第一篇：-新課標(biāo)人教A版選修4-5不等式選講教學(xué)指導(dǎo)
２００６年４月８日
在全省高中數(shù)學(xué)選修模塊教學(xué)研討會上對選修系列4教學(xué)指導(dǎo)研討的發(fā)言
吳公強(qiáng)
按照我省及寧夏回族自治區(qū)高中數(shù)學(xué)選修４專題系列選課方案，及０７年高考說明的要求，我省統(tǒng)一選學(xué)４－１幾何證明選講 ４－２矩陣與變換 ４－４坐標(biāo)系與參數(shù)方程 ４－５不等式選講 四門課程，以下我代表中心組就這四門課程的定位、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)法及復(fù)習(xí)迎考建議，借這個(gè)機(jī)會分專題同同志們一起進(jìn)行研討．
關(guān)于選修4-5專題：不等式選講的教學(xué)研究
一、學(xué)習(xí)本課程已有的相關(guān)知識準(zhǔn)備
（一）初中課標(biāo)要求：不等式與不等式組
①能夠根據(jù)具體問題中的大小關(guān)系了解不等式的意義，并探索不等式的基本性質(zhì)。②會解簡單的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集。會解由兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組，并會用數(shù)軸確定解集。
③能夠根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式和一元一次不等式組，解決簡單的問題。
（一）初中課標(biāo)要求：不等式與不等式組
（二）高中必修
5不等式（約16課時(shí)）
（1）不等關(guān)系
通過具體情境，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實(shí)際背景。
（2）一元二次不等式
①經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程。
②通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系。
③會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，嘗試設(shè)計(jì)求解的程序框圖。
（3）二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題
①從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組。
②了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組
③從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決
（4）基本不等式：ab?a?ba，b?0??2。
①探索并了解基本不等式的證明過程。
②會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題（參見例4）。
二、課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容與要求
在自然界中存在著大量的不等量關(guān)系和等量關(guān)系，不等關(guān)系和相等關(guān)系是基本的數(shù)學(xué)關(guān)系。它們在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)應(yīng)用中起著重要的作用。
本專題將介紹一些重要的不等式和它們的證明、數(shù)學(xué)歸納法和它的簡單應(yīng)用。本專題特別強(qiáng)調(diào)不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深學(xué)生對這些不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，提
高學(xué)生的邏輯思維能力和分析解決問題的能力。
1.回顧和復(fù)習(xí)不等式的基本性質(zhì)和基本不等式。
2.理解絕對值的幾何意義，并能利用絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式：
（1）a?b?a?b；
（2）a?b?a?c?c?b；
（3）會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：
ax?b?c；
ax?b?c；
x?c?x?b?a。
3.認(rèn)識柯西不等式的幾種不同形式。理解它們的幾何意義。
（1）證明：柯西不等式向量形式：??·?。
2a（2）證明：?
（3）證明： 2?b2c2?d2??ac?bd????。
x1?x2?2??y1?y2?
2??x2?x3?2??y2?y3?2 ?x1?x3?2??y1?y3?2
（通常稱作平面三角不等式）。
4.用參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情況：
?n?22ab?ab??ii??i·?i?i?1?。i?1i?
15.用向量遞歸方法討論排序不等式。
6.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題。
7.會用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式：
n1?x?1?nx（x??1，x?0，n為大于1的正整數(shù)）??。nn2
了解當(dāng)n為大于1的實(shí)數(shù)時(shí)貝努利不等式也成立。
8.會用上述不等式證明一些簡單問題。能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值。
9.通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法。
三、教學(xué)建議
1.在本專題教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生了解重要的不等式都有深刻的數(shù)學(xué)意義和背景，例如本專題給出的不等式大都有明確的幾何背景。學(xué)生在學(xué)習(xí)中應(yīng)該把握這些幾何背景，理解這些不等式的實(shí)質(zhì)。
2.利用代數(shù)恒等變換以及放大、縮小方法是證明不等式的常用方法，例如，比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等，在很多情況下需要一些前人為我們創(chuàng)造的技巧，對于專門從事某些數(shù)學(xué)領(lǐng)域研究的人們掌握這些技巧是極為重要的。但是，對大多數(shù)學(xué)習(xí)不等式的人來說，常常很難從這些復(fù)雜的代數(shù)恒等變換中看到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，對他們更為重要的是理解這些不等式的數(shù)學(xué)思想和背景。所以，本專題盡力使用幾何或其他方法來證明這些不等式，使學(xué)生較為容易地理解這些不等式以及證明的數(shù)學(xué)思想，不對恒等變換的難度特別是一些技巧做更多的要求，不希望不等式的教學(xué)陷在過于形式化的和復(fù)雜的恒等變換的技巧之中。要求教材的編寫者和教師不要選擇那些代數(shù)恒等變換比較復(fù)雜或過于技巧化的問題或習(xí)題。
3.數(shù)學(xué)歸納法是重要的數(shù)學(xué)思想方法，教師應(yīng)通過對一些簡單問題的分析，幫助學(xué)生掌握這種思想方法。在利用數(shù)學(xué)歸納法解決問題時(shí)，常常需要進(jìn)行一些代數(shù)恒等變換。要求教材的編寫者和教師不要選擇那些代數(shù)恒等變換比較復(fù)雜或過于技巧化的問題或習(xí)題，以免沖淡了對數(shù)學(xué)歸納法思想的理解。
4.完成一個(gè)學(xué)習(xí)總結(jié)報(bào)告。報(bào)告應(yīng)包括三方面的內(nèi)容：（1）知識的總結(jié)。對本專題介紹的不等式中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)背景進(jìn)行總結(jié)。（2）拓展。通過查閱資料、調(diào)查研究、訪問求教、獨(dú)立思考，進(jìn)一步探討不等式的應(yīng)用。（3）對不等式學(xué)習(xí)的感受、體會。
