第一篇：高二數學選修4-5《不等式選講》模塊結業測試題1

高二數學選修4-5《不等式選講》測試題

一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）

1、已知集合A?{x|x?0},B?{x|?1?x?2}，則A?B?（）

A、{x|x??1}B、{x|x?2}C、{x|0?x?2}D、{x|?1?x?2}

2、欲證2?3?A、2?7??

26?7，只需證（）

B、?2?6??

2?

3?6?

??

2?

3?7

?

C、2?3??

2D、?2?3?6????7?

x?y3、設x?0，y?0，A?

1?x?y，B?

x1?x

?

y1?y，則A、B的大小關系是（A、A?BB、A?BC、A?BD、不能確定

4、若n?0，則n?

32n

2的最小值為（）

A、2B、4C、6D、85、如果命題p(n)對n?k成立，則它對n?k?2也成立，又命題p(n)對n?2成立，則下列結論正確的是（）

A、命題p(n)對所有正整數n成立B、命題p(n)對所有大于2的正整數n成立C、命題p(n)對所有奇正整數n成立D、命題p(n)對所有偶正整數n成立

6、已知0?a,b?1，用反證法證明a(1?b),b(1?a)不能都大于時，反設正確的是（）

41A、a(1?b),b(1?a)都大于

4，B、a(1?b),b(1?a)都小于

414

C、a(1?b),b(1?a)都大于或等于D、a(1?b),b(1?a)都小于或等于

7、已知a,b都是實數，那么“a2?b2”是“a?b”的（）A、充分而不必要條件B、必要而不充分條件

C、充分且必要條件D、既不充分也不必要條件

8、已知不等式?x?y??則實數a的最大值為（）?????a對任意正實數x,y恒成立，xy??A、2B、4C、2D、16

9、已知a,b?R，且ab

?0

?11?，則（）

A、a?b?a?b

B、a?b

?a?b

C、a?b

?a?b

D、a?b?a?b10、已知a?0，b?0滿足a?b?2，則（）A、ab?

2B、ab?

2C、a2?b2?2D、a2?b2?

4二、填空題（共7小題，每小題3分，共21分）

11、若不等式|ax?2|?6的解集是（-∞，-1]?[2,??)，則a的值是___________.12、函數y?2?x?2x?1的最大值為：；

13、用數學歸納法證明n?N*,1?12?13???

1n?

n時，從“n?k”到

“n?k?1”，左邊需添加的代數式為：；

14、經計算發現下列不等式正確：2??2，4.5?.5?2，3?

2?

?

2?2，??，根據以上不等式的規律，請你寫出一個類似的不

等式：；

15、有4人各拿一只水桶去接水，設水龍頭注滿每個人的水桶分別需要5s，4s，3s，7s，每個人接完水后就離開，則他們總的等候時間最短為：；

16、若由不等式x?

1x

?2，x?

4x

?3，??，可以推廣到x?

ax

n

?n?1a?R

?

?

?，則

實數a的值為：；

17、如果關于x的不等式|x-4|-|x+5|?b的解集為空集,則參數b的取值范圍為.三、解答題（本大題5小題，共39分）

四、18、（8分）已知m,n?R?，求證：m3?n3?m2n?mn219、（8分）解不等式： |x?1|?|x?2|?5|x?1|?5?x|x?2|?5?x20、（8分）①、已知：a,b?R?，a?b?4，證明②、已知：a,b,c?R?，a?b?c?9，證明

21、（8分）已知數列?an?的前n項和為Sn,Sn?（1）求a1,a2,a3；

（2）猜想數列?an?的通項公式并證明你的結論。

3(an?1)(n?N).?

1a1c

?

1b

?1；

1a

?

1b

?

?1；

并類比上面的結論，寫出推廣后的一般性結論（不需證明）。

22、(本題滿分12分）(1)證明:5??3?8

(2)已知a,b,c?R?，且a?b?c?1，求證：(?1)(?1)(?1)?8

a

b

c

附加題、（本

題滿

分122(n?1?1)?

1?1???

