第一篇：高中數學 2.2.3 向量的數乘教案 新人教A版必修1
江蘇省連云港灌云縣第一中學高中數學 2.2.3 向量的數乘教案 新
人教A版必修1
教學目標：
1．理解向量數乘的含義及向量數乘的運算律；
2．培養學生在學習向量數乘的過程中能夠相互合作,在不斷探求新知識中,培養學生抽象概括能力和邏輯思維能力.教學重點：
向量數乘的定義及幾何意義.教學難點：
向量數乘的幾何意義的理解.教學方法：
問題探究學習.教學過程：
一、情境引入
一條細繩橫貫東西，一只螞蟻在細繩上做勻速直線運動，若螞蟻從O點向東方向一秒鐘的位移對應的向量為a.a O A
二、學生活動
問題1 在圖中作出同一方向上3秒鐘的位移對應的向量，你能式子表示嗎？ 問題2 學生討論3a是何種運算？3a是數量還是向量？（初步理解數與向量積的定義）
問題3 螞蟻向西3秒鐘的位移對應的向量又怎樣表示？那?a的大小和方向又如何確定？（學生繼續探求向量數乘的含義，并能結合圖形來繼續對數乘進行探究）
三、建構數學 1．表述給出實數與向量的積的定義：
一般地，實數?與向量a的積是一個向量，記作?a，它的長度與方向規定如下：（1）|?a|?|?||a|；
（2）當??0時，?a的方向與a的方向相同；當??0時，?a的方向與a的方向相反；當a＝0時，?a＝0；當??0 時，?a＝0．
實數?與向量a相乘，叫做向量的數乘.向量的加法、減法、數乘向量的綜合運算叫向量的線性運算.2．對向量數乘理解的深入.問題4 當??0 時，?a＝0；若a＝0，??0會有?a＝0嗎？
問題5 實數有哪些運算律？能不能結合實數的運算律去探求向量數乘的運算律.（當給出幾個實數的運算律之后，可以類比到向量進行以下運算律的驗證）.（1）?(?a）＝(??)a；
（2）(???)a= ?a+?a；
（3）?（a＋b）＝?a＋?b ．
四、數學運用 1.例題．
例1 已知向量a和向量b，求作向量-2.5a和向量2a-3b.a b
例2 計算：
（1）3(a-b)-2(a+2b)；
（2）2(2a+6b-3c)-3(-3a+4b-2c).課本思考：向量數乘與實數數乘有哪些相同點和不同點？ 2.練習．（1）計算：
①3(-4a＋5b)；② 6(2a-4b)-(3a-2b).（2）如圖，已知向量a，b，求作向量： ①-2a； ②-a＋b；
a
b ③2a-b.（3）已知向量a=e1+2e2，b=3e1-5e2，求4a-3b（用e1，e2表示）.（4）已知OA和OB是不共線的向量，AP?tAB?t?R?,試用OA和OB表示OP.1（5）已知非零向量a，求向量a的模.|a|
五、要點歸納與方法小結： 本節課學習了以下內容： 1．實數與向量積的定義； 2．實數與向量積的幾何意義； 3．實數與向量的積的運算律.
第二篇：2.2.3向量數乘運算及其幾何意義(教案)
高一（1）部數學備課組
2013年5月21日
2.2.3向量數乘運算及其幾何意義
一、教學目標
1．掌握實數與向量的積的定義以及實數與向量的積的三條運算律，會利用實數與向量的積的運算律進行有關的計算；
2．理解兩個向量平行的充要條件，能根據條件判斷兩個向量是否平行；
3．通過對實數與向量的積的學習培養學生的觀察、分析、歸納、抽象的思維能力，了解事物運動變化的辯證思想。
二、教學重點與難點
重點：實數與向量的積的定義、運算律，向量平行的充要條件； 難點：理解實數與向量的積的定義，向量平行的充要條件
三、教學過程
1．設置情境：
引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而時間、質量等都是數量，這些向量與數
????量的關系常常在物理公式中體現。如力與加速度的關系F=m a，位移與速度的關系s=v t。這些公式都是實數與向量間的關系。
??????師：我們已經學習了向量的加法，請同學們作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)向量，并請同學們指出相加后，和的長度與方向有什么變化？這些變化與哪些因素有關？
????????(-a)+(-a)+(-a)a+a+a的長度是a的長度的3倍，生：其方向與a的方向相同，??的長度是a長度的3倍，其方向與a的方向相反。
2．新知探究： 1）.定義：
??實數λ與向量a的積是一個向量，記作λa.它的長度和方向規定如下：
??