5、考試內(nèi)容：
絕對值不等式．
不等式的基本證明方法：比較法、綜合法、分析法．
6、考試要求：（１）理解絕對值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號的條件：
a?b?a?b?a,b?R?；a?b?a?c?c?b?a,b?R?．
（２）會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式．
ax?b?c
ax?b?c
x?c?x?b?a
（３）能夠利用平均值不等式求一些特定函數(shù)的極值，會用比較法、綜合法，分析法證明簡單的不等式．
四、參考例題
１、設(shè)0?x?2,求函數(shù)f(x),并求出相應(yīng)的x的值。
２、已知x>1 , y>1 且xy?10, 求 lg x lg y的最大值。
4．
第二篇：人教數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)選修不等式選講簡介
人教數(shù)學(xué)（A版）培訓(xùn)手冊之三十九──“不等式選講”簡介
人教A版普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（選修4-5）《不等式選講》是根據(jù)教育部制訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》(以下簡稱課程標(biāo)準(zhǔn))的選修4系列第5專題“不等式選講”的要求編寫的。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，本專題介紹一些重要的不等式和它們的證明、數(shù)學(xué)歸納法和它的簡單應(yīng)用
一、內(nèi)容與要求1．回顧和復(fù)習(xí)不等式的基本性質(zhì)和基本不等式。
2．理解絕對值的幾何意義，并能利用絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式：（1）∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣；（2）∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣；（3）會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；∣x－c∣＋∣x－b∣≥a。3．認(rèn)識柯西不等式的幾種不同形式。理解它們的幾何意義。（1）證明柯西不等式的向量形式：|α||β|≥|α·β|。（2）證明：（a+b）(c+d)≥(ac+bd)。（3）證
明：
≥。4．用22222參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情況：5．用向量遞歸方法討論排序不等式。6．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題。7．會用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式：(1＋x)＞1＋nx（x＞-1,n為正整數(shù)）。了解當(dāng)n為實(shí)數(shù)時(shí)貝努利不等式也成立。
8．會用上述不等式證明一些簡單問題。能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值。9．通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法。
二、內(nèi)容安排 本專題內(nèi)容分成四講，結(jié)構(gòu)如下圖所n
示：
本專題的內(nèi)容是在初中階段掌握了不等式的基本概念，學(xué)會了一元一次不等式、一元一次不等式組的解法，多數(shù)學(xué)生在學(xué)習(xí)高中必修課五個(gè)模塊的基礎(chǔ)上展開的．作為一個(gè)選修專題，教科書在內(nèi)容的呈現(xiàn)上保持了相對的完整性．第一講是“不等式和絕對值不等式”，它是本專題的最基本內(nèi)容，也是其余三講的基礎(chǔ)．
本講的第一部分類比等式的基本性質(zhì)，從“數(shù)與運(yùn)算”的基本思想出發(fā)討論不等式的基本性質(zhì)，這是關(guān)于不等式在運(yùn)算方面的一些最基本法則．接著討論基本不等式，介紹了基本不等式的一個(gè)幾何解釋：“直角三角形斜邊上的中線不小于斜邊上的高”，并把基本不等式推廣到三個(gè)正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式．對于一般形式的均值不等式，則只作簡單介紹，不給出證明．在此基礎(chǔ)上，介紹了它們在解決實(shí)際問題中的一些應(yīng)用，如最基本的等周問題，簡單的極值問題等。第二部分討論了有關(guān)絕對值不等式的性質(zhì)及絕對值不等式的解法．絕對值是與實(shí)數(shù)有關(guān)的一個(gè)基本而重要的概念，討論關(guān)于絕對值的不等式具有重要的意義．
絕對值三角不等式是一個(gè)基本的結(jié)論，教科書首先引導(dǎo)學(xué)生借助于實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的表示和絕對值的幾何意義，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)的運(yùn)算角度探究歸納出絕對值三角不等式，接著聯(lián)系向量形式的三角不等式，得到絕對值三角不等式的幾何解釋，最后用代數(shù)方法給出證明．這樣，數(shù)形結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生多角度認(rèn)識這個(gè)不等式，逐步深化對它的理解．利用絕對值三角不等式可以解決形如的函數(shù)的極值問題，教科書安排了一個(gè)這樣的實(shí)際問題
對于解含有絕對值的不等式，教科書只討論了兩種特殊類型不等式的解法，而不是系統(tǒng)地對這個(gè)問題進(jìn)行研究。教科書引導(dǎo)學(xué)生探討了形如解法，以及形如或或的不等式的的不等式的解法．學(xué)生通過這兩類含有絕對值的不等式能夠基本學(xué)到解含有絕對值的不等式的一般思想和方法。第二講是“證明不等式的基本方法”．對于不等式的深入討論必須首先掌握一些基本的方法，所以本講內(nèi)容也是本專題的一個(gè)基礎(chǔ)內(nèi)容。本講通過一些比較簡單的問題，介紹了證明不等式的幾種常用而基本的方法：比較法、綜合法、分析法、反證法和放縮法． 比較法是證明不等式的最基本的方法，比較法可以分為兩種，一種是相減比較法，它的依據(jù)是：
另一種是相除比較法，是把不等式兩邊相除，轉(zhuǎn)化為比較所得商式與1的大小關(guān)系，它的依據(jù)是：當(dāng)b＞0
時(shí)，在比較法的兩種方法中，相減比較法又是最基本而重要的一種方法。在證明不等式的過程中，根據(jù)對于不等式的條件和結(jié)論不同探索方向作分類，證明方法又可以分為分析法和綜合法。在證明不等式時(shí)，可以從已知條件出發(fā)逐步推出結(jié)論的方法是綜合法；尋找結(jié)論成立的充分條件，從而證明不等式的方法就是分析法．證明不等式的方法還可以分為直接證法和間接證法，反證法是一種間接證法．它從不等式結(jié)論的反面出發(fā)，即假設(shè)要證明的結(jié)論不成立，經(jīng)過正確的推理，得出矛盾結(jié)果，從而說明假設(shè)錯(cuò)誤，而要證的原不等式結(jié)論成立
在證明不等式的過程中，有時(shí)通過對不等式的某些部分作適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小達(dá)到證明的目的，這就是所謂的放縮法． 教科書對以上方法都結(jié)合實(shí)例加以介紹。本講內(nèi)容對進(jìn)一步
