第一篇：幾何證明選講教學指導 新課標 選修4-1

幾何證明選講教學指導

在全省高中數學選修模塊教學研討會上對選修系列4教學指導研討的發言

吳公強

按照我省及寧夏回族自治區高中數學選修４專題系列選課方案，及０７年高考說明的要求，我省統一選學４－１幾何證明選講 ４－２矩陣與變換 ４－４坐標系與參數方程 ４－５不等式選講 四門課程，以下我代表中心組就這四門課程的定位、教學目標、教學法及復習迎考建議，借這個機會分專題同同志們一起進行研討．

關于選修4-1專題：幾何證明選講的教學研究

一、學習本課程已有的相關知識準備

（一）初中具體目標

1．圖形的認識

(1)點、線、面

通過豐富的實例，進一步認識點、線、面（如交通圖上用點表示城市，屏幕上的畫面是由點組成的）。

（2）角

①通過豐富的實例，進一步認識角。

②會比較角的大小，能估計一個角的大小，會計算角度的和與差，認識度、分、秒，會進行簡單換算。

③了解角平分線及其性質【1】角平分線上的點到角的兩邊距離相等，角的內部到兩邊距離相等的點在角的平分線上。

（3）相交線與平行線 ①了解補角、余角、對頂角，知道等角的余角相等、等角的補角相等、對頂角相等。②了解垂線、垂線段等概念，了解垂線段最短的性質，體會點到直線距離的意義。③知道過一點有且僅有一條直線垂直于已知直線，會用三角尺或量角器過一點畫一條直線的垂線。

④了解線段垂直平分線及其性質【1】線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，到線段兩端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上。

⑤知道兩直線平行同位角相等，進一步探索平行線的性質。

⑥知道過直線外一點有且僅有一條直線平行于已知直線,會用三角尺和直尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線。

⑦體會兩條平行線之間距離的意義，會度量兩條平行線之間的距離。

（4）三角形

①了解三角形有關概念（內角、外角、中線、高、角平分線），會畫出任意三角形的角平分線、中線和高，了解三角形的穩定性。

②探索并掌握三角形中位線的性質。

③了解全等三角形的概念，探索并掌握兩個三角形全等的條件。

④了解等腰三角形的有關概念，探索并掌握等腰三角形的性質【2】等腰三角形的兩底角相等，底邊上的高、中線及頂角平分線三線合一。和一個三角形是等腰三角形的條件【3】

[3]有兩個角相等的三角形是等腰三角形。；了解等邊三角形的概念并探索其性質。

⑤了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質【4】直角三角形的兩銳角互余，斜邊上的中線等于斜邊一半。和一個三角形是直角三角形的條件【5】有兩個角互余的三角形是直角三角形。

⑥體驗勾股定理的探索過程，會運用勾股定理解決簡單問題；會用勾股定理的逆定理判

定直角三角形。

（5）四邊形

①探索并了解多邊形的內角和與外角和公式，了解正多邊形的概念。

②掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性質，了解它們之間的關系；了解四邊形的不穩定性。

③探索并掌握平行四邊形的有關性質【1】平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分。和四邊形是平行四邊形的條件【2】一組對邊平行且相等，或兩組對邊分別相等，或對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

④探索并掌握矩形、菱形、正方形的有關性質【3】矩形的四個角都是直角，對角線相等；菱形的四條邊相等，對角線互相垂直平分。和四邊形是矩形、菱形、正方形的條件【4】三個角是直角的四邊形，或對角線相等的平行四邊形是矩形;四邊相等的四邊形，或對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

⑤探索并了解等腰梯形的有關性質【5】等腰梯形同一底上的兩底角相等，兩條對角線相等。和四邊形是等腰梯形的條件。【6】同一底上的兩底角相等的梯形是等腰梯形。

⑥探索并了解線段、矩形、平行四邊形、三角形的重心及物理意義（如一根均勻木棒、一塊均勻的矩形木重心）。

了解三角形的內心和外心。

⑦通過探索平面圖形的鑲嵌，知道任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面，并能運用這幾種圖形進行簡單的鑲嵌設計。

（6）圓

①理解圓及其有關概念，了解弧、弦、圓心角的關系，探索并了解點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關系。

②探索圓的性質，了解圓周角與圓心角的關系、直徑所對圓周角的特征。

③了解三角形的內心和外心。

④了解切線的概念，探索切線與過切點的半徑之間的關系；能判定一條直線是否為圓的切線，會過圓上一點畫圓的切線。

⑤會計算弧長及扇形的面積，會計算圓錐的側面積和全面積。

（7）尺規作圖

①完成以下基本作圖：作一條線段等于已知線段，作一個角等于已知角，作角的平分線，作線段的垂直平分線。

②利用基本作圖作三角形：已知三邊作三角形；已知兩邊及其夾角作三角形；已知兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高作等腰三角形。

