第一篇：選修4-5----不等式選講測試題
選修4-5不等式選講測試題
一.選擇題：
1.若a,b是任意的實數,且a>b,則()A．a2?b2B．2.若
1a?1b
?0,則下列不等式中
b
1a1b
?1C． lg(a-b)>0D．()?()
22a
(1)a?b?ab
(2)|a|>|b|(3)a ba ? ab ? 2正確的個數是() A．1B． 2C． 3D．4 3.不等式|x-1|+|x+2|?5的解集為() A． ???,?2???2,???B． ???,?1???2,???C． ???,?2???3,???D．???,?3???2,??? 4.下列結論不正確的是()A．x,y為正數,則 xy?yx ?2B． x?2x? 122 ?2C．lgx?logx10?2D．a?0,則(1?a)(1? 1a)? 45.如果a>0,且a?1,M?loga(a3?1),N?loga(a2?1),那么() A．M>NB．M 32n 2的最小值為() C．6 D． 8 B．4 7.已知3x+y=10,則x2?y2的最小值為()A． B．10C．1D．100 8.函數y=5x?1?25?x的最大值為() A．108B．63C．10D．279.已知0?a,b?1，用反證法證明a(1?b),b(1?a)不能都大于A．a(1?b),b(1?a)都大于 時，反設正確的是() 14，B．a(1?b),b(1?a)都小于 C．a(1?b),b(1?a)都大于或等于D．a(1?b),b(1?a)都小于或等于 10.已知a,b?R，且abA．a?b ?a?b ?0，則() ?a?b B．a?b aa?b?c C．a?b cc?d?a ?a?b D．a?b ?a?b 11.a,b,c?R ?，設 S?? bb?c?d ?? dd?a?b，則下列判斷中正確的是() A． 0?S?1B． 1?S?2C． 2?S?3D． 3?S?4 1111 312．用數學歸納法證明不等式＋＋…＋<(n≥2，n∈N*)的過程中，由n＝k遞推 n＋1n＋22n14 到n＝k＋1時不等式左邊() A．增加了一項B．增加了兩項、2?k＋1?2k＋12k＋2 C．增加了B中兩項但減少了一項D．以上各種情況均不對 k＋1二．填空題： 13.已知2x?3y?6z?12，求x2?y2?z2的最小值是 14.已知a1=,an+1= 3anan?3,則an=____________ 15.如果關于x的不等式|x-4|-|x+5|?b的解集為空集,則b的取值范圍為16.設A? ? ?1 ? ?2 ???? ?1，則A與1的大小關系是_____________ 三．解答題： 17．（12分）（1）證明：a2?b2?2(2a?b)?5(2)證明：5??3?8 18.（12分）用數學歸納法證明：1? 12?13??? n ? n?22,?n?N,n?2? 19.（12分）已知函數f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)證明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集． 20.（12分）已知對于任意正數a1,a2,a3,有不等式:a1? 1a1 ?1,(a1?a2)?（1a1 ?1a2)?4,(a1?a2?a3)?（1a1 ? 1a2 ? 1a3)?9,… (1)從上述不等式歸納出一個適合任意正數a1,a2,...,an的不等式.(2)用數學歸納法證明你歸納得到的不等式.21（22分）如圖，四邊形PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，∠MBC＝45°,PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°.（1）求證：平面PAC⊥平面ABC； （2）求異面直線PA和BC所成角的余弦值； （3）求直線AB與平面MAC所成角的正弦值；（4）求二面角M?AC?B的余弦值；（5）求三棱錐P?MAC的體積。 不等式選講測試題 一、選擇題：(本大題共8小題，每小題5分，共40分．) 1．若a,b是任意的實數,且a>b,則() (A)a?b(B) 2．不等式2211b?1(C)lg(a-b)>0(D)()a?()b 22a2??3的解集是()x 2222(A)(??,?)(B)(??,?)?(0,??)(C)(?,0)?(0,??)(D)(?,0)3333 3．在直徑為4的圓內接矩形中,最大的面積是() (A)4(B)2(C)6(D)8 4．已知3x+y=10,則x2?y2的最小值為（） 1(B)．10(C)．1(D)．100 10 5．不等式|x-1|+|x+2|?5的解集為()(A)． (A).???,?2???2,???