專題七

不等式

第十九講

不等式的性質與一元二次不等式

2019年

1.（2019全國Ⅰ文3）已知，則

A．

B．

C．

D．

2.（2019天津文5）已知，，則的大小關系為

（A）

（B）

（c）

（D）

3.（2019天津文10）設，使不等式成立的的取值范圍為__________.2010-2018年

一、選擇題

1．(2018全國卷Ⅰ)設函數，則滿足的的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

2．(2018天津)設，則“”是“”的A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

3．（2017天津）設，則“”是“”的A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

4．（2017浙江）若函數在區間[0，1]上的最大值是，最小值是，則

A．

與有關，且與有關

B．

與有關，但與無關

C．

與無關，且與無關

D．

與無關，但與有關

5．（2016年浙江）已知，且，若，則

A．

B．

C．

D．

6．（2015浙江）已知集合，則

A．

B．

C．

D．

7．（2015山東）已知集合，則=

A．（1，3）

B．（1，4）

C．（2，3）

D．（2，4）

8．（2015福建）若定義在上的函數滿足，其導函數滿足，則下列結論中一定錯誤的是

A．

B．

C．

D．

9．（2014新課標1）已知集合A={|}，B={|－2≤＜2}，則=

A．[2,1]

B．[1,1]

C．[1,2）

D．[1,2）

10．（2014山東）若，則一定有

A．

B．

C．

D．

11．（2014四川）已知實數滿足，則下列關系式恒成立的是

A．

B．

C．

D．

12．（2014遼寧）已知定義在上的函數滿足：

①；

②對所有，且，有．

若對所有，恒成立，則的最小值為

A．

B．

C．

D．

13．（2013陜西）在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個面積不小于300m2的內接矩形花園(陰影部分),則其邊長x(單位m)的取值范圍是

A．[15,20]

B．[12,25]

C．

[10,30]

D．[20,30]

14．（2013重慶）關于的不等式（）的解集為，且，則

A．

B．

C．

D．

15．（2013天津）已知函數．設關于x的不等式的解集為A，若，則實數a的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

16．（2012遼寧）若，則下列不等式恒成立的是

A．

B．

C．

D．

17．（2011湖南）已知函數，若有，則的取值范圍為

A．

B．

C．

D．

二、填空題

18．(2018北京)能說明“若，則”為假命題的一組，的值依次為____．

19．(2018浙江)已知，函數，當時，不等式的解集是_____．若函數恰有2個零點，則的取值范圍是______．

20．（2017新課標Ⅲ）設函數，則滿足的的取值范圍是____．

21．（2017北京）已知，且，則的取值范圍是___．

22．（2017北京）某學習小組由學生和教師組成，人員構成同時滿足以下三個條件：

（ⅰ）男學生人數多于女學生人數；

（ⅱ）女學生人數多于教師人數；

（ⅲ）教師人數的兩倍多于男學生人數．

①若教師人數為4，則女學生人數的最大值為__________．

②該小組人數的最小值為__________．

23．（2016年北京高考）函數的最大值為_________．

24．（2015廣東）不等式的解集為

．（用區間表示）

25．（2014江蘇）已知函數若對于任意，都有成立，則實數的取值范圍是

．

26．（2013四川）已知函數在時取得最小值，則____________．

27．（2013廣東）不等式的解集為___________．

28．（2013江蘇）已知是定義在上的奇函數．當時，則不等式的解集用區間表示為

．

29．（2013四川）已知的定義域為R的偶函數，當時，那么，不等式的解集是_____．

30．（2012福建）已知關于的不等式在上恒成立，則實數的取值范圍是_________．

31．（2012江蘇）已知函數的值域為，若關于的不等式的解集為，則實數的值為

．

32．（2012江西）不等式的解集是___________．

33．（2010江蘇）已知函數,則滿足不等式的的范圍是__

___．

34．（2010江蘇）設實數滿足3≤≤8，4≤≤9，則的最大值是

．

35．（2010天津）設函數，對任意恒成立，則實數的取值范圍是________．

三、解答題

36．（2014北京）已知函數，（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若在上恒成立，求的最大值與的最小值．