③探索如何過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓。

④了解尺規作圖的步驟，對于尺規作圖題，會寫已知、求作和作法（不要求證明）。

（8）視圖與投影

①會畫基本幾何體（直棱柱、圓柱、圓錐、球）的三視圖（主視圖、左視圖、俯視圖），會判斷簡單物體的三視圖，能根據三視圖描述基本幾何體或實物原型。

②了解直棱柱、圓錐的側面展開圖，能根據展開圖判斷和制作立體模型。

③了解基本幾何體與其三視圖、展開圖（球除外）之間的關系；通過典型實例，知道這種關系在現實生活中的應用（如物體的包裝）。

④觀察與現實生活有關的圖片(如照片、簡單的模型圖、平面圖、地圖等)，了解并欣賞一些有趣的圖形(如雪花曲線、莫比烏斯帶)。

⑤通過背景豐富的實例，知道物體的陰影是怎么形成的，并能根據光線的方向辨認實物的陰影（如在陽光或燈光下，觀察手的陰影或人的身影）。

⑥了解視點、視角及盲區的涵義，并能在簡單的平面圖和立體圖中表示。

⑦通過實例了解中心投影和平行投影。2．圖形與變換（1）圖形的軸對稱 ①通過具體實例認識軸對稱，探索它的基本性質，理解對應點所連的線段被對稱軸垂直平分的性質。

②能夠按要求作出簡單平面圖形經過一次或兩次軸對稱后的圖形；探索簡單圖形之間的軸對稱關系，并能指出對稱軸。

③探索基本圖形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓）的軸對稱性及其相關性質。

④欣賞現實生活中的軸對稱圖形，結合現實生活中典型實例了解并欣賞物體的鏡面對稱，能利用軸對稱進行圖案設計。

（2）圖形的平移

①通過具體實例認識平移，探索它的基本性質，理解對應點連線平行且相等的性質。②能按要求作出簡單平面圖形平移后的圖形。

③利用平移進行圖案設計，認識和欣賞平移在現實生活中的應用。

（3）圖形的旋轉

①通過具體實例認識旋轉，探索它的基本性質，理解對應點到旋轉中心的距離相等、對應點與旋轉中心連線所成的角彼此相等的性質。

②了解平行四邊形、圓是中心對稱圖形。

③能夠按要求作出簡單平面圖形旋轉后的圖形。

④欣賞旋轉在現實生活中的應用。⑤探索圖形之間的變換關系(軸對稱、平移、旋轉及其組合)。［參見例2和例3］ ⑥靈活運用軸對稱、平移和旋轉的組合進行圖案設計。（4）圖形的相似

①了解比例的基本性質，了解線段的比、成比例線段，通過建筑、藝術上的實例了解黃金分割。

②通過具體實例認識圖形的相似，探索相似圖形的性質，知道相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例，面積的比等于對應邊比的平方。

③了解兩個三角形相似的概念，探索兩個三角形相似的條件。

④了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮小。

⑤通過典型實例觀察和認識現實生活中物體的相似，利用圖形的相似解決一些實際問題（如利用相似測量旗桿的高度）。

⑥通過實例認識銳角三角函數（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函數值；會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，由已知三角函數值求它對應的銳角。

⑦運用三角函數解決與直角三角形有關的簡單實際問題。

3．圖形與坐標

（1）認識并能畫出平面直角坐標系；在給定的直角坐標系中，會根據坐標描出點的位置、由點的位置寫出它的坐標。［參見例4］

（2）能在方格紙上建立適當的直角坐標系，描述物體的位置。［參見例5］

（3）在同一直角坐標系中，感受圖形變換后點的坐標的變化。［參見例6］

（4）靈活運用不同的方式確定物體的位置。［參見例7］

4．圖形與證明

（1）了解證明的含義

①理解證明的必要性。

②通過具體的例子，了解定義、命題、定理的含義，會區分命題的條件(題設)和結論。③結合具體例子，了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，并知道原命題成立其逆命題不一定成立。