討論不等式提供了思想方法的基礎(chǔ)． 本講的教學(xué)內(nèi)容中，用反證法和放縮法證明不等式是新的課程標(biāo)準(zhǔn)才引入到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的內(nèi)容。第三講是“柯西不等式和排序不等式”．本講介紹兩個(gè)基本的不等式：柯西不等式和排序不等式，以及它們的簡單應(yīng)用． 柯西不等式是基本而重要的不等式，是推證其他許多不等式的基礎(chǔ)，有著廣泛的應(yīng)用．教科書首先介紹二維形式的柯西不等式，再從向量的角度來認(rèn)識柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介紹一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在證明不等式和求某些特殊類型的函數(shù)極值中的應(yīng)用。在介紹了二維形式的柯西不等式的基礎(chǔ)上，教科書引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式以及三角形的邊長關(guān)系，從幾何意義上發(fā)現(xiàn)二維形式的三角不等式。接著借助二維形式的柯西不等式證明了三角不等式。在一般形式的柯西不等式的基礎(chǔ)上，教科書安排了一個(gè)探究欄目，讓學(xué)生通過探究得出一般形式的三角不等式。排序不等式也
是基本而重要的不等式，一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式
．有些重要不等式則可以借助排序不等式得到簡捷的證明。教科書在討論排
序不等式時(shí)，展示了一個(gè)“探究——猜想——證明——應(yīng)用”的研究過程，目的是引導(dǎo)學(xué)生通過自己的數(shù)學(xué)活動，初步認(rèn)識排序不等式的數(shù)學(xué)意義、證明方法和簡單應(yīng)用。
柯西不等式、三角不等式和排序不等式也是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)正式引入到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中。第四講是“數(shù)學(xué)歸納法證明不等式”．本講介紹了數(shù)學(xué)歸納法及其在證明不等式中的應(yīng)用．對于某些不等式，必須借助于數(shù)學(xué)歸納法證明，所以在不等式選講的專題中安排這個(gè)內(nèi)容是很有必要的。教科書首先結(jié)合具體例子，提出尋找一種用有限步驟處理無限多個(gè)對象的方法的問題．然后，類比多米諾骨牌游戲，引入用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的方法，并分析了數(shù)學(xué)歸納法的基本結(jié)構(gòu)和用它證明命題時(shí)應(yīng)注意的問題（兩個(gè)步驟缺一不可）．接著舉例說明數(shù)學(xué)歸納法在證明不等式中的應(yīng)用，特別地，證明了貝努利不等式。本專題的教學(xué)重點(diǎn)：不等式基本性質(zhì)、基本不等式及其應(yīng)用、絕對值不等式的解法及其應(yīng)用；用比較法、分析法、綜合法證明不等式；柯西不等式、排序不等式及其應(yīng)用； 教學(xué)難點(diǎn)：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式及其應(yīng)用、絕對值不等式解法；用反證法，放縮法證明不等式；運(yùn)用柯西不等式和排序不等式證明不等式；
本專題教學(xué)約需18課時(shí)，具體分配如下（僅供參考）第一講 不等式和絕對值不等式
一、不等式約３課時(shí)
二、絕對值不等式約２課時(shí)第二講 證明不等式的基本方法
一、比較法約1課時(shí)
二、綜合法與分析法約2課時(shí)
三、反證法與放縮法約1課時(shí)
第三講 柯西不等式與排序不等式一、二維形式的柯西不等式約1課時(shí)二、一般形式的柯西不等式約1課時(shí)
三、排序不等式約2課時(shí)
第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
一、數(shù)學(xué)歸納法約2課時(shí)
二、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式約2課時(shí)
學(xué)習(xí)總結(jié)報(bào)告約1課時(shí)
三、編寫中考慮的幾個(gè)問題
根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，本專題應(yīng)該強(qiáng)調(diào)不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深學(xué)生對這些不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，提高學(xué)生的邏輯思維能力和分析解決問題的能力，我們在教科書的編寫中努力去實(shí)現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的思想。
(一)重視展現(xiàn)不等式的幾何背景，力求讓學(xué)生對重要不等式有直觀理解
數(shù)量關(guān)系和空間形式是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)重要方面，不等式則是從數(shù)量關(guān)系的角度來刻畫現(xiàn)實(shí)世界的。我們一般借助于代數(shù)方法證明不等式。代數(shù)證明要經(jīng)過一系列的變形，人們常常不能很直接地看出其中的數(shù)量關(guān)系。而借助于幾何的方法，把不等式中的有關(guān)量適當(dāng)?shù)赜脠D形中的幾何量表示出來，則往往能很好地指明不等關(guān)系，使學(xué)生從幾何背景的角度，直觀地，從而也是直接地理解不等式。本專題中的重要不等式都有明顯的幾何背景，教科書注意呈現(xiàn)不等式的幾何背景，幫助學(xué)生理解不等式的幾何本質(zhì)。如對于是借助于面積關(guān)系，絕對值三角不等式是借助于向量和三角形中的邊長關(guān)系，柯西不等式是借助于向量運(yùn)算，排序不等式是借助于三角形的面積。這樣，逐漸引導(dǎo)學(xué)生在面對一個(gè)數(shù)學(xué)問題時(shí)能從幾何角度去思考問題，找到解決問題的途徑
(二)重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)
數(shù)學(xué)思想是對于數(shù)學(xué)知識（數(shù)學(xué)中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理、方法等）的理性的、本質(zhì)的、高度抽象和概括的認(rèn)識，帶有普遍的指導(dǎo)意義，蘊(yùn)涵于運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的過程之中。數(shù)學(xué)方法是研究或解決數(shù)學(xué)問題并使之達(dá)到目的的手段、方式、途徑或程序。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，有利于學(xué)生加深對于具體數(shù)學(xué)知識的理解和掌握。本專題的內(nèi)容包涵了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如應(yīng)用重要不等式解決實(shí)際問題中體現(xiàn)出來的優(yōu)化思想，在重要不等式的呈現(xiàn)過程中的數(shù)形結(jié)合思想，在解不等式中體現(xiàn)的轉(zhuǎn)化的思想，函數(shù)思想，以及證明不等式的比較法、綜合與分析法、放縮法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法，在證明柯西不等式中的配方法等，對于這些數(shù)學(xué)思想和方法，教科書都及時(shí)作歸納和總結(jié)，使學(xué)生能夠結(jié)合具體的問題加以理解和體會。
(三)重視引導(dǎo)學(xué)習(xí)方式和教學(xué)方式的改進(jìn)
在目前的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐仍存在一些問題，就學(xué)生的學(xué)習(xí)而言，比較突出的就是被動的接受式的學(xué)習(xí)，教師偏重于灌輸式的教學(xué)，啟發(fā)式的教學(xué)原則做得不夠。學(xué)生的問題意識不強(qiáng)，發(fā)現(xiàn)問題的能力不強(qiáng)，獨(dú)立地解決問題的能力也不強(qiáng)。針對這種情況，教科書重視引導(dǎo)學(xué)生提出問題，教科書設(shè)置了許多探究欄目，鼓勵學(xué)生主動探究，引導(dǎo)學(xué)生通過類比提出問題及其解決方法，對于數(shù)學(xué)結(jié)論進(jìn)行特殊化、作推廣。例如，在講述了基本不等式以后，教科書就提出了一個(gè)思考問題：“對于三個(gè)正數(shù)會有怎樣的不等式成立呢？”在證明了關(guān)于三個(gè)正數(shù)的均值不等式以后，又直接給出了一般的均值不等式；在證明了二維和三維的柯西不等式以后，就設(shè)置了一個(gè)探究性問題“對比二維形式三維形式的柯西不等式，你能猜想一般形式的柯西不等式嗎？”；再如“一般形式的三角不等式應(yīng)該是怎樣的？如何應(yīng)用一般形式的柯西不等式證明它？請同學(xué)自己探究。”等等，這樣的探究性問題在教科書中處處可見。
