第一篇：廣東高考文科數學真題模擬09：坐標系與參數方程和幾何證明選講

廣東高考文科數學真題模擬匯編

09：坐標系與參數方程和幾何證明選講

坐標系與參數方程部分：

1．(2009廣州一模文數)（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，直線?sin???截得的弦長為__.1．43??????2被圓??44?

?x?1?t,2.(2010廣州二模文數)(坐標系與參數方程選做題)已知直線l的參數方程為?(參數t?R),y?4?2t.?

圓C的參數方程為??x?2cos??2,(參數???0,2??),?y?2sin?.則直線l被圓C所截得的弦長為.2.????，?3?B的極坐標分別為?3,3．(2010廣州一模文數（）坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，已知兩點A、????4,?，則△AOB（其中O為極點）的面積為．?6?

3．答案

34．(2011廣州一模文數)（坐標系與參數方程選講選做題）已知直線l的參數方程為：?數），圓C的極坐標方程為???，則直線l與圓C的位置關系為.4．相交

5、(2011廣州二模文數)（坐標系與參數方程選做題）設點A的極坐標為?2,．

成的角為?x?2t,（t為參y?1?4t??????，直線l過點A且與極軸所6??，則直線l的極坐標方程為． ．．．

34????????????1或?cos?????1或?sin???3?3???6????1cos???sin??2?0 ?

5．?sin?

6．(2012廣州一模文數)（坐標系與參數方程選做題）在平面直角坐標系中，已知直線l與曲線C的?x?t?2,?x?1?s,Cl參數方程分別為：?（s為參數）和：?（t為參數），2y?1?sy?t??

若l與C相交于A、B兩點，則AB?． 6

7.(2012廣州二模文數)（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，若等邊三角形ABC（頂點A,B,C按

順時針方向排列）的頂點A,B的極坐標分別為?2,?

?

???

7??

則頂點C的極坐標為。,2,?6?，6????

7、.?

??

2?

32????

說明：第1

4題答案可以是?2k????(k?Z)

3???

8．（2007廣東文數）（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，直線l的方程為?sin??3，則點?2?到直線l的距離為

8.．

??

π?6?

9.（2008廣東文理數）（坐標系與參數方程選做題）已知曲線C1,C2的極坐標方程分別為

?

?cos??3,??4cos?(??0,0???)，則曲線C1 C2交點的極坐標為

?????cos??3??

9、【解析】我們通過聯立解方程組?,即兩曲線的交點

為(??0,0???)解得??2?

??4cos????

6?).610．（2009廣東文科）（坐標系與參數方程選做題）若直線?則常數k=.10、?6【解析】將?

?

?x?1?2t

（t為參數）與直線4x?ky?1垂直，y?2?3t?

?x?1?2t37

3化為普通方程為y??x?,斜率k1??,222?y?2?3t

4?3??4?,由k1k2??????????1得k??6;k?2??k?

當k?0時,直線4x?ky?1的斜率k2??當k?0時,直線y??

x?與直線4x?1不垂直.綜上可知,k??6.2

211．(2010廣東文數)（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系（ρ，?）（0??＜2?）

中，曲線??cos??sin???1與??sin??cos???1的交點的極坐標為.11、(1,?)

12、（2011?廣東文理數）已知兩曲線參數方程分別為（0≤θ＜π）和（t∈R），它們的交點坐標為（1，）．

（0≤θ＜π）的直角坐標方程為：

12、解答：

解：曲線參數方程

；曲線（t∈R）的普通方程為：；解方程組：得：

∴它們的交點坐標為（1，）．故答案為：（1，）．

13．(2012廣東文數)（坐標系與參數方程選做題）在平面直角坐標系中xoy中，曲線C1和曲線C2的?2t

x?1?????x?cos??2（為參數）

參數方程分別為?（?為參數，0???）和?，則曲線C1和曲線C2t

2??y??2t?y?sin?

?2?的交點坐標為．

13、參數方程極坐標：(?1,?2)(2,1)

幾何證明選講部分：

1.(2009廣州一模文數)（幾何證明選講選做題）已知PA是圓O（O為圓心）的切線，切點為A，PO交圓O于B,C兩點，AC?3,?PAB?30?，則線段PB的長為1．

12.(2010廣州二模文數)(幾何證明選講選做題)如圖3, 半徑為5的圓O的兩條弦AD

和BC相交于點P, OD?BC,P為AD的中點, BC?6, 則弦AD的長度為.2.3．(2010廣州一模文數)（幾何證明選講選做題）

O 圖

4D

C

圖

3如圖5,AB是半圓

O的直徑,點C在半圓上,CD?AB，垂足為D，且AD?5DB,設?COD??,則tan?的值

為

.3．

4．(2011廣州一模文數)（幾何證明選講選做題）如圖3，四邊形ABCD內接于⊙O，BC是直徑，MN與⊙O相切, 切點為A，?MAB?35, 則

?

N

?D?

4．12

55．(2011廣州二模文數)（幾何證明選講選做題）在梯形ABCD中，?

圖3

AD?BC，AD?2，BC?5，點E、F分別在AB、CD上，且EF?AD，若

5．AE

3?，則EF的長為 EB

46．(2012廣州一模文數)（幾何證明選講選做題）如圖3，圓O的半徑為5cm，點P

CP1OP?3cm，弦CD過點P，且?，則

CD的長為cm．7

CD3

6．答案

7.(2012廣州二模文數（）幾何證明選講選做題）如圖4，AB是圓O的CD是圓O的切線，直徑，延長AB至C，使BC?2OB，切點為D，圖3

AD

連接AD,BD，則的值為。

BD

7.8．（2007廣東文數）（幾何證明選講選做題）如圖4所示，圓O的直徑AB?6，C為圓周上一點，BC?3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，垂足為D，則?DAC?

