第一篇：幾何證明選講專題

幾何證明選講

幾何證明選講專題

一、基礎知識填空：

1.平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段_________.推論1: 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必______________.推論2: 經過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線________________.2.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的________________成比例.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段___________.3.相似三角形的性質定理：相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于______；相似三角形周長的比、外接圓的直徑比、外接圓的周長比都等于_______________； 相似三角形面積的比、外接圓的面積比都等于____________________；

4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是______________________的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上_______與_________的比例中項.5.圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的____________的一半.圓心角定理：圓心角的度數等于_______________的度數.推論1：同弧或等弧所對的圓周角_________；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧_______.o推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是____；90的圓周角所對的弦是________.弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的______________.6.圓內接四邊形的性質定理與判定定理：

圓的內接四邊形的對角______；圓內接四邊形的外角等于它的內角的_____.如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點______；如果四邊形的一個外角等于它的內角的對角，那么這個四邊形的四個頂點_________.7.切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的__________.推論：經過圓心且垂直于切線的直線必經過_______；經過切點且垂直于切線的直線必經過______.切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的________.8.相交弦定理:圓內兩條相交弦，_____________________的積相等.割線定理:從圓外一點引圓的兩條割線，_____________的兩條線段長的積相等.切割線定理:從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是__________的比例中項.切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長____；

圓心和這點的連線平分_____的夾角.二、經典試題：

1.(梅州一模文)如圖所示，在四邊形ABCD中，EFFG+=． EF//BC，FG//AD，則D BCAD

C

2.(廣州一模文、理)在平行四邊形ABCD中，點E在邊AB上，且AE：EB=1：2，DE與AC交于

點F，若△AEF的面積為6cm2，則△ABC的面積為

B cm2．

3.(廣州一模文、理)如圖所示，圓O上

一點C在直徑AB上的射影為D，CD=4，BD=8，則圓O的半徑等于．

4.(深圳二模文)如圖所示，從圓O外一點P 作圓O的割線PAB、PCD，AB是圓O的直徑，若PA=4，PC=5，CD=3，則∠CBD=__ 第1頁

5.(廣東文、理)已知PA是圓O的切線，切點為A，PA=2.AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點B，PB=1，則圓O的半徑R=_______.6.(廣東文、理)如圖所示，圓O的直徑

AB=6，C圓周上一點，BC=3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于點 D、E，則∠DAC＝，線段AE的長為

三、基礎訓練： 1.(韶關一模理)

如圖所示，PC切⊙O于

點C，割線

PAB經過圓心O，弦CD⊥AB于 點E，PC=4，PB=8，則CD=________.2.(深圳調研文)如圖所示，從圓O外一點A 引圓的切線AD和割線ABC，已知AD=

AC=6，圓O的半徑為3，則圓心O到AC的距 離為________.3.(東莞調研文、理)如圖所示,圓O上一

點C

在直徑AB上的射影為D，CD=4，則圓O的半徑等于．

4.(韶關調研理)如圖所示，圓O是

△ABC的外接圓，過點C的切線交AB的延長線于點D，CD=AB=BC=3.則BD的長______，AC的長_______．5.(韶關二模理)如圖，⊙O′和

⊙O相交于A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q和M，交AB的延長線于N，MN=3，NQ=15，則 PN＝______．

6.(廣州二模文、理)如圖所示, 圓的內接

△ABC的∠C的平分線CD延長后交圓于點E，連接BE，已知BD=3，CE=7，BC=5，則線段.N7.（湛江一模文）如圖，四邊形ABCD內接

于⊙O，BC是直徑，MN切⊙O于A，∠MAB=25則∠D=___.8.(湛江一模理)如圖，在△ABC中，D 是AC的中點，E是BD的中點，AE交BC

BF=于F，則

FC

第2頁

9.(惠州一模理)如圖：EB、EC是⊙O的兩

條切線，B、C是切點，A、D是⊙O上兩點，如果∠E＝460，∠DCF＝320，則∠A的度數是.10.(汕頭一模理)如圖，AB是圓O的直徑，直線CE和圓O相切于點C，AD⊥CE于D，若AD=1，∠ABC=300，則圓O的面積是______.11.(佛山一模理)如圖，AB、CD是圓O的兩條弦，C