（1）|λa|=|λ||a|.????
（2）λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；????特別地，當λ=0或a=0時，λa=0.2）.運算律：
???????思考：求作向量2(3a)和6a（a為非零向量）并進行比較，向量2(a+b)與向量2a+2b相等嗎？
??設a、b為任意向量，λ、μ為任意實數，則有：
?????????
（1）(λ+μ)a=λa+μa；（2）λ(μa)=(λμa)；（3）λ(a+b)=λa+λb.通常將（2）稱為結合律，（1）（3）稱為分配律。高一（1）部數學備課組
2013年5月21日
??向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線形運算.對于任意向量a、b，以及任意實數?、?
1、?2，恒有?（仍是向量）（?1a??1b）=??1a???1b。3）共線向量定理
????????向量a(a?0)與b共線,當且僅當有唯一一個實數?, ??使b??a.3.例題講解：
?(1)(?3)?4a;?????例1，計算(2)3(a?b)?2(a?b)?a;??????(3)(2a?3b?c)?(3a?2b?c).????????????????計算:(1)（22a?6b?3c)?3(?3a?4b?2c);??????練習：（2）已知3(x?a)?2(x?2a)?4(x?a?b)?0
???????? 求x.例2.已知AD?3?AB，DE?3BC，試判斷AC與AE是否共線．
????????????例3.平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點M，且AB?a,AD?b，你能用a,b來??????????????????表示MA、MB、MC和MD。
????????????????????例4.已知任意兩個向量a,b，試作OA?a?b, OB?a?2b,OC?a?3b.你能判斷A、B、C三點之間的位置關系嗎？為什么？
???練習：已知，D是?ABC的邊AB上的中點，則向量CD?()
????????1??1??Ａ．?BC?BA Ｂ．?BC?BA 22 ????????1??1??C． BC?BA Ｄ．BC?BA224.小結: 1），向量數乘的定義及運算律； 2），共線向量定理； 3），定理的應用：
a、證明向量共線； b、證明三點共線； c、證明兩直線平行。
第三篇：高中數學《指數函數》教案1 新人教A版必修1
3.1.2指數函數
（二）教學目標：鞏固指數函數的概念和性質 教學重點：指數函數的概念和性質 教學過程：
本節課為習題課,可分以下幾個方面加以練習: 備選題如下:
1、關于定義域
x（1）求函數f(x)=??1??1的定義域
?9??（2）求函數y=1x的定義域
51?x?1（3）函數f(x)=3－x－1的定義域、值域是……()
A.定義域是R，值域是R
B.定義域是R，值域是(0，+∞) C.定義域是R，值域是(－1，+∞) D.以上都不對（4）函數y=1x的定義域是______ 5x?1?1(5)求函數y=ax?1的定義域(其中a＞0且a≠1)
2、關于值域
（1）當x∈［－2,0］時，函數y=3x+1－2的值域是______（2）求函數y=4x+2x+1+1的值域.（3）已知函數y=4x－3·2x+3的值域為［7,43］，試確定x的取值范圍.(4).函數y=3x3x?1的值域是() A.(0，+∞)
B.(－∞,1) C.(0,1)
D.(1,+∞)
(5)函數y=0.25x2?2x?12的值域是______,單調遞增區間是______.3、關于圖像
用心 愛心 專心 1
（1）要得到函數y=8·2－x的圖象，只需將函數y=(12)x的圖象()
A.向右平移3個單位
B.向左平移3個單位 C.向右平移8個單位
D.向左平移8個單位
（2）函數y=|2x－2|的圖象是()
（3）當a≠0時，函數y=ax+b和y=bax的圖象只可能是()
