第一篇：北師大版2.4 二次函數的應用教案

第二章 二次函數

2.4 二次函數的應用（1）

一、知識點

1.利用二次函數求幾何圖形面積最大值的基本思路.2.求幾何圖形面積的常見方法.二、教學目標 知識與技能：

能夠分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數關系，并能夠運用二次函數的知識解決實際問題中的最大(小)值． 過程與方法：

1.通過分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數關系，培養學生的分析判斷能力． 2.通過運用二次函數的知識解決實際問題，培養學生的數學應用能力． 情感與態度：

1.經歷探究長方形和窗戶透光最大面積問題的過程，獲得利用數學方法解決實際問題的經驗，并進一步感受數學模型思想和數學的應用價值．

2.能夠對解決問題的基本策略進行反思，形成個人解決問題的風格．

3.進一步體會數學與人類社會的密切聯系，了解數學的價值，增進對數學的理解和學好數學的信心，具有初步的創新精神和實踐能力．

三、重點與難點

重點：能夠分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數關系，并能運用二次函數的有關知識解決最大面積問題.難點：把實際問題轉化成函數模型.四、創設情境，引入新知(放幻燈片2、3、4）

1.(1)請用長20米的籬笆設計一個矩形的菜園.(2)怎樣設計才能使矩形菜園的面積最大？

設計意圖：通過學生所熟悉的圖形，引入新課，使學生初步了解解決最大面積問題的一般思路.2.如圖，在一面靠墻的空地上用長為24米的籬笆，圍成中間隔有二道籬笆的長方形花圃，設花圃的寬AB為x米，面積為S平方米.(1)求S與x的函數關系式及自變量的取值范圍；(2)當x取何值時所圍成的花圃面積最大，最大值是多少？

(3)若墻的最大可用長度為8米，求圍成花圃的最大面積.設計意圖：在上一個問題的基礎上對問題情境進行變化，增大難度，同時板書解題過程，讓學生明確規范的書寫過程.五、探究新知(放幻燈片5、6、7）

探究一：如圖,在一個直角三角形的內部畫一個矩形ABCD，其中AB和AD分別在兩直角邊上，AN=40m，AM=30m.(1)設矩形的一邊AB=xm,那么AD邊的長度如何表示？(2)設矩形的面積為ym2,當x取何值時,y的最大值是多少?

ABNMDC探究二：在上一個問題中，如果把矩形改為如圖所示的位置，其頂點A和點D分別在兩直角邊上,BC在斜邊上.其它條件不變，那么矩形的最大面積是多少？

DMCBANP探究三：如圖,已知△ABC是一等腰三角形鐵板余料，AB=AC=20cm, BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使得EF在BC上,點D、G 分別在邊AB、AC上.問矩形DEFG的最大面積是多少?

設計意圖：通過由學生討論怎樣用直角三角形剪出一個最大面積的矩形入手，由學生動手畫出兩種方法，和同學一起從問題中抽象出二次函數的模型，并求其最值，同時通過兩種情況的分析，訓練學生的發散思維能力，關鍵是教會學生方法，也是這類問題的難點所在，即怎樣設未知數，怎樣轉化為我們熟悉的數學問題.在此基礎上對變式三進行探究，進而總結此類題型，得出解決問題的一般方法.BDAGEFC

六、例題講解(放幻燈片8、9）

某建筑物的窗戶如圖所示,它的上半部是半圓,下半部是矩形,制造窗框的材料總長(圖中所有的黑線的長度和)為15m.（1）用含x的代數式表示 ；

（2）當x等于多少時,窗戶通過的光線最多?(結果精確到0.01m)此時,窗戶的面積是多少?(結果精確到0.01m)

歸納總結：二次函數應用的思路

設計意圖：讓學生進一步經歷解決最值問題的過程，明確解決這類問題的一般步驟.七、課堂練習

八、課堂小結(放幻燈片10）

九、課后作業 2

第二篇：北師大版2.4 二次函數的應用教案

第二章 二次函數

2.4 二次函數的應用（2）

一、知識點：

1.二次函數y?ax2?bx?c(a?0)頂點式、對稱軸和頂點坐標公式.2.利潤問題常用等量關系：利潤=售價-進價； 總利潤=每件利潤×銷售量.二、教學目標： 知識目標：