④通過具體的例子理解反例的作用，知道利用反例可以證明一個命題是錯誤的。⑤通過實例，體會反證法的含義。

⑥掌握用綜合法證明的格式，體會證明的過程要步步有據。

（2）掌握以下基本事實，作為證明的依據

①一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等。

②兩條直線被第三條直線所截，若同位角相等，那么這兩條直線平行。

③若兩個三角形的兩邊及其夾角(或兩角及其夾邊，或三邊)分別相等，則這兩個三角形全等。

④全等三角形的對應邊、對應角分別相等。

（3）利用（2）中的基本事實證明下列命題

①平行線的性質定理（內錯角相等、同旁內角互補）和判定定理（內錯角相等或同旁內角互補，則兩直線平行）。

②三角形的內角和定理及推論（三角形的外角等于不相鄰的兩內角的和，三角形的外角大于任何一個和它不相鄰的內角）。

③直角三角形全等的判定定理。

④角平分線性質定理及逆定理；

三角形的三條角平分線交于一點（內心）。⑤垂直平分線性質定理及逆定理； 三角形的三邊的垂直平分線交于一點（外心）。⑥三角形中位線定理。

⑦等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質和判定定理。

⑧平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性質和判定定理。

（4）通過對歐幾里得《原本》的介紹，感受幾何的演繹體系對數學發展和人類文明的價值。

《幾何原本》全書共分１３卷，有５條公設、５個公理，１１９個定義和４６５ 個命題，構成歷史上第一個數學公理體系。命題１。４７ 就是著名的“勾股定理”

（二）高中必選系列 2-2推理與證明具體目標

推理方法:（1）合情推理（歸納推理和類比推理）．

（2）演繹推理．

證明方法:直接證明與間接證明．數學歸納法．

（1）了解合情推理的含義，能進行簡單的歸納推理和類比推理，做出數學猜想，體會并認識合理推理在數學發現中的作用．

（2）了解演繹推理的含義，了解合情推理和演繹推理的聯系和差異．掌握演繹推理的“三段論”，能進行一些簡單的演繹推理．

（3）了解直接證明的兩種基本方法：綜合法和分析法。了解綜合法和分析法的思考過程和特點．能套用綜合法或分析法的思考過程，證明一些簡單的數學命題（證明步驟一般不超過五步）．

（4）了解反證法的思考過程和特點，能套用反證法的思考過程，證明一些簡單的數學命題（證明步驟一般不超過四步）．

（5）了解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題（不要求用數學歸納法證明不等式有關命題，以及平面圖形中的有關命題）．

二、課程標準內容與要求

幾何證明選講有助于培養學生的邏輯推理能力，在幾何證明的過程中，不僅是邏輯演繹的程序，它還包含著大量的觀察、探索、發現的創造性過程。本專題從復習相似圖形的性質入手，證明一些反映圓與直線關系的重要定理，并通過對圓錐曲線性質的進一步探索，提高學生空間想像能力、幾何直觀能力和運用綜合幾何方法解決問題的能力。

1.復習相似三角形的定義與性質，了解平行截割定理，證明直角三角形射影定理。

2.證明圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質定理。

3.證明相交弦定理、圓內接四邊形的性質定理與判定定理、切割線定理。

4.了解平行投影的含義，通過圓柱與平面的位置關系，體會平行投影；證明平面與圓柱面的截線是橢圓（特殊情形是圓）。

5.通過觀察平面截圓錐面的情境，體會下面定理：

定理在空間中，取直線l為軸，直線l'與l相交于O點，其夾角為α，l'圍繞l旋轉得到以O為頂點，l'為母線的圓錐面，任取平面π，若它與軸l交角為β（π與l平行，記住β＝0），則：

（1）β＞α，平面π與圓錐的交線為橢圓；

（2）β＝α，平面π與圓錐的交線為拋物線；

（3）β＜α，平面π與圓錐的交線為雙曲線。

6.利用Dandelin雙球（這兩個球位于圓錐的內部，一個位于平面π的上方，一個位于平面π的下方，并且與平面π及圓錐均相切）證明上述定理（1）情況。

7.試證明以下結果：①在6中，一個Dandelin球與圓錐面的交線為一個圓，并與圓錐的底面平行，記這個圓所在平面為π'；②如果平面π與平面π'的交線為m，在5（1）中橢圓上任取一點A，該Dandelin球與平面π的切點為F，則點A到點F的距離與點A到直線m的距離比是小于1的常數e。（稱點F為這個橢圓的焦點，直線m為橢圓的準線，常數e為離心率。）

8.探索定理中（3）的證明，體會當β無限接近α時平面π的極限結果。

三、教學建議

1、重視數學思維能力的培養

（1）一堂課能使學生有所領悟，就意味著有可能發展學生的數學空間。在本專題教學中要重視合情推理和演繹推理的啟發、應用和培養。

（2）培養學生的幾何直觀能力。簡單地講：幾何直觀能力就是發現輔助線的能力。

（3）以問題解決為特征的思維，是普遍存在的形式。對問題解決者來說，問題的解決過程總是創造性的。而重現和親歷發現的過程，是學習、研究數學的高招，也是我們從事數學的高招。

（4）重視直覺的培養和訓練，引用彭加勒的一個著名觀點，那就是：“邏輯用于證明，直覺用于發現。”

