第一篇：高中數學：2.2.1《綜合法和分析法》教案(新人教A版選修2-2)

數學：2.2.1《綜合法和分析法》教案

教學目標：

（一）知識與技能：

結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點。

（二）過程與方法:培養學生的辨析能力和分析問題和解決問題的能力；

（三）情感、態度與價值觀：

通過學生的參與，激發學生學習數學的興趣。

第一課時2.2.1綜合法和分析法

（一）教學要求：結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點.教學重點：會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程.教學難點：根據問題的特點，結合綜合法的思考過程、特點，選擇適當的證明方法.教學過程：

一、復習準備：

11??4”，試請此結論推廣猜想.aa11112?....?? n2）（答案：若a1,a2.......an?R?，且a1?a2?....?an?1，則?a1a2an1112.已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：???9.abc先完成證明 → 討論：證明過程有什么特點？ 1.已知 “若a1,a2?R?，且a1?a2?1，則

二、講授新課：

1.教學例題：

① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正數，求證：a(b2 + c2)+ b(c2 + a2)+ c(a2 + b2)> 6abc.分析：運用什么知識來解決？（基本不等式）→板演證明過程（注意等號的處理）→ 討論：證明形式的特點

② 提出綜合法：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立.框圖表示：要點：順推證法；由因導果.③ 練習：已知a，b，c是全不相等的正實數，求證

④ 出示例2：在△ABC中，三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數列，a、b、c成等比數列.求證：為△ABC等邊三角形.分析：從哪些已知，可以得到什么結論？ 如何轉化三角形中邊角關系？

→ 板演證明過程→ 討論：證明過程的特點.→ 小結：文字語言轉化為符號語言；邊角關系的轉化；挖掘題中的隱含條件（內角和）

2.練習：

① A,B

為銳角，且tanA?tanBb?c?aa?c?ba?b?c???3.abctanAtanBA?B?60?.（提示：算3tan(A?B)）

② 已知a?b?c, 求證：

3.小結：綜合法是從已知的P出發，得到一系列的結論Q1,Q2,???，直到最后的結論是Q.運用綜合法可以解決不等式、數列、三角、幾何、數論等相關證明問題.三、鞏固練習：

1.求證：對于任意角θ，cos4??sin4??cos2?.（教材P100 練習1題）

（兩人板演 → 訂正 → 小結：運用三角公式進行三角變換、思維過程）

2.?ABC的三個內角A,B,C成等差數列，求證：

3.作業：教材P102A組 2、3題.第二課時2.2.1綜合法和分析法

（二）教學要求：結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點.教學重點：會用分析法證明問題；了解分析法的思考過程.教學難點：根據問題的特點，選擇適當的證明方法.教學過程：

一、復習準備：

1.提問：基本不等式的形式？

2.討論：如何證明基本不等式

二、講授新課：

1.教學例題：

① 出示例

1?

討論：能用綜合法證明嗎？ → 如何從結論出發，尋找結論成立的充分條件？→ 板演證明過程（注意格式）

→ 再討論：能用綜合法證明嗎？→ 比較：兩種證法

② 提出分析法：從要證明的結論出發，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.框圖表示：

2114??.a?bb?ca?c113.??a?bb?ca?b?c（討論 → 板演 → 分析思維特點：從結論出發，一步步探求結論成立的充分條件）a?b(a?0,b?0).2要點：逆推證法；執果索因.1223133③ 練習：設x > 0，y > 0，證明不等式：(x?y)?(x?y).先討論方法 → 分別運用分析法、綜合法證明.④ 出示例2：見教材P97.討論：如何尋找證明思路？（從結論出發，逐步反推）⑤ 出示例3：見教材P99.討論：如何尋找證明思路？（從結論與已知出發，逐步探求）

2.練習：證明：通過水管放水，當流速相等時，如果水管截面（指橫截面）的周長相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大.ll，截面積為?()2，周長為l2?2?ll2l2l2的正方形邊長為，截面積為()，問題只需證：?()>().442?

43.小結：分析法由要證明的結論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到提示：設截面周長為l，則周長為l的圓的半徑為

所有的已知P都成立；

比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進行書寫；或者聯合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結論之間的距離，找到溝通已知條件和結論的途徑.（框圖示意）

三、鞏固練習：

1.設a, b, c是的△ABC三邊，S

是三角形的面積，求證：c2?a2?b2?4ab?.略證：正弦、余弦定理代入得：?2abcosC?4ab?sinC，即證：2?cosC?