1?2n(n?N)

2n）

分）用放縮法證: 明

高二數學選修4-5《不等式選講》結業測試參考答案

二、填空題（共7小題，每小題3分，共21分）

11、；12、13、14、5??2(答案不唯一)；15、16、nn；

17、；

第Ⅱ卷（共5題，總分39分）

三、解答題（本大題5小題，共39分）

18、已知m,n?R?，求證：m3?n3?m2n?mn

2方法一：作差比較：m3?n3?(m2n?mn2)???(m?n)(m?n)2 方法二：排序不等式：不妨設m?n，?m2?n2

根據排序不等式：m3?n3?m?m2?n?n2?m2n?mn219、解不等式： |x?1|?|x?2|?5 解：方法一：零點分段討論：{x|?3?x?2}

方法二：數形結合法：{x|?3?x?2}

20、①、已知：a,b?R?，a?b?4，證明②、已知：a,b,c?R?，a?b?c?9，證明

1a1a??1b1b?1； ?1c?1；

1k?

1；

并類比上面的結論，寫出推廣后的一般性結論（不需證明）。

解：①、根據柯西不等式：

(a?b)（1a?1b)?(a?

1a?b?

1b)

?4，?a?b?4，?

1a

?

1b

?

1②、根據柯西不等式：

(a?b?c)（1a?1b?1c)?(a?

1a?b?

1b?c?

1c)

?9，?a?b?c?9，?

1a

?

1b

?

1c

?

1可以推廣：a1?a2???an?n，則：

1a1

?

1a

2???

1an

?1；

21、已知數列?an?的前n項和為Sn,Sn?

(an?1)(n?N).?

（1）求a1,a2,a3；（2）猜想數列?an?的通項公式并證明你的結論。解:(1)由S1?又S2?

又S3?

131313

(a1?1),得a1?

(a1?1)∴a1??13

(a2?1),即a1?a2?(a2?1),得 a2?13

.18

(a3?1),即a1?a2?a3?(a3?1),得 a3??1

.(2)猜想數列?an?的通項公式：an?(?)n

證法一：數學歸納法：當n=k+1時,ak?1?Sk?1?Sk??ak?1?

ak?1??

1313

(ak?1?1)?ak??

(ak?1)?12

k

ak?1?12)

?

ak?

?

ak?1?

ak

?(?),ak?1?(?

k?1，命題成立。

證法二：當n>1時,an?Sn?Sn?1?得

anan?1

??

12,所以?an?是首項為?

(an?1)?

1312

(an?1?1)，公比為?的等比數列.所以，an?(?)n

第二篇：選修4-5----不等式選講測試題

選修4-5不等式選講測試題

一.選擇題：

1.若a,b是任意的實數,且a>b,則()A．a2?b2B．2.若

1a?1b

?0,則下列不等式中

b

1a1b

?1C． lg(a-b)>0D．()?()

22a

(1)a?b?ab

(2)|a|>|b|(3)a

ba

?

ab

?

2正確的個數是()

A．1B． 2C． 3D．4 3.不等式|x-1|+|x+2|?5的解集為()

A． ???,?2???2,???B． ???,?1???2,???C． ???,?2???3,???D．???,?3???2,??? 4.下列結論不正確的是()A．x,y為正數,則

xy?yx

?2B．

x?2x?

122

?2C．lgx?logx10?2D．a?0,則(1?a)(1?

1a)?

45.如果a>0,且a?1,M?loga(a3?1),N?loga(a2?1),那么()

A．M>NB．M0,則n+A．2

32n

2的最小值為()

C．6

D． 8

B．4

7.已知3x+y=10,則x2?y2的最小值為()A．

B．10C．1D．100

8.函數y=5x?1?25?x的最大值為()

A．108B．63C．10D．279.已知0?a,b?1，用反證法證明a(1?b),b(1?a)不能都大于A．a(1?b),b(1?a)都大于

時，反設正確的是()

14，B．a(1?b),b(1?a)都小于

C．a(1?b),b(1?a)都大于或等于D．a(1?b),b(1?a)都小于或等于

10.已知a,b?R，且abA．a?b

?a?b

?0，則()

?a?b

B．a?b

aa?b?c

C．a?b

cc?d?a

?a?b

D．a?b

?a?b

11.a,b,c?R

?，設

S??

bb?c?d

??

dd?a?b，則下列判斷中正確的是()

A． 0?S?1B． 1?S?2C． 2?S?3D． 3?S?4

1111

312．用數學歸納法證明不等式＋＋…＋<(n≥2，n∈N*)的過程中，由n＝k遞推

n＋1n＋22n14

到n＝k＋1時不等式左邊()

A．增加了一項B．增加了兩項、2?k＋1?2k＋12k＋2

C．增加了B中兩項但減少了一項D．以上各種情況均不對

k＋1二．填空題：

13.已知2x?3y?6z?12，求x2?y2?z2的最小值是 14.已知a1=,an+1=

3anan?3,則an=____________

15.如果關于x的不等式|x-4|-|x+5|?b的解集為空集,則b的取值范圍為16.設A?