（5）注意辯證思維的引導。以研究圖形為主的幾何證明專題，在對圖形認識的時候應當引導學生還要建立背景的意識，當以一部分圖形為主要觀察對象時，其他部分就變成了背景，我們需要一道學生注意辯證地觀察、分析問題。

如：

已知：在三角形ABC中，由頂點B出發的高BD、角平分線BF和中線BE，分∠ABC為4 等分，求∠ABC的大小。

Ｂ

Ａ ＤＣ

在解本題時，有兩類刺激：一類是角；一類是線段。涉及到角的是：高、角的四等分線構成的角的大小等；涉及到線段的是：中線角平分線的性質等。學生在解題中，對這兩類刺激并不是均等地接受的。多數學生都因為角的信息量大而把角作為“圖形”，而把線當作背景。實際上，此處的“圖形”處于未分化的模糊狀態。不宜直接由此解證題目，那就需要將“圖形”與“背景”加以轉換加以求解。

2、對本專題的教學，都應力求深入淺出。在對內容與要求6、7的兩個命題證明過程中，蘊涵著豐富的數學思想方法，它們有助于學生體會空間想像能力和幾何直觀能力在解決問題中的作用，有助于提高學生綜合運用幾何知識解決問題的能力。教學時，教師應鼓勵學生獨立思考，主動嘗試、探索，必要時要給予適當的指導，并應鼓勵學生寫出課題報告，盡可能清晰地表達自己的思考過程與論證過程。

在條件允許的學校，教師可以利用現代計算機技術，動態地展現Dandelin兩球的方法，幫助學生利用幾何直觀進行思維。

３、考試內容：

相似三角形.、平行截割定理.、直角三角形射影定理.、圓周角定理.、圓的切線的判定定理及性質定理.、相交弦定理.、圓內接四邊形的性質定理與判定定理.、切割線定理.． ４、考試要求：

1． 理解相似三角形的定義與性質，了解平面截割定理．

掌握以下定理的證明：（1）直角三角形射影定理；（2）圓周角定理；（3）圓的切線判定定理與性質定理；（4）相交弦定理；（5）圓內接四邊形的性質定理與判定定理（6）切割線定理

第二篇：幾何證明選講高考題(新課標)

i

幾何證明選講高考題匯編

潢川一中高二數學組

1．(2009新課標全國卷)如圖，已知?ABC中的兩條角平分線AD和CE相交于H，?B=60?，F在AC上，且AE?AF。（I）證明：B,D,H,E四點共圓；（II）證明：CE平分?DEF。

2.(2010新課標全國卷)如圖，已知圓上的 弧AC和 弧BD長度相等，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點，證明：（I）∠ACE＝∠BCD；（II）BC

2＝BE×CD.－ 1 －

3.(2011新課標全國卷)如圖，D，E分別為?ABC的邊AB，AC上的點，且不與?ABC的頂點重合．已知AE的長為m，AC的長為n，AD，AB的長是關于x的方程x2

?14x?mn?0的兩個根．

（I）證明：C，B，D，E四點共圓（II）若?A?900，且m?4,n?6求C，B，D，E所在圓的半徑．

4.(2012新課標全國卷)如圖，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點，直線DE交△ABC的外接圓于F，G兩點，若CF//AB.證明：(Ⅰ)CD=BC；(Ⅱ)△BCD∽△GBD

G

F

－ 2 －

5.(2013新課標全國Ⅰ卷)已知如圖，直線AB為圓的切線，切點為B，點C在圓上，?ABC的角平分線BE交圓于點E，DB垂直BE交圓于點D。（Ⅰ）證明：DB?DC；

（Ⅱ）設圓的半徑為

1，BC，延長CE交AB于點F，求?BCF外接圓的半徑。

6.(2013新課標全國Ⅱ卷)如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點D，E，F分別為弦AB與弦AC上的點，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四點共圓．（Ⅰ）證明：CA是△ABC外接圓的直徑；

（Ⅱ）若DB＝BE＝EA，求過B，E，F，C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值．

－ 3 －

7.（2013遼寧高考）如圖，AB為圓O的直徑，直線CD與圓O相切于E, AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，連接AE,BE.證明：(?)?FEB??CEB;(??)EF2

?AD?BC.8.（2013江蘇高考）如圖,AB和BC分別與圓O相切于點D,C,AC經過圓心O,且BC=2OC.求證:AC=2AD.－ 4 －

幾何證明選講高考題匯編參考答案

1．解：（Ⅰ）在△ABC中，因為∠B=60°，所以∠BAC+∠BCA=120°.因為AD,CE是角平分線，所以∠HAC+∠HCA=60°，故∠AHC=120

于是∠EHD=∠AHC=120°.因為∠EBD+∠EHD=180°，所以B,D,H,E四點共圓。

（Ⅱ）連結BH，則BH為?ABC的平分線，得?HBD?30° 由（Ⅰ）知B，D，H，E四點共圓，所以?CED??HBD?30° 又?AHE??EBD?60°，由已知可得EF?AD，可得

