專題十四

坐標系與參數方程

第三十四講

坐標系與參數方程

2019年

1.（2019全國1文22）在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（t為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．

（1）求C和l的直角坐標方程；

（2）求C上的點到l距離的最小值．

2.（2019全國II文22）在極坐標系中，O為極點，點在曲線上，直線l過點且與垂直，垂足為P.（1）當時，求及l的極坐標方程；

（2）當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程.3.(2019全國III文22）如圖，在極坐標系Ox中，，，弧，所在圓的圓心分別是，，曲線是弧，曲線是弧，曲線是弧.（1）分別寫出，的極坐標方程；

（2）曲線由，構成，若點在M上，且，求P的極坐標.2010-2018年

1．(2018北京)在極坐標系中，直線與圓相切，則=___．

2．（2017北京）在極坐標系中，點A在圓上，點P的坐標為），則的最小值為___________．

3．（2017天津）在極坐標系中，直線與圓的公共點的個數為_____．

4．（2016北京）在極坐標系中，直線與圓交于兩點，則____．

5．（2015廣東）已知直線的極坐標方程為，點的極坐標為，則點到直線的距離為

．

6．（2015安徽）在極坐標系中，圓上的點到直線距離的最大值

是

7．(2018全國卷Ⅰ)

[選修4–4：坐標系與參數方程]（10分）

在直角坐標系中，曲線的方程為．以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

(1)求的直角坐標方程；

(2)若與有且僅有三個公共點，求的方程．

8．(2018全國卷Ⅱ)[選修4－4：坐標系與參數方程]（10分）

在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），直線的參數方程為（為參數）．

(1)求和的直角坐標方程；

(2)若曲線截直線所得線段的中點坐標為，求的斜率．

9．(2018全國卷Ⅲ)[選修4—4：坐標系與參數方程]（10分）

在平面直角坐標系中，的參數方程為，（為參數），過點且傾斜角為的直線與交于，兩點．

(1)求的取值范圍；

(2)求中點的軌跡的參數方程．

10．(2018江蘇)C．[選修4—4：坐標系與參數方程](本小題滿分10分)

在極坐標系中，直線的方程為，曲線的方程為，求直線被曲線截得的弦長．

11．（2017新課標Ⅰ）在直角坐標系中，曲線的參數方程為，(為參數)，直線的參數方程為(為參數)．

(1)若，求與的交點坐標；

(2)若上的點到距離的最大值為，求．

12．（2017新課標Ⅱ）在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

(1)為曲線上的動點，點在線段上，且滿足，求點的軌跡的直角坐標方程；

(2)設點的極坐標為，點在曲線上，求面積的最大值．

13．（2017新課標Ⅲ）在直角坐標系中，直線的參數方程為

(為參數)，直線的參數方程為（為參數）．設與的交點為，當變化時，的軌跡為曲線．

(1)寫出的普通方程；

(2)以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，設：，為與的交點，求的極徑．

14．（2017江蘇）在平面坐標系中中，已知直線的參考方程為（為參數），曲線的參數方程為（為參數）．設為曲線上的動點，求點到直線的距離的最小值．

15．（2016年全國I）在直角坐標系中，曲線的參數方程為（t為參數，a＞0）．在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線：．

（I）說明是哪種曲線，并將的方程化為極坐標方程；

（II）直線的極坐標方程為，其中滿足，若曲線與的公共點都在上，求a．

16．（2016年全國II）在直角坐標系中，圓C的方程為．

（I）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程；

（II）直線l的參數方程是（t為參數），l與C交于A、B兩點，求l的斜率．

17．（2016年全國III）在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（Ⅰ）寫出的普通方程和的直角坐標方程；

（Ⅱ）設點P在上，點Q在上，求的最小值及此時P的直角坐標．

18．（2016江蘇）在平面直角坐標系中，已知直線的參數方程為，橢圓的參數方程為，設直線與橢圓相交于兩點，求線段的長．

19．（2015新課標Ⅰ）在直角坐標系中，直線：，圓：，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．

（Ⅰ）求，的極坐標方程；

（Ⅱ）若直線的極坐標方程為,設與的交點為，求的面積．

20．（2015新課標Ⅱ）在直角坐標系中，曲線：（為參數，≠0）其中，在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線：，：．

（Ⅰ）求與交點的直角坐標；

（Ⅱ）若與相交于點A，與相交于點B，求的最大值．

21．（2015江蘇）已知圓C的極坐標方程為，求圓C的半徑.22．（2015陜西）在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數）．以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，⊙的極坐標方程為．