?

?1

?

?2

????

?1，則A與1的大小關系是_____________

三．解答題：

17．（12分）（1）證明：a2?b2?2(2a?b)?5(2)證明：5??3?8

18.（12分）用數學歸納法證明：1?

12?13???

n

?

n?22,?n?N,n?2?

19.（12分）已知函數f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)證明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．

20.（12分）已知對于任意正數a1,a2,a3,有不等式:a1?

1a1

?1,(a1?a2)?（1a1

?1a2)?4,(a1?a2?a3)?（1a1

?

1a2

?

1a3)?9,…

(1)從上述不等式歸納出一個適合任意正數a1,a2,...,an的不等式.(2)用數學歸納法證明你歸納得到的不等式.21（22分）如圖，四邊形PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，∠MBC＝45°,PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°.（1）求證：平面PAC⊥平面ABC；

（2）求異面直線PA和BC所成角的余弦值；

（3）求直線AB與平面MAC所成角的正弦值；（4）求二面角M?AC?B的余弦值；（5）求三棱錐P?MAC的體積。

第三篇：數學選修4-5不等式選講教案

選修4-5 不等式選講

課 題：

不等式的基本性質

二、不等式的基本性質：

1、實數的運算性質與大小順序的關系：

數軸上右邊的點表示的數總大于左邊的點所表示的數，從實數的減法在數軸上的表示可知：

a?b?a?b?0 a?b?a?b?0 a?b?a?b?0

得出結論：要比較兩個實數的大小，只要考察它們的差的符號即可。

2、不等式的基本性質：

①、如果a>b，那么bb。(對稱性)②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>c?a>c。③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>b?a+c>b+c。

推論：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b，c>d ?a+c>b+d． ④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac

⑤、如果a>b >0，那么an?bn(n?N，且n>1)⑥、如果a>b >0，那么na?nb(n?N，且n>1)。

課 題：

含有絕對值的不等式的證明

一、引入：

證明一個含有絕對值的不等式成立，除了要應用一般不等式的基本性質之外，經常還要用到關于絕對值的和、差、積、商的性質：

（1）a?b?a?b（2）a?b?a?b（3）a?b?a?b（4）

ab?a(b?0)b請同學們思考一下，是否可以用絕對值的幾何意義說明上述性質存在的道理？ 實際上，性質a?b?a?b和

ab?a(b?0)可以從正負數和零的乘法、除法法則直接推出；而b絕對值的差的性質可以利用和的性質導出。因此，只要能夠證明a?b?a?b對于任意實數都成立即可。我們將在下面的例題中研究它的證明。

現在請同學們討論一個問題：設a為實數，a和a哪個大？

顯然a?a，當且僅當a?0時等號成立（即在a?0時，等號成立。在a?0時，等號不成立）。同樣，a??a.當且僅當a?0時，等號成立。

含有絕對值的不等式的證明中，常常利用a??a、a??a及絕對值的和的性質。

二、典型例題：

例

1、證明（1）a?b?a?b，（2）a?b?a?b。

證明（1）如果a?b?0,那么a?b?a?b.所以a?b?a?b?a?b.如果a?b?0,那么a?b??(a?b).所以a?b??a?(?b)??(a?b)?a?b

