第一篇：26.1二次函數教案

26．1 二次函數

[本課知識要點]

通過具體問題引入二次函數的概念，在解決問題的過程中體會二次函數的意義．

[創新思維]

（1）正方形邊長為a（cm），它的面積s（cm）是多少？

s = a

（2）矩形的長是4厘米，寬是3厘米，如果將其長與寬都增加x厘米，則面積增加y平方厘米，試寫出y與x的關系式．

y =(4+x)(3+x)?4×3 = x+7x

22請觀察上面列出的兩個式子，它們是不是函數？為什么？如果是函數，請你結合學習一次函數概念的經驗，給它下個定義．

二次函數的概念：形如ax+bx+c = 0(a≠0，a、b、c為常數)的函數叫二次函數．

2[實踐與探索]

例題：

補充例題：

1． m取哪些值時，函數

是以x為自變量的二次函數？

分析 若函數．

解 若函數

解得

因此，當，且，且時，函數

．

．

是二次函數，須滿足的條件是：

是二次函數，則

是二次函數． 的函數只有在的條件下才是二次函數．

回顧與反思 形如

探索

若函數值？

是以x為自變量的一次函數，則m取哪些

2．寫出下列各函數關系，并判斷它們是什么類型的函數．

（1）寫出正方體的表面積S（cm）與正方體棱長a（cm）之間的函數關系；

（2）寫出圓的面積y（cm）與它的周長x（cm）之間的函數關系；

（3）某種儲蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不計利息，求本息和y（元）與所存年數x之間的函數關系；

（4）菱形的兩條對角線的和為26cm，求菱形的面積S（cm）與一對角線長x（cm）之間的函數關系．

解（1）由題意，得，其中S是a的二次函數；

（2）由題意，得

（3）由題意，得

其中y是x的一次函數；，其中y是x的二次函數；

（x≥0且是正整數），（4）由題意，得 數．，其中S是x的二次函

3．正方形鐵片邊長為15cm，在四個角上各剪去一個邊長為x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一個無蓋的盒子．

(1)求盒子的表面積S（cm）與小正方形邊長x（cm）之間的函數關系式；

(2)當小正方形邊長為3cm時，求盒子的表面積．

解（1）

（2）當x = 3cm時，；（cm）．

[當堂課內練習]

1．下列函數中，哪些是二次函數？

（1）（2）

（3）（4）

為二次函數？

2．當k為何值時，函數

3．已知正方形的面積為，周長為x（cm）．

(1)請寫出y與x的函數關系式；

(2)判斷y是否為x的二次函數．

[本課課外作業]

A組

1． 已知函數

2． 已知二次函數

是二次函數，求m的值．，當x=3時，y=-5，當x=-5時，求y的值．

3． 已知一個圓柱的高為27，底面半徑為x，求圓柱的體積y與x的函數關系式．若圓柱的底面半徑x為3，求此時的y．

4． 用一根長為40 cm的鐵絲圍成一個半徑為r的扇形，求扇形的面積y與它的半徑x之間的函數關系式．這個函數是二次函數嗎？請寫出半徑r的取值范圍．

B組

5．對于任意實數m，下列函數一定是二次函數的是（）

A． B．

C．

（D．

6．下列函數關系中，可以看作二次函數

A． 在一定的距離內汽車的行駛速度與行駛時間的關系）模型的是（）

B． 我國人口年自然增長率為1%，這樣我國人口總數隨年份的變化關系

C． 豎直向上發射的信號彈，從發射到落回地面，信號彈的高度與時間的關系（不計空氣阻力）

圓的周長與圓的半徑之間的關系

典型例題

1．下列各式中，y是x的二次函數的是()A．x+y?1 = 0 B．y =(x+1)(x?1)?xC.y = 1+22

D.2(x?1)+3y?2 = 0 答案：D 4

說明：選項A、C都不難看出關系式中不含x的平方項，因此，都不滿足二次函數的定義，選項B，y =(x+1)(x?1)?x可化簡為y = ?1，也不滿足二次函數的定義，只有選項D是正確的，答案為D．

2．下列函數中，不是二次函數的是()

2A．y = 1?x B．y = 2(x?1)+4 C．y =

222

2(x?1)(x+4)D．y =(x?2)?x

答案：D

說明：選項D，y =(x?2)?x可化為y = ?4x+4，不是二次函數，而選項A、B、C中的函數都是二次函數，答案為D．

3．函數y =(m?3)是二次函數，則m的值為：（答案：?3）

說明：因為y =(m?3)且m≠3，即m = ?3．

4．已知函數y =(4a ＋3)

是二次函數，所以m2?7 = 2，且m?3≠0，因此有m = ±3，＋x?1是一個二次函數，求滿足條件的a的值．

解：∵y =(4a ＋3)

＋x?1是一個二次函數，∴，解得a = 1．

習題精選

21．在半徑為 4 cm的圓中，挖去一個半徑為x(cm)的小圓，剩下的圓環面積為y(cm)，則y與x之間的函數關系式為()A．y = πx?4 B．y = π(2?x)

C．y = ?(x+4)D．y = ?πx+16π

答案：D

說明：半徑為4cm的圓，面積為16π(cm)，挖去的小圓面積為πx(cm)，所以剩下的圓環222面積為(16π-πx)(cm)，即有y =-πx+16π，答案為D．

2．若圓錐的體積為Vcm，高為6cm，底面半徑為rcm．寫出V與r之間的函數關系式，并判斷它是否是二次函數?

