第一篇：不等式選講心得體會[范文]

《不等式選講》心得體會

從開學到實習前，《不等式選講》這門課我們已經上了一個月了。在這一個月里，我們學習了講義里的第一、二章和第三章的第一、二講。下面，我將對我在這一個月的學過的東西做一個總結，并談談自己的體會和感想。

第一章是緒論，介紹了一百年來Hilbert型不等式理論的研究概況及其思想方法的由來與演變。1908年，德國數學家D.Hilbert證明了著名的Hilbert不等式，其中常數因子π的最佳性證明是由Sohur于1911年完成的，他同時還給出了Hilbert不等式的積分類似形式，稱為Hilbert積分不等式。這兩個不等式是分析學的重要不等式，后面在這一領域的研究者，都是為了這兩個不等式的改進，推廣及應用，其成果在中外各類數學文獻及不等式專著都可見到。1925年，Hardy與Riesz等引入一對共軛指數(p,q)(1/p+1/q=1)，將Hilbert不等式推廣為Hardy-Hilbert不等式。Hardy等在文【3】大致建立了-1齊次核的Hilbert型不等式理論。而此后近60年，文【3】的基本成果及方法并沒有得到拓展。一直到了1979年，我國學者胡克改進了 Hilbert不等式。之后，1998年，印度數學家B.G.Pachpatte得出 Hilbert積分不等式的一個類似形式，由此而來，引出了一系列的改進及推廣應用。1998年，楊必成教授引入參數λ∈(0，1]及0＜a＜b＜∞，得出Hilbert積分不等式的推廣式。1999年，高明哲應用分析及代數向量的方法，得出Hilbert積分不等式的一個改進式。2002年，英國數學家Zhang Kewei應用算子理論，得到一個Hilbert積分不等式的改進式。1991年，我國數學家徐利治等提出了旨在改進 Hilbert不等式的權系數方法。這些近代研究成果及研究思想，極大地推動了對Hilbert型不等式的系統研究。

從1908年數學家D.Hilbert證明Hilbert不等式到今天，這一百年來，我們可以看到，那么多的科學研究者在為改進及推廣，應用Hilbert不等式和Hilbert積分不等式做努力。牛頓曾說過，他是站在巨人的肩膀上，科學的道路都是曲折難行的，要建起一座高大堅固的知識體系墻，科學研究者們只能盡自己最大的努力，往上面徹磚，看著它慢慢從地面一層層的增高。我們必須向那些不畏艱難，勇攀高峰的科學家們致以最崇高的敬意！同時，我們也必須努力向那些勇敢直前，努力探索未知領域的偉人們學習！

第二章內容分為十講，介紹了Euler-Maclaurin公式的兩類精確化改進公式及級數的估值理論，為估算權系數準備良好的方法。其中第一講介紹了一類正項級數的估值方法，提出并證明了三個定理，并舉了一個例子。第二講介紹了Bernoulli數和Bernoulli 多項式。第三講介紹了 Bernoulli函數，介紹了一階Bernoulli函數P1(t)的積分性質。第四講介紹了級數求和的Euler-Maclaurin公式。第五講介紹了涉及級數余項的第一估值式及其改進式。第六講舉了一個例子，并提出了一個推論。第七講介紹了涉及級數余項的第二估值式，將推論2的結果改進為定理6，并對定理6進行了證明。第八講介紹了關于δq(m,n)的估值及一些實用不等式。在第五講的定理5和第七講的定理6中，取g(t)=f(2q+1)(t),就可以得到 δq(m,n)的估值了。第九講介紹了一類收斂級數及發散級數的估值式，考察式(4.3)當n→∞的情形，結合推論3和推論4，得出定理7。其中有一種方法，先取較少的n，代入具體的m估算βm，最后，對較大(或一般)的n，估算其有限和。用這種方法還可以求得一些重要和數的估值公式。第十講則是舉了三個應用實例。這一章內容通過深入淺出的分析，展開對一類無窮級數估值方法的討論，為拓展離散型不等式的研究鋪平了道路，其中有許多證明方法是很值得我們學習的！