C

圖4

A圖4

l

8.30

9.（2008廣東文數）（幾何證明選講選做題）已知PA是圓O的切點，切點為A，PA＝2.AC是圓O的直徑，PC與圓O交于B點，PB＝1，則圓O的半徑R=________.9【解析】依題意，我們知道?PBA??PAC,由相似三角形的性質我們有

?

PAPB

?,即2RAB

PA?AB2R???

2PB2?

110.（2009廣東文科）(幾何證明選講選做題)如圖3，點A、B、C是圓O上的點，且AB=4，?ACB?30，則圓O的面積等于.o

o

10【答案】16?【解析】連結AO,OB,因為 ?ACB?30,所以?AOB?60,?AOB

為等邊三角形,故圓O的半徑r?OA?AB?4,圓O的面積S??r?16?.o

11．(2010廣東文數)（幾何證明選講選做題）如圖3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=11.答案

a，點E，F分別為線段AB，AD的中點，則EF=.2a 212、（2011?廣東文數）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2．E，F分別為AD，BC上點，且EF=3，EF∥AB，則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為 7：5 ．

12解答：解：∵E，F分別為AD，BC上點，且EF=3，EF∥AB，∴EF是梯形的中位線，設兩個梯形的高是h，∴梯形ABFE的面積是，梯形EFCD的面積∴梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為=，13．(2012廣東文數)（幾何證明選講選做題）

?PBA??DBA，如圖3，直線PB與圓O相切與點B，D是弦AC上的點，若ADmA?C,n13、幾何證明選做題：mn

圖3

則AB=． ?，

第二篇：幾何證明選講、極坐標與參數方程(知識點+題型+真題)

幾何證明選講、極坐標與參數方程

一、極坐標與參數方程

題型一：極坐標與直角坐標互化

題型二：極坐標方程轉化為直角坐標方程

題型三：參數方程轉化為普通方程（消去參數）

練習：

?x?3t?21．曲線的參數方程為?(t是參數)，則曲線是（）y?t?1?

A.直線B.雙曲線的一支C.圓D.射線

2．已知極坐標系中點A(2,3?)，則點A的普通直角坐標是（）

4A．（-1，-1）B.（1，1）C.（-1，1）D.（1，-1）

3．圓??sin?的半徑是（）

A．2B．2C．1D．

4．直線：3x-4y-9=0與圓：?1 2?x?2cos?，(θ為參數)的位置關系是()

?y?2sin?

A.相切B.相離C.直線過圓心D.相交但直線不過圓心

5．已知直線l1:??x?1?3t(t為參數)與直線l2:2x?4y?5相交于點B的坐標是?y?2?4t

6．在極坐標系中，點A?2,?

????到直線?sin???2的距離是4?

?x?2cos?（?為參數，且??R）的曲

?y?1?cos2?

7、若P是極坐標方程為???

3???R?的直線與參數方程為?

線的交點，則P點的直角坐標為.二、幾何證明選講

1、相似三角形性質

2、射影定理

3、切割線定理

4、相交弦定理

直角三角形的射影定理

射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項。

相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。

割線定理：從園外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

練習：

1．半徑為5cm的圓內一條弦AB，其長為8cm，則圓心到弦的距離為（）A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm 2．如圖，已知DE∥BC，△ADE的面積是2cm，梯形DBCE的面積為6cm，則

DE:BC的值是()

21C．1D．

323．如圖所示，圓O上一點C在直徑AB上的射影為D，A．2B．

CD?4,BD?8，則圓O的半徑等于()

A．3B．4C．5D．6

?

4．如圖，AB是半圓O直徑，?BAC?30，C

A

O

第10題圖

BC

為半圓的切線，且BC?O到AC的距離 OD?（）

A．3B．4C．5D．6

5．在Rt?ABC中,?ACB?90,CD?AB于點D，CD?2,BD?4，則AC=（）

A

．

．

32D． 23

6．如圖，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE:AC=3:5,DE=6，則BF=_______

7．如圖，已知⊙O的割線PAB交⊙O于A，B兩點，割線PCD經 過圓心，若PA=6,，AB=7,，PO=12.則⊙O 的半徑為_______________

真題演練： 2007年文科

第14題．（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，直線l的方程為

?

?sin??3，則點(2,)到直線l的距離為．

6第15題．（幾何證明選講選做題）如圖4所示，圓O的直徑AB=6，C

為圓周上一

點，BC?3過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，垂足為D，則∠DAC=． 2008年文科

第14題．（坐標系與參數方程選做題）已知曲線C1,C2的極坐標方程分別為

?cos??3,??4cos?(??0,0????)，則曲線C1 C2交點的極坐標為

第15題．（幾何證明選講選做題）已知PA是圓O的切點，切點為A，PA＝2.AC是圓O的直徑，PC與圓O交于B點，PB＝1，則圓O的半徑R 2009年文科

第14題．（坐標系與參數方程選做題）若直線?

