第一篇：數學選修2-2教案：2.2.1綜合法和分析法、2.2.2反證法

綜合法和分析法

教學要求：結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點.教學重點：會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程.教學難點：根據問題的特點，結合綜合法的思考過程、特點，選擇適當的證明方法.教學過程：

一、復習準備：

1.已知 “若a1,a2?R?，且a1?a2?1，則

1a

1?1a

2，試請此結論推廣猜想.?4”

1a1

?1a2

?....?

1an

2? n）

（答案：若a1,a2.......an?R?，且a1?a2?....?an?1，則2.已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：

1a?1b?1c?9.先完成證明 → 討論：證明過程有什么特點？

二、講授新課： 1.教學例題：

① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正數，求證：a(b2 + c2)+ b(c2 + a2)+ c(a2 + b2)> 6abc.分析：運用什么知識來解決？（基本不等式）→板演證明過程（注意等號的處理）→ 討論：證明形式的特點

② 提出綜合法：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立.框圖表示：

要點：順推證法；由因導果.b?c?a

a

?

a?c?b

b

?

a?b?c

c

?3.③ 練習：已知a，b，c是全不相等的正實數，求證

④ 出示例2：在△ABC中，三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數列，a、b、c成等比數列.求證：為△ABC等邊三角形.分析：從哪些已知，可以得到什么結論？ 如何轉化三角形中邊角關系？→ 板演證明過程→ 討論：證明過程的特點.→ 小結：文字語言轉化為符號語言；邊角關系的轉化；挖掘題中的隱含條件（內角和）2.練習：

?

① A,B為銳角，且tanA?tanB?AtanB?求證：（提示：算tan(A?B)）A?B?60.② 已知a?b?c, 求證：

1a?b

?

1b?c

?

4a?c

.3.小結：綜合法是從已知的P出發，得到一系列的結論Q1,Q2,???，直到最后的結論是Q.運用綜合法可以解決不等式、數列、三角、幾何、數論等相關證明問題.三、鞏固練習：

1.求證：對于任意角θ，cos4??sin4??cos2?.（教材P52 練習1題）（兩人板演 → 訂正 → 小結：運用三角公式進行三角變換、思維過程）2.?ABC的三個內角A,B,C成等差數列，求證：3.作業：教材P54A組 1題.1a?b

?

1b?c

?

3a?b?c

.第二課時2.2.1綜合法和分析法

（二）教學要求：結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點.教學重點：會用分析法證明問題；了解分析法的思考過程.教學難點：根據問題的特點，選擇適當的證明方法.教學過程：

一、復習準備：

1.提問：基本不等式的形式？

2.討論：如何證明基本不等式a?b

2?(a?0,b?0).（討論 → 板演 → 分析思維特點：從結論出發，一步步探求結論成立的充分條件）

二、講授新課：

1.教學例題：

① 出示例

1??

討論：能用綜合法證明嗎？ → 如何從結論出發，尋找結論成立的充分條件？

→ 板演證明過程（注意格式）

→ 再討論：能用綜合法證明嗎？→ 比較：兩種證法

② 提出分析法：從要證明的結論出發，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.框圖表示：

22要點：逆推證法；執果索因.1331③ 練習：設x > 0，y > 0，證明不等式：(x?y)2?(x?y)3.先討論方法 → 分別運用分析法、綜合法證明.④ 出示例4：見教材P48.討論：如何尋找證明思路？（從結論出發，逐步反推）⑤ 出示例5：見教材P49.討論：如何尋找證明思路？（從結論與已知出發，逐步探求）

2.練習：證明：通過水管放水，當流速相等時，如果水管截面（指橫截面）的周長相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：設截面周長為l，則周長為l的圓的半徑為

形邊長為l4ll2?，截面積為?(l22)>().2?4ll2?)，周長為l的正方2，截面積為()2，問題只需證：?（43.小結：分析法由要證明的結論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到所有的已知P都成立；

比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進行書寫；或者聯合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結論之間的距離，找到溝通已知條件和結論的途徑.（框圖示意）

三、鞏固練習：

2221.設a, b, c是的△ABC三邊，S

是三角形的面積，求證：c?a?b?4ab?.略證：正弦、余弦定理代入得：?2abcosC?4ab?sinC，即證：2?cosC?

CC?cosC?2，即證：sin(C?

