第一篇：高中數學《2.2.1綜合法和分析法》導學案 新人教A版選修1-2

§2.2.1綜合法和分析法(二)

.2.根據問題的特點，結合分析法的思考過程、特點，選擇適當的證明方法.4850

復習1：綜合法是由導;

復習2：基本不等式:

二、新課導學

※ 學習探究

探究任務一：分析法

問題：

a?b如何證明基本不等式?(a?0,b?0)

2新知：從要證明的結論出發，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.反思：框圖表示

要點：逆推證法；執果索因

※ 典型例題

例

1變式：求證

小結：證明含有根式的不等式時,用綜合法比較困難,所以我們常用分析法探索證明的途徑.例2 在四面體S?ABC中,SA?面ABC,AB?BC,過A作SB的垂線,垂足為E,過E作SC的垂線,垂足為F,求證AF?SC.變式：設a,b,c為一個三角形的三邊,s?1

2(a?b?c),且s2?2ab,試證s?2a.小結：用題設不易切入,要注意用分析法來解決問題.※ 動手試試

練1.求證:當一個圓和一個正方形的周長相等時,圓的面積比正方形的面積大.練2.設a, b, c是的△ABC三邊，S

是三角形的面積，求證：c2?a2?b2?4ab?

三、總結提升

※ 學習小結

分析法由要證明的結論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到所有的已知P都成立.※ 知識拓展

證明過程中分析法和綜合法的區別:

在綜合法中,每個推理都必須是正確的,每個推論都應是前面一個論斷的必然結果,因此語氣必須是肯定的.分析法中,首先結論成立,依據假定尋找結論成立的條件，這樣從結論一直到已知條件.※ 自我評價 你完成本節導學案的情況為（）.A.很好B.較好C.一般D.較差

※ 當堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分：

1.,其中最合理的是

A.綜合法B.分析法C.反證法D.歸納法

ba2.不等式①x2?3?3x;②??2,其中恒成立的是 ab

A.①B.②C.①②D.都不正確

3.已知y?x?0,且x?y?1,那么

x?yx?yA.x??y?2xyB.2xy?x??y 22

x?yx?yC.x??2xy?yD.x?2xy??y 22

2224.若a,b,c?R,則a?b?cab?bc?ac.5.將a千克的白糖加水配制成b千克的糖水(b?a?0),則其濃度為;若再加入m千克的白糖(m?0),糖水更甜了,根據這一生活常識提煉出一個常見的不等式:.1.已知a?b?0,(a?b)2a?b(a?b)2

求證

:.?8a28b

2.設a,b?R?,且a?b,求證:a3?b3?a2b?ab2

第二篇：高中數學《2.2.1綜合法和分析法》導學案2_新人教A版選修1-2

§2.2.1綜合法和分析法（3）

學習目標：1.能結合已經學過的數學示例,了解綜合法和分析法的思考過程和特點;

2.學會用綜合法和分析法證明實際問題,并理解分析法和綜合法之間的內在聯系;3.養成勤于觀察、認真思考的數學品質.復習1：綜合法是由導;2：分析法是由索.新課導學：綜合法和分析法的綜合運用

問題：已知?,??k???

2(k?Z),且sin??cos??2sin?,sin??cos??sin

2?, 求證:1?tan2?1?tan2??1?tan2?

2(1?tan2?).新知：用P表示已知條件、定義、定理、公理等，用Q表示要證明的結論，則上述過程可用框圖表示為：

試試：已知tan??sin??a,tan??sin??b，求證：(a2?b2)2?16ab.反思：在解決一些復雜、技巧性強的題目時，我們可以把綜合法和分析法結合使用.例1： 已知A,B都是銳角，且A?B??

2，(1?tanA)(1?tanB)?2，求證：A?B?45?

變式：已知

1?tan?

2?tan?

?1，求證：3sin2???4cos2?.小結：牢固掌握基礎知識是靈活應用兩種方法證明問題的前提，本例中，三角公式發揮著重要作用.例2 在四面體P?ABC中，PD??ABC，AC?BC，D是AB的中點，求證：AB?PC.變式：如果a,b?0，則lga?blga?lgb

2?