(四)注意發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識
重要不等式在許多實(shí)際問題中可以得到應(yīng)用，在實(shí)際工作中常常能起到節(jié)約能源，降低成本，提高效率，加快速度等作用。在本專題中，教科書注意體現(xiàn)數(shù)學(xué)在實(shí)際工作中的廣泛應(yīng)用，編寫了一些體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的例、習(xí)題。如經(jīng)典的等周問題、盒子體積問題、施工隊(duì)臨時(shí)生活區(qū)選點(diǎn)問題、關(guān)于面積和體積的最值問題。通過這些簡單的應(yīng)用問題，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)在實(shí)踐中的作用。
四、對教學(xué)的幾個(gè)建議
(一)注意把握教學(xué)要求
無論是不等式還是數(shù)學(xué)歸納法，都已經(jīng)發(fā)展成為內(nèi)容非常豐富的初等數(shù)學(xué)分支，也出版了一些專門的論著，老師們對于這些內(nèi)容一般都有豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，很容易把這些內(nèi)容作一
些拓展和補(bǔ)充。所以，在這個(gè)專題的教學(xué)中，要特別注意把握好教學(xué)要求，不要隨意提高教學(xué)要求，而應(yīng)該按照數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求來控制教學(xué)的深廣度。課程標(biāo)準(zhǔn)對于本專題的幾個(gè)教學(xué)內(nèi)容都明確的教學(xué)要求，如：對于解含有絕對值的不等式，只要求能解幾種特殊類型的不等式，不要求學(xué)生會解各種類型的含有絕對值的不等式。對于數(shù)學(xué)歸納法在證明不等式的要求也只要求會證明一些簡單問題。只要求通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法，會利用所學(xué)的不等式證明一些簡單不等式，等等。
另外，在不等式和數(shù)學(xué)歸納法的許多問題中，常常需要一些技巧性比較強(qiáng)的恒等變形，在本專題的教學(xué)中則要控制這方面的教學(xué)要求，不要使教學(xué)陷于過于形式化和復(fù)雜的恒等變形的技巧之中，教學(xué)中不要補(bǔ)充一些代數(shù)恒等變形過于復(fù)雜或過于技巧化的問題和習(xí)題，以免沖淡對于基本思想方法的理解，也不要引入一些過于專業(yè)和形式化、抽象化的數(shù)學(xué)符號語言，對于數(shù)學(xué)歸納法的理解，不必要求學(xué)生對于方法的理解水平提高到專業(yè)數(shù)學(xué)工作者才需要的數(shù)學(xué)理論高度，而只需要通過一些學(xué)生容易理解的數(shù)學(xué)問題中加深對于方法的理解和掌握。對于大多數(shù)的學(xué)生來說，要重視通過比較簡單的問題讓學(xué)生認(rèn)識、理解和掌握這部分的基本數(shù)學(xué)思想和方法。
當(dāng)然，對于部分確有余力的學(xué)生，仍可以適當(dāng)對于教學(xué)內(nèi)容作一些拓展，如可以介紹一般的均值不等式的證明及其應(yīng)用，以使學(xué)生對于這一重要不等式有一個(gè)比較完整的了解。
(二)要抓住教學(xué)重點(diǎn)
無論對于基本不等式、柯西不等式、排序不等式，還是解含有絕對值的不等式，不等式證明的方法，或數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)，都要抓住教學(xué)重點(diǎn)，抓住基本思想基本方法的教學(xué)，力求以簡馭繁。對于幾個(gè)重要不等式，最基本的是二元(二維)的情況，核心的思想也是在二元(二維)的不等式中得到直接的體現(xiàn)；對于不等式的證明的最基本的方法是比較法；解含有絕對值的不等式的最基本和有效的方法是分區(qū)間來加以討論，把含有絕對值的不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式；讓學(xué)生能對數(shù)學(xué)歸納法思想真正理解和掌握，就能使學(xué)生靈活地加以應(yīng)用。這樣，學(xué)生就能掌握本專題最基本也是最重要的知識。
第三篇：幾何證明選講教學(xué)指導(dǎo) 新課標(biāo) 選修4-1
幾何證明選講教學(xué)指導(dǎo)
在全省高中數(shù)學(xué)選修模塊教學(xué)研討會上對選修系列4教學(xué)指導(dǎo)研討的發(fā)言
吳公強(qiáng)
按照我省及寧夏回族自治區(qū)高中數(shù)學(xué)選修４專題系列選課方案，及０７年高考說明的要求，我省統(tǒng)一選學(xué)４－１幾何證明選講 ４－２矩陣與變換 ４－４坐標(biāo)系與參數(shù)方程 ４－５不等式選講 四門課程，以下我代表中心組就這四門課程的定位、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)法及復(fù)習(xí)迎考建議，借這個(gè)機(jī)會分專題同同志們一起進(jìn)行研討．
關(guān)于選修4-1專題：幾何證明選講的教學(xué)研究
一、學(xué)習(xí)本課程已有的相關(guān)知識準(zhǔn)備
（一）初中具體目標(biāo)
1．圖形的認(rèn)識
(1)點(diǎn)、線、面
通過豐富的實(shí)例，進(jìn)一步認(rèn)識點(diǎn)、線、面（如交通圖上用點(diǎn)表示城市，屏幕上的畫面是由點(diǎn)組成的）。
（2）角
①通過豐富的實(shí)例，進(jìn)一步認(rèn)識角。
②會比較角的大小，能估計(jì)一個(gè)角的大小，會計(jì)算角度的和與差，認(rèn)識度、分、秒，會進(jìn)行簡單換算。
③了解角平分線及其性質(zhì)【1】角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，角的內(nèi)部到兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。
（3）相交線與平行線 ①了解補(bǔ)角、余角、對頂角，知道等角的余角相等、等角的補(bǔ)角相等、對頂角相等。②了解垂線、垂線段等概念，了解垂線段最短的性質(zhì)，體會點(diǎn)到直線距離的意義。③知道過一點(diǎn)有且僅有一條直線垂直于已知直線，會用三角尺或量角器過一點(diǎn)畫一條直線的垂線。
④了解線段垂直平分線及其性質(zhì)【1】線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。
⑤知道兩直線平行同位角相等，進(jìn)一步探索平行線的性質(zhì)。
⑥知道過直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線平行于已知直線,會用三角尺和直尺過已知直線外一點(diǎn)畫這條直線的平行線。
⑦體會兩條平行線之間距離的意義，會度量兩條平行線之間的距離。
（4）三角形
①了解三角形有關(guān)概念（內(nèi)角、外角、中線、高、角平分線），會畫出任意三角形的角平分線、中線和高，了解三角形的穩(wěn)定性。
②探索并掌握三角形中位線的性質(zhì)。
③了解全等三角形的概念，探索并掌握兩個(gè)三角形全等的條件。
④了解等腰三角形的有關(guān)概念，探索并掌握等腰三角形的性質(zhì)【2】等腰三角形的兩底角相等，底邊上的高、中線及頂角平分線三線合一。和一個(gè)三角形是等腰三角形的條件【3】
[3]有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。；了解等邊三角形的概念并探索其性質(zhì)。