?CEF?30°所以CE平分?DEF

2.解:（Ⅰ）因為弧AB,CD長度相等，所以?BCD??ABC.又因為EC與圓相切于點C，故?ACE??ABC

所以?ACE??BCD.……5分（Ⅱ）因為?ECB??CDB,?EBC??BCD, 所以?BDC∽?ECB,故

BCBE?CDBC

.即BC2

?BE?C.D3解:（I）連接DE，根據題意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC，即

ADAC?AE

AB

.又∠DAE=∠CAB，從而△ADE∽△ACB因此∠ADE=∠ACB所以C，B，D，E四點共圓。（Ⅱ）m=4，n=6時，方程x2-14x+mn=0的兩根為x1=2，x2=12.故AD=2，AB=12.取CE的中點G，DB的中點F，分別過G，F作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點，連接DH.因為C，B，D，E四點共圓，所以C，B，D，E四點所在圓的圓心為H，半徑為DH.由于∠A=900，故GH∥AB，HF∥AC.HF=AG=5，DF=

2(12-2)=5.故C，B，D，E四點所在圓的半徑為52

－ 5 －

4．解

5.解:(1)證明：連結DE，交BC于點G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因為DB⊥BE，所以DE為直徑，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂線，所以BG＝

.設DE的中點為O，連結BO，則∠BOG＝60°.從而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圓的半徑等于32

.6.解：(1)因為CD為△ABC外接圓的切線，所以∠DCB＝∠A.由題設知

BCFA?DC

EA，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因為B，E，F，C四點共圓，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圓的直徑．(2)連結CE，因為∠CBE＝90°，所以過B，E，F，C四點的圓的直徑為CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故過B，E，F，C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為12

.－ 6 －

7解(?)由直線CD與圓O相切于E,得?EAB??CEB 由AB為圓O的直徑，得AE?EB，從而?EAB??EBF??

又EF垂直AB于F，得?FEB??EBF?

?，從而?FEB??CEB

(??)由BC垂直CD于C，得BC?CE

又EF垂直AB于F?EF?AB，?FEB??CEB，BE為公共邊，所以Rt?BCE≌Rt?BFE，所以BC?BF

同理可證，Rt?ADE≌Rt?AFE，所以AD?AF

又在Rt△AEB中, EF?AB,所以EF2

?AF?BF.綜上，EF2

?AD?BC.8證明：連結OD.因為AB和BC分別與圓O相切于點D,C, 所以∠ADO=∠ACB=90°.又因為∠A=∠A,所以Rt△ADO∽Rt△ACB.所以

BCOD?AC

AD,又BC=2OC=2OD, 故AC=2AD.幾何證明選講----知識點總結

1、平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。推理1：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊。

推理2：經過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分另一腰。平分線分線段成比例定理

2、平分線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例。

3、相似三角形的判定：

定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。相似三角形對應邊的比值叫做相似比（或相似系數）。

－ 7 －

由于從定義出發判斷兩個三角形是否相似，需考慮6個元素，即三組對應角是否分別相等，三組對應邊是否分別成比

例，顯然比較麻煩。所以我們曾經給出過如下幾個判定兩個三角形：

4、相似的簡單方法：

（1）兩角對應相等，兩三角形相似；

（2）兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似；（3）三邊對應成比例，兩三角形相似。

5、預備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與三角形相似。

6、判定定理1：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三

角形相似。簡述為：兩角對應相等，兩三角形相似。

7、判定定理2：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似。

8、判定定理3：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個

三角形相似。簡述為：三邊對應成比例，兩三角形相似。

9、引理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

10、定理：（1）如果兩個直角三角形有一個銳角對應相等，那么它們相似；（2）如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應成比例，那么它們相似。

11、定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似。

12、相似三角形的性質：

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（1）相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應平分線的比都等于相似比；（2）相似三角形周長的比等于相似比；（3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方。

22、相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。

23、割線定理：從園外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。

24、切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。

25、切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

13、直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項。

14、圓周定理

圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓周角的一半。圓心角定理：圓心角的度數等于它所對弧的度數。

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。

推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。圓內接四邊形的性質與判定定理

16、定理1：圓的內接四邊形的對角互補。

17、定理2：圓內接四邊形的外角等于它的內角的對角。

18、圓內接四邊形判定定理：如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓。

推論：如果四邊形的一個外角等于它的內角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓。圓的切線的性質及判定定理。

