專題十五

不等式選講

第三十五講

不等式選講

2019年

1.（2019全國II文23）已知

（1）當時，求不等式的解集；

（2）若時，求的取值范圍.2.（2019全國1文23）已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc=1．證明：

（1）；

（2）．

3.(2019全國III文23）設，且.（1）求的最小值；

（2）若成立，證明：或.2010-2018年

解答題

1．(2018全國卷Ⅰ)[選修4–5：不等式選講]（10分）

已知．

(1)當時，求不等式的解集；

(2)若時不等式成立，求的取值范圍．

2．(2018全國卷Ⅱ)

[選修4－5：不等式選講]（10分）

設函數(shù)．

(1)當時，求不等式的解集；

(2)若，求的取值范圍．

3．(2018全國卷Ⅲ)

[選修4—5：不等式選講]（10分）

設函數(shù)．

(1)畫出的圖像；

(2)當時，求的最小值．

4．(2018江蘇)D．[選修4—5：不等式選講](本小題滿分10分)

若，為實數(shù)，且，求的最小值．

5．（2017新課標Ⅰ）已知函數(shù)，．

(1)當時，求不等式的解集；

(2)若不等式的解集包含，求的取值范圍．

6．（2017新課標Ⅱ）已知，，證明：

(1)；

(2)．

7．（2017新課標Ⅲ）已知函數(shù)．

(1)求不等式的解集；

(2)若不等式的解集非空，求的取值范圍．

8．（2017江蘇）已知，，為實數(shù)，且，證明．

9．（2016年全國I高考）已知函數(shù)．

（I）在圖中畫出的圖像；

（II）求不等式的解集．

10．（2016年全國II）已知函數(shù)，M為不等式的解集．

（I）求M；

（II）證明：當a，時，．

11．（2016年全國III高考）已知函數(shù)

（Ⅰ）當a=2時，求不等式的解集；

（Ⅱ）設函數(shù)，當時，求a的取值范圍．

12．（2015新課標1）已知函數(shù)，．

（Ⅰ）當時，求不等式的解集；

（Ⅱ）若的圖像與軸圍成的三角形面積大于6，求的取值范圍．

13．（2015新課標2）設均為正數(shù)，且，證明：

（Ⅰ）若>，則；

（Ⅱ）是的充要條件．

14．（2014新課標1）若，且．

(Ⅰ)

求的最小值；

（Ⅱ）是否存在，使得？并說明理由．

15．（2014新課標2）設函數(shù)=

（Ⅰ）證明：2；

（Ⅱ）若，求的取值范圍．

16．（2013新課標1）已知函數(shù)=,=.（Ⅰ）當=-2時，求不等式＜的解集；

（Ⅱ）設＞-1,且當∈[，)時，≤,求的取值范圍.17．（2013新課標2）設均為正數(shù)，且，證明：

（Ⅰ）

（Ⅱ）

18．（2012新課標）已知函數(shù)．

（Ⅰ）當時，求不等式的解集；

（Ⅱ）若的解集包含，求的取值范圍．

19．（2011新課標）設函數(shù),其中．

（Ⅰ）當時，求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式的解集為，求a的值．

專題十五

不等式選講

第三十五講

不等式選講

答案部分

2019年

1.解：（1）當a=1時，.當時，；當時，.所以，不等式的解集為.（2）因為，所以.當，時，.所以，的取值范圍是.2.解析

（1）因為，又，故有

.所以.（2）因為為正數(shù)且，故有

=24.所以.3.解析（1）由于，故由已知得，當且僅當x=，y=–，時等號成立．

所以的最小值為.（2）由于，故由已知，當且僅當，時等號成立．

因此的最小值為．

由題設知，解得或．

2010-2018年

1．【解析】(1)當時，即

故不等式的解集為．

(2)當時成立等價于當時成立．

若，則當時；

若，的解集為，所以，故．

綜上，的取值范圍為．

2．【解析】(1)當時，可得的解集為．

(2)等價于．

而，且當時等號成立．故等價于．

由可得或，所以的取值范圍是．

3．【解析】(1)的圖像如圖所示．

(2)由(1)知，的圖像與軸交點的縱坐標為2，且各部分所在直線斜率的最大值為3，故當且僅當且時，在成立，因此的最小值為5．

4．D．【證明】由柯西不等式，得．

因為，所以，當且僅當時，不等式取等號，此時，所以的最小值為4．

5．【解析】（1）當時，不等式等價于

．①

當時，①式化為，無解；

當時，①式化為，從而；

當時，①式化為，從而．

所以的解集為．

（2）當時，．

所以的解集包含，等價于當時．

又在的最小值必為與之一，所以且，得．

所以的取值范圍為．

6．【解析】（1）

（2）∵，所以，因此．

7．【解析】（1），當時，無解；

當時，由得，解得

當時，由解得．

所以的解集為．

（2）由得，而

且當時，．

故m的取值范圍為．

8．【解析】證明：由柯西不等式可得：，因為

所以，因此.9．【解析】(1)如圖所示：

(2)，．

當，解得或，．

當，解得或，或，當，解得或，或，綜上，或或，解集為．

10．【解析】（I）當時，若；

當時，恒成立；

當時，若，．

綜上可得，．

（Ⅱ）當時，有，即，則，則，即，證畢．

11．【解析】（Ⅰ）當時，.解不等式，得.因此，的解集為.（Ⅱ）當時，當時等號成立，所以當時，等價于.①

當時，①等價于，無解.當時，①等價于，解得.所以的取值范圍是.12．【解析】（Ⅰ）當時，不等式化為，當時，不等式化為，無解；

當時，不等式化為，解得；

當時，不等式化為，解得．

所以的解集為．

（Ⅱ）有題設可得，所以函數(shù)圖象與軸圍成的三角形的三個頂點分別為，的面積為．有題設得，故．所以的取值范圍為．

13．【解析】（Ⅰ）∵，由題設，得．

因此．

（Ⅱ）（ⅰ）若，則，即．

因為，所以，由（Ⅰ）得．

（ⅱ）若，則，即．

因為，所以，于是．

因此，綜上是的充要條件．

14．【解析】（I）由，得，且當時取等號．

故，且當時取等號．

所以的最小值為．

（II）由（I）知，．由于，從而不存在，使得．

15．【解析】（I）由，有．

所以≥2.（Ⅱ）.當時＞3時，=，由＜5得3＜＜．

當0＜≤3時，=，由＜5得＜≤3．

綜上，的取值范圍是（，）．

16．【解析】(Ⅰ)當=2時，不等式＜化為，設函數(shù)=，=，其圖像如圖所示，從圖像可知，當且僅當時，＜0，∴原不等式解集是．

（Ⅱ）當∈[，)時，=，不等式≤化為，∴對∈[，)都成立，故，即≤，∴的取值范圍為(1，]．

17．【解析】（Ⅰ）得

由題設得，即．

所以，即

（Ⅱ）∵

∴

即

∴

18．【解析】(1)當時，或或

或．

(2)原命題在上恒成立

在上恒成立

在上恒成立

．

19．【解析】（Ⅰ）當時，可化為．

由此可得

或．

故不等式的解集為或．

(Ⅱ)

由

得，此不等式化為不等式組

或，即或，因為，所以不等式組的解集為，由題設可得=，故．