⑤了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)【4】直角三角形的兩銳角互余，斜邊上的中線等于斜邊一半。和一個(gè)三角形是直角三角形的條件【5】有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。
⑥體驗(yàn)勾股定理的探索過程，會運(yùn)用勾股定理解決簡單問題；會用勾股定理的逆定理判
定直角三角形。
（5）四邊形
①探索并了解多邊形的內(nèi)角和與外角和公式，了解正多邊形的概念。
②掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性質(zhì)，了解它們之間的關(guān)系；了解四邊形的不穩(wěn)定性。
③探索并掌握平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)【1】平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分。和四邊形是平行四邊形的條件【2】一組對邊平行且相等，或兩組對邊分別相等，或?qū)蔷€互相平分的四邊形是平行四邊形。
④探索并掌握矩形、菱形、正方形的有關(guān)性質(zhì)【3】矩形的四個(gè)角都是直角，對角線相等；菱形的四條邊相等，對角線互相垂直平分。和四邊形是矩形、菱形、正方形的條件【4】三個(gè)角是直角的四邊形，或?qū)蔷€相等的平行四邊形是矩形;四邊相等的四邊形，或?qū)蔷€互相垂直的平行四邊形是菱形。
⑤探索并了解等腰梯形的有關(guān)性質(zhì)【5】等腰梯形同一底上的兩底角相等，兩條對角線相等。和四邊形是等腰梯形的條件。【6】同一底上的兩底角相等的梯形是等腰梯形。
⑥探索并了解線段、矩形、平行四邊形、三角形的重心及物理意義（如一根均勻木棒、一塊均勻的矩形木重心）。
了解三角形的內(nèi)心和外心。
⑦通過探索平面圖形的鑲嵌，知道任意一個(gè)三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面，并能運(yùn)用這幾種圖形進(jìn)行簡單的鑲嵌設(shè)計(jì)。
（6）圓
①理解圓及其有關(guān)概念，了解弧、弦、圓心角的關(guān)系，探索并了解點(diǎn)與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系。
②探索圓的性質(zhì)，了解圓周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對圓周角的特征。
③了解三角形的內(nèi)心和外心。
④了解切線的概念，探索切線與過切點(diǎn)的半徑之間的關(guān)系；能判定一條直線是否為圓的切線，會過圓上一點(diǎn)畫圓的切線。
⑤會計(jì)算弧長及扇形的面積，會計(jì)算圓錐的側(cè)面積和全面積。
（7）尺規(guī)作圖
①完成以下基本作圖：作一條線段等于已知線段，作一個(gè)角等于已知角，作角的平分線，作線段的垂直平分線。
②利用基本作圖作三角形：已知三邊作三角形；已知兩邊及其夾角作三角形；已知兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高作等腰三角形。
③探索如何過一點(diǎn)、兩點(diǎn)和不在同一直線上的三點(diǎn)作圓。
④了解尺規(guī)作圖的步驟，對于尺規(guī)作圖題，會寫已知、求作和作法（不要求證明）。
（8）視圖與投影
①會畫基本幾何體（直棱柱、圓柱、圓錐、球）的三視圖（主視圖、左視圖、俯視圖），會判斷簡單物體的三視圖，能根據(jù)三視圖描述基本幾何體或?qū)嵨镌汀?/p>
②了解直棱柱、圓錐的側(cè)面展開圖，能根據(jù)展開圖判斷和制作立體模型。
③了解基本幾何體與其三視圖、展開圖（球除外）之間的關(guān)系；通過典型實(shí)例，知道這種關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用（如物體的包裝）。
④觀察與現(xiàn)實(shí)生活有關(guān)的圖片(如照片、簡單的模型圖、平面圖、地圖等)，了解并欣賞一些有趣的圖形(如雪花曲線、莫比烏斯帶)。
⑤通過背景豐富的實(shí)例，知道物體的陰影是怎么形成的，并能根據(jù)光線的方向辨認(rèn)實(shí)物的陰影（如在陽光或燈光下，觀察手的陰影或人的身影）。
⑥了解視點(diǎn)、視角及盲區(qū)的涵義，并能在簡單的平面圖和立體圖中表示。
⑦通過實(shí)例了解中心投影和平行投影。2．圖形與變換（1）圖形的軸對稱 ①通過具體實(shí)例認(rèn)識軸對稱，探索它的基本性質(zhì)，理解對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分的性質(zhì)。
②能夠按要求作出簡單平面圖形經(jīng)過一次或兩次軸對稱后的圖形；探索簡單圖形之間的軸對稱關(guān)系，并能指出對稱軸。
③探索基本圖形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓）的軸對稱性及其相關(guān)性質(zhì)。
④欣賞現(xiàn)實(shí)生活中的軸對稱圖形，結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活中典型實(shí)例了解并欣賞物體的鏡面對稱，能利用軸對稱進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。
（2）圖形的平移
①通過具體實(shí)例認(rèn)識平移，探索它的基本性質(zhì)，理解對應(yīng)點(diǎn)連線平行且相等的性質(zhì)。②能按要求作出簡單平面圖形平移后的圖形。
③利用平移進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)，認(rèn)識和欣賞平移在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。
（3）圖形的旋轉(zhuǎn)
①通過具體實(shí)例認(rèn)識旋轉(zhuǎn)，探索它的基本性質(zhì)，理解對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)。
②了解平行四邊形、圓是中心對稱圖形。
③能夠按要求作出簡單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形。
④欣賞旋轉(zhuǎn)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。⑤探索圖形之間的變換關(guān)系(軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合)。［參見例2和例3］ ⑥靈活運(yùn)用軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)的組合進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。（4）圖形的相似
①了解比例的基本性質(zhì)，了解線段的比、成比例線段，通過建筑、藝術(shù)上的實(shí)例了解黃金分割。
②通過具體實(shí)例認(rèn)識圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)，知道相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，面積的比等于對應(yīng)邊比的平方。
③了解兩個(gè)三角形相似的概念，探索兩個(gè)三角形相似的條件。
④了解圖形的位似，能夠利用位似將一個(gè)圖形放大或縮小。
⑤通過典型實(shí)例觀察和認(rèn)識現(xiàn)實(shí)生活中物體的相似，利用圖形的相似解決一些實(shí)際問題（如利用相似測量旗桿的高度）。
⑥通過實(shí)例認(rèn)識銳角三角函數(shù)（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值；會使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它對應(yīng)的銳角。
⑦運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡單實(shí)際問題。
3．圖形與坐標(biāo)
（1）認(rèn)識并能畫出平面直角坐標(biāo)系；在給定的直角坐標(biāo)系中，會根據(jù)坐標(biāo)描出點(diǎn)的位置、由點(diǎn)的位置寫出它的坐標(biāo)。［參見例4］
