第一篇：2014年人教A版選修4-5教案 三 排序不等式

三 排序不等式

教學要求：了解排序不等式的基本形式，會運用排序不等式分析解決一些簡單問題，體會運用經典不等式的一般方法.教學重點：應用排序不等式證明不等式.教學難點：排序不等式的證明思路.教學過程：

一、復習準備：

1.提問： 前面所學習的一些經典不等式？

（柯西不等式、三角不等式）

2.舉例：說說兩類經典不等式的應用實例.二、講授新課： 1.教學排序不等式： ① 看書：P42~P44.② 提出排序不等式（即排序原理）：

設有兩個有序實數組:a1?a2?···?an;b1?b2?···?bn.c1,c2,···cn是b1,b2，···,bn的任一排列,則有

a1b1?a2b2?···+anbn(同序和)?a1c1?a2c2+···+ancn(亂序和)?a1bn?a2bn?1+···+anb1(反序和)當且僅當a1?a2?···=an或b1?b2?···=bn時，反序和等于同序和.（要點：理解其思想，記住其形式）2.教學排序不等式的應用：

① 出示例1：設a1,a2,???,an是n個互不相同的正整數，求證：

anaa3111.1????????a1?2??????23n2232n

2分析：如何構造有序排列？ 如何運用套用排序不等式？

證明過程：

設b1,b2,???,bn是a1,a2,???,an的一個排列，且b1?b2?????bn，則b1?1,b2?2,???,bn?n.又1?111，由排序不等式，得 ??????22223n a1?anbna2a3b2b3???????b????????… 12232n22232n2

小結：分析目標，構造有序排列.② 練習：

已知a,b,c為正數，求證：2(a3?b3?c3)?a2(b?c)?b2(a?c)?c2(a?b).解答要點：由對稱性，假設a?b?c，則a2?b2?c2，于是 a2a?b2b?c2c?a2c?b2a?c2b，a2a?b2b?c2c?a2b?b2c?c2a，兩式相加即得.3.小結：排序不等式的基本形式.三、鞏固練習： 1.練習：教材P4

51題 2.作業：教材P453、4題

第二篇：人教數學數學選修不等式選講簡介

人教數學（A版）培訓手冊之三十九──“不等式選講”簡介

人教A版普通高中數學課程標準實驗教科書（選修4-5）《不等式選講》是根據教育部制訂的《普通高中數學課程標準(實驗)》(以下簡稱課程標準)的選修4系列第5專題“不等式選講”的要求編寫的。根據課程標準，本專題介紹一些重要的不等式和它們的證明、數學歸納法和它的簡單應用

一、內容與要求1．回顧和復習不等式的基本性質和基本不等式。

2．理解絕對值的幾何意義，并能利用絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式：（1）∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣；（2）∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣；（3）會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；∣x－c∣＋∣x－b∣≥a。3．認識柯西不等式的幾種不同形式。理解它們的幾何意義。（1）證明柯西不等式的向量形式：|α||β|≥|α·β|。（2）證明：（a+b）(c+d)≥(ac+bd)。（3）證

明：

≥。4．用22222參數配方法討論柯西不等式的一般情況：5．用向量遞歸方法討論排序不等式。6．了解數學歸納法的原理及其使用范圍，會用數學歸納法證明一些簡單問題。7．會用數學歸納法證明貝努利不等式：(1＋x)＞1＋nx（x＞-1,n為正整數）。了解當n為實數時貝努利不等式也成立。

8．會用上述不等式證明一些簡單問題。能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數的極值。9．通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法。

二、內容安排 本專題內容分成四講，結構如下圖所n

示：

本專題的內容是在初中階段掌握了不等式的基本概念，學會了一元一次不等式、一元一次不等式組的解法，多數學生在學習高中必修課五個模塊的基礎上展開的．作為一個選修專題，教科書在內容的呈現上保持了相對的完整性．第一講是“不等式和絕對值不等式”，它是本專題的最基本內容，也是其余三講的基礎．

