專題三

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第七講

導(dǎo)數(shù)的計算與導(dǎo)數(shù)的幾何意義

2019年

1.（2019全國Ⅰ文13）曲線在點(diǎn)處的切線方程為___________．

2.（2019全國Ⅱ文10）曲線y=2sinx+cosx在點(diǎn)(π，–1)處的切線方程為

A．

B．

C．

D．

3.（2019全國三文7）已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為y=2x+b，則

A．a(chǎn)=e，b=-1

B．a(chǎn)=e，b=1

C．a(chǎn)=e-1，b=1

D．a(chǎn)=e-1，4.（2019天津文11）曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________.5.（2019江蘇11）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在曲線y=lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)（-e，-1)(e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是

.2010-2018年

一、選擇題

1．(2018全國卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)．若為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為

A．

B．

C．

D．

2．（2017山東）若函數(shù)(e=2．71828，是自然對數(shù)的底數(shù))在的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)具有性質(zhì)，下列函數(shù)中具有性質(zhì)的是

A．

B．

C．

D．

3．（2016年山東）若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是

A．

B．

C．

D．

4．（2016年四川）設(shè)直線，分別是函數(shù)，圖象上點(diǎn)，處的切線，與垂直相交于點(diǎn)，且，分別與軸相交于點(diǎn)，則△的面積的取值范圍是

A．(0,1)

B．(0,2)

C．

(0,+∞)

D．(1,+

∞)

5．（2013浙江）已知函數(shù)的圖像是下列四個圖像之一，且其導(dǎo)函數(shù)的圖像如右圖所示，則該函數(shù)的圖像是

6．（2014新課標(biāo)）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則=

A．0

B．1

C．2

D．3

7．(2011重慶)曲線在點(diǎn)（1，2）處的切線方程為

A．

B．

C．

D．

8．（2011江西）曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（）

A．1

B．2

C．

D．

9．（2011山東）曲線在點(diǎn)處的切線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是

A．-9

B．-3

C．9

D．15

10．（2011湖南）曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為（）

A．

B．

C．

D．

11．（2010新課標(biāo)）曲線在點(diǎn)處的切線方程為

A．

B．

C．

D．

12．（2010遼寧）已知點(diǎn)在曲線上，為曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角，則的取值范圍是

A．[0,)

B．

C．

D．

二、填空題

13．(2018全國卷Ⅱ)曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．

14．(2018天津)已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則的值為__．

15．（2017新課標(biāo)Ⅰ）曲線在點(diǎn)處的切線方程為____________．

16．（2017天津）已知，設(shè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，則在y軸上的截距為

．

17．（2016年全國III卷）已知為偶函數(shù)，當(dāng)時，則曲線在點(diǎn)(1,2)處的切線方程式_____________________________．

18．（2015新課標(biāo)1）已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)的處的切線過點(diǎn)，則

．

19．（2015陜西）函數(shù)在其極值點(diǎn)處的切線方程為____________．

20．（2015天津）已知函數(shù)，其中為實數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，若，則的值為

．

21．（2015新課標(biāo)2）已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，則

．

22．（2014江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，若曲線(a，b為常數(shù))過點(diǎn)，且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線平行，則的值是

．

23．（2014江西）若曲線處的切線平行于直線的坐標(biāo)是_______．

24．（2014安徽）若直線與曲線滿足下列兩個條件：

直線在點(diǎn)處與曲線相切；曲線在附近位于直線的兩側(cè)，則稱直線在點(diǎn)處“切過”曲線．下列命題正確的是_________(寫出所有正確命題的編號)

①直線在點(diǎn)處“切過”曲線：

②直線在點(diǎn)處“切過”曲線：

③直線在點(diǎn)處“切過”曲線：

④直線在點(diǎn)處“切過”曲線：

⑤直線在點(diǎn)處“切過”曲線：

25．（2013江西）若曲線（）在點(diǎn)處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則=

．

26．（2012新課標(biāo)）曲線在點(diǎn)處的切線方程為________．

三、解答題

27．（2017山東）已知函數(shù)．

(Ⅰ)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(Ⅱ)設(shè)函數(shù)，討論的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值．

28．（2017北京）已知函數(shù)．

（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．

29．（2016年北京）設(shè)函數(shù)

（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（II）設(shè)，若函數(shù)有三個不同零點(diǎn)，求c的取值范圍；