1.經歷探索T恤衫銷售中最大利潤等問題的過程，體會二次函數是一類最優化問題的數學模型，并感受數學的應用價值．

2．能夠分析和表示實際問題中變量之間的二次函數關系，并運用二次函數的知識求出實際問題的最大(小)值，發展解決問題的能力． 能力目標：

經歷銷售中最大利潤問題的探究過程，讓學生認識數學與人類生活的密切聯系及對人類歷史發展的作用，發展學生運用數學知識解決實際問題的能力． 情感與價值觀：

1.體會數學與人類社會的密切聯系，了解數學的價值．增進對數學的理解和學好數學的信心．

2.認識到數學是解決實際問題和進行交流的重要工具，了解數學對促進社會進步和發展人類理性精神的作用．

三、教學重點與難點：

重點：1.探索銷售中最大利潤問題．

2.能夠分析和表示實際問題中變量之間的二次函數關系，并運用二次函數的知識求出實際問題中的最大(小)值，發展解決問題的能力． 難點：運用二次函數的知識解決實際問題．

四、導入新課：

活動內容：(放幻燈片1、2、3）

[師]前面我們認識了二次函數，研究了二次函數的圖象和性質，由簡單的二次函數y＝x開始，然后是y＝ax，y＝ax+c，最后是y=a(x-h)，y＝a(x-h)+k；由一般式到頂點式及對稱軸和頂點坐標，掌握了二次函數的三種表示方式．怎么突然轉到了獲取最大利潤呢?看來這兩者之間肯定有關系．那么究竟有什么樣的關系呢?我們本節課將研究有關問題．

五、探究新知：(放幻燈片4)2

222

服裝廠生產某品牌的T恤衫，每件的成本是10元.根據市場調查,以單價13元批發給經銷商，經銷商愿意經銷5000件，并且表示每件降價0.1元，愿意多經銷500件.廠家批發單價是多少時,可以獲利最多? 分析：（放幻燈片5）設批發單價為x(0

(4)當批發單價是 元時，可以獲得最大利潤，最大利潤是 ．

[師]從題目的內容來看好像是商家應考慮的問題：有關利潤問題．不過，這也為我們以后就業做了準備，今天我們就不妨來做一回商家．從問題來看就是求最值問題，而最值問題是二次函數中的問題．因此我們應該先分析題意列出函數關系式．

獲利就是指利潤，總利潤應為每件T恤衫的利潤(批發價一成本)乘以T恤衫的數量，設批發單價為x元，則降低了(13-x)元，每降低0.1元，可多售出500件，降低了10(13-x)元，則可多售出5000(13-x)件，因此共售出5000+5000(13-x)件，若所獲利潤用y(元)表示，則y＝(x-10)[5000+5000(13-x)]．

經過分析之后，大家就可回答以上問題了.[生](1)銷售量可以表示為5000+5000(13-x)=70000-5000x．(2)銷售額可以表示為x(70000-5000x)=70000x-5000x．

(3)所獲利潤可以表示為

(70000x-5000x)-10(70000-5000x)＝-5000x+120000x-700000．(4)設總利潤為y元，則

y＝-5000x+120000x-700000 ＝-5000(x-12)2?20000.∵-5000＜0 ∴拋物線有最高點，函數有最大值．

當x＝12元時，y最大=20000元.即當銷售單價是12元時，可以獲得最大利潤，最大利潤是20000元．

活動目的：通過這個實際問題，讓學生感受到二次函數是一類最優化問題的數學模型，并感受數學的應用價值.在這里幫助學生分析和表示實際問題中變量之間的關系，幫助學生領會有效的思考和解決問題的方法，學會思考、學會分析，是教學的一個重要內容.六、講授新知： 2