19、切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑。推論1：經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點。推論2：經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心。

20、切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。弦切角的性質

21、弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。與圓有關的比例線段

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－ －

第三篇：選修4-1幾何證明選講練習題

幾何證明選講專項練習

1.(2008梅州一模文)如圖所示，在四邊形ABCD中，EF//BC，FG//AD，則

EFBC+FG

AD

= 2.(2008廣州一模文、理)在平行四邊形ABCD中，點E在邊AB上，且AE：EB=1：2，DE與AC交于 點F，若△AEF的面積為6cm

2，則△ABC的面積為 B cm2．

3.(2007廣州一模文、理)如圖所示，圓O上

一點C在直徑AB上的射影為D，CD=4，BD=8，則圓O的半徑等于．

4.(2007深圳二模文)如圖所示，從圓O

作圓O的割線PAB、PCD，AB是圓O若PA=4，PC=5，CD=

3，則∠CBD=__

5.(2008廣東文、理)已知PA是圓OPA=2.AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點則圓O的半徑R=_______.6.(2007廣東文、理)如圖所示，圓OAB=6，C圓周上一點，BC=3，過C過A作l的垂線AD，AD分別與直線lD、E，則∠DAC＝，線段AE的長為

7.(2008韶關一模理)如圖所示，PC切⊙O于 點C，割線PAB經過圓心O，弦CD⊥AB于

點E，PC=4，PB=8，則CD=________.8.(2008深圳調研文)如圖所示，從圓O外一點A 引圓的切線AD和割線ABC，已知AD=，AC=6，圓O的半徑為3，則圓心O到AC的距 離為________.9.(2008東莞調研文、理)如圖所示,圓O上一點C在直徑AB上的射影為D，CD=4，則圓O的半徑等于．

10.(2008韶關調研理)如圖所示，圓O是

△ABC的外接圓，過點C的切線交AB的延長線于點D，CD=AB=BC=3.則BD的長______，AC的長_______．11.(2007韶關二模理)如圖，⊙O′和

⊙O相交于A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q和M，交AB的延長線于N，MN=3，NQ=15，則 PN＝______．

12.(2008廣州二模文、理)如圖所示, 圓的內接

△ABC的∠C的平分線CD延長后交圓于點E，連接BE，已知BD=3，CE=7，BC=5，則線段.N 13.（2007湛江一模文）如圖，四邊形ABCD內接

于⊙O，BC是直徑，MN切⊙O于A，∠MAB=250，則∠D=___.14.(2007湛江一模理)如圖，在△ABC中，D 是AC的中點，E是BD的中點，AE交BC

D

于F，則

BFFC=

15.(2008惠州一模理)如圖：EB、EC是⊙O的兩 條切線，B、C是切點，A、D是⊙O上兩點，如果∠E＝460，∠DCF＝320，則∠A的度數是.16.(2008汕頭一模理)如圖，AB是圓O直線CE和圓O相切于點C，AD⊥CE于D，若AD=1，∠ABC=300，則圓O的面積是______.17.(2008佛山一模理)如圖，AB、CD是圓O的兩條弦，且AB是線段CD的中垂線，已知AB=6，CD=25，則線段AC的長度為． C

18.已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，E是AB的中點，EF交BD于G，交AC于H.若

AD=5，BC=7，則GH=________.19.如圖，圓O上一點C在直徑AB上的射影為D.C

AD=2，AC= 25，則AB=____ B

20.如圖，PA是圓的切線，A為切點，PBC是圓的割線，且PB=1PA

2BC，則PB的值是________.21.如圖，⊙O的割線PAB交⊙O于A、B兩點，割線 PCD經過圓心O，PE是⊙O的切線。已知PA=6，AB=7，PO=12，則PE=____⊙O的半徑是_______.22.已知一個圓的弦切角等于50°，那么這個弦切角 所夾的弧所對的圓心角的度數為_______.23.如圖，AB是直徑，點D在AB的延長線上，BD=OB，若CD切⊙O于C點，則∠CAB的度數

為，∠DCB的度數為，∠ECA的度數為___.24.如圖，AB，AC是⊙O的兩條切線，切點分別為 B、B、D是優弧BC

?上的 點，已知∠BAC=800，那么∠BDC =______.25.如圖，AB是⊙ O的弦，AD是⊙ O的切線，C為 AB

?上任一點，∠ACB=1080，那么∠BAD =______.26.如圖，PA，PB切⊙ O于 A，B兩點，AC⊥PB，且與⊙ O相交于 D，若∠DBC=220，則∠APB==________.27.如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延 長線上，BD=OB，CD與⊙O切于C，那么 ∠CAB==________.28.已知：一個圓的弦切角是50°，那么這個弦 切角所夾的弧所對的圓心角的度數為_________.29.已知：如圖，CD是⊙O的直徑，AE切 ⊙O于點B，DC的延長線交AB于點A，∠A =200，則∠DBE=________.30.如圖，△ABC中，∠C=900，⊙O切 AB于D，切BC于E，切AC于F，則∠EDF=________.31.如圖，AB是⊙ O的直徑，C，D是