2.總結提升：學習小結

綜合法是“由因導果”，而分析法是“執果索因”，它們是截然相反的兩種證明方法，分析法便于我們去尋找思路，而綜合法便于過程的敘述，兩種方法各有所長，在解決問題的問題中，綜合運用，效果會更好，綜合法與分析法因其在解決問題中的作用巨大而受命題者的青睞，在歷年的高考中均有體現，成為高考的重點和熱點之一

.小結：本題可以單獨使用綜合法或分析法進行證明.※ 動手試試

練1.設實數a,b,c成等比數列，非零實數x,y分別為a與b，b與c的等差中項，求證

ax?c

y

?2.練2.已知A?B?54?，且A,B?k???

(k?Z)，求證：(1?tanA)(1?tanB)?2.三、總結提升 ※ 學習小結

1.直接證明包括綜合法和分析法.2.比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進行書寫；或者聯合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結論之間的距離，找到溝通已知條件和結論的途徑

.※ 知識拓展

綜合法是“由因導果”，而分析法是“執果索因”，它們是截然相反的兩種證明方法，分析法便于我們去尋找思路，而綜合法便于過程的敘述，兩種方法各有所長，在解決問題的問題中，綜合運用，效果會更好，綜合法與分析法因其在解決問題中的作用巨大而受命題者的青睞，在歷年的高考中均有體現，成為高考的重點和熱點之一.※ 自我評價 你完成本節導學案的情況為（）.A.很好B.較好C.一般D.較差

※ 當堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分： 1.給出下列函數①y?x?x3，②y?xsinx?cosx,③y?sinxcosx,④y?2x?2?x,其中是偶函數的有（）.A．1個B．2個C．3 個D．4個

2.m、n是不同的直線，?,?,?是不同的平面，有以下四個命題（）.①???//???//???//? ；②?????

?m//??m??③??m???m//n

?m//????? ；④??

n???m//?

其中為真命題的是（）A．①④B.①③C．②③D．②④

3.下列結論中，錯用基本不等式做依據的是（）.A．a，b均為負數，則ab?b

a

?

2B

?2 C．lgx?logx10?2

D．a?R?,(1?a)(1?

1a)?

44.設α、β、r是互不重合的平面，m，n是互不重合的直線，給出四個命題： ①若m⊥α，m⊥β，則α∥β②若α⊥r，β⊥r，則α∥β

③若m⊥α，m∥β，則α⊥β④若m∥α，n⊥α，則m⊥n 其中真命題是.5.已知p:2x?3?1,q:x(x?3)?0, 則p是q的條件.1.已知a,b,c?R?，a,b,c互不相等且abc?

1.?

1a?11b?c

.2.已知a,b,c,d都是實數，且a2?b2?1,c2?d2?1，求證：|ac?bc|?1.

第三篇：高中數學：2.2.1《綜合法和分析法》教案(新人教A版選修2-2)

數學：2.2.1《綜合法和分析法》教案

教學目標：

（一）知識與技能：

結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點。

（二）過程與方法:培養學生的辨析能力和分析問題和解決問題的能力；

（三）情感、態度與價值觀：

通過學生的參與，激發學生學習數學的興趣。

第一課時2.2.1綜合法和分析法

（一）教學要求：結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點.教學重點：會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程.教學難點：根據問題的特點，結合綜合法的思考過程、特點，選擇適當的證明方法.教學過程：

一、復習準備：

11??4”，試請此結論推廣猜想.aa11112?....?? n2）（答案：若a1,a2.......an?R?，且a1?a2?....?an?1，則?a1a2an1112.已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：???9.abc先完成證明 → 討論：證明過程有什么特點？ 1.已知 “若a1,a2?R?，且a1?a2?1，則

二、講授新課：

1.教學例題：

① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正數，求證：a(b2 + c2)+ b(c2 + a2)+ c(a2 + b2)> 6abc.分析：運用什么知識來解決？（基本不等式）→板演證明過程（注意等號的處理）→ 討論：證明形式的特點

② 提出綜合法：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立.框圖表示：要點：順推證法；由因導果.③ 練習：已知a，b，c是全不相等的正實數，求證

④ 出示例2：在△ABC中，三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數列，a、b、c成等比數列.求證：為△ABC等邊三角形.分析：從哪些已知，可以得到什么結論？ 如何轉化三角形中邊角關系？