專題七

不等式

第十九講

不等式的性質與一元二次不等式

答案部分

2019年

1.解析

依題意，因為，所以，所以.故選B．

2.解析

由題意，可知，，所以．?故選A．

3.解析，即，可得；

所以的取值范圍是或.2010-2018年

1．D【解析】當時，函數是減函數，則，作出的大致圖象如圖所示，結合圖象可知，要使，則需或，所以，故選D．

2．A【解析】由，得，由，得或，故“”是“”的充分而不必要條件，故選A．

3．B【解析】由，得，由，得，所以“”是“”的必要而不充分條件．選B．

4．B【解析】函數的對稱軸為，①當，此時，；

②當，此時，；

③當，此時，或，或．綜上，的值與有關，與無關．選B．

5．D【解析】，當時，，；

當時，，．故選D．

6．A【解析】由題意得，所以，故選A．

7．C【解析】．

8．C

【解析】取滿足題意得函數，若取，則，所以排除A．

若取，則，所以排除D；取滿足題意的函數，若取，則，所以排除B，故結論一定錯誤的是C．

9．A【解析】，故=[2,1]．

10．D【解析】由，又，由不等式性質知：，所以

11．D【解析】由已知得，此時大小不定，排除A,B；由正弦函數的性質，可知C不成立；故選D．

12．B【解析】不妨設，當時，；

當時，∴．

13．C【解析】如圖△ADE∽△ABC，設矩形的另一邊長為，則，所以，又，所以，即，解得．

14．A【解析】∵由

()，得，即，∴.∵，∴．故選A．

15．A【解析】解法一

由，得

當，①，無解，即，不符合，排除C．取，①，符合，排除B、D．

解法二

數形結合，∵是奇函數．

ⅰ）取，如圖，無解．排除C．

ⅱ）取，，滿足，排除B、D

解法三

由題意，即，所以，當時無解，所以，此時，∴．排除C、D．又，∴取，①，符合，排除B．

16．C【解析】驗證A，當，故排除A；驗證B，當，而，故排除B；驗證C，令，顯然恒成立，所以當，所以，為增函數，所以，恒成立，故選C；驗證D，令，令，解得，所以當時，顯然不恒成立，故選C．

17．B【解析】由題可知，若有則，即，解得．

18．（答案不唯一）【解析】由題意知，當，時，滿足，但是，故答案可以為．（答案不唯一，滿足，即可）

19．；【解析】若，則當時，令，得；當時，令，得．綜上可知，所以不等式的解集為．令，解得；令，解得或．因為函數恰有2個零點，結合函數的圖象（圖略）可知或．

20．【解析】當時，不等式為恒成立；

當，不等式恒成立；

當時，不等式為，解得，即；

綜上，的取值范圍為．

21．【解析】由題意，且，又時，時，當時，所以取值范圍為．

22．6

12【解析】設男生數，女生數，教師數為，則

①，所以，②當時，，，不存在，不符合題意；

當時，，，不存在，不符合題意；

當時，此時，滿足題意．

所以．

23．2【解析】，因為，所以，所以，故當時，函數取得最大值2．

24．【解析】由得：，所以不等式的解集為，所以答案應填：．

25．【解析】由題意可得對于上恒成立，即，解得．

26．【解析】因為，當且僅當，即，解得．

27．【解析】易得不等式的解集為.28．(﹣5，0)

∪(5，﹢∞)【解析】做出

()的圖像，如下圖所示．由于是定義在上的奇函數，利用奇函數圖像關于原點對稱做出x＜0的圖像．不等式，表示函數y＝的圖像在y＝x的上方，觀察圖像易得：解集為(﹣5，0)

∪(5，﹢∞)．

29．(－7,3)【解析】當≥0時，令，解得，．又因為為定義域為R的偶函數，則不等式等價于，即－7＜＜3；故解集為(－7,3)．

30．(0，8)【解析】因為不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立．∴△=，解得0＜＜8．