2.作業：教材P52 練習2、3題.?6)?1（成立）.第三課時2.2.2反證法

教學要求：結合已經學過的數學實例，了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點.教學重點：會用反證法證明問題；了解反證法的思考過程.教學難點：根據問題的特點，選擇適當的證明方法.教學過程：

一、復習準備：

1.討論：三枚正面朝上的硬幣，每次翻轉2枚，你能使三枚反面都朝上嗎？（原因：偶次）

2.提出問題：平面幾何中，我們知道這樣一個命題：“過在同一直線上的三點A、B、C不能作圓”.討論如何證明這個命題？

3.給出證法：先假設可以作一個⊙O過A、B、C三點，則O在AB的中垂線l上，O又在BC的中垂線m上，即O是l與m的交點。

但 ∵A、B、C共線，∴l∥m(矛盾)

∴ 過在同一直線上的三點A、B、C不能作圓.二、講授新課：

1.教學反證法概念及步驟： A① 練習：仿照以上方法，證明：如果a>b>0，那么a?b

② 提出反證法：一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立.證明基本步驟：假設原命題的結論不成立 → 從假設出發，經推理論證得到矛盾 → 矛盾的原因是假設不成立，從而原命題的結論成立

應用關鍵：在正確的推理下得出矛盾（與已知條件矛盾，或與假設矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等）.方法實質：反證法是利用互為逆否的命題具有等價性來進行證明的，即由一個命題與其逆否命題同真假，通過證明一個命題的逆否命題的正確，從而肯定原命題真實.注：結合準備題分析以上知識.2.教學例題：

① 出示例1：求證圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分.分析：如何否定結論？ → 如何從假設出發進行推理？ → 得到怎樣的矛盾？

與教材不同的證法：反設AB、CD被P平分，∵P不是圓心，連結OP，則由垂徑定理：OP?AB，OP?CD，則過P有兩條直線與OP垂直（矛盾），∴不被P平分.② 出示例

2.（同上分析 → 板演證明，提示：有理數可表示為m/n）

?m/n（m,n為互質正整數），從而：(m/n)2?3，m2?3n2，可見m是3的倍數.設m=3p（p是正整數），則 3n2?m2?9p2，可見n 也是3的倍數.這樣，m, n就不是互質的正整數（矛盾）.m/n.③ 練習：如果a?1為無理數，求證a是無理數.提示：假設a為有理數，則a可表示為p/q（p,q為整數），即a?p/q.由a?1?(p?q)/q，則a?1也是有理數，這與已知矛盾.∴ a是無理數.3.小結：反證法是從否定結論入手，經過一系列的邏輯推理，導出矛盾，從而說明原結論正確.注意證明步驟和適應范圍（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的問題）

三、鞏固練習： 1.練習：教材P541、2題2.作業：教材P54A組3題.

第二篇：2.2.1綜合法和分析法

數學選修1-2第二章推理與證明編號：3姓名：班級：評價：編制人：許朋朋 趙陽領導簽字：

§2.2.1 綜合法和分析法

一、教學目標：

（一）知識與技能：結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合 法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點。

（二）過程與方法: 培養學生的辨析能力和分析問題和解決問題的能力；

（三）情感、態度與價值觀：，激發學生學習數學的興趣。

二、教學重點：了解分析法和綜合法的思考過程、特點

三、教學難點：分析法和綜合法的思考過程、特點

四、教學過程:

（一）導入新課：

合情推理分歸納推理和類比推理，所得的結論的正確性是要證明的。數學結論的正確性必須通

過邏輯推理的方式加以證明。本節我們將學習兩類基本的證明方法：直接證明與間接證明。

（二）新課：

1.綜合法的概念：

綜合法的特點：用P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等,Q表示要證明的結論，綜合法可表示為：?P?Q1??(Q1?Q2)??Q2?Q3??.....??Qn?Q?

例1：已知a,b>0,求證a(b2?c2)?b(c2?a

2)?4abc

例

2、在△ABC中,三個內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數列, a,b,c成等比數列,求證△ABC為等邊三角形.注：解決數學問題時，往往要先作語言的轉換，如把文字語言轉換成符號語言，或把符號語言轉換成圖形語言等．還要通過細致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來．

例

3、已知a,b?R?,求證aa

bb

?ab

ba

.注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號。2.分析法的概念： 分析法的特點：分析法可表示為：?Q?P1??(P1?P2).....?(Pn?1?Pn)??Pn?P?

例4：求證?7?25。

3.分析法和綜合法結合的應用：在解決問題時，我們經常把綜合法和分析法結合起來使用：根據條

件的結構特點去轉化結論，得到中間結論Q‘；根據結論的結構特點去轉化條件，得到中間結論 P‘

．若

由P‘可以推出Q‘

成立，就可以證明結論成立．下面來看一個例子．

數學選修1-2第二章推理與證明編號：3姓名：班級：評價：編制人：許朋朋 趙陽領導簽字：

例5、已知?,??k??

