第一篇：第四講《數(shù)學(xué)歸納法證明不等式》教案(新人教選修4-5).1

第四講：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

數(shù)學(xué)歸納法證明不等式是高中選修的重點(diǎn)內(nèi)容之一，包含數(shù)學(xué)歸納法的定義和數(shù)學(xué)歸納法證明基本步驟，用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式。數(shù)學(xué)歸納法是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，在數(shù)列推理能力的考查中占有重要的地位。

本講主要復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的定義、數(shù)學(xué)歸納法證明基本步驟、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的方法：作差比較法、作商比較法、綜合法、分析法和放縮法，以及類比與猜想、抽象與概括、從特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法。

在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的具體過程中，要注意以下幾點(diǎn)：

（1）在從n=k到n=k+1的過程中，應(yīng)分析清楚不等式兩端（一般是左端）項(xiàng)數(shù)的變化，也就是要認(rèn)清不等式的結(jié)構(gòu)特征；

（2）瞄準(zhǔn)當(dāng)n=k+1時(shí)的遞推目標(biāo)，有目的地進(jìn)行放縮、分析；（3）活用起點(diǎn)的位置；

（4）有的試題需要先作等價(jià)變換。

例題精講

例

1、用數(shù)學(xué)歸納法證明

1?11111111???????????2342n?12nn?1n?22n

分析：該命題意圖：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法定義，證明基本步驟 證明：

11111?當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1-2=2，右邊=1?1=2，所以等式成立。

2?假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，1?即11111111???????????2342k?12kk?1k?22k。

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，1?1111111????????2342k?12k2k?12k?2 11111???????k?1k?22k2k?12k?21111111111?????????????(?)234k?2k?32k2k?1k?12k?2?11111??????k?2k?32k2k?12(k?1)

這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。綜上所述，等式對任何自然數(shù)n都成立。點(diǎn)評：

數(shù)學(xué)歸納法是用于證明某些與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種方法．設(shè)要證命題為P（n）．（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)，結(jié)論正確，即驗(yàn)證P（n0）正確；（2）假設(shè)n=k（k∈N且k≥n0）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也正確，即由P（k）正確推出P（k+1）正確，根據(jù)（1），（2），就可以判定命題P（n）對于從n0開始的所有自然數(shù)n都正確．

要證明的等式左邊共2n項(xiàng)，而右邊共n項(xiàng)。f(k)與f(k+1)相比較，左邊增加兩項(xiàng)，右邊增加

11一項(xiàng)，并且二者右邊的首項(xiàng)也不一樣，因此在證明中采取了將k?1與2k?2合并的變形方式，這是在分析了f(k)與f(k+1)的差異和聯(lián)系之后找到的方法。練習(xí)：

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應(yīng)驗(yàn)證（）A.n=1

B.n=2

C.n=3

D.n=4 解析：由題意知n≥3，∴應(yīng)驗(yàn)證n=3.答案：C 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明42n?1+3n+2能被13整除，其中n∈N 證明：

×(1)當(dāng)n=1時(shí)，421+1+31+2=91能被13整除

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，42k+1+3k+2能被13整除，則當(dāng)n=k+1時(shí)，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除 ∴當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.由①②知，當(dāng)n∈N*時(shí)，42n+1+3n+2能被13整除.1115?????,(n?2,n?N*)3n6例

2、求證：n?1n?2．

分析：該命題意圖：本題主要考查應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的方法和一般步驟。

用數(shù)學(xué)歸納法證明，要完成兩個(gè)步驟，這兩個(gè)步驟是缺一不可的．但從證題的難易來分析，證明第二步是難點(diǎn)和關(guān)鍵，要充分利用歸納假設(shè)，做好命題從n=k到n=k+1的轉(zhuǎn)化，這個(gè)轉(zhuǎn)化要求在變化過程中結(jié)構(gòu)不變．

證明：

11115????（1）當(dāng)n=2時(shí)，右邊=34566，不等式成立．

*n?k(k?2,k?N)時(shí)命題成立，即（2）假設(shè)當(dāng)1115?????k?1k?23k6．

則當(dāng)n?k?1時(shí)，111111???????(k?1)?1k(??1)2k3k?3k1?3k2?3(1111111??????(???)k?1k?23k3k?13k?23k?3k?151111??(???)63k?13k?23k?3k?151111??(???)63k?33k?33k?3k?15115??(3??)?.63k?3k?16

所以則當(dāng)n?k?1時(shí)，不等式也成立．

*n?2,n?N

由（1），（2）可知，原不等式對一切均成立．

1)點(diǎn)評：本題在由n?k到n?k?1時(shí)的推證過程中，（1）一定要注意分析清楚命題的結(jié)構(gòu)特征，即由n?k到n?k?1時(shí)不等式左端項(xiàng)數(shù)的增減情況；

（2）應(yīng)用了放縮技巧：

11111111??????3??.3k?13k?23k?33k?33k?33k?33k?3k?1

例

3、已知，Sn?1?111????,n?N*23n，nS2n?1?(n?2,n?N*)2用數(shù)學(xué)歸納法證明：．

證明：

（1）當(dāng)n=2時(shí)，S22?1?111132???1??1?234122，∴命題成立．

*n?k(k?2,k?N)時(shí)命題成立，即（2）假設(shè)當(dāng)S2k?1?111k????k?1?2322．

則當(dāng)n?k?1時(shí)，S2k?1111111?1?????k?k?k???k?12322?12?2k111k111?k?k???k?1?1??k?1?k?1???k?122?12?222222k1k1k?1?1??2k?k?1?1???1?.22222 ?1?

所以則當(dāng)n?k?1時(shí)，不等式也成立．

*n?2,n?N

由（1），（2）可知，原不等式對一切均成立．

點(diǎn)評：本題在由n?k到n?k?1時(shí)的推證過程中，1k?1k

（1）不等式左端增加了2項(xiàng)，而不是只增加了“2”這一項(xiàng)，否則證題思路必然受阻；

（2）應(yīng)用了放縮技巧：

11111111k??????????2??.kkk?1k?1k?1k?1k?12?12?2222222

練習(xí)：

1、證明不等式：

分析

1、數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟：

設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若 1°P(n0)成立(奠基)2°假設(shè)P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(歸納)，則P(n)對一切大于等于n0的自然數(shù)n都成立.2、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式是較困難的課題，除運(yùn)用證明不等式的幾種基本方法外，經(jīng)常使用的方法就是放縮法，針對目標(biāo)，合理放縮，從而達(dá)到目標(biāo)． 證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立．（2）假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即

那么，這就是說，n=k+1時(shí)，不等式也成立． 根據(jù)（1）（2）可知不等式對n∈N+都成立．

n2*2?2?n(n?N)． 2.求證：用數(shù)學(xué)歸納法證明

證明：

（1）當(dāng)n=1時(shí)，2?2?1，不等式成立； 當(dāng)n=2時(shí)，2?2?2，不等式成立；

322?2?3當(dāng)n=3時(shí)，不等式成立． 2212*k2n?k(k?3,k?N)2?2?k（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即 ．

則當(dāng)n?k?1時(shí)，2k?1?2?2(2k?2)?2?2k2?2?(k?1)2?k2?2k?3，2kk?3∵，∴?2k?3?(k?3)(k?1)?0，（*）

從而2k?1?2?(k?1)2?k2?2k?3?(k?1)2，k?122?2?(k?1)∴．

即當(dāng)n?k?1時(shí)，不等式也成立．

由（1），（2）可知，2?2?n對一切n?N都成立．

點(diǎn)評： 因?yàn)樵冢?）處，當(dāng)k?3時(shí)才成立，故起點(diǎn)只證n=1還不夠，因此我們需注意命題的遞推關(guān)系式中起點(diǎn)位置的推移．

3．求證：e2mn2*?3m，其中m?1，且m?N?．

分析：此題是2004年廣東高考數(shù)學(xué)試卷第21題的適當(dāng)變形，有兩種證法 證法一：用數(shù)學(xué)歸納法證明．

44e?2?3?2，不等式成立．（1）當(dāng)m=2時(shí)，*m?k(k?2,k?N)時(shí)，有e2k?3k，（2）假設(shè)則 e2(k?1)?e2k?e2?3k?e2?6k，∵k?2，∴6k?3(k?1)?3k?3?0，即6k?3(k?1)．

2(k?1)e?6k?3(k?1)，從而

2m

即m?k?1時(shí)，亦有e?3m．

?m?1,m?N由（1）和（2）知，對都成立．

證法二：作差、放縮，然后利用二項(xiàng)展開式和放縮法證明．

e2m?3m?(1?1)2m?3m012?C2?C?Cm2m2m?3m2m(2m?1)?3m2?1?2m?m?3m?1?2m??0?2m∴當(dāng)m?1，且m?N時(shí)，e?3m．

(m?1?2m?1?1)

例

4、（2005年江西省高考理科數(shù)學(xué)第21題第（1）小題，本小題滿分12分）

已知數(shù)列證明{an} 的各項(xiàng)都是正數(shù),且滿足:a0?1,an?1?1an,(4?an),n?N.2

an?an?1?2,n?N;

求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式a.n分析：近年來高考對于數(shù)學(xué)歸納法的考查，加強(qiáng)了數(shù)列推理能力的考查。對數(shù)列進(jìn)行了考查，和數(shù)學(xué)歸納法一起，成為壓軸題。解：（1）方法一 用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1°當(dāng)n=1時(shí)，a0?1,a1?13a0(4?a0)?,2∴a0?a1?2，命題正確.2°假設(shè)n=k時(shí)有ak?1?ak?2.11ak?1(4?ak?1)?ak(4?ak)22

則n?k?1時(shí),ak?ak?1?11?2(ak?1?ak)?(ak?1?ak)(ak?1?ak)?(ak??1ak)(4?ak??1ak).22

ak?1?ak?0,4?ak?1?ak?0,?ak?ak?1?0.而

又ak?1?11ak(4?ak)?[4?(ak?2)2]?2.22

∴n?k?1時(shí)命題正確.由1°、2°知，對一切n∈N時(shí)有方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

an?an?1?2.1°當(dāng)n=1時(shí)，a0?1,a1?13a0(4?a0)?,22∴0?a0?a1?2；

2°假設(shè)n=k時(shí)有ak?1?ak?2成立，f(x)?

令所以由假設(shè)有：1x(4?x)2，f(x)在[0，2]上單調(diào)遞增，f(ak?1)?f(ak)?f(2)，111ak?1(4?ak?1)?ak(4?ak)??2?(4?2),22即2

也即當(dāng)n=k+1時(shí)

所以對一切ak?ak?1?2成立，n?N,有ak?ak?1?2．

an?1?11an(4?an)?[?(an?2)2?4],22（2）下面來求數(shù)列的通項(xiàng)：

22(a?2)??(a?2)n?1n所以

令bn?an?2, 則

1211221122211?2???2n?12nbn??bn??(?b)???()b????()bn?1n?2n?1222222 1nbn??()2?1,2又bn=－1，所以 1n即an?2?bn?2?()2?12．

點(diǎn)評：

本題問給出的兩種方法均是用數(shù)學(xué)歸納法證明，所不同的是：方法一采用了作差比較法；方法二利用了函數(shù)的單調(diào)性．

1nan?2?()2?1{a}2本題也可先求出第（2）問，即數(shù)列n的通項(xiàng)公式，然后利用函數(shù)12x?1f(x)?2?()2的單調(diào)性和有界性，來證明第（1）問的不等式．但若這樣做，則無形當(dāng)中加大了第（1）問的難度，顯然不如用數(shù)學(xué)歸納法證明來得簡捷．

練習(xí)：

1.試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時(shí)，均有：an+cn＞2bn.分析：該命題意圖：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，考查的知識(shí)包括等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的一般步驟.技巧與方法：本題中使用到結(jié)論：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c為正數(shù))，從而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.b證明：(1)設(shè)a、b、c為等比數(shù)列，a=q,c=bq(q＞0且q≠1)

1bnnn∴an+cn=q+bnqn=bn(q+qn)＞2bn

an?cna?c2(2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想＞(2)n(n≥2且n∈N*)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

a2?c2a?c2?()22222①當(dāng)n=2時(shí)，由2(a+c)＞(a+c)，∴ ak?cka?ck?(),22②設(shè)n=k時(shí)成立，即

ak?1?ck?11?24(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)則當(dāng)n=k+1時(shí)，11＞4(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=4(ak+ck)(a+c)a?ca?ca?c＞(2)k·(2)=(2)k+1 根據(jù)①、②可知不等式對n＞1,n∈N*都成立．

二.基礎(chǔ)訓(xùn)練

一、選擇題

1.已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為（）A.30

B.26

C.36

D.6 解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.證明：n=1,2時(shí)，由上得證，設(shè)n=k(k≥2)時(shí)，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時(shí)，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k =(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

－=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k2(k≥2)?f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的m值等于36.答案：C

二、填空題

1?2.觀察下列式子：131151117?,1?2?2?,1?2?2?2?2234?則可歸納出_________.232341?解析：1312?1?1?即1??1?1222(1?1)2

1?115112?2?1??,即1???2?122323(1?1)2(2?1)2

1112n?1?????n?12232(n?1)2(n∈N*)歸納為1?答案:1?1112n?1?????n?12232(n?1)2(n∈N*)3an1a?33.已知a1=2,an+1=n,則a2,a3,a4,a5的值分別為_________，由此猜想an=_________.13a12?3?3同理,3.解析:a2??a1?31?372?5 23a23333333a3???,a4??,a5??,猜想an?a2?383?594?5105?5n?53?33333 答案:、、、78910n?5