（Ⅰ）寫出⊙的直角坐標方程；

（Ⅱ）為直線上一動點，當到圓心的距離最小時，求的直角坐標．

23．（2014新課標Ⅰ）已知曲線：，直線：（為參數）．

(Ⅰ)

寫出曲線的參數方程，直線的普通方程；

（Ⅱ）過曲線上任一點作與夾角為的直線，交于點，求的最大值與最小值．

24．（2014新課標Ⅱ）在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，半圓C的極坐標方程為，．

（Ⅰ）求C的參數方程；

（Ⅱ）設點D在C上，C在D處的切線與直線垂直，根據（Ⅰ）中你得到的參數方程，確定D的坐標．

25．（2013新課標Ⅰ）已知曲線的參數方程為(為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為。

（Ⅰ）把的參數方程化為極坐標方程；

（Ⅱ）求與交點的極坐標（，）．

26．（2013新課標Ⅱ）已知動點，都在曲線：

上，對應參數分別為與（）為的中點。

（Ⅰ）求的軌跡的參數方程

（Ⅱ）將到坐標原點的距離表示為的函數，并判斷的軌跡是否過坐標原點。

27．（2012新課標）已知曲線的參數方程是（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是．正方形的頂點都在上，且、、、依逆時針次序排列，點的極坐標為．

（Ⅰ）求點、、、的直角坐標；

（Ⅱ）設為上任意一點，求的取值范圍．

28．（2011新課標）在直角坐標系?中，曲線的參數方程為（為參數），M是上的動點，點滿足，點的軌跡為曲線

(Ⅰ)求的方程

(Ⅱ)在以O為極點，x?軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線與的異于極點的交點為A，與的異于極點的交點為B，求．

專題十四

坐標系與參數方程

第三十四講

坐標系與參數方程

答案部分

2019年

1.解析（1）因為，且，所以C的直角坐標方程為.的直角坐標方程為.（2）由（1）可設C的參數方程為（為參數，）.C上的點到的距離為.當時，取得最小值7，故C上的點到距離的最小值為.2.解：（1）因為在C上，當時，.由已知得.設為l上除P的任意一點.在中，經檢驗，點在曲線上.所以，l的極坐標方程為.（2）設，在中，即..因為P在線段OM上，且，故的取值范圍是.所以，P點軌跡的極坐標方程為

.3.解析（1）由題設可得，弧所在圓的極坐標方程分別為，.所以的極坐標方程為，的極坐標方程為，的極坐標方程為.（2）設，由題設及（1）知

若，則，解得；

若，則，解得或；

若，則，解得.綜上，P的極坐標為或或或.2010-2018年

1．【解析】利用，可得直線的方程為，圓的方程為，所以圓心，半徑，由于直線與圓相切，故圓心到直線的距離等于半徑，即，∴或，又，∴．

2．1【解析】圓的普通方程為，即．

設圓心為，所以．

3．2【解析】直線的普通方程為，圓的普通方程為，因為圓心到直線的距離，所以有兩個交點．

4．2【解析】將化為直角坐標方程為，將ρ=2cos

θ化為直角坐標方程為，圓心坐標為(1,0)，半徑r=1，又(1，0)在直線上，所以|AB|=2r=2．

5．【解析】由得，所以，故直線的直角坐標方程為，而點對應的直角坐標為，所以點到直線：的距離為．

6．6【解析】圓即，化為直角坐標方程為，直線，則，化為直角坐標方程為，圓心到直線的距離為，所以圓上的點到直線距離的最大值為6．

7．【解析】(1)由，得的直角坐標方程為．

(2)由(1)知是圓心為，半徑為的圓．

由題設知，是過點且關于軸對稱的兩條射線．記軸右邊的射線為，軸左邊的射線為．由于在圓的外面，故與有且僅有三個公共點等價于與只有一個公共點且與有兩個公共點，或與只有一個公共點且與有兩個公共點．