?

(k?Z)，且 sin??cos??2sin?①sin?cos??sin2?②

?tan

2?1?tan2

求證：

1?

1?tan2??2(1?tan2

?)。

（三）課堂小結：

綜合法和分析法的特點：

（四）當堂檢測

1．分析法又叫執果索因法，若使用分析法證明：設a>b>c，且a＋b＋c＝0b－ac<3a索的因應是()A．a－b>0

B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0

D．(a－b)(a－c)<0

2．設a>0，b>0，a＋b＝1.求證：(1)111a＋bab≥8；(2)??a＋1a2＋??b＋1b2≥252.3．若a，b，c為不全相等的正數，求證：lga＋bb2lg＋cc＋a

2＋lg2>lga＋lgb＋lgc.，求證(a－b)2a＋b(a－b)2

4．已知a>b>08a2－ab<8b.（五）布置作業：

1、a,b,c?R?,求證

?a?b?c)

2.設a,b,c為一個三角形的三邊,且s2=2ab,s=1

(a+b+c)

試證s<2a

第三篇：2.2.1 綜合法和分析法

2．2 直接證明與間接證明

2．2.1 綜合法和分析法

整體設計

教材分析

在以前的學習中，學生已經能用綜合法和分析法證明數學問題，但他們對綜合法和分析法的內涵和特點不一定非常清楚．本節內容結合學生已學過的數學知識，通過實例引導學生分析綜合法與分析法的思考過程與特點，并歸納出操作流程圖，使他們在以后的學習中，能自覺地、有意識地運用綜合法和分析法進行數學證明，養成言之有理、論證有據的習慣．

課時分配

2課時．第1課時綜合法，第2課時分析法．

第1課時

教學目標

1．知識與技能目標

(1)理解綜合法證明的概念；

(2)能熟練地運用綜合法證明數學問題．

2．過程與方法目標

(1)通過實例引導學生分析綜合法的思考過程與特點；

(2)引導學生歸納出綜合法證明的操作流程圖．

3．情感、態度與價值觀

(1)通過綜合法的學習，體會數學思維的嚴密性、抽象性、科學性；

(2)通過綜合法的學習，養成審慎思維的習慣．

重點難點

重點：(1)結合已經學過的數學實例理解綜合法；

(2)了解綜合法的思考過程、特點．

難點：(1)對綜合法的思考過程、特點的概括；

(2)運用綜合法證明與數列、幾何等有關內容．

教學過程

引入新課

證明對我們來說并不陌生，我們在上一節學習的合情推理，所得的結論的正確性就是要證明的，并且我們在以前的學習中，積累了較多的證明數學問題的經驗，但這些經驗是零散的、不系統的，這一節我們將通過熟悉的數學實例，對證明數學問題的方法形成較完整的認識．

提出問題：給出以下問題，讓學生思考應該如何證明．

請同學們證明：

已知a，b>0，求證：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.活動設計：學生先獨立思考，然后小組討論，找出以上問題的證明方法，教師巡視指導，并注意與學生交流．

活動結果：(學生板書證明過程)

證明：因為b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因為c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.引導學生應用不等式證明以上問題，體會綜合法證明的思考過程，為引出綜合法的定義做準備．

探究新知

提出問題：請同學們回顧，你證明這道題的思維過程．

活動設計：學生自由發言．

教師活動：整理學生發言，得到證明上題的思維過程．

首先，分析待證不等式的特點：不等式右端是3個數a，b，c乘積的四倍，左端為兩項之和，其中每一項都是一個數與另兩個數的平方和之積，據此，只要把兩個數的平方和轉化為這兩個數的積的形式，就能使不等式兩端出現相同的形式；

其次，尋找轉化的依據及證明中要用的知識，本題應用不等式x2＋y2≥2xy就能實現轉化，不等式的基本性質是證明的依據；

最后，給出證明即可．

(在總結證明上題思維過程的同時，向學生灌輸解決問題先粗后細，先框架，后具體的思想)

這樣，我們可以把上題的證明過程概括為：從已知條件、不等式x2＋y2≥2xy和不等式的基本性質出發，通過推理得出結論成立．

活動結果：

綜合法定義：一般地，利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法．

設計意圖

讓學生先表達綜合法證明的特點，但他們對綜合法的內涵和特點表達不一定非常清楚，因此再由老師整理出綜合法證明的思維特點來，進而將問題一般化，得到綜合法的定義．

運用新知

例1在△ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數列，a，b，c成等比數列，求證：△ABC為等邊三角形．