三、解答題

11113?????n?1n?22n24.4.若n為大于1的自然數(shù)，求證：證明：(1)當(dāng)n=2時(shí)，11713 ???2?12?2122411113(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即 ?????k?1k?22k241111111則當(dāng)n?k?1時(shí),????????k?2k?32k2k?12k?2k?1k?1131111311??????? 242k?12k?2k?1242k?12k?213113???242(2k?1)(k?1)2411113?????*n?1n?22n24 所以：對于n∈N，且n>1時(shí)，有5.已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+?+b10=145.(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn;(2)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=loga(1+

1bn)(其中a＞0且a≠1)記Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，試比較1Sn與3logabn+1的大小，并證明你的結(jié)論.?b1?1?b1?1????10(10?1)10b?d?145?d?31?2(1)解：設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d,由題意得?,∴bn=3n－2(2)證明：由bn=3n－2知

11Sn=loga(1+1)+loga(1+4)+?+loga(1+3n?2)11=loga［(1+1)(1+4)?(1+ 3n?2)］

1113而3logabn+1=loga3n?1,于是，比較Sn與3logabn+1的大小?比較(1+1)(1+4)?13(1+3n?2)與3n?1的大小.333取n=1，有(1+1)=8?4?3?1?1 13)?8?37?33?2?1取n=2，有(1+1)(1+4 113*推測：(1+1)(1+4)?(1+3n?2)＞3n?1()①當(dāng)n=1時(shí)，已驗(yàn)證()式成立.*

113*②假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)()式成立，即(1+1)(1+4)?(1+3k?2)＞3k?1 1111(1?1)(1?)?(1?)(1?)?33k?1(1?)43k?23(k?1)?23k?1則當(dāng)n=k+1時(shí)，?3k?233k?13k?1

?(3k?233k?1)3?(33k?4)33k?1(3k?2)3?(3k?4)(3k?1)29k?4???022(3k?1)(3k?1)3?3k?1(3k?2)?33k?4?33(k?1)?13k?1

111從而(1?1)(1?)?(1?)(1?)?33(k?1)?1*43k?23k?1,即當(dāng)n=k+1時(shí)，()式成立

由①②知，()式對任意正整數(shù)n都成立.*

11于是，當(dāng)a＞1時(shí)，Sn＞3logabn+1,當(dāng) 0＜a＜1時(shí)，Sn＜3logabn+1

6.設(shè)實(shí)數(shù)q滿足|q|＜1,數(shù)列{an}滿足：a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表達(dá)式，又如果n??S2n＜3,求q的取值范圍.解：∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0，lim9∴q≠0,a2=－2, ∵an·an+1=－q,an+1·an+2=－q nn+1兩式相除，得an1?an?2q,即an+2=q·an

1nn于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·q?猜想：a2n+1=－2q(n=1,2,3,?)

?2?qk?1 n?2k?1時(shí)(k?N)??1k??q n?2k時(shí)(k?N)綜合①②，猜想通項(xiàng)公式為an=?2

下證：(1)當(dāng)n=1,2時(shí)猜想成立

k－1(2)設(shè)n=2k－1時(shí)，a2k－1=2·q則n=2k+1時(shí)，由于a2k+1=q·a2k－1

k∴a2k+1=2·q即n=2k－1成立.可推知n=2k+1也成立.1k設(shè)n=2k時(shí)，a2k=－2q,則n=2k+2時(shí)，由于a2k+2=q·a2k, 1k所以a2k+2=－2q+1,這說明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.綜上所述，對一切自然數(shù)n,猜想都成立.?2?qk?1 當(dāng)n?2k?1時(shí)(k?N)??1k當(dāng)n?2k時(shí)(k?N)??q 2?這樣所求通項(xiàng)公式為an=

S2n=(a1+a3?+a2n－1)+(a2+a4+?+a2n)12n-12n=2(1+q+q+?+q)－2(q+q+?+q)2(1?qn)1q(1?qn)1?qn4?q????()()1?q2(1?q)1?q2

1?qn4?qlimq?0,故limS2n(1?q)(2)n??由于|q|＜1,∴n??= n4?q2依題意知2(1?q)＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜5

三.鞏固練習(xí)

1.（06 年湖南卷.理.19本小題滿分14分）

0?a1?1,an?1?f(an),n?1,2,3,?.a已知函數(shù)f(x)?x?sinx,數(shù)列{n}滿足:

1an?1?an30?an?1?an?1;(ⅱ)6證明:(ⅰ).證明:（I）．先用數(shù)學(xué)歸納法證明

0?an?1，ｎ＝1,2,3,…

(i).當(dāng)n=1時(shí),由已知顯然結(jié)論成立.(ii).假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立,即

0?ak?1.因?yàn)?

f'(x)?1?cosx?0,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在[0,1]上連續(xù), 從而f(0)?f(ak)?f(1),即0?ak?1?1?sin1?1.故n=k+1時(shí),結(jié)論成立.0?an?1對一切正整數(shù)都成立.由(i)、(ii)可知，又因?yàn)??an?1時(shí)，an?1?an?an?sinan?an??sinan?0，所以an?1?an，綜上所述0?an?1?an?1．

1g(x)?sinx?x?x36，0?x?1．由（I）知，當(dāng)0?x?1時(shí)，sinx?x，（II）．設(shè)函數(shù)

x2x2x2x22xg(x)?cosx?1???2sin???2()??0.2222從而 '所以g(x)在(0,1)上是增函數(shù).又g(x)在[0,1]上連續(xù),且g(0)=0，1g(an)?0,即sinan?an?an3?06

所以當(dāng)0?x?1時(shí)，g(x)>0成立.于是． 1an?1?an36

故．

點(diǎn)評：不等式的問題常與函數(shù)、三角、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、幾何等數(shù)學(xué)分支交匯，綜合考查運(yùn)用不等式知識(shí)解決 問題的能力，在交匯中尤其以各分支中蘊(yùn)藏的不等式結(jié)論的證明為重點(diǎn).需要靈活運(yùn)用各分支的數(shù)學(xué)知識(shí).2.（05 年遼寧卷.19本小題滿分12分）

f(x)?已知函數(shù)x?3(x??1).{aa?1,an?1?f(an)，數(shù)列{bn}滿足x?1設(shè)數(shù)列n}滿足1bn?|an?3|,Sn?b1?b2???bn(n?N*).(3?1)nbn?2n?1；

（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明Sn?23.3

（Ⅱ）證明分析：本小題主要考查數(shù)列、等比數(shù)列、不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解決有關(guān)問題的能力 x?0時(shí),f(x)?1?（Ⅰ）證明：當(dāng)所以

2?1.x?1 因?yàn)閍1=1，an?1(n?N*).(3?1)nbn?.n?12下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

（1）當(dāng)n=1時(shí)，b1=3?1，不等式成立，(3?1)kbk?.k?12（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即

bk?1?|ak?1?3|?那么

(3?1)|ak?3|1?ak

3?1(3?1)k?1?bk?.k22

所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，不等也成立。

根據(jù)（1）和（2），可知不等式對任意n∈N*都成立。

(3?1)nbn?.n?12（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，(3?1)2(3?1)nSn?b1?b2???bn?(3?1)????22n?1 所以

3?1n)122?(3?1)??(3?1)??3.3?13?131?1?22 1?(n?N?,Sn?23.3）故對任意3.（05 年湖北卷.理22.本小題滿分14分）已知不等式1111?????[log2n],其中n為大于2的整數(shù)，[log2n]表示不超過23n2log2n的最大整數(shù).設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)為正，且滿足a1?b(b?0),an?nan?1,n?2,3,4,?

n?an?（Ⅰ）證明an?2b,n?3,4,5,?

2?b[log2n]（Ⅱ）猜測數(shù)列{an}是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）； 分析：本小題主要考查數(shù)列、極限及不等式的綜合應(yīng)用以及歸納遞推的思想.n?2時(shí),0?an?（Ⅰ）證法1：∵當(dāng)

nan?11n?an?111,????,n?an?1annan?1an?1n

111??,aan?1n 即n111111111??,??,?,??.aa12a3a23anan?1n 于是有 211111??????.aa123n 所有不等式兩邊相加可得 n111??[log2n].aa12由已知不等式知，當(dāng)n≥3時(shí)有，n

a1?b,?∵

2?b[log2n]111??[log2n]?.anb22ban?2b.2?b[log2n]

f(n)?證法2：設(shè)111????23n，首先利用數(shù)學(xué)歸納法證不等式

an?b,n?3,4,5,?.1?f(n)b

a3?（i）當(dāng)n=3時(shí)，由 知不等式成立.3a233b???.32?a3?a21?f(3)b1?13??1a22a1

b,1?f(k)b

ak?（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時(shí)，不等式成立，即ak?1?則(k?1)akk?1k?1??1?f(k)b(k?1)?ak(k?1)?1(k?1)??1akb ?(k?1)b?(k?1)?(k?1)f(k)b?bb1?(f(k)?1)bk?1?b,1?f(k?1)b

即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.an?由（i）、（ii）知，b,n?3,4,5,?.1?f(n)b

an?又由已知不等式得

（Ⅱ）有極限，且n??b11?[log2n]b2

?2b,n?3,4,5,?.2?b[log2n]

liman?0.2b221?,令?,2?b[log2n][log2n][log2n]5（Ⅲ）∵

10logn?[logn]?10,?n?2?1024, 22則有

1an?.5 故取N=1024，可使當(dāng)n>N時(shí)，都有

第二篇：第1單元《梭倫改革》全套教案(新人教選修1)

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第一單元、梭倫改革

一、課程目標(biāo) 內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn) 教學(xué)要求

教學(xué)建議

了解梭倫改1．了解梭倫改革前雅典1．結(jié)合地理環(huán)境，幫助學(xué)生了解雅典城革前雅典的城邦出現(xiàn)的平民與貴族的邦的經(jīng)濟(jì)狀況、社會(huì)階層與政體特點(diǎn)。社會(huì)狀況，認(rèn)尖銳矛盾以及工商業(yè)奴隸

2．引導(dǎo)學(xué)生從宏觀的社會(huì)背景分析梭倫識(shí)梭倫改革主的政治要求。

改革：在內(nèi)憂外患的困境面前雅典推舉梭的必要性。

2．知道雅典貴族進(jìn)行倫全權(quán)負(fù)責(zé)改革。的局部調(diào)整不能緩和

3．聯(lián)系必修Ⅰ中古希臘城邦文明與地理日益尖銳的社會(huì)矛盾。

環(huán)境的有關(guān)知識(shí)，分析雅典的社會(huì)階級關(guān)3．認(rèn)識(shí)梭倫改革的必系，認(rèn)識(shí)梭倫改革的深層次原因。要性。

4．引導(dǎo)學(xué)生感受“六一漢”的生存狀況與貴族的專橫，體會(huì)輝煌的雅典文明也走過風(fēng)雨飄搖的歷程。簡述梭倫改1．簡述梭倫改革在頒1．指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材，用提煉關(guān)鍵詞、革的主要措布“解負(fù)令”、確立財(cái)產(chǎn)制作表格等方式來把握梭倫改革的主要施，指出改革等級制度和推行國家措施。的基本特點(diǎn)。權(quán)力機(jī)構(gòu)改革等方面

2．關(guān)于梭倫對國家權(quán)力機(jī)構(gòu)的改革可以的主要措施。

指導(dǎo)學(xué)生用圖示法來說明其中所包含的2．指出梭倫改革呈現(xiàn)政治民主性。的“革命性”與“中庸式

3．梭倫改革的革命性特點(diǎn)主要體現(xiàn)為觸”的基本特點(diǎn)。

及土地占有關(guān)系和打破貴族專權(quán)；中庸式3．感受詩人政治家沖特點(diǎn)主要體現(xiàn)為既改善平民的經(jīng)濟(jì)狀況破阻力、振興城邦的襟和政治地位又確認(rèn)財(cái)產(chǎn)等級制度和保護(hù)懷和理想。貴族特權(quán)。教學(xué)時(shí)要對特點(diǎn)給予必要的提

示和論述。

4．適當(dāng)?shù)卦髠惖脑姼鑱磉M(jìn)行教學(xué)。

分析梭倫改1.分析梭倫改革對雅革對雅典民典民主政治建設(shè)的積主政治建設(shè)極影響。的影響。

2.了解梭倫改革的歷史局限性。

3．認(rèn)識(shí)到制度設(shè)置是

1．注意引導(dǎo)學(xué)生先從改革的若干措施來? 嚀宸治觶俁運(yùn)舐贅母锏撓跋旄枵宓乃得鰲?

