第一篇：高2013級高三數學不等式選講專題
不等式選講
【2013年高考會這樣考】 1．考查含絕對值不等式的解法． 2．考查有關不等式的證明． 3．利用不等式的性質求最值． 【復習指導】
本講復習時，緊緊抓住含絕對值不等式的解法，以及利用重要不等式對一些簡單的不等式進行證明．該部分的復習以基礎知識、基本方法為主，不要刻意提高難度，以課本難度為宜，關鍵是理解有關內容本質.不等式選講部分知識點 1．含有絕對值的不等式的解法(1)|f(x)|＞a(a＞0)?；(2)|f(x)|＜a(a＞0)?；
(3)對形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用絕對值不等式的幾何意義求解． 2．含有絕對值的不等式的性質 ≤|a±b|≤3．基本不等式
定理1：設a，b∈R，則a2＋b2≥2ab.當且僅當a＝b時，等號成立． a＋b
定理2：如果a、b為正數，則2ab，當且僅當a＝b時，等號成立．
a＋b＋c定理3：如果a、b、c為正數，則abc，當且僅當a＝b＝c時，等號成立．
3a1＋a2＋…＋an定理4：(一般形式的算術－幾何平均值不等式)如果a1、a2、…、an為n個正數，則≥a1a2n，n當且僅當a1＝a2＝…＝an時，等號成立 4．柯西不等式
2222
2（1）柯西不等式的代數形式：設a,b,c,d為實數，則(a?b)(c?d)?(ac?bd)，當且僅當ad?bc時等
使得ai?kbi(i?1,2,???,n)時，等號成立。
（3）柯西不等式的向量形式：設,?，當且僅當這兩個向量同向或反向時等號成立。
5．不等式的證明方法
證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等．
雙基自測
1．不等式1＜|x＋1|＜3的解集為________ 2．不等式|x－8|－|x－4|＞2的解集為________
3．已知關于x的不等式|x－1|＋|x|≤k無解，則實數k的取值范圍是________ 4．若不等式|3x－b|＜4的解集中的整數有且僅有1,2,3，則b的取值范圍為______
5．如果關于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是全體實數，則實數a的取值范圍是_______
考向一 含絕對值不等式的解法
【例1】?設函數f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解不等式f(x)＞2；(2)求函數y＝f(x)的最小值．
【訓練1】 設函數f(x)＝|x－1|＋|x－a|.(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；
(2)如果?x∈R，f(x)≥2，求a的取值范圍．
考向二 不等式的證明
【例2】?證明下列不等式：
(1)設a≥b＞0，求證：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2；(2)a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc；
1(3)a6＋8b6＋27c6≥2a2b2c2.?111
2【訓練2】(2010·遼寧)已知a，b，c均為正數，證明：a＋b＋c＋?abc≥63，并確定a，b，??
號成立。
（2）若a1,bi(i?N?)為實數，則（c為何值時，等號成立．(三數均值不等式，再兩數均值不等式)
考向三 利用基本不等式或柯西不等式求最值
【例3】?已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求3a＋1＋3b＋13c＋1的最大值．
?a)(?b
ii?1
i?1
nn
2i)?(?aibi)2,當且僅當bi?0(i?1,2,???,n)或存在一個數k，i?1
n
（柯西不等式或平方后均值不等式）
【訓練3】 已知a＋b＋c＝1，m＝a2＋b2＋c2，求m的最小值
11．已知函數f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)證明：－3≤f(x)≤3；
(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．