（III）求證：是有三個不同零點(diǎn)的必要而不充分條件.30．（2015山東）設(shè)函數(shù)，已知曲線在點(diǎn)

處的切線與直線平行．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）是否存在自然數(shù)，使的方程在內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，請說明理由；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)（表示中的較小值），求的最大值．

31．(2014新課標(biāo)1)設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若存在，使得，求的取值范圍．

32．（2013北京）已知函數(shù)

（1）若曲線在點(diǎn)處與直線相切，求與的值．

（2）若曲線與直線有兩個不同的交點(diǎn)，求的取值范圍．

專題三

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第七講

導(dǎo)數(shù)的計算與導(dǎo)數(shù)的幾何意義

答案部分

2019年

1.解析

因為，所以，所以當(dāng)時，所以在點(diǎn)處的切線斜率，又所以切線方程為，即．

2.解析

由y=2sinx+cosx，得，所以，所以曲線y=2sinx+cosx在點(diǎn)處的切線方程為，即．

故選C．

3.解析的導(dǎo)數(shù)為，又函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，可得，解得，又切點(diǎn)為，可得，即.故選D．

4.解析

由題意，可知.因為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程，即．

5.解析

設(shè)，由，得，所以，則該曲線在點(diǎn)A處的切線方程為，因為切線經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，則．

2010-2018年

1．D【解析】通解

因為函數(shù)為奇年函數(shù)，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以，所以曲線在點(diǎn)

處的切線方程為．故選D．

優(yōu)解一

因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，所以，解得，所以，所以，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．故選D．

優(yōu)解二

易知，因為為奇函數(shù)，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以，解得，所以，所以，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．故選D．

2．A【解析】對于選項A，則，∵，∴)在R上單調(diào)遞增，∴具有M性質(zhì)．對于選項B，，令，得或；令，得，∴函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴不具有M性質(zhì)．對于選項C，則，∵，∴在R上單調(diào)遞減，∴不具有M性質(zhì)．對于選項D，，則在R上不恒成立，故在R上不是單調(diào)遞增的，所以不具有M性質(zhì)．

3．A【解析】設(shè)兩個切點(diǎn)分別為，選項A中，，當(dāng)時滿足，故A正確；函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值均非負(fù)，不符合題意，故選A.4．A【解析】設(shè)（不妨設(shè)），則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義易得切線的斜率分別為由已知得

切線的方程分別為，切線的方程為，即．

分別令得又與的交點(diǎn)為

．∵，∴，∴，故選A．

5．B【解析】由導(dǎo)函數(shù)圖像可知函數(shù)的函數(shù)值在[1,1]上大于零，所以原函數(shù)遞增，且導(dǎo)函數(shù)值在[1,0]遞增，即原函數(shù)在[1,1]上切線的斜率遞增，導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值在[0,1]遞減，即原函數(shù)在[0,1]上切線的斜率遞減，所以選B．

6．D【解析】，由題意得，即．

7．A【解析】∵∴切線斜率為3，則過（1,2）的切線方程為，即，故選A.8．A【解析】，．

9．C【解析】∵，切點(diǎn)為，所以切線的斜率為3，故切線方程為，令得．

10．B【解析】，所以。

11．A【解析】點(diǎn)處的切線斜率為，由點(diǎn)斜式可得切線方程為A．

12．D【解析】因為，即tan

≥－1，所以．

13．【解析】由題意知，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率，故所求切線方程為，即．

14．【解析】

由題意得，則．

15．【解析】∵，又，所以切線方程為，即．

16．1【解析】∵，切點(diǎn)為，則切線的斜率為，切線方程為：，令得出，在軸的截距為

17．【解析】當(dāng)時，則．又為偶函數(shù)，所以，所以當(dāng)時，則曲線在點(diǎn)(1，2)處的切線的斜率為，所以切線方程為，即．

18．1【解析】∵，∴，即切線斜率，又∵，∴切點(diǎn)為（1，），∵切線過（2,7），∴，解得1．

19．【解析】∵，極值點(diǎn)為，∴切線的斜率，因此切線的方程為．

20．3【解析】因為，所以．

21．8【解析】∵，∴，∴在點(diǎn)處的切線方程為，∴，又切線與曲線相切，當(dāng)時，與平行，故．∵，∴令得，代入，得，∴點(diǎn)在的圖象上，故，∴．