2．教師要適當(dāng)補(bǔ)充材料，聯(lián)系必修Ⅰ“雅典民主政治的主要內(nèi)容”，使學(xué)生明確古代雅典民主政治是經(jīng)過一系列改革的發(fā) 1 河南教考資源信息網(wǎng)

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民主政治的可靠保障；展歷程而最終形成的。體會(huì)精英意識(shí)和平民

3．回顧梭倫改革前夕平民與貴族的矛盾，情懷。

結(jié)合梭倫個(gè)人事跡的背景材料，組織學(xué)生談?wù)勅绾螆?jiān)持正義原則，培養(yǎng)平民情懷。

二、史論共享

梭倫改革的政治影響：

梭倫改革是雅典城邦乃至整個(gè)古希臘歷史上最重要的社會(huì)政治改革之一，它為雅典城邦的振興與富強(qiáng)開辟了道路，奠定了城邦民主政治的基礎(chǔ)。梭倫改革一方面為雅典民主政治奠定了社會(huì)基礎(chǔ)，另一方面完善了國家制度，為普通公民參與國家政治活動(dòng)提供了制度保證。梭倫的價(jià)值觀以及改革中創(chuàng)造的有利于公民行使職權(quán)的各種制度，對雅典民主政治具有重要的意義。梭倫改革奠定了雅典民主政治、乃至西方民主政治的基礎(chǔ)。

三、知識(shí)梳理

第1課 雅典城邦的興起

（一）雅典城邦的社會(huì)狀況

1、自然條件：

（1）環(huán)境優(yōu)越： 位于希臘 半島，分布著小塊的。（2）資源豐富：生產(chǎn)葡萄、橄欖，富藏優(yōu)質(zhì) 和。（3）交通便利：有天然良港。

2、社會(huì)組織的演變：

（1）“荷馬時(shí)代”：由多個(gè)部落或氏族構(gòu)成，長期紛爭。（2）國家的雛形：約公元前9-公元前8世紀(jì)。

3、主要社會(huì)成員：貴族和平民（包括、）

（二）復(fù)雜的社會(huì)矛盾

1、貴族專權(quán)：（1）表現(xiàn)

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政治上：貴族把持首席執(zhí)政官、等要害部 門；體現(xiàn)平民地位的 沒有實(shí)際權(quán)力。

經(jīng)濟(jì)上：貴族掌握大部分 ；平民處境不斷惡化，甚至淪為。（2）結(jié)果： 的專橫和壓榨，激起了 的反抗；雅典統(tǒng)治者調(diào)整統(tǒng)治政策，仍沒有化解。

2、工商業(yè)奴隸主的呼聲：

（1）工商業(yè)奴隸主的興起：農(nóng)業(yè)生產(chǎn)力大為提高，推動(dòng)了 的發(fā)展；有些平民和貴族經(jīng)營工商業(yè)，逐步形成 階層。（2）各派的政治要求

平原派：主張維護(hù)貴族 政治，以鞏固自身既得利益。山地派：實(shí)行激進(jìn)的，進(jìn)行徹底的社會(huì)變革。海岸派：實(shí)行 的改革，反對。

（三）臨危受命的梭倫

1、走上政治舞臺(tái)

（1）的侵略：鄰邦梅加臘占領(lǐng)，雅典統(tǒng)治者無力收回。（2）收回薩拉米斯島：梭倫率領(lǐng) 軍隊(duì)，一舉收回領(lǐng)土。

2、當(dāng)選執(zhí)政官：公元前 年，平民與貴族矛盾再度激化，內(nèi)戰(zhàn)一觸即發(fā)，梭倫當(dāng)選為，全權(quán)修訂，進(jìn)行改革。第2課 除舊布新的梭倫改革

?

（一）頒布“解負(fù)令”

1、內(nèi)容：廢除債務(wù)奴隸制，因 而淪為奴隸的人獲得自由；廢除“ ”制度，禁止以人身為擔(dān)保的借貸；規(guī)定占有土地的最高限額，防止貴族任意 ；制定“ ”，杜絕貴族侵占平民的財(cái)產(chǎn)。

2、應(yīng)對貴族反對：依靠 支持，堅(jiān)持推行改革；這穩(wěn)定社會(huì)秩序，調(diào)整了部分 措施。

3、影響：

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對內(nèi)：貴族的 受到制約，逐步失去擴(kuò)展勢力的物質(zhì)基礎(chǔ)；解除債務(wù)奴隸制，雅典城邦的 成為享有人身自? 珊凸袢ǖ墓瘛? 對外：為了獲得更多的，積極向外掠奪奴隸，走上奴役 的道路。

（二）確立 制度

1、目的：打破貴族的

2、標(biāo)準(zhǔn)：按 將雅典公民劃分為四個(gè)等級

3、權(quán)利義務(wù)：財(cái)產(chǎn)越多，等級，享受的權(quán)利，應(yīng)盡的義務(wù)也，不同等級權(quán)利和義務(wù)。

4、結(jié)果：雖然沒有帶來真正的平等，但是打破了貴族依據(jù) 的世襲特權(quán)壟斷政權(quán)的局面。為 開辟了參政議政的途徑。重新分配了國家 &n bsp;，動(dòng)搖了貴族政治的社會(huì)基礎(chǔ)，為雅典 的發(fā)展開辟了道路。

（三）建立“ ”

1、目的：進(jìn)一步打破貴族的專權(quán)

2、主要措施：恢復(fù) 作為國家最高權(quán)力機(jī)關(guān)，削弱 的權(quán)力；組成“四百人會(huì)議”作為 的常設(shè)機(jī)構(gòu)，實(shí)際上執(zhí)掌最高統(tǒng)治權(quán)；設(shè)立

作為最高司法機(jī)關(guān)，對司法審判權(quán)的長期壟斷被打破；廢除許多嚴(yán)刑峻法，制? ┝艘恍┬路傘?

（四）鼓勵(lì)發(fā)展農(nóng)工商業(yè)

1、目的：擴(kuò)大 的就業(yè)機(jī)會(huì)，壯大雅典城邦的實(shí)力

2、措施：

（1）農(nóng)業(yè)：禁止，抑制糧食漲價(jià)；改進(jìn)水渠灌溉系統(tǒng)，提倡種植，鼓勵(lì)橄欖油等經(jīng)濟(jì)作物的出口。

（2）工商業(yè)：鼓勵(lì) ；規(guī)定雅典公民必須讓兒子學(xué)會(huì)一門手藝；吸引有技術(shù)的外國人遷居。

（3）其他方面：改革 和 ；確立私有制，承認(rèn) 的原則；倡導(dǎo)，抑制奢侈浪費(fèi)；禁止揮霍無度，懲罰游手好閑之徒。

3、意義：大大推動(dòng)了雅典社會(huì)的發(fā)展 河南教考資源信息網(wǎng)

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第3課 雅典民主政治的奠基石

?

（一）梭倫出走與僭主政治的建立

1、梭倫出走：客觀原因：梭倫改革沒有從根本上消除 與 的矛盾。主觀原因：梭倫不愿建立，踐踏民主政治。

2、僭主政治的建立；

（1）原因：雅典社會(huì)矛盾進(jìn)一步激化，、、三派斗爭激烈，政局動(dòng)蕩。

（2）建立：公元前 年，憑借武力奪取政權(quán)，建立了個(gè)人獨(dú)裁。（3）措施：沒有廢除 的成果；打擊貴族勢力，提高 的經(jīng)濟(jì)地位，發(fā)展工商業(yè)。

?

（二）雅典民主政治的奠基石

1、梭倫改革? 睦芬庖澹?（1）經(jīng)濟(jì)上：梭倫改革為 的振興和富強(qiáng)開辟了道路，使雅典成為古希臘最繁榮的。

（2）政治上：梭倫改革動(dòng)搖了 統(tǒng)治，奠定了城邦 的基礎(chǔ)；恢復(fù)公民大會(huì)、設(shè)立四百人會(huì)議和 等國家權(quán)利機(jī)構(gòu)，在一定程度上確保了 的政治權(quán)利。

2、民主政治的確定：公元前6世紀(jì)末，通過反對僭主政治執(zhí)政，進(jìn)一步促進(jìn)了 的形成；公元前5世紀(jì)，改革，促進(jìn)了雅典民主政治的發(fā)展和完善并使其最終確立。

（三）梭倫改革的歷史局限性

（1）原因：主要目的是，穩(wěn)定社會(huì)秩序，因此梭倫主要扮演了“ ”的角色，很多改革措施具有“ ”色彩。

（2）表現(xiàn)：確立財(cái)產(chǎn)等級制度，使得下層公民沒有享有充分的 的權(quán)利；貴族勢力削弱，但仍比平民享有更多的政治權(quán)利，殘余仍得以存續(xù)；貴族與平民的矛盾沒有得到根本解決。

四、鞏固練習(xí)

第1課 雅典城邦的興起

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?

1、古希臘文明發(fā)生的典型地域特點(diǎn)是

A、大河流域 B、交通樞紐 C、政治中心 D、海洋遼闊

?

2、公元前8-公元前6世紀(jì)，雅典貴族把持的權(quán)力機(jī)關(guān)有

①首席執(zhí)政官 ②長? 匣嵋? ③公民大會(huì)

A、①②③ B、①② C、①③ D、②③

?

3、公元前8-公元前6世紀(jì)，雅典城邦出現(xiàn)了許多“六一漢”和債務(wù)奴隸，這種現(xiàn)象能說明的本質(zhì)問題是

A、雅典下層平民的生活狀況 B、貴族用放高利貸的方式盤剝平民 C、平民和貴族之間的矛盾尖銳 D、雅典土地資源稀缺

?

4、公元前625年，雅典平民巴巴拉竊取葡萄被依法論處，依照當(dāng)時(shí)的法律，他將受到怎樣的制裁

A、出賣為奴 B、處以死刑 C、處以罰款 D、關(guān)進(jìn)監(jiān)獄

?

5、下列對雅典工商業(yè)奴隸主階層敘述不正確的是

A、他們在地中海、黑海沿岸經(jīng)商 B、他們在工商業(yè)活動(dòng)中使用奴隸勞動(dòng)

C、他們促進(jìn)了雅典奴隸制經(jīng)濟(jì)的發(fā)展 D、他們都是由平民發(fā)財(cái)致富而形成的

?

6、當(dāng)時(shí)雅典公? 褳蒲∷舐孜紫湊俚墓餐康氖? A、維護(hù)工商業(yè)奴隸主的利益 B、鞏固貴族的既得利益 C、緩和社會(huì)矛盾，維護(hù)城邦統(tǒng)一 D、征服其他城邦的需要 第2課 除舊布新的梭倫改革

1、下列措施中對限制雅典貴族進(jìn)行土地兼并起到直接作用的是

①廢除了“六一漢”制度②“遺囑法”的制定③規(guī)定占有土地的最高限額④撥款贖回被賣到外邦作奴隸的公民

A、①② B、③④ C、②③ D、①④

2、下列對雅典的財(cái)產(chǎn)等級制度的說法不正確的是 河南教考資源信息網(wǎng)

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A、劃分等級的標(biāo)準(zhǔn)是公民的財(cái)產(chǎn)，后來計(jì)算財(cái)產(chǎn)資格時(shí)將非土地財(cái)富也包括在內(nèi)

B、不同等級的公民享受的權(quán)利和應(yīng)盡的義務(wù)成正比

C、打破了貴族依據(jù)血緣門第的權(quán)利壟斷政治的局面，一定程度上削弱了其地位 D、收益最大的是平民階層

3、雅 典城邦的最高權(quán)力機(jī)關(guān)是

A、四百人會(huì)議 B、首席執(zhí)政官 C、公民大會(huì) D、陪審法庭

4、對“四百人會(huì)議”的敘述，不正確的是

A、是公民大會(huì)的常設(shè)機(jī)構(gòu) B、從雅典最初的四個(gè)部落中各選100人組成 C、全體公民都可以當(dāng)選 D、實(shí)際上執(zhí)掌最高統(tǒng)治權(quán)

5、公元前6世紀(jì)雅典的一個(gè)年收入100麥斗的平民，他可以

①參加公民大會(huì)②當(dāng)選“四百人會(huì)議”的成員③當(dāng)選為陪審員④在戰(zhàn)爭中提供騎兵

A、①② B、①③ C、①④ D、②③

?

6、梭倫改革后，陪審法庭的陪審員產(chǎn)生的方式是

A、由各等級公民選舉產(chǎn)生 B、從各等級公民中抽簽產(chǎn)生 C、由各等級公民輪流擔(dān)任 D、由首席執(zhí)政官隨意指任 第3課 雅典民主政治的奠基石

?

1、梭倫之所以出走他鄉(xiāng)，離開雅典，主要原因是

A、梭倫建立僭主政治未獲得成功 B、梭倫想去外邦漫游 C、梭倫未能消除雅典社會(huì)的主要矛盾 D、梭倫改革遭到舊貴族的反對

?

2、梭倫因其改革遭到責(zé)難和譏諷而出走后，企圖推翻其改革成果的是

A、山地派 B、海岸派 C、僭主派 D、平原派

?

3、從公元前7世紀(jì)到前5世紀(jì)，雅典的歷次改革中使民主政治最終確立的是 河南教考資源信息網(wǎng)

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A、梭倫改革 B、庇西特拉圖改革 C、克里斯提尼改革 D、伯利克里改革

?

4、在梭倫改革中，使廣大平民成為享有自由權(quán)利公民的措施是

A、頒布“解負(fù)令” B、確立財(cái)產(chǎn)等級制度 C、設(shè)立陪審法庭 D、建立“四百人會(huì)議” ?

5、從根本 上瓦解了貴族世襲政治特權(quán)的基礎(chǔ)措施是

A、確立財(cái)產(chǎn)等級制度 B、鼓勵(lì)發(fā)展工商業(yè) C、恢復(fù)公民大會(huì)的權(quán)力 D、設(shè)立“四百人會(huì)議” ?