12．已知a，b是不相等的正實數．求證：(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.13．已知函數f(x)＝|x－1|＋|x－2|.若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求實數x的取值范圍．
14．設不等式|2x－1|<1的解集為M.(1)求集合M；
(2)若a，b∈M，試比較ab＋1與a＋b的大小．
15．設函數f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)當a＝1時，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤－1}，求a的值．
16． 已知f(x)?x2?|2x?4|?a．
（1）當a??3時，求不等式f(x)?x2?|x|的解集；
（2）若不等式f(x)?0的解集為實數集R，求實數a的取值范圍．
17.設A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐標系上的兩點，定義點A到點B的曼哈頓距離L(A,B)?|x1?x2|?|y1?y2|.若點A(-1,1)，B在曲線y2?x上，則L(A,B)的最小值為
參考答案
不等式選講(選修4－5)強化訓練
一、填空題
11．設a、b為正數，且a＋b＝1，則2ab的最小值是________． 2．已知實數x、y滿足3x2＋2y2≤6，則P＝2x＋y的最大值是________． 3．函數yx3－x的最大值為________．
4．關于x的不等式|x－2|＋|x－a|≥2a在R上恒成立，則實數a的最大值是______． 5．設a>b>0，x＝a＋b－a，y＝a－a－b，則x、y的大小關系是xy 6．不等式|x|＋|x－1|<2的解集是________．
7．設函數f(x)＝|x－4|＋|x－1|，則f(x)的最小值是________，若f(x)≤5，則x的取值范圍是________．
18．設x,y?R,則(x2?2)(2?4y2)的最小值為。
yx
9．對于實數x,y，若x??1，y?2?1，則x?2y?的最大值為
二、解答題
10．如圖，O為數軸的原點，A，B，M為數軸上三點，C為線段OM上的動點．設x表示C與原點的距離，y表示C到A距離的4倍與C到B距離的6倍的和．
(1)將y表示為x的函數；
(2)要使y的值不超過70，x應該在什么范圍內取值？
1.解析：本題考查均值不等式求最小值，按不同的變形方式的解法也有很多．最常見的解法：
11a＋ba＋b1ba3ba32a＋b2ab22a1＋b2＋2a＋b2＋
2ba32ab22.5－2xx<1??
7.解析：函數f(x)＝?31≤x≤
4??2x－5x>4，可分段求函數的最小值，得f(x)min＝3.2.解析：本題考查圓錐曲線的參數方程、三角函數的和差角公式等知識．所給不
??x＝2cosθx2y2
等式表示的區域為橢圓23＝1及其邊界部分．設橢圓的參數方程為?(θ
??y3sinθ
???x<1?1≤x≤4?x>4，解不等式組?或?或?求并集得所求x的取值范圍
???5－2x≤5?3≤5?2x－5≤5，是[0,5]．
8.解析：由柯西不等式可知(x2?
11)(2?4y2)?(1?2)2?9 2
yx
為參數，0≤θ<2π)，則P＝22cosθ＋3sinθ＝11sin(α＋θ)．故P11.3.解析：由柯西不等式得x＋3－x≤?1＋1??x＋3－x?＝6.4.解析：本小題考查了絕對值的定義，令f(x)＝|x－2|＋|x－a|，當a>2時，易知f(x)的值域為[a－2，＋∞)，使f(x)≥2a恒成立，需a－2≥2a成立，即a≤－2(舍去)．
當a<2時，f(x)的值域為[2－a，＋∞)，使f(x)≥2a恒成立，需2－a≥2a成立，2即a≤3.當a＝2時，需|x－2|≥a恒成立，即a≤0(舍去)． 2
綜上a的最大值為3bb
5.解析：由x－y＝a＋b－a－a－a－b)＝－a＋b＋aa＋a－bb?a－