CC?cosC?2，即證：sin(C?

2.作業：教材P100 練習2、3題.第三課時2.2.2反證法

教學要求：結合已經學過的數學實例，了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點.教學重點：會用反證法證明問題；了解反證法的思考過程.教學難點：根據問題的特點，選擇適當的證明方法.教學過程：

一、復習準備：

1.討論：三枚正面朝上的硬幣，每次翻轉2枚，你能使三枚反面都朝上嗎？（原因：偶次）

2.提出問題：平面幾何中，我們知道這樣一個命題：“過在同一直線上的三點A、B、C不能作圓”.討論如何證明這個命題？

3.給出證法：先假設可以作一個⊙O過A、B、C三點，則O在AB的中垂線l上，O又在BC的中垂線m上，即O是l與m的交點。

但 ∵A、B、C共線，∴l∥m(矛盾)

∴ 過在同一直線上的三點A、B、C不能作圓.二、講授新課：

1.教學反證法概念及步驟：

① 練習：仿照以上方法，證明：如果a>b>0，那么a?

② 提出反證法：一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立.證明基本步驟：假設原命題的結論不成立 → 從假設出發，經推理論證得到矛盾 → 矛盾的原因是假設不成立，從而原命題的結論成立

應用關鍵：在正確的推理下得出矛盾（與已知條件矛盾，或與假設矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等）.方法實質：反證法是利用互為逆否的命題具有等價性來進行證明的，即由一個命題與其逆否命題同真假，通過證明一個命題的逆否命題的正確，從而肯定原命題真實.注：結合準備題分析以上知識.2.教學例題：

?6)?1（成立）.① 出示例1：求證圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分.分析：如何否定結論？ → 如何從假設出發進行推理？ → 得到怎樣的矛盾？

與教材不同的證法：反設AB、CD被P平分，∵P不是圓心，連結OP，則由垂徑定理：OP?AB，OP?CD，則過P有兩條直線與OP垂直（矛盾），∴不被P平分.② 出示例2：

.（同上分析 → 板演證明，提示：有理數可表示為m/n）

m/n（m,n為互質正整數），從而：(m/n)2?3，m2?3n2，可見m是3的倍數.設m=3p（p是正整數），則 3n2?m2?9p2，可見n 也是3的倍數.這樣，m, n就不是互質的正整數（矛盾）.m/n.③ 練習：如果a?1為無理數，求證a是無理數.提示：假設a為有理數，則a可表示為p/q（p,q為整數），即a?p/q.由a?1?(p?q)/q，則a?1也是有理數，這與已知矛盾.∴ a是無理數.3.小結：反證法是從否定結論入手，經過一系列的邏輯推理，導出矛盾，從而說明原結論正確.注意證明步驟和適應范圍（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的問題）

三、鞏固練習： 1.練習：教材P1021、2題2.作業：教材P102A組4題.

第二篇：高中數學《2.2.1綜合法和分析法》導學案 新人教A版選修1-2

§2.2.1綜合法和分析法(二)

.2.根據問題的特點，結合分析法的思考過程、特點，選擇適當的證明方法.4850

復習1：綜合法是由導;

復習2：基本不等式:

二、新課導學

※ 學習探究

探究任務一：分析法

問題：

a?b如何證明基本不等式?(a?0,b?0)

2新知：從要證明的結論出發，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.反思：框圖表示

要點：逆推證法；執果索因

※ 典型例題

例

1變式：求證

小結：證明含有根式的不等式時,用綜合法比較困難,所以我們常用分析法探索證明的途徑.例2 在四面體S?ABC中,SA?面ABC,AB?BC,過A作SB的垂線,垂足為E,過E作SC的垂線,垂足為F,求證AF?SC.變式：設a,b,c為一個三角形的三邊,s?1

2(a?b?c),且s2?2ab,試證s?2a.小結：用題設不易切入,要注意用分析法來解決問題.※ 動手試試

練1.求證:當一個圓和一個正方形的周長相等時,圓的面積比正方形的面積大.練2.設a, b, c是的△ABC三邊，S

是三角形的面積，求證：c2?a2?b2?4ab?