此題考查圓錐的體積公式及二次函數的概念．

322

解：由題意得：V=n+2

πr×6，即V=2πr，此函數是二次函數．

3．若函數y=2x+1是二次函數，求n的值．

此題考查二次函數概念中關于自變量的二次式．

解：由題意得：n+2=2 ∴n=0

4．若函數y=(a?1)x+x+1是二次函數，求a、b的取值范圍． b+5

此題綜合考查二次函數的概念，分三種情況討論：

（1）(a?1)x是二次項

（2）(a?1)x是一次項

（3）(a?1)x是常數項．

解：分三種情況： b+1b+1b+1

（1）∴b = 1，a≠1

（2）∴b = 0，a≠1

（3）a?1 = 0 ∴a = 1

∴a = 1；b = 0且a≠1且b = 1

5．一個長方形的周長為50cm，一邊長為x(cm)，求這個長方形的面積y(cm)與一邊長x(cm)之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍

答案：y=?x+25x，0

說明：由已知不難得出，該長方形的另一邊長為50÷2?x，即25?x，長方形的兩邊長則分別為x、25?x，而這兩邊長都應該大于0，即x>0且25?x>0，同時，該長方形的面積為22x(25?x)=?x+25x，即有y=?x+25x，0

6．小明存入銀行人民幣200元，年利率為x，兩年到期，本息和為y元(以單利計算)．

(1)求y與x之間的函數關系式．

(2)若年利率為2.25%，求本息和．

(3)若利息稅率為20%，求到期時，小明實際所得利息．

答案：

(1)y=200+400(2)209(3)7.2元

說明：(1)兩年到期的利息應該是2×200x，即400x，所以本息和y=200+400x

(2)當x=2.25%時，y=200+400×2.25%=209

(3)實際所得利息為2×200×2.25%×(1?20%)=7.2． 26

第二篇：二次函數1

第二章

二次函數

一、選擇題〔共30分〕

1.在以下關系式中,y是x的二次函數的關系式是

（）

A.2xy+x2=1

B.y2-ax+2=0

C.y+x2-2=0

D.x2-y2+4=0

2.設等邊三角形的邊長為x(x>0〕，面積為y，那么y與x的函數關系式是（）

A.B.C.D.3.拋物線y=x2-8x+c的頂點在x軸上，那么c等于（）

A.-16

B.-4

C.8

D.16

4.假設直線y=ax＋b

(a≠0〕在第二、四象限都無圖像，那么拋物線y=ax2+bx+c

（）

A.開口向上，對稱軸是y軸

B.開口向下，對稱軸平行于y軸

C.開口向上，對稱軸平行于y軸

D.開口向下，對稱軸是y軸

5.一次函數y=ax+b與二次函數y=ax2+bx+c在同一坐標系中的圖像可能是

〔

〕

6.拋物線y=-x2+mx+n的頂點坐標是〔-1，-

3)，那么m和n的值分別是〔

〕

A.2,4

B.-2,-4

C.2,-4

D.-2,0

7.對于函數y=-x2+2x-2使得y隨x的增大而增大的x的取值范圍是

（）

A.x>-1

B.x≥0

C.x≤0

D.x<-1

8.拋物線y=x2-(m+2)x+3(m-1)與x軸

〔

0

A.一定有兩個交點

B．只有一個交點

C．有兩個或一個交點

D．沒有交點

9.二次函數y=2x2+mx-5的圖像與x軸交于點A

(x1,0〕、B(x2，0),且x12+x22=，那么m的值為〔

〕

A.3

B.-3

C.3或-3

D.以上都不對

10.對于任何的實數t，拋物線

y=x2

+

(2-t)

x

+

t總經過一個固定的點，這個點是

（）

A

.(1,0)

B.〔-l,0)

C.〔-1,3)

D.(l,3)