(B).???,?1???2,??? (C).???,?2???3,???(D).???,?3???2,??? 6．若n>0,則n+32的最小值為()2n A．2B．4C．6D． 8 7．若正數a,b滿足ab=a+b+3,則ab的最值范圍為() A.?6,???B.?9,???C.???,9?D.8．已知a,b,c是正實數,且a+b+c=1,則111??的最小值為()abc A..3B.6C.9D.12 二．填空題：本大題共6小題；每小題5分，共30分． 9．函數y=5x?1?25?x的最大值為； 10．若不等式mx?mx?1?0對一切x?R都成立，則m的取值范圍是11．如果關于x的不等式|x-4|-|x+5|?b的解集為空集,則參數b的取值范圍2 為.12．建造一個容積為18 m，深為2 m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁每平方米的造價分別為200元和150元，那么池的最低造價為：__________.13．設a, b?R?，若a?b?5，求a?2b的最大值為：_______。 14．（1）ba?≥2成立當且僅當a,b均為正數。ab223 （2）y?2x2?3,(x?0)的最小值是34。x 2273（3）y?x(a?2x)2,(0?x?a)的最大值是2a。 （4）|a＋1|≥2成立當且僅當a≠0。a 以上命題是真命題的是： 15.(15分)已知數列{an}是正數組成的數列，其前n項和為Sn，對于一切n?N均有an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項。 （1）計算a1,a2,a3,并由此猜想{an}的通項公式an； （2）用數學歸納法證明（1）中你的猜想。 16.(15分)解不等式?x?3x?2?4?3x2? 答案: DBDBDCBC 9.22910.?4?m?011.b>912.540013.514.(4)(5) 2a?2(a?2)nn15.解：（1）由可求得a1?Sn得Sn?28?2,a2?6,a3?10，┈5分 由此猜想{an}的通項公式an?4n?2(n?N?)。┈┈┈7分 （2）證明：①當n?1時，a1?2，等式成立；┈┈┈9分②假設當n?k時，等式成立，即ak?4k?2，┈┈┈11分 (ak?1?2)2(ak?2)2 ?ak?1?Sk?1?Sk??88 ?(ak?1?ak)(ak?1?ak?4)?0,又ak?1?ak?0 ?ak?1?ak?4?0，?ak?1＝ak＋4?4k－2＋4?4(k?1)?2 ?當n?k?1時，等式也成立。┈┈┈13分 由①②可得an?4n?2(n?N?)成立。┈┈┈15分 16解：原不等式等價于下列兩個不等式組得解集的并集： ?4?3x?0??x2?3x?2?0?2Ⅰ：??x?3x?2?04分Ⅱ：?4分 ?4?3x?0??x2?3x?2?(4?3x)2? 4?x??3464?解Ⅰ：?1?x?2??x? 3分解Ⅱ：?x?23分 353?6?x?3 ?52? 6∴原不等式的解集為{x|?x?2} 2分 5 高二數學選修4-5《不等式選講》測試題 一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分） 1、已知集合A?{x|x?0},B?{x|?1?x?2}，則A?B?（） A、{x|x??1}B、{x|x?2}C、{x|0?x?2}D、{x|?1?x?2} 2、欲證2?3?A、2?7?? 26?7，只需證（） B、?2?6?? 2? 3?6? ?? 2? 3?7 ? C、2?3?? 2D、?2?3?6????7? x?y3、設x?0，y?0，A? 1?x?y，B? x1?x ? y1?y，則A、B的大小關系是（A、A?BB、A?BC、A?BD、不能確定 4、若n?0，則n? 32n 2的最小值為（） A、2B、4C、6D、85、如果命題p(n)對n?k成立，則它對n?k?2也成立，又命題p(n)對n?2成立，則下列結論正確的是（） A、命題p(n)對所有正整數n成立B、命題p(n)對所有大于2的正整數n成立C、命題p(n)對所有奇正整數n成立D、命題p(n)對所有偶正整數n成立 6、已知0?a,b?1，用反證法證明a(1?b),b(1?a)不能都大于時，反設正確的是（） 41A、a(1?b),b(1?a)都大于 4，B、a(1?b),b(1?a)都小于 414 C、a(1?b),b(1?a)都大于或等于D、a(1?b),b(1?a)都小于或等于 7、已知a,b都是實數，那么“a2?b2”是“a?b”的（）A、充分而不必要條件B、必要而不充分條件 C、充分且必要條件D、既不充分也不必要條件 8、已知不等式?x?y??