三、總結提升

※ 學習小結

分析法由要證明的結論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到所有的已知P都成立.※ 知識拓展

證明過程中分析法和綜合法的區別:

在綜合法中,每個推理都必須是正確的,每個推論都應是前面一個論斷的必然結果,因此語氣必須是肯定的.分析法中,首先結論成立,依據假定尋找結論成立的條件，這樣從結論一直到已知條件.※ 自我評價 你完成本節導學案的情況為（）.A.很好B.較好C.一般D.較差

※ 當堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分：

1.,其中最合理的是

A.綜合法B.分析法C.反證法D.歸納法

ba2.不等式①x2?3?3x;②??2,其中恒成立的是 ab

A.①B.②C.①②D.都不正確

3.已知y?x?0,且x?y?1,那么

x?yx?yA.x??y?2xyB.2xy?x??y 22

x?yx?yC.x??2xy?yD.x?2xy??y 22

2224.若a,b,c?R,則a?b?cab?bc?ac.5.將a千克的白糖加水配制成b千克的糖水(b?a?0),則其濃度為;若再加入m千克的白糖(m?0),糖水更甜了,根據這一生活常識提煉出一個常見的不等式:.1.已知a?b?0,(a?b)2a?b(a?b)2

求證

:.?8a28b

2.設a,b?R?,且a?b,求證:a3?b3?a2b?ab2

第三篇：高中數學《2.2.1綜合法和分析法》導學案2_新人教A版選修1-2

§2.2.1綜合法和分析法（3）

學習目標：1.能結合已經學過的數學示例,了解綜合法和分析法的思考過程和特點;

2.學會用綜合法和分析法證明實際問題,并理解分析法和綜合法之間的內在聯系;3.養成勤于觀察、認真思考的數學品質.復習1：綜合法是由導;2：分析法是由索.新課導學：綜合法和分析法的綜合運用

問題：已知?,??k???

2(k?Z),且sin??cos??2sin?,sin??cos??sin

2?, 求證:1?tan2?1?tan2??1?tan2?

2(1?tan2?).新知：用P表示已知條件、定義、定理、公理等，用Q表示要證明的結論，則上述過程可用框圖表示為：

試試：已知tan??sin??a,tan??sin??b，求證：(a2?b2)2?16ab.反思：在解決一些復雜、技巧性強的題目時，我們可以把綜合法和分析法結合使用.例1： 已知A,B都是銳角，且A?B??

2，(1?tanA)(1?tanB)?2，求證：A?B?45?

變式：已知

1?tan?

2?tan?

?1，求證：3sin2???4cos2?.小結：牢固掌握基礎知識是靈活應用兩種方法證明問題的前提，本例中，三角公式發揮著重要作用.例2 在四面體P?ABC中，PD??ABC，AC?BC，D是AB的中點，求證：AB?PC.變式：如果a,b?0，則lga?blga?lgb

2?

2.總結提升：學習小結

綜合法是“由因導果”，而分析法是“執果索因”，它們是截然相反的兩種證明方法，分析法便于我們去尋找思路，而綜合法便于過程的敘述，兩種方法各有所長，在解決問題的問題中，綜合運用，效果會更好，綜合法與分析法因其在解決問題中的作用巨大而受命題者的青睞，在歷年的高考中均有體現，成為高考的重點和熱點之一

.小結：本題可以單獨使用綜合法或分析法進行證明.※ 動手試試

練1.設實數a,b,c成等比數列，非零實數x,y分別為a與b，b與c的等差中項，求證

ax?c

y

?2.練2.已知A?B?54?，且A,B?k???

(k?Z)，求證：(1?tanA)(1?tanB)?2.三、總結提升 ※ 學習小結

1.直接證明包括綜合法和分析法.2.比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進行書寫；或者聯合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結論之間的距離，找到溝通已知條件和結論的途徑

.※ 知識拓展

綜合法是“由因導果”，而分析法是“執果索因”，它們是截然相反的兩種證明方法，分析法便于我們去尋找思路，而綜合法便于過程的敘述，兩種方法各有所長，在解決問題的問題中，綜合運用，效果會更好，綜合法與分析法因其在解決問題中的作用巨大而受命題者的青睞，在歷年的高考中均有體現，成為高考的重點和熱點之一.※ 自我評價 你完成本節導學案的情況為（）.A.很好B.較好C.一般D.較差

※ 當堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分： 1.給出下列函數①y?x?x3，②y?xsinx?cosx,③y?sinxcosx,④y?2x?2?x,其中是偶函數的有（）.A．1個B．2個C．3 個D．4個

2.m、n是不同的直線，?,?,?是不同的平面，有以下四個命題（）.①???//???//???//? ；②?????