二、填空題〔共30

分〕

11.拋物線y=-2x+x2＋7的開口向，對稱軸是，頂點是,所在象限是

.12.假設二次函數y=mx2-3x+2m-m2的圖像過原點，那么m的值是

.13.如果把拋物線y=2x2-1向左平移l個單位，同時向上平移4個單位，那么得到的新的拋物線

是

.14.對于二次函數y=ax2,當x由1增加到2時，函數值減少4，那么常數a的值是

.15.二次函數y=x2-6x+n的最小值為1，那么n的值是

.16.拋物線在y=x2-2x-3在x軸上截得的線段長度是

.17.設矩形窗戶的周長為6m，那么窗戶面積S(m2〕與窗戶寬x

(m)之間的函數關系式是，自變量x的取值范圍是

.18.設A、B、C三點依次分別是拋物線y=x2-2x-5與y軸的交點以及與x軸的兩個交點，那么△ABC的面積是

.19.拋物線上有三點(-2,3〕、〔2,-8〕、〔1,3)，此拋物線的解析式為

.20.一個二次函數與x軸相交于A、B,與y軸相交于C，使得△ABC為直角三角形，這樣的函數有許多，其中一個是

.三、解答題〔共60分〕

21.(8分〕拋物線的頂點坐標為M(l,-2)，且經過點N(2,3)．求此二次函數的解析式．

22.(10分〕把拋物線y=ax2+bx+c向左平移2個單位，同時向下平移l個單位后，恰好與拋物線y=2x2+4x+1重合．請求出a、b、c的值，并畫出一個比擬準確的示意圖．

23.(10分)炮彈的運行軌道假設不計空氣阻力是一條拋物線．現測得我軍炮位A與射擊目標B的水平距離為600cm，炮彈運行的最大高度為1200m.(l〕求此拋物線的解析式．

(2〕假設在A、B之間距離A點500m處有一高350cm的障礙物，計算炮彈能否越過障礙物.24.(10分〕函數y

=

x2+bx-1的圖像經過〔3,2).(l〕求這個函數的解析式；

(2〕畫出它的圖像，并指出圖像的頂點坐標；

(3〕當x>0時，求使y2的x的取值范圍．

25.(10分〕利用9m長的木料做一“日〞字形窗框，它的長和寬各為多少時，窗戶面積最大？

26.(12分〕盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一局部．在大橋截面1:11000的比例圖上，跨度AB=5cm，拱高OC=0.9cm，線段DE表示大橋拱內橋長，DE//AB，如左圖所示；在比例圖上，以直線AB為x軸，拋物線的對稱軸為y軸，以1cm作為數軸的單位長度，建立平面直角坐標系，如右圖所示．

(1〕求出右圖x軸以上這一局部拋物線為圖像的函數解析式，寫出函數定義域；

(2〕如果DE與AB的距離OM=0.45cm，求盧浦大橋拱內實際橋長〔備用數據：1.4，計算結果精確到lm).

第三篇：二次函數教案

二次函數教案

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20.1二次函數

一、教學目標：

．知識與技能：

通過對多個實際問題的分析，讓學生感受二次函數作為刻畫現實世界有效模型的意義；通過觀察和分析，學生歸納出二次函數的概念并能夠根據函數特征識別二次函數.2．數學思考：

學生能對具體情境中的數學信息作出合理的解釋，能用二次函數來描述和刻畫現實事物間的函數關系.3．解決問題：

體驗數學與日常生活密切相關，讓學生認識到許多問題可以用數學方法解決，體驗實際問題“數學化”的過程.4．情感與態度：

通過觀察、歸納、猜想、驗證等教學活動，給學生創造成功機會，使他們愛學、樂學、學會，同時培養學生勇于探索，積極合作精神以及公平競爭的意識.二、教學重點、難點：

教學重點：認識二次函數，經歷探索函數關系、歸納二次函數概念的過程.教學難點：根據函數解析式的結構特征，歸納出二次函數的概念.三、教學方法和教學手段：

在確定二次函數的概念和尋求生活實例中的二次函數關系式的過程中，引導學生觀察、比較、分析和概括，以小組討論的形式，進行合作探究．

在教學手段方面，選擇了多媒體輔助教學的方式．

四、教學過程：

師生活動

設計意圖

、問題感知，情境切入.教師展示實際問題：

“第18屆世界杯足球賽”是今年夏天最“熱”的一個話題，綠蔭場上運動員揮汗如雨，綠蔭場外教練員運籌帷幄.足球運動是一項對運動員狀態（包括體能、速度和技術意識）要求很高的項目，一般情況下，足球運動員的狀態會隨著時間的變化而變化：比賽開始后，球員慢慢進入狀態，中間有一段時間球員保持較為理想的狀態，隨后球員的狀態慢慢下降.經實驗分析可知：球員的狀態綜合指數y隨時間t的變化規律有如下關系：

（1）比賽開始后第10分鐘時與比賽開始后第50分鐘時比較，什么時間球員的狀態更好？

（2）比賽開始后多少分鐘時，球員的狀態最好，這樣的最好狀態能持續多少分鐘？

通過學生之間的討論，很容易得出第（1）問的答案：比賽開始后第10分鐘時，y=140；比賽開始后第50分鐘時，y=220；所以，比賽開始后第50分鐘時球員的狀態更好.當學生開始進行第（2）問的解答時，遇到了不同的困難：