則實數a的最大值為（）?????a對任意正實數x,y恒成立，xy??A、2B、4C、2D、16 9、已知a,b?R，且ab ?0 ?11?，則（） A、a?b?a?b B、a?b ?a?b C、a?b ?a?b D、a?b?a?b10、已知a?0，b?0滿足a?b?2，則（）A、ab? 2B、ab? 2C、a2?b2?2D、a2?b2? 4二、填空題（共7小題，每小題3分，共21分） 11、若不等式|ax?2|?6的解集是（-∞，-1]?[2,??)，則a的值是___________.12、函數y?2?x?2x?1的最大值為：； 13、用數學歸納法證明n?N*,1?12?13??? 1n? n時，從“n?k”到 “n?k?1”，左邊需添加的代數式為：； 14、經計算發現下列不等式正確：2??2，4.5?.5?2，3? 2? ? 2?2，??，根據以上不等式的規律，請你寫出一個類似的不 等式：； 15、有4人各拿一只水桶去接水，設水龍頭注滿每個人的水桶分別需要5s，4s，3s，7s，每個人接完水后就離開，則他們總的等候時間最短為：； 16、若由不等式x? 1x ?2，x? 4x ?3，??，可以推廣到x? ax n ?n?1a?R ? ? ?，則 實數a的值為：； 17、如果關于x的不等式|x-4|-|x+5|?b的解集為空集,則參數b的取值范圍為.三、解答題（本大題5小題，共39分） 四、18、（8分）已知m,n?R?，求證：m3?n3?m2n?mn219、（8分）解不等式： |x?1|?|x?2|?5|x?1|?5?x|x?2|?5?x20、（8分）①、已知：a,b?R?，a?b?4，證明②、已知：a,b,c?R?，a?b?c?9，證明 21、（8分）已知數列?an?的前n項和為Sn,Sn?（1）求a1,a2,a3； （2）猜想數列?an?的通項公式并證明你的結論。 3(an?1)(n?N).? 1a1c ? 1b ?1； 1a ? 1b ? ?1； 并類比上面的結論，寫出推廣后的一般性結論（不需證明）。 22、(本題滿分12分）(1)證明:5??3?8 (2)已知a,b,c?R?，且a?b?c?1，求證：(?1)(?1)(?1)?8 a b c 附加題、（本 題滿 分122(n?1?1)? 1?1??? 1?2n(n?N) 2n） 分）用放縮法證: 明 高二數學選修4-5《不等式選講》結業測試參考答案 二、填空題（共7小題，每小題3分，共21分） 11、；12、13、14、5??2(答案不唯一)；15、16、nn； 17、； 第Ⅱ卷（共5題，總分39分） 三、解答題（本大題5小題，共39分） 18、已知m,n?R?，求證：m3?n3?m2n?mn 2方法一：作差比較：m3?n3?(m2n?mn2)???(m?n)(m?n)2 方法二：排序不等式：不妨設m?n，?m2?n2 根據排序不等式：m3?n3?m?m2?n?n2?m2n?mn219、解不等式： |x?1|?|x?2|?5 解：方法一：零點分段討論：{x|?3?x?2} 方法二：數形結合法：{x|?3?x?2} 20、①、已知：a,b?R?，a?b?4，證明②、已知：a,b,c?R?，a?b?c?9，證明 1a1a??1b1b?1； ?1c?1； 1k? 1； 并類比上面的結論，寫出推廣后的一般性結論（不需證明）。 解：①、根據柯西不等式： (a?b)（1a?1b)?(a? 1a?b? 1b) ?4，?a?b?4，? 1a ? 1b ? 1②、根據柯西不等式： (a?b?c)（1a?1b?1c)?(a? 1a?b? 1b?c? 1c) ?9，?a?b?c?9，? 1a ? 1b ? 1c ? 1可以推廣：a1?a2???an?n，則： 1a1 ? 1a 2??? 1an ?1； 21、已知數列?an?的前n項和為Sn,Sn? (an?1)(n?N).? （1）求a1,a2,a3；（2）猜想數列?an?的通項公式并證明你的結論。解:(1)由S1?又S2? 又S3? 131313 (a1?1),得a1? (a1?1)∴a1??13 (a2?1),即a1?a2?(a2?1),得 a2?13 .18 (a3?1),即a1?a2?a3?(a3?1),得 a3??1 .(2)猜想數列?an?的通項公式：an?(?)n 證法一：數學歸納法：當n=k+1時,ak?1?Sk?1?Sk??ak?1? ak?1?? 1313 (ak?1?1)?ak?? (ak?1)?12 k ak?1?12) ? ak? ? ak?1? ak ?(?),ak?1?(? k?1，命題成立。 證法二：當n>1時,an?Sn?Sn?1?得 anan?1 ?? 12,所以?an?是首項為? (an?1)? 