且AB是線段CD的中垂線，已知AB=6，CD=25，則線段AC的長度為．

12.已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，E是AB的中點，EF交BD于G，交AC于H.若 AD=5，BC=7，則GH=________.13.如圖，圓O上一點C在直徑AB上的射影為D.C

AD=2，AC= 25，則AB=____

14.如圖，PA是圓的切線，A為切點，PBC是圓的 割線，且PB=

B

1PABC，則的值是________.2PB

15.如圖，⊙O的割線PAB交⊙O于A、B兩點，割線

PCD經過圓心O，PE是⊙O的切線。已知PA=6，AB=7，PO=12，則PE=____O的半徑是_______.3答 案

二、經典試題：

1.1 ；2.72；3.5 ；4.30o；5.；6.30°，3.三、基礎訓練：

243

.5.3..3.5.4.4，522116..7.115o.8..9.99O.10.4?.25

11..12.1.13.10，4.14..15.4, 8.1.第3頁

第二篇：幾何證明選講

幾何證明選講

2007年：

15．（幾何證明選講選做題）如圖4所示，圓O的直徑AB?6，C為圓周上一點，BC?3，過C作圓的切線l，過A作l的 垂線AD，垂足為D，則?DAC?

A

2008年：

15．（幾何證明選講選做題）已知PA是圓O的切線，切點為A，PA=2．AC是圓O的直徑，PC與圓O交于B點，PB=1，則圓O的半徑R=

圖

4l

2009年：

15.(幾何證明選講選做題)如下圖，點A、B、C是圓O上的點，且AB=4，?ACB?30，則圓O的面積等于

o

2010年：

14．（幾何證明選講選做題）如上圖3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=

a，點E，F分別為線段AB，AD的中點，則EF=2

2011年：

15．（幾何證明選講選做題）如圖，在梯形ABCD中，AB//CAD,B?4,C?D2,分別為E,F，上的點，且ADBC，?

3EF，EFAB

則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為

A

2012年：

15．（幾何證明選講選做題）如圖3，直線PB與圓O相切與點B，D是弦AC上的點，?PBA??DBA，若AD?m,AC?n，則AB

圖3

2013年：

15．（幾何證明選講選做題）如圖3，在矩形ABCD

中，AB?BC?3，BE?AC，垂足為E，則ED?

圖3

第三篇：幾何證明選講專題)

幾何證明選講專題1.了解平行線截割定理，會證直角三角形射影定理.2.會證圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質定理.3.會證相交弦定理、圓內接四邊形的性質定理與判定定理、切割線定理.一、基礎知識填空：

1.平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段 推論1: 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必______________.推論2: 經過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線________________.2.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的________________成比例.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段___________.3.相似三角形的性質定理：相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于______；相似三角形周長的比、外接圓的直徑比、外接圓的周長比都等于_________________； 相似三角形面積的比、外接圓的面積比都等于____________________；

4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是______________________的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上_______與_________的比例中項.5.圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的____________的一半.圓心角定理：圓心角的度數等于_______________的度數.推論1：同弧或等弧所對的圓周角_________；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧_______.推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是____；90o的圓周角所對的弦是________.弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的______________.6.圓內接四邊形的性質定理與判定定理：

圓的內接四邊形的對角______；圓內接四邊形的外角等于它的內角的_____.如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點______；如果四邊形的一個外角等于它的內角的對角，那么這個四邊形的四個頂點_________.7.切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的__________.推論：經過圓心且垂直于切線的直線必經過_______；經過切點且垂直于切線的直線必經過______.切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的________.8.相交弦定理:圓內兩條相交弦，_____________________的積相等.割線定理:從圓外一點引圓的兩條割線，_____________的兩條線段長的積相等.切割線定理:從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是__________的比例中項.切線長定理:從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長____；圓心和這點的連線平分_____的夾角.二、經典試題：