本講的第一部分類比等式的基本性質，從“數與運算”的基本思想出發討論不等式的基本性質，這是關于不等式在運算方面的一些最基本法則．接著討論基本不等式，介紹了基本不等式的一個幾何解釋：“直角三角形斜邊上的中線不小于斜邊上的高”，并把基本不等式推廣到三個正數的算術—幾何平均不等式．對于一般形式的均值不等式，則只作簡單介紹，不給出證明．在此基礎上，介紹了它們在解決實際問題中的一些應用，如最基本的等周問題，簡單的極值問題等。第二部分討論了有關絕對值不等式的性質及絕對值不等式的解法．絕對值是與實數有關的一個基本而重要的概念，討論關于絕對值的不等式具有重要的意義．

絕對值三角不等式是一個基本的結論，教科書首先引導學生借助于實數在數軸上的表示和絕對值的幾何意義，引導學生從數的運算角度探究歸納出絕對值三角不等式，接著聯系向量形式的三角不等式，得到絕對值三角不等式的幾何解釋，最后用代數方法給出證明．這樣，數形結合，引導學生多角度認識這個不等式，逐步深化對它的理解．利用絕對值三角不等式可以解決形如的函數的極值問題，教科書安排了一個這樣的實際問題

對于解含有絕對值的不等式，教科書只討論了兩種特殊類型不等式的解法，而不是系統地對這個問題進行研究。教科書引導學生探討了形如解法，以及形如或或的不等式的的不等式的解法．學生通過這兩類含有絕對值的不等式能夠基本學到解含有絕對值的不等式的一般思想和方法。第二講是“證明不等式的基本方法”．對于不等式的深入討論必須首先掌握一些基本的方法，所以本講內容也是本專題的一個基礎內容。本講通過一些比較簡單的問題，介紹了證明不等式的幾種常用而基本的方法：比較法、綜合法、分析法、反證法和放縮法． 比較法是證明不等式的最基本的方法，比較法可以分為兩種，一種是相減比較法，它的依據是：

另一種是相除比較法，是把不等式兩邊相除，轉化為比較所得商式與1的大小關系，它的依據是：當b＞0

時，在比較法的兩種方法中，相減比較法又是最基本而重要的一種方法。在證明不等式的過程中，根據對于不等式的條件和結論不同探索方向作分類，證明方法又可以分為分析法和綜合法。在證明不等式時，可以從已知條件出發逐步推出結論的方法是綜合法；尋找結論成立的充分條件，從而證明不等式的方法就是分析法．證明不等式的方法還可以分為直接證法和間接證法，反證法是一種間接證法．它從不等式結論的反面出發，即假設要證明的結論不成立，經過正確的推理，得出矛盾結果，從而說明假設錯誤，而要證的原不等式結論成立

在證明不等式的過程中，有時通過對不等式的某些部分作適當的放大或縮小達到證明的目的，這就是所謂的放縮法． 教科書對以上方法都結合實例加以介紹。本講內容對進一步

討論不等式提供了思想方法的基礎． 本講的教學內容中，用反證法和放縮法證明不等式是新的課程標準才引入到中學數學教學中的內容。第三講是“柯西不等式和排序不等式”．本講介紹兩個基本的不等式：柯西不等式和排序不等式，以及它們的簡單應用． 柯西不等式是基本而重要的不等式，是推證其他許多不等式的基礎，有著廣泛的應用．教科書首先介紹二維形式的柯西不等式，再從向量的角度來認識柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介紹一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在證明不等式和求某些特殊類型的函數極值中的應用。在介紹了二維形式的柯西不等式的基礎上，教科書引導學生在平面直角坐標系中，根據兩點間的距離公式以及三角形的邊長關系，從幾何意義上發現二維形式的三角不等式。接著借助二維形式的柯西不等式證明了三角不等式。在一般形式的柯西不等式的基礎上，教科書安排了一個探究欄目，讓學生通過探究得出一般形式的三角不等式。排序不等式也