思路分析：本題首先把已知條件進行語言轉換，即將A，B，C成等差數列轉化為2B＝A＋C，a，b，c成等比數列轉化為b2＝ac，接著把隱含條件顯性化，將A，B，C為△ABC三個內角明確表示為A＋B＋C＝π，然后尋找條件與結論的聯系；利用余弦定理可以把邊和角聯系起來，建立邊和角的關系，進而判斷三角形的形狀．這樣，就可以嘗試直接從已知條件和余弦定理出發，運用綜合法來推導出結論．

證明：由A，B，C成等差數列，有2B＝A＋C，①

由A，B，C為△ABC的三個內角，所以A＋B＋C＝π.②

π由①②，得B＝，③

3由a，b，c成等比數列，有b2＝ac，④

由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，從而a＝c，所以A＝C.⑤

π由②③⑤，得A＝B＝C＝△ABC為等邊三角形． 3

點評：在證明數學命題時，經常要把已知條件進行語言轉換，把文字語言轉換成符號語言，或把符號語言轉換成圖形語言等，還要把命題中的隱含條件顯性化，然后尋找條件與結論的聯系，最后運用綜合法來推導結論．

bn1an111設a＋b>0，n為偶數，證明＋.abab－－

bn1an111?an－bn??an1－bn1?證明：＝，abab?ab?－－－－

(1)當a>0，b>0時，(an－bn)(an1－bn1)≥0，(ab)n>0，－－

?an－bn??an1－bn1?bn1an111所以≥0，故＋abab?ab?－－－－

(2)當ab為負值時，不妨設a>0，b<0，由于a＋b>0，所以a>|b|.又n是偶數，所以(an－b)(ann－1－bn－1?an－bn??an1－bn1?bn1an111)>0.又(ab)>0，故>0，即＋.abab?ab?－－－－n

bn1an111綜合(1)(2)可知，≥ abab－－

理解新知

(1)由于綜合法證明的特點，我們有時也把這種證明方法叫“順推證法”或“由因導果法”．

(2)框圖表示

P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表示要證明的結論．

2如圖，在三棱錐S—ABC中，側面SAB與側面SAC均為等邊三角形，∠BAC＝90°，O為BC中點．

證明SO⊥平面ABC.思路分析：從已有的定義、定理、公理出發，推出要證的結論．

證明：由題設AB＝AC＝SB＝SC＝SA，連接OA，△ABC為等腰直角三角形，所以OA＝OB＝OC＝2SA，且AO⊥BC.22，從而OA2＋SO2＝

SA2.2又因為△SBC與△ABC全等，故有SO⊥BC，且SO＝

所以△SOA為直角三角形，所以SO⊥AO.又AO∩BO＝O，所以SO⊥平面ABC.點評：讓學生進一步熟悉綜合法證明的思維過程與特點，學習綜合法證明的規范證明過

程，同時熟悉綜合法證明的操作流程圖．

鞏固練習

11＋已知a，b，c∈R，求證：(a＋b＋c)()≥4.ab＋c

a＋b＋ca＋b＋cb＋c11a＋證明：由于a，b，c∈R，則(a＋b＋c)(＋＝＋＝1＋＋1＋ab＋caab＋cb＋c

b＋ca＝2＋(≥2＋ab＋cb＋ca4.ab＋c

變練演編

＋已知x，y，z∈R，a，b，c∈R，b＋c2c＋a2a＋b2求證：＋y＋≥2(xy＋yz＋zx)． abc

思路分析：抓住要證明式子的結構特征，合理運用均值不等式，用綜合法證明上述不等式．

b＋c2c＋a2a＋b2b2c2c2a＋證明：由于x，y，z∈R，a，b，c∈R，則＋y＋＝＋＋＋abcaabbabbacacby2＋2＋2＝(x22)＋(x2＋z2)＋(2＋z2)≥2xy＋2xz＋2yz＝2(xy＋xz＋yz)，ccabacbc

b＋c2c＋a2a＋b2所以有＋y＋≥2(xy＋yz＋zx)． abc

點評：學會結合條件及所證的結論，尋找到解決問題所需的知識，充分體會綜合法證明不等式的方法，規范解題步驟．

達標檢測

1．綜合法：(1)一般的，利用____________，經過____________最后________，這種證明方法叫做綜合法．

2．已知a，b，c均大于1，且logac·logbc＝4，則下列各式中，一定正確的是()