1.(梅州一模文)如圖所示，在四邊形ABCD中，EF//BC，FG//AD，則

EFBC+FG

AD

= D

2.(廣州一模文、理)在平行四邊形ABCD中，點E在邊AB上，且AE：EB=1：2，DE與AC交于

點F，若△AEF的面積為6cm2，則△ABC的面積為

2． B

第1頁

3.(廣州一模文、理)如圖所示，圓O上

一點C在直徑AB上的射影為D，CD=4，BD=8，則圓O的半徑等于．

4.(深圳二模文)如圖所示，從圓O外一點P 作圓O的割線PAB、PCD，AB是圓O的直徑，若PA=4，PC=5，CD=3，則∠CBD=__

5.(廣東文、理)已知PA是圓O的切線，切點為A，PA=2.AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點B，PB=1，則圓O的半徑R=_______.6.(廣東文、理)

如圖所示，圓O的直徑

AB=6，C圓周上一點，BC=3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線

AD，AD分別與直線l、圓交于點 D、E，則∠DAC＝，線段AE的長為

三、基礎訓練：

1.(韶關一模理)如圖所示，PC切⊙O于

點C，割線PAB經過圓心O，弦CD⊥AB于

點E，PC=4，PB=8，則CD=________.2.(深圳調研文)如圖所示，從圓O外一點A

引圓的切線AD和割線ABC，已知AD=，AC=6，圓O的半徑為3，則圓心O到AC的距 離為________.3.(東莞調研文、理)如圖所示,圓O上一

點C在直徑AB上的射影為D，CD=4，則圓O的半徑等于．

4.(韶關調研理)如圖所示，圓O是

△ABC的外接圓，過點C的切線交AB的延長線于點D，CD=AB=BC=3.則BD的長______，AC的長_______．

5.(韶關二模理)如圖，⊙O′和

⊙O相交于A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q和M，交AB的延長線于N，MN=3，NQ=15，則 PN＝______．

6.(廣州二模文、理)如圖所示, 圓的內接

△ABC的∠C的平分線CD延長后交圓于點E，連接BE，已知BD=3，CE=7，BC=5，則線段

N 7.（湛江一模文）如圖，四邊形ABCD內接

于⊙O，BC是直徑，MN切⊙O于A，∠MAB=250，則∠D=___.8.(湛江一模理)如圖，在△ABC中，D 是AC的中點，E是BD的中點，AE交BC

D

于F，則

BFFC=.9.(惠州一模理)如圖：EB、EC是⊙O的兩 條切線，B、C是切點，A、D是⊙O上兩點，如果∠E＝460，∠DCF＝320，則∠A的度數是.C

10.(汕頭一模理)如圖，AB是圓O的直徑，直線CE和圓O相切于點C，AD⊥CE于D，若AD=1，∠ABC=300，則圓O的面積是______.11.(佛山一模理)如圖，AB、CD是圓O的兩條弦，且AB是線段CD的中垂線，已知AB=6，CD=2，則線段AC的長度為． C

12.已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，E是AB的中點，EF交BD于G，交AC于H.若

AD=5，BC=7，則GH=________.BC

13.如圖，圓O上一點C在直徑AB上的射影為D.AD=2，AC= 2，則AB=______,CD=_____.14.如圖，PA是圓的切線，A為切點，PBC是圓的第2頁

割線，且PB=12BC，則PA

PB的值是________.15.如圖，⊙O的割線PAB交⊙O于A、B兩點，割線

PCD經過圓心O，PE是⊙O的切線。已知PA=6，AB=7，PO=12，則PE=____⊙O

3的半徑是_______.答 案

二、經典試題：

1.1 ；2.72；3.5 ；4.30o；5.；6.30°，3.三、基礎訓練：

1.245.3.5.4.4，2.5.3.6.21

5.7.115o.8.12.9.99O.10.4?.11.30.12.1.13.10，4.14.3.15.4, 8.1.如圖4所示,圓O的直徑AB=6,C為圓周上一點,BC=3過C作 圓的切線l,過A作l的垂線AD,垂足為D,則∠DAC =()A.15?B.30?C.45?D.60?