→ 板演證明過程→ 討論：證明過程的特點.→ 小結：文字語言轉化為符號語言；邊角關系的轉化；挖掘題中的隱含條件（內角和）

2.練習：

① A,B

為銳角，且tanA?tanBb?c?aa?c?ba?b?c???3.abctanAtanBA?B?60?.（提示：算3tan(A?B)）

② 已知a?b?c, 求證：

3.小結：綜合法是從已知的P出發，得到一系列的結論Q1,Q2,???，直到最后的結論是Q.運用綜合法可以解決不等式、數列、三角、幾何、數論等相關證明問題.三、鞏固練習：

1.求證：對于任意角θ，cos4??sin4??cos2?.（教材P100 練習1題）

（兩人板演 → 訂正 → 小結：運用三角公式進行三角變換、思維過程）

2.?ABC的三個內角A,B,C成等差數列，求證：

3.作業：教材P102A組 2、3題.第二課時2.2.1綜合法和分析法

（二）教學要求：結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點.教學重點：會用分析法證明問題；了解分析法的思考過程.教學難點：根據問題的特點，選擇適當的證明方法.教學過程：

一、復習準備：

1.提問：基本不等式的形式？

2.討論：如何證明基本不等式

二、講授新課：

1.教學例題：

① 出示例

1?

討論：能用綜合法證明嗎？ → 如何從結論出發，尋找結論成立的充分條件？→ 板演證明過程（注意格式）

→ 再討論：能用綜合法證明嗎？→ 比較：兩種證法

② 提出分析法：從要證明的結論出發，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.框圖表示：

2114??.a?bb?ca?c113.??a?bb?ca?b?c（討論 → 板演 → 分析思維特點：從結論出發，一步步探求結論成立的充分條件）a?b(a?0,b?0).2要點：逆推證法；執果索因.1223133③ 練習：設x > 0，y > 0，證明不等式：(x?y)?(x?y).先討論方法 → 分別運用分析法、綜合法證明.④ 出示例2：見教材P97.討論：如何尋找證明思路？（從結論出發，逐步反推）⑤ 出示例3：見教材P99.討論：如何尋找證明思路？（從結論與已知出發，逐步探求）

2.練習：證明：通過水管放水，當流速相等時，如果水管截面（指橫截面）的周長相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大.ll，截面積為?()2，周長為l2?2?ll2l2l2的正方形邊長為，截面積為()，問題只需證：?()>().442?

43.小結：分析法由要證明的結論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到提示：設截面周長為l，則周長為l的圓的半徑為

所有的已知P都成立；

比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進行書寫；或者聯合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結論之間的距離，找到溝通已知條件和結論的途徑.（框圖示意）

三、鞏固練習：

1.設a, b, c是的△ABC三邊，S

是三角形的面積，求證：c2?a2?b2?4ab?.略證：正弦、余弦定理代入得：?2abcosC?4ab?sinC，即證：2?cosC?

CC?cosC?2，即證：sin(C?

2.作業：教材P100 練習2、3題.第三課時2.2.2反證法

教學要求：結合已經學過的數學實例，了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點.教學重點：會用反證法證明問題；了解反證法的思考過程.教學難點：根據問題的特點，選擇適當的證明方法.教學過程：

一、復習準備：

1.討論：三枚正面朝上的硬幣，每次翻轉2枚，你能使三枚反面都朝上嗎？（原因：偶次）

2.提出問題：平面幾何中，我們知道這樣一個命題：“過在同一直線上的三點A、B、C不能作圓”.討論如何證明這個命題？

3.給出證法：先假設可以作一個⊙O過A、B、C三點，則O在AB的中垂線l上，O又在BC的中垂線m上，即O是l與m的交點。

但 ∵A、B、C共線，∴l∥m(矛盾)

∴ 過在同一直線上的三點A、B、C不能作圓.二、講授新課：

1.教學反證法概念及步驟：

① 練習：仿照以上方法，證明：如果a>b>0，那么a?

② 提出反證法：一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立.證明基本步驟：假設原命題的結論不成立 → 從假設出發，經推理論證得到矛盾 → 矛盾的原因是假設不成立，從而原命題的結論成立

應用關鍵：在正確的推理下得出矛盾（與已知條件矛盾，或與假設矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等）.方法實質：反證法是利用互為逆否的命題具有等價性來進行證明的，即由一個命題與其逆否命題同真假，通過證明一個命題的逆否命題的正確，從而肯定原命題真實.注：結合準備題分析以上知識.2.教學例題：

?6)?1（成立）.① 出示例1：求證圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分.分析：如何否定結論？ → 如何從假設出發進行推理？ → 得到怎樣的矛盾？