6、關(guān)于梭倫改革表述不正確的是

A、富有的第一、第二等級在國家政權(quán)中占據(jù)著絕對的優(yōu)勢 B、下層公民沒有享有充分的參政議政的權(quán)利

C、貴族仍然比平民享有更多的政治權(quán)利，氏族制度殘余仍得以存續(xù) D、貴族憑借財(cái)富，照樣擁有世襲占有土地的特權(quán) 第一單元綜合測試

一、選擇題

1、大約在公元前9-前8世紀(jì)，雅典公民主要包括 ? ① 貴族 ②平民 ③奴隸 ④外邦人 ?

A、①② B、③④ C、①③ D、②④

?

2、下列不屬于梭倫改革的歷史局限性的有

A、下層公民沒有充分的參政議政的權(quán)利 B、確立了雅典的奴隸制民主制 C、氏族制度的殘余得以存續(xù) D、沒有從根本上解決貴族和平民的矛盾

?

3、雅典民主制的實(shí)質(zhì)是

A、奴隸主階級對奴隸的專政 B、奴隸主階級對自由民的專政 C、共和制的管理形式 D、雅典公民階級的自我管理形式

?

4、削弱貴族長老會(huì)議權(quán)力的舉措是 河南教考資源信息網(wǎng)

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A、“解負(fù)令”的實(shí)行 B、“四百人會(huì)議”建立 C、恢復(fù)公民大會(huì) D、財(cái)產(chǎn)等級制改革

?

5、梭倫改革并沒有實(shí)現(xiàn)雅典公民的完全平等，主要是因?yàn)?/p>

A、用財(cái)產(chǎn)的不平等代替出身的不平等 B、不同等級的公民享有不同的政治權(quán)力

C、不同等級的公民承擔(dān)的義務(wù)也不相同 D、梭倫改革僅適應(yīng)了奴隸主階級的需要

?

6、為雅典民主政治奠定基礎(chǔ)的改革是

A、梭倫改革 B、克里斯提尼改革 C、伯? 死鋦母? D、庇西特拉圖改革

?

7、梭倫改革實(shí)行財(cái)產(chǎn)等級制，其最大的受益者是

A、平原派 B、山地派 C、海岸派 D、激進(jìn)派

8、雅典社會(huì)的平民

A、都是農(nóng)民，遭到貴族的盤剝 B、都是公民，有權(quán)利參加公民大會(huì) C、都深受債務(wù)之苦，主張實(shí)行激進(jìn)的民主政治 D、經(jīng)過梭倫改革，取得了與貴族完全平等的權(quán)利

9、貴族把持要職，其中長老會(huì)議的職責(zé)有 ①最高決策 ②監(jiān)察 ③審判 ④自由選舉

A、①②③ B、②③④ C、①②④ D、①③④

10、下列關(guān)于平民與貴族的斗爭的敘述，正確的是

①原因上，既有經(jīng)濟(jì)的，又有政治的 ②方式上，曾經(jīng)出現(xiàn)過暴力沖突 ③二者的斗爭直接促成了梭倫的改革 ④梭倫改革一舉消除了二者之間的矛盾 A、①② B、①②③ C、①②④ D、①②③④

11、梭倫確定的財(cái)產(chǎn)等級制度是

①公民財(cái)產(chǎn)越多，等級就越高 ②公民等級越高，享受的權(quán)利越多 ③公民等級越低，承擔(dān)的義務(wù)越少 ④不同等級的公民雖然享受的權(quán)利不同，但所盡義務(wù)相同 河南教考資源信息網(wǎng)

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A、①②③④ B、①②③ C、②③④ D、①③④

12、下列對梭倫改革后的雅典公民大會(huì)的表述，不正確的是

A、有決定戰(zhàn)爭、媾和等國家大事 B、有權(quán)選舉國家公職人員 C、成為事實(shí)上的國家最高權(quán)利機(jī)關(guān) D、享有最高的司法裁判權(quán)

13、梭輪在改革中禁止糧食出口的直接目的是

A、壯大了雅典城邦的實(shí)力 B、發(fā)展農(nóng)業(yè)生產(chǎn) C、抑制糧食價(jià)格，保障平民的生活穩(wěn)定 D、推動(dòng)對外貿(mào)易的發(fā)展

14、在財(cái)產(chǎn)等級制度下，新興工商業(yè)奴隸主逐漸躋身統(tǒng)治階層的行列的原因是 A、出自貴族 B、出身平民 C、經(jīng)濟(jì)實(shí)力雄厚 D、貴族權(quán)力被削弱

15、梭倫除舊布新的措施之所以能夠適應(yīng)“海岸派”的要求，是因?yàn)椤昂０杜伞钡闹鲝垻俜磳F族特權(quán) ②要求分享政治權(quán)利 ③主張實(shí)行激進(jìn)的社會(huì)改革 ④主張大力發(fā)展工商業(yè)

A、①② B、①②③ C、②③④ D、①②④

16、梭倫以財(cái)產(chǎn)為依據(jù)劃分公民等級，克里斯提尼以區(qū)域部落代替血緣部落，其共同點(diǎn)是

A、剝奪貴族的政治權(quán)利 B、以財(cái)產(chǎn)的不平等代替了出身造成的不平等 C、維護(hù)工商業(yè)奴隸主的利益 D、打擊氏族貴族，維護(hù)平民利益

17、下列連線不正確的是

A、梭倫--制定“遺囑法” B、克里斯提尼--“陶片放逐法” C、伯利克里--最終確立民主制 D、庇西特拉圖--設(shè)立“五百人會(huì)議”

18、下列關(guān)于梭倫改革的表述，正確的是

①動(dòng)搖了貴族專制? 持危於順前蠲裰髡蔚幕? ②為雅典城邦的振興與富強(qiáng)開辟了道路③動(dòng)搖了貴族政治的的社會(huì)基礎(chǔ) A、②③ B、①③ C、①② D、①②③

19、下列現(xiàn)代民主生活的原則在雅典古代民主改革中已經(jīng)出現(xiàn)萌芽的有

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①以法律保障人身自由 ②反對出身和財(cái)產(chǎn)的不平等 ③比例代表選舉法 ④議員選舉機(jī)會(huì)均等，任期制 ⑤人民權(quán)威

A、①②③ B、②③④ C、①④⑤ D、①②③④⑤ 20、平民對梭倫的改革有很多抱怨，主要是由于其改革

A、使平民的利益遭受重大損失 B、給平民的經(jīng)濟(jì)政治權(quán)利太少 C、不在雅典推行僭主政治制度 D、沒有實(shí)現(xiàn)廣大平民任何要求

二、材料分析題

21、閱讀下列材料：

材料一：在時(shí)間的裁判面前，那奧林匹斯諸神的偉大母親--黑色的土地，將是最好的證人，因?yàn)檎俏遥瑸樗蔚袅吮姸嗟膫鶛?quán)標(biāo)，以前她被受奴役，而今已重獲自由。許多被出賣的人們，我已使他們回到這神所建立的雅典，其中有的無辜被售，有的因故賣身，有的為可怕的貧窮所迫，逃亡異地......我都使他們獲得解放！----梭倫

材料二：梭倫改革對雅典公民的財(cái)產(chǎn)等級劃分和政治權(quán)利分配 等級 第一等級 第二等級 第三等級 第四等級 等級名稱 500斗級 騎士級 雙牛級 日傭級

財(cái)產(chǎn)資格

分享的政治權(quán)利

年收入500麥斗以可擔(dān)任一切官職 上

年收入達(dá)300麥斗 可擔(dān)任除司庫以外的高級官職 年收入達(dá)200麥斗 可出任低級官職 年收入200麥斗以有選舉權(quán)無被選舉下 權(quán)

材料三：當(dāng)代有人評論說：梭倫改革對國家政權(quán)機(jī)構(gòu)和司法制度進(jìn)行了民主化改革。......這些措施打破了貴族對政權(quán)的壟斷，賦予平民直接管理國家事物的權(quán)力，為政治民主化開辟了道路。請回答：

（1）材料一反映了梭倫改革的哪些措施？該措施主要解決了哪一問題？結(jié)果怎樣？

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（2）梭倫曾經(jīng)寫詩描述他的改革措施：“我制定法律，無分貴賤，一視同仁。”結(jié)合所學(xué)知識(shí)和材料二信息，談?wù)勊髠惛母锎_立財(cái)產(chǎn)等級制度的意義，他是否真正做到了“一視同仁”？

（3）根據(jù)材料三回答，梭倫對國家權(quán)力機(jī)構(gòu)和司法制度進(jìn)行了哪些改革？

22、閱讀下列材料：

材料一：不再以出身而是以財(cái)產(chǎn)的數(shù)量來劃分公民的等級。......不同等級的人則待遇有所不同。......公民大會(huì)選舉或罷免一切公職人員，決定宣戰(zhàn)、媾和、制定法律等一切國家大事。獎(jiǎng)勵(lì)外國技工遷居雅典，對攜眷移民給予公民權(quán)；雅典公民必須讓兒子學(xué)會(huì)一門手藝，否則兒子可拒絕贍養(yǎng)其父；鼓勵(lì)橄欖油出口。材料二：梭倫的詩歌

其一：你們這些財(cái)物山積、豐衣足食而有余的人，應(yīng)當(dāng)抑制你們貪婪的心情，壓制它，使它平衡。

其二：我手執(zhí)一個(gè)有力的盾牌，站在兩個(gè)階級的面前，不許他們?nèi)魏我环讲还卣贾鴥?yōu)勢。

其三：我制定法律，無分貴賤，一視同仁。按照正義，人人各得其所。請回答：

（1）材料一中是梭倫改革的內(nèi)容，概括歸納改革涉及哪幾個(gè)方面。是如何規(guī)定的？

（2）材料二中可以看出梭倫改革有何特征？體現(xiàn)了梭倫改革的側(cè)重點(diǎn)是什么？（3）梭倫改革對本國政治制度的形成有何影響？ 參考答案： 第1課： DBCBDC 第2課: CDCCBB 第3課: CDDAAD 第一單元綜合測試

ABACA AVBAB BDCCD DDDDB 河南教考資源信息網(wǎng)

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21（1）措施：“解負(fù)令”。問題：貴族以高利貸、土地兼并等方式盤剝農(nóng)民，平民無力償還債務(wù)，成為“六一漢”或淪為債務(wù)奴隸，有的甚至被賣到外邦作為奴隸。結(jié)果：解除了債務(wù)奴隸制對平民的威脅，使雅典城邦的原居民不管貴族和平民都成為享有人身自由和公民權(quán)的公民。

（2）打破了貴族依靠血緣門第特權(quán)世襲壟斷政權(quán)的局面，為非貴族出身的工商業(yè)奴隸主開辟了參政議政的途徑，為雅典民主政治開辟了道路。但是，改革沒有帶來真正的平等，特別是下層平民參加國家高級管理職位的機(jī)會(huì)，因財(cái)產(chǎn)資格而受到限制，所以梭倫并未真正做到“一視同仁”。

（3）恢復(fù)公民大會(huì)作為國家最高權(quán)力機(jī)關(guān)，所有公民都有資格參加公民大會(huì)；創(chuàng)立“四百人會(huì)議”作為公民大會(huì)的常設(shè)機(jī)構(gòu)；設(shè)立公民陪審法庭作為最高司法 機(jī)關(guān)；制訂新的法律。

22（1）涉及等級劃分、公民大會(huì)職權(quán)及官吏任免、對待工商業(yè)的態(tài)度。規(guī)定：以財(cái)產(chǎn)的多少劃分等級；由公民大會(huì)產(chǎn)生或罷免官吏，鼓勵(lì)工商業(yè)發(fā)展。（2）節(jié)制、折中、公平和法律面前人人平等。側(cè)重點(diǎn)：緩和社會(huì)矛盾，振興雅典城邦。（3）為雅典民主政治發(fā)展奠定了社會(huì)基礎(chǔ)。

第三篇：高中語文：1.2《湘夫人》教案(新人教選修)

屈原《湘夫人》

教案

一、導(dǎo)入

湘君和湘夫人是湘江的一對戀人神，傳說湘君就是古帝舜，他南巡時(shí)死于蒼梧，葬于九嶷山。舜的妻子是堯帝的二女娥皇、女英，她們追隨丈夫到沅湘，夫死而苦，淚水落在竹子上，使竹竿結(jié)滿了斑點(diǎn)，“斑竹”之名即由此而來。屈原根據(jù)這個(gè)美麗的傳說寫作了一首詩歌《湘夫人》，讓我們一起來學(xué)習(xí)。

二、常識(shí)介紹

介紹屈原、楚辭和背景知識(shí)

三、把握詩歌情感，理解詩歌主題

（一）播放錄音，學(xué)生結(jié)合課后注釋朗讀詩歌。

（二）（1）師問：這首詩歌講述的是一個(gè)什么樣的故事？

生答：講了湘君和湘夫人的苦戀故事，全詩以湘君的口吻，抒寫了他自己在約會(huì)地點(diǎn)沒有等到湘夫人的憂愁、煩惱感情和一系列的心里活動(dòng)。（2）師問：詩人是以怎樣的情感來講述這個(gè)故事的？為什么會(huì)用這樣的情感講述這個(gè)苦戀故事？（啟發(fā)學(xué)生用“知人論世、以意逆志”來把握詩人情感、理解詩歌主旨）生答：幽怨 哀婉