（4）當0 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 （5）若函數y=a2x+b+1(a>0且a≠1,b為實數)的圖象恒過定點(1，2)，則b=______.（6）已知函數y=(12)|x+2|. ①畫出函數的圖象； ②由圖象指出函數的單調區間并利用定義證明.(7)設a、b均為大于零且不等于1的常數，下列命題不是真命題的是() 用心 愛心 專心 A.y=a的圖象與y=a的圖象關于y軸對稱 B.若y=a的圖象和y=b的圖象關于y軸對稱，則ab=1 C.若a2x－xxx>a22－1,則a>1 ,則a>b D.若a?>b? 24、關于單調性 （1）若－1 A.5－x<5x<0.5x C.5<5<0.5x－xx B.5x<0.5x<5－x D.0.5<5<5 x－xx（2）下列各不等式中正確的是() A.()3?()3?()3 252C.()3?()3?()3 52212121211 B.()3?()3?()3 225 D.()3?()3?()3 *** 1211(x+1)(3－x)（3）.函數y=(2－1)的單調遞增區間是() A.(1，+∞)C.(1，3) B.(－∞，1) D.(－1，1) (4).函數y=()2x?x?x?2為增函數的區間是() (5)函數f(x)=a－3a+2(a>0且a≠1)的最值為______.(6)已知y=(數.(7)比較52x?12x12)?x?x?22+1，求其單調區間并說明在每一單調區間上是增函數還是減函與5x?22的大小 5、關于奇偶性 （1）已知函數f(x)= m?2?1x2x為奇函數，則m的值等于_____ ?1?1?（1）如果???8?2? x2x=4，則x=____ 用心 愛心 專心 3 6階段檢測題: 可以作為課后作業: 1.如果函數y=ax(a>0,a≠1)的圖象與函數y=bx(b>0,b≠1)的圖象關于y軸對稱，則有 A.a>b B.a 3(3x－1)(2x+1) ≥1}，則集合M、N的關系是 B.M?N D.MN 3.下列說法中，正確的是 ①任取x∈R都有3x>2x ②當a>1時，任取x∈R都有ax>a－x ③y=(3)－x是增函數 ④y=2|x|的最小值為1 ⑤在同一坐標系中，y=2x與y=2－x的圖象對稱于y軸 A.①②④ C.②③④ B.④⑤ D.①⑤ 4.下列函數中，值域是(0,+∞)的共有 ①y=3?1 ②y=(A.1個 x1)③y=1?()④y=3x B.2個 x11xC.3個 D.4個 5.已知函數f(x)=a1－x(a>0,a≠1)，當x>1時恒有f(x)<1,則f(x)在R上是 A.增函數 B.減函數 C.非單調函數 D.以上答案均不對 二、填空題(每小題2分，共10分)6.在同一坐標系下，函數y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的圖象如下圖，則a、b、c、d、1之間從小到大的順序是__________.用心 愛心 專心 4 7.函數y=ax?1的定義域是(－∞,0］，則a的取值范圍是__________.8.函數y=2x+k－1(a>0,a≠1)的圖象不經過第四象限的充要條件是__________.9.若點(2，14)既在函數y=2ax+b的圖象上，又在它的反函數的圖象上，a=________,b=________.10.已知集合M={x|2x2+x≤(14) x－ 2,x∈R}，則函數y=2x的值域是__________.三、解答題(共30分)11.(9分)設A=am+a－m，B=an+a－n(m＞n＞0，a＞0且a≠1)，判斷A，B的大小.12.(10分)已知函數f(x)=a－ 22x?1(a∈R)，求證：對任何a∈R,f(x)為增函數.x?1213.(11分)設0≤x≤2，求函數y=42?a?2x?a2?1的最大值和最小值.課堂練習：（略）小結： 課后作業：（略） 用心 愛心 專心 則 §2．2．2 向量減法運算及其幾何意義 教學目標 1．通過探究活動，使學生掌握向量減法概念，理解兩個向量的減法就是轉化為加法來進行，掌握相反向量． 2．啟發學生能夠發現問題和提出問題，善于獨立思考，學會分析問題和創造地解決問題．能熟練地掌握用三角形法則和平行四邊形法則作出兩向量的差向量． 向量的減法運算及其幾何意義 對向量減法定義的理解 教學重點 教學難點 教學過程 一、新課導入 思路1．(問題導入)上節課，我們定義了向量的加法概念，并給出了求作和向量的兩種方法．由向量的加法運算自然聯想到向量的減法運算：減去一個數等于加上這個數的相反數．