（1）不知道如何討論當50t90時，y的變化范圍？

（2）通過模仿一次函數的性質，學生求出了函數y=

中，y的變化范圍是.卻無法說出這樣做的數學依據是什么？

所有的困難都指向一個焦點問題：

y=

是個什么樣的函數？它具有什么樣的獨特性質？

因此，學生產生了研究函數y= 的興趣，教師趁勢提出今天的學習內容.以“世界杯足球賽”這樣貼近學生生活實際的問題為背景，力求更好地激發學生的求知欲，使之成為主動、積極的探索者，并在解決實際問題的過程中體驗成功的快樂，同時為新課的引出和學習奠定了基礎.這是一道結合實際的自編題，其中的數據于自己做的社會調查.足球運動是一項集體運動項目，對運動員的配合意識要求很高，所以運動員上場后30分鐘左右才進入最佳狀態，中場休息后狀態仍能保持到最佳，50分鐘后由于體能的下降影響了狀態的發揮.2、講解新課，提煉知識.（1）對比、分析

教師舉出生活中的其它實例，感受二次函數的意義，進一步深化對二次函數概念的認識.①如圖，正方形中圓的半徑是4cm，陰影部分的面積Q和正方形的邊長a的函數關系式是____________________．

②某種藥品現價每盒26元，計劃兩年內每年的降價率都為p，那么，兩年后這種藥品每盒的價格m（元）和年降價率p的函數關系式是____________________．

答案：m=262

（2）類比、遷移

教師順勢提問：對y=、Q=a2-

16、m=262這三個函數你能用一個一般形式來表示嗎？

教師參與到學生的分組討論中去，合作交流，注意及時抓住學生智慧火花的閃現進行引導.教師鼓勵學生用不同字母表示，只要把握概念的實質即可，必要時可提示學生，類比一次函數的知識.（3）二次函數的認識

一般地，我們把形如y=ax2+bx+c（a≠0）（說明：括號內的條件，在第步之后再補寫）的函數叫做二次函數，其中a、b分別是二次項系數、一次項系數，c是常數項.（4）加深理解

二次函數的定義給出后，教師引導學生分別討論“a、b、c的取值范圍”.學生就問題自由發言，教師充分引導學生發表自己的看法，只要合理，都應肯定.最后師生達到共識：

①a不能為0，因為當a=0時，右邊不再是x的二次式；

②b、c都能為0，因為當b=0、c=0或b、c都為0時，右邊仍是x的二次式.教師對所得出的常量范圍，進行概念補寫.通過兩個實例的分析，讓學生通過自己列解析式，來思考所列解析式的結構特征，為概括二次函數的定義打下基礎.引導學生側重從解析式的特征思考，透過“引用不同字母”的表層現象，看到解析式的“結構一致”的本質.敞開思想，廣泛議論，實現對二次函數本質的認識.充分肯定學生的探究結果，使其樹立“我也能發現數學”的信心.教師的提問意在引起學生的思維沖突，使之產生探究的欲望.遵循學生認知發展及知識系統的形成過程，由一般到特殊逐步為概念的理解鋪平道路.3、分層實踐，能力升級.[快速搶答]

下面各函數中，哪些是二次函數？

（1）①y=2x2

②y=－x2+3

③y=（x≠0）

④y=15x-1

⑤y=2+2

⑥y=3x2-2x-5

⑦y=-x（x2+4）

⑧y=

答：①、②、⑤、⑥是二次函數

（2）請寫出這些二次函數中a、b、a

b

c

①y=2x2

0

c的值.0

②y=－x2+3

－

0

⑤y=2+2

=x2+2x+3

⑥y=3x2-2x-5

特別強調：只有把解析式⑤整理成一般形式，才能正確判斷解析式中的a、b、c.1.[輕松完成]：矩形的周長為20cm，它的面積S（cm2）和它的一邊長a（cm）的函數關系式是怎樣的？并求出此函數的定義域.答案：S=a=-a2+10a，其中函數的定義域為：0

（1）寫出即時速度Vt與時間t的函數關系式；

（2）寫出平均速度與時間t的函數

關系式；（提示：本題中，平均速度）

（3）寫出滾動的距離S（單位：米）與滾動的時間t（單位：秒）之間的關系式.（提示：本題中，距離S=平均速度時間t）

（4）請判斷以上三個函數的類型，如果是二次函數，寫出解析式中的a、b、c.答案：

（1）Vt=1.5t；

（2）

=

= ；

（3）S=

t=

；

（4）函數Vt=1.5t和

=是一次函數，函數S=

是二次函數，解析式中的a=，b=0，c=0.3.[請你幫個忙]：某果園有100棵橘子樹，每一棵樹平均結600個橘子.現準備多種一些橘子樹以提高產量，但是如果多種樹，那么樹與樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據經驗估計，每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結5個橘子.那么，如何表示增種的橘子樹的數量x（棵）與橘子總產量y（個）之間的函數關系式呢？判斷這個函數的類型，如果是二次函數，寫出解析式中的a、b、c.答案：

解析式中的a=-5，b=100，c=60000.4.你出題大家做如圖，正方形ABcD的邊長是5，E是AB上的一個動點，G是AD的延長線上一點，且BE=DG，GF∥AB，EF

∥

AD，_____________________________________________?