?x?1?2t

（?

y?2?3tt為參數）與直線

4x?ky?1垂直，則常數k=________．

第15題．（幾何證明選講選做題）如圖3，點A，B，C是圓O上的點，且AB?4，?ACB?30o，則圓O的面積等于．

2010年文科

第14題．（幾何證明選講選做題）如圖3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=

a，點E，F分別為線段AB，AD的中點，則EF=． 第15題．（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系(ρ，?)(0??＜2?)中，曲線

??cos??sin???1與??sin??cos???1的交點的極坐標為．

2011年文科

第14題．（坐標系與參數方程選做題）已知兩曲線參數方程分別

為???

x??

(0≤?＜?)和??

y?sin??

?

52?x?4t(t?R)，它們的交點坐標為． ??y?t

第15題．（幾何證明選講選做題）如圖4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E、F分別為AD、BC上點，且EF＝3，EF∥AB，則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為．

2012年文科

第14題．（坐標系與參數方程選做題）在平面直角坐標系xOy中，曲線C1和C

2的參數方程分別為

?x?1?????x??(t是參數）C2:?(?是參數，0???）

和C2:?，它們的交點坐標為．

2??y??y??

??第15題．（幾何證明選講選做題）如圖3所示，直線PB與圓O想切于點B，D是弦AC上的點，?PBA??DBA，若AD?

則,mA?C，n

AB?

2013年文科

第14題．（坐標系與參數方程選做題）已知曲線C的極坐標方程為??2cos?．以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系，則曲線C的參數方程為．

第15題．（幾何證明選講選做題）如圖3，在矩形ABCD

中，AB?BC?3，BE?AC，垂足為E，則ED?．

圖3

小節訓練卷(27)參考答案

1．A?∴選A 2．C??

?x?3t?2

將2式乘以3后減去1式得3y?x??5,即x?3y?5?0，此方程表示的是直線，?y?t?1

2,??

3?，x??cos???1,y??sin??1，∴選C 4

?∴選B

3．B

CD?AD?BD,?AD?1,AC?

4．D將??sin?兩邊平方得???sin?,?x?y?y，整理得x2?(y?)2?5．C過圓心O作OD⊥AB，則OD為所求。DB=4，OB=5, ∴OD=3∴選C 6．B點(2,121，∴選D 4

?，?cos?1?的普通直角)的普通直角坐標為（0，2）

坐標方程是x=1，則（0，2）關于x=1對稱的點為（2，2），化為

極坐標是?)，∴選B

DE2S?ADE21DE1

?8,????,??,∴選D

BC2S?ABC84BC2

7．D S?ADE?2,S?ABC

8．D圓：?

?x?2cos?22

化成普通直角坐標方程是x?y?4，圓心是（0，0），半徑r=2,圓心到直線3x-4y-9=0

?y?2sin?的距離為d?

?95

?

?r，所以直線和圓相交。∴選D 5

9．C CD?AD?BD,?AD?2,?直徑AB?10,?r?5∴選C

10．A

??BAC?30,BC?AB,BC??AC?AB?AC?COS30?12

?OA?6,又OD?AC,??ADO??ABC,?

ODOA

?,?OD?3,∴選A BCAC

?x?1?3t

(t為參數)化為普通直角坐標方程為4x?3y?10，聯立方程2x?4y?5 11．l1:?

y?2?4t?

5?

5?x?

解得?2，∴答案為(,0)

2??y?0

12．極坐標點A?2,?

?

??，直線?sin???2的直角坐標方程是 ?的直角坐標是（1，1）

4?

y??2，所以點到直線的距離是3

13．由題知?ADE??ABC，∴DE:BC=AE:AC=3:5，又DE=6, ∴BC=10 又CF=BE=6, ∴BF=4

14．由割線定理知PA?PB?PC?PD,?6?(6?7)?(12?r)?(12?r)∴r=8

第三篇：2007年全國各地高考數學試題及解答分類(18幾何證明選講、坐標系與參數方程)

2007年高考中的“幾何證明選講、坐標系與參數方程”試題匯編大全

一、選擇題：

二、填空題：

1．(2007廣東文)(坐標系與參數方程選做題)在極坐標系中，直線l的方程為ρsinθ=3，則點(2，π/6)到直線l的距離為．

【解析】法1:畫出極坐標系易得答案2;法2:化成直角方程y?

3及直角坐標可得答案2.2.(2007廣東理)（坐標系與參數方程選做題）在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為??x?t?3?x?2cos?(參數t?R)，圓C的參數方程為?(參數???0，2??)，則y?3?ty?2sin??2??

題C的圓心坐標為.(0，2)，圓心到直線l的距離為22.3．(2007廣東文)(幾何證明選講選做題)如圖4所示，圓O的直徑AB=6，C為圓周上一點，BC=3過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，垂足為D，則∠DAC=．

【解析】由某定理可知?DCA??B?60?,又AD?l,故?DAC?30?.4.(2007廣東理)（幾何證明選講選做題）如圖5所法，圓O的直徑

AB?6，C為圓周上一點，BC?3，過C作圓的切線l，過

A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于點D、E，則

∠DAC＝ 30°，線段AE的長為3.圖

5三、解答題：

1．(2007海南、寧夏理)請考生在A，B，C三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．作答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號涂黑．

1．Ａ（本小題滿分10分）選修4－1：幾何證明選講 如圖，已知AP是O的切線，P為切點，AC是O的割線，與O交于B，C兩點，圓心O在?PAC的內部，點M是BC的中點．，P，O，M四點共圓；（Ⅰ）證明A（Ⅱ）求?OAM??APM的大小． 1．Ａ