是基本而重要的不等式，一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式

．有些重要不等式則可以借助排序不等式得到簡捷的證明。教科書在討論排

序不等式時，展示了一個“探究——猜想——證明——應用”的研究過程，目的是引導學生通過自己的數學活動，初步認識排序不等式的數學意義、證明方法和簡單應用。

柯西不等式、三角不等式和排序不等式也是數學課程標準正式引入到高中數學教學中。第四講是“數學歸納法證明不等式”．本講介紹了數學歸納法及其在證明不等式中的應用．對于某些不等式，必須借助于數學歸納法證明，所以在不等式選講的專題中安排這個內容是很有必要的。教科書首先結合具體例子，提出尋找一種用有限步驟處理無限多個對象的方法的問題．然后，類比多米諾骨牌游戲，引入用數學歸納法證明命題的方法，并分析了數學歸納法的基本結構和用它證明命題時應注意的問題（兩個步驟缺一不可）．接著舉例說明數學歸納法在證明不等式中的應用，特別地，證明了貝努利不等式。本專題的教學重點：不等式基本性質、基本不等式及其應用、絕對值不等式的解法及其應用；用比較法、分析法、綜合法證明不等式；柯西不等式、排序不等式及其應用； 教學難點：三個正數的算術-幾何平均不等式及其應用、絕對值不等式解法；用反證法，放縮法證明不等式；運用柯西不等式和排序不等式證明不等式；

本專題教學約需18課時，具體分配如下（僅供參考）第一講 不等式和絕對值不等式

一、不等式約３課時

二、絕對值不等式約２課時第二講 證明不等式的基本方法

一、比較法約1課時

二、綜合法與分析法約2課時

三、反證法與放縮法約1課時

第三講 柯西不等式與排序不等式一、二維形式的柯西不等式約1課時二、一般形式的柯西不等式約1課時

三、排序不等式約2課時

第四講 數學歸納法證明不等式

一、數學歸納法約2課時

二、用數學歸納法證明不等式約2課時

學習總結報告約1課時

三、編寫中考慮的幾個問題

根據課程標準，本專題應該強調不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深學生對這些不等式的數學本質的理解，提高學生的邏輯思維能力和分析解決問題的能力，我們在教科書的編寫中努力去實現課程標準的思想。

(一)重視展現不等式的幾何背景，力求讓學生對重要不等式有直觀理解

數量關系和空間形式是數學研究的兩個重要方面，不等式則是從數量關系的角度來刻畫現實世界的。我們一般借助于代數方法證明不等式。代數證明要經過一系列的變形，人們常常不能很直接地看出其中的數量關系。而借助于幾何的方法，把不等式中的有關量適當地用圖形中的幾何量表示出來，則往往能很好地指明不等關系，使學生從幾何背景的角度，直觀地，從而也是直接地理解不等式。本專題中的重要不等式都有明顯的幾何背景，教科書注意呈現不等式的幾何背景，幫助學生理解不等式的幾何本質。如對于是借助于面積關系，絕對值三角不等式是借助于向量和三角形中的邊長關系，柯西不等式是借助于向量運算，排序不等式是借助于三角形的面積。這樣，逐漸引導學生在面對一個數學問題時能從幾何角度去思考問題，找到解決問題的途徑