（2）根據（1）的結果，有a?b??b?a?b?b，就是，a?b?b?a。

所以，a?b?a?b。

探究：試利用絕對值的幾何意義，給出不等式a?b?a?b的幾何解釋？

含有絕對值的不等式常常相加減，得到較為復雜的不等式，這就需要利用例1，例2和例3的結果來證明。

cc例

4、已知 x?a?,y?b?，求證(x?y)?(a?b)?c.22證明(x?y)?(a?b)?(x?a)?(y?b)?x?a?y?b（1）

?x?a?cc,y?b?，22cc∴x?a?y?b???c（2）

22由（1），（2）得：(x?y)?(a?b)?c

aa,y?.求證：2x?3y?a。46aaaa證明 ?x?,y?，∴2x?,3y?，4622aa由例1及上式，2x?3y?2x?3y???a。

22注意： 在推理比較簡單時，我們常常將幾個不等式連在一起寫。但這種寫法，只能用于不等號方向相同的不等式。

課 題：

含有絕對值的不等式的解法

一、引入：

在初中課程的學習中，我們已經對不等式和絕對值的一些基本知識有了一定的了解。在此基礎上，本節討論含有絕對值的不等式。

關于含有絕對值的不等式的問題，主要包括兩類：一類是解不等式，另一類是證明不等式。下面分別就這兩類問題展開探討。

1、解在絕對值符號內含有未知數的不等式（也稱絕對值不等式），關鍵在于去掉絕對值符號，化成普通的不等式。主要的依據是絕對值的意義.請同學們回憶一下絕對值的意義。例

5、已知x??x，如果x?0? 在數軸上，一個點到原點的距離稱為這個點所表示的數的絕對值。即x??0，如果x?0。

??x，如果x?0?

2、含有絕對值的不等式有兩種基本的類型。

第一種類型。設a為正數。根據絕對值的意義，不等式x?a的解集是，如{x|?a?x?a}，它的幾何意義就是數軸上到原點的距離小于a的點的集合是開區間（－a，a）圖所示。

?a 圖1-1 a

如果給定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的結果來解。

第二種類型。設a為正數。根據絕對值的意義，不等式x?a的解集是 {x|x?a或x??a} 它的幾何意義就是數軸上到原點的距離大于a的點的集合是兩個開區間(??,?a),(a,?)的并集。如圖1-2所示。

–a a

圖1-2 同樣，如果給定的不等式符合這種類型，就可以直接利用它的結果來解。課 題：

平均值不等式

一、引入：

1、定理1：如果a,b?R，那么a2?b2?2ab（當且僅當a?b時取“=”）

證明：a2?b2?2ab?(a?b)2

當a?b時，(a?b)2?0?22??a?b?2ab 2當a?b時，(a?b)?0?1．指出定理適用范圍：a,b?R 強調取“=”的條件a?b。

2、定理2：如果a,b是正數，那么

a?b）?ab（當且僅當a?b時取“=”證明：∵(a)2?(b)2?2ab ∴a?b?2ab

即：a?ba?b?ab 當且僅當a?b時 ?ab 22 注意：1．這個定理適用的范圍：a?R?；

2．語言表述：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。

3、定理3：如果a,b,c?R?，那么a3?b3?c3?3abc（當且僅當a?b?c時取“=”）

證明：∵a3?b3?c3?3abc?(a?b)3?c3?3a2b?3ab2?3abc

?(a?b?c)[(a?b)2?(a?b)c?c2]?3ab(a?b?c)

?(a?b?c)[a2?2ab?b2?ac?bc?c2?3ab] ?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?bc?ca)

?1(a?b?c)[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2] 2∵a,b,c?R? ∴上式≥0 從而a3?b3?c3?3abc 指出：這里a,b,c?R? ∵a?b?c?0就不能保證。

推論：如果a,b,c?R?，那么

a?b?c3（當且僅當a?b?c時取“=”）?abc。證明：(3a)3?(3b)3?(3c)3?33a?3b?3c

?a?b?c?33abc

a?b?c3?abc

34、算術—幾何平均不等式： ?①．如果a1,a2,?,an?R?,n?1且n?N? 則：na1?a2???an叫做這n個正數的算術平均數，na1a2?an叫做這n個正數的幾何平均數；

②．基本不等式： a1?a2???an≥na1a2?an（n?N*,ai?R?,1?i?n）

n這個結論最終可用數學歸納法，二項式定理證明（這里從略）語言表述：n個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。

a?b③．?ab的幾何解釋：

2以a?b為直徑作圓，在直徑AB上取一點C，過C作弦DD’?AB 則CD2?CA?CB?ab，a?b從而CD?ab，而半徑?CD?ab。

2課 題：

不等式的證明方法之一：比較法

課 題：

不等式的證明方法之二：綜合法與分析法 課 題： 不等式的證明方法之三：反證法

課 題：

不等式的證明方法之四：放縮法與貝努利不等式

DAaOCbB 4

第四篇：不等式選講測試題

不等式選講測試題

一、選擇題：(本大題共8小題，每小題5分，共40分．)

1．若a,b是任意的實數,且a>b,則()

(A)a?b(B)

2．不等式2211b?1(C)lg(a-b)>0(D)()a?()b 22a2??3的解集是()x

2222(A)(??,?)(B)(??,?)?(0,??)(C)(?,0)?(0,??)(D)(?,0)3333

3．在直徑為4的圓內接矩形中,最大的面積是()

(A)4(B)2(C)6(D)8

4．已知3x+y=10,則x2?y2的最小值為（）

1(B)．10(C)．1(D)．100 10

5．不等式|x-1|+|x+2|?5的解集為()(A)．

(A).???,?2???2,???(B).???,?1???2,???