向量的減法是否也有類似的法則呢?引導學生進一步探究，由此展開新課． 思路2．(直接導入)數的減法運算是加法運算的逆運算．本節課，我們繼續學習向量加法的逆運算——減法．引導學生去探究、發現． 數的減法運算是數的加法運算的逆運算，數的減法定義即減去一個數等于加上這個數的相反數，因此定義數的減法運算，必須先引進一個相反數的概念．類似地，向量的減法運算也可定義為向量加法運算的逆運算．可類比數的減法運算，我們定義向量的減法運算，也應引進一個新的概念，這個概念又該如何定義? 二、新課導學 【探究1】相反向量 一個質點，先由A點作直線移動到B點，于是得到一個向量→AB，再由B點按相反方向移動到A點又得到一個向量→BA，如此移動的實際效果，等于沒有移動，因此，→AB＋→BA＝0，這個等式就建議我們把向量→BA定→的負向量，并記作→→，于是我們有 義為向量ABBA＝－AB新知1：與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a，并且規定，零向量的相反向量仍是零向量，于是，－(－a)＝a.性質：①－(－a)＝a； ②任一向量與它相反向量的和是零向量，即 a＋(－a)＝(－a)＋a＝0 ③如果a、b是互為相反的向量，則有 a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.練習1：判斷下列各命題的真假(1)─→AA＋─→AA＋…＋──→AA與──→AA是一對相反向量； 1223n﹣1n n1(2)─→A1A2＋─→A2A3＋…＋──→Ai﹣1Ai與──→AiAi＋1＋───→Ai＋1Ai＋2＋──→AnA1是一對相反向量；(3)a＝－a的充要條件是a＝0；(4)─→AA＋─→AA＋──→AA的相反向量仍是它本身.1223n1解：(1)真命題.∵─→A1A2＋─→A2A3＋…＋──→An﹣1An＝─→A1An，而──→AnA1與─→A1An長度相等，方向相反，所以命題(1)是真命題.(2)真命題.∵─→AA＋─→AA＋…＋──→AA＝─→AA，而──→AA＋───→AA＋──→AA＝─→AA，由于─→AA與122 3i﹣1i 1i ii＋ 1i＋1i＋ 2n1 i1 1i─→AiA1是一對相反向量，所以命題(2)是真命題.(3)真命題.∵當a≠0時，a≠－a；而當a＝0時，a＝－a，故命題(3)是真命題.(4)真命題.∵─→AA＋─→AA＋──→AA＝0，∴─→AA＋─→AA＋──→AA的相反向量仍是它本身.1223 n1 n1【探究2】向量減法 如圖，設向量AB＝b，AC=a，則AD=-b，由向量減法的定義，知AE=a+(-b)=a-b． 又b＋BC＝a，所以BC＝a－b． 由此，我們得到a-b的作圖方法． 如圖2，已知a、b，在平面內任取一點O，作OA=a，則BA=aOB=b，－b，即a－b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量，這是向量減法的幾何意義． 新知2：（1）向量減法的定義：a-b=a+(-b)，即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量．向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a－b＝a＋(－b),求兩個向量差的運算，叫向量的減法． （2）向量的減法運算也有平行四邊形法則和三角形法則，這也正是向量的運算的幾何意義所在，是數形結合思想的重要體現． 說明：①還可以這樣定義：兩個向量a與b的差，是這樣一個向量x，它適合于等式x＋b＝a，并記作x＝a－b,并稱a為被減向量，b為減向量，而x稱為差向量． ②向量減法可以轉化為向量加法，如圖b與a－b首尾相接，根據向量加法的三角形法則有b＋(a－b)＝a,即a－b＝→CB． ③向量減法的實質是向量加法的逆運算.利用相反向量的意義，－→AB＝→BA，就可以把減法轉化為加法，在用三角形法則作向量減法時，只要記住“連接兩向量終點，箭頭指向被減數”即可． →＝a，→→＝a＋b，BD→＝b－a, DB→④以向量ABAD＝b，為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線的向量為AC＝a－b，這一結論在以后應用是非常廣泛的． 