生答：詩言志，詩人借講述這個(gè)哀婉、動(dòng)人的苦戀故事，來表達(dá)他政治理想不能實(shí)現(xiàn)的幽怨，借湘君對愛情的堅(jiān)貞不渝來表達(dá)他對理想執(zhí)著追求的情愫。附屈原其人其事：

屈原一生經(jīng)歷了楚威王、楚懷王、頃襄王三個(gè)時(shí)期，而主要活動(dòng)于楚懷王時(shí)期。這個(gè)時(shí)期正是中國即將實(shí)現(xiàn)大一統(tǒng)的前夕，“橫則秦帝，縱則楚王。”屈原因出身貴族，又明于治亂，嫻于辭令，故而早年深受楚懷王的寵信，位為左徒、三閭大夫。屈原為實(shí)現(xiàn)楚國的統(tǒng)一大業(yè)，對內(nèi)積極輔佐懷王變法圖強(qiáng)，對外堅(jiān)決主張聯(lián)齊抗秦，使楚國一度出現(xiàn)了一個(gè)國富兵強(qiáng)、威震諸侯的局面。但是由于在內(nèi)政外交上屈原與楚國腐朽貴族集團(tuán)發(fā)生了尖銳的矛盾，由于上官大夫等人的嫉妒，屈原后來遭到群小的誣陷和楚懷王的疏遠(yuǎn)。懷王十五年（前304），張儀由秦至楚，以重金收買靳尚、子蘭、鄭袖等人充當(dāng)內(nèi)奸，同時(shí)以“獻(xiàn)商於之地六百里”誘騙懷王，致使齊楚斷交。懷王受騙后惱羞成怒，兩度向秦出兵，均遭慘敗。于是屈原奉命出使齊國重修齊楚舊好。此間張儀又一次由秦至楚，進(jìn)行瓦解齊楚聯(lián)盟的活動(dòng)，使齊楚聯(lián)盟未能成功。懷王二十四年，秦楚黃棘之盟，楚國徹底投入了秦的懷抱。屈原亦被逐出郢都，到了漢北。

懷王三十年，屈原回到郢都。同年，秦約懷王武關(guān)相會(huì)，懷王遂被秦扣留，最終客死秦國，頃襄王即位后繼續(xù)實(shí)施投降政策，屈原再次被逐出郢都，流放江南，輾轉(zhuǎn)流離于沅、湘二水之間。頃襄王二十一年（公元前278），秦將白起攻破郢都，屈原悲憤難捱，遂自沉汨羅江，以身殉了自己的政治理想。（3）師生研討詩歌主題。

本詩以男女水神等候?qū)Ψ綖榫€索，表現(xiàn)了他們因思而不見而在不斷的彷徨迷惘中產(chǎn)生的深長的幽思之情，但仍對愛情堅(jiān)貞不渝的主題！詩歌反應(yīng)了當(dāng)時(shí)人民的真實(shí)感情和美好愿望，也滲透了詩人屈原執(zhí)著追求理想的情愫。

四、學(xué)習(xí)情景交融的寫法，意象在表達(dá)情感、營造意境上的作用 1．朗讀第一段，通過“裊裊兮秋風(fēng)，洞庭波兮木葉下”、“鳥萃兮蘋中，罾何為兮木上”，分析情景關(guān)系。2．“秋風(fēng)”、“木葉”這都是令人感傷的意象，作者為了表現(xiàn)他的幽怨、哀婉，自然要選擇這些哀景，可是后面為什么還要寫很多的香草？ 生答：寄予理想

五、布置作業(yè) 1．背誦課文。

2．整理屈原詩歌中的名句。《九歌?湘夫人》教案周建忠

一、《九歌》的來源及其演變

《九歌》的發(fā)展和形成經(jīng)歷了漫長的四個(gè)階段。第一階段稱為“原始《九歌》”或“巫術(shù)《九歌》”；第二階段是“中原《九歌》”，我們稱之為“夏代經(jīng)典《九歌》”；第三階段是“楚地《九歌》”，也稱“民間《九歌》”；第四階段是“屈原《九歌》”。

我們解讀《九歌》最大的難點(diǎn)就是要把這四個(gè)層次理清楚，如果不能把這四個(gè)層次理清楚，把屈原的《九歌》和夏代《九歌》等同或跟原始《九歌》等同，那樣就不能很好的解讀《九歌》。《九歌》的名稱起源很早，《離騷》中講到的“啟《九辯》與《九歌》兮”，是說夏代開國君王夏啟，把天庭樂歌《九歌》偷回人間。其實(shí)在夏代《九歌》之前還有“原始《九歌》”或“巫術(shù)《九歌》”。到目前為止，我們還沒有發(fā)現(xiàn)楚國人把《九歌》作為國家所用的祭歌的記載，但《九歌》和國家的祭祀還是有一些關(guān)系的。北京大學(xué)教授金開誠曾說，《九歌》可能是大型祭禮的余續(xù)，是大型祭禮結(jié)束以后再來唱的，既有大型祭祀典禮的肅穆與端莊，又有娛人的作用。這種說法我人為是比較有力的。《九歌》既和國家祀典有關(guān)，又和國家祀典有所區(qū)別，但到目前為止還沒有發(fā)現(xiàn)《九歌》與楚國的國家祭典有直接的關(guān)系。屈原在楚地民間祭歌的基礎(chǔ)之上創(chuàng)作了《九歌》。屈原在長期流放的過程中能夠感受到，也能夠接觸到楚國的傳統(tǒng)祭歌。

屈原創(chuàng)作《九歌》的摹本，可以毫無疑問地說就是楚地民間《九歌》，這在東漢王逸的《楚辭章句》和宋代朱熹的《楚辭集注》中都有明確論述。屈原在楚地民間《九歌》的基礎(chǔ)上創(chuàng)作了組詩《九歌》，而楚地的民間《九歌》顯然保留了夏代中原《九歌》和巫術(shù)《九歌》以及原始《九歌》的某些內(nèi)容和風(fēng)格，因此我們從屈原《九歌》中能發(fā)現(xiàn)原始《九歌》和夏代《九歌》的一些痕跡。因此，對于屈原的《九歌》，可以這樣表述：屈原《九歌》是在原始《九歌》、中原《九歌》、楚地《九歌》基礎(chǔ)之上的獨(dú)立的文學(xué)創(chuàng)作。

二、《九歌》的內(nèi)容

《九歌》是組詩，盡管我們一直認(rèn)為它是可以唱的。王國維、聞一多都認(rèn)為《九歌》是中國戲劇的萌芽，但我們應(yīng)該看到，《九歌》的戲劇因素并不明顯，而是實(shí)實(shí)在在的組詩。聞一多研究《九歌》一共做了兩件事。

第一、他認(rèn)為《九歌》中的末篇《禮魂》只有五句，是前十首每篇唱完后的共享唱詞，相當(dāng)于我們今天音樂的“過門”曲。在前十篇中，除《東皇太一》是祭祀至上神，《國殤》是祭祀衛(wèi)國犧牲的將士外，其余八篇中的神靈可以配成四對：湘君與湘夫人，大司命與少司命，河伯與山鬼，東君和云中君。后來姜亮夫認(rèn)為東君和云中君配成一對很勉強(qiáng)，于是就認(rèn)為《九歌》中的神靈可以配成三對。其實(shí)，《九歌》中真正能夠配成對的神靈只有湘君和湘夫人，其它都是牽強(qiáng)的，但聞一多和姜亮夫?qū)Α毒鸥琛费芯康淖畲筘暙I(xiàn)是，他們都發(fā)現(xiàn)了《九歌》中的八篇都涉及到男女之情。《九歌》是借男女情愛來表達(dá)人生體悟，人生追求和人生苦惱的觀點(diǎn)顯然是沒有問題的。

聞一多《九歌》研究的另一件比較重要的成果就是寫了《九歌歌舞劇懸解》，可能他自己也不太有把握，所以說“懸解”。他把《九歌》中的神靈都轉(zhuǎn)換成戲劇角色，然后用戲劇分幕的方式把《九歌》改寫了。這種方式啟發(fā)了我們現(xiàn)在很多人對于從戲劇的角度研究《九歌》的興趣。實(shí)際上還是王國維說得比較準(zhǔn)確，《九歌》僅僅是戲劇的萌芽，是戲劇的化石，但它本身不是戲劇，所以我研究的結(jié)論是：“《九歌》是一組詩。”

《九歌》中留下了原始婚姻男女自由約會(huì)的痕跡。人類早期的愛情多以水邊為背景。在甲骨文中就有“妻人于河”的記載，在河邊祭祀就是把漂亮的女孩子扔到河里去。大家所熟知的《西門豹治鄴》講的就是這樣的事情。《湘君》、《湘夫人》從內(nèi)容上看就是講他們兩個(gè)人約會(huì)不成的事情。用我們今天的話來說，就是有一個(gè)時(shí)間差而造成了他們的愛情悲劇。對于他們的愛情悲劇，我把它理解為：第一，這是人間正常生活的反映。像湘君、湘夫人這樣約會(huì)而不能見面的情況，在生活中是非常常見的。第二，也是更主要的，屈原是受到了古代大舜和他的兩個(gè)妻子娥皇、女英悲劇故事的制約。屈原正是在這個(gè)古代神話故事的基礎(chǔ)之上創(chuàng)作了《九歌》中的《湘君》、《湘夫人》。我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)《九歌》的任何一篇，要想把它解釋的比較通達(dá)，能夠自圓其說，就肯定要把它和原始《九歌》，夏代《九歌》和楚地民間祭歌聯(lián)系起來。

三、《湘君》《湘夫人》的故事背景

在中國文學(xué)史上，總有一些特殊的地點(diǎn)，由于一些特殊的故事和一些名人之作跟它聯(lián)系在一起，使它成為千百年的名勝古跡。《湘夫人》故事發(fā)生的自然景觀背景就是八百里煙波浩淼的洞庭湖。自古以來，洞庭湖的“洞庭”就是“神仙洞府”之意，洞庭湖的最大特點(diǎn)就是湖外有湖湖中有山，景色極其優(yōu)美。它的北面是長江，因此洞庭湖的水是流入長江里面的。洞庭湖有四條有活水流入的支流，古代稱為湘水、沚水、沅水、澧水，也就是現(xiàn)在的湘江、沚水、沅江、澧江。我們在中學(xué)里學(xué)過的范仲淹的《岳陽樓記》中寫的“予觀夫巴陵勝狀，在洞庭一湖，銜遠(yuǎn)山，吞長江，浩浩湯湯，橫無際涯；朝暉夕陰，氣象萬千。”可見洞庭湖景色之美麗。洞庭湖中有君山，又叫洞庭山。君山得名的由來就是和堯的兩個(gè)女兒，舜的兩位妻子娥皇女英的神話傳說有關(guān)。山上有二妃墓和湘妃寺，這都和《九歌》中的湘君、湘夫人神話傳說有關(guān)。在二妃墓和湘妃寺周圍生長著高低起伏，郁郁蔥蔥，蒼翠茂盛的斑竹，在這些竹子上長滿淚痕似的斑點(diǎn)，有人說這是全國乃至全國世界獨(dú)一無二的景觀。神話傳說中，娥皇女英追到君山，聽說虞舜已經(jīng)死在蒼梧之野，她們投江而死之前哭泣的淚痕就化成了現(xiàn)在的斑竹。

由于對屈原及楚辭的研究和實(shí)地考察，我對這一帶的美景是深有體會(huì)的。值得指出的是，汨羅江就是湘江的一條支流，屈原最后流放的地點(diǎn)就是汨羅江一帶。他渡過了長江，經(jīng)過了洞庭湖，來到了沅江，又來到湘江，最后來到汨羅江北邊的玉石山，這就是屈原最后的流放地點(diǎn)。對于屈原自沉的汨羅江，我下水過三次，由于水流湍急，雖然江面只有五十多米寬，我被水流向下游沖走了兩百多米最終也沒有游到對岸，雖然我是從小在長江邊長大的，很會(huì)游泳，但我也沒能夠潛到汨羅江的江底，可見，江水是極深的。因此我相信，當(dāng)年屈原自沉以后，人們打撈他的尸體是絕對撈不到的。后來我沿著汨羅江一直走到頭，發(fā)現(xiàn)它的盡頭不是湘江而是洞庭湖，我拿著地圖左看右看不明白是怎么回事，因?yàn)榈貓D明明白白標(biāo)著汨羅江是流入湘江的。經(jīng)過詢問當(dāng)?shù)厝耍C明我看到的是對的，原來1958年興修水利，已把汨羅江直接引入洞庭湖。