222 2

1.例2：（放幻燈片6、7）某旅社有客房120間，每間房的日租金為160元，每天都客滿.經市場調查發現，如果每間客房的日租金每增加10元時，那么客房每天出租數會減少6間.不考慮其他因素，旅社將每間客房的日租金提高到多少元時，客房日租金的總收入最高？

讓學生根據上面的利潤問題的解法來解決這道例題.師：總結完成.2.議一議（放幻燈片8、9）

還記得本章一開始的“種多少棵橙子樹”的問題嗎?我們得到表示增種橙子樹的數量x(棵)與橙子總產量y(個)的二次函數表達式y＝(600-5x)(100+x)＝-5x+100x+60000．

(1)利用函數圖象描述橙子的總產量與增種橙子樹的棵數之間的關系.(2)增種多少棵橙子樹，可以使橙子的總產量在60400個以上？（要求學生畫出二次函數的圖象，并根據圖象回答問題）所以y＝-5x+100x+60000 [生]圖象如上圖．

(1)當x<10時，橙子的總產量隨增種橙子樹的增加而增加；當x>10時，橙子的總產量隨增種橙子樹的增加而減小．

(2)由圖可知，增種6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子總產量在60400個以上．

活動目的：進一步用圖象刻畫橙子的總產量與增種橙子樹之間的關系，并利用圖象解決問題.七、課堂練習：（放幻燈片10）

某商店購進一批單價為20元的日用品，如果以單價30元銷售，那么半個月內可以售出400件。根據銷售經驗，提高銷售單價會導致銷售量的減少，即銷售單價每提高1元，銷售量相應減少20件。如何提高售價,才能在半個月內獲得最大利潤？

八、課堂小結：（放幻燈片11）

解決“最大利潤”和 “最高產量”此類問題的基本思路： 1.理解問題；

2.分析問題中的變量和常量,以及它們之間的關系； 3.用數學的方式表示出它們之間的關系； 4.做數學求解；

5.檢驗結果的合理性,拓展等.九、課后作業： 23

第三篇：二次函數的應用教案

30.4二次函數應用（第一課時）

教學目標

知

識

與

技

能

通過本節學習，鞏固二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與性質，理解頂點與最值的關系，會求解最值問題。過

程

與

方

法

通過觀察圖象，理解頂點的特殊性，會把實際問題中的最值轉化為二次函數的最值問題，通過動手動腦，提高分析解決問題的能力，并體會一般與特殊的關系，了解數形結合思想、函數思想。情感、態度與價值觀

通過學生之間的討論、交流和探索，建立合作意識，提高探索能力，激發學習的興趣和欲望，體會數學在生活中廣泛的應用價值。

教學重點：利用二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與性質，求面積最值問題

教學難點：(1)正確構建數學模型

(2)對函數圖象頂點、端點與最值關系的理解與應用

一、復習引入

1、二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）圖象的頂點坐標、對稱軸和最值。

2、（1）求函數y＝x2+2x－3的最值。

（2）求函數y＝x2+2x－3的最值。（0≤x ≤ 3）

3、拋物線在何位置取最值？

二、新課講授

1、講解例題教師提出問題，引導學生觀察思考，學生獨立研究解決方案、展示

師生共同分析解決問題，引導學生討論、交流、歸納，深入參與討論，重點關注是否準確建立函數關系及討論自變量取值范圍 匯報、展示

師生共同小結并反思，加深理解

2、歸納總結復習提問讓學生回憶二次函數圖象、頂點與最值，求最值方法；實際問題中，提醒學生注意求解函數問題不能離開自變量取值范圍這個條件的制約才有意義，做完練習后及時讓學生總結出了取最值的點的位置往往在頂點和兩個端點之間選擇，為學習新課做好知識鋪墊。

例題及練習的設計是尋找了學生熟悉的家門口的生活背景，從學生身邊較熟悉的事情

入手，讓學生初步體會數學不能脫離生活實際，加深對知識的理解，做到數與形的完美結合，從而提煉出解題方法。讓學生對自變量的意義有更深刻的理解，這樣既培養了學生思維的嚴密性，又為今后能靈活地運用知識解決問題奠定了堅實的基礎。