【探究3】關于向量差的模的不等式 如果我們回憶向量加法的平行四邊形法則，那么就可以知道，對于兩向量a及b為邊作成的平行四邊 →＝a＋b，BA→＝a－b，利用圖中的三角形OAB，形中，其兩條對角線分別為a與b的和及差，如圖所示，有OC并注意三角形中兩邊之差小于第三邊，于是當a與b不共線時，有|a－b|>||a|－|b||，與向量和的模的不等式類似． 對于兩任意兩向量a與b差的長度不大小兩向量長度之和，且又不小于兩向量長度差的絕對值，即 ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| 證明：由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|知，||a|－|b||≤|a＋(－b)|≤|a|＋|－b|，亦即 ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.說明：在不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，①當且僅當a、b同向或a、b中至少一個為0時，左邊等號成立； ②當且僅當a、b反向或a、b中至少一個為0時，右邊等號成立； ③當且僅當a、b中至少一個為0時，左右兩邊的等號同時成立.上述①、②及③三個結論在有關問題的求解中是十分有用的.新知3：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| 例1 如圖，已知向量a、b、c、d，求作向量a-b，c-d． 分析：根據向量減法的三角形法則，需要選點平移作出兩個同起點的向量． 作法：如圖3(2)，在平面內任取一點O，作OA=a，OB=b，OC=c，OD=d．則BA=a-b，DC=c-d． 變式訓練：在ABCD中，下列結論中錯誤的是（）A．AB=DC 答案：C 例2 如圖4，B．AD+AB=AC C．AB-AD=BD D．AD+BC=0 ABCD中，AB=a，AD=b，你能用a、b表示向量AC、DB嗎? 解：由向量加法的平行四邊形法則，我們知道AC=a+b，同樣，由向量的減法，知DB=AB-AD=a-b． 變式訓練 1．已知一點O到ABCD的3個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c，則向量OD等于（）A．a+b+c B．a-b+c C．a+b-c D．a-b-c 解析：如圖5，點O到平行四邊形的三個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c，結合圖形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c．故選B． 2．若AC=a+b，DB=a-b． ①當a、b滿足什么條件時，a+b與a-b垂直？ ②當a、b滿足什么條件時，|a+b|=|a-b|？ ③當a、b滿足什么條件時，a+b平分a與b所夾的角？ ④a+b與a-b可能是相等向量嗎？ 解析：如圖6，用向量構建平行四邊形，其中向量AC、DB恰為平行四邊形的對角線．由平行四邊形法則，得AC=a+b，DB=AB-AD=a-b．由此問題就可轉換為： ①當邊AB、AD滿足什么條件時，對角線互相垂直？(|a|=|b|)②當邊AB、AD滿足什么條件時，對角線相等？(a、b互相垂直)③當邊AB、AD滿足什么條件時，對角線平分內角？(a、b相等)④a+b與a-b可能是相等向量嗎？(不可能，因為對角線方向不同例3 化簡→AB－→AC＋→BD－→CD． 解：原式＝→CB＋→BD－→CD＝→CD－→CD＝0 變式訓練：8．如圖所示，DC?DE?AF?BC?FE＝________．答案：→AB →＝8，|AC|→＝5，則|BC|→的取值范圍是（）例4 若|AB|A．［3，8］ B．（3，8） C．［3，13］ D．（3，13） →、AC→同向時，|→解析： ∵→BC＝→AC－→AB，當ABBC|＝8－5＝3；當→AB、→AC反向時，|→BC|＝8＋5＝13；當→AB、→不平行時，3＜|BC|→＜13，總上3≤|→ACBCBC|≤13，故選C． 變式訓練：向量a．