而第三章內容則深入淺出地介紹了Hilbert積分不等式發表100年來的發展變化權函數方法的具體應用及如何利用實分析的方法證明常數因子的最佳性。其中第一講介紹了Hilbert積分不等式及其等價式，給出了具體的證明過程。不等式等價性及常數因子的最佳性的證明用了精致的分析技巧，值得我們好好學習借鑒。第二講介紹了Hardy-Hilbert積分不等式及其等價式，也對其進行了具體的證明。

總的來說，第一章就是介紹了Hilbert不等式的發展史，第二章可以說更多內容是為后面的學習做鋪墊，從第三章開始，我們才算正式開始學習Hilbert不等式及其改進式，推廣式。期待在實習回來后的一個月，能繼續學習到更多的關于Hilbert不等式的知識！

第二篇：不等式選講高考題

不等式選講高考題

1.(2011年高考山東卷理科4)不等式|x?5|?|x?3|?10的解集為

（A）[-5.7]（B）[-4,6]

（C）(??,?5]?[7,??)（D）(??,?4]?[6,??)

2.(2011年高考天津卷理科13)

已知集合A?x?R|x?3?x?4?9,B??x?R|x?4t?,t?(0,??)?，則集合???

?1t??

A?B=________.3.對于實數x，y，若x?1?1，y?2?1，則x?2y?1的最大值為.4．(2011年高考陜西卷理科15)若關于x的不等式a?x??x?2存在實數解，則實數a的取值范圍是

5．(2011年高考遼寧卷理科24)選修4-5：不等式選講

已知函數f（x）=|x-2|-|x-5|.（I）證明：-3≤f（x）≤3；

（II）求不等式f（x）≥x-8x+15的解集.6.(2011年高考全國新課標卷理科24)（本小題滿分10分）選修4-5不等選講 設函數f(x)?x?a?3x,a?0（1）當a?1時，求不等式f(x)?3x?2的解集；(2)如果不等式f(x)?0的解集為xx??1，求a的值。

7.(2011年高考江蘇卷21)選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）

解不等式：x?|2x?1|?

2??

8．（2009廣東14)不等式|x?1|?1的實數解為.|x?2|

9.(2011年高考福建卷理科21)設不等式2x-＜1的解集為M．

（I）求集合M；

（II）若a，b∈M，試比較ab+1與a+b的大小

10．（2010年高考福建卷理科21）選修4-5：不等式選講 已知函數

（Ⅰ）若不等式。的解集為，求實數的值； 對一切實數x恒成立，求實數m的取值（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若

范圍。

11．（2007海南、寧夏，22C，10分）（選修4 –5：不等式選講）設函數f(x)?|2x?1|?|x?4|.（1）解不等式f(x)?2；

（2）求函數y?f(x)的最小值。

12.2009遼寧選作24）設函數f(x)?|x?1|?|x?a|.f(x)?3；（I）若a??1,解不等式（II）如果?x?R,f(x)?2,求a的取值范圍。

第三篇：專題：不等式選講

專題：不等式選講

1、已知函數f(x)?log2(|x?1|?|x?5|?a).（Ⅰ）當a?5時，求函數f(x)的定義域；

（Ⅱ）當函數f(x)的定義域為R時，求實數a的取值范圍。

2、設a,b,c為不全相等的正數，證明：2(a?b?c)?a(b?c)?b(a?c)?c(a?b)