?m//??m??③??m???m//n

?m//????? ；④??

n???m//?

其中為真命題的是（）A．①④B.①③C．②③D．②④

3.下列結論中，錯用基本不等式做依據的是（）.A．a，b均為負數，則ab?b

a

?

2B

?2 C．lgx?logx10?2

D．a?R?,(1?a)(1?

1a)?

44.設α、β、r是互不重合的平面，m，n是互不重合的直線，給出四個命題： ①若m⊥α，m⊥β，則α∥β②若α⊥r，β⊥r，則α∥β

③若m⊥α，m∥β，則α⊥β④若m∥α，n⊥α，則m⊥n 其中真命題是.5.已知p:2x?3?1,q:x(x?3)?0, 則p是q的條件.1.已知a,b,c?R?，a,b,c互不相等且abc?

1.?

1a?11b?c

.2.已知a,b,c,d都是實數，且a2?b2?1,c2?d2?1，求證：|ac?bc|?1.

第四篇：2.2.1綜合法和分析法

數學選修1-2第二章推理與證明編號：3姓名：班級：評價：編制人：許朋朋 趙陽領導簽字：

§2.2.1 綜合法和分析法

一、教學目標：

（一）知識與技能：結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合 法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點。

（二）過程與方法: 培養學生的辨析能力和分析問題和解決問題的能力；

（三）情感、態度與價值觀：，激發學生學習數學的興趣。

二、教學重點：了解分析法和綜合法的思考過程、特點

三、教學難點：分析法和綜合法的思考過程、特點

四、教學過程:

（一）導入新課：

合情推理分歸納推理和類比推理，所得的結論的正確性是要證明的。數學結論的正確性必須通

過邏輯推理的方式加以證明。本節我們將學習兩類基本的證明方法：直接證明與間接證明。

（二）新課：

1.綜合法的概念：

綜合法的特點：用P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等,Q表示要證明的結論，綜合法可表示為：?P?Q1??(Q1?Q2)??Q2?Q3??.....??Qn?Q?

例1：已知a,b>0,求證a(b2?c2)?b(c2?a

2)?4abc

例

2、在△ABC中,三個內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數列, a,b,c成等比數列,求證△ABC為等邊三角形.注：解決數學問題時，往往要先作語言的轉換，如把文字語言轉換成符號語言，或把符號語言轉換成圖形語言等．還要通過細致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來．

例

3、已知a,b?R?,求證aa

bb

?ab

ba

.注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號。2.分析法的概念： 分析法的特點：分析法可表示為：?Q?P1??(P1?P2).....?(Pn?1?Pn)??Pn?P?

例4：求證?7?25。

3.分析法和綜合法結合的應用：在解決問題時，我們經常把綜合法和分析法結合起來使用：根據條

件的結構特點去轉化結論，得到中間結論Q‘；根據結論的結構特點去轉化條件，得到中間結論 P‘

．若

由P‘可以推出Q‘

成立，就可以證明結論成立．下面來看一個例子．

數學選修1-2第二章推理與證明編號：3姓名：班級：評價：編制人：許朋朋 趙陽領導簽字：

例5、已知?,??k??

?

(k?Z)，且 sin??cos??2sin?①sin?cos??sin2?②

?tan

2?1?tan2

求證：

1?

1?tan2??2(1?tan2

?)。

（三）課堂小結：

綜合法和分析法的特點：

（四）當堂檢測

1．分析法又叫執果索因法，若使用分析法證明：設a>b>c，且a＋b＋c＝0b－ac<3a索的因應是()A．a－b>0

B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0

D．(a－b)(a－c)<0

2．設a>0，b>0，a＋b＝1.求證：(1)111a＋bab≥8；(2)??a＋1a2＋??b＋1b2≥252.3．若a，b，c為不全相等的正數，求證：lga＋bb2lg＋cc＋a

2＋lg2>lga＋lgb＋lgc.，求證(a－b)2a＋b(a－b)2

4．已知a>b>08a2－ab<8b.（五）布置作業：

1、a,b,c?R?,求證

?a?b?c)