E-mail:第1頁（共2頁）

（Ⅰ）證明：連結OP，OM．

因為AP與O相切于點P，所以OP?AP．

因為M是O的弦BC的中點，所以

A

OM?BC． 于是?OPA??OMA?180°．

由圓心O在?PAC的內部，可知四邊形APOM的對角互補，所以A，P，O，M四點共圓．，P，O，M四點共圓，所以?OAM??OPM．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A

由（Ⅰ）得OP?AP．

由圓心O在?PAC的內部，可知?OPM??APM?90°．

所以?OAM??APM?90°．

1．Ｂ(2007海南、寧夏文、理)（本小題滿分10分）選修4－4：坐標系與參數方程 O1和O2的極坐標方程分別為??4cos?，???4sin?．

O1和O2的極坐標方程化為直角坐標方程；

（Ⅱ）求經過O1，O2交點的直線的直角坐標方程．（Ⅰ）把

1．Ｂ

解：以極點為原點，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位．

（Ⅰ）x??cos?，y??sin?，由??4cos?得?2?4?cos?．

所以x2?y2?4x．

即x2?y2?4x?0為

22O1的直角坐標方程． O2的直角坐標方程． 同理x?y?4y?0為

22??x?y?4x?0，?x1?0，?x2?2（Ⅱ）由?2解得?． ?2y?0，y??2??1?2?x?y?4y?0

0)和(2，?2)．過交點的直線的直角坐標方程為y??x． 即O1，O2交于點(0，E-mail:第2頁（共2頁）

第四篇：2012高考數學幾何證明選講

幾何證明選講

模塊點晴

一、知識精要

值叫做相似比（或相似系數）。

由于從定義出發判斷兩個三角形是否相似，需考慮

6個元素，即三組對應角是否分別相等，三組對應邊是否分別成比例，顯然比較麻煩。所以我們曾經給出過如下幾個判定兩個三角形相似的簡單方法：

（1）兩角對應相等，兩三角形相似；

（2）兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似；

（3）三邊對應成比例，兩三角形相似。

形與三角形相似。

對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應

對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似。

對于任意兩個三角形，如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應

條直線平行于三角形的第三邊。

1）如果兩個直角三角形有一個銳角對應相等，那么它們相似；

（2）如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應成比例，那么它們相似。

（1）相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應平分線的比都等于相似比；

（2）相似三角形周長的比等于相似比；

（3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方。

它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項。

°的圓周角所對的弦是直徑。

圓內接四邊形判定定理：如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓。

切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。的比例中項。

兩條切線的夾角。

二、方法秘笈

⒈幾何證明選講內容的考點雖多，主要還是集中在對圓的相關內容的考查，而圓中又主要以與切線有關的性質、圓冪定理、四點共圓這幾個內容的考查為主。

⒉雖然本書內容主要是由原初三內容改編過來，而在初中，相關內容也已經刪去，似乎教師教與學生學都有一定難度，但是由于學生經過兩年的高中學習，邏輯性、嚴密性都有了較大的提高，只要教學得法，學生對這部分的學習應該并不會感到困難。

⒊緊扣課本中的例習題進行學習，重視各個定理的來龍去脈，理解其中滲透的重要的數學思想方法，因為高考試題中所采取的一些方法多來自課本中定理的證明方法及例習題的證明方法；

試題解析

一、選擇題

例1.（2012北京、理科）如圖.∠ACB=90o，CD⊥AB于點D，以BD為直徑的圓與BC交于

點E.則()

A.CE·CB=AD·DBB.CE·CB=AD·AB C.AD·AB=CD 2D.CE·EB=CD 2

【解析】A。在?ACB中，∠ACB=90o，CD⊥AB于點D，所以CD理的CD

二、填空題

例1.（2012全國、文科）如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點B作圓的切線與AC的延長線相交于D.過點C作BD的平行線與圓交于點E,與AB相交于點

F,AF?3,FB?1,EF?

?AD?DB,由切割線定

?CE?CB,所以CE·CB=AD·DB。

32,則線段CD的長為

【解析】如圖連結BC，BE，則∠1=∠2，∠2=∠A

??A??1，又∠B=∠B，??CBF∽?ABC，CBBFCBCF??,?,代入數值得BC=2，ABBCABAC

AC=4，又由平行線等分線段定理得解得CD=

ACCD

?

AFFB,.【答案】

例2.(2012湖南、理科)如圖2，過點P的直線與圓O相交于A，B兩點.若PA=1，AB=2，PO=3，則圓O的半徑等于

_______.PO交圓O于C，D，如圖，設圓的半徑為R，由割線定理知

PA?PB?PC?PD,即1?(1?2)?(3-r)(3?r),?r?