小結過程中讓學生體會到數學思想與方法。

三、練習

四、小結、作業

第四篇：6.4二次函數應用教案

課 題: §6.3二次函數的應用（2）教學目標：

1.能根據揭示實際問題中數量變化關系的圖象特征，用相關的二次函數知識解決實際問題； 2.會用二次函數的相關知識解決現實生活中一些有關拋物線的問題

教學重點：運用二次函數的相關知識解決現實生活中一些有關拋物線的問題 教學難點：揭示實際問題中數量變化關系的圖象特征 教學程序設計：

一、情境創設

打高爾夫球時，球的飛行路線可以看成是一條拋物線，如果不考慮空氣的阻力，某次球的飛行高度y（單位：米）與飛行距離x（單位：百米）滿足二次函數：y＝－5x2＋20x.（1）這個球飛行的水平距離最遠是多少米？（2）這個球飛行的最大高度是多少米？

y(米）30 20 10 師生活動設計：師：出示問題，讓學生思考后嘗試解答

生：思考并嘗試解答情境中的兩個問題

設計意圖：該情境屬于簡單、常見的問題，根據已有的知識立刻可以知道該如何去做，從而為本節課做一個很好的鋪墊，也符合學生的認知規律

二、探索活動 活動：

（1）如何求這個球飛行時最遠的水平距離？

（2）如何求出飛行路線與x軸的兩個交點坐標呢？（3）如何求這個球飛行的最大高度？（4）如何求出拋物線的頂點坐標？

師生活動設計：生1：求這個球飛行時最遠的水平距離就是求落地點與原點的距離，因此只要求出飛行路線與x軸的兩個交點坐標.生2：只要令y=0，求出相應x的值，就可求出飛行路線與x軸的兩個交點坐標.生3：只要求出拋物線的頂點坐標.生4：把解析式配成頂點式或利用頂點公式.師：根據學生的回答依次板演解答過程.設計意圖：通過活動的引導，讓學生理解解決二次函數圖象問題時，數形結合是重要的方法，而在解決問題的過程中，求拋物線上某點的坐標是關鍵

三、例題教學 O 1 2 3 4

例1：某噴灌設備的噴頭B高出地面1.2m，如果噴出的拋物線形水流的水平距離x(m)與高度y(m)之間的關系為二次函數y=a（x-4）2+2.求水流落地點D與噴頭底部A的距離（精確到0.1m）

B O（A）D

答案：

∵水流拋物線對應的二次函數為y=a（x-4）2+2，且該拋物線經過點B（0，1.2）∴把x＝0、y＝1.2代入y=a（x-4）2+2，得1.2=a（0-4）2+2，解得a＝－0.05 ∴y=－0.05（x-4）2+2，把y＝0代入y=－0.05（x-4）2+2，得－0.05（x-4）2+2＝0，解得x1≈－2.3（舍去），x2≈10.3 答：水流落地點D與噴頭底部A的距離約為10.3m.例2：如圖，小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了一根繩子，給他做了一個簡易的秋千，拴繩子的地方距地面高都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1米的小明距較近的那棵樹0.5米時，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點距地面的距離為 米．

y 0.5米 2.5米 O 2米 1米 x 師生活動設計師：出示例1 生：先思考嘗試解答.師：請學生回答并說出解答過程，教師根據學生的回答板書 師：出示例2 生：獨立思考后小組交流.師：請同學談談自己的做法，然后師生共同總結.設計意圖：例1與例2是兩個基本的二次函數的圖象問題.例1相對簡單，關鍵是確定二次函數的解析式，并求出二次函數的圖象上某點的坐標去解決；而例2有所深化，要綜合分析題意后思考解決.四、課堂小結

本節課學到了什么？

本節課主要探索由“形（函數圖象）”到“數（函數關系式）”的實際問題，如噴泉、噴灌等噴出的拋物線形水流及體育運動中一些呈拋物線狀的運動軌跡等.確定這些“隱性”函數圖象對應的函數關系式，并進行有效調控，可以使有關實際問題獲得理想的解決.師生活動設計：生：總結本節課的內容，并發言，其它學生補充。師：在學生完成小結后給出完善的小結。