2.在Rt?ABC中,CD、CE分別是斜邊AB上的高和中線,是該圖中共有x個三角形與?ABC相似,則x?()A.0B.1C.2 D.33.一個圓的兩弦相交,一條弦被分為12cm和18cm兩段,另一弦被分為3:8,則另一弦的長為()A.11cmB.33cmC.66cmD.99cm

4.如圖,在?ABC和?DBE中,ABDB?BCBE?ACDE?53,若?ABC與

?DBE的周長之差為10cm,則?ABC的周長為()A.20cmB.254cmC.50

cm D.25cm

E 第4題圖 5.O的割線PAB交O于A,B兩點,割線PCD經過圓心,已知

PA?6,PO?12,AB?2

2,則O的半徑為()

A.4B

.6C.612.如圖,用與底面成30?角的平面截圓柱得一橢圓截線, D.8

6.如圖,AB是半圓O的直徑,點C在半圓上,CD?AB于點D, 且AD?3DB,設?COD??,則tan2?

＝()

A.13

B.1C.4?D.3

7.在?ABC中,D,E分別為AB,AC上的點,且DE//BC,?ADE的面積是2cm2,梯形

DBCE的面積為6

cm,則DE:BC的值為()

A.B.1:2C.1:3D.1:

48.半徑分別為1和2的兩圓外切,作半徑為3的圓與這兩圓均相切,一共可作()個.A.2B.3C.4D.5 9.如圖甲,四邊形ABCD是等腰梯形,AB//CD.由4個這樣的 等腰梯形可以拼出圖乙所示的平行四邊形, 則四邊形ABCD中?A度數為()

第9題圖

A.30?B.45?C.60?D.75?

10.如圖,為測量金屬材料的硬度,用一定壓力

把一個高強度鋼珠壓向該種材料的表面,在材料表面 留下一個凹坑,現測得凹坑直徑為10mm,若所 用鋼珠的直徑為26 mm,則凹坑深度為()

A.1mmB.2 mmC.3mmD.4 mm

第10題圖

11.如圖,設P,Q為?ABC內的兩點,且AP?2AB?1

5AC,AQ＝

23AB＋1

AC,則

?ABP的面積與?ABQ的面積之比為()

1A.5B.45C.11

4D.3

第11題圖

第3頁

則該橢圓的離心率為()A．1

B

2．3C．2

D．非上述結論 第12題圖

13.一平面截球面產生的截面形狀是_______;它截圓柱面所產生的截面形狀是

________

14.如圖,在△ABC中,AB＝AC,∠C＝720,⊙O過A、B兩點且與BC相切于點B,與AC

O ?

D

交于點D,連結BD,若BC＝5?1,則AC＝B

C

第 15.如圖,14 題圖

AB為O的直徑,弦AC、BD交于點P,若AB?3,CD?1,則sin?APD=16.如圖為一物體的軸截面圖,則圖中R的值是

第15題圖

第16題圖

17.如圖:EB,EC是O的兩條切線,B,C是切點,A,D是

O上兩點,如果?E?46?,?

DCF?32?,試求?A的度數.18.如圖,⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P,E為⊙O

上一點,AE?AC,DE交AB于點F,且AB?2BP?4,求PF的長度.E

A FB O

C

D

P

第18題圖

第17題圖 19.已知:如右圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB＝DC,過點D作AC的平行線DE,交BA的延長線于點E．

求證：(1)△ABC≌△DCB(2)DE·DC＝AE·BD．

20.如圖,△ABC中,AB=AC,AD是中線,P為AD上一點,CF∥AB，BP延長線交AC、CF于E、F,求證: PB2=PE?PF．

E

C

第19題圖

第20題圖

21.如圖,A是以BC為直徑的O上一點,AD?BC于點D,過點B作圓O的切線,與CA的延長線相交于點E，G 是AD的中點,連結CG并延長與BE相交于 點F,延長AF與CB的延長線相交于點P.C

(1)求證:BF?EF；(2)求證:PA是O(3)若FG?BF,且O的半徑長為求BD第21題圖

第4頁

22.如圖1,點C將線段AB分成兩．

部分,如果ACAB?BC

AC,那么稱點C為線段AB的黃金分割點.某研究小組在進行課題學習時，由黃金分割點聯想到“黃金分割

線”，類似地給出“黃金分割線”的定義:直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分,這兩部分的面積分別為SS11,S2,如果S?S2

S,那么稱直線l為該圖形的黃1

金分割線.(1)研究小組猜想：在△ABC中，若點D為AB邊上的黃金分割點(如圖2),則直線CD是△ABC的黃金分割線．你認為對嗎?為什么?