與教材不同的證法：反設AB、CD被P平分，∵P不是圓心，連結OP，則由垂徑定理：OP?AB，OP?CD，則過P有兩條直線與OP垂直（矛盾），∴不被P平分.② 出示例2：

.（同上分析 → 板演證明，提示：有理數可表示為m/n）

m/n（m,n為互質正整數），從而：(m/n)2?3，m2?3n2，可見m是3的倍數.設m=3p（p是正整數），則 3n2?m2?9p2，可見n 也是3的倍數.這樣，m, n就不是互質的正整數（矛盾）.m/n.③ 練習：如果a?1為無理數，求證a是無理數.提示：假設a為有理數，則a可表示為p/q（p,q為整數），即a?p/q.由a?1?(p?q)/q，則a?1也是有理數，這與已知矛盾.∴ a是無理數.3.小結：反證法是從否定結論入手，經過一系列的邏輯推理，導出矛盾，從而說明原結論正確.注意證明步驟和適應范圍（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的問題）

三、鞏固練習： 1.練習：教材P1021、2題2.作業：教材P102A組4題.

第四篇：選修2-2§2.2.1綜合法與分析法

人教版數學選修精品——推理與證明

§2.2.1直接證明--綜合法與分析法

1．教學目標：

知識與技能：結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點。

過程與方法: 多讓學生舉命題的例子，培養他們的辨析能力；以及培養他們的分析問題和解決問題的能力；

情感、態度與價值觀：通過學生的參與，激發學生學習數學的興趣。

2．教學重點：了解分析法和綜合法的思考過程、特點

3．教學難點：分析法和綜合法的思考過程、特點

4．教具準備：與教材內容相關的資料。

5．教學設想：分析法和綜合法的思考過程、特點.“變形”是解題的關鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。

6．教學過程:

學生探究過程：

合情推理分歸納推理和類比推理，所得的結論的正確性是要證明的，數學中的兩大基本證明方法-------直接證明與間接證明。

若要證明下列問題：

已知a,b>0,求證a(b2?c2)?b(c2?a2)?4abc

教師活動：給出以上問題，讓學生思考應該如何證明，引導學生應用不等式證明。教師最后歸結證明方法。

學生活動：充分討論，思考，找出以上問題的證明方法

設計意圖：引導學生應用不等式證明以上問題，引出綜合法的定義

證明:因為b2?c2?2bc,a?0,所以a(b2?c2)?2abc,因為c?a?2ac,b?0,所以b(c?a)?2abc.因此, a(b?c)?b(c?a)?4abc.P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等,Q表示要證明的結論

1.綜合法

綜合法：利用某些已經證明過的不等式（例如算術平均數與幾何平均數定理）和不等式用綜合法證明不等式的邏輯關系是： 2222222

2?P?Q1??(Q1?Q2)??Q2?Q3??.....??Qn?Q?

綜合法的思維特點是：由因導果，即由已知條件出發，利用已知的數學定理、性質和公例

1、在△ABC中,三個內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數列, a,b,c成等比數列,求證△ABC為等邊三角形.分析：將 A , B , C 成等差數列，轉化為符號語言就是2B =A + C;A , B , C為△ABC的內角，這是一個隱含條件，明確表示出來是A + B + C =?； a , b，c成等比數列，轉化為符號語言就是b?ac．此時，如果能把角和邊統一起來，那么就可以進一步尋找角和邊之

2間的關系，進而判斷三角形的形狀，余弦定理正好滿足要求．于是，可以用余弦定理為工具進行證明．

證明：由 A, B, C成等差數列，有 2B=A + C ． ①

因為A,B,C為△ABC的內角，所以A + B + C=?． ⑧

?由①②，得B=.3由a, b，c成等比數列，有b2?ac.由余弦定理及③，可得

b?a?c?2accosB?a?c?ac.22222

再由④，得a2?c2?ac?ac.2(a?c)?0,因此a?c.從而A=C.由②③⑤，得 ?A=B=C=.3

所以△ABC為等邊三角形．

解決數學問題時，往往要先作語言的轉換，如把文字語言轉換成符號語言，或把符號語言轉換成圖形語言等．還要通過細致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來．

2.分析法

證明數學命題時，還經常從要證的結論 Q 出發，反推回去，尋求保證Q 成立的條件，即使Q成立的充分條件P1，為了證明P1成立，再去尋求P1成立的充分條件P2，為了證明P2成立，再去尋求P2成立的充分條件P3······直到找到一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止。

分析法：證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的條件，把證明不等式轉化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么用分析法證明不等式的邏輯關系是：

?Q?P1??(P1?P2).....?(Pn?1?Pn)??Pn?P?