b－a＋b?，所以x 0?x?2，1?y?3，9.此題，看似很難，但其實不難，首先解出x的范圍，再解出y的范圍，最后綜合解出x-2y+1的范圍??5,1?，那么絕對值最大，就取5 10.解：(1)y＝4|x－10|＋6|x－20|,0≤x≤30.??4|x－10|＋6|x－20|≤70，(2)依題意，x滿足?解不等式組，其解集為[9,23]． ?0≤x≤30.? －3，x≤2，?? 11.解：(1)證明：f(x)＝|x－2|－|x－5|＝?2x－7，2 當2 6.解析：根據絕對值的幾何意義，可直接得到解集為?－22?.?? 綜上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集為{x|5－3≤x≤6}． 12.證明：因為a，b是正實數，所以a2b＋a＋b2≥3ab·a·b＝3ab>0，當且僅當 b＝a＝b2，即a＝b＝1時，等號成立； 同理：ab2 ＋a2 ＋b≥3ab·a·b＝3ab>0，當且僅當a＝b＝1時，等號成立． 所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)≥9a2b2，當且僅當a＝b＝1時，等號成立． 因為a≠b，所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.13.解：由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)且a≠0得|a＋b|＋|a－b||a|≥f(x)． |a＋b|＋|a－b||a＋b＋a－b||a||a|＝2，則有2≥f(x)． 解不等式|x－1|＋|x－2|≤2152x≤214.解：(1)由|2x－1|<1得，－1<2x－1<1，解得0 ???x≥a，??x?x≥a，?x≤a，??x－a＋3x≤0，或?≤a，??a－x＋3x≤0，即?x≤a或? ?4 ?x≤－a 因為a>0，所以不等式組的解集為? ?? x|x≤－a?2? .a 2＝－1，故a＝2.a2 不等式選講高考題 1.(2011年高考山東卷理科4)不等式|x?5|?|x?3|?10的解集為 （A）[-5.7]（B）[-4,6] （C）(??,?5]?[7,??)（D）(??,?4]?[6,??) 2.(2011年高考天津卷理科13) 已知集合A?x?R|x?3?x?4?9,B??x?R|x?4t?,t?(0,??)?，則集合??? ?1t?? A?B=________.3.對于實數x，y，若x?1?1，y?2?1，則x?2y?1的最大值為.4．(2011年高考陜西卷理科15)若關于x的不等式a?x??x?2存在實數解，則實數a的取值范圍是 5．(2011年高考遼寧卷理科24)選修4-5：不等式選講 已知函數f（x）=|x-2|-|x-5|.（I）證明：-3≤f（x）≤3； （II）求不等式f（x）≥x-8x+15的解集.6.(2011年高考全國新課標卷理科24)（本小題滿分10分）選修4-5不等選講 設函數f(x)?x?a?3x,a?0（1）當a?1時，求不等式f(x)?3x?2的解集；(2)如果不等式f(x)?0的解集為xx??1，求a的值。 7.(2011年高考江蘇卷21)選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分） 解不等式：x?|2x?1|? 2?? 8．（2009廣東14)不等式|x?1|?1的實數解為.|x?2| 9.(2011年高考福建卷理科21)設不等式2x-＜1的解集為M． （I）求集合M； （II）若a，b∈M，試比較ab+1與a+b的大小 10．（2010年高考福建卷理科21）選修4-5：不等式選講 已知函數 （Ⅰ）若不等式。的解集為，求實數的值； 對一切實數x恒成立，求實數m的取值（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若 范圍。 11．（2007海南、寧夏，22C，10分）（選修4 –5：不等式選講）設函數f(x)?|2x?1|?|x?4|.（1）解不等式f(x)?2； （2）求函數y?f(x)的最小值。 12.2009遼寧選作24）設函數f(x)?|x?1|?|x?a|.f(x)?3；（I）若a??1,解不等式（II）如果?x?R,f(x)?2,求a的取值范圍。 專題：不等式選講 1、已知函數f(x)?log2(|x?1|?|x?5|?a).（Ⅰ）當a?5時，求函數f(x)的定義域； （Ⅱ）當函數f(x)的定義域為R時，求實數a的取值范圍。 2、設a,b,c為不全相等的正數，證明：2(a?b?c)?a(b?c)?b(a?c)?c(a?b) a?b?a?b?ma3、對于任意實數a（a?0）和b，不等式恒成立，記實數m的最大333222 值為M。（1）求M的值；（2）解不等式： 4、設函數f(x)?2x?1?x?2． （Ⅰ）求不等式f(x)?2的解集； 2（Ⅱ）若?x?R，f(x)?t?x?1?x?2?M。