湘江是一條非常大的河流，它是橫貫整個(gè)河南省甚至還流經(jīng)河北的一些地方的一條大河。

洞庭湖特殊的自然景觀，由于其獨(dú)特的美景以及瑰麗的神話傳說以及一些古代的文人（如范仲淹等）在文章中的贊美和歌頌，因而就顯得特別有名。我們要講的《湘夫人》就是跟洞庭湖有關(guān)。在我們所知道的歷代文人中和洞庭湖關(guān)系最密切的，影響最早的就是屈原的 神話悲劇故事《湘君》和《湘夫人》。根據(jù)《山海經(jīng)》、《尚書》的記載，在傳說的三皇五帝時(shí)代，堯考察他的接班人舜，用了二十年的時(shí)間，還把自己的兩個(gè)女兒娥皇和女英嫁給舜，后來舜外出巡行生了重病，娥皇、女英就趕去看望他，當(dāng)她倆趕到洞庭湖中君山的時(shí)候，那邊傳來消息說大舜已經(jīng)崩于蒼梧，娥皇女英悲痛哭泣，然后就投江而死。正因?yàn)檫@個(gè)故事太感人了，再加上我們的社會(huì)是一個(gè)以男性作家為創(chuàng)作主體的社會(huì)，所以后代以這個(gè)神話傳說創(chuàng)作的作品可以說是數(shù)不勝數(shù)。在以男性作家為主的文壇上，這樣的題材多少寄予了作者對社會(huì)、對人生、對婚姻愛情的一種期待、理解和渴望，所以這個(gè)題材歷久不衰。如果我們撇開這個(gè)題材的共同性再來看屈原的創(chuàng)作，就可以發(fā)現(xiàn)它處在了一個(gè)很高的層次。他沒有流于這個(gè)題材的這樣的一個(gè)悲劇故事傳說，而是虛擬了兩位湘水配偶神的約會(huì)。《湘君》是寫湘夫人到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)沒有見到湘君而對湘君的思念；《湘夫人》是寫湘君前來和湘夫人約會(huì)兒沒有見到湘夫人而對湘夫人的思念。相比較而言，我覺得兩篇當(dāng)中《湘夫人》更好一些，所以我們選講《湘夫人》。

在這一篇中，屈原以湘君這個(gè)男性的視角來寫，所以寫的很有層次，也很有變化。1922年，梁啟超在東南大學(xué)（也就是南京大學(xué)的前生）演講時(shí)說：“最感到奇怪的是屈原在他的作品種有豐富細(xì)膩的愛情婚姻體驗(yàn)而從不涉及他的家人。”在這里，梁啟超點(diǎn)出了一個(gè)問題，就是屈原沒有為我們留下任何有關(guān)他自己愛情婚姻和家庭的線索，他把自己豐富細(xì)膩的愛情婚姻體驗(yàn)轉(zhuǎn)到對古典神話傳說及民間文學(xué)的繼承上，并把它塑造出生動(dòng)典型的藝術(shù)形象。這就是我們解讀《湘君》、《湘夫人》的背景。

九嶷、斑竹、娥皇、女英、二妃墓、大舜等僅僅時(shí)屈原創(chuàng)作這兩首詩的原型和背景。在此原型和背景上，屈原進(jìn)行了再創(chuàng)造，從而創(chuàng)作出優(yōu)美的詩篇。北京大學(xué)的林庚教授（他自己就是一位詩人）曾經(jīng)講過，湘君、湘夫人的神話傳說完全可以把它故事化，但在屈原的筆下完全被詩化了。在《湘君》《湘夫人》中，只有一個(gè)瞬間的情節(jié)——一個(gè)約會(huì)的片段，別的都是豐富的內(nèi)心活動(dòng)。屈原正式截取這個(gè)悲劇故事的一個(gè)片段，憑著精神的流動(dòng)而創(chuàng)作了這兩首優(yōu)美的詩篇。

四、《湘夫人》解讀

《湘夫人》一共有四十句，我將它分成三段。第一段為前十八句，即從開頭到“將騰駕兮偕逝”第二段十四句，即從“筑室兮水中”至“建芳馨兮廡門”。第三段是余下的八句。每段可以用一個(gè)字來概括：第一段寫“望”；第二段寫“迎”，即作迎接的種種準(zhǔn)備；第三段寫“等”。我的段落劃分跟現(xiàn)在所有注本或研究性文章的劃分都不相同。

第一段是采用一種跳躍性的節(jié)奏，來寫對湘夫人的盼望。敘述在這里呈跳躍性、倒裝性的不規(guī)則狀態(tài)。在這種跳躍性、不規(guī)則的敘述狀態(tài)下，強(qiáng)烈地抒發(fā)了渴望和期待之情。有人說，“裊裊兮秋風(fēng)，洞庭波兮落葉下”抵得上了唐人絕句千萬首，它的特點(diǎn)就在于跳躍的、不規(guī)則的節(jié)奏。從敘事的角度，第一段的最后兩句“聞佳人兮召予，將騰駕兮偕逝”才是敘事的起點(diǎn)。湘君約會(huì)湘夫人不得，卻先說降臨北渚看到的是落葉飄零，洞庭湖水漂渺無邊，失望的思緒和眼前的景色融為一體，然后說登高遠(yuǎn)望，布置陳設(shè)，最后說聽到湘夫人約見的音訊自己毫不猶豫，馬上前往。可見倒裝的痕跡非常明顯。如果講“詩眼”的話，“偕逝”就是這首詩的詩眼，正因?yàn)閷Ψ經(jīng)]有到來，整個(gè)的痛苦就只能有一個(gè)人承擔(dān)，第一段中的第二個(gè)情節(jié)點(diǎn)是“朝馳余馬兮江皋，夕濟(jì)兮西澨”。在古詩中，詩人比較喜歡用“早”“晚”來表示時(shí)間的快速流逝。例如《木蘭詩》只中用了四句話，兩個(gè)“旦”和兩個(gè)“暮”就寫出了木蘭不遠(yuǎn)萬里，離別家鄉(xiāng)奔赴前線的漫長的時(shí)間和空間跨度。“馳”是使動(dòng)用法，使自己的馬快速奔馳，是對上句“騰駕”的形象化描寫。“江皋”，江邊的高地，“濟(jì)”，抵達(dá)。讓我的馬在江邊的高地上飛馳，傍晚就到達(dá)了西邊的渡口

“帝子降兮北渚，目眇眇兮愁予。裊裊兮秋風(fēng)，洞庭波兮落葉下。”這應(yīng)該是第一段詩歌的第三個(gè)情節(jié)點(diǎn)。寫出了湘君等待湘夫人時(shí)那種久等不至，悵然若失的失落和焦急的心境。強(qiáng)烈的失望帶來了對自然景觀的一種感情化的描寫。自然界的景色在這里和詩中主人公的主觀感受完全吻合，所以湘君就只能是“荒忽兮遠(yuǎn)望，觀流水兮潺湲”，“登白薠兮騁望，與佳期兮夕張。”

我們可以看到，在第一段的十八句當(dāng)中有十句是用來勾連情節(jié)的。第一組是“聞佳人兮召予，將騰駕兮偕逝”，它點(diǎn)出了約會(huì)的對象和對約見成功后行為的想象。

第二組是“朝馳余馬兮江皋，夕濟(jì)兮西澨”。第三組是“帝子降兮北渚，目眇眇兮愁予”。對方相約而不見，所以我惆悵而失落。接著是“荒忽兮遠(yuǎn)望，觀流水兮嬋媛”，帶著迷茫惆悵的失落心情向遠(yuǎn)處眺望，只能看到江水在流淌。

最后是“登白薠兮騁望，與佳期兮夕張”，再一次登上長滿白薠的更高的堤岸向遠(yuǎn)處眺望，情人還是沒有來，雖然如此，我還要來為了她的到來而做好準(zhǔn)備。

如果說這首詩有第二個(gè)詩眼的話那就是“張”。在黃昏即將降臨的時(shí)候，我在這兒做好各種準(zhǔn)備，等待心上人的到來。這個(gè)“張”就是做各種準(zhǔn)備。這樣就領(lǐng)起了第二段，去造一個(gè)完整的房子：“筑室兮水中，葺之兮荷蓋。”這樣，我們把五組情節(jié)鏈勾連起來就可以看到湘君對湘夫人的那種一往情深，纏綿悱惻的情緒在流動(dòng)，同時(shí)也可以看出他因沒能見到湘夫人而顯得非常失落和悲傷。這五組十句的情節(jié)勾連又是用不規(guī)則的、跳躍的、倒裝的甚而至于無序的方式來形成這樣一個(gè)抒情的結(jié)構(gòu)。可以這樣說，這首詩中寫得最好的地方就是開頭的第一段，第一段中最好的是開頭四句。

“帝子降兮北渚，目眇眇兮愁予。” 帝子，指湘夫人，古代女子也可以稱子。《詩經(jīng)》中寫道齊國國君的女兒出嫁時(shí)“之子于歸，百輛御之”可證。因?yàn)橄娣蛉耸巧耢`所以說“降”，它一方面跟湘夫人的神靈身份相吻合，同時(shí)也符合湘君等待約會(huì)湘夫人的感情期待，表現(xiàn)了對湘夫人急切的期待的心情。“愁予”，使我極度的悲傷；眇眇，望眼欲穿而又模糊迷茫看不清楚的狀態(tài)。上下句之間存在著極大的感情落差，上句寫出了自己前所未有的渴望和幸運(yùn)之感，下句寫因沒有看到對方的到來而一下子跌到了感情的深淵。沒有見到心上人，看到的卻是“裊裊兮秋風(fēng)，洞庭波兮落葉下”的蕭瑟悲涼的深秋景色。瑟瑟秋風(fēng)、浩渺的秋水、蕭蕭落葉使湘君的心情更加惆悵萬分。這種寫法啟發(fā)了無數(shù)的后來人，如杜甫的“無邊落木蕭蕭下，不盡長江滾滾來”；晏殊的“昨夜西風(fēng)凋碧樹，獨(dú)上高樓，望盡天涯路”等等。所以說“裊裊兮秋風(fēng)，洞庭波兮落葉下”是中國古典詩詞中經(jīng)久不衰的名句，秋風(fēng)、落葉也就成了表達(dá)失落、惆悵之情的最敏感且最富表現(xiàn)力的詞匯，同時(shí)也成為最能喚起人們悲愁情感的自然景觀。歷代都有無數(shù)的文人藝術(shù)家對這兩句詩做出高度的評價(jià)和贊美，并以之為題材創(chuàng)作出無數(shù)的詩文畫等藝術(shù)珍品。需要說明的是，古人對自然的理解是比較單一的，在他們的心中乃至作品中，所有的花都在一個(gè)季節(jié)開放，那就是春天；所有的樹都在一個(gè)季節(jié)落葉，那就是秋天。其實(shí)，這兩種理解是完全違背自然界現(xiàn)象和自然界的客觀規(guī)律的，因?yàn)槊恳惶於加袠淙~在落，一年四季每一季節(jié)甚至每一天都有花開。“裊裊兮秋風(fēng)，洞庭波兮落葉下。”

首先，它點(diǎn)明季節(jié)；其次它寫出了無窮的境界，那種秋水初漲，浩渺無邊，一望無際景象如在眼前；再次，它寄寓了自己身后的情感，這種情感跟那種憂愁的情緒和寥落的自然景 觀是完全吻合的。范仲淹在《岳陽樓記》中表現(xiàn)出了兩種不同的情感。其一是心曠神怡、寵辱皆忘、把酒臨風(fēng)、喜氣洋洋的快樂情緒；另一種是去國懷鄉(xiāng)、憂讒畏譏、滿目蕭然、感極而悲的失落和愁苦情感。可以看出，范仲淹在《岳陽樓記》中表達(dá)的美好的景觀和暢快的心情是極其抽象的，而表現(xiàn)得悲傷失落情緒則非常具體，非常生動(dòng)，表達(dá)的非常到位，所以也就非常感人。“去國懷鄉(xiāng)、憂讒畏譏、滿目蕭然、感極而悲”都是極其具體而鮮明的意象。《湘夫人》所要表達(dá)的情感正是這樣。進(jìn)而推廣到幾乎所有作家，他們對于高興喜悅的感情，描寫和表達(dá)的都極其抽象，描寫痛苦和失落之情都極其細(xì)膩和有層次，極其具體和生動(dòng)。“裊裊兮秋風(fēng)，洞庭波兮落葉下”正是這種感情表達(dá)的早期范式和絕佳典型。

“鳥何萃兮蘋中,罾何為兮木上”

寫的是反常現(xiàn)象，暗示了失望的必然結(jié)果。我們從《詩經(jīng)》的《關(guān)雎》和《氓》等篇中就已經(jīng)知道，當(dāng)時(shí)涉及到男女愛情一般都在水邊。而《湘君》、《湘夫人》更是以水為大背景，這里面的鳥和罾（捕魚的網(wǎng)）都是愛情隱語，這在民歌里面很多的。

“沅有茝兮醴有蘭，思公子兮未敢言”

是寫自己思念的情緒。這句詩是這首詩中除“裊裊兮秋風(fēng)，洞庭波兮落葉下”外的第二個(gè)名句，表現(xiàn)了兩情未通的單相思的苦悶，它與越地民歌《越人歌》中的“山有木兮木有枝，心悅君兮君不知”有異曲同工之妙處。這里的“不敢言”不是不敢說，而是因?yàn)槟銢]有來，因此我沒有機(jī)會(huì)對你講。“茝”和“蘭”是兩種花草。這兩句詩運(yùn)用了諧音和雙關(guān)的修辭手法。表達(dá)了自己對愛情的忠貞和執(zhí)著。

“荒忽兮遠(yuǎn)望，觀流水兮潺湲”之后繼續(xù)寫反常現(xiàn)象：“麋何食兮庭中，蛟何為兮水裔？”鹿在庭院中吃草為什么是反常現(xiàn)象呢？因?yàn)槁雇ǔ?yīng)該在野外吃草。《詩經(jīng)?小雅》中有《鹿鳴》一篇中“呦呦鹿鳴，食野之蘋”可證。蛟龍由于是雌性龍，所以一般都深潛水底而不會(huì)來到水邊上。