b滿足|a|＝8，|b|＝12，則|a＋b|的最大值為________．答案：20 三、總結提升 1.通過本節學習，要求大家在理解向量減法定義的基礎上，掌握向量減法的三角形法則，并能加以適當的應用.2.向量減法的三角形法則的式子內容是：兩個向量相減，則表示兩個向量起點的字母必須相同（否則無法相減），這樣兩個向量的差向量是以減向量的終點的字母為起點，以被減向量的終點的字母為終點.四、課后作業 課本第91頁習題2.2A組第4、6、7、8題 1．已知｜AB｜＝6，｜CD｜＝9，求｜AB－CD｜的取值范圍．答案：［3，15］ 2．已知：A．B．C是不共線的三點，O是△ABC內的一點，若→OA＋→OB＋→OC＝0，求證：點O是△ABC的重心． →＋OC)→，2．證明：如圖，∵→OA＋→OB＋→OC＝0，∴→OA＝－(OB→＋OC→，長度相等，方向相反的向量，∴→OA是與OB以OB、OC為相鄰兩邊作BOCD，則→OD＝→OB＋→OC，→，∴A、O、D三點共線． ∴→OD＝－OA →＝EC→，OE→＝ED→，在□BOCD中，設BC交OD于點E，則BE →＝2|→故AE是△ABC的邊BC的中線，且|OA|OE|，∴點O是△ABC的重心． 總第 課時《循環語句1》教案 姓名 2012年 月 日 星期 【教學目標】 1、知識與技能： 正確理解循環語句的概念，并掌握其結構的區別與聯系。2.過程與方法 經歷對現實生活情境的探究，認識到應用計算機解決數學問題方便簡捷，促進發展學生邏輯思維能力 3.情感態度與價值觀 了解條件語句在程序中起判斷轉折作用，在解決實際問題中起決定作用。深刻體會到循環語句在解決大量重復問題中起重要作用,減少大量繁瑣的計算。【重點與難點】 重點：循環語句的步驟、結構及功能。難點：會編寫程序中的循環語句。【學法與教學用具】 計算機、圖形計算器 【課時】一課時 【教學過程】 1、導入 試求自然數1+2+3+?+99+100的和。 顯然大家都能準確地口算出它的答案：5050。而能不能將這項計算工作交給計算機來完成呢？而要編程，還需要進一步學習基本算法語句中的另外兩種：條件語句和循環語句（板出課題）2.探究新知 循環語句格式是算法中的循環結構是由循環語句來實現的。 （1）WHILE語句的一般： 其中循環體是由計算機反復執行的一組語句構成的。WHLIE后面的“條件”是用于控制計算機執行循環體或跳出循環體的。 當計算機遇到WHILE語句時，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執 專心 愛心 用心 行WHILE與WEND之間的循環體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執行循環體，這個過程反復進行，直到某一次條件不符合為止。這時，計算機將不執行循環體，直接跳到WEND語句后，接著執行WEND之后的語句。因此，當型循環有時也稱為“前測試型”循環。其對應的程序結構框圖為：（如上右圖） （2）UNTIL語句的一般格式是： 其對應的程序結構框圖為：（如上右圖）〖思考〗：直到型循環又稱為“后測試型”循環，參照其直到型循環結構對應的程序框圖，說說計算機是按怎樣的順序執行UNTIL語句的？ 從UNTIL型循環結構分析，計算機執行該語句時，先執行一次循環體，然后進行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續返回執行循環體，然后再進行條件的判斷，這個過程反復進行，直到某一次條件滿足時，不再執行循環體，跳到LOOP UNTIL語句后執行其他語句，是先執行循環體后進行條件判斷的循環語句。〖提問〗：通過對照，大家覺得WHILE型語句與UNTIL型語句之間有什么區別呢？（讓學生表達自己的感受） 區別：在WHILE語句中，是當條件滿足時執行循環體，而在UNTIL語句中，是當條件不滿足時執行循環體。 【布置作業】 P23習題1.2 A組 3 P24習題1.2 B組 2.【教學反思】 專心 愛心 用心 2第四篇：高中數學 2.2.2向量減法及其幾何意義教學設計 新人教A版必修1
第五篇：高中數學 循環語句1精品教案 新人教A版必修3
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