11 2t恒成立，求實數t的取值范圍． 5、已知函數f(x)?2x?a?a． （1）若不等式f(x)?6的解集為?x?2?x?3?，求實數a的值； （2）在（1）的條件下，若存在實數n使f(n)?m?f(?n)成立，求實數m的取值范圍． 6、已知a,b,c都是正數，且a,b,c成等比數列，求證：a2?b2?c2?(a?b?c)27、已知函數f(x)＝|x＋1|，(1)解不等式f(x)≥2x＋1； (2)?x∈R，使不等式f(x－2)－f(x＋6)＜m成立，求m的取值范圍 8、若關于x的不等式x?a?x?2?a?2010的解集為非空集合，求實數a的取值范圍。 9、設關于x的不等式x?1?a?x.(I)當a?2，解上述不等式。（II）若上述關于x的不等式有解，求實數a的取值范圍。 10、設函數f?x??x?1?x?2 f?x??3 對?x?R恒成立，求實數a的取值范圍。(1)解不等式(2)若f?x??a11、已知函數f(x)?|x?2|?|x?1|.g(x)?ax?3x?3 x2（1）試求f(x)(a?0)的值域；（2）設，若對?s?(0,??),?t(??,??)，恒有g(s)?f(t)成立，試求實數a的取值范圍。 《不等式選講》心得體會 從開學到實習前，《不等式選講》這門課我們已經上了一個月了。在這一個月里，我們學習了講義里的第一、二章和第三章的第一、二講。下面，我將對我在這一個月的學過的東西做一個總結，并談談自己的體會和感想。 第一章是緒論，介紹了一百年來Hilbert型不等式理論的研究概況及其思想方法的由來與演變。1908年，德國數學家D.Hilbert證明了著名的Hilbert不等式，其中常數因子π的最佳性證明是由Sohur于1911年完成的，他同時還給出了Hilbert不等式的積分類似形式，稱為Hilbert積分不等式。這兩個不等式是分析學的重要不等式，后面在這一領域的研究者，都是為了這兩個不等式的改進，推廣及應用，其成果在中外各類數學文獻及不等式專著都可見到。1925年，Hardy與Riesz等引入一對共軛指數(p,q)(1/p+1/q=1)，將Hilbert不等式推廣為Hardy-Hilbert不等式。Hardy等在文【3】大致建立了-1齊次核的Hilbert型不等式理論。而此后近60年，文【3】的基本成果及方法并沒有得到拓展。一直到了1979年，我國學者胡克改進了 Hilbert不等式。之后，1998年，印度數學家B.G.Pachpatte得出 Hilbert積分不等式的一個類似形式，由此而來，引出了一系列的改進及推廣應用。1998年，楊必成教授引入參數λ∈(0，1]及0＜a＜b＜∞，得出Hilbert積分不等式的推廣式。1999年，高明哲應用分析及代數向量的方法，得出Hilbert積分不等式的一個改進式。2002年，英國數學家Zhang Kewei應用算子理論，得到一個Hilbert積分不等式的改進式。1991年，我國數學家徐利治等提出了旨在改進 Hilbert不等式的權系數方法。這些近代研究成果及研究思想，極大地推動了對Hilbert型不等式的系統研究。 從1908年數學家D.Hilbert證明Hilbert不等式到今天，這一百年來，我們可以看到，那么多的科學研究者在為改進及推廣，應用Hilbert不等式和Hilbert積分不等式做努力。牛頓曾說過，他是站在巨人的肩膀上，科學的道路都是曲折難行的，要建起一座高大堅固的知識體系墻，科學研究者們只能盡自己最大的努力，往上面徹磚，看著它慢慢從地面一層層的增高。我們必須向那些不畏艱難，勇攀高峰的科學家們致以最崇高的敬意！同時，我們也必須努力向那些勇敢直前，努力探索未知領域的偉人們學習！ 第二章內容分為十講，介紹了Euler-Maclaurin公式的兩類精確化改進公式及級數的估值理論，為估算權系數準備良好的方法。其中第一講介紹了一類正項級數的估值方法，提出并證明了三個定理，并舉了一個例子。第二講介紹了Bernoulli數和Bernoulli 多項式。第三講介紹了 Bernoulli函數，介紹了一階Bernoulli函數P1(t)的積分性質。第四講介紹了級數求和的Euler-Maclaurin公式。第五講介紹了涉及級數余項的第一估值式及其改進式。第六講舉了一個例子，并提出了一個推論。第七講介紹了涉及級數余項的第二估值式，將推論2的結果改進為定理6，并對定理6進行了證明。第八講介紹了關于δq(m,n)的估值及一些實用不等式。