22．－3【解析】由題意可得

①又，過點(diǎn)的切線的斜率

②，由①②解得，所以．

23．【解析】由題意得，直線的斜率為，設(shè)，則，解得，所以，所以點(diǎn)．

24．【解析】①③④

對于①，所以是曲線在點(diǎn)

處的切線，畫圖可知曲線在點(diǎn)附近位于直線的兩側(cè)，①正確；對于②，因為，所以不是曲線：在點(diǎn)處的切線，②錯誤；對于③，在點(diǎn)處的切線為，畫圖可知曲線：在點(diǎn)附近位于直線的兩側(cè)，③正確；對于④，，在點(diǎn)處的切線為，畫圖可知曲線：在點(diǎn)附近位于直線的兩側(cè)，④正確；對于⑤，在點(diǎn)處的切線為，令，可得，所以，故，可知曲線：在點(diǎn)附近位于直線的下側(cè)，⑤錯誤．

25．2【解析】，則，故切線方程過點(diǎn)解得．

26．【解析】∵，∴切線斜率為4，則切線方程為：.27．【解析】（Ⅰ）由題意，所以，當(dāng)時，，所以，因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即．

（Ⅱ）因為

所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，因此，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時．

（1）

當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，單調(diào)遞增．

所以，當(dāng)時，取到極大值，極大值是，當(dāng)時，取到極小值，極小值是．

（2）

當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞增；

所以，在上單調(diào)遞增，無極大值也無極小值．

（3）

當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，單調(diào)遞增．

所以，當(dāng)時，取到極大值，極大值是；

當(dāng)時，取到極小值，極小值是．

綜上所述：

當(dāng)時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是，極小值是．

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；

當(dāng)時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是，極小值是．

28．【解析】（Ⅰ）因為，所以．

又因為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．

（Ⅱ）設(shè)，則

．

當(dāng)時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減．

所以對任意有，即．

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．

所以當(dāng)時，有最小值，當(dāng)時，有最大值．

29．【解析】（I）由，得．

因為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．

（II）當(dāng)時，所以．

令，得，解得或．

與在區(qū)間上的情況如下：

所以，當(dāng)且時，存在，，使得．

由的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)時，函數(shù)有三個不同零點(diǎn)．

（III）當(dāng)時，，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以不可能有三個不同零點(diǎn)．

當(dāng)時，只有一個零點(diǎn)，記作．

當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增．

所以不可能有三個不同零點(diǎn)．

綜上所述，若函數(shù)有三個不同零點(diǎn)，則必有．

故是有三個不同零點(diǎn)的必要條件．

當(dāng)，時，只有兩個不同零點(diǎn)，所以不是有三個不同零點(diǎn)的充分條件．

因此是有三個不同零點(diǎn)的必要而不充分條件．

30．【解析】

（Ⅰ）由題意知，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以，又所以．

（Ⅱ）時，方程在內(nèi)存在唯一的根．

設(shè)

當(dāng)時，又

所以存在，使．

因為所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增．

所以時，方程在內(nèi)存在唯一的根．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，方程在內(nèi)存在唯一的根，且時，時，所以．

當(dāng)時，若，．

若，由可知故．

當(dāng)時，由可得時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減．

可知且．

綜上可得函數(shù)的最大值為．

31．【解析】：（Ⅰ），由題設(shè)知，解得．

（Ⅱ）的定義域為，由（Ⅰ）知，（ⅰ）若，則，故當(dāng)時，在單調(diào)遞增，所以，存在，使得的充要條件為，即，解得.（ii）若，則，故當(dāng)時，；

當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.所以，存在，使得的充要條件為，而，所以不合題意．

（iii）若，則．

綜上，的取值范圍是．

32．【解析】：（1）

因為曲線在點(diǎn)處的切線為

所以，即，解得

（2）令，得

所以當(dāng)時，單調(diào)遞增

當(dāng)時，單調(diào)遞減．

所以當(dāng)時，取得最小值，當(dāng)時，曲線與直線最多只有一個交點(diǎn)；

當(dāng)時，，所以存在，使得

由于函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)，所以當(dāng)時曲線與直線有且僅有兩個不同交點(diǎn)．

綜上可知，如果曲線與直線有兩個不同交點(diǎn)，那么的取值范圍是．