第一段中，在五組情節(jié)鏈的基礎(chǔ)之上，抒發(fā)了作者對湘夫人的思念和渴望。湘君的情緒由非常高興，盼湘夫人的降臨——“帝子降兮北渚”，一下子跌落到感情低落的低谷——“目眇眇兮愁予”，然后情緒又發(fā)生了很多的變化，所有的變化都是悲傷的，并多次用反問句式表達(dá)自己因?qū)Ψ剿s而帶來的痛苦之情，用眼前蕭瑟冷落的景象和一些反常的生活場景來襯托自己的失落心情。所以，第一段主要是用盼望對方來而對方卻沒有來，表達(dá)了一種情緒的極度低落。

第一段譯文：

湘夫人將要降臨北洲上，放眼遠(yuǎn)眺呵使我分外惆悵。秋風(fēng)陣陣，柔弱細(xì)長，洞庭波涌，落葉飄揚(yáng)。

登上長滿白薠的高地放眼望。我與佳人約會(huì)，一直忙得月昏黃。鳥兒啊為何聚集在蘋草邊?魚網(wǎng)啊為何掛到樹枝上?沅水有白芷，澧水有幽蘭，懷念湘夫人啊無法講。心思恍惚，望穿秋水，只見那洞庭水慢慢流淌。野麋尋食，為何來到庭院?蛟龍游戲，為何來到淺灘?清晨我騎馬在江邊奔馳，傍晚我渡大江西岸旁。聽說佳人召喚我，我將快速飛馳與你同往。通過翻譯，我們不難發(fā)現(xiàn)第十七、十八句才是一個(gè)完整的真正的情節(jié)的開頭。這也是我讀《湘夫人》無數(shù)遍以后我自己揣摩出來的。它的情節(jié)是倒裝的，不規(guī)則的，跳躍性的，然后在此基礎(chǔ)之上有何情緒的流動(dòng)聯(lián)系在一起。他的情節(jié)完全受制于情感。

第二段比較簡單，就是造一所房子，只不過是把地面上的房子造到了水中，然后再裝飾了更多的花草。這一段中的每一句都和建筑有關(guān)，它的難點(diǎn)是其中有許多比較冷僻的字。在這一段中，我們可以見到很多有關(guān)建筑學(xué)的專門術(shù)語，如“室”、“蓋”、“壇”、“堂”、“棟”、“橑”、“屋”、“庭”、“廡門”等等，它們完全符合地面一般建筑的名稱和特點(diǎn)。我們通過《湘夫人》第二段中描寫所涉及到的建筑學(xué)上的術(shù)語，可以說明他所建的房子也就是一般的房子，但又是建給最心愛的、盼望已久的人住的，用我們今天的話來說就是迎新用的房子，所以用料考究，裝飾精美，用花草裝飾了一層又一層。如果說第一段是通過情節(jié)來描寫，第二段則是通過行動(dòng)來描寫。這里面的情緒是暗隱其間，僅僅是個(gè)背景。這一段中沒有直接寫自己是如何地失望和難過，而是用建筑速度之，料之精美，裝飾之考究來表達(dá)自己對對方的思念和愛慕，用筑室這種行動(dòng)來表達(dá)對湘夫人的迎接。

第二段譯文：

把我們的房屋建造在水中，又將荷花葉子苫在房頂上； 用蓀草飾墻，紫貝飾壇，撒布香椒，充滿整個(gè)中堂； 桂樹作棟，蘭樹作椽，辛夷楣門，白芷鋪房； 編結(jié)薜荔作帷帳，分開蕙草做隔扇已安放； 潔白的美玉做鎮(zhèn)席，散放石蘭傳播芬芳；

荷葉做的屋頂呵，加蓋芷草，再把杜衡纏繞在房屋四方。

匯合各種香草充滿庭院，放置各種香草播滿門廊。九嶷山的眾神都來歡迎，為迎接湘夫人眾神如流云一樣。我把那外衣拋到江中去，我把那內(nèi)衣丟在澧水旁。我在小島上采摘杜若，將送給遠(yuǎn)方的人兒表衷腸。美好的時(shí)機(jī)不容易多次得到，我姑且逍遙自在度時(shí)光。] 第三段八句四組，表達(dá)了湘君情緒的變化。第一組是筑室情緒的自然延伸和幻覺的表現(xiàn)； 第二組是幻覺情形而產(chǎn)生的一種失望的情緒；

第三組在恨之深愛之切的情緒的調(diào)動(dòng)之下，剛剛?cè)恿诵盼镉趾蠡冢s快去采摘香草，以等待對方的到來；

第四組寫最后湘夫人仍然沒有來。

可以這么說，所有閱讀《九歌》中《湘君》、《湘夫人》的讀者都想探究的是，他們最終為什么沒有能夠見面。我們可以從這樣幾個(gè)方面理解。

第一，這兩首詩的創(chuàng)作受到了虞舜和他的兩個(gè)妻子娥皇女英悲劇故事的制約，這是最主要的因素。

這里我要解釋的是又兩點(diǎn)。首先，我不同意大部分人認(rèn)為的這兩首詩就是寫的是大舜和二妃的悲劇神話傳說。從本質(zhì)上講，屈原寫的不是這個(gè)神話傳說。舜和二妃的故事僅僅是《湘君》《湘夫人》這兩首詩創(chuàng)作的一個(gè)遠(yuǎn)景，一個(gè)背景或原型。其次，屈原用這個(gè)題材來寫的時(shí)候，他仍然被這個(gè)遠(yuǎn)古的悲劇傳說所震撼和感染，所以就情不自禁地采用這樣的雙方不能見面的悲劇情節(jié)。有人從本詩第一句就判斷這首詩寫的是舜和二妃的故事。為什么稱“帝子”呢？這首詩中寫湘夫人共有三種稱呼——帝子、公子和佳人。如果是寫一般的愛情詩，用“公子”、“佳人”等稱呼就很好，但本詩中在第一句就說“帝子降兮北渚”，所以說屈原在創(chuàng)作的時(shí)候情不自禁的運(yùn)用了舜和二妃的悲劇故事，并以之作為詩歌的感情基調(diào)，所以最終湘君和湘夫人是不能夠見面的。

第二，這兩首詩的創(chuàng)作受到了民間流行歌曲基調(diào)的影響。

因?yàn)椤熬鸥琛钡拿Q是從楚國民間祭歌而來，而流行歌曲的基調(diào)是歡快熱烈的，含蓄的描寫實(shí)在是極少極少。兩情相思，兩情未通，表達(dá)一種思念的痛苦是民間流行歌曲表達(dá)的主 要內(nèi)容。這種略帶憂愁，略帶惆悵的歌唱之后是一種情緒的發(fā)泄和消解。有人研究過，唱那些雄赳赳，氣昂昂的情緒高亢之歌，唱完后很累，得不到情緒的緩解，而唱完流行歌曲以后，憂愁的情緒得到了一種自然的消解，所以說湘君、湘夫人最終的不能見面是受到了民歌的那種悲愁、惆悵、迷茫基調(diào)的影響，尤其是在悲秋的季節(jié)里表達(dá)那種單相思的情緒。以上兩點(diǎn)從學(xué)理上解決了文章的悲愁傷感的基調(diào)的緣由。此外，在當(dāng)時(shí)的交通條件之下，男女約會(huì)的痛苦，不能相見的愁思實(shí)在是極其常見的。且不說是在先秦文學(xué)中，就是在倫理約束比較寬松的元代社會(huì)，在元代散曲中，兩情相悅而未通的苦悶還是極其顯著的，鄰居的兩個(gè)男女青年相互約會(huì)都是很難成功的。

第三段譯文：

九嶷山的眾神都來歡迎，為迎接湘夫人眾神如流云一樣。我把那外衣拋到江中去，我把那內(nèi)衣丟在澧水旁。我在小島上采摘杜若，將送給遠(yuǎn)方的人兒表衷腸。美好的時(shí)機(jī)不容易多次得到，我姑且逍遙自在度時(shí)光。

第四篇：數(shù)學(xué)：3.1.1《數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念》教案(新人教A版選修1—2)

3.1.1 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念

教學(xué)要求: 理解數(shù)系的擴(kuò)充是與生活密切相關(guān)的，明白復(fù)數(shù)及其相關(guān)概念。

教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)及其相關(guān)概念，能區(qū)分虛數(shù)與純虛數(shù)，明白各數(shù)系的關(guān)系。教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)數(shù)及其相關(guān)概念的理解 教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：

1.提問：N、Z、Q、R分別代表什么？它們的如何發(fā)展得來的？

（讓學(xué)生感受數(shù)系的發(fā)展與生活是密切相關(guān)的）

2．判斷下列方程在實(shí)數(shù)集中的解的個(gè)數(shù)（引導(dǎo)學(xué)生回顧根的個(gè)數(shù)與?的關(guān)系）：（1）x2?3x?4?0

（2）x2?4x?5?0

（3）x2?2x?1?0

（4）x2?1?0 3.人類總是想使自己遇到的一切都能有合理的解釋，不想得到“無解”的答案。

討論：若給方程x2?1?0一個(gè)解i，則這個(gè)解i要滿足什么條件？i是否在實(shí)數(shù)集中？

實(shí)數(shù)a與i相乘、相加的結(jié)果應(yīng)如何？

二、講授新課：

1.教學(xué)復(fù)數(shù)的概念：

①定義復(fù)數(shù)：形如a?bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，通常記為z?a?bi（復(fù)數(shù)的代數(shù)形式），其中i叫虛數(shù)單位，a叫實(shí)部，b叫虛部，數(shù)集C??a?bi|a,b?R?叫做復(fù)數(shù)集。

出示例1：下列數(shù)是否是復(fù)數(shù)，試找出它們各自的實(shí)部和虛部。

2?3i,8?4i,8?3i,6,i,?2?9i,7i,0

規(guī)定：a?bi?c?di?a?c且b=d，強(qiáng)調(diào)：兩復(fù)數(shù)不能比較大小，只有等與不等。

②討論：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式中規(guī)定a,b?R，a,b取何值時(shí)，它為實(shí)數(shù)？數(shù)集與實(shí)數(shù)集有何關(guān)系？ ③定義虛數(shù)：a?bi,(b?0)叫做虛數(shù)，bi,(b?0)叫做純虛數(shù)。

?實(shí)數(shù)(b=0)?④ 數(shù)集的關(guān)系：復(fù)數(shù)Z??一般虛數(shù)(b?0,a?0)

虛數(shù)(b?0)???純虛數(shù)(b?0,a?0)?上述例1中，根據(jù)定義判斷哪些是實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)？ 2.出示例題2：P62

（引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的定義去分析討論）

練習(xí)：已知復(fù)數(shù)a?bi與3?(4?k)i相等，且a?bi的實(shí)部、虛部分別是方程x2?4x?3?0的兩根，試求：a,b,k的值。（討論3?(4?k)i中，k取何值時(shí)是實(shí)數(shù)？）小結(jié)：復(fù)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的概念及它們之間的關(guān)系及兩復(fù)數(shù)相等的充要條件。

三、鞏固練習(xí)：

1．指出下列復(fù)數(shù)哪些是實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)，是虛數(shù)的找出其實(shí)部與虛部。2?3i,8?4i,8?0i,6,i,??2?9i??2?1,7i,0

32．判斷① 兩復(fù)數(shù)，若虛部都是3，則實(shí)部大的那個(gè)復(fù)數(shù)較大。

② 復(fù)平面內(nèi)，所有純虛數(shù)都落在虛軸上，所有虛軸上的點(diǎn)都是純虛數(shù)。3若(3x?2y)?(5x?y)i?17?2i，則x,y的值是？

??4．．已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z?m2(1?i)?m(2?3i)?4(2?i)，當(dāng)m取何實(shí)數(shù)時(shí)，z是：（1）實(shí)數(shù)

（2）虛數(shù)

（3）純虛數(shù)

（4）零 作業(yè)：P622、3題。

第五篇：4.1《數(shù)學(xué)歸納法》教案(新人教選修4-5)

數(shù)學(xué)歸納法

教學(xué)目標(biāo)

1．了解歸納法的意義，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的能力．

2．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟．

3．抽象思維和概括能力進(jìn)一步得到提高． 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：歸納法意義的認(rèn)識(shí)和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析． 難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解． 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）引入

師：從今天開始，我們來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法．什么是數(shù)學(xué)歸納法呢？應(yīng)該從認(rèn)識(shí)什么是歸納法開始．

（板書課題：數(shù)學(xué)歸納法）

（二）什么是歸納法（板書）

師：請看下面幾個(gè)問題，并由此思考什么是歸納法，歸納法有什么特點(diǎn)． 問題1：這里有一袋球共十二個(gè)，我們要判斷這一袋球是白球，還是黑球，請問怎么辦？

（可準(zhǔn)備一袋白球、問題用小黑板或投影幻燈片事先準(zhǔn)備好）生：把它倒出來看一看就可以了．

師：方法是正確的，但操作上缺乏順序性．順序操作怎么做？ 生：一個(gè)一個(gè)拿，拿一個(gè)看一個(gè)． 師：對．問題的結(jié)果是什么呢？（演示操作過程）

第一個(gè)白球，第二個(gè)白球，第三個(gè)白球，??，第十二個(gè)白球，由此得到：這一袋球都是白球．

a2，a3，a4。的值，再推測通項(xiàng)an的公式．（問題由小黑板或投影幻燈片給出）

師：同學(xué)們解決以上兩個(gè)問題用的都是歸納法，你能說說什么是歸納法，歸納法有什么特點(diǎn)嗎？

生：歸納法是由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法． 特點(diǎn)是由特殊→一般（板書）．