在第五講的定理5和第七講的定理6中，取g(t)=f(2q+1)(t),就可以得到 δq(m,n)的估值了。第九講介紹了一類收斂級數及發散級數的估值式，考察式(4.3)當n→∞的情形，結合推論3和推論4，得出定理7。其中有一種方法，先取較少的n，代入具體的m估算βm，最后，對較大(或一般)的n，估算其有限和。用這種方法還可以求得一些重要和數的估值公式。第十講則是舉了三個應用實例。這一章內容通過深入淺出的分析，展開對一類無窮級數估值方法的討論，為拓展離散型不等式的研究鋪平了道路，其中有許多證明方法是很值得我們學習的！ 而第三章內容則深入淺出地介紹了Hilbert積分不等式發表100年來的發展變化權函數方法的具體應用及如何利用實分析的方法證明常數因子的最佳性。其中第一講介紹了Hilbert積分不等式及其等價式，給出了具體的證明過程。不等式等價性及常數因子的最佳性的證明用了精致的分析技巧，值得我們好好學習借鑒。第二講介紹了Hardy-Hilbert積分不等式及其等價式，也對其進行了具體的證明。 總的來說，第一章就是介紹了Hilbert不等式的發展史，第二章可以說更多內容是為后面的學習做鋪墊，從第三章開始，我們才算正式開始學習Hilbert不等式及其改進式，推廣式。期待在實習回來后的一個月，能繼續學習到更多的關于Hilbert不等式的知識！ 選修4-5 不等式選講 課 題： 不等式的基本性質 二、不等式的基本性質： 1、實數的運算性質與大小順序的關系： 數軸上右邊的點表示的數總大于左邊的點所表示的數，從實數的減法在數軸上的表示可知： a?b?a?b?0 a?b?a?b?0 a?b?a?b?0 得出結論：要比較兩個實數的大小，只要考察它們的差的符號即可。 2、不等式的基本性質： ①、如果a>b，那么b 推論：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b，c>d ?a+c>b+d． ④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac ⑤、如果a>b >0，那么an?bn(n?N，且n>1)⑥、如果a>b >0，那么na?nb(n?N，且n>1)。 課 題： 含有絕對值的不等式的證明 一、引入： 證明一個含有絕對值的不等式成立，除了要應用一般不等式的基本性質之外，經常還要用到關于絕對值的和、差、積、商的性質： （1）a?b?a?b（2）a?b?a?b（3）a?b?a?b（4） ab?a(b?0)b請同學們思考一下，是否可以用絕對值的幾何意義說明上述性質存在的道理？ 實際上，性質a?b?a?b和 ab?a(b?0)可以從正負數和零的乘法、除法法則直接推出；而b絕對值的差的性質可以利用和的性質導出。因此，只要能夠證明a?b?a?b對于任意實數都成立即可。我們將在下面的例題中研究它的證明。 現在請同學們討論一個問題：設a為實數，a和a哪個大？ 顯然a?a，當且僅當a?0時等號成立（即在a?0時，等號成立。在a?0時，等號不成立）。同樣，a??a.當且僅當a?0時，等號成立。 含有絕對值的不等式的證明中，常常利用a??a、a??a及絕對值的和的性質。 二、典型例題： 例 1、證明（1）a?b?a?b，（2）a?b?a?b。 證明（1）如果a?b?0,那么a?b?a?b.所以a?b?a?b?a?b.如果a?b?0,那么a?b??(a?b).所以a?b??a?(?b)??(a?b)?a?b （2）根據（1）的結果，有a?b??b?a?b?b，就是，a?b?b?a。 所以，a?b?a?b。 探究：試利用絕對值的幾何意義，給出不等式a?b?a?b的幾何解釋？ 含有絕對值的不等式常常相加減，得到較為復雜的不等式，這就需要利用例1，例2和例3的結果來證明。 cc例 4、已知 x?a?,y?b?，求證(x?y)?(a?b)?c.22證明(x?y)?(a?b)?(x?a)?(y?b)?x?a?y?b（1） ?x?a?cc,y?b?，22cc∴x?a?y?b???c（2） 22由（1），（2）得：(x?y)?(a?b)?c aa,y?.求證：2x?3y?a。46aaaa證明 ?x?,y?，∴2x?,3y?，4622aa由例1及上式，2x?3y?2x?3y???a。 22注意： 在推理比較簡單時，我們常常將幾個不等式連在一起寫。但這種寫法，只能用于不等號方向相同的不等式。 