分析法的思維特點是：分析法的書寫格式：

要證明命題B為真，只需要證明命題B1為真，從而有??

這只需要證明命題B2為真，從而又有??

??

這只需要證明命題A而已知A為真，故命題B例

3、求證3?

證明：因為3?只需證明(3?7?25 7和25都是正數，所以為了證明3?7)?(25)227?25 展開得10?221?20

即221?10,21?2

5因為21?25成立，所以

(3?227)?(25)成立 即證明了3?7?25

說明：①分析法是“執果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，它與綜合法是對立②分析法論證“若A則B”這個命題的模式是：為了證明命題B為真，這只需要證明命題B1為真，從而有??

這只需要證明命題B2為真，從而又有??

這只需要證明命題A為真

而已知A為真，故B必真

在本例中，如果我們從“21<25 ”出發，逐步倒推回去，就可以用綜合法證出結論。但由于我們很難想到從“21<25”入手，所以用綜合法比較困難。

事實上，在解決問題時，我們經常把綜合法和分析法結合起來使用：根據條件的結構特

‘‘點去轉化結論，得到中間結論Q；根據結論的結構特點去轉化條件，得到中間結論 P．若

由P‘可以推出Q‘成立，就可以證明結論成立．下面來看一個例子．

?例4 已知?,??k??(k?Z)，且

2sin??cos??2sin?①

sin?cos??sin?②2

求證：1?tan?

1?tan?22?1?tan?2(1?tan?)22。

分析：比較已知條件和結論，發現結論中沒有出現角?，因此第一步工作可以從已知條件中消去?.觀察已知條件的結構特點，發現其中蘊含數量關系

2222(sin??cos?)?2sin?cos??1，于是，由 ①一2×② 得4sin??2sin??1．把

4sin??2sin??1與結論相比較，發現角相同，但函數名稱不同，于是嘗試轉化結論：22

統一函數名稱，即把正切函數化為正（余）弦函數．把結論轉化為cos??sin??

cos??sin??222212

12(cos??sin?),再與4sin??2sin??1比較，發現只要把c(os??222222sin?中的角的余弦轉化為正弦，就能達到目的．)2證明：因為(sin??cos?)?2sin?cos??1，所以將 ① ② 代入，可得 4sin??2sin??1.③ 2

另一方面，要證

sin?21?tan?1?tan?22?21?tan?2(1?tan?)22 1?

即證

1??2sin?

cos?

2221?2(1?sin?cos?sin?cos?1

2222，)222即證cos??sin??

即證1?2sin??

22(cos??sin?)，2122(1?2sin?)，即證4sin??2sin??1。

由于上式與③相同，于是問題得證。

課堂小結：直接證明的兩種方法-綜合法和分析法

課后作業：第91頁A組 2,3教學反思：本節課學習了分析法和綜合法的思考過程、特點.“變形”是解題的關鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。

分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數學解題中，分析法是從數學題的待證結論或需求問題出發，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件。綜合法則是從數學題的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現為執果索因，綜合法表現為由果導因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應用十分廣泛。

首先，介紹為什么要引入證明，以及經常用的兩種證明方法，主要介紹的是直接證明的兩種方法。然后具體講解綜合法和分析法并舉例說明，強調分析法的步驟以及兩者的區別。最后舉一個兩種方法綜合使用的例子

例

1、已知a，b，c是不全相等的正數，求證：

222222a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)?6abc

證明：∵b2?c2≥2bc,a＞0,∴a(b2?c2)≥2abc①

同理 b(c2?a2)≥2abc②

c(a?b)≥2abc③ 2

2因為a，b，c不全相等，所以b2?c2≥2bc, c2?a2≥2ca, a2?b2≥2ab三式不能全取“=”號，從而①、②、③三式也不能全取“=∴a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?6abc

例

2、已知a，b，c都是正數，且a，b，c成等比數列，求證：a2?b2?c2?(a?b?c)

2證明：左－右=2（ab+bc－ac）

∵a，b，c成等比數列，∴b2?ac

又∵a，b，c都是正數，所以0?b?

