專題六數列

第十七講

遞推數列與數列求和

2019年

1.（2019江蘇20）定義首項為1且公比為正數的等比數列為“M－數列”.（1）已知等比數列{an}滿足：，求證：數列{an}為“M－數列”；

（2）已知數列{bn}滿足：，其中Sn為數列{bn}的前n項和．

①求數列{bn}的通項公式；

②設m為正整數，若存在“M－數列”{cn}，對任意正整數k，當k≤m時，都有成立，求m的最大值．

2.（2019浙江10）設a，b∈R，數列{an}中an=a，an+1=an2+b，,則

A．當b=時，a10＞10

B．當b=時，a10＞10

C．當b=-2時，a10＞10

D．當b=-4時，a10＞10

3.（2019浙江20）設等差數列的前n項和為，，數列滿

足：對每個成等比數列.（1）求數列的通項公式；

（2）記

證明：

2010-2018年

一、選擇題

1．（2013大綱）已知數列滿足，則的前10項和等于

A．

B．

C．

D．

2．（2012新課標）數列滿足，則的前60項和為

A．3690

B．3660

C．1845

D．1830

3．（2011安徽）若數列的通項公式是,則=

A．15

B．12

C．－12

D．－15

二、填空題

4．（2015新課標1）數列中為的前n項和，若，則

．

5．（2015安徽）已知數列中，()，則數列的前9項和等于______．

6．（2015江蘇）數列滿足，且（），則數列前10項的和為

．

7．（2014新課標2）數列滿足，=2，則=_________．

8．（2013新課標1）若數列{}的前n項和為＝，則數列{}的通項公式是=______．

9．（2013湖南）設為數列的前n項和，則

（1）_____；

（2）___________．

10．（2012新課標）數列滿足，則的前60項和為

．

11．（2012福建）數列的通項公式，前項和為，則=___．

12．（2011浙江）若數列中的最大項是第項，則=____________．

三、解答題

13．（2018天津）設是等差數列，其前項和為()；是等比數列，公比大于0，其前項和為()．已知，，．

(1)求和；

(2)若，求正整數的值．

14．設（2017新課標Ⅲ）數列滿足．

(1)求的通項公式；

(2)求數列的前項和．

15．（2016全國I卷）已知是公差為3的等差數列，數列滿足，．

（I）求的通項公式；

（II）求的前n項和．

16．（2016年全國II卷）等差數列{}中，．

(Ⅰ)求{}的通項公式；

(Ⅱ)設，求數列的前10項和，其中表示不超過的最大整數，如[0.9]=0，[2.6]=2．

17．（2015浙江）已知數列和滿足，，．

（Ⅰ）求與；

（Ⅱ）記數列的前項和為，求．

18．（2015湖南）設數列的前項和為，已知，且．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求．

19．（2014廣東）設各項均為正數的數列的前項和為，且滿足

．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求數列的通項公式；

（Ⅲ）證明：對一切正整數，有

20．（2013湖南）設為數列{}的前項和，已知，2，N

(Ⅰ)求，并求數列的通項公式；

(Ⅱ)求數列｛｝的前項和．

21．（2011廣東）設，數列滿足，．

（1）求數列的通項公式；

（2）證明：對于一切正整數，專題六數列

第十七講

遞推數列與數列求和

答案部分

2019年

1.解析（1）設等比數列{an}的公比為q，所以a1≠0，q≠0.由，得，解得．

因此數列為“M—數列”.（2）①因為，所以．

由，得，則.由，得，當時，由，得，整理得．

所以數列{bn}是首項和公差均為1的等差數列.因此，數列{bn}的通項公式為bn=n.②由①知，bk=k，.因為數列{cn}為“M–數列”，設公比為q，所以c1=1，q>0.因為ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m.當k=1時，有q≥1；

當k=2，3，…，m時，有．

設f（x）=，則．

令，得x=e.列表如下：

x

e

(e，+∞)

+

0

–

f（x）

極大值

因為，所以．

取，當k=1，2，3，4，5時，即，經檢驗知也成立．

因此所求m的最大值不小于5．

若m≥6，分別取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，從而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.綜上，所求m的最大值為5．