(二)重視數學思想方法的教學

數學思想是對于數學知識（數學中的概念、法則、性質、公式、公理、定理、方法等）的理性的、本質的、高度抽象和概括的認識，帶有普遍的指導意義，蘊涵于運用數學方法分析、處理和解決數學問題的過程之中。數學方法是研究或解決數學問題并使之達到目的的手段、方式、途徑或程序。數學思想方法的教學是中學數學教學中的重要組成部分，有利于學生加深對于具體數學知識的理解和掌握。本專題的內容包涵了豐富的數學思想方法，如應用重要不等式解決實際問題中體現出來的優化思想，在重要不等式的呈現過程中的數形結合思想，在解不等式中體現的轉化的思想，函數思想，以及證明不等式的比較法、綜合與分析法、放縮法、反證法、數學歸納法，在證明柯西不等式中的配方法等，對于這些數學思想和方法，教科書都及時作歸納和總結，使學生能夠結合具體的問題加以理解和體會。

(三)重視引導學習方式和教學方式的改進

在目前的中學數學教學實踐仍存在一些問題，就學生的學習而言，比較突出的就是被動的接受式的學習，教師偏重于灌輸式的教學，啟發式的教學原則做得不夠。學生的問題意識不強，發現問題的能力不強，獨立地解決問題的能力也不強。針對這種情況，教科書重視引導學生提出問題，教科書設置了許多探究欄目，鼓勵學生主動探究，引導學生通過類比提出問題及其解決方法，對于數學結論進行特殊化、作推廣。例如，在講述了基本不等式以后，教科書就提出了一個思考問題：“對于三個正數會有怎樣的不等式成立呢？”在證明了關于三個正數的均值不等式以后，又直接給出了一般的均值不等式；在證明了二維和三維的柯西不等式以后，就設置了一個探究性問題“對比二維形式三維形式的柯西不等式，你能猜想一般形式的柯西不等式嗎？”；再如“一般形式的三角不等式應該是怎樣的？如何應用一般形式的柯西不等式證明它？請同學自己探究。”等等，這樣的探究性問題在教科書中處處可見。

(四)注意發展數學應用意識

重要不等式在許多實際問題中可以得到應用，在實際工作中常常能起到節約能源，降低成本，提高效率，加快速度等作用。在本專題中，教科書注意體現數學在實際工作中的廣泛應用，編寫了一些體現數學應用的例、習題。如經典的等周問題、盒子體積問題、施工隊臨時生活區選點問題、關于面積和體積的最值問題。通過這些簡單的應用問題，使學生體會數學在實踐中的作用。

四、對教學的幾個建議

(一)注意把握教學要求

無論是不等式還是數學歸納法，都已經發展成為內容非常豐富的初等數學分支，也出版了一些專門的論著，老師們對于這些內容一般都有豐富的教學經驗，很容易把這些內容作一

些拓展和補充。所以，在這個專題的教學中，要特別注意把握好教學要求，不要隨意提高教學要求，而應該按照數學課程標準的要求來控制教學的深廣度。課程標準對于本專題的幾個教學內容都明確的教學要求，如：對于解含有絕對值的不等式，只要求能解幾種特殊類型的不等式，不要求學生會解各種類型的含有絕對值的不等式。對于數學歸納法在證明不等式的要求也只要求會證明一些簡單問題。只要求通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法，會利用所學的不等式證明一些簡單不等式，等等。

另外，在不等式和數學歸納法的許多問題中，常常需要一些技巧性比較強的恒等變形，在本專題的教學中則要控制這方面的教學要求，不要使教學陷于過于形式化和復雜的恒等變形的技巧之中，教學中不要補充一些代數恒等變形過于復雜或過于技巧化的問題和習題，以免沖淡對于基本思想方法的理解，也不要引入一些過于專業和形式化、抽象化的數學符號語言，對于數學歸納法的理解，不必要求學生對于方法的理解水平提高到專業數學工作者才需要的數學理論高度，而只需要通過一些學生容易理解的數學問題中加深對于方法的理解和掌握。對于大多數的學生來說，要重視通過比較簡單的問題讓學生認識、理解和掌握這部分的基本數學思想和方法。