2.設a,b,c為一個三角形的三邊,且s2=2ab,s=1

(a+b+c)

試證s<2a

第五篇：2.2.1 綜合法和分析法

2．2 直接證明與間接證明

2．2.1 綜合法和分析法

整體設計

教材分析

在以前的學習中，學生已經能用綜合法和分析法證明數學問題，但他們對綜合法和分析法的內涵和特點不一定非常清楚．本節內容結合學生已學過的數學知識，通過實例引導學生分析綜合法與分析法的思考過程與特點，并歸納出操作流程圖，使他們在以后的學習中，能自覺地、有意識地運用綜合法和分析法進行數學證明，養成言之有理、論證有據的習慣．

課時分配

2課時．第1課時綜合法，第2課時分析法．

第1課時

教學目標

1．知識與技能目標

(1)理解綜合法證明的概念；

(2)能熟練地運用綜合法證明數學問題．

2．過程與方法目標

(1)通過實例引導學生分析綜合法的思考過程與特點；

(2)引導學生歸納出綜合法證明的操作流程圖．

3．情感、態度與價值觀

(1)通過綜合法的學習，體會數學思維的嚴密性、抽象性、科學性；

(2)通過綜合法的學習，養成審慎思維的習慣．

重點難點

重點：(1)結合已經學過的數學實例理解綜合法；

(2)了解綜合法的思考過程、特點．

難點：(1)對綜合法的思考過程、特點的概括；

(2)運用綜合法證明與數列、幾何等有關內容．

教學過程

引入新課

證明對我們來說并不陌生，我們在上一節學習的合情推理，所得的結論的正確性就是要證明的，并且我們在以前的學習中，積累了較多的證明數學問題的經驗，但這些經驗是零散的、不系統的，這一節我們將通過熟悉的數學實例，對證明數學問題的方法形成較完整的認識．

提出問題：給出以下問題，讓學生思考應該如何證明．

請同學們證明：

已知a，b>0，求證：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.活動設計：學生先獨立思考，然后小組討論，找出以上問題的證明方法，教師巡視指導，并注意與學生交流．

活動結果：(學生板書證明過程)

證明：因為b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因為c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.引導學生應用不等式證明以上問題，體會綜合法證明的思考過程，為引出綜合法的定義做準備．

探究新知

提出問題：請同學們回顧，你證明這道題的思維過程．

活動設計：學生自由發言．

教師活動：整理學生發言，得到證明上題的思維過程．

首先，分析待證不等式的特點：不等式右端是3個數a，b，c乘積的四倍，左端為兩項之和，其中每一項都是一個數與另兩個數的平方和之積，據此，只要把兩個數的平方和轉化為這兩個數的積的形式，就能使不等式兩端出現相同的形式；

其次，尋找轉化的依據及證明中要用的知識，本題應用不等式x2＋y2≥2xy就能實現轉化，不等式的基本性質是證明的依據；

最后，給出證明即可．

(在總結證明上題思維過程的同時，向學生灌輸解決問題先粗后細，先框架，后具體的思想)

這樣，我們可以把上題的證明過程概括為：從已知條件、不等式x2＋y2≥2xy和不等式的基本性質出發，通過推理得出結論成立．

活動結果：

綜合法定義：一般地，利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法．

設計意圖

讓學生先表達綜合法證明的特點，但他們對綜合法的內涵和特點表達不一定非常清楚，因此再由老師整理出綜合法證明的思維特點來，進而將問題一般化，得到綜合法的定義．

運用新知

例1在△ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數列，a，b，c成等比數列，求證：△ABC為等邊三角形．

思路分析：本題首先把已知條件進行語言轉換，即將A，B，C成等差數列轉化為2B＝A＋C，a，b，c成等比數列轉化為b2＝ac，接著把隱含條件顯性化，將A，B，C為△ABC三個內角明確表示為A＋B＋C＝π，然后尋找條件與結論的聯系；利用余弦定理可以把邊和角聯系起來，建立邊和角的關系，進而判斷三角形的形狀．這樣，就可以嘗試直接從已知條件和余弦定理出發，運用綜合法來推導出結論．