(C).???,?2???3,???(D).???,?3???2,???

6．若n>0,則n+32的最小值為()2n

A．2B．4C．6D． 8

7．若正數a,b滿足ab=a+b+3,則ab的最值范圍為()

A.?6,???B.?9,???C.???,9?D.8．已知a,b,c是正實數,且a+b+c=1,則111??的最小值為()abc

A..3B.6C.9D.12

二．填空題：本大題共6小題；每小題5分，共30分．

9．函數y=5x?1?25?x的最大值為；

10．若不等式mx?mx?1?0對一切x?R都成立，則m的取值范圍是11．如果關于x的不等式|x-4|-|x+5|?b的解集為空集,則參數b的取值范圍2

為.12．建造一個容積為18 m，深為2 m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁每平方米的造價分別為200元和150元，那么池的最低造價為：__________.13．設a, b?R?，若a?b?5，求a?2b的最大值為：_______。

14．（1）ba?≥2成立當且僅當a,b均為正數。ab223

（2）y?2x2?3,(x?0)的最小值是34。x

2273（3）y?x(a?2x)2,(0?x?a)的最大值是2a。

（4）|a＋1|≥2成立當且僅當a≠0。a

以上命題是真命題的是：

15.(15分)已知數列{an}是正數組成的數列，其前n項和為Sn，對于一切n?N均有an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項。

（1）計算a1,a2,a3,并由此猜想{an}的通項公式an；

（2）用數學歸納法證明（1）中你的猜想。

16.(15分)解不等式?x?3x?2?4?3x2?

答案:

DBDBDCBC 9.22910.?4?m?011.b>912.540013.514.(4)(5)

2a?2(a?2)nn15.解：（1）由可求得a1?Sn得Sn?28?2,a2?6,a3?10，┈5分

由此猜想{an}的通項公式an?4n?2(n?N?)。┈┈┈7分

（2）證明：①當n?1時，a1?2，等式成立；┈┈┈9分②假設當n?k時，等式成立，即ak?4k?2，┈┈┈11分

(ak?1?2)2(ak?2)2

?ak?1?Sk?1?Sk??88

?(ak?1?ak)(ak?1?ak?4)?0,又ak?1?ak?0

?ak?1?ak?4?0，?ak?1＝ak＋4?4k－2＋4?4(k?1)?2

?當n?k?1時，等式也成立。┈┈┈13分 由①②可得an?4n?2(n?N?)成立。┈┈┈15分 16解：原不等式等價于下列兩個不等式組得解集的并集：

?4?3x?0??x2?3x?2?0?2Ⅰ：??x?3x?2?04分Ⅱ：?4分 ?4?3x?0??x2?3x?2?(4?3x)2?

4?x??3464?解Ⅰ：?1?x?2??x? 3分解Ⅱ：?x?23分 353?6?x?3

?52?

6∴原不等式的解集為{x|?x?2} 2分 5

第五篇：人教數學數學選修不等式選講簡介

人教數學（A版）培訓手冊之三十九──“不等式選講”簡介

人教A版普通高中數學課程標準實驗教科書（選修4-5）《不等式選講》是根據教育部制訂的《普通高中數學課程標準(實驗)》(以下簡稱課程標準)的選修4系列第5專題“不等式選講”的要求編寫的。根據課程標準，本專題介紹一些重要的不等式和它們的證明、數學歸納法和它的簡單應用

一、內容與要求1．回顧和復習不等式的基本性質和基本不等式。

2．理解絕對值的幾何意義，并能利用絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式：（1）∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣；（2）∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣；（3）會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；∣x－c∣＋∣x－b∣≥a。3．認識柯西不等式的幾種不同形式。理解它們的幾何意義。（1）證明柯西不等式的向量形式：|α||β|≥|α·β|。（2）證明：（a+b）(c+d)≥(ac+bd)。（3）證