師：很好！其實(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)中，歸納法我們早就接觸到了．例如，給出數(shù)列的前四項(xiàng)，求它的一個(gè)通項(xiàng)公式用的是歸納法，確定等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式用的也是歸納法，今后的學(xué)習(xí)還會(huì)看到歸納法的運(yùn)用．

在生活和生產(chǎn)實(shí)際中，歸納法也有廣泛應(yīng)用．例如氣象工作者、水文工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預(yù)測，水文預(yù)報(bào)，用的就是歸納法．

還應(yīng)該指出，問題1和問題2運(yùn)用的歸納法還是有區(qū)別的．問題1中，一共12個(gè)球，全看了，由此而得到了結(jié)論．這種把研究對象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法．對于問題2，由于自然數(shù)有無數(shù)個(gè)，用完全歸納法去推出結(jié)論就不可能，它是由前4項(xiàng)體現(xiàn)的規(guī)律，進(jìn)行推測，得出結(jié)論的，這種歸納法稱為不完全歸納法．

（三）歸納法的認(rèn)識(shí)（板書）

歸納法分完全歸納法和不完全歸納法（板書）．

師：用不完全歸納法既然要推測，推測是要有點(diǎn)勇氣的，請大家鼓起勇氣研究問題3．

問題3：對于任意自然數(shù)n，比較7n-3與6（7n+9）的大小．（問題由小黑板或投影幻燈片給出）

（給學(xué)生一定的計(jì)算、思考時(shí)間）

生：經(jīng)過計(jì)算，我的結(jié)論是：對任意n∈N+，7n-3＜6（7n+9）．

師：你計(jì)算了幾個(gè)數(shù)得到的結(jié)論？ 生：4個(gè)．

師：你算了n=1，n=2，n=3，n=4這4個(gè)數(shù)，而得到的結(jié)論，是吧？ 生：對．

師：有沒有不同意見？

生：我驗(yàn)了n=8，這時(shí)有7n-3＞6（7n+9），而不是7n-3＜6（7n+9）．他的結(jié)論不對吧！

師：那你的結(jié)論是什么呢？（動(dòng)員大家思考，糾正）生：我的結(jié)論是：

當(dāng)n=1，2，3，4，5時(shí)，7n-3＜6（7n+9）； 當(dāng)n=6，7，8，?時(shí)，7n-3＞6（7n+9）．

師：由以上的研究過程，我們應(yīng)該總結(jié)什么經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀?/p>

首先要仔細(xì)地占有準(zhǔn)確的材料，不能隨便算幾個(gè)數(shù)，就作推測．請把你們計(jì)算結(jié)果填入下表內(nèi)：

師：依據(jù)數(shù)據(jù)作推測，決不是亂猜．要注意對數(shù)據(jù)作出謹(jǐn)慎地分析．由上表可看到，當(dāng)n依1，2，3，4，?變動(dòng)時(shí)，相應(yīng)的7n-3的值以后一個(gè)是前一個(gè)的7倍的速度在增加，而6（7n+9）相應(yīng)值的增長速度還不到2倍．完全有理由確認(rèn)，當(dāng)n取較大值時(shí)，7n-3＞6（7n+9）會(huì)成立的．

師：對問題3推測有誤的同學(xué)完全不必過于自責(zé)，接受教訓(xùn)就可以了．其實(shí)在數(shù)學(xué)史上，一些世界級的數(shù)學(xué)大師在運(yùn)用歸納法時(shí)，也曾有過失誤．

資料1（事先準(zhǔn)備好，由學(xué)生閱讀）

費(fèi)馬（Fermat）是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家，他是解析幾何的發(fā)明者之一，是對微積分的創(chuàng)立作出貢獻(xiàn)最多的人之一，是概率論的創(chuàng)始者之一，他對數(shù)論也有許多貢獻(xiàn)．

但是，費(fèi)馬曾認(rèn)為，當(dāng)n∈N時(shí)，22n+1一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對n=0，1，2，3，4作了驗(yàn)證后得到的．

18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler）卻證明了225+1=4 294 967 297=6 700 417×641，從而否定了費(fèi)馬的推測．

師：有的同學(xué)說，費(fèi)馬為什么不再多算一個(gè)數(shù)呢？今天我們是無法回答的．但是要告訴同學(xué)們，失誤的關(guān)鍵不在于多算一個(gè)上！

再請看數(shù)學(xué)史上的另一個(gè)資料（仍由學(xué)生閱讀）： 資料2

f（n）=n2+n+41，當(dāng)n∈N時(shí)，f（n）是否都為質(zhì)數(shù)？

f（0）=41，f（1）=43，f（2）=47，f（3）=53，f（4）=61，f（5）=71，f（6）=83，f（7）=97，f（8）=113，f（9）=131，f（10）=151，? f（39）=1 601． 但是f（40）=1 681=412是合數(shù)

師：算了39個(gè)數(shù)不算少了吧，但還不行！我們介紹以上兩個(gè)資料，不是說世界級大師還出錯(cuò)，我們有錯(cuò)就可以原諒，也不是說歸納法不行，不去學(xué)了，而是要找出運(yùn)用歸納法出錯(cuò)的原因，并研究出對策來．

師：歸納法為什么會(huì)出錯(cuò)呢？ 生：完全歸納法不會(huì)出錯(cuò)．

師：對！但運(yùn)用不完全歸納法是不可避免的，它為什么會(huì)出錯(cuò)呢？ 生：由于用不完全歸納法時(shí)，一般結(jié)論的得出帶有猜測的成份． 師：完全同意．那么怎么辦呢？

生：應(yīng)該予以證明．

師：大家同意吧？對于生活、生產(chǎn)中的實(shí)際問題，得出的結(jié)論的正確性，應(yīng)接受實(shí)踐的檢驗(yàn)，因?yàn)閷?shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)．對于數(shù)學(xué)問題，應(yīng)尋求數(shù)學(xué)證明．

（四）歸納與證明（板書）

師：怎么證明呢？請結(jié)合以上問題1思考．

生：問題1共12個(gè)球，都看了，它的正確性不用證明了．

師：也可以換個(gè)角度看，12個(gè)球，一一驗(yàn)看了，這一一驗(yàn)看就可以看作證明．?dāng)?shù)學(xué)上稱這種證法為窮舉法．它體現(xiàn)了分類討論的思想．

師：如果這里不是12個(gè)球，而是無數(shù)個(gè)球，我們用不完全歸納法得到，這袋球全是白球，那么怎么證明呢？

（稍作醞釀，使學(xué)生把注意力更集中起來）

師：這類問題的證明確不是一個(gè)容易的課題，在數(shù)學(xué)史上也經(jīng)歷了多年的醞釀．第一個(gè)正式研究此課題的是意大利科學(xué)家莫羅利科．他運(yùn)用遞推的思想予以證明．

結(jié)合問題1來說，他首先確定第一次拿出來的是白球．

然后再構(gòu)造一個(gè)命題予以證明．命題的條件是：“設(shè)某一次拿出來的是白球”，結(jié)論是“下一次拿出來的也是白球”．

這個(gè)命題不是孤立地研究“某一次”，“下一次”取的到底是不是白球，而是研究若某一次是白球這個(gè)條件能保證下一次也是白球的邏輯必然性．

大家看，是否證明了上述兩條，就使問題得到解決了呢？

生：是．第一次拿出的是白球已確認(rèn)，反復(fù)運(yùn)用上述構(gòu)造的命題，可得第二次、第三次、第四次、??拿出的都是白球．

師：對．它使一個(gè)原來無法作出一一驗(yàn)證的命題，用一個(gè)推一個(gè)的遞推思想得到了證明．

生活上，體現(xiàn)這種遞推思想的例子也是不少的，你能舉出例子來嗎？ 生：一排排放很近的自行車，只要碰倒一輛，就會(huì)倒下一排． 生：再例如多米諾骨牌游戲．

（有條件可放一段此種游戲的錄相）

師：多米諾骨牌游戲要取得成功，必須靠兩條：

（1）骨牌的排列，保證前一張牌倒則后一張牌也必定倒；（2）第一張牌被推倒．

用這種思想設(shè)計(jì)出來的，用于證明不完全歸納法推測所得命題的正確性的證明方法就是數(shù)學(xué)歸納法．

（五）數(shù)學(xué)歸納法（板書）

師：用數(shù)學(xué)歸納法證明以上問題2推測而得的命題，應(yīng)該證明什么呢？ 生：先證n=1時(shí)，公式成立（第一步）；

再證明：若對某個(gè)自然數(shù)（n=k）公式成立，則對下一個(gè)自然數(shù)（n=k+1）公式也成立（第二步）．

師：這兩步的證明自己會(huì)進(jìn)行嗎？請先證明第一步．

（應(yīng)追問各步計(jì)算推理的依據(jù)）

師：再證明第二步．先明確要證明什么？

師：于是由上述兩步，命題得到了證明．這就是用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明的基本要求．

師：請小結(jié)一下用數(shù)學(xué)歸納法作證明應(yīng)有的基本步驟． 生：共兩步（學(xué)生說，教師板書）：（1）n=1時(shí)，命題成立；

（2）設(shè)n=k時(shí)命題成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立．

師：其實(shí)第一步一般來說，是證明開頭者命題成立．例如，對于問題3推測得的命題：當(dāng)n=6，7，8，?時(shí)，7n-3＞6（7n+9）．第一步應(yīng)證明n=6時(shí)，不等式成立．

（若有時(shí)間還可討論此不等關(guān)系證明的第二步，若無時(shí)間可布置學(xué)生課下思考）

（六）小結(jié)

師：把本節(jié)課內(nèi)容歸納一下：

（1）本節(jié)的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法．

（2）歸納法是一種由特殊到一般的推理方法．分完全歸納法和不完全歸納法二種．

（3）由于不完全歸納法中推測所得結(jié)論可能不正確，因而必須作出證明，證明可用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行．

（4）數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推（遞歸）思想，它的操作步驟必須是二步．

數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，將從下節(jié)課開始學(xué)習(xí)．

（七）課外作業(yè)

（1）閱讀課本P112～P115的內(nèi)容．（2）書面作業(yè)P115練習(xí)：1，3． 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明

1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法．它的操作步驟簡單、明確，教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該是方法的應(yīng)用．但是我們認(rèn)為不能把教學(xué)過程當(dāng)作方法的灌輸，技能的操練．對方法作簡單的灌輸，學(xué)生必然疑慮

重重．為什么必須是二步呢？于是教師反復(fù)舉例，說明二步缺一不可．你怎么知道n=k時(shí)命題成立呢？教師又不得不作出解釋，可學(xué)生仍未完全接受．學(xué)完了數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)生又往往有應(yīng)該用時(shí)但想不起來的問題，等等．為此，我們設(shè)想強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的教學(xué)，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生寓于對歸納法的分析、認(rèn)識(shí)當(dāng)中，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來．這樣不僅使學(xué)生可以看到數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎(chǔ)，而且可以強(qiáng)化歸納思想的教學(xué)，這不僅是對中學(xué)數(shù)學(xué)中以演繹思想為主的教學(xué)的重要補(bǔ)充，也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機(jī)．

數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的過程分二個(gè)階段，第一階段從對歸納法的認(rèn)識(shí)開始，到對不完全歸納法的認(rèn)識(shí)，再到不完全歸納法可靠性的認(rèn)識(shí)，直到怎么辦結(jié)束．第二階段是對策醞釀，從介紹遞推思想開始，到認(rèn)識(shí)遞推思想，運(yùn)用遞推思想，直到歸納出二個(gè)步驟結(jié)束．

把遞推思想的介紹、理解、運(yùn)用放在主要位置，必然對理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)帶來指導(dǎo)意義，也是在教學(xué)過程中努力挖掘、滲透隱含于教學(xué)內(nèi)容中的數(shù)學(xué)思想的一種嘗試．

2．在教學(xué)方法上，這里運(yùn)用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、探索的方法．目的是在于加強(qiáng)學(xué)生對教學(xué)過程的參與程度．為了使這種參與有一定的智能度，教師應(yīng)做好發(fā)動(dòng)、組織、引導(dǎo)和點(diǎn)撥．學(xué)生的思維參與往往是從問題開始的，盡快提出適當(dāng)?shù)膯栴}，并提出思維要求，讓學(xué)生盡快投入到思維活動(dòng)中來，是十分重要的．這就要求教師把每節(jié)課的課題作出層次分明的分解，并選擇適當(dāng)?shù)膯栴}，把課題的研究內(nèi)容落于問題中，在逐漸展開中，引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)的知識(shí)、方法予以解決，并獲得新的發(fā)展．本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)也想在這方面作些研究． 3．理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想，還要注意其中第二步，證明n=k+1命題成立時(shí)必須用到n=k時(shí)命題成立這個(gè)條件．

即n=k+1時(shí)等式也成立．

這是不正確的．因?yàn)檫f推思想要求的不是n=k，n=k+1時(shí)命題到底成立不成立，而是n=k時(shí)命題成立作為條件能否保證n=k+1時(shí)命題成立這個(gè)結(jié)論正確，即要求的這種邏輯關(guān)系是否成立．證明的主要部分應(yīng)改為

以上理解不僅是正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歸納法的需要，也為第二步證明過程的設(shè)計(jì)指明了正確的思維方向．