（2）能在方格紙上建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，描述物體的位置。［參見例5］
（3）在同一直角坐標(biāo)系中，感受圖形變換后點(diǎn)的坐標(biāo)的變化。［參見例6］
（4）靈活運(yùn)用不同的方式確定物體的位置。［參見例7］
4．圖形與證明
（1）了解證明的含義
①理解證明的必要性。
②通過具體的例子，了解定義、命題、定理的含義，會區(qū)分命題的條件(題設(shè))和結(jié)論。③結(jié)合具體例子，了解逆命題的概念，會識別兩個(gè)互逆命題，并知道原命題成立其逆命題不一定成立。
④通過具體的例子理解反例的作用，知道利用反例可以證明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的。⑤通過實(shí)例，體會反證法的含義。
⑥掌握用綜合法證明的格式，體會證明的過程要步步有據(jù)。
（2）掌握以下基本事實(shí)，作為證明的依據(jù)
①一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等。
②兩條直線被第三條直線所截，若同位角相等，那么這兩條直線平行。
③若兩個(gè)三角形的兩邊及其夾角(或兩角及其夾邊，或三邊)分別相等，則這兩個(gè)三角形全等。
④全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等。
（3）利用（2）中的基本事實(shí)證明下列命題
①平行線的性質(zhì)定理（內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)）和判定定理（內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則兩直線平行）。
②三角形的內(nèi)角和定理及推論（三角形的外角等于不相鄰的兩內(nèi)角的和，三角形的外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角）。
③直角三角形全等的判定定理。
④角平分線性質(zhì)定理及逆定理；
三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)（內(nèi)心）。⑤垂直平分線性質(zhì)定理及逆定理； 三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)（外心）。⑥三角形中位線定理。
⑦等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)和判定定理。
⑧平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性質(zhì)和判定定理。
（4）通過對歐幾里得《原本》的介紹，感受幾何的演繹體系對數(shù)學(xué)發(fā)展和人類文明的價(jià)值。
《幾何原本》全書共分１３卷，有５條公設(shè)、５個(gè)公理，１１９個(gè)定義和４６５ 個(gè)命題，構(gòu)成歷史上第一個(gè)數(shù)學(xué)公理體系。命題１。４７ 就是著名的“勾股定理”
（二）高中必選系列 2-2推理與證明具體目標(biāo)
推理方法:（1）合情推理（歸納推理和類比推理）．
（2）演繹推理．
證明方法:直接證明與間接證明．?dāng)?shù)學(xué)歸納法．
（1）了解合情推理的含義，能進(jìn)行簡單的歸納推理和類比推理，做出數(shù)學(xué)猜想，體會并認(rèn)識合理推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用．
（2）了解演繹推理的含義，了解合情推理和演繹推理的聯(lián)系和差異．掌握演繹推理的“三段論”，能進(jìn)行一些簡單的演繹推理．
（3）了解直接證明的兩種基本方法：綜合法和分析法。了解綜合法和分析法的思考過程和特點(diǎn)．能套用綜合法或分析法的思考過程，證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題（證明步驟一般不超過五步）．
（4）了解反證法的思考過程和特點(diǎn)，能套用反證法的思考過程，證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題（證明步驟一般不超過四步）．
（5）了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題（不要求用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式有關(guān)命題，以及平面圖形中的有關(guān)命題）．
二、課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容與要求
幾何證明選講有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，在幾何證明的過程中，不僅是邏輯演繹的程序，它還包含著大量的觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過程。本專題從復(fù)習(xí)相似圖形的性質(zhì)入手，證明一些反映圓與直線關(guān)系的重要定理，并通過對圓錐曲線性質(zhì)的進(jìn)一步探索，提高學(xué)生空間想像能力、幾何直觀能力和運(yùn)用綜合幾何方法解決問題的能力。
1.復(fù)習(xí)相似三角形的定義與性質(zhì)，了解平行截割定理，證明直角三角形射影定理。
2.證明圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理。
3.證明相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理。
4.了解平行投影的含義，通過圓柱與平面的位置關(guān)系，體會平行投影；證明平面與圓柱面的截線是橢圓（特殊情形是圓）。
5.通過觀察平面截圓錐面的情境，體會下面定理：
定理在空間中，取直線l為軸，直線l'與l相交于O點(diǎn)，其夾角為α，l'圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點(diǎn)，l'為母線的圓錐面，任取平面π，若它與軸l交角為β（π與l平行，記住β＝0），則：
（1）β＞α，平面π與圓錐的交線為橢圓；
（2）β＝α，平面π與圓錐的交線為拋物線；
（3）β＜α，平面π與圓錐的交線為雙曲線。
6.利用Dandelin雙球（這兩個(gè)球位于圓錐的內(nèi)部，一個(gè)位于平面π的上方，一個(gè)位于平面π的下方，并且與平面π及圓錐均相切）證明上述定理（1）情況。
7.試證明以下結(jié)果：①在6中，一個(gè)Dandelin球與圓錐面的交線為一個(gè)圓，并與圓錐的底面平行，記這個(gè)圓所在平面為π'；②如果平面π與平面π'的交線為m，在5（1）中橢圓上任取一點(diǎn)A，該Dandelin球與平面π的切點(diǎn)為F，則點(diǎn)A到點(diǎn)F的距離與點(diǎn)A到直線m的距離比是小于1的常數(shù)e。（稱點(diǎn)F為這個(gè)橢圓的焦點(diǎn)，直線m為橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e為離心率。）
8.探索定理中（3）的證明，體會當(dāng)β無限接近α?xí)r平面π的極限結(jié)果。
三、教學(xué)建議
1、重視數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)
（1）一堂課能使學(xué)生有所領(lǐng)悟，就意味著有可能發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)空間。在本專題教學(xué)中要重視合情推理和演繹推理的啟發(fā)、應(yīng)用和培養(yǎng)。
（2）培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。簡單地講：幾何直觀能力就是發(fā)現(xiàn)輔助線的能力。
（3）以問題解決為特征的思維，是普遍存在的形式。對問題解決者來說，問題的解決過程總是創(chuàng)造性的。而重現(xiàn)和親歷發(fā)現(xiàn)的過程，是學(xué)習(xí)、研究數(shù)學(xué)的高招，也是我們從事數(shù)學(xué)的高招。