明：

≥。4．用22222參數配方法討論柯西不等式的一般情況：5．用向量遞歸方法討論排序不等式。6．了解數學歸納法的原理及其使用范圍，會用數學歸納法證明一些簡單問題。7．會用數學歸納法證明貝努利不等式：(1＋x)＞1＋nx（x＞-1,n為正整數）。了解當n為實數時貝努利不等式也成立。

8．會用上述不等式證明一些簡單問題。能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數的極值。9．通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法。

二、內容安排 本專題內容分成四講，結構如下圖所n

示：

本專題的內容是在初中階段掌握了不等式的基本概念，學會了一元一次不等式、一元一次不等式組的解法，多數學生在學習高中必修課五個模塊的基礎上展開的．作為一個選修專題，教科書在內容的呈現上保持了相對的完整性．第一講是“不等式和絕對值不等式”，它是本專題的最基本內容，也是其余三講的基礎．

本講的第一部分類比等式的基本性質，從“數與運算”的基本思想出發討論不等式的基本性質，這是關于不等式在運算方面的一些最基本法則．接著討論基本不等式，介紹了基本不等式的一個幾何解釋：“直角三角形斜邊上的中線不小于斜邊上的高”，并把基本不等式推廣到三個正數的算術—幾何平均不等式．對于一般形式的均值不等式，則只作簡單介紹，不給出證明．在此基礎上，介紹了它們在解決實際問題中的一些應用，如最基本的等周問題，簡單的極值問題等。第二部分討論了有關絕對值不等式的性質及絕對值不等式的解法．絕對值是與實數有關的一個基本而重要的概念，討論關于絕對值的不等式具有重要的意義．

絕對值三角不等式是一個基本的結論，教科書首先引導學生借助于實數在數軸上的表示和絕對值的幾何意義，引導學生從數的運算角度探究歸納出絕對值三角不等式，接著聯系向量形式的三角不等式，得到絕對值三角不等式的幾何解釋，最后用代數方法給出證明．這樣，數形結合，引導學生多角度認識這個不等式，逐步深化對它的理解．利用絕對值三角不等式可以解決形如的函數的極值問題，教科書安排了一個這樣的實際問題

對于解含有絕對值的不等式，教科書只討論了兩種特殊類型不等式的解法，而不是系統地對這個問題進行研究。教科書引導學生探討了形如解法，以及形如或或的不等式的的不等式的解法．學生通過這兩類含有絕對值的不等式能夠基本學到解含有絕對值的不等式的一般思想和方法。第二講是“證明不等式的基本方法”．對于不等式的深入討論必須首先掌握一些基本的方法，所以本講內容也是本專題的一個基礎內容。本講通過一些比較簡單的問題，介紹了證明不等式的幾種常用而基本的方法：比較法、綜合法、分析法、反證法和放縮法． 比較法是證明不等式的最基本的方法，比較法可以分為兩種，一種是相減比較法，它的依據是：

另一種是相除比較法，是把不等式兩邊相除，轉化為比較所得商式與1的大小關系，它的依據是：當b＞0

時，在比較法的兩種方法中，相減比較法又是最基本而重要的一種方法。在證明不等式的過程中，根據對于不等式的條件和結論不同探索方向作分類，證明方法又可以分為分析法和綜合法。在證明不等式時，可以從已知條件出發逐步推出結論的方法是綜合法；尋找結論成立的充分條件，從而證明不等式的方法就是分析法．證明不等式的方法還可以分為直接證法和間接證法，反證法是一種間接證法．它從不等式結論的反面出發，即假設要證明的結論不成立，經過正確的推理，得出矛盾結果，從而說明假設錯誤，而要證的原不等式結論成立

在證明不等式的過程中，有時通過對不等式的某些部分作適當的放大或縮小達到證明的目的，這就是所謂的放縮法． 教科書對以上方法都結合實例加以介紹。本講內容對進一步

討論不等式提供了思想方法的基礎． 本講的教學內容中，用反證法和放縮法證明不等式是新的課程標準才引入到中學數學教學中的內容。第三講是“柯西不等式和排序不等式”．本講介紹兩個基本的不等式：柯西不等式和排序不等式，以及它們的簡單應用． 柯西不等式是基本而重要的不等式，是推證其他許多不等式的基礎，有著廣泛的應用．教科書首先介紹二維形式的柯西不等式，再從向量的角度來認識柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介紹一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在證明不等式和求某些特殊類型的函數極值中的應用。在介紹了二維形式的柯西不等式的基礎上，教科書引導學生在平面直角坐標系中，根據兩點間的距離公式以及三角形的邊長關系，從幾何意義上發現二維形式的三角不等式。接著借助二維形式的柯西不等式證明了三角不等式。在一般形式的柯西不等式的基礎上，教科書安排了一個探究欄目，讓學生通過探究得出一般形式的三角不等式。排序不等式也