當與只有一個公共點時，到所在直線的距離為，所以，故或．

經檢驗，當時，與沒有公共點；當時，與只有一個公共點，與有兩個公共點．

當與只有一個公共點時，到所在直線的距離為，所以，故或．

經檢驗，當時，與沒有公共點；當時，與沒有公共點．

綜上，所求的方程為．

8．【解析】(1)曲線的直角坐標方程為．

當時，的直角坐標方程為，當時，的直角坐標方程為．

(2)將的參數方程代入的直角坐標方程，整理得關于的方程

．①

因為曲線截直線所得線段的中點在內，所以①有兩個解，設為，則．

又由①得，故，于是直線的斜率．

9．【解析】(1)的直角坐標方程為．

當時，與交于兩點．

當時，記，則的方程為．與交于兩點當且僅當，解得或，即或．

綜上，的取值范圍是．

(2)的參數方程為為參數，．

設，對應的參數分別為，，則，且，滿足．

于是，．又點的坐標滿足

所以點的軌跡的參數方程是為參數，．

10．C．【解析】因為曲線的極坐標方程為，所以曲線的圓心為，直徑為4的圓．

因為直線的極坐標方程為，則直線過，傾斜角為，所以A為直線與圓的一個交點．

設另一個交點為B，則∠OAB=．

連結OB，因為OA為直徑，從而∠OBA=，所以．

因此，直線被曲線截得的弦長為．

11．【解析】（1）曲線的普通方程為．

當時，直線的普通方程為．

由解得或．

從而與的交點坐標為，．

（2）直線的普通方程為，故上的點到的距離為

．

當時，的最大值為．由題設得，所以；

當時，的最大值為．由題設得，所以．

綜上，或．

12．【解析】（1）設的極坐標為，的極坐標為．

由橢圓知，．

由得的極坐標方程．

因此的直角坐標方程為．

（2）設點的極坐標為．由題設知，于是面積

．

當時，取得最大值．

所以面積的最大值為．

13．【解析】（1）消去參數得的普通方程；

消去參數得的普通方程．

設，由題設得，消去得．

所以的普通方程為

（2）的極坐標方程為

聯立得．

故，從而

代入得，所以交點的極徑為．

14．【解析】直線的普通方程為.因為點在曲線上，設，從而點到直線的的距離，當時，.因此當點的坐標為時，曲線上點到直線的距離取到最小值.15．【解析】(1)（均為參數）

∴

①

∴為以為圓心，為半徑的圓．方程為

∵

∴

即為的極坐標方程

(2)

兩邊同乘得

即

②

：化為普通方程為，由題意：和的公共方程所在直線即為

①—②得：，即為

∴，∴

16．【解析】（Ⅰ）整理圓的方程得，由可知圓的極坐標方程為．

(Ⅱ)記直線的斜率為，則直線的方程為，由垂徑定理及點到直線距離公式知：，即，整理得，則．

17．【解析】（Ⅰ）的普通方程為，的直角坐標方程為.（Ⅱ）由題意，可設點的直角坐標為，因為是直線，所以的最小值，即為到的距離的最小值，．

當且僅當時，取得最小值，最小值為，此時的直角坐標為．

18．【解析】橢圓的普通方程為，將直線的參數方程，代入，得，即，解得，.所以.19．【解析】（Ⅰ）因為，∴的極坐標方程為，的極坐標方程為．

（Ⅱ）將代入，得，解得=，=，|MN|=－=，因為的半徑為1，則的面積=．

20．【解析】（Ⅰ）曲線的直角坐標方程為，曲線的直角坐標方程為．聯立解得或

所以與交點的直角坐標為和．

（Ⅱ）曲線的極坐標方程為，其中．

因此得到極坐標為，的極坐標為．

所以，當時，取得最大值，最大值為．

21．【解析】

以極坐標系的極點為平面直角坐標系的原點，以極軸為軸的正半軸，建立直角坐標系．

圓的極坐標方程為，化簡，得．

則圓的直角坐標方程為，即，所以圓的半徑為．

22．【解析】（Ⅰ）由，從而有．

（Ⅱ）設，則，故當=0時，||取最小值，此時點的直角坐標為.23．【解析】

……5分

（Ⅱ）

24．【解析】（I）C的普通方程為．

可得C的參數方程為

（t為參數，）

（Ⅱ）設D.由（I）知C是以G（1,0）為圓心，1為半徑的上半圓。

因為C在點D處的切線與t垂直，所以直線GD與t的斜率相同，．

故D的直角坐標為，即．

25．【解析】將消去參數，化為普通方程，即：，將代入得，∴的極坐標方程為；

（Ⅱ）的普通方程為，由解得或，∴與的交點的極坐標分別為()，．

26．【解析】（Ⅰ）由題意有因此的軌跡的參數方程為（）

（Ⅱ）點到坐標原點的距離

（）

當時，故的軌跡過坐標原點．

27．【解析】（1）點的極坐標為

點的直角坐標為

（2）設；則

28．【解析】（I）設，則由條件知M().由于M點在上，所以，即．

從而的參數方程為（為參數），（Ⅱ）曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為．

射線與的交點的極徑為，射線與的交點的極徑為．

所以．