a?b?a?b?ma3、對于任意實數a（a?0）和b，不等式恒成立，記實數m的最大333222

值為M。（1）求M的值；（2）解不等式：

4、設函數f(x)?2x?1?x?2．

（Ⅰ）求不等式f(x)?2的解集；

2（Ⅱ）若?x?R，f(x)?t?x?1?x?2?M。11

2t恒成立，求實數t的取值范圍．

5、已知函數f(x)?2x?a?a．

（1）若不等式f(x)?6的解集為?x?2?x?3?，求實數a的值；

（2）在（1）的條件下，若存在實數n使f(n)?m?f(?n)成立，求實數m的取值范圍．

6、已知a,b,c都是正數，且a,b,c成等比數列，求證：a2?b2?c2?(a?b?c)27、已知函數f(x)＝|x＋1|，(1)解不等式f(x)≥2x＋1；

(2)?x∈R，使不等式f(x－2)－f(x＋6)＜m成立，求m的取值范圍

8、若關于x的不等式x?a?x?2?a?2010的解集為非空集合，求實數a的取值范圍。

9、設關于x的不等式x?1?a?x.(I)當a?2，解上述不等式。（II）若上述關于x的不等式有解，求實數a的取值范圍。

10、設函數f?x??x?1?x?2

f?x??3 對?x?R恒成立，求實數a的取值范圍。(1)解不等式(2)若f?x??a11、已知函數f(x)?|x?2|?|x?1|.g(x)?ax?3x?3

x2（1）試求f(x)(a?0)的值域；（2）設，若對?s?(0,??),?t(??,??)，恒有g(s)?f(t)成立，試求實數a的取值范圍。

第四篇：不等式選講測試題

不等式選講測試題

一、選擇題：(本大題共8小題，每小題5分，共40分．)

1．若a,b是任意的實數,且a>b,則()

(A)a?b(B)

2．不等式2211b?1(C)lg(a-b)>0(D)()a?()b 22a2??3的解集是()x

2222(A)(??,?)(B)(??,?)?(0,??)(C)(?,0)?(0,??)(D)(?,0)3333

3．在直徑為4的圓內接矩形中,最大的面積是()

(A)4(B)2(C)6(D)8

4．已知3x+y=10,則x2?y2的最小值為（）

1(B)．10(C)．1(D)．100 10

5．不等式|x-1|+|x+2|?5的解集為()(A)．

(A).???,?2???2,???(B).???,?1???2,???

(C).???,?2???3,???(D).???,?3???2,???

6．若n>0,則n+32的最小值為()2n

A．2B．4C．6D． 8

7．若正數a,b滿足ab=a+b+3,則ab的最值范圍為()

A.?6,???B.?9,???C.???,9?D.8．已知a,b,c是正實數,且a+b+c=1,則111??的最小值為()abc

A..3B.6C.9D.12

二．填空題：本大題共6小題；每小題5分，共30分．

9．函數y=5x?1?25?x的最大值為；

10．若不等式mx?mx?1?0對一切x?R都成立，則m的取值范圍是11．如果關于x的不等式|x-4|-|x+5|?b的解集為空集,則參數b的取值范圍2

為.12．建造一個容積為18 m，深為2 m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁每平方米的造價分別為200元和150元，那么池的最低造價為：__________.13．設a, b?R?，若a?b?5，求a?2b的最大值為：_______。

14．（1）ba?≥2成立當且僅當a,b均為正數。ab223

（2）y?2x2?3,(x?0)的最小值是34。x

2273（3）y?x(a?2x)2,(0?x?a)的最大值是2a。

（4）|a＋1|≥2成立當且僅當a≠0。a

以上命題是真命題的是：

15.(15分)已知數列{an}是正數組成的數列，其前n項和為Sn，對于一切n?N均有an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項。

（1）計算a1,a2,a3,并由此猜想{an}的通項公式an；

（2）用數學歸納法證明（1）中你的猜想。

16.(15分)解不等式?x?3x?2?4?3x2?

答案:

DBDBDCBC 9.22910.?4?m?011.b>912.540013.514.(4)(5)

2a?2(a?2)nn15.解：（1）由可求得a1?Sn得Sn?28?2,a2?6,a3?10，┈5分

由此猜想{an}的通項公式an?4n?2(n?N?)。┈┈┈7分

（2）證明：①當n?1時，a1?2，等式成立；┈┈┈9分②假設當n?k時，等式成立，即ak?4k?2，┈┈┈11分

(ak?1?2)2(ak?2)2

?ak?1?Sk?1?Sk??88

?(ak?1?ak)(ak?1?ak?4)?0,又ak?1?ak?0

?ak?1?ak?4?0，?ak?1＝ak＋4?4k－2＋4?4(k?1)?2

?當n?k?1時，等式也成立。┈┈┈13分 由①②可得an?4n?2(n?N?)成立。┈┈┈15分 16解：原不等式等價于下列兩個不等式組得解集的并集：

?4?3x?0??x2?3x?2?0?2Ⅰ：??x?3x?2?04分Ⅱ：?4分 ?4?3x?0??x2?3x?2?(4?3x)2?