A．ac≥bB．ab≥c

C．bc≥aD．ab≤c

答案：1.已知條件和某些數學定義，公理，定理 一系列的推理論證 推導出證明的結論成立

2．B

課堂小結

1．綜合法證明是證明題中常用的方法．從條件入手，根據公理、定義、定理等推出要證的結論．

2．綜合法證明題時要注意，要先作語言的轉換，如把文字語言轉化為符號語言，或把符號語言轉化為圖形語言等，還要通過細致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來．

3．綜合法可用于證明與函數、數列、不等式、向量、立體幾何、解析幾何等有關的問題．

布置作業

課本本節練習1、3.補充練習

基礎練習

1．△ABC中，已知3b＝23asinB，且cosA＝cosC，求證：△ABC為等邊三角形．

證明：由3b＝3asinB3sinB＝23sinAsinB?sinA3?π2πA＝.23

3π由cosA＝cosC?A＝C，且A＋B＋C＝π，所以A＝C＝B.所以△ABC為等邊三角3

形．

拓展練習

22．已知函數f(x)＝x2＋＋alnx(x>0)，f(x)的導函數是f′(x)．對任意兩個不相等的正數x

f?x1?＋f?x2?x1＋x2x1、x2，證明當a≤0時，>f(． 2

22證明：由f(x)＝x2＋＋alnx，x

得f?x1?＋f?x2?12211a(x1＋x2)＋(＋＋1＋lnx2)22x1x22

x1＋x212＝(x2＋x)＋＋alnx1x2.221x1x2x1＋x2x1＋x22x1＋x24＝()＋aln，222x1＋x2

∵x1≠x2且都為正數，x1＋x2212122有(x2＋x)>[(x＋x)＋2xx]＝(.① 212214122

2又(x1＋x2)2＝(x21＋x2)＋2x1x2>4x1x2，∴x1＋x24.② x1x2x1＋x2

x1＋x2x1＋x2∵x1x2<∴lnx1x2

x1＋x2∵a≤0，∴alnx1x2>aln.③ 2

f?x1?＋f?x2?x1＋x2由①、②、③得． 2

2設計說明

本節通過具體證明實例，使學生了解直接證明的基本方法——綜合法，了解綜合法的思考過程、特點；培養學生的數學計算能力，分析能力，邏輯推理能力；并能用綜合法證明數列、幾何等有關內容．本節重點突出學生的自主性，教師主要是點撥思路，與知識升華，在教師所提問題的引導下，學生自主完成探究新知和理解新知的過程，加深對知識的理解和提高證明問題的能力．

備課資料

例1已知a，b，c為正實數，a＋b＋c＝1，求證：a＋bc3.思路分析：此題是應用綜合法證明不等式問題，需要用到不等式中的均值不等式的知識來進行證明．

證明：∵a，b，c∈R，∴a＋b≥ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ac.∴2(a＋b＋c)≥ab＋bcac)．∴a＋b＋c＋2(ab＋bc＋ac)≤3(a＋b＋c)＝3.∴(a＋b＋c)2≤3.abc3.點評：運用綜合法證明不等式，關鍵是要由已知條件尋找到正確的所需知識，進而來證＋

明問題．

例2設數列{an}的前n項和為Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N)，其中m為常數，且m≠－3.(1)求證：{an}是等比數列；

3(2)若數列{an}的公比q＝f(m)，數列{bn}滿足b1＝a1，bn＝f(bn－1)(n∈N，n≥2)，求證：

21{為等差數列． bn

思路分析：本題要求證明數列為等差、等比數列，恰當處理遞推關系是關鍵．

證明：(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N)，得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3，an＋12m兩式相減得(3＋m)an＋1＝2man，由于m≠－3，∴.∴{an}是等比數列． anm＋

3(2)b1＝a1，q＝f(m)＝2m332bn－1∴n∈N，n≥2時，bn＝f(bn－1)＝×.22bn－1＋3m＋3

11111∴bnbn－1＋3bn＝3bn－1.∴＝.∴{}是首項為1，公差為 bnbn－13bn3

點評：本題主要考查利用綜合法和數列的定義，合理處理遞推關系的數列證明問題． 例3在△ABC中，內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.思路分析：此題事實上比較簡單，但學生入手卻有些不知所措．對已知條件(1)a2－c2＝2b左側是二次的，右側是一次的，學生總感覺用余弦定理不好處理，而對已知條件

(2)sinAcosC＝3cosAsinC，過多的關注兩角和與差的正弦公式，甚至有的學生還想用現在已經不再考的積化和差，導致找不到突破口．

解：由余弦定理，得a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b，b≠0，∴b＝2ccosA＋2.①

又sinAcosC＝3cosAsinC，∴sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，sin(A＋C)＝4cosAsinC，即sinB＝4cosAsinC.b由正弦定理，得sinB＝sinC，故b＝4ccosA.② c