當然，對于部分確有余力的學生，仍可以適當對于教學內容作一些拓展，如可以介紹一般的均值不等式的證明及其應用，以使學生對于這一重要不等式有一個比較完整的了解。

(二)要抓住教學重點

無論對于基本不等式、柯西不等式、排序不等式，還是解含有絕對值的不等式，不等式證明的方法，或數學歸納法的教學，都要抓住教學重點，抓住基本思想基本方法的教學，力求以簡馭繁。對于幾個重要不等式，最基本的是二元(二維)的情況，核心的思想也是在二元(二維)的不等式中得到直接的體現；對于不等式的證明的最基本的方法是比較法；解含有絕對值的不等式的最基本和有效的方法是分區間來加以討論，把含有絕對值的不等式轉化為不含絕對值的不等式；讓學生能對數學歸納法思想真正理解和掌握，就能使學生靈活地加以應用。這樣，學生就能掌握本專題最基本也是最重要的知識。

第三篇：咬文嚼字 教案人教選修

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3.4 咬文嚼字 教案（人教選修—語言文字應用）

教學目標

1、通過對文中有關幾個實例的嘗試品味，體會斟酌文字與精微準確地傳情達意之間的重要關系，從而自覺養成“一字不肯放松”的正確謹嚴的語文學習習慣。

2、引導學生注意對本文語言的質疑分析，培養求實創新精神。

教學過程

一、導入：

打一謎語讓同學們猜：小老鼠看書－－咬文嚼字

小老鼠學習的精神應該推廣：把書吃掉，消化掉，成為一個很有品位的小老鼠。

二、解題

“咬文嚼字”一般解釋為：過分地斟酌字詞（死摳字眼，不領會精神實質）。作者賦予這個成語一種新的意義，就是在文字運用上“必須有一字不肯放松的謹嚴”。

作者提倡“咬文嚼字”，認為語言文字與思想感情有密切關系，文字的優劣要從它所表達的思想感情和表現的意境上去辨別，文字的運用，要從思想感情的透徹、凝練、創新入手。

三、作者介紹

朱光潛(1897-1986)，著名美學家、文藝理論家、翻譯家。筆名孟實，安徽省桐城縣人。我國現代美學的開拓者和奠基者之一。他學貫中西，博古通今。《西方美學史》是朱光潛最重要的一部著作，也是我國學者撰寫的第一部美學史著作，具有開創性的學術價值，代表了中國研究西方美學思想的水平。朱光潛信奉“三此主義”，即此身，此時，此地。“此身應該做而且能夠做的事，就得由此身擔當起，不推諉給旁人。”“此時應該做而且能夠做的事，就得在此時做，不拖延到未來。”“此地（我的地位、我的環境）應該做而且能夠做的事，就得在此地做，不推諉到想象中另一地位去做。”這是朱光潛不尚空談、著眼現在、腳踏實地的治學精神的體現。他的座右銘：“以出世的精神，做入世的事業”。

主要代表作有：《文藝心理學》《談美書簡》《給青年的十二封信》

四、課文分析

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《咬文嚼字》全文8段，1—7段是文章的主體，為第一部分。8段表明文章的主旨，是文章的第二部分。

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原文：紅杏枝頭春意濃

改文：紅杏枝頭春意鬧

解說：非一“鬧”字，不能形容其杏之紅，其紅之濃。“鬧”將無“聲”的景象隨著上有“聲”的意味。日常經驗里的視覺、聽覺等感覺被彼此打通，多層次地將審美的精微感受傳達出來。

最后在總結課內外諸多實例的基礎上讓學生明確文字和思想感情有密切關系，語言跟思想情感走，更動了文字就同時更動了思想情感。只有刻苦自勵，推陳翻新，時時求思想情感和語言的精練與吻合，才會逐漸達到藝術的完美。