（4）重視直覺的培養(yǎng)和訓(xùn)練，引用彭加勒的一個(gè)著名觀點(diǎn)，那就是：“邏輯用于證明，直覺用于發(fā)現(xiàn)。”
（5）注意辯證思維的引導(dǎo)。以研究圖形為主的幾何證明專題，在對圖形認(rèn)識的時(shí)候應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生還要建立背景的意識，當(dāng)以一部分圖形為主要觀察對象時(shí)，其他部分就變成了背景，我們需要一道學(xué)生注意辯證地觀察、分析問題。
如：
已知：在三角形ABC中，由頂點(diǎn)B出發(fā)的高BD、角平分線BF和中線BE，分∠ABC為4 等分，求∠ABC的大小。
Ｂ
Ａ ＤＣ
在解本題時(shí)，有兩類刺激：一類是角；一類是線段。涉及到角的是：高、角的四等分線構(gòu)成的角的大小等；涉及到線段的是：中線角平分線的性質(zhì)等。學(xué)生在解題中，對這兩類刺激并不是均等地接受的。多數(shù)學(xué)生都因?yàn)榻堑男畔⒘看蠖呀亲鳛椤皥D形”，而把線當(dāng)作背景。實(shí)際上，此處的“圖形”處于未分化的模糊狀態(tài)。不宜直接由此解證題目，那就需要將“圖形”與“背景”加以轉(zhuǎn)換加以求解。
2、對本專題的教學(xué)，都應(yīng)力求深入淺出。在對內(nèi)容與要求6、7的兩個(gè)命題證明過程中，蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，它們有助于學(xué)生體會空間想像能力和幾何直觀能力在解決問題中的作用，有助于提高學(xué)生綜合運(yùn)用幾何知識解決問題的能力。教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生獨(dú)立思考，主動嘗試、探索，必要時(shí)要給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，并應(yīng)鼓勵學(xué)生寫出課題報(bào)告，盡可能清晰地表達(dá)自己的思考過程與論證過程。
在條件允許的學(xué)校，教師可以利用現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)，動態(tài)地展現(xiàn)Dandelin兩球的方法，幫助學(xué)生利用幾何直觀進(jìn)行思維。
３、考試內(nèi)容：
相似三角形.、平行截割定理.、直角三角形射影定理.、圓周角定理.、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理.、相交弦定理.、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理.、切割線定理.． ４、考試要求：
1． 理解相似三角形的定義與性質(zhì)，了解平面截割定理．
掌握以下定理的證明：（1）直角三角形射影定理；（2）圓周角定理；（3）圓的切線判定定理與性質(zhì)定理；（4）相交弦定理；（5）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理（6）切割線定理
第四篇：選修4-5----不等式選講測試題
選修4-5不等式選講測試題
一.選擇題：
1.若a,b是任意的實(shí)數(shù),且a>b,則()A．a(chǎn)2?b2B．2.若
1a?1b
?0,則下列不等式中
b
1a1b
?1C． lg(a-b)>0D．()?()
22a
(1)a?b?ab
(2)|a|>|b|(3)a ba ? ab ? 2正確的個(gè)數(shù)是() A．1B． 2C． 3D．4 3.不等式|x-1|+|x+2|?5的解集為() A． ???,?2???2,???B． ???,?1???2,???C． ???,?2???3,???D．???,?3???2,??? 4.下列結(jié)論不正確的是()A．x,y為正數(shù),則 xy?yx ?2B． x?2x? 122 ?2C．lgx?logx10?2D．a(chǎn)?0,則(1?a)(1? 1a)? 45.如果a>0,且a?1,M?loga(a3?1),N?loga(a2?1),那么() A．M>NB．M 32n 2的最小值為() C．6 D． 8 B．4 7.已知3x+y=10,則x2?y2的最小值為()A． B．10C．1D．100 8.函數(shù)y=5x?1?25?x的最大值為() A．108B．63C．10D．279.已知0?a,b?1，用反證法證明a(1?b),b(1?a)不能都大于A．a(chǎn)(1?b),b(1?a)都大于 時(shí)，反設(shè)正確的是() 14，B．a(chǎn)(1?b),b(1?a)都小于 C．a(chǎn)(1?b),b(1?a)都大于或等于D．a(chǎn)(1?b),b(1?a)都小于或等于 10.已知a,b?R，且abA．a(chǎn)?b ?a?b ?0，則() ?a?b B．a(chǎn)?b aa?b?c C．a(chǎn)?b cc?d?a ?a?b D．a(chǎn)?b ?a?b 11.a,b,c?R ?，設(shè) S?? bb?c?d ?? dd?a?b，則下列判斷中正確的是() A． 0?S?1B． 1?S?2C． 2?S?3D． 3?S?4 1111 312．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＋＋…＋<(n≥2，n∈N*)的過程中，由n＝k遞推 n＋1n＋22n14 到n＝k＋1時(shí)不等式左邊() A．增加了一項(xiàng)B．增加了兩項(xiàng)、2?k＋1?2k＋12k＋2 C．增加了B中兩項(xiàng)但減少了一項(xiàng)D．以上各種情況均不對 k＋1二．填空題： 13.已知2x?3y?6z?12，求x2?y2?z2的最小值是 14.已知a1=,an+1= 3anan?3,則an=____________ 15.如果關(guān)于x的不等式|x-4|-|x+5|?b的解集為空集,則b的取值范圍為16.設(shè)A? ? ?1 ? ?2 ???? ?1，則A與1的大小關(guān)系是_____________ 三．解答題： 17．（12分）（1）證明：a2?b2?2(2a?b)?5(2)證明：5??3?8 18.（12分）用數(shù)學(xué)歸納法證明：1? 12?13??? n ? n?22,?n?N,n?2? 19.（12分）已知函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)證明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集． 20.（12分）已知對于任意正數(shù)a1,a2,a3,有不等式:a1? 1a1 ?1,(a1?a2)?（1a1 ?1a2)?4,(a1?a2?a3)?（1a1 ? 1a2 ? 1a3)?9,… (1)從上述不等式歸納出一個(gè)適合任意正數(shù)a1,a2,...,an的不等式.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你歸納得到的不等式.21（22分）如圖，四邊形PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，∠MBC＝45°,PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°.（1）求證：平面PAC⊥平面ABC； （2）求異面直線PA和BC所成角的余弦值； （3）求直線AB與平面MAC所成角的正弦值；（4）求二面角M?AC?B的余弦值；（5）求三棱錐P?MAC的體積。 選修4-5 不等式選講 課 題： 不等式的基本性質(zhì) 二、不等式的基本性質(zhì)： 1、實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系： 數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總大于左邊的點(diǎn)所表示的數(shù)，從實(shí)數(shù)的減法在數(shù)軸上的表示可知： a?b?a?b?0 a?b?a?b?0 a?b?a?b?0 得出結(jié)論：要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號即可。 2、不等式的基本性質(zhì)： ①、如果a>b，那么b 推論：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b，c>d ?a+c>b+d． ④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac ⑤、如果a>b >0，那么an?bn(n?N，且n>1)⑥、如果a>b >0，那么na?nb(n?N，且n>1)。 