設計意圖：幫助學生深化知識理解，完善認知結構，領悟思想方法，強化情感體驗，提高學生元認知的能力

五、當堂反饋（見導學案當堂反饋）

師生活動設計：獨立思考并完成。

設計意圖：通過當堂反饋，鞏固和復習本節課的內容。

六、課后作業（見導學案課后作業）

設計意圖：既照顧全體，又關注個別，真正體現全面關注所有學生的發展，并鞏固學生所學習的知識.七、教學反思

第五篇：九年級數學下冊 第2章 二次函數 2.4 二次函數的應用 2.4.1 二次函數的應用教案 (新版)北師大版

2.4.1二次函數的應用

一、教學目標

1.掌握長方形和窗戶透光最大面積問題，體會數學的模型思想和數學應用價值． 2.學會分析和表示不同背景下實際問題中的變量之間的二次函數關系，并運用二次函數的知識解決實際問題．

二、課時安排 1課時

三、教學重點

掌握長方形和窗戶透光最大面積問題，體會數學的模型思想和數學應用價值．

四、教學難點

運用二次函數的知識解決實際問題．

五、教學過程

（一）導入新課

引導學生把握二次函數的最值求法：(1)最大值：(2)最小值：

（二）講授新課 活動1：小組合作

如圖,在一個直角三角形的內部作一個矩形ABCD，其中AB和AD分別在兩直角邊上.(1)設矩形的一邊AB=xm,那么AD邊的長度如何表示？

(2)設矩形的面積為ym,當x取何值時,y的值最大？最大值是多少?

2解：?1?設AD?bm,易得b??3x?30.4 33?2?y?xb?x(?x?30)??x2?30x4432???x?20??300.4b4ac?b2或用公式:當x???20時,y最大值??300.2a4a活動2：探究歸納

先將實際問題轉化為數學問題，再將所求的問題用二次函數關系式表達出來，然后利用頂點坐標公式或者配方法求出最值，有時必須考慮其自變量的取值范圍，根據圖象求出最值.（三）重難點精講

例題:某建筑物的窗戶如圖所示,它的上半部是半圓,下半部是矩形,制造窗框的材料總長(圖中所有黑線的長度和)為15m.當x等于多少時,窗戶通過的光線最多(結果精確到0.01m)?此時,窗戶的面積是多少?

解：由4y?7x??x?15.得y?15?7x??x.4?x215?7x??x?x2

窗戶面積S?2xy??2x()?2427157152??x2?x ??(x?)22214?225

.56b154ac?b2225 當x????1.07時,s最大值???4.02.2a144a56即當x≈1.07m時，窗戶通過的光線最多.此時窗戶的面積為4.02m.（四）歸納小結

“最大面積” 問題解決的基本思路： 1.閱讀題目，理解問題.2.分析問題中的變量和常量,以及它們之間的關系.3.用數量的關系式表示出它們之間的關系.4.根據二次函數的最值問題求出最大值、最小值.5.檢驗結果的合理性.（五）隨堂檢測

1．（包頭·中考）將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長各做成一個正方形，則這兩個正方形面積之和的最小值是 cm．

2．（蕪湖·中考）用長度為20m的金屬材料制成如圖所示的金屬框，下部為矩形，上部為等腰直角三角形，其斜邊長為2x m．當該金屬框圍成的圖形面積最大時，圖形中矩形的相鄰兩邊長各為多少？請求出金屬框圍成的圖形的最大面積．

23．（濰坊·中考）學校計劃用地面磚鋪設教學樓前的矩形廣場的地面ABCD，已知矩形廣場地面的長為100米，寬為80米，圖案設計如圖所示：廣場的四角為小正方形，陰影部分為四個矩形，四個矩形的寬都是小正方形的邊長，陰影部分鋪設綠色地面磚，其余部分鋪設白色地面磚．