4?x??3464?解Ⅰ：?1?x?2??x? 3分解Ⅱ：?x?23分 353?6?x?3

?52?

6∴原不等式的解集為{x|?x?2} 2分 5

第五篇：選修4-5----不等式選講測試題

選修4-5不等式選講測試題

一.選擇題：

1.若a,b是任意的實數,且a>b,則()A．a2?b2B．2.若

1a?1b

?0,則下列不等式中

b

1a1b

?1C． lg(a-b)>0D．()?()

22a

(1)a?b?ab

(2)|a|>|b|(3)a

ba

?

ab

?

2正確的個數是()

A．1B． 2C． 3D．4 3.不等式|x-1|+|x+2|?5的解集為()

A． ???,?2???2,???B． ???,?1???2,???C． ???,?2???3,???D．???,?3???2,??? 4.下列結論不正確的是()A．x,y為正數,則

xy?yx

?2B．

x?2x?

122

?2C．lgx?logx10?2D．a?0,則(1?a)(1?

1a)?

45.如果a>0,且a?1,M?loga(a3?1),N?loga(a2?1),那么()

A．M>NB．M0,則n+A．2

32n

2的最小值為()

C．6

D． 8

B．4

7.已知3x+y=10,則x2?y2的最小值為()A．

B．10C．1D．100

8.函數y=5x?1?25?x的最大值為()

A．108B．63C．10D．279.已知0?a,b?1，用反證法證明a(1?b),b(1?a)不能都大于A．a(1?b),b(1?a)都大于

時，反設正確的是()

14，B．a(1?b),b(1?a)都小于

C．a(1?b),b(1?a)都大于或等于D．a(1?b),b(1?a)都小于或等于

10.已知a,b?R，且abA．a?b

?a?b

?0，則()

?a?b

B．a?b

aa?b?c

C．a?b

cc?d?a

?a?b

D．a?b

?a?b

11.a,b,c?R

?，設

S??

bb?c?d

??

dd?a?b，則下列判斷中正確的是()

A． 0?S?1B． 1?S?2C． 2?S?3D． 3?S?4

1111

312．用數學歸納法證明不等式＋＋…＋<(n≥2，n∈N*)的過程中，由n＝k遞推

n＋1n＋22n14

到n＝k＋1時不等式左邊()

A．增加了一項B．增加了兩項、2?k＋1?2k＋12k＋2

C．增加了B中兩項但減少了一項D．以上各種情況均不對

k＋1二．填空題：

13.已知2x?3y?6z?12，求x2?y2?z2的最小值是 14.已知a1=,an+1=

3anan?3,則an=____________

15.如果關于x的不等式|x-4|-|x+5|?b的解集為空集,則b的取值范圍為16.設A?

?

?1

?

?2

????

?1，則A與1的大小關系是_____________

三．解答題：

17．（12分）（1）證明：a2?b2?2(2a?b)?5(2)證明：5??3?8

18.（12分）用數學歸納法證明：1?

12?13???

n

?

n?22,?n?N,n?2?

19.（12分）已知函數f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)證明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．

20.（12分）已知對于任意正數a1,a2,a3,有不等式:a1?

1a1

?1,(a1?a2)?（1a1

?1a2)?4,(a1?a2?a3)?（1a1

?

1a2

?

1a3)?9,…

(1)從上述不等式歸納出一個適合任意正數a1,a2,...,an的不等式.(2)用數學歸納法證明你歸納得到的不等式.21（22分）如圖，四邊形PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，∠MBC＝45°,PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°.（1）求證：平面PAC⊥平面ABC；

（2）求異面直線PA和BC所成角的余弦值；

（3）求直線AB與平面MAC所成角的正弦值；（4）求二面角M?AC?B的余弦值；（5）求三棱錐P?MAC的體積。