證明：由A，B，C成等差數列，有2B＝A＋C，①

由A，B，C為△ABC的三個內角，所以A＋B＋C＝π.②

π由①②，得B＝，③

3由a，b，c成等比數列，有b2＝ac，④

由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，從而a＝c，所以A＝C.⑤

π由②③⑤，得A＝B＝C＝△ABC為等邊三角形． 3

點評：在證明數學命題時，經常要把已知條件進行語言轉換，把文字語言轉換成符號語言，或把符號語言轉換成圖形語言等，還要把命題中的隱含條件顯性化，然后尋找條件與結論的聯系，最后運用綜合法來推導結論．

bn1an111設a＋b>0，n為偶數，證明＋.abab－－

bn1an111?an－bn??an1－bn1?證明：＝，abab?ab?－－－－

(1)當a>0，b>0時，(an－bn)(an1－bn1)≥0，(ab)n>0，－－

?an－bn??an1－bn1?bn1an111所以≥0，故＋abab?ab?－－－－

(2)當ab為負值時，不妨設a>0，b<0，由于a＋b>0，所以a>|b|.又n是偶數，所以(an－b)(ann－1－bn－1?an－bn??an1－bn1?bn1an111)>0.又(ab)>0，故>0，即＋.abab?ab?－－－－n

bn1an111綜合(1)(2)可知，≥ abab－－

理解新知

(1)由于綜合法證明的特點，我們有時也把這種證明方法叫“順推證法”或“由因導果法”．

(2)框圖表示

P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表示要證明的結論．

2如圖，在三棱錐S—ABC中，側面SAB與側面SAC均為等邊三角形，∠BAC＝90°，O為BC中點．

證明SO⊥平面ABC.思路分析：從已有的定義、定理、公理出發，推出要證的結論．

證明：由題設AB＝AC＝SB＝SC＝SA，連接OA，△ABC為等腰直角三角形，所以OA＝OB＝OC＝2SA，且AO⊥BC.22，從而OA2＋SO2＝

SA2.2又因為△SBC與△ABC全等，故有SO⊥BC，且SO＝

所以△SOA為直角三角形，所以SO⊥AO.又AO∩BO＝O，所以SO⊥平面ABC.點評：讓學生進一步熟悉綜合法證明的思維過程與特點，學習綜合法證明的規范證明過

程，同時熟悉綜合法證明的操作流程圖．

鞏固練習

11＋已知a，b，c∈R，求證：(a＋b＋c)()≥4.ab＋c

a＋b＋ca＋b＋cb＋c11a＋證明：由于a，b，c∈R，則(a＋b＋c)(＋＝＋＝1＋＋1＋ab＋caab＋cb＋c

b＋ca＝2＋(≥2＋ab＋cb＋ca4.ab＋c

變練演編

＋已知x，y，z∈R，a，b，c∈R，b＋c2c＋a2a＋b2求證：＋y＋≥2(xy＋yz＋zx)． abc

思路分析：抓住要證明式子的結構特征，合理運用均值不等式，用綜合法證明上述不等式．

b＋c2c＋a2a＋b2b2c2c2a＋證明：由于x，y，z∈R，a，b，c∈R，則＋y＋＝＋＋＋abcaabbabbacacby2＋2＋2＝(x22)＋(x2＋z2)＋(2＋z2)≥2xy＋2xz＋2yz＝2(xy＋xz＋yz)，ccabacbc

b＋c2c＋a2a＋b2所以有＋y＋≥2(xy＋yz＋zx)． abc

點評：學會結合條件及所證的結論，尋找到解決問題所需的知識，充分體會綜合法證明不等式的方法，規范解題步驟．

達標檢測

1．綜合法：(1)一般的，利用____________，經過____________最后________，這種證明方法叫做綜合法．

2．已知a，b，c均大于1，且logac·logbc＝4，則下列各式中，一定正確的是()

A．ac≥bB．ab≥c

C．bc≥aD．ab≤c

答案：1.已知條件和某些數學定義，公理，定理 一系列的推理論證 推導出證明的結論成立

2．B

課堂小結

1．綜合法證明是證明題中常用的方法．從條件入手，根據公理、定義、定理等推出要證的結論．

2．綜合法證明題時要注意，要先作語言的轉換，如把文字語言轉化為符號語言，或把符號語言轉化為圖形語言等，還要通過細致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來．