1312 (an?1?1)，公比為?的等比數列.所以，an?(?)n 選修4-5 不等式選講 課 題： 不等式的基本性質 二、不等式的基本性質： 1、實數的運算性質與大小順序的關系： 數軸上右邊的點表示的數總大于左邊的點所表示的數，從實數的減法在數軸上的表示可知： a?b?a?b?0 a?b?a?b?0 a?b?a?b?0 得出結論：要比較兩個實數的大小，只要考察它們的差的符號即可。 2、不等式的基本性質： ①、如果a>b，那么b 推論：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b，c>d ?a+c>b+d． ④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac ⑤、如果a>b >0，那么an?bn(n?N，且n>1)⑥、如果a>b >0，那么na?nb(n?N，且n>1)。 課 題： 含有絕對值的不等式的證明 一、引入： 證明一個含有絕對值的不等式成立，除了要應用一般不等式的基本性質之外，經常還要用到關于絕對值的和、差、積、商的性質： （1）a?b?a?b（2）a?b?a?b（3）a?b?a?b（4） ab?a(b?0)b請同學們思考一下，是否可以用絕對值的幾何意義說明上述性質存在的道理？ 實際上，性質a?b?a?b和 ab?a(b?0)可以從正負數和零的乘法、除法法則直接推出；而b絕對值的差的性質可以利用和的性質導出。因此，只要能夠證明a?b?a?b對于任意實數都成立即可。我們將在下面的例題中研究它的證明。 現在請同學們討論一個問題：設a為實數，a和a哪個大？ 顯然a?a，當且僅當a?0時等號成立（即在a?0時，等號成立。在a?0時，等號不成立）。同樣，a??a.當且僅當a?0時，等號成立。 含有絕對值的不等式的證明中，常常利用a??a、a??a及絕對值的和的性質。 二、典型例題： 例 1、證明（1）a?b?a?b，（2）a?b?a?b。 證明（1）如果a?b?0,那么a?b?a?b.所以a?b?a?b?a?b.如果a?b?0,那么a?b??(a?b).所以a?b??a?(?b)??(a?b)?a?b （2）根據（1）的結果，有a?b??b?a?b?b，就是，a?b?b?a。 所以，a?b?a?b。 探究：試利用絕對值的幾何意義，給出不等式a?b?a?b的幾何解釋？ 含有絕對值的不等式常常相加減，得到較為復雜的不等式，這就需要利用例1，例2和例3的結果來證明。 cc例 4、已知 x?a?,y?b?，求證(x?y)?(a?b)?c.22證明(x?y)?(a?b)?(x?a)?(y?b)?x?a?y?b（1） ?x?a?cc,y?b?，22cc∴x?a?y?b???c（2） 22由（1），（2）得：(x?y)?(a?b)?c aa,y?.求證：2x?3y?a。46aaaa證明 ?x?,y?，∴2x?,3y?，4622aa由例1及上式，2x?3y?2x?3y???a。 22注意： 在推理比較簡單時，我們常常將幾個不等式連在一起寫。但這種寫法，只能用于不等號方向相同的不等式。 課 題： 含有絕對值的不等式的解法 一、引入： 在初中課程的學習中，我們已經對不等式和絕對值的一些基本知識有了一定的了解。在此基礎上，本節討論含有絕對值的不等式。 關于含有絕對值的不等式的問題，主要包括兩類：一類是解不等式，另一類是證明不等式。下面分別就這兩類問題展開探討。 1、解在絕對值符號內含有未知數的不等式（也稱絕對值不等式），關鍵在于去掉絕對值符號，化成普通的不等式。主要的依據是絕對值的意義.請同學們回憶一下絕對值的意義。例 5、已知x??x，如果x?0? 在數軸上，一個點到原點的距離稱為這個點所表示的數的絕對值。即x??0，如果x?0。 ??x，如果x?0? 2、含有絕對值的不等式有兩種基本的類型。 第一種類型。設a為正數。根據絕對值的意義，不等式x?a的解集是，如{x|?a?x?a}，它的幾何意義就是數軸上到原點的距離小于a的點的集合是開區間（－a，a）圖所示。 ?a 圖1-1 a 如果給定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的結果來解。 第二種類型。設a為正數。根據絕對值的意義，不等式x?a的解集是 {x|x?a或x??a} 它的幾何意義就是數軸上到原點的距離大于a的點的集合是兩個開區間(??,?a),(a,?)的并集。如圖1-2所示。 –a a 圖1-2 同樣，如果給定的不等式符合這種類型，就可以直接利用它的結果來解。課 題： 平均值不等式 一、引入： 1、定理1：如果a,b?R，那么a2?b2?2ab（當且僅當a?b時取“=”） 證明：a2?b2?2ab?