是基本而重要的不等式，一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式

．有些重要不等式則可以借助排序不等式得到簡捷的證明。教科書在討論排

序不等式時，展示了一個“探究——猜想——證明——應用”的研究過程，目的是引導學生通過自己的數學活動，初步認識排序不等式的數學意義、證明方法和簡單應用。

柯西不等式、三角不等式和排序不等式也是數學課程標準正式引入到高中數學教學中。第四講是“數學歸納法證明不等式”．本講介紹了數學歸納法及其在證明不等式中的應用．對于某些不等式，必須借助于數學歸納法證明，所以在不等式選講的專題中安排這個內容是很有必要的。教科書首先結合具體例子，提出尋找一種用有限步驟處理無限多個對象的方法的問題．然后，類比多米諾骨牌游戲，引入用數學歸納法證明命題的方法，并分析了數學歸納法的基本結構和用它證明命題時應注意的問題（兩個步驟缺一不可）．接著舉例說明數學歸納法在證明不等式中的應用，特別地，證明了貝努利不等式。本專題的教學重點：不等式基本性質、基本不等式及其應用、絕對值不等式的解法及其應用；用比較法、分析法、綜合法證明不等式；柯西不等式、排序不等式及其應用； 教學難點：三個正數的算術-幾何平均不等式及其應用、絕對值不等式解法；用反證法，放縮法證明不等式；運用柯西不等式和排序不等式證明不等式；

本專題教學約需18課時，具體分配如下（僅供參考）第一講 不等式和絕對值不等式

一、不等式約３課時

二、絕對值不等式約２課時第二講 證明不等式的基本方法

一、比較法約1課時

二、綜合法與分析法約2課時

三、反證法與放縮法約1課時

第三講 柯西不等式與排序不等式一、二維形式的柯西不等式約1課時二、一般形式的柯西不等式約1課時

三、排序不等式約2課時

第四講 數學歸納法證明不等式

一、數學歸納法約2課時

二、用數學歸納法證明不等式約2課時

學習總結報告約1課時

三、編寫中考慮的幾個問題

根據課程標準，本專題應該強調不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深學生對這些不等式的數學本質的理解，提高學生的邏輯思維能力和分析解決問題的能力，我們在教科書的編寫中努力去實現課程標準的思想。

(一)重視展現不等式的幾何背景，力求讓學生對重要不等式有直觀理解

數量關系和空間形式是數學研究的兩個重要方面，不等式則是從數量關系的角度來刻畫現實世界的。我們一般借助于代數方法證明不等式。代數證明要經過一系列的變形，人們常常不能很直接地看出其中的數量關系。而借助于幾何的方法，把不等式中的有關量適當地用圖形中的幾何量表示出來，則往往能很好地指明不等關系，使學生從幾何背景的角度，直觀地，從而也是直接地理解不等式。本專題中的重要不等式都有明顯的幾何背景，教科書注意呈現不等式的幾何背景，幫助學生理解不等式的幾何本質。如對于是借助于面積關系，絕對值三角不等式是借助于向量和三角形中的邊長關系，柯西不等式是借助于向量運算，排序不等式是借助于三角形的面積。這樣，逐漸引導學生在面對一個數學問題時能從幾何角度去思考問題，找到解決問題的途徑

(二)重視數學思想方法的教學

數學思想是對于數學知識（數學中的概念、法則、性質、公式、公理、定理、方法等）的理性的、本質的、高度抽象和概括的認識，帶有普遍的指導意義，蘊涵于運用數學方法分析、處理和解決數學問題的過程之中。數學方法是研究或解決數學問題并使之達到目的的手段、方式、途徑或程序。數學思想方法的教學是中學數學教學中的重要組成部分，有利于學生加深對于具體數學知識的理解和掌握。本專題的內容包涵了豐富的數學思想方法，如應用重要不等式解決實際問題中體現出來的優化思想，在重要不等式的呈現過程中的數形結合思想，在解不等式中體現的轉化的思想，函數思想，以及證明不等式的比較法、綜合與分析法、放縮法、反證法、數學歸納法，在證明柯西不等式中的配方法等，對于這些數學思想和方法，教科書都及時作歸納和總結，使學生能夠結合具體的問題加以理解和體會。

