對照解析式對得出的性質(zhì)進行一些解釋（對稱性、頂點、開口方（設(shè)計說明：在此問題上，教師不必按課本上的問題一一疊列給學生，而是 充分發(fā)揮學生的觀察能力；再者學生已研究過正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比 例函數(shù)，已經(jīng)積累了一定的研究函數(shù)圖象的方法和能力，積累了研究函數(shù)圖象 要“研究什么”的經(jīng)驗，有了一定“模式”，即： ① 圖象形狀：拋物線（教師給出）② 與x、y軸交點； ③ y隨x的增減性； ④ 圖象的對稱性。及系數(shù)與圖象的關(guān)系。請每組的學生代表一一發(fā)表自己的觀察結(jié)果，（在此 過程中，教師不能作裁判，應及時表揚學生，同時把評判權(quán)交給學生，注意 培養(yǎng)學生語言的規(guī)范化、條理化。）然后按課本的問題加以總結(jié)和整理，做 到有放有收。注意學生的解析式方式思考解釋。）

2.指導學生“做一做”。讓學生在同一坐標系中分別畫出題目y=x2與y=-x2中函數(shù)的圖像，概括出他們的共同點和不同點。學生積極動手，在同一坐標系內(nèi)畫出函數(shù)的圖像。通過比較發(fā)現(xiàn)：

（1），（2）中兩個函數(shù)圖像關(guān)于x軸對稱，開口方向相反；兩個函數(shù)圖像的對稱軸都是ｙ軸，頂點是原點。（提示學生從圖像開口方向，頂點坐標，對稱軸幾方面分析函數(shù)圖象的共同點和不同點。）３．肯定學生的表現(xiàn)，總結(jié)：函數(shù) ｙ＝ａx2的圖像是一條拋物線，它關(guān)于ｙ軸對稱，它的頂點坐標是（０，０）。21?世紀*教育網(wǎng)

4.提問：在同一坐標系中畫出, y=2x2的圖像，試比較其與y=x2反應了什么性質(zhì)？你能通過解析式說明嗎？學生互相交流，討論，嘗試歸納總結(jié)。5.肯定學生的表現(xiàn)，指出y=x2, y=2x2的圖像特點是：

當a＞0時，拋物線ｙ＝ａx2 開口向上，在對稱軸的左邊，曲線自左向右下降：在對稱軸的右邊，曲線自左向右上升。頂點是拋物線上位置最低的點。

當 a＞0 時，二次函數(shù)ｙ＝ａx2具有這樣的性質(zhì)：當 x ＜0

時，函數(shù)值 y 隨 x 的增大而減小：當 x＞0 時，函數(shù)值 y 隨 x 的增大而增大：當x=0 時，函數(shù)取最小值y=0.www.tmdps.cnjy*com 3 已知ａ＜－１，點（ａ－１，ｙ1），（ａ，ｙ2），（ａ＋１，ｙ3）都在函數(shù)y=2x2上的圖像上，則ｙ

1、ｙ

2、ｙ3的大小關(guān)系是什么？4.指導學生完成課后練習。若正方形的邊長為a，面積為s，試求出面積s與邊長a的關(guān)系式，并畫出圖象。(設(shè)計說明：在實際應用的問題上，教師先不要進行過多的提醒，讓學生進一步體會自變量“x”的取值范圍的特殊性。學生獨立完成以后，讓他們發(fā)表自己的看法，辨證出圖象只在第一象限存在。)四 課堂總結(jié) 布置作業(yè)

1、學生談一談收獲

我們通過觀察總結(jié)得出二次函數(shù)y=ax2的圖象的一些性質(zhì)： ①、圖象——“拋物線”是軸對稱圖形；

②、與x、y軸交點——（0，0）即原點；

③、a的絕對值越大拋物線開口越大，a﹥0，開口向上，當x﹤0時，（對稱軸左側(cè)），y隨x的增大而減小（y隨x的減小而增大）當x﹥0時，（對稱軸右側(cè)），y隨x的增大而增大（y隨x的減小而減小）a﹤0，開口向下，當x﹤0時，（對稱軸左側(cè)），y隨x的增大而增大（y隨x的減小而減小）當x﹥0時，（對稱軸右側(cè)），y隨x的增大而減小（y隨x的減小而增大）

2、今天我們通過觀察收獲不小，其實只要我們在日常生活中勤與觀察，勤與思考，你會發(fā)現(xiàn)知識無處不在，美無處不在。

3.作業(yè)：課后練習3.4題。拓展：

1.已知函數(shù)y=3x2,(x1,y1)(x2,y2)，是這個函數(shù)圖像上的兩點，當x1＜ x2＜ 0 y1, y2的大小關(guān)系樣?

2.已知函數(shù) y=ax2 的圖像過點（1,4）（2,6），試判斷這個函數(shù)的圖像是否過點（-1,4）；（3,7）？為什么？

3.請同學對照解析式分析二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)。