觀點性語段在最后一段，作者主要的觀點是：

1、應該有謹嚴精神；

2、只有咬文嚼字，不斷推陳翻新，追求思想感情和語言的精練與吻合，才可能達到藝術的完美。

補充資料：

題李凝幽居 唐?賈島

閑居少鄰并，草徑入荒園。鳥宿池邊樹，僧敲月下門。

過橋分野色，移石動云根。暫去還來此，幽期不負言。

注解：幽居:指隱居處.云根:古人認為云生在山石上,石為云根.幽期:歸隱所約的日期.譯文：幽閑地住在這里,很少有鄰居往來,只有一條雜草遮掩的小路通向荒蕪的小園.鳥兒歇宿在池邊的樹上,歸來的僧人正在月下敲響山門.走過小橋呈現出原野迷人的景色,云腳正在飄動,好像山石在移動.我暫時要離開這里,但不久還要回來,要按照約定的日期與朋友一起隱居,決不食言.錦 瑟 唐?李商隱

錦瑟無端五十弦，一弦一柱思華年。莊生曉夢迷蝴蝶，望帝春心托杜鵑。

滄海月明珠有淚，藍田日暖玉生煙。此情可待成追憶，只是當時已惘然。

譯文：錦瑟呀，你為何竟然有五十條弦？每弦每節，都令人懷思黃金華年。我心象莊子，為蝴蝶曉夢而迷惘； 又象望帝化杜鵑，寄托春心哀怨 滄海明月高照，鮫人泣淚皆成珠藍田紅日和暖，可看到良玉生煙。

悲歡離合之情，豈待今日來追憶，只是當年卻漫不經心，早已惘然。

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青玉案 宋?賀鑄

凌波不過橫塘塘路，但目送，芳塵去。——眼看此女走近又離去。

錦瑟華年誰與度？——猜想她住什么地方？有夫否？

月臺花榭，瑣窗朱戶，只有春知處——或許是那女子氣質高雅，使人想他應住在這種“月臺

花榭，瑣窗朱戶”的華屋吧。

碧云冉冉衡皋暮，彩筆新題斷腸句——從清晨等到日暮，佳人不再來，寫了斷腸句。

試問閑愁都幾許？——心全亂了，愁緒滿懷。

一川煙草，滿城風絮，梅子黃時雨！——喻情于景，愁如一川煙草，偏此時又下起梅雨，滿

城飄起柳絮，春天的雨有時確實使人惱啊。

賀鑄一生所識女子頗多，為何只對此女有這種情思，有兩個原因：一是這位女子與作者已亡故的妻有些相像，產生“移情”心理；二是這位女子與作者心目中的女性偶像十分貼近，使用權他一見而鐘情。

宋?蘇軾

獨攜天上小團月，來試人間第二泉。

小團月是一種名品茶（在當時是貢茶）第二泉指的是二泉亭品二泉水和眺望太湖

例子：

紅杏枝頭春意“濃”

紅杏枝頭春意“鬧”

宋祁 《玉樓春》

東城漸覺風光好，彀皺波紋迎客棹。綠楊煙外曉寒輕，紅杏枝頭春意鬧。

浮生長恨歡娛少，肯愛千金輕一笑？

縠皺：即皺紗，喻水的波紋。

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浮生：指飄浮無定的短暫人生

劉公勇在詞話里稱“一鬧字卓絕千古”。“鬧”字好就好在準確、鮮明、生動，帶有動態地刻畫春天的蓬勃生機，并把作者對春天這樣一個萬物萌發，生機盎然的季節的到來的欣喜用一個“鬧”字表達了出來。作者的感情態度盡含于一個鬧字之中。

課堂小練習：

在詩中的括號內，填入六個字，構成六幅畫。塞鴻秋·潯陽即景 元·周德清

長江萬里白如（），淮山數點青如（），江帆幾片疾如（），山泉千尺飛如（）。晚云都變露，新月初學（），塞鴻一字來如（）。

原詩

塞鴻秋·潯陽即景 周德清

長江萬里白如練，淮山數點青如淀，江帆幾片疾如箭，山泉千尺飛如電。

晚霞都變露，新月初學扇，塞鴻一字來如線。

（四）閱讀下列文字，說說修改稿好在哪里？

原稿：

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老漁民長得高大結實，看樣子60歲左右，嘴巴下留著一把花白胡子。瞧他那眉目神氣，就像秋天的晴空一樣，晴朗又透明又深沉。