∴a?c?b

∴2(ab?bc?ac)?2(ab?bc?b)?2b(a?c?b)?0

∴a?b?c?(a?b?c)

2422例

3、若實數x?1，求證：3(1?x?x)?(1?x?x).22222ac≤a?c2?a?c

證明：采用差值比較法：

3(1?x?x)?(1?x?x)242

2=3?3x?3x?1?x?x?2x?2x?2x

43=2(x?x?x?1)

=2(x?1)(x?x?1)=2(x?1)[(x?224242322

12)?

2234].1

2)?2?x?1,從而(x?1)?0,且(x?

4]?0,2234?0, ∴2(x?1)[(x?24212)?2∴3(1?x?x)?(1?x?x).例

4、已知a,b,c,d∈R,求證:ac+bd≤(a2?b2)(c2?d2)

分析一:用分析法

證法一:(1)當ac+bd≤0時,(2)當ac+bd>0時,欲證原不等式成立,只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

222222222222即證ac+2abcd+bd≤ac+ad+bc+bd

即證2abcd≤b2c2+a2d

22即證0≤(bc-ad)

因為a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,綜合(1)、(2)可知:分析二:用綜合法

***22222證法二:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd=(ac+2abcd+bd)+(bc-2abcd+ad)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2 ∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+分析三:用比較法

證法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 ∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd

例

5、設a、b是兩個正實數，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．

證明：(用分析法思路書寫)

要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a-ab+b)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需證a-2ab+b＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0顯然成立，由此命題得證。(以下用綜合法思路書寫)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由題設條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab

3322即a+b＞ab+ab，由此命題得證.2222

第五篇：數學選修2-2教案：2.2.1綜合法和分析法、2.2.2反證法

綜合法和分析法

教學要求：結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點.教學重點：會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程.教學難點：根據問題的特點，結合綜合法的思考過程、特點，選擇適當的證明方法.教學過程：

一、復習準備：

1.已知 “若a1,a2?R?，且a1?a2?1，則

1a

1?1a

2，試請此結論推廣猜想.?4”

1a1

?1a2

?....?

1an

2? n）

（答案：若a1,a2.......an?R?，且a1?a2?....?an?1，則2.已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：

1a?1b?1c?9.先完成證明 → 討論：證明過程有什么特點？

二、講授新課： 1.教學例題：

① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正數，求證：a(b2 + c2)+ b(c2 + a2)+ c(a2 + b2)> 6abc.分析：運用什么知識來解決？（基本不等式）→板演證明過程（注意等號的處理）→ 討論：證明形式的特點

② 提出綜合法：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立.框圖表示：

要點：順推證法；由因導果.b?c?a

a

?

a?c?b

b

?

a?b?c

c

?3.③ 練習：已知a，b，c是全不相等的正實數，求證

④ 出示例2：在△ABC中，三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數列，a、b、c成等比數列.求證：為△ABC等邊三角形.分析：從哪些已知，可以得到什么結論？ 如何轉化三角形中邊角關系？→ 板演證明過程→ 討論：證明過程的特點.→ 小結：文字語言轉化為符號語言；邊角關系的轉化；挖掘題中的隱含條件（內角和）2.練習：

?

① A,B為銳角，且tanA?tanB?AtanB?求證：（提示：算tan(A?B)）A?B?60.② 已知a?b?c, 求證：

1a?b

?

1b?c

?

4a?c

.3.小結：綜合法是從已知的P出發，得到一系列的結論Q1,Q2,???，直到最后的結論是Q.運用綜合法可以解決不等式、數列、三角、幾何、數論等相關證明問題.三、鞏固練習：

1.求證：對于任意角θ，cos4??sin4??cos2?.（教材P52 練習1題）（兩人板演 → 訂正 → 小結：運用三角公式進行三角變換、思維過程）2.?ABC的三個內角A,B,C成等差數列，求證：3.作業：教材P54A組 1題.1a?b

?

1b?c

?

3a?b?c

.第二課時2.2.1綜合法和分析法

（二）教學要求：結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點.教學重點：會用分析法證明問題；了解分析法的思考過程.教學難點：根據問題的特點，選擇適當的證明方法.教學過程：

一、復習準備：

1.提問：基本不等式的形式？

2.討論：如何證明基本不等式a?b

2?(a?0,b?0).（討論 → 板演 → 分析思維特點：從結論出發，一步步探求結論成立的充分條件）

二、講授新課：

1.教學例題：

① 出示例

1??