(三)重視引導學習方式和教學方式的改進

在目前的中學數學教學實踐仍存在一些問題，就學生的學習而言，比較突出的就是被動的接受式的學習，教師偏重于灌輸式的教學，啟發式的教學原則做得不夠。學生的問題意識不強，發現問題的能力不強，獨立地解決問題的能力也不強。針對這種情況，教科書重視引導學生提出問題，教科書設置了許多探究欄目，鼓勵學生主動探究，引導學生通過類比提出問題及其解決方法，對于數學結論進行特殊化、作推廣。例如，在講述了基本不等式以后，教科書就提出了一個思考問題：“對于三個正數會有怎樣的不等式成立呢？”在證明了關于三個正數的均值不等式以后，又直接給出了一般的均值不等式；在證明了二維和三維的柯西不等式以后，就設置了一個探究性問題“對比二維形式三維形式的柯西不等式，你能猜想一般形式的柯西不等式嗎？”；再如“一般形式的三角不等式應該是怎樣的？如何應用一般形式的柯西不等式證明它？請同學自己探究。”等等，這樣的探究性問題在教科書中處處可見。

(四)注意發展數學應用意識

重要不等式在許多實際問題中可以得到應用，在實際工作中常常能起到節約能源，降低成本，提高效率，加快速度等作用。在本專題中，教科書注意體現數學在實際工作中的廣泛應用，編寫了一些體現數學應用的例、習題。如經典的等周問題、盒子體積問題、施工隊臨時生活區選點問題、關于面積和體積的最值問題。通過這些簡單的應用問題，使學生體會數學在實踐中的作用。

四、對教學的幾個建議

(一)注意把握教學要求

無論是不等式還是數學歸納法，都已經發展成為內容非常豐富的初等數學分支，也出版了一些專門的論著，老師們對于這些內容一般都有豐富的教學經驗，很容易把這些內容作一

些拓展和補充。所以，在這個專題的教學中，要特別注意把握好教學要求，不要隨意提高教學要求，而應該按照數學課程標準的要求來控制教學的深廣度。課程標準對于本專題的幾個教學內容都明確的教學要求，如：對于解含有絕對值的不等式，只要求能解幾種特殊類型的不等式，不要求學生會解各種類型的含有絕對值的不等式。對于數學歸納法在證明不等式的要求也只要求會證明一些簡單問題。只要求通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法，會利用所學的不等式證明一些簡單不等式，等等。

另外，在不等式和數學歸納法的許多問題中，常常需要一些技巧性比較強的恒等變形，在本專題的教學中則要控制這方面的教學要求，不要使教學陷于過于形式化和復雜的恒等變形的技巧之中，教學中不要補充一些代數恒等變形過于復雜或過于技巧化的問題和習題，以免沖淡對于基本思想方法的理解，也不要引入一些過于專業和形式化、抽象化的數學符號語言，對于數學歸納法的理解，不必要求學生對于方法的理解水平提高到專業數學工作者才需要的數學理論高度，而只需要通過一些學生容易理解的數學問題中加深對于方法的理解和掌握。對于大多數的學生來說，要重視通過比較簡單的問題讓學生認識、理解和掌握這部分的基本數學思想和方法。

當然，對于部分確有余力的學生，仍可以適當對于教學內容作一些拓展，如可以介紹一般的均值不等式的證明及其應用，以使學生對于這一重要不等式有一個比較完整的了解。

(二)要抓住教學重點

無論對于基本不等式、柯西不等式、排序不等式，還是解含有絕對值的不等式，不等式證明的方法，或數學歸納法的教學，都要抓住教學重點，抓住基本思想基本方法的教學，力求以簡馭繁。對于幾個重要不等式，最基本的是二元(二維)的情況，核心的思想也是在二元(二維)的不等式中得到直接的體現；對于不等式的證明的最基本的方法是比較法；解含有絕對值的不等式的最基本和有效的方法是分區間來加以討論，把含有絕對值的不等式轉化為不含絕對值的不等式；讓學生能對數學歸納法思想真正理解和掌握，就能使學生靈活地加以應用。這樣，學生就能掌握本專題最基本也是最重要的知識。