修改稿：

老漁民長得高大結實，留著一把花白胡子。瞧他那眉目神氣，就像秋天的高空一樣，又晴朗又深沉。

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第四篇：排序不等式2

東安一中奧賽培訓專題 《不等式的證明》陳雄武

《排序不等式，琴生不等式》及應用

1、（排序不等式）：設有兩組數a1,a 2，滿,足?,an,bb;?,bn,12a1? a2???an,b1?b2???bn，則有a1b1?a2b2???anbn（順序和）

?a1bi1?a2bi2???anbin（亂序和）?a1bn?a2bn?1???anb1（逆序和）2，（切比雪夫不等式）：若a1?a2???an，b1?b2???bn，則a1b1?a2b2???anbna1?a2???anb1?b2???bn ??.nnn

證明：由題設和排序不等式，有a1b1?a2b2???anbn=a1b

1?a2b2???anbn，a1b1?a2b2???anbn?a1b2?a2b3???anb1，……a1b1?a2b2???anbn?a1bn?a2b1???anbn?1.將上述n個不等式疊加后，兩邊同除以n2，即得欲證的不等式.f(x)是定義在實數集M上的函數，且對任意的xl、x2 ∈M，都有

?x?x?，f?x1??f?x2??2f?12?，則對任意的xi ∈M（i = 1，2，…，n）

?2?

?3，（Jensen 琴生不等式）設?1n?，f?xi??nf??xi??i?1?ni?1?na2?b2b2?c2c2?a2a2b2c

2?????.例1：a,b,c?R，求證a?b?c?2c2a2bbccaab

例2：在△ABC中，試證：

?3?aA?bB?cC??.a?b?c2

例3：設a1,a2,?,an是互不相同的自然數，試證1?

ana1

1????a1?2???.2n22n2

例4：設b1,b2,?,bn是正數a1,a2,?,an的一個排列，求證

aa1a2

????n?n.b1b2bn

例5：設正數a,b,c的乘積abc?1，試證：(a?1?)(b?1?)(c?1?

1b1c1)?1.a

例6：設正數a、b、c的乘積abc?1,證明

3???.22

2a(b?c)b(c?a)c(a?b)2

例7：設實數x1?x2???xn,y1?y2???yn,z1,z2,?,zn是y1,y2,?,yn的一個置換，證明：

?(x

i?

1n

i

?yi)??(xi?zi)2.i?1

n

akn1

例8：設ak是兩兩互異的正整數（k?1,2,?)，證明對任意正整數n，均有?2??.i?1ki?1k

n

n

例9：x1,x2,...,xn?R?(n?2),且

?

x

i?1

i

?1，證明：i?1

n

?

n

3.已知xi?0,(i?1,2,?,n)，n?2,x1?x2???xn?1，求證：(1?

1n11)?(1?)n???(1?)n?n(n?1)nx1x2xn

1111111

證：?[(1?)n?(1?)n???(1?)n]?(1?)n(1?)n?(1?)n

nx1x2xnx1x2xn

111)(1?)?(1?)x1x2xn

bbbbbb

(利用結論：[(1?1)(1?2)?(1?n)]n?1?(12?n)n);

a1a2ana1a2an ?(1?

?[(1?

1111)(1?)?(1?)]?1?()?1?x1x2xnx1x2?xn

n1n

x1x2?xn

x1?x2???xn1

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nn1

?[(1?)(1?)?(1?)]n?1?n

x1x2xn又?x1x2?xn?

?(1?(1?