課 題： 含有絕對值的不等式的證明 一、引入： 證明一個(gè)含有絕對值的不等式成立，除了要應(yīng)用一般不等式的基本性質(zhì)之外，經(jīng)常還要用到關(guān)于絕對值的和、差、積、商的性質(zhì)： （1）a?b?a?b（2）a?b?a?b（3）a?b?a?b（4） ab?a(b?0)b請同學(xué)們思考一下，是否可以用絕對值的幾何意義說明上述性質(zhì)存在的道理？ 實(shí)際上，性質(zhì)a?b?a?b和 ab?a(b?0)可以從正負(fù)數(shù)和零的乘法、除法法則直接推出；而b絕對值的差的性質(zhì)可以利用和的性質(zhì)導(dǎo)出。因此，只要能夠證明a?b?a?b對于任意實(shí)數(shù)都成立即可。我們將在下面的例題中研究它的證明。 現(xiàn)在請同學(xué)們討論一個(gè)問題：設(shè)a為實(shí)數(shù)，a和a哪個(gè)大？ 顯然a?a，當(dāng)且僅當(dāng)a?0時(shí)等號成立（即在a?0時(shí)，等號成立。在a?0時(shí)，等號不成立）。同樣，a??a.當(dāng)且僅當(dāng)a?0時(shí)，等號成立。 含有絕對值的不等式的證明中，常常利用a??a、a??a及絕對值的和的性質(zhì)。 二、典型例題： 例 1、證明（1）a?b?a?b，（2）a?b?a?b。 證明（1）如果a?b?0,那么a?b?a?b.所以a?b?a?b?a?b.如果a?b?0,那么a?b??(a?b).所以a?b??a?(?b)??(a?b)?a?b （2）根據(jù)（1）的結(jié)果，有a?b??b?a?b?b，就是，a?b?b?a。 所以，a?b?a?b。 探究：試?yán)媒^對值的幾何意義，給出不等式a?b?a?b的幾何解釋？ 含有絕對值的不等式常常相加減，得到較為復(fù)雜的不等式，這就需要利用例1，例2和例3的結(jié)果來證明。 cc例 4、已知 x?a?,y?b?，求證(x?y)?(a?b)?c.22證明(x?y)?(a?b)?(x?a)?(y?b)?x?a?y?b（1） ?x?a?cc,y?b?，22cc∴x?a?y?b???c（2） 22由（1），（2）得：(x?y)?(a?b)?c aa,y?.求證：2x?3y?a。46aaaa證明 ?x?,y?，∴2x?,3y?，4622aa由例1及上式，2x?3y?2x?3y???a。 22注意： 在推理比較簡單時(shí)，我們常常將幾個(gè)不等式連在一起寫。但這種寫法，只能用于不等號方向相同的不等式。 課 題： 含有絕對值的不等式的解法 一、引入： 在初中課程的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)對不等式和絕對值的一些基本知識有了一定的了解。在此基礎(chǔ)上，本節(jié)討論含有絕對值的不等式。 關(guān)于含有絕對值的不等式的問題，主要包括兩類：一類是解不等式，另一類是證明不等式。下面分別就這兩類問題展開探討。 1、解在絕對值符號內(nèi)含有未知數(shù)的不等式（也稱絕對值不等式），關(guān)鍵在于去掉絕對值符號，化成普通的不等式。主要的依據(jù)是絕對值的意義.請同學(xué)們回憶一下絕對值的意義。例 5、已知x??x，如果x?0? 在數(shù)軸上，一個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離稱為這個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)的絕對值。即x??0，如果x?0。 ??x，如果x?0? 2、含有絕對值的不等式有兩種基本的類型。 第一種類型。設(shè)a為正數(shù)。根據(jù)絕對值的意義，不等式x?a的解集是，如{x|?a?x?a}，它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離小于a的點(diǎn)的集合是開區(qū)間（－a，a）圖所示。 ?a 圖1-1 a 如果給定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的結(jié)果來解。 第二種類型。設(shè)a為正數(shù)。根據(jù)絕對值的意義，不等式x?a的解集是 {x|x?a或x??a} 它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離大于a的點(diǎn)的集合是兩個(gè)開區(qū)間(??,?a),(a,?)的并集。如圖1-2所示。 –a a 圖1-2 同樣，如果給定的不等式符合這種類型，就可以直接利用它的結(jié)果來解。課 題： 平均值不等式 一、引入： 1、定理1：如果a,b?R，那么a2?b2?2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”） 證明：a2?b2?2ab?(a?b)2 當(dāng)a?b時(shí)，(a?b)2?0?22??a?b?2ab 2當(dāng)a?b時(shí)，(a?b)?0?1．指出定理適用范圍：a,b?R 強(qiáng)調(diào)取“=”的條件a?b。 2、定理2：如果a,b是正數(shù)，那么 a?b）?ab（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”證明：∵(a)2?(b)2?2ab ∴a?b?2ab 即：a?ba?b?ab 當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí) ?ab 22 注意：1．這個(gè)定理適用的范圍：a?R?； 2．語言表述：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。 3、定理3：如果a,b,c?R?，那么a3?b3?c3?3abc（當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c時(shí)取“=”） 證明：∵a3?b3?c3?3abc?(a?b)3?c3?3a2b?3ab2?3abc ?(a?b?c)[(a?b)2?(a?b)c?c2]?3ab(a?b?c) ?(a?b?c)[a2?2ab?b2?ac?bc?c2?3ab] ?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?bc?ca) ?1(a?b?c)[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2] 2∵a,b,c?R? ∴上式≥0 從而a3?b3?c3?3abc 指出：這里a,b,c?R? ∵a?b?c?0就不能保證。 推論：如果a,b,c?R?，那么 a?b?c3（當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c時(shí)取“=”）?abc。證明：(3a)3?(3b)3?(3c)3?33a?3b?3c ?a?b?c?33abc a?b?c3?abc 34、算術(shù)—幾何平均不等式： ?①．如果a1,a2,?,an?R?,n?1且n?N? 則：na1?a2???an叫做這n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，na1a2?an叫做這n個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)； ②．基本不等式： a1?a2???an≥na1a2?an（n?N*,ai?R?,1?i?n） n這個(gè)結(jié)論最終可用數(shù)學(xué)歸納法，二項(xiàng)式定理證明（這里從略）語言表述：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。 a?b③．?ab的幾何解釋： 2以a?b為直徑作圓，在直徑AB上取一點(diǎn)C，過C作弦DD’?AB 則CD2?CA?CB?ab，a?b從而CD?ab，而半徑?CD?ab。 2課 題： 不等式的證明方法之一：比較法 課 題： 不等式的證明方法之二：綜合法與分析法 課 題： 不等式的證明方法之三：反證法 課 題： 不等式的證明方法之四：放縮法與貝努利不等式 DAaOCbB 4第五篇：數(shù)學(xué)選修4-5不等式選講教案
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