（1）要使鋪設白色地面磚的面積為5 200平方米，那么矩形廣場四角的小正方形的邊長為多少米？

（2）如圖鋪設白色地面磚的費用為每平方米30元，鋪設綠色地面磚的費用為每平方米20元，當廣場四角小正方形的邊長為多少米時，鋪設廣場地面的總費用最少？最少費用是多少？

4．（南通·中考）如圖，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常數），BC=8，E為線段BC上的動點（不與B，C重合）．連接DE，作EF⊥DE，EF與線段BA交于點F，設CE=x，BF=y．

（1）求y關于x的函數關系式.（2）若m=8，求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？（3）若y? 12，要使△DEF為等腰三角形，m的值應為多少？ m

5.（河源·中考）如圖，東梅中學要在教學樓后面的空地上用40米長的竹籬笆圍出一個矩形地塊作生物園，矩形的一邊用教學樓的外墻，其余三邊用竹籬笆．設矩形的寬為x，面積為y．

（1）求y與x的函數關系式，并求出自變量x的取值范圍.（2）生物園的面積能否達到210平方米？說明理由．

【答案】 1.12.5 2.根據題意可得：等腰三角形的直角邊為2xm矩形的一邊長是2xm,其鄰邊長為20?4?22x2???10?2?2x,??

1所以該金屬框圍成的面積S?2x??10?2?2x???2x?2x

??2?? 10當x??30?202時,金屬框圍成的圖形面積最大.3?22此時矩形的一邊長為2x?60?402?m?,另一邊長為10?2?2?103?22?102?10?m?.????

S最大?300?2002?m2?.3.解;（1）設矩形廣場四角的小正方形的邊長為x米，根據題意 得：4x＋（100－2x）（80－2x）＝5 200，整理得x－45x＋350＝0，解得x1＝35，x2＝10，經檢驗x1＝35，x2＝10均適合題意，所以，要使鋪設白色地面磚的面積為5 200平方米，則矩形廣場四角的小正方形的邊長為35米或者10米．（2）設鋪設矩形廣場地面的總費用為y元，廣場四角的小正方形的邊長為x米，則

y＝30[4x＋(100－2x)(80－2x)]＋20[2x(100－2x)＋2x(80－2x)] 即y＝80x－3 600x＋240 000，配方得 y＝80（x－22．5）＋199 500，當x＝22．5時，y的值最小，最小值為199 500，所以當矩形廣場四角的小正方形的邊長為22．5米時，鋪設矩形廣場地面的總費用最少，最少費用為199 500元． 4.⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，∴在Rt△BFE中，∠1+∠BFE=90°，又∵EF⊥DE，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠BFE，∴Rt△BFE∽Rt△CED，22222∴BFBEy8?x?, ∴? CECDxm8x?x2即y?

m

8x?x212,化成頂點式: y???x?4??2 ⑵當m=8時，y?888x?x12（3）由y?，及y?得關于x的方程: mmx2?8x?12?0，得x1?2，x2?6

∵△DEF中∠FED是直角，∴要使△DEF是等腰三角形，則只能是EF=ED，此時，Rt△BFE≌Rt△CED，∴當EC=2時，m=CD=BE=6；當EC=6時，m=CD=BE=2.即△DEF為等腰三角形，m的值應為6或2.5.解：（1）依題意得：y=(40-2x)x． ∴y=-2x+40x．

x的取值范圍是0< x <20．

（2）當y=210時，由（1）可得，-2x+40x=210． 即x-20x+105=0．

∵ a=1，b=-20，c=105，∴(?20)2?4?1?105?0，∴此方程無實數根，即生物園的面積不能達到210平方米． 六．板書設計

2.4.1二次函數的應用 2

2探究： 例題:

“最大面積” 問題解決的基本思路： 1.閱讀題目，理解問題.2.分析問題中的變量和常量,以及它們之間的關系.3.用數量的關系式表示出它們之間的關系.4.根據二次函數的最值問題求出最大值、最小值.5.檢驗結果的合理性.七、作業布置 課本P47練習練習冊相關練習

八、教學反思