由①，②解得b＝4.點評：在解題中應注意總結，提高對問題的分析和解決能力及對知識的靈活運用能力．

(設計者：莫靜波)

第四篇：選修2-2§2.2.1綜合法與分析法

人教版數學選修精品——推理與證明

§2.2.1直接證明--綜合法與分析法

1．教學目標：

知識與技能：結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點。

過程與方法: 多讓學生舉命題的例子，培養他們的辨析能力；以及培養他們的分析問題和解決問題的能力；

情感、態度與價值觀：通過學生的參與，激發學生學習數學的興趣。

2．教學重點：了解分析法和綜合法的思考過程、特點

3．教學難點：分析法和綜合法的思考過程、特點

4．教具準備：與教材內容相關的資料。

5．教學設想：分析法和綜合法的思考過程、特點.“變形”是解題的關鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。

6．教學過程:

學生探究過程：

合情推理分歸納推理和類比推理，所得的結論的正確性是要證明的，數學中的兩大基本證明方法-------直接證明與間接證明。

若要證明下列問題：

已知a,b>0,求證a(b2?c2)?b(c2?a2)?4abc

教師活動：給出以上問題，讓學生思考應該如何證明，引導學生應用不等式證明。教師最后歸結證明方法。

學生活動：充分討論，思考，找出以上問題的證明方法

設計意圖：引導學生應用不等式證明以上問題，引出綜合法的定義

證明:因為b2?c2?2bc,a?0,所以a(b2?c2)?2abc,因為c?a?2ac,b?0,所以b(c?a)?2abc.因此, a(b?c)?b(c?a)?4abc.P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等,Q表示要證明的結論

1.綜合法

綜合法：利用某些已經證明過的不等式（例如算術平均數與幾何平均數定理）和不等式用綜合法證明不等式的邏輯關系是： 2222222

2?P?Q1??(Q1?Q2)??Q2?Q3??.....??Qn?Q?

綜合法的思維特點是：由因導果，即由已知條件出發，利用已知的數學定理、性質和公例

1、在△ABC中,三個內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數列, a,b,c成等比數列,求證△ABC為等邊三角形.分析：將 A , B , C 成等差數列，轉化為符號語言就是2B =A + C;A , B , C為△ABC的內角，這是一個隱含條件，明確表示出來是A + B + C =?； a , b，c成等比數列，轉化為符號語言就是b?ac．此時，如果能把角和邊統一起來，那么就可以進一步尋找角和邊之

2間的關系，進而判斷三角形的形狀，余弦定理正好滿足要求．于是，可以用余弦定理為工具進行證明．

證明：由 A, B, C成等差數列，有 2B=A + C ． ①

因為A,B,C為△ABC的內角，所以A + B + C=?． ⑧

?由①②，得B=.3由a, b，c成等比數列，有b2?ac.由余弦定理及③，可得

b?a?c?2accosB?a?c?ac.22222

再由④，得a2?c2?ac?ac.2(a?c)?0,因此a?c.從而A=C.由②③⑤，得 ?A=B=C=.3

所以△ABC為等邊三角形．

解決數學問題時，往往要先作語言的轉換，如把文字語言轉換成符號語言，或把符號語言轉換成圖形語言等．還要通過細致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來．

2.分析法

證明數學命題時，還經常從要證的結論 Q 出發，反推回去，尋求保證Q 成立的條件，即使Q成立的充分條件P1，為了證明P1成立，再去尋求P1成立的充分條件P2，為了證明P2成立，再去尋求P2成立的充分條件P3······直到找到一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止。

分析法：證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的條件，把證明不等式轉化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么用分析法證明不等式的邏輯關系是：

?Q?P1??(P1?P2).....?(Pn?1?Pn)??Pn?P?

分析法的思維特點是：分析法的書寫格式：

要證明命題B為真，只需要證明命題B1為真，從而有??

這只需要證明命題B2為真，從而又有??

??

這只需要證明命題A而已知A為真，故命題B例

3、求證3?

證明：因為3?只需證明(3?7?25 7和25都是正數，所以為了證明3?7)?(25)227?25 展開得10?221?20

即221?10,21?2

5因為21?25成立，所以

(3?227)?(25)成立 即證明了3?7?25

說明：①分析法是“執果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，它與綜合法是對立②分析法論證“若A則B”這個命題的模式是：為了證明命題B為真，這只需要證明命題B1為真，從而有??

這只需要證明命題B2為真，從而又有??