2.解析：對于B，令，得，取，所以，所以當時，故B錯誤；

對于C，令，得或，取，所以，所以當時，故C錯誤；

對于D，令，得，取，所以，…，所以當時，故D錯誤；

對于A，，，遞增，當時，所以，所以，所以故A正確．故選A．

3.解析（Ⅰ）設數列的公差為d，由題意得，解得．

從而．

由成等比數列得

．

解得．

所以．

（Ⅱ）．

我們用數學歸納法證明．

（1）當n=1時，c1=0<2，不等式成立；

（2）假設時不等式成立，即．

那么，當時，．

即當時不等式也成立．

根據（1）和（2），不等式對任意成立．

2010-2018年

1．C【解析】∵，∴是等比數列

又，∴，∴，故選C．

2．D【解析】【法1】有題設知

=1，①

=3

②

=5

③

=7，=9，=11，=13，=15，=17，=19，……

∴②－①得=2，③+②得=8，同理可得=2，=24，=2，=40，…，∴，，…，是各項均為2的常數列，，…是首項為8，公差為16的等差數列，∴{}的前60項和為=1830.【法2】可證明：

【法3】不妨設，得，所以當n為奇數時，當n為偶數時，構成以為首項，以4為公差的等差數列，所以得

3．A【解析】法一：分別求出前10項相加即可得出結論；

法二：，故=．故選A.4．6【解析】∵，∴數列是首項為2，公比為2的等比數列，∴，∴，∴．

5．27【解析】∵，所以數列是首項為1，公差為的等差數列，所以前9項和．

6．【解析】由題意得：

所以．

7．【解析】將代入，可求得；再將代入，可求得；再將代入得；由此可知數列是一個周期數列，且周期為3，所以．

8．【解析】當=1時，==，解得=1，當≥2時，==－()=，即=，∴{}是首項為1，公比為－2的等比數列，∴=.9．（1），（2）

【解析】(1)∵．

時，a1＋a2＋a3＝－a3－

①

時，a1＋a2＋a3＋a4＝a4－，∴a1＋a2＋a3＝－.②

由①②知a3＝－．

(2)時，∴

當n為奇數時，；

當n為偶數時，．

故，∴

．

10．【名師解析】可證明：，．

11．3018【解析】因為的周期為4；由

∴，…

∴

12．4【解析】由題意得，得，13．【解析】(1)設等比數列的公比為，由，可得．

因為，可得，故．所以．

設等差數列的公差為．由，可得．

由，可得

從而，故，所以．

(2)由(1)，知

由可得，整理得，解得（舍），或．所以的值為4．

14．【解析】（1）因為，故當時，．

兩式相減得．

所以．

又由題設可得．

從而的通項公式為

=.（2）記的前項和為，由（1）知．

則．

15．【解析】（Ⅰ）由已知，得，所以數列是首項為2，公差為3的等差數列，通項公式為.（Ⅱ）由（Ⅰ）和，得，因此是首項為1，公比為的等比數列.記的前項和為，則

16．【解析】

(Ⅰ)設數列的公差為，由題意有，解得，所以的通項公式為.（Ⅱ）由(Ⅰ)知，當=1,2,3時，；

當=4,5時，；

當=6,7,8時，；

當=9,10時，所以數列的前10項和為.17．【解析】（Ⅰ）由，得．

當時，故．

當時，整理得所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故，所以．

18．【解析】（Ⅰ）由條件，對任意，有，因而對任意，有，兩式相減，得，即，又，所以，故對一切，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，于是數列是首項，公比為3的等比數列，數列是首項，公比為3的等比數列，所以，于是

．

從而，綜上所述，．

19．【解析】（Ⅰ），所以

（Ⅱ）

（Ⅲ）當時，20．【解析】(Ⅰ)

（Ⅱ）

上式左右錯位相減：。

21．【解析】（1）由

令，當

①當時，②當

（2）當時，（欲證），當

綜上所述