31．9【解析】因為的值域為[0,+∞），所以即,所以的兩根，由一元二次方程根與系數的關系得解得=9.32．【解析】不等式可化為采用穿針引線法解不等式即可．

33．【解析】．

34．27【解析】，，的最大值是27．

35．【解析】已知為增函數且≠0

若>0，由復合函數的單調性可知和均為增函數，此時不符合題意。

<0，時有

因為在上的最小值為2，所以1+即>1，解得．

36．【解析】：（I）由得，．

因為在區間上，所以在區間上單調遞減．

從而．

（Ⅱ）當時，“”等價于“”，“”等價于“”．

令，則，當時，對任意恒成立．

當時，因為對任意，所以在區間上單調遞減．

從而對任意恒成立．

當時，存在唯一的使得．

與在區間上的情況如下：

＋

0

－

↗

↘

因為在區間上是增函數，所以．進一步，“對

任意恒成立”當且僅當，即，綜上所述，當且僅當時，對任意恒成立；當且僅當時，對任意恒成立．

所以，若對任意恒成立，則最大值為，的最小值為1．

專題七

不等式

第十九講

不等式的性質與一元二次不等式

答案部分

2019年

1.解析

依題意，因為，所以，所以.故選B．

2.解析

由題意，可知，，所以．?故選A．

3.解析，即，可得；

所以的取值范圍是或.2010-2018年

1．D【解析】當時，函數是減函數，則，作出的大致圖象如圖所示，結合圖象可知，要使，則需或，所以，故選D．

2．A【解析】由，得，由，得或，故“”是“”的充分而不必要條件，故選A．

3．B【解析】由，得，由，得，所以“”是“”的必要而不充分條件．選B．

4．B【解析】函數的對稱軸為，①當，此時，；

②當，此時，；

③當，此時，或，或．綜上，的值與有關，與無關．選B．

5．D【解析】，當時，，；

當時，，．故選D．

6．A【解析】由題意得，所以，故選A．

7．C【解析】．

8．C

【解析】取滿足題意得函數，若取，則，所以排除A．

若取，則，所以排除D；取滿足題意的函數，若取，則，所以排除B，故結論一定錯誤的是C．

9．A【解析】，故=[2,1]．

10．D【解析】由，又，由不等式性質知：，所以

11．D【解析】由已知得，此時大小不定，排除A,B；由正弦函數的性質，可知C不成立；故選D．

12．B【解析】不妨設，當時，；

當時，∴．

13．C【解析】如圖△ADE∽△ABC，設矩形的另一邊長為，則，所以，又，所以，即，解得．

14．A【解析】∵由

()，得，即，∴.∵，∴．故選A．

15．A【解析】解法一

由，得

當，①，無解，即，不符合，排除C．取，①，符合，排除B、D．

解法二

數形結合，∵是奇函數．

ⅰ）取，如圖，無解．排除C．

ⅱ）取，，滿足，排除B、D

解法三

由題意，即，所以，當時無解，所以，此時，∴．排除C、D．又，∴取，①，符合，排除B．

16．C【解析】驗證A，當，故排除A；驗證B，當，而，故排除B；驗證C，令，顯然恒成立，所以當，所以，為增函數，所以，恒成立，故選C；驗證D，令，令，解得，所以當時，顯然不恒成立，故選C．

17．B【解析】由題可知，若有則，即，解得．

18．（答案不唯一）【解析】由題意知，當，時，滿足，但是，故答案可以為．（答案不唯一，滿足，即可）

19．；【解析】若，則當時，令，得；當時，令，得．綜上可知，所以不等式的解集為．令，解得；令，解得或．因為函數恰有2個零點，結合函數的圖象（圖略）可知或．

20．【解析】當時，不等式為恒成立；

當，不等式恒成立；

當時，不等式為，解得，即；

綜上，的取值范圍為．

21．【解析】由題意，且，又時，時，當時，所以取值范圍為．

22．6

12【解析】設男生數，女生數，教師數為，則

①，所以，②當時，，，不存在，不符合題意；

當時，，，不存在，不符合題意；

當時，此時，滿足題意．

所以．

23．2【解析】，因為，所以，所以，故當時，函數取得最大值2．

24．【解析】由得：，所以不等式的解集為，所以答案應填：．

25．【解析】由題意可得對于上恒成立，即，解得．

26．【解析】因為，當且僅當，即，解得．

27．【解析】易得不等式的解集為.28．(﹣5，0)

∪(5，﹢∞)【解析】做出

()的圖像，如下圖所示．由于是定義在上的奇函數，利用奇函數圖像關于原點對稱做出x＜0的圖像．不等式，表示函數y＝的圖像在y＝x的上方，觀察圖像易得：解集為(﹣5，0)

∪(5，﹢∞)．

29．(－7,3)【解析】當≥0時，令，解得，．又因為為定義域為R的偶函數，則不等式等價于，即－7＜＜3；故解集為(－7,3)．

30．(0，8)【解析】因為不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立．∴△=，解得0＜＜8．

31．9【解析】因為的值域為[0,+∞），所以即,所以的兩根，由一元二次方程根與系數的關系得解得=9.32．【解析】不等式可化為采用穿針引線法解不等式即可．

33．【解析】．

34．27【解析】，，的最大值是27．

35．【解析】已知為增函數且≠0

若>0，由復合函數的單調性可知和均為增函數，此時不符合題意。

<0，時有

因為在上的最小值為2，所以1+即>1，解得．

36．【解析】：（I）由得，．

因為在區間上，所以在區間上單調遞減．

從而．

（Ⅱ）當時，“”等價于“”，“”等價于“”．

令，則，當時，對任意恒成立．

當時，因為對任意，所以在區間上單調遞減．

從而對任意恒成立．

當時，存在唯一的使得．

與在區間上的情況如下：

＋

0

－

↗

↘

因為在區間上是增函數，所以．進一步，“對

任意恒成立”當且僅當，即，綜上所述，當且僅當時，對任意恒成立；當且僅當時，對任意恒成立．

所以，若對任意恒成立，則最大值為，的最小值為1．