討論：能用綜合法證明嗎？ → 如何從結論出發，尋找結論成立的充分條件？

→ 板演證明過程（注意格式）

→ 再討論：能用綜合法證明嗎？→ 比較：兩種證法

② 提出分析法：從要證明的結論出發，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.框圖表示：

22要點：逆推證法；執果索因.1331③ 練習：設x > 0，y > 0，證明不等式：(x?y)2?(x?y)3.先討論方法 → 分別運用分析法、綜合法證明.④ 出示例4：見教材P48.討論：如何尋找證明思路？（從結論出發，逐步反推）⑤ 出示例5：見教材P49.討論：如何尋找證明思路？（從結論與已知出發，逐步探求）

2.練習：證明：通過水管放水，當流速相等時，如果水管截面（指橫截面）的周長相等，那么截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：設截面周長為l，則周長為l的圓的半徑為

形邊長為l4ll2?，截面積為?(l22)>().2?4ll2?)，周長為l的正方2，截面積為()2，問題只需證：?（43.小結：分析法由要證明的結論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到所有的已知P都成立；

比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進行書寫；或者聯合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結論之間的距離，找到溝通已知條件和結論的途徑.（框圖示意）

三、鞏固練習：

2221.設a, b, c是的△ABC三邊，S

是三角形的面積，求證：c?a?b?4ab?.略證：正弦、余弦定理代入得：?2abcosC?4ab?sinC，即證：2?cosC?

CC?cosC?2，即證：sin(C?

2.作業：教材P52 練習2、3題.?6)?1（成立）.第三課時2.2.2反證法

教學要求：結合已經學過的數學實例，了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點.教學重點：會用反證法證明問題；了解反證法的思考過程.教學難點：根據問題的特點，選擇適當的證明方法.教學過程：

一、復習準備：

1.討論：三枚正面朝上的硬幣，每次翻轉2枚，你能使三枚反面都朝上嗎？（原因：偶次）

2.提出問題：平面幾何中，我們知道這樣一個命題：“過在同一直線上的三點A、B、C不能作圓”.討論如何證明這個命題？

3.給出證法：先假設可以作一個⊙O過A、B、C三點，則O在AB的中垂線l上，O又在BC的中垂線m上，即O是l與m的交點。

但 ∵A、B、C共線，∴l∥m(矛盾)

∴ 過在同一直線上的三點A、B、C不能作圓.二、講授新課：

1.教學反證法概念及步驟： A① 練習：仿照以上方法，證明：如果a>b>0，那么a?b

② 提出反證法：一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立.證明基本步驟：假設原命題的結論不成立 → 從假設出發，經推理論證得到矛盾 → 矛盾的原因是假設不成立，從而原命題的結論成立

應用關鍵：在正確的推理下得出矛盾（與已知條件矛盾，或與假設矛盾，或與定義、公理、定理、事實矛盾等）.方法實質：反證法是利用互為逆否的命題具有等價性來進行證明的，即由一個命題與其逆否命題同真假，通過證明一個命題的逆否命題的正確，從而肯定原命題真實.注：結合準備題分析以上知識.2.教學例題：

① 出示例1：求證圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分.分析：如何否定結論？ → 如何從假設出發進行推理？ → 得到怎樣的矛盾？

與教材不同的證法：反設AB、CD被P平分，∵P不是圓心，連結OP，則由垂徑定理：OP?AB，OP?CD，則過P有兩條直線與OP垂直（矛盾），∴不被P平分.② 出示例

2.（同上分析 → 板演證明，提示：有理數可表示為m/n）

?m/n（m,n為互質正整數），從而：(m/n)2?3，m2?3n2，可見m是3的倍數.設m=3p（p是正整數），則 3n2?m2?9p2，可見n 也是3的倍數.這樣，m, n就不是互質的正整數（矛盾）.m/n.③ 練習：如果a?1為無理數，求證a是無理數.提示：假設a為有理數，則a可表示為p/q（p,q為整數），即a?p/q.由a?1?(p?q)/q，則a?1也是有理數，這與已知矛盾.∴ a是無理數.3.小結：反證法是從否定結論入手，經過一系列的邏輯推理，導出矛盾，從而說明原結論正確.注意證明步驟和適應范圍（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的問題）

三、鞏固練習： 1.練習：教材P541、2題2.作業：教材P54A組3題.