(a?b)2 當a?b時，(a?b)2?0?22??a?b?2ab 2當a?b時，(a?b)?0?1．指出定理適用范圍：a,b?R 強調取“=”的條件a?b。 2、定理2：如果a,b是正數，那么 a?b）?ab（當且僅當a?b時取“=”證明：∵(a)2?(b)2?2ab ∴a?b?2ab 即：a?ba?b?ab 當且僅當a?b時 ?ab 22 注意：1．這個定理適用的范圍：a?R?； 2．語言表述：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。 3、定理3：如果a,b,c?R?，那么a3?b3?c3?3abc（當且僅當a?b?c時取“=”） 證明：∵a3?b3?c3?3abc?(a?b)3?c3?3a2b?3ab2?3abc ?(a?b?c)[(a?b)2?(a?b)c?c2]?3ab(a?b?c) ?(a?b?c)[a2?2ab?b2?ac?bc?c2?3ab] ?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?bc?ca) ?1(a?b?c)[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2] 2∵a,b,c?R? ∴上式≥0 從而a3?b3?c3?3abc 指出：這里a,b,c?R? ∵a?b?c?0就不能保證。 推論：如果a,b,c?R?，那么 a?b?c3（當且僅當a?b?c時取“=”）?abc。證明：(3a)3?(3b)3?(3c)3?33a?3b?3c ?a?b?c?33abc a?b?c3?abc 34、算術—幾何平均不等式： ?①．如果a1,a2,?,an?R?,n?1且n?N? 則：na1?a2???an叫做這n個正數的算術平均數，na1a2?an叫做這n個正數的幾何平均數； ②．基本不等式： a1?a2???an≥na1a2?an（n?N*,ai?R?,1?i?n） n這個結論最終可用數學歸納法，二項式定理證明（這里從略）語言表述：n個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。 a?b③．?ab的幾何解釋： 2以a?b為直徑作圓，在直徑AB上取一點C，過C作弦DD’?AB 則CD2?CA?CB?ab，a?b從而CD?ab，而半徑?CD?ab。 2課 題： 不等式的證明方法之一：比較法 課 題： 不等式的證明方法之二：綜合法與分析法 課 題： 不等式的證明方法之三：反證法 課 題： 不等式的證明方法之四：放縮法與貝努利不等式 DAaOCbB 4 選修4-5 不等式選講 [真題感悟] 1．(2013·山東卷)在區間[－3，3]上隨機取一個數x使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率為________． 解析 由絕對值的幾何意義知：使|x＋1|－|x－2|≥1成立的x值為x∈[1，3]，由幾何概型知所求概率為P＝ 1答案 32．(2013·重慶卷)若關于實數x的不等式|x－5|＋|x＋3| 解析 因為|x－5|＋|x＋3|表示數軸上的動點x到數軸上的點－3，5的距離之和，而(|x－5|＋|x＋3|)min＝8，所以當a≤8時，|x－5|＋|x＋3| 答案(－∞，8] 3．(2013·湖南卷)已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，則a2＋4b2＋9c2的最小值為________． 解析 ∵(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2yz＋2zx≤3(x2＋y2＋z2)，∴a2＋4b2＋1369c2≥3a＋2b＋3c)2＝312.∴a2＋4b2＋9c2的最小值為12.答案 12 4．(2013·陜西卷)已知a，b，m，n均為正數，且a＋b＝1，mn＝2，則(am＋bn)(bm＋an)的最小值為________． 解析 由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當且僅當ad＝bc時“＝”成立，得(am＋bn)(bm＋an)≥(am·an＋bm·bn)2＝mn(a＋b)2＝2.答案 2 [考題分析] 題型 填空題、解答題 難度 低檔 絕對值不等式的求解問題、證明不等式.3－121＝＝.3＋363第二篇：不等式選講測試題
第三篇：高二數學選修4-5《不等式選講》模塊結業測試題1
第四篇：數學選修4-5不等式選講教案
第五篇：選修4-5 不等式選講[真題感悟]范文
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