(2)請你說明:三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？

(3)研究小組在進一步探究中發現：過點C任作一條直線交AB于點E,再過點D作直線DF∥CE,交AC于點F,連接EF(如圖3),則直線EF也是△ABC的黃金分割線．請你說明理由．(4)如圖4，點E是ABCD的邊AB的黃金分割點，過點E作EF∥AD，交DC于點F，顯然直線EF是ABCD的黃金分割線.請你畫一條ABCD的黃金分割線,使它不經過ABCD各邊黃金分割點.第22題圖

第四篇：幾何證明選講習題

幾何證明選講

已知正方形ABCD，E、F分別為BC、AB邊上的點，且BE=BF，BH⊥CF于H，連結DH.求證：DH⊥EH.已知AD⊥BC于D，AE:ED=CD:BD,DF⊥BE于F，求證：AF⊥CF.已知正方形ABCD，E為對角線AC上一點，AE=3CE，F為AB邊中點，求證：DE⊥EF.F

B

如圖1，在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，?BAC??AGF?90，它們的斜邊長為2，若△ABC固定不動，△AFG繞點

?

A旋轉，AF，AG與邊BC的交點分別為D，E（點D不與點B重合，點E不與點C重合），設BE?m，CD?n．

（1）請在圖中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對進行證明；（2）求m與n的函數關系式，直接寫出自變量n的取值范圍；

（3）以△ABC的斜邊BC所在直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系（如圖2）．在邊BC上找一點D，使BD?CE，求出D點的坐標，并通過計算

驗證BD?CE?DE．

（4）在旋轉過程中，（3）中的等量關系BD?CE?DE是否始終成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

A

C G

2F 圖

1圖2

如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF． 解答下列問題：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90o．

①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關系為，數量關系為．

F

E

A

E

C

B

圖乙

FEC

B圖甲

圖丙

②當點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結論是否仍然成立，為什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90o，點D在線段BC上運動．

試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點C、F重合除外）？畫出相應圖形，并說明理由．（畫圖不寫作法）

（3）若AC

＝BC=3，在（2）的條件下，設正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點P，求線段CP長的最大值．

已知：如圖①所示，在△ABC和△ADE中，AB?AC，AD?AE，?BAC??DAE，且點B，A，D在一條直線上，連接BE，CD，M，N分別為BE，CD的中點．（1）求證：①BE?CD；②△AMN是等腰三角形．

（2）在圖①的基礎上，將△ADE繞點A按順時針方向旋轉180，其他條件不變，得到圖②所示的圖形．請直接寫出（1）中的兩個結論是否仍然成立；

△PBD∽△AMN．（3）在（2）的條件下，請你在圖②中延長ED交線段BC于點P．求證：

C

B

D

B

E

圖② A

?

如圖，已知：Rt△ABC中，?C?90?，AC?BC?2，將一塊三角尺的直角頂點與斜邊

A 圖①

AB的中點M重合，當三角尺繞著點M旋轉時，兩直角邊始終保持分別與邊BC，AC交于D，E兩點（D，E不與B，A重合）．（1）求證：MD?ME；

（2）求四邊形MDCE的面積；

（3）若只將原題目中的“AC?BC?2”改為“BC?a，AC?b(a?b)”其它都不變，請你探究：MD和ME還相等嗎?如果相等，請證明；如果不相等，請求出MD:ME的值．B

D

M

C

E

A

第五篇：幾何證明選講練習題

選修4-1幾何證明選講綜合練習題

1.如圖,⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P,E為⊙O上一點,AE＝AC ,DE交AB于點F,且AB?2BP?4,（1）求PF的長度.（2）若圓F且與圓O內切，直線PT與圓F切于點T，求線段PT的長度。解：（1）連結OC,OD,OE,由同弧對應的圓周角與圓心角之間的關系 結合題中條件弧長AE等于弧長AC可得?CDE??AOC, 又?CDE??P??PFD,?AOC??P??OCP, 從而?PFD??OCP,故?PFD∽?PCO,E A F B 證明：（Ⅰ）?AB為切線，AE為割線, ?AB2?AD?AE又 ?AB?AC?(2)由（1）有?