3．綜合法可用于證明與函數、數列、不等式、向量、立體幾何、解析幾何等有關的問題．

布置作業

課本本節練習1、3.補充練習

基礎練習

1．△ABC中，已知3b＝23asinB，且cosA＝cosC，求證：△ABC為等邊三角形．

證明：由3b＝3asinB3sinB＝23sinAsinB?sinA3?π2πA＝.23

3π由cosA＝cosC?A＝C，且A＋B＋C＝π，所以A＝C＝B.所以△ABC為等邊三角3

形．

拓展練習

22．已知函數f(x)＝x2＋＋alnx(x>0)，f(x)的導函數是f′(x)．對任意兩個不相等的正數x

f?x1?＋f?x2?x1＋x2x1、x2，證明當a≤0時，>f(． 2

22證明：由f(x)＝x2＋＋alnx，x

得f?x1?＋f?x2?12211a(x1＋x2)＋(＋＋1＋lnx2)22x1x22

x1＋x212＝(x2＋x)＋＋alnx1x2.221x1x2x1＋x2x1＋x22x1＋x24＝()＋aln，222x1＋x2

∵x1≠x2且都為正數，x1＋x2212122有(x2＋x)>[(x＋x)＋2xx]＝(.① 212214122

2又(x1＋x2)2＝(x21＋x2)＋2x1x2>4x1x2，∴x1＋x24.② x1x2x1＋x2

x1＋x2x1＋x2∵x1x2<∴lnx1x2

x1＋x2∵a≤0，∴alnx1x2>aln.③ 2

f?x1?＋f?x2?x1＋x2由①、②、③得． 2

2設計說明

本節通過具體證明實例，使學生了解直接證明的基本方法——綜合法，了解綜合法的思考過程、特點；培養學生的數學計算能力，分析能力，邏輯推理能力；并能用綜合法證明數列、幾何等有關內容．本節重點突出學生的自主性，教師主要是點撥思路，與知識升華，在教師所提問題的引導下，學生自主完成探究新知和理解新知的過程，加深對知識的理解和提高證明問題的能力．

備課資料

例1已知a，b，c為正實數，a＋b＋c＝1，求證：a＋bc3.思路分析：此題是應用綜合法證明不等式問題，需要用到不等式中的均值不等式的知識來進行證明．

證明：∵a，b，c∈R，∴a＋b≥ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ac.∴2(a＋b＋c)≥ab＋bcac)．∴a＋b＋c＋2(ab＋bc＋ac)≤3(a＋b＋c)＝3.∴(a＋b＋c)2≤3.abc3.點評：運用綜合法證明不等式，關鍵是要由已知條件尋找到正確的所需知識，進而來證＋

明問題．

例2設數列{an}的前n項和為Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N)，其中m為常數，且m≠－3.(1)求證：{an}是等比數列；

3(2)若數列{an}的公比q＝f(m)，數列{bn}滿足b1＝a1，bn＝f(bn－1)(n∈N，n≥2)，求證：

21{為等差數列． bn

思路分析：本題要求證明數列為等差、等比數列，恰當處理遞推關系是關鍵．

證明：(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N)，得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3，an＋12m兩式相減得(3＋m)an＋1＝2man，由于m≠－3，∴.∴{an}是等比數列． anm＋

3(2)b1＝a1，q＝f(m)＝2m332bn－1∴n∈N，n≥2時，bn＝f(bn－1)＝×.22bn－1＋3m＋3

11111∴bnbn－1＋3bn＝3bn－1.∴＝.∴{}是首項為1，公差為 bnbn－13bn3

點評：本題主要考查利用綜合法和數列的定義，合理處理遞推關系的數列證明問題． 例3在△ABC中，內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.思路分析：此題事實上比較簡單，但學生入手卻有些不知所措．對已知條件(1)a2－c2＝2b左側是二次的，右側是一次的，學生總感覺用余弦定理不好處理，而對已知條件

(2)sinAcosC＝3cosAsinC，過多的關注兩角和與差的正弦公式，甚至有的學生還想用現在已經不再考的積化和差，導致找不到突破口．

解：由余弦定理，得a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b，b≠0，∴b＝2ccosA＋2.①

又sinAcosC＝3cosAsinC，∴sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，sin(A＋C)＝4cosAsinC，即sinB＝4cosAsinC.b由正弦定理，得sinB＝sinC，故b＝4ccosA.② c

由①，②解得b＝4.點評：在解題中應注意總結，提高對問題的分析和解決能力及對知識的靈活運用能力．

(設計者：莫靜波)