P

例3.（2012天津、理科）如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦.過點B作圓的切線與AC的延長線相交于點D,過點C作BD的平行線與圓相交于點Ｅ，與AB相交于點F，AF=3，FB=1，EF=

32，則線段CD的長為

【解析】∵AF=3，FB=1，EF=

432

ABAF，由相交弦定理得AF?FB=EF?FC，所以FC=2，?FC=83

又∵BD∥CE，∴

AFAB

=

FCBD，BD=

?2=

83，設CD=x，則AD=4x，再由切

割線定理得BD=CD?AD，即x?4x=（練習題

1.（2012湖北、理科）)，解得x=，故CD=

43.如圖，點D在⊙O的弦AB上移動，AB=4，連接OD，過點D作OD的垂線交⊙O于點C，則CD的最大值為_____________。

答案：

22.（2012陜西、文理科）如圖，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EF?DB，垂足為F，若AB?6，AE?1，則DF?DB?5。

三、解答題

例1(2012年全國新課標卷)如圖，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點，直線DE交△ABC的外接圓于F，G兩點，若CF//AB，證明：

G

F

(Ⅰ)CD=BC；

(Ⅱ)△BCD∽△GBD

【解析】（1）CF//AB，DF//BC?CF//BD//AD?CD?BFCF//AB?AF?BC?BC?CD

（2）BC//GF?BG?FC?BD

BC//GF??GDE??BGD??DBC??BDC??BCD??GBD

O相交例2．（2012遼寧、文理科）如圖，⊙O和⊙

/

于A,B兩點，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D

兩點，連接DB并延長交⊙O于點E。

證明

（Ⅰ）AC?BD?AD?AB；（Ⅱ）AC?AE。

例3.（2012江蘇、理科）如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓上位于AB異側的兩點，連結

BD并延長至點C，使BD = DC，連結AC，AE，DE．

求證：?E??C．

【解析】

21-A題）

第五篇：近五年（2017-2021）高考數學真題分類13 坐標系與參數方程

近五年（2017-2021）高考數學真題分類匯編

十三、坐標系與參數方程

一、單選題

1．（2019·北京（理））已知直線l的參數方程為（t為參數），則點（1,0）到直線l的距離是

A．

B．

C．

D．

二、解答題

2．（2021·全國（文））在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．

（1）將C的極坐標方程化為直角坐標方程；

（2）設點A的直角坐標為，M為C上的動點，點P滿足，寫出Р的軌跡的參數方程，并判斷C與是否有公共點．

3．（2021·全國（理））在直角坐標系中，的圓心為，半徑為1．

（1）寫出的一個參數方程;

（2）過點作的兩條切線．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩條切線的極坐標方程．

4．（2020·江蘇）在極坐標系中，已知點在直線上，點在圓上（其中，）．

（1）求，的值

（2）求出直線與圓的公共點的極坐標．

5．（2020·全國（文））在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(t為參數且t≠1)，C與坐標軸交于A，B兩點.（1）求||：

（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求直線AB的極坐標方程.6．（2020·全國（理））在直角坐標系中，曲線的參數方程為為參數．以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（1）當時，是什么曲線？

（2）當時，求與的公共點的直角坐標．

7．（2020·全國（理））已知曲線C1，C2的參數方程分別為C1：（θ為參數），C2：（t為參數）.（1）將C1，C2的參數方程化為普通方程；

（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.設C1，C2的交點為P，求圓心在極軸上，且經過極點和P的圓的極坐標方程.8．（2019·江蘇）在極坐標系中，已知兩點，直線l的方程為.（1）求A，B兩點間的距離；

（2）求點B到直線l的距離.9．（2019·全國（理））如圖，在極坐標系中，，，弧，所在圓的圓心分別是，，曲線是弧，曲線是弧，曲線是弧.（1）分別寫出，的極坐標方程；

（2）曲線由，構成，若點在上，且，求的極坐標.10．（2019·全國（文））在極坐標系中，O為極點，點在曲線上，直線l過點且與垂直，垂足為P.（1）當時，求及l的極坐標方程；

（2）當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程.11．（2019·全國（文））在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（t為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．

（1）求C和l的直角坐標方程；

（2）求C上的點到l距離的最小值．

12．（2018·江蘇）

在極坐標系中，直線l的方程為，曲線C的方程為，求直線l被曲線C截得的弦長．

13．（2018·全國（文））

在直角坐標系中，曲線的方程為.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求的直角坐標方程；

（2）若與有且僅有三個公共點，求的方程.14．（2018·全國（理））

在平面直角坐標系中，的參數方程為（為參數），過點且傾斜角為的直線與交于兩點．

（1）求的取值范圍；

（2）求中點的軌跡的參數方程．

15．（2018·全國（文））在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），直線的參數方程為（為參數）.（1）求和的直角坐標方程；

（2）若曲線截直線所得線段的中點坐標為，求的斜率．

16．（2017·全國（理））在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（θ為參數），直線l的參數方程為

．

（1）若，求C與l的交點坐標；

（2）若C上的點到l的距離的最大值為，求．

17．（2017·全國（理））

在直角坐標系xOy中，直線l1的參數方程為（t為參數），直線l2的參數方程為.設l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C．

（1）寫出C的普通方程；

（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設，M為l3與C的交點，求M的極徑.18．（2017·全國（理））在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（1）為曲線上的動點，點在線段上，且滿足，求點的軌跡的直角坐標方程；

（2）設點的極坐標為，點在曲線上，求面積的最大值．

19．（2017·全國（理））在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（1）為曲線上的動點，點在線段上，且滿足，求點的軌跡的直角坐標方程；

（2）設點的極坐標為，點在曲線上，求面積的最大值．

20．（2017·江蘇）已知直線l的參考方程為（t為參數）,曲線C的參數方程為（s為參數）．設p為曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值

三、填空題

21．（2019·天津（理））設，直線和圓（為參數）相切，則的值為____.22．（2018·北京（理））在極坐標系中，直線與圓相切，則__________．

23．（2018·天津（理））已知圓的圓心為，直線（為參數）與該圓相交于、兩點，則的面積為___________.24．（2017·天津（理））在極坐標系中，直線與圓的公共點的個數為___________.25．（2017·北京（理））在極坐標系中，點在圓上，點的坐標為，則的最小值為__________．