AD?AE?AC2--------------5分

?ADC~?ACE

ADAC

?又??EAC??DAC?ACAE

?ADC??ACE 又??ADC??EGF ??EGF??ACE ?GF//AC

PFPD?,…………4? PCPO

PC?PD1

2??3.…………6? 由割線定理知PC?PD?PA?PB?12,故PF?

E PO

4（2）若圓F與圓O內切，設圓F的半徑為r，因為OF?2?r?1即r?

1A

所以OB是圓F的直徑，且過P點圓F的切線為PT

2F B

5．如圖，⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點，過點A作⊙O1的切線交⊙O2于點C，過點B作兩圓的割線，分別交⊙O1、⊙O2于點D、E，DE與AC相交于點P，（I）求證：AD∥EC；

（Ⅱ）若AD是⊙O2的切線，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的長。22.解：（Ⅰ）連接AB，?AC是⊙O1的切線，??BAC??D，又??BAC??E，??D??E?AD//EC……………4分（Ⅱ）?PA是⊙O1的切線，PD是⊙O1的割線，?PA2?PB?PD,則PT

?PB?PO?2?4?8，即PT?…………10?

2.三角形ABC內接于圓O，P在BC的延長線上，PA切圓O于A，D為AB的中點，PD交AC于E,AE?3EC,求

PA

.PC

?62?PB?(PB?9)?PB?3又⊙O2中由相交弦定理，得PA?PC?BP?PE ?PE?4?AD是⊙O2的切線，DE是⊙O2的割線，?AD2?DB?DE?9?16，?AD?12.………………10分

6．如圖，已知⊙O和⊙M相交于A,B兩點，AD為⊙M的直徑，直線BD交⊙O于點C，點G為弧BD中點，連結AG分別交⊙O,BD于點E,F，連結CE，PA2PA2PB?PCPB

解析：由PA?PC?PB,?()?，??

PCPCPC2PC2

過C作CH//AB，交PD于H，因為BD?AD，PBBDADAEPA

????3，故?3 所以有

PCCHCHECPC

GFEF2

?（Ⅰ）求證：AG?EF?CE?GD；（Ⅱ）求證：。AGCE2

證明：（I）連結AB，AC，∵AD為?M的直徑，∴?ABD?90，3．(本小題滿分12分)選修4－1：幾何證明選講如圖，已知點C在圓O直徑BE的延長線上，CA切圓O于A點，DC是?ACB的平分線并交AE于點F，交AB于D點，求?ADF的大小。

解：如圖，連接AO，因為AC是圓O的切線，則?OAC?900，因DC是?ACB的平分線，又OA?OB，設?ACD??ECD??1,?ABO??BAO??2，在?ABC中，∴AC為?O的直徑，∴?CEF??AGD?90?．…………2分 ∵?DFG??CFE，∴?ECF??GDF，∵G為弧BD中點，∴?DAG??GDF．…………4分 ∵?ECB??BAG，∴?DAG??ECF，∴?CEF∽?AGD．…………5分

∴

CEAG

?，∴AG?EF?CE?GD．…………6分 EFGD

（II）由（I）知?DAG??GDF，?G??G，2?2?2?1?900?1800??1??2?450，而在?ADC中，?ADF??1??2?90，故?ADF?45° …………10分

∴?DFG∽?AGD，∴DG2?AG?GF．………8分

EF2GD2GFEF2

由（I）知，∴．………10分 ??222

CEAGAGCE

4.如圖，AB是⊙O的一條切線，切點為B，ADE,CFD,CGE

都是⊙O的割線，已知AC?AB，（Ⅰ）證明：AD?AE?AC；（Ⅱ）證明：FG//AC。

7．如圖，在?ABC中，?ABC?900，以BC為直徑的圓O交AC于點D，設E為AB的中點。（1）求證：直線DE為圓O的切線；（2）設CE交圓

O于點F，求證：CD?CA?CF?CE。

O，過點A的直線交⊙O于點P，交BC的延長線于10．(本小題滿分10分)如圖，?ABC內接于⊙

點D，且AB2?AP?AD。（1）求證：AB?AC；

O的半徑為1，（2）如果?ABC?600，⊙

且P為弧AC的中點，求AD的長。

8．在?ABC中，AB?AC，過點A的直線與其外接圓交于點P，交BC延長線于點D。

PCPD

（1）求證：；（2）若AC?3，求AP?AD的值。?