⊙ O上的點，∠BAC=200，?AD

?DC?，DE是⊙ O的切線，則∠EDC的度數是____.32.如圖，AB是⊙ O的直徑，PB，PC 分別切⊙ O于 B，C，若 ∠ACE=380，則∠P=_________．

33.如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半 圓上的兩點，半圓O的切線PC交AB的延 長線于點P，∠PCB＝25°，則∠ADC為 A.105°B.115°C.120°D.125°

34.如圖，AB是⊙O的直徑，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD=2，AB=6，則AC的長為 A.2B.3

C.D.4

35.如圖，直線 BC切⊙ 0于點 A，則圖中的弦切角共有

A.1個B.2個C.3個D.4個

36.如圖，AB是⊙ O的直徑，AC，BC是

⊙ O的弦，PC是⊙ O的切線，切點為 C，∠BAC=350，那么∠ACP等于

A.350B.550C.650D.1250

37.如圖，在⊙ O中，AB是弦，AC是⊙ O 的切線，A是切點，過 B作BD⊥AC于D，BD交⊙ O于 E點，若 AE平分∠BAD，則 ∠BAD=

A.300B.450C.050D.600

38.如圖，⊙O與⊙O′交于 A，B，⊙O的弦

AC與⊙O′相切于點 A，⊙O′的弦AD與⊙O 相切于A點，則下列結論中正確的是

A.∠1＞∠2B.∠1=∠2C.∠1＜∠2D.無法確定

39.如圖，E是⊙O內接四邊形 ABCD兩條對角線的交點，CD延長線與過 A點的⊙ O的切線交于

F點，若∠ABD=440，∠AED=1000，?AD?AB?，則∠AFC的度數為

C

F

A.780B.920C.560D.1450

第四篇：《選修2-1,幾何證明選講》習題

東方英文書院2011——2012學年高二數學測試卷（文科）

——《選修2-1，幾何證明選講》

以下公式或數據供參考

n

??y?bx?;b??⒈a?xy?nx?yii

i?

1?x

i?1n2i?nx2．

2、參考公式

3、K?

2n(ad?bc)2

(a?

b)(c

?d)(a?c)(b?d)n=a+b+c+d

一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）

1．在復平面內，復數i(i?1)對應的點在（）

A．第一象限

B．第二象限 C

．第三象限 D．第四象限

2．下面4個散點圖中，適合用線性回歸模型擬合其中兩個變量的是（）

Ａ．①②Ｂ．①③

Ｃ．②③

Ｄ．③④

3?）

Ａ．2?

2Ｂ．2?

2Ｃ．2?2Ｄ．2?(2

4．已知???11，則下列命題：①?2?；②?2?；③1????2?0；④?3?1．其中真命題的個數?2是（）

A．1B．2C．3D．

45．否定結論“至多有兩個解”的說法中，正確的是（）

Ａ．有一個解Ｂ．有兩個解

Ｃ．至少有三個解Ｄ．至少有兩個解

6．利用獨立性檢驗來考察兩個變量X和Y是否有關系時，通過查閱下表來確定斷言“X與Y有關系”的可信程度．如果??5.024，那么就有把握認為“X與Y有關系”的百分比為（）2

A．B．C．D．

7．復平面上矩形ABCD的四個頂點中，A，B，C所對應的復數分別是2?3i，3?2i，?2?3i，則D點對應的復數是（）

A．?2?3iB．?3?2iC．2?3iD．3?

2i 8．下列推理正確的是（）

Ａ．如果不買彩票，那么就不能中獎；因為你買了彩票，所以你一定中獎 Ｂ．因為a?b，a?c，所以a?b?a?c Ｃ．若a，b?R?，則lga?lgb≥Ｄ．若a?R?，ab?0，則

ab??a?b???????≤???2 baa??b9．如圖，某人撥通了電話，準備手機充值須進行如下操作：

按照這個流程圖，操作步驟是（）

Ａ．1?5?1?1Ｂ．1?5?1?5Ｃ．1?5?2?110．若復數z滿足z?3?4i?4，則z的最小值是（）A．

1B．2

C．

3D．4

Ｄ．?5?2?3

二、填空題（每小題5分，共20分）(15選做題，若兩題都做，則以第（1）題為準)