請同學們以小組為單位嘗試編一道實際函數問題，列出的函數關系是可以是二次函數，也可以是一次函數.估計學生可能想到：

①矩形AEGF的面積y與BE的長x

之間的關系可以用怎樣的函數來表示？

答案：

②矩形AEmD的面積y與BE的

長x之間的關系可以用怎樣的函數來表示？

答案：

③矩形BEmc的面積y與BE的長x之間的關系可以用怎樣的函數來表示？

答案：

④矩形DmFG的面積y與BE的長x之間的關系可以用怎樣的函數來表示？

答案：

⑤其它類型：六邊形ABcmFG的周長y與BE的長x之間的函數關系；矩形AEGF的周長y與BE的長x之間的函數關系；……

這是一道概念辨析題，目的是讓學生正確識別二次函數，同時認識二次函數解析式中a、b、c的意義.通過求函數的定義域，讓學生體會實際問題中的二次函數的特點。

通過這道題的安排，讓學生體會到了二次函數應用的廣泛性。同時，學生在列解析式的過程中，從對比的角度全面了解判定二次函數的方法，進一步了解不同函數的差異，從而對函數的本質有更深入了解。

這道實際問題的解決，培養了學生的觀察能力和歸納能力，更重要的是讓學生體驗了實際問題“數學化”的過程.興趣是學習的動力源泉，學生在參與編題的過程中，培養了與人合作的精神和創新意識，通過學生多層次、多角度地解決問題的方式，使原本枯燥的數學課堂逐漸被開放、熱烈，富于創造性的課堂氣氛所代替，成為激發學生潛力的最佳土壤.4、展示交流，總結新知.（1）學生自己總結，并在班上交流

本節課——

我學會了……

使我感觸最深的……

我感到最困難的是……

我最值得學習的同學是……

（2）結合學生所述，教師給予指導：

①正確理解“二次函數”定義，關注和定義有關的注意問題.②生活中處處有數學的影子，只要留心觀察身邊的事物，開動腦筋，就能用數學知識解決許多的生活實際問題.課堂小結以教師提問、學生自由討論的形式進行，借此促進師生心靈的交流，學生對自己清醒的認識和總結，必然促進其自主學習，獲得可持續發展的動力.5、布置作業、鞏固知識.（1）閱讀教材相應內容，完成課后習題第45--46頁第1、2題.（2）實踐題：

推測植物的生長與溫度的關系

科幻小說《實驗室的故事》中，有這樣一個情節：科學家把一種珍奇植物分別放在不同溫度的環境中，經過一定時間后，測試出這種植物的增長情況（如下表）

溫度t/℃

植物高度

增長量L/mm

由這些數據，科學家推測出植物的增加量L與溫度t的函數關系，并由它推測出最適合這種植物增長的溫度.你能想出科學家是怎樣推測的嗎？請在直角坐標系里畫出這個函數的大致圖象，根據圖象寫出你的分析.必做題促進知識的鞏固，實踐題供學有余力的學生完成，進一步培養發散思維及社會實踐能力.設置貼近學生生活的實際問題情境，并要求學生嘗試畫出二次函數的圖象來解決實際問題，激發學生探究新知的欲望，為以后的教學埋下伏筆.五、教案設計說明:

．注意聯系實際，滲透用教學的意識，力求呈現“問題情景——建立數學模型——解釋、應用與拓展”的過程，讓“人人學有價值的數學”.教學中以實際問題主線貫穿整個教學，強調具體問題的分析、抽象，滲透數學建模思想.注重問題的實際意義，選用貼近學生生活和具有時代氣息的例題、習題，激發學生的興趣，使學生體會二次函數在現實世界中的作用.2．給學生提供探索和交流的空間，數學活動力求避免單純的依賴模仿與記憶，而是一個生動活潑、主動和富有個性的過程.圍繞本節課所學知識，設置有現實意義的、具有挑戰性的開放型問題，激發學生積極思考，引導學生自主探索與合作交流，既能在探索中獲取知識，又能不斷豐富數學活動的經驗，學會探索，學會學習，提高解決問題的能力，發展創新意識和實踐能力.3．談化概念的形式記憶，關注概念的實際背景與形成過程，采用直觀導入、動手操作的方法，借助直觀形象，讓學生能夠理解概念，并初步學會應用.4．內容設計有彈性，真正實現“不同的人在數學上得到不同的發展”.關注學生群體的差異，尊重學生的個體差異，滿足多樣化的學習需要，所設置的問題既能使所有學生參與，又有一定的拓展、探索余地和廣闊的思維空間，使全體學生在獲得必要發展的前提下，不同的學生獲得不同的體驗。

第四篇：22.1.1-二次函數(教案)