課 題： 含有絕對值的不等式的解法 一、引入： 在初中課程的學習中，我們已經對不等式和絕對值的一些基本知識有了一定的了解。在此基礎上，本節討論含有絕對值的不等式。 關于含有絕對值的不等式的問題，主要包括兩類：一類是解不等式，另一類是證明不等式。下面分別就這兩類問題展開探討。 1、解在絕對值符號內含有未知數的不等式（也稱絕對值不等式），關鍵在于去掉絕對值符號，化成普通的不等式。主要的依據是絕對值的意義.請同學們回憶一下絕對值的意義。例 5、已知x??x，如果x?0? 在數軸上，一個點到原點的距離稱為這個點所表示的數的絕對值。即x??0，如果x?0。 ??x，如果x?0? 2、含有絕對值的不等式有兩種基本的類型。 第一種類型。設a為正數。根據絕對值的意義，不等式x?a的解集是，如{x|?a?x?a}，它的幾何意義就是數軸上到原點的距離小于a的點的集合是開區間（－a，a）圖所示。 ?a 圖1-1 a 如果給定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的結果來解。 第二種類型。設a為正數。根據絕對值的意義，不等式x?a的解集是 {x|x?a或x??a} 它的幾何意義就是數軸上到原點的距離大于a的點的集合是兩個開區間(??,?a),(a,?)的并集。如圖1-2所示。 –a a 圖1-2 同樣，如果給定的不等式符合這種類型，就可以直接利用它的結果來解。課 題： 平均值不等式 一、引入： 1、定理1：如果a,b?R，那么a2?b2?2ab（當且僅當a?b時取“=”） 證明：a2?b2?2ab?(a?b)2 當a?b時，(a?b)2?0?22??a?b?2ab 2當a?b時，(a?b)?0?1．指出定理適用范圍：a,b?R 強調取“=”的條件a?b。 2、定理2：如果a,b是正數，那么 a?b）?ab（當且僅當a?b時取“=”證明：∵(a)2?(b)2?2ab ∴a?b?2ab 即：a?ba?b?ab 當且僅當a?b時 ?ab 22 注意：1．這個定理適用的范圍：a?R?； 2．語言表述：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。 3、定理3：如果a,b,c?R?，那么a3?b3?c3?3abc（當且僅當a?b?c時取“=”） 證明：∵a3?b3?c3?3abc?(a?b)3?c3?3a2b?3ab2?3abc ?(a?b?c)[(a?b)2?(a?b)c?c2]?3ab(a?b?c) ?(a?b?c)[a2?2ab?b2?ac?bc?c2?3ab] ?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?bc?ca) ?1(a?b?c)[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2] 2∵a,b,c?R? ∴上式≥0 從而a3?b3?c3?3abc 指出：這里a,b,c?R? ∵a?b?c?0就不能保證。 推論：如果a,b,c?R?，那么 a?b?c3（當且僅當a?b?c時取“=”）?abc。證明：(3a)3?(3b)3?(3c)3?33a?3b?3c ?a?b?c?33abc a?b?c3?abc 34、算術—幾何平均不等式： ?①．如果a1,a2,?,an?R?,n?1且n?N? 則：na1?a2???an叫做這n個正數的算術平均數，na1a2?an叫做這n個正數的幾何平均數； ②．基本不等式： a1?a2???an≥na1a2?an（n?N*,ai?R?,1?i?n） n這個結論最終可用數學歸納法，二項式定理證明（這里從略）語言表述：n個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。 a?b③．?ab的幾何解釋： 2以a?b為直徑作圓，在直徑AB上取一點C，過C作弦DD’?AB 則CD2?CA?CB?ab，a?b從而CD?ab，而半徑?CD?ab。 2課 題： 不等式的證明方法之一：比較法 課 題： 不等式的證明方法之二：綜合法與分析法 課 題： 不等式的證明方法之三：反證法 課 題： 不等式的證明方法之四：放縮法與貝努利不等式 DAaOCbB 4第二篇：不等式選講高考題
第三篇：專題：不等式選講
第四篇：不等式選講心得體會[范文]
第五篇：數學選修4-5不等式選講教案
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