近五年（2017-2021）高考數學真題分類匯編

十三、坐標系與參數方程（答案解析）

1．D

【分析】

首先將參數方程化為直角坐標方程，然后利用點到直線距離公式求解距離即可.【解析】

直線的普通方程為,即,點到直線的距離,故選D.【小結】

本題考查直線參數方程與普通方程的轉化,點到直線的距離,屬于容易題,注重基礎知識?基本運算能力的考查.2．（1）；（2）P的軌跡的參數方程為（為參數），C與沒有公共點.【分析】

（1）將曲線C的極坐標方程化為，將代入可得；

（2）設，設，根據向量關系即可求得P的軌跡的參數方程，求出兩圓圓心距，和半徑之差比較可得.【解析】

（1）由曲線C的極坐標方程可得，將代入可得，即，即曲線C的直角坐標方程為；

（2）設，設，則，即，故P的軌跡的參數方程為（為參數）

曲線C的圓心為，半徑為，曲線的圓心為，半徑為2，則圓心距為，兩圓內含，故曲線C與沒有公共點.【小結】

本題考查參數方程的求解，解題的關鍵是設出的參數坐標，利用向量關系求解.3．（1），（為參數）；（2）或.【分析】

（1）直接利用圓心及半徑可得的圓的參數方程；

（2）先求得過（4，1）的圓的切線方程，再利用極坐標與直角坐標互化公式化簡即可.【解析】

（1）由題意，的普通方程為，所以的參數方程為，（為參數）

（2）由題意，切線的斜率一定存在，設切線方程為，即，由圓心到直線的距離等于1可得，解得，所以切線方程為或，將，代入化簡得

或

【小結】

本題主要考查直角坐標方程與極坐標方程的互化，涉及到直線與圓的位置關系，考查學生的數學運算能力，是一道基礎題.4．（1）（2）

【分析】

(1)將A,B點坐標代入即得結果；（2）聯立直線與圓極坐標方程，解得結果.【解析】

（1）以極點為原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標系，因為點為直線上，故其直角坐標方程為，又對應的圓的直角坐標方程為：，由解得或，對應的點為，故對應的極徑為或.（2），當時；

當時，舍；即所求交點坐標為當

【小結】

本題考查極坐標方程及其交點，考查基本分析求解能力，屬基礎題.5．（1）（2）

【分析】

（1）由參數方程得出的坐標，最后由兩點間距離公式，即可得出的值；

（2）由的坐標得出直線的直角坐標方程，再化為極坐標方程即可.【解析】

（1）令，則，解得或（舍），則，即.令，則，解得或（舍），則，即.；

（2）由（1）可知，則直線的方程為，即.由可得，直線的極坐標方程為.【小結】

本題主要考查了利用參數方程求點的坐標以及直角坐標方程化極坐標方程，屬于中檔題.6．（1）曲線表示以坐標原點為圓心，半徑為1的圓；（2）.【分析】

（1）利用消去參數，求出曲線的普通方程，即可得出結論；

（2）當時，曲線的參數方程化為

為參數），兩式相加消去參數，得普通方程，由，將曲線

化為直角坐標方程，聯立方程，即可求解.【解析】

（1）當時，曲線的參數方程為為參數），兩式平方相加得，所以曲線表示以坐標原點為圓心，半徑為1的圓；

（2）當時，曲線的參數方程為為參數），所以，曲線的參數方程化為為參數），兩式相加得曲線方程為，得，平方得，曲線的極坐標方程為，曲線直角坐標方程為，聯立方程，整理得，解得或

（舍去），公共點的直角坐標為

.【小結】

本題考查參數方程與普通方程互化，極坐標方程與直角坐標方程互化，合理消元是解題的關鍵，要注意曲線坐標的范圍，考查計算求解能力，屬于中檔題.7．（1）；；（2）.【分析】