第二十二章 二次函數 22.1 二次函數的圖象和性質

22.1.1 二次函數教案

教學目標

【知識與技能】

1.能結合具體情境體會二次函數的意義，理解二次函數的有關概念.2.能夠表示簡單變量之間的二次函數關系.【過程與方法】

通過具體問題情景中的二次函數關系了解二次函數的一般表述式，在類比一次函數、反比例函數表達式時感受二次函數中二次項系數a≠0的重要特征.【情感態度】

在探究二次函數的學習活動中，體會通過探究發現的樂趣.教學重點

結合具體情境體會二次函數的意義，掌握二次函數的有關概念.教學難點

1.能通過生活中的實際問題情境，構建二次函數關系； 2.重視二次函數y=ax2+bx+c中a≠0這一隱含條件.教學過程

一、情境導入，初步認識

展示執實心球圖片，體驗體育中的數學

二、溫故知新

1.什么叫做函數？（學生回顧）2.我們學過哪些函數？（PPT展示）

三、探究新知

問題1 如圖所示是一個棱長為xcm的正方體，它的表面積為ycm2,則y與x之間的關系式可表示為

，y是x的函數嗎？

問題2 多邊形的對角線總數d與邊數n有什么關系？可以想出,如果多邊形有n條邊,那么它有

個頂點,從一個頂點出發,連接與這點不相鄰的各頂點,可以作

條對角線，用n的式子表d為：

。示這里d是n的函數嗎？

全班同學合作交流，共同完成上面的問題，教師全場巡視，發現問題可給予

1個別指導.在同學們基本完成情形下，教師再針對問題2，解釋d=n(n-3)而不是

2d=n(n-3)的原因.【教學說明】上述活動的目的在于引導同學們能通過具體問題情境建立二次函數關系式，體會二次函數是刻畫實際生活中自變量與因變量的關系的重要模型之一.11思考函數y=6x2，m=n2-n,y=20x2+40x+20有哪些共同點？

22【教學說明】在同學們相互交流、發言的過程中，教師應關注：（1）語言是否規范；（2）是否抓住共同點；（3）針對少數同學可能進一步探索出其不同點等問題應及時引導，讓同學們在輕松快樂的環境中進入二次函數的學習.【歸納結論】上述三個函數都是用自變量的二次式表示的，從而引出二次函數定義.一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c為常數，a≠0)的函數，叫做二次函數.其中x是自變量，a、b、c分別是二次項系數，一次項系數和常數項.【教學說明】

針對上述定義，教師應強調以下幾個問題：（1）關于自變量x的二次式必須是二次整式，即可以是二次單項式、二次二項式和二次三項式；（2）二次項的系數a≠0是定義中不可缺少的條件，若a=0，則它是一次函數；（3）二次項和二次項系數不同，二次項指ax2,二次項系數則僅是指a的值；同樣，一次項與一次項系數也不同.四、運用新知，深化理解 1.下列函數中，哪些是二次函數，哪些不是？若是二次函數，指出它的二次項系數、一次項系數和常數項：

（1）y=(x+2)(x-2);(2)y=3x(2-x)+3x2;(3)y=1-2x+1;x2(4)y=1-3x2.2.說出下列二次函數的二次項系數、一次項系數、常數項。（1）y=-x2+58x-112（2）y=πx2（3）y=x(1+x)（4）s=3－2t2(5)y=3(x－1)2+1

五、拓展探究

已知函數y=(m+1)xm2-2m-1 ?m?m?3?x?m是二次函數，求出它的解析式。【教學說明】這個環節的教學自主性很強，可讓同學們分小組完成，對優勝小組給予鼓勵，培養學生團隊精神，讓部分學生分享成功的快樂。

學生探究后老師用PPT展示答案。拓展練習：

a?1y?(a?1)x是二次函數，求常數a的值。學生小組合作解答。

六、師生互動，課堂小結 1.二次函數的定義；

2.熟記二次函數y=ax2+bx+c中a≠0,a、b、c為常數的條件.【教學說明】本環節設置的目的在于讓學生進一步認識二次函數的相關定義，教師可與學生一起回。

七、隨堂演練

1.下列函數是二次函數的是（）

A.y=2x+1

B.y=-2x+1

C.y=x2+2

D.y=

x-2 2.二次函數y=3x2-2x-4的二次項系數與常數項的和是（）

A.1

B.-1

C.7

D.-6 3.已知函數y=(a-1)x2+3x-1,若y是x的二次函數，則a的取值范圍是。

4.某種商品的價格是2元，準備進行兩次降價，如果每次降價的百分率都是x，則經過兩次降價后的價格y（單位：元）與每次降價的百分率x的函數關系式是。

5.正方形的邊長為10cm，在中間挖去一個邊長為xcm的正方形，若剩余部分的面積為ycm2，則y與x的函數關系式是

，x的取值范圍為。

學生練習后集體訂正。課后作業

1.布置作業：教材習題22.1第1、2、7題； 2.完成創優作業中本課時練習的“課時作業”部分.教學反思

第五篇：21.1二次函數教案

二次函數y=ax2 的圖像與性質教學設計

一、教材分析：

本節是學生學習了二次函數的概念之后，對其圖象及性質逐步進行探究的一個內容，在此之前學生已經對正比例函數、一次函數和反比例函數的概念及圖象與性質進行了學習，因此在本節課的學習方法上學生已經有了一定的經驗。但二次函數，它是進一步學習函數知識，體現函數知識螺旋發展的一個重要環節。同時在此節后，我們還將循序漸進，在此基礎上由簡到繁逐步展開二次函數的研究。二次函數的圖像是拋物線，是人們最為熟悉的曲線之一，同時拋物線形狀在建筑上也有著廣泛的應用，如拋物線型拱橋、拋物線型隧道等。可以說這節課既是承上啟下，同時本節課的學習也能讓學生體會到數學的實用及美感。其地位及作用不可小看。