這只需要證明命題A為真

而已知A為真，故B必真

在本例中，如果我們從“21<25 ”出發，逐步倒推回去，就可以用綜合法證出結論。但由于我們很難想到從“21<25”入手，所以用綜合法比較困難。

事實上，在解決問題時，我們經常把綜合法和分析法結合起來使用：根據條件的結構特

‘‘點去轉化結論，得到中間結論Q；根據結論的結構特點去轉化條件，得到中間結論 P．若

由P‘可以推出Q‘成立，就可以證明結論成立．下面來看一個例子．

?例4 已知?,??k??(k?Z)，且

2sin??cos??2sin?①

sin?cos??sin?②2

求證：1?tan?

1?tan?22?1?tan?2(1?tan?)22。

分析：比較已知條件和結論，發現結論中沒有出現角?，因此第一步工作可以從已知條件中消去?.觀察已知條件的結構特點，發現其中蘊含數量關系

2222(sin??cos?)?2sin?cos??1，于是，由 ①一2×② 得4sin??2sin??1．把

4sin??2sin??1與結論相比較，發現角相同，但函數名稱不同，于是嘗試轉化結論：22

統一函數名稱，即把正切函數化為正（余）弦函數．把結論轉化為cos??sin??

cos??sin??222212

12(cos??sin?),再與4sin??2sin??1比較，發現只要把c(os??222222sin?中的角的余弦轉化為正弦，就能達到目的．)2證明：因為(sin??cos?)?2sin?cos??1，所以將 ① ② 代入，可得 4sin??2sin??1.③ 2

另一方面，要證

sin?21?tan?1?tan?22?21?tan?2(1?tan?)22 1?

即證

1??2sin?

cos?

2221?2(1?sin?cos?sin?cos?1

2222，)222即證cos??sin??

即證1?2sin??

22(cos??sin?)，2122(1?2sin?)，即證4sin??2sin??1。

由于上式與③相同，于是問題得證。

課堂小結：直接證明的兩種方法-綜合法和分析法

課后作業：第91頁A組 2,3教學反思：本節課學習了分析法和綜合法的思考過程、特點.“變形”是解題的關鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。

分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數學解題中，分析法是從數學題的待證結論或需求問題出發，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件。綜合法則是從數學題的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現為執果索因，綜合法表現為由果導因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應用十分廣泛。

首先，介紹為什么要引入證明，以及經常用的兩種證明方法，主要介紹的是直接證明的兩種方法。然后具體講解綜合法和分析法并舉例說明，強調分析法的步驟以及兩者的區別。最后舉一個兩種方法綜合使用的例子

例

1、已知a，b，c是不全相等的正數，求證：

222222a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)?6abc

證明：∵b2?c2≥2bc,a＞0,∴a(b2?c2)≥2abc①

同理 b(c2?a2)≥2abc②

c(a?b)≥2abc③ 2

2因為a，b，c不全相等，所以b2?c2≥2bc, c2?a2≥2ca, a2?b2≥2ab三式不能全取“=”號，從而①、②、③三式也不能全取“=∴a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?6abc

例

2、已知a，b，c都是正數，且a，b，c成等比數列，求證：a2?b2?c2?(a?b?c)

2證明：左－右=2（ab+bc－ac）

∵a，b，c成等比數列，∴b2?ac

又∵a，b，c都是正數，所以0?b?

∴a?c?b

∴2(ab?bc?ac)?2(ab?bc?b)?2b(a?c?b)?0

∴a?b?c?(a?b?c)

2422例

3、若實數x?1，求證：3(1?x?x)?(1?x?x).22222ac≤a?c2?a?c

證明：采用差值比較法：

3(1?x?x)?(1?x?x)242

2=3?3x?3x?1?x?x?2x?2x?2x

43=2(x?x?x?1)

=2(x?1)(x?x?1)=2(x?1)[(x?224242322

12)?

2234].1

2)?2?x?1,從而(x?1)?0,且(x?

4]?0,2234?0, ∴2(x?1)[(x?24212)?2∴3(1?x?x)?(1?x?x).例

4、已知a,b,c,d∈R,求證:ac+bd≤(a2?b2)(c2?d2)

分析一:用分析法

證法一:(1)當ac+bd≤0時,(2)當ac+bd>0時,欲證原不等式成立,只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

222222222222即證ac+2abcd+bd≤ac+ad+bc+bd

即證2abcd≤b2c2+a2d

22即證0≤(bc-ad)

因為a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,綜合(1)、(2)可知:分析二:用綜合法

***22222證法二:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd=(ac+2abcd+bd)+(bc-2abcd+ad)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2 ∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+分析三:用比較法

證法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 ∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd

例

5、設a、b是兩個正實數，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．

證明：(用分析法思路書寫)

要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a-ab+b)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需證a-2ab+b＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0顯然成立，由此命題得證。(以下用綜合法思路書寫)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由題設條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab

3322即a+b＞ab+ab，由此命題得證.2222

第五篇：2.2.1綜合法與分析法

2.2.1 綜合法與分析法

一．教學目標：

1．知識與技能：結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點。

2．過程與方法: 多讓學生舉命題的例子，培養他們的辨析能力；以及培養他們的分析問題和解決問題的能力；

3．情感、態度與價值觀：通過學生的參與，激發學生學習數學的興趣。

二．教學重點：了解分析法和綜合法的思考過程、特點

三．教學難點：分析法和綜合法的思考過程、特點

四．教學過程

直接證明是從命題的條件或結論出發，根據已知的定義、公理、定理，直接推證結論的真實性。常用的直接證明方法有綜合法與分析法。

綜合法是從原因推導到結果的思維方法，而分析法是一種從結果追溯到產生這一結果的原因的思維方法。具體地說，綜合法是從已知條件出法，經過逐步的推理，最后達到待證結論。分析法則是從待證結論出法，一步一步尋求結論成立的充分條件，最后達到題設的已知條件或已被證明的事實。

1.教學實例：

123???2例1log519log319log219 1證明：因為 logb?a

左式=log 195?2log 193?3log 192?log 19360l

因為log 19360?log 19361?

2所以 1?2?3?

2log519log319log219

這個證明就是從已知條件出法，進行簡單的運算和推理，得到要證明的結論，其中要用到一些已經證明的命題。

例2．如圖，設四面體PABC中, ∠ABC=90°，PA=PB=PC，D中點，求證：PD 垂直于△ABC 所在的平面。

證明：連接PD，BD，因為BD 是Rt△ABC 斜邊上的中線，所以DA=DB=DC，又因為PA=PB=PC，而PD 是△PDA、△PBD、△PCD 的公共邊，所以△PDA≌△PBD≌△PCD，于是∠PDA=∠PDB=∠PDC，而∠PDA=∠PDC=90°，可見PD⊥AC，PD⊥BD，由此可知，PD 垂直于△ABC 所在的平面。

這個證明的步驟是：

（1）由已知BD 是Rt△ABC 斜邊上的中線，推出DA=DB=DC，記為P0(已知)?P1；

（2）由DA=DB=DC，和已知條件，推出三個三角形全等，記為P1?P2；

（3）由三個三角形全等，推出∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°，記為P2?P3；

（4）由∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°，推出PD 垂直于△ABC 所在的平面，記為P3?P4(結論)； logba

這個證明步驟用符號表示就是P0(已知)?P1?P2?P3?P4(結論).2．分析法

例3

??證明：因為3?

7和2

只需證明?7）?(25)

展開得10 + 2 22??21 < 20，即21 < 5，只需證明21<25，因為21<25成立，所以不等式?7?2成立。

分析法證明的邏輯關系是：B(結論)?Bl ?B2 ? ?? ?Bn ?A(已知).在分析法證明中，從結論出發的每一個步驟所得到的判斷都是結論成立的充分條件，最后一步歸結到已被證明的事實。因此從最后一步可以倒推回去，直到結論，但這個倒推過程可以省略。

例4．求證：當一個圓與一個正方形的周長相等時，這個圓的面積比正方形的面積大。

?L??L?證明：設圓和正方形的周長為L，依題意，圓的面積為???，正方形的面積為??。?4??2??

?L??L?因此本題只需證明???>??，2????4?2222

?L2L2

?為了證明上式成立，只需證明, 164?2

兩邊同乘以正數411，得? 2?4L

22?L??L?因為上式是成立的，所以???>?? 2????4?

這就證明了如果一個圓與一個正方形的周長相等，那么這個圓的面積比這個正方形的面積大。

從前面的例子可以看出，分析法的特點是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實際上是要尋找它的充分條件。綜合法的特點是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實際上是尋找它的必要條件，分析法與綜合法各有其特點。有些具體的待證命題，用分析法和綜合法都可以證出來，人們往往選擇比較簡單的一種。從以上幾中可以看出，分析法解題方向較為明確，利于尋找解題思路，綜合法解題條理清晰，易于表述。因此，在實際解題時，通常以分析法為主尋找思路，再用綜合法有條理地表述解題過程

3．小結：

（1）分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數學解題中，分析法是從數學題的待證結論或需求問題出發，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件。綜合法則是

從數學題的（2）已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現為執果索因，綜合法表現為由果導因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應用十分廣泛。