（1）分別消去參數和即可得到所求普通方程；

（2）兩方程聯立求得點，求得所求圓的直角坐標方程后，根據直角坐標與極坐標的互化即可得到所求極坐標方程.【解析】

（1）由得的普通方程為：；

由得：，兩式作差可得的普通方程為：.（2）由得：，即；

設所求圓圓心的直角坐標為，其中，則，解得：，所求圓的半徑，所求圓的直角坐標方程為：，即，所求圓的極坐標方程為.【小結】

本題考查極坐標與參數方程的綜合應用問題，涉及到參數方程化普通方程、直角坐標方程化極坐標方程等知識，屬于常考題型.8．（1）；

（2）2.【分析】

(1)由題意，在中，利用余弦定理求解的長度即可；

(2)首先確定直線的傾斜角和直線所過的點的極坐標，然后結合點B的坐標結合幾何性質可得點B到直線的距離.【解析】

（1）設極點為O.在△OAB中，A（3，），B（，），由余弦定理，得AB=.（2）因為直線l的方程為，則直線l過點，傾斜角為．

又，所以點B到直線l的距離為.【小結】

本題主要考查曲線的極坐標方程等基礎知識，考查運算求解能力．

9．(1)，,(2)，,.【分析】

(1)將三個過原點的圓方程列出，注意題中要求的是弧，所以要注意的方程中的取值范圍.(2)根據條件逐個方程代入求解，最后解出點的極坐標.【解析】

(1)由題意得，這三個圓的直徑都是2，并且都過原點.，,.(2)解方程得，此時P的極坐標為

解方程得或，此時P的極坐標為或

解方程得，此時P的極坐標為

故P的極坐標為，,.【小結】

此題考查了極坐標中過極點的圓的方程，思考量不高，運算量不大，屬于中檔題.10．（1），l的極坐標方程為；（2）

【分析】

（1）先由題意，將代入即可求出；根據題意求出直線的直角坐標方程，再化為極坐標方程即可；

（2）先由題意得到P點軌跡的直角坐標方程，再化為極坐標方程即可，要注意變量的取值范圍.【解析】

（1）因為點在曲線上，所以；

即，所以，因為直線l過點且與垂直，所以直線的直角坐標方程為，即；

因此，其極坐標方程為，即l的極坐標方程為；

（2）設，則，由題意，所以，故，整理得，因為P在線段OM上，M在C上運動，所以，所以，P點軌跡的極坐標方程為，即.【小結】

本題主要考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，熟記公式即可，屬于常考題型.11．（1）；；（2）

【分析】

（1）利用代入消元法，可求得的直角坐標方程；根據極坐標與直角坐標互化原則可得的直角坐標方程；（2）利用參數方程表示出上點的坐標，根據點到直線距離公式可將所求距離表示為三角函數的形式，從而根據三角函數的范圍可求得最值.【解析】

（1）由得：，又

整理可得的直角坐標方程為：

又，的直角坐標方程為：

（2）設上點的坐標為：

則上的點到直線的距離

當時，取最小值

則

【小結】

本題考查參數方程、極坐標方程與直角坐標方程的互化、求解橢圓上的點到直線距離的最值問題.求解本題中的最值問題通常采用參數方程來表示橢圓上的點，將問題轉化為三角函數的最值求解問題.12．直線l被曲線C截得的弦長為

【解析】

分析：先根據直線與圓極坐標方程得直線與圓的一個交點為A（4，0），且OA為直徑.設直線與圓的另一個交點為B，根據直線傾斜角得∠OAB=．最后根據直角三角形OBA求弦長.解析：因為曲線C的極坐標方程為，所以曲線C的圓心為（2，0），直徑為4的圓．

因為直線l的極坐標方程為，則直線l過A（4，0），傾斜角為，所以A為直線l與圓C的一個交點．

設另一個交點為B，則∠OAB=．

連結OB，因為OA為直徑，從而∠OBA=，所以．

因此，直線l被曲線C截得的弦長為．

小結：本題考查曲線的極坐標方程等基礎知識，考查運算求解能力.13．(1)

.(2)

.【解析】

分析：(1)就根據，以及，將方程中的相關的量代換，求得直角坐標方程；

(2)結合方程的形式，可以斷定曲線是圓心為，半徑為的圓，是過點且關于軸對稱的兩條射線，通過分析圖形的特征，得到什么情況下會出現三個公共點，結合直線與圓的位置關系，得到k所滿足的關系式，從而求得結果.解析：（1）由，得的直角坐標方程為

．

（2）由（1）知是圓心為，半徑為的圓．

由題設知，是過點且關于軸對稱的兩條射線．記軸右邊的射線為，軸左邊的射線為．由于在圓的外面，故與有且僅有三個公共點等價于與只有一個公共點且與有兩個公共點，或與只有一個公共點且與有兩個公共點．

當與只有一個公共點時，到所在直線的距離為，所以，故或．

經檢驗，當時，與沒有公共點；當時，與只有一個公共點，與有兩個公共點．

當與只有一個公共點時，到所在直線的距離為，所以，故或．

經檢驗，當時，與沒有公共點；當時，與沒有公共點．

綜上，所求的方程為．

小結：該題考查的是有關坐標系與參數方程的問題，涉及到的知識點有曲線的極坐標方程向平面直角坐標方程的轉化以及有關曲線相交交點個數的問題，在解題的過程中，需要明確極坐標和平面直角坐標之間的轉換關系，以及曲線相交交點個數結合圖形，將其轉化為直線與圓的位置關系所對應的需要滿足的條件，從而求得結果.14．（1）