二、設計思想

1.函數及其圖象在初中數學中占有很重要的位置。如何突破這個既重要又抽象的內容，其實質就是將抽象的符號語言與直觀的圖象語言有機的結合起來，通過具有一定思考價值的問題，激發學生的求知欲望――持久的好奇心。我們知道，函數的表示法有三種：列表法、圖象法、解析法，初二時的函數的學習大多只關注到圖象的作用，這其實只是借助了圖象的直觀性，只是從一個角度看函數，具有一定的片面性。本節課，力圖讓初三學生從不同的角度去研究函數，對函數進行一個全方位的研究，并通過對比總結得到研究的方法，讓學生去體會這種研究方法,以便能將其遷移到其他函數的研究中去。

2.結合新課程實施的教學理念，在本課的教學中我努力實踐以下兩點：

（1）在課堂活動中通過同伴合作、自主探究嘗試培養學生積極主動、勇于探索的學習方式。（2）在教學過程中努力做到師生的互動，并且在對話之后重視體會、總結、反思，力圖在培養和發展學生數學素養的同時讓學生掌握一些學習、研究數學的方法。（3）通過課堂教學活動向學生滲透數學思想方法。

三、教學目標

1、知識技能：經歷探索二次函數y=x2的圖象的作法和性質的過程，獲得利用圖象研究函數性質的經驗。直接給學生出示y= x2，并作圖及觀察性質，這樣，讓學生能通過運用過去的知識經驗去發現新知識，解決新知識，從而實現由掌握到遷移運用的過程。

2、數學思考：能夠利用描點法作出y= x2的圖象，并能根據圖象認識和理解二次函數y= x2的性質。學生通過畫圖，觀察，分析，得出有關結論，培養學生觀察，比較，概括的邏輯思維能力。

3、解決問題：能夠作出二次函數y=-x2的圖象，并能夠比較與y=x2的圖象的異同，初步建立二次函數表達式與圖象之間的聯系。提高學生的觀察、交流、概括、總結及表達的能力，而且更進一步讓學生體會到數、形的轉化。

4、數學體驗：學生通過自己畫圖，觀察，比較得出有關結論，使學生有一種獲得成功的喜悅，提高學生的學習積極性；通過畫圖使學生更能體會到數形可以互相轉化的關系，激發了學生探究新知的欲望。【來源：21?世紀?教育?網】

四、教學重點

會畫y=ax2的圖象，通過觀察圖象理解其性質。

五、教學難點

描點法畫y=ax2的圖象，體會數與形的相互聯系。

六、教學方法：

學習二次函數關鍵是學習其性質（開口方向，頂點坐標，對稱軸，單調區間等），而用描點法畫函數圖像是我們發現函數圖象的特征和了解其性質的一個重要途徑。因此，在教學過程中應讓學生畫出函數圖象，引導學生觀察圖像的特點，概括出函數的性質。在此過程中，可用“特殊----一般，具體----抽象“的方法來學習二次函數的圖像和性質，給學習足夠的探索和交流的時間，讓學生在自己動手體驗中得出結果。2-1-c-n-j-y

七、教學過程

一 復習舊知，引入新課

1.提問：請同學們回顧二次函數的概念和一般形式是什么？ 2.下列函數中哪些是二次函數？

ｙ＝３ｘ－１

ｙ＝３ｘ２

ｙ＝３ｘ２＋２ｘ２

ｙ＝ｘ２－x（１－ｘ）

ｙ＝３ｘ３－２ｘ２

ｙ＝２ｘ２－２ｘ＋１ ３．一次函數的圖像，正比例函數的圖像，反比例函數的圖像各是怎么樣的呢？它們各有什么特點，又有哪些性質呢?2?1?c?n?j?y 上節課我們學習了二次函數的概念，掌握了他的一般形式，這節課我們先來探究二次函數中最簡單的y=ax2的圖像和性質。21教育名師原創作品（設計說明：利用前面學過的函數的圖像啟發學生思考二次函數的圖像。將本節課的內容與已有知識聯系起來，便于學生類比學習。同時，通過設問讓學生了解本節課所要探索的問題，激發學生的探索興趣。）