11．如右圖所示的程序框圖中，當輸入的a值為0和4時，輸出的值相等，則當輸入的a值為3時，則輸出的值為．

2根據以上數據，得?2的值是，可以判斷種子經過處理跟生病之間關（填“有”或“無”）． 13．用三段論證明f(x)?x3?sinx(x?R)為奇函數的步驟是． 14．若z1?5，z2?3?4i且z1?z2是純虛數，則z1? 15.（選作題：，請在下面兩題中選作一題）

（1）.如圖，在?ABC中，DE//BC，EF//CD，若BC?3,DE?2,DF?1，則AB的長為___________．

（2）如圖，已知⊙O的割線PAB交⊙O于A，B兩點，割線PCD經過圓心，若PA=3，AB=4，PO=5，則⊙O的半徑為_____________.第1題圖

三、解答題（共80分．解答題應寫出推理、演算步驟）16．已知z1?1?3i，z2?6?8i，若

17.在各項為正的數列?an?中，數列的前n項和Sn滿足Sn?

1??，求z的值． zz1z

21?1??? a?n??2?an?

（1）求a1,a2,a3；（2）由（1）猜想數列?an?的通項公式；（3）求Sn

?BNA?45?，18、如圖，點B在⊙O上，M為直徑AC上一點，BM的延長線交⊙O于N，若⊙O的半徑為，求MN的長為

B

M

ACO

19．(本小題16分)假設一個人從出生到死亡，在每個生日都測量身高，并作出這些數據散點圖，則這些點將不會落在一條直線上，但在一段時間內的增長數據有時可以用線性回歸來分析．下表是一位母親給兒子的成長記錄：

（1）作出這些數據的散點圖；（2）求出這些數據的回歸方程．

20．已知關于x的方程：x2?(6?i)x?9?ai?0（a?R）有實數根b．（1）求實數a，b的值；

（2）若復數z滿足z?a?bi?2z?0，求z為何值時，z有最小值，并求出z的最小值．

東方英文書院2011——2012學年高二數學測試卷（文科）

——《選修2-1，幾何證明選講》答案

一、選擇題

二、填空題：

11． 3120.164無13．14． 4?3i或?4?3i 15.1

3三、解答題：

16.解：由z1?1?3i，得

111?3i13????i． z11?3i(1?3i)(1?3i)1010

又由z2?6?8i，得

116?8i34????i． z26?8i(6?8i)(6?8i)5050

那么

111?31??43?1112?11i，??????????i???i??

zz2z1?5010??5010?25550

4225050(2?11i)

???i． ??

552?11i(2?11i)(2?11i)

得z??

19.解：（1）數據的散點圖如下：

（2）用y表示身高，x表示年齡，則數據的回歸方程為?y?6.317x?71.984．

20.解：（1）b是方程x2?(6?i)x?9?ai?0(a?R)的實根，?(b2?6b?9)?(a?b)i?0，?b2?6b?9?0故?，a?b?

解得a?b?3；

（2）設z?x?yi(x，y?R)由z?3?3i?2z，得(x?3)2?(y?3)2?4(x2?y2)，即(x?1)2?(y?1)2?8，?Z點的軌跡是以O1(?11)，為圓心，如圖，當Z點為直線OO1與?O1的交點時，z有最大值或最小值．

?

OO1?r?

? 當z?1?

i時，z?min

第五篇：幾何證明選講

幾何證明選講

2007年：

15．（幾何證明選講選做題）如圖4所示，圓O的直徑AB?6，C為圓周上一點，BC?3，過C作圓的切線l，過A作l的 垂線AD，垂足為D，則?DAC?

A

2008年：

15．（幾何證明選講選做題）已知PA是圓O的切線，切點為A，PA=2．AC是圓O的直徑，PC與圓O交于B點，PB=1，則圓O的半徑R=

圖

4l

2009年：

15.(幾何證明選講選做題)如下圖，點A、B、C是圓O上的點，且AB=4，?ACB?30，則圓O的面積等于

o

2010年：

14．（幾何證明選講選做題）如上圖3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=

a，點E，F分別為線段AB，AD的中點，則EF=2

2011年：

15．（幾何證明選講選做題）如圖，在梯形ABCD中，AB//CAD,B?4,C?D2,分別為E,F，上的點，且ADBC，?

3EF，EFAB

則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為

A

2012年：

15．（幾何證明選講選做題）如圖3，直線PB與圓O相切與點B，D是弦AC上的點，?PBA??DBA，若AD?m,AC?n，則AB

圖3

2013年：

15．（幾何證明選講選做題）如圖3，在矩形ABCD

中，AB?BC?3，BE?AC，垂足為E，則ED?

圖3