（2）為參數，【解析】

分析：（1）由圓與直線相交，圓心到直線距離可得．

（2）聯立方程，由根與系數的關系求解

解析：（1）的直角坐標方程為．

當時，與交于兩點．

當時，記，則的方程為．與交于兩點當且僅當，解得或，即或．

綜上，的取值范圍是．

（2）的參數方程為為參數，．

設，對應的參數分別為，，則，且，滿足．

于是，．又點的坐標滿足

所以點的軌跡的參數方程是

為參數，．

小結：本題主要考查直線與圓的位置關系，圓的參數方程，考查求點的軌跡方程，屬于中檔題．

15．（1），當時，的直角坐標方程為，當時，的直角坐標方程為；（2）

【分析】

分析：(1)根據同角三角函數關系將曲線的參數方程化為直角坐標方程，根據代入消元法將直線的參數方程化為直角坐標方程，此時要注意分

與兩種情況.(2)將直線參數方程代入曲線的直角坐標方程，根據參數幾何意義得之間關系，求得，即得的斜率．

【解析】

解析：（1）曲線的直角坐標方程為．

當時，的直角坐標方程為，當時，的直角坐標方程為．

（2）將的參數方程代入的直角坐標方程，整理得關于的方程

．①

因為曲線截直線所得線段的中點在內，所以①有兩個解，設為，則．

又由①得，故，于是直線的斜率．

16．（1），；（2）或．

【解析】

試題分析：（1）直線與橢圓的參數方程化為直角坐標方程，聯立解交點坐標；（2）利用橢圓參數方程，設點，由點到直線距離公式求參數．

試題解析：（1）曲線的普通方程為.當時，直線的普通方程為.由解得或.從而與的交點坐標為，.（2）直線的普通方程為，故上的點到的距離為

.當時，的最大值為.由題設得，所以；

當時，的最大值為.由題設得，所以.綜上，或.小結:本題為選修內容，先把直線與橢圓的參數方程化為直角坐標方程，聯立方程，可得交點坐標，利用橢圓的參數方程，求橢圓上一點到一條直線的距離的最大值，直接利用點到直線的距離公式，表示出橢圓上的點到直線的距離，利用三角有界性確認最值，進而求得參數的值．

17．（1）（2）

【解析】

（1）消去參數得的普通方程；消去參數m得l2的普通方程.設,由題設得，消去k得.所以C的普通方程為.（2）C的極坐標方程為.聯立得.故，從而.代入得，所以交點M的極徑為.【名師小結】本題考查了極坐標方程的求法及應用，重點考查了轉化與化歸能力.遇到求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解，或者直接利用極坐標的幾何意義求解.要結合題目本身特點，確定選擇何種方程.18．（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）設出P的極坐標，然后由題意得出極坐標方程，最后轉化為直角坐標方程為；

（2）利用（1）中的結論，設出點的極坐標，然后結合面積公式得到面積的三角函數，結合三角函數的性質可得面積的最大值為.試題解析：解：（1）設P的極坐標為（）（＞0），M的極坐標為（）由題設知

|OP|=，=.由|OP|=16得的極坐標方程

因此的直角坐標方程為.（2）設點B的極坐標為

（）.由題設知|OA|=2，于是△OAB面積

當時，S取得最大值.所以△OAB面積的最大值為.小結:本題考查了極坐標方程的求法及應用，重點考查了轉化與化歸能力.在求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，求解的一般方法是將其化為普通方程和直角坐標方程后求解，或者直接利用極坐標的幾何意義求解.要結合題目本身特點，確定選擇何種方程.19．（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）設出P的極坐標，然后由題意得出極坐標方程，最后轉化為直角坐標方程為；

（2）利用（1）中的結論，設出點的極坐標，然后結合面積公式得到面積的三角函數，結合三角函數的性質可得面積的最大值為.試題解析：解：（1）設P的極坐標為（）（＞0），M的極坐標為（）由題設知

|OP|=，=.由|OP|=16得的極坐標方程

因此的直角坐標方程為.（2）設點B的極坐標為

（）.由題設知|OA|=2，于是△OAB面積

當時，S取得最大值.所以△OAB面積的最大值為.小結:本題考查了極坐標方程的求法及應用，重點考查了轉化與化歸能力.在求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，求解的一般方法是將其化為普通方程和直角坐標方程后求解，或者直接利用極坐標的幾何意義求解.要結合題目本身特點，確定選擇何種方程.20．.【解析】

直線的普通方程為.因為點在曲線上，設，從而點到直線的的距離，當時，.因此當點的坐標為時，曲線上點到直線的距離取到最小值.21．

【分析】

根據圓的參數方程確定圓的半徑和圓心坐標，再根據直線與圓相切的條件得出滿足的方程，解之解得．

【解析】

圓化為普通方程為，圓心坐標為，圓的半徑為，由直線與圓相切，則有，解得．

【小結】

直線與圓的位置關系可以使用判別式法，但一般是根據圓心到直線的距離與圓的半徑的大小作出判斷．

22．【分析】

根據將直線與圓極坐標方程化為直角坐標方程，再根據圓心到直線距離等于半徑解出.【解析】

因為，由，得，由，得，即，即，因為直線與圓相切，所以

【小結】

（1）直角坐標方程化為極坐標方程，只要運用公式及直接代入并化簡即可；

（2）極坐標方程化為直角坐標方程時常通過變形，構造形如的形式，進行整體代換.其中方程的兩邊同乘以(或同除以)及方程兩邊平方是常用的變形方法.但對方程進行變形時，方程必須同解，因此應注意對變形過程的檢驗.23．

【分析】

由題意首先求得圓心到直線的距離，然后結合弦長公式求得弦長，最后求解三角形的面積即可.【解析】

由題意可得圓的標準方程為：，直線的直角坐標方程為：，即，則圓心到直線的距離：，由弦長公式可得：，則.【小結】

處理直線與圓的位置關系時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達，則用幾何法；若方程中含有參數，或圓心到直線的距離的表達較繁瑣，則用代數法．

24．2

【解析】

直線為，圓為，因為，所以有兩個交點

【考點】極坐標

【名師小結】再利用公式

把極坐標方程化為直角坐標方程，再解聯立方程組根據判別式判斷出交點的個數，極坐標與參數方程為選修課程，要求靈活使用公式進行坐標變換及方程變換.25．1

【解析】

試題分析：將圓的極坐標方程化為普通方程為，整理為，圓心為，點是圓外一點，所以的最小值就是.【考點】極坐標與直角坐標方程的互化，點與圓的位置關系

【名師小結】（1）熟練運用互化公式：將極坐標化為直角坐標；（2）直角坐標方程與極坐標方程的互化，關鍵要掌握好互化公式，研究極坐標系下圖形的性質時，可轉化為在直角坐標系的情境下進行．