111)(1?)?(1?)?(n?1)nx1x2xn

1n11)?(1?)n???(1?)n?n(n?1)nx1x2xn

4.若P為?ABC內任一點，求證?PAB、?PBC、?PCA中至少有一個小于或等于30?；證：設?PAB??、?PBC??、?PCA??，且?PAC??'、?PBA??'、?PCB??';PAsin??PBsin?'?

?

依正弦定理有：PBsin??PCsin?'??sin?sin?sin??sin?'sin?'sin?'

PCsin??PAsin?'???(sin?sin?sin?)2?sin?sin?sin?sin?'sin?'sin?'

sin??sin??sin??sin?'?sin?'?sin?'6)

6???????'??'??'1?sin6()?()6

62?（?sin?sin?sin??()

3???30?,否則??150?時，?、?中必有一個滿足??30??在?、?、?,中必有一個角滿足sin??

第五篇：2014年人教A版選修4-5教案 二 用數學歸納法證明不等式

二 用數學歸納法證明不等式

教學要求：

了解數學歸納法的原理，并能以遞推思想作指導，理解數學歸納法的操作步驟，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題，并能嚴格按照數學歸納法證明問題的格式書寫.教學重點：

能用數學歸納法證明幾個經典不等式.教學難點：

理解經典不等式的證明思路.教學過程：

一、復習準備：

12221.求證：??1?33?52.求證：1?n2n(n?1)??,n?N*.(2n?1)(2n?1)2(2n?1)111???234?1?n,n?N*.n2?

1二、講授新課： 1.教學例題：

① 出示例1：比較n2與2n的大小，試證明你的結論.分析：試值n?1,2,3,4,5,6 → 猜想結論 → 用數學歸納法證明

→ 要點：(k?1)2?k2?2k?1?k2?2k?k?k2?3k?k2?k2?….小結：試值→猜想→證明

11② 練習：已知數列?an?的各項為正數，Sn為前n項和，且Sn?(an?)，歸納出an的公式

2an并證明你的結論.解題要點：試值n=1,2,3,4，→ 猜想an → 數學歸納法證明 ③ 出示例2：證明不等式|sinn?|?n|sin?|(n?N?).要點：|sin(k?1)?|?|sink?cos??cosk?sin?|?|sink?cos?|?|cosk?sin?|

?|sink?|?|sin?|?k|sin?|?|sin?|?(k?1)|sin?|

④ 出示例3：證明貝努利不等式.(1?x)n?1?nx(x??1,x?0,n?N,n?1)

22證明：（1）當n=2時，由x?0得(1?x)?1?2x?x?1?2x，即不等式成立；

（2）假設當n=k（k≥2）時不等式成立，即有(1?x)?1?kx：，則當n=k+1時，k(1?x)k?1?(1?x)(1?x)k?(1?x)(1?kx)?1?x?kx?kx2?1?(k?1)x，所以當n=k+1時，原不等式也成立； 由（1）（2）知，貝努利不等式成立；

注：事實上，把貝努利不等式中的正整數n改為實數?仍有類似不等式成立.當?是實數,且???或??0時,有(1?x)?≥1??x(x??1)當?是實數,且0???1時,有(1?x)?≤1??x(x??1)

2.練習：試證明：不論正數a、b、c是等差數列還是等比數列，當n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時，均有an+cn＞2bn.解答要點：當a、b、c為等比數列時，設a=

b, c=bq(q＞0且q≠1).∴ an+cn=….qan?cna?cn 當a、b、c為等差數列時，有2b=a+c，則需證＞()(n≥2且n∈N*).22ak?1?ck?11k+1k+1k+1k+11?(a+c+a+c)＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)….當n=k+1時，244=1kka?cka?ca?ck+1(a+c)(a+c)＞()·()=().42223.小結：應用數學歸納法證明與正整數n有關的不等式；技巧：湊配、放縮.三、鞏固練習：

已知n?N,n?2,證明：? 1211??n?1n?2?1?1.2n