二

探究活動：二次函數的圖像與性質

1、引導學生畫出函數 ｙ＝ｘ２的圖像。

(1)：在x的取列表值范圍內列出函數對應值表： x ? －3 －2 －1 0 1 2 3 ? y … 9 4 1 0 1 4 9 …

(2)在直角坐標系中描點：用表里各組對應值作為點的坐標，在平面直角坐標系中描點(3)連線：用光滑的曲線順次連結各點，得到函數y=x2的圖象，如圖所示。

（4）讓學生概括圖像的特點，提示學生從開口方向、對稱性等方面考慮。學生互相交流、討論、回答：圖像是曲線，開口向上；它是軸對稱圖形，對稱軸是y軸。21世紀教育網版權所有

（5）肯定學生的表現，講解：拋物線。它有一條對稱軸，拋物線與它的對稱軸的交點叫做拋物線的頂點。

（6）請學生對照解析式對得出的性質進行一些解釋（對稱性、頂點、開口方（設計說明：在此問題上，教師不必按課本上的問題一一疊列給學生，而是 充分發揮學生的觀察能力；再者學生已研究過正比例函數、一次函數、反比 例函數，已經積累了一定的研究函數圖象的方法和能力，積累了研究函數圖象 要“研究什么”的經驗，有了一定“模式”，即： ① 圖象形狀：拋物線（教師給出）② 與x、y軸交點； ③ y隨x的增減性； ④ 圖象的對稱性。及系數與圖象的關系。請每組的學生代表一一發表自己的觀察結果，（在此 過程中，教師不能作裁判，應及時表揚學生，同時把評判權交給學生，注意 培養學生語言的規范化、條理化。）然后按課本的問題加以總結和整理，做 到有放有收。注意學生的解析式方式思考解釋。）

2.指導學生“做一做”。讓學生在同一坐標系中分別畫出題目y=x2與y=-x2中函數的圖像，概括出他們的共同點和不同點。學生積極動手，在同一坐標系內畫出函數的圖像。通過比較發現：

（1），（2）中兩個函數圖像關于x軸對稱，開口方向相反；兩個函數圖像的對稱軸都是ｙ軸，頂點是原點。（提示學生從圖像開口方向，頂點坐標，對稱軸幾方面分析函數圖象的共同點和不同點。）３．肯定學生的表現，總結：函數 ｙ＝ａx2的圖像是一條拋物線，它關于ｙ軸對稱，它的頂點坐標是（０，０）。21?世紀*教育網

4.提問：在同一坐標系中畫出, y=2x2的圖像，試比較其與y=x2反應了什么性質？你能通過解析式說明嗎？學生互相交流，討論，嘗試歸納總結。5.肯定學生的表現，指出y=x2, y=2x2的圖像特點是：

當a＞0時，拋物線ｙ＝ａx2 開口向上，在對稱軸的左邊，曲線自左向右下降：在對稱軸的右邊，曲線自左向右上升。頂點是拋物線上位置最低的點。

當 a＞0 時，二次函數ｙ＝ａx2具有這樣的性質：當 x ＜0

時，函數值 y 隨 x 的增大而減小：當 x＞0 時，函數值 y 隨 x 的增大而增大：當x=0 時，函數取最小值y=0.www.tmdps.cnjy*com 3 已知ａ＜－１，點（ａ－１，ｙ1），（ａ，ｙ2），（ａ＋１，ｙ3）都在函數y=2x2上的圖像上，則ｙ

1、ｙ

2、ｙ3的大小關系是什么？4.指導學生完成課后練習。若正方形的邊長為a，面積為s，試求出面積s與邊長a的關系式，并畫出圖象。(設計說明：在實際應用的問題上，教師先不要進行過多的提醒，讓學生進一步體會自變量“x”的取值范圍的特殊性。學生獨立完成以后，讓他們發表自己的看法，辨證出圖象只在第一象限存在。)四 課堂總結 布置作業

1、學生談一談收獲

我們通過觀察總結得出二次函數y=ax2的圖象的一些性質： ①、圖象——“拋物線”是軸對稱圖形；

②、與x、y軸交點——（0，0）即原點；

③、a的絕對值越大拋物線開口越大，a﹥0，開口向上，當x﹤0時，（對稱軸左側），y隨x的增大而減小（y隨x的減小而增大）當x﹥0時，（對稱軸右側），y隨x的增大而增大（y隨x的減小而減小）a﹤0，開口向下，當x﹤0時，（對稱軸左側），y隨x的增大而增大（y隨x的減小而減小）當x﹥0時，（對稱軸右側），y隨x的增大而減小（y隨x的減小而增大）

2、今天我們通過觀察收獲不小，其實只要我們在日常生活中勤與觀察，勤與思考，你會發現知識無處不在，美無處不在。

3.作業：課后練習3.4題。拓展：

1.已知函數y=3x2,(x1,y1)(x2,y2)，是這個函數圖像上的兩點，當x1＜ x2＜ 0 y1, y2的大小關系樣?

2.已知函數 y=ax2 的圖像過點（1,4）（2,6），試判斷這個函數的圖像是否過點（-1,4）；（3,7）？為什么？

3.請同學對照解析式分析二次函數的圖象與性質。