ACBD

解：（1）??CPD??ABC,?D??D，??DPC～?DBA，11．如右上圖，?ABC是直角三角形，?ABC?900，以AB為直徑的圓O交AC于點E，點D是BC

邊的中點，連OD交圓O于點M，（Ⅰ）求證：O,B,D,E四點共圓；（Ⅱ）求證：2DE2?DM?AC?DM?AB。

D

PCPDPCPD

又?AB?AC,?（5分）???

ABBDACBD

（2）??ACD??APC,?CAP??CAP,??APC～?ACD APAC，?AC2?AP?AD?9………（10分）??

ACAD

9．(本小題滿分12分)已知C點在⊙O直徑BE的延長線上，CA切⊙O于A點，CD是?ACB的平分線且交AE于點F，交AB于點D。（1）求?ADF的度數；（2）若AB?AC，求

AC的值。

BC

12．如圖，?ABC的外角?EAC的平分線AD交BC的延長線于點D，延長DA交?ABC的外接圓于點F，連結FB,FC。

（1）求證：FB2?FA?FD；

（2）若AB是?ABC外接圓的直徑，且?EAC?120?,BC?6，求線段AD的長。

可以得知△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．

BFEFBFCFEFCF

∴BF?EF．∵G是AD的中點，∴DG?AG．∴?∴??．．

DGAGDGCGAGCG

（Ⅱ）連結AO，AB．∵BC是?O的直徑，∴?BAC?90°．

在Rt△BAE中，由（Ⅰ）得知F是斜邊BE的中點，∴AF?FB?EF．

∴?FBA??FAB．又∵OA?OB，∴?ABO??BAO．∵BE是?O的切線，∴?EBO?90°．∵?EBO??FBA??ABO??FAB??BAO??FAO?90°，∴PA是?O的切線．

15．如圖，⊙O是?ABC的外接圓，D是弧AC的中點，BD交AC于E。（I）求證：CD2?DE?DB。（II）若CD?O到AC的距離為1，求⊙O的半徑。

AB?1，圓O的2

割線MDC交圓O于點D,C，過點M作AM的垂線交直線AD,AC分別于點E,F，證明：（Ⅰ）?MED??MCF；（Ⅱ）ME?MF?3。

13．如圖：AB是圓O的直徑（O為圓心），M是AB延長線上的一點，且MB?證明：（Ⅰ）連接BC得?ACB?90，所以?ACB??BMF?90，∴B,C,F,M四點共圓，∴?CBA??CFM，又∵?CBA??CDA??EDM ∴?EDM??CFM，在?EDM與?CFM中可知?MED??MCF。6分（Ⅱ）由?MED??MCF，得E,F,C,D四點共圓，∴ME?MF?MD?MC，又∵MD?MC?MB?MA?3，∴ME?MF?3。┈┈┈┈┈10分

A

F

??

C

D

E

16．如圖所示，已知PA與?O相切，A為切點，PBC為割線，D為?O上的點，且AD=AC，AD，M

O

14.如圖, 點A是以線段BC為直徑的圓O上一點,AD?BC于點D,BC相交于點E。（Ⅰ）求證：AP//CD；（Ⅱ）設F為CE上的一點，且?EDF??P，求證：CE?EB?FE?

EP.過點B作圓O的切線,與CA的延長線相交于點E, 點G是AD的中點,連結CG并延長與BE相交于點F, 延長AF與CB的延長線相交于點P.（Ⅰ）求證:BF?EF；

（Ⅱ）求證:PA是圓O的切線；

證明：（Ⅰ）∵BC是?O的直徑，BE是?O的切線，∴EB?BC．又∵AD?BC，∴AD∥BE．