第一篇：《步步高 學案導學設計》2013-2014學年 高中數學人教B版選修2-2綜合法與分析法(一)

§2.2 直接證明與間接證明

2.2.1 綜合法與分析法(一)

一、基礎過關

1．已知a，b，c∈R，那么下列命題中正確的是

A．若a>b，則ac2>bc

2abB．若a>b cc

11C．若a3>b3且ab<0，則> ab

11D．若a2>b2且ab>0，則 ab

2．A、B為△ABC的內角，A>B是sin A>sin B的A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．即不充分也不必要條件

3．已知直線l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，給出下列四個命題：①若α∥β，則l⊥m；②若l⊥m，則α∥β；③若α⊥β，則l⊥m；④若l∥m，則α⊥β.其中正確命題的個數是()

A．

1C．

3＋()()B．2 D．4()4．設a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，則必有

a2＋b2A．1≤ab≤

2a2＋b2C．ab<<12a2＋b2B．ab<1< 2a2＋b2D.ab<1 2

ab5．已知a，b為非零實數，則使不等式：＋2成立的一個充分不必要條件是()ba

A．ab>0

B．ab<0 D．a>0，b>0 C．a>0，b<0

二、能力提升

16．設0

A．aB．b()

C．cD．不能確定

()1117．已知a、b、c∈R，且a＋b＋c＝0，abc>0，則＋的值abc

A．一定是正數

C．可能是0B．一定是負數D．正、負不能確定

8．設a＝2，b73，c＝6－2，則a，b，c的大小關系為________．

9．已知p＝a＋1a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，則p、q的大小關系為________． a－

210．如果aa＋b>b＋a，求實數a，b的取值范圍．

11．設a≥b>0，求證：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.11112．已知a>0，－>11＋a>.ba1－b

三、探究與拓展

13．已知a、b、c是不全相等的正數，且0

答案

1．C 2．C 3．B 4．B 5．C 6．C 7．B

8．a>c>b

9．p>q

10．解 aa＋b>b＋a

?a－b>a－b

?aa－b)>ba－b)

?(a－b)(a－b)>0

?(a＋bab)2>0，只需a≠b且a，b都不小于零即可． 即a≥0，b≥0，且a≠b.11．證明 方法一3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)

＝(3a2－2b2)(a－b)．

因為a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，從而(3a2－2b2)(a－b)≥0，所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.方法二 要證3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需證3a2(a－b)－2b2(a－b)≥0，只需證(3a2－2b2)(a－b)≥0，∵a≥b>0.∴a－b≥0,3a2－2b2>2a2－2b2≥0，∴上式成立．

1112．證明 >1及a>0可知0

1＋a>1 1－b

只需證1＋a1－b>1，只需證1＋a－b－ab>1，a－b11只需證a－b－ab>0即>1，abba

這是已知條件，所以原不等式得證．

a＋bb＋ca＋c13．證明 要證logxlogx＋logx

a＋bb＋ca＋c只需證logx()

由已知0abc.222

a＋bb＋c由公式ab>0，bc>0，22a＋c≥ac>0.2又∵a，b，c是不全相等的正數，∴

即a＋bb＋ca＋cabc＝abc.222a＋bb＋ca＋cabc成立． 222

a＋bb＋ca＋c∴log＋loglogxxa＋logxb＋logxc成立． 222

第二篇：《步步高 學案導學設計》2013-2014學年 高中數學人教B版選修2-2數學歸納法

§2.3 數學歸納法

2.3.1 數學歸納法

一、基礎過關

1．某個命題與正整數有關，如果當n＝k(k∈N*)時，該命題成立，那么可推得n＝k＋1時，該命題也成立．現在已知當n＝5時，該命題成立，那么可推導出

A．當n＝6時命題不成立

B．當n＝6時命題成立

C．當n＝4時命題不成立

D．當n＝4時命題成立

2．一個與正整數n有關的命題，當n＝2時命題成立，且由n＝k時命題成立可以推得n＝k＋2時命題也成立，則()()

A．該命題對于n>2的自然數n都成立

B．該命題對于所有的正偶數都成立

C．該命題何時成立與k取值無關

D．以上答案都不對

13．在應用數學歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)條時，第一步驗證n等于()2

A．1B．2C．3D．0

()1114．若f(n)＝1＋＋…＋(n∈N*)，則n＝1時f(n)是232n＋1

A．1

1B.3D．以上答案均不正確

11C．1＋＋2311115．已知f(n)＋ nn＋1n＋2n()

11A．f(n)中共有n項，當n＝2時，f(2)＝ 23

111B．f(n)中共有n＋1項，當n＝2時，f(2)＝＋＋234

11C．f(n)中共有n2－n項，當n＝2時，f(2)23

111D．f(n)中共有n2－n＋1項，當n＝2時，f(2)＝＋ 234

a6．在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝n∈N*)，依次計算a2，a3，a4，歸納推測出an的通項3an＋1

表達式為

2A.4n－3

2C.4n＋3

二、能力提升

7．用數學歸納法證明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，從k到k＋1左端需要增乘的代數式為

A．2k＋1

2k＋1C.k＋1()()2 6n－52D.2－1B．2(2k＋1)2k＋3D.k＋1

1118．已知f(n)(n∈N*)，則f(k＋1)＝f(k)＋______________________.n＋1n＋23n－1

9．用數學歸納法證明：

11112(1－)(1)…(1－＝(n∈N*)． 345n＋2n＋

210．用數學歸納法證明：

－－n?n＋1?12－22＋32－42＋…＋(－1)n1·n2＝(－1)n1(n∈N*)． 2

11．已知數列{an}的第一項a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)，Sn為數列{an}的前n項和．

(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表達式；

(2)用數學歸納法證明{an}的通項公式．

三、探究與拓展

n?n＋1?212．是否存在常數a、b、c，使得等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n＋1)2an＋bn12

＋c)對一切正整數成立？并證明你的結論．

答案

1．B2．B 3．C 4．C5．D 6．B 7．B

11118.＋ 3k3k＋13k＋2k＋1

12229．證明(1)當n＝1時，左邊＝1－，等式成立． 331＋23

11112(2)假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時等式成立，即(1)(1)…(1＝，345k＋2k＋2

那么當n＝k＋1時，1111121(1－)(1－)(1－)…(1－＝(1－345k＋2k＋3k＋2k＋3

＝2?k＋2?2 ?k＋2??k＋3?k＋3

所以當n＝k＋1時等式也成立．

由(1)(2)可知，對于任意n∈N*等式都成立．

10．證明(1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝(－1)11×－1×21，結論成立． 2

(2)假設當n＝k時，結論成立．

－－k?k＋1?即12－22＋32－42＋…＋(－1)k1k2＝(－1)k1 2

那么當n＝k＋1時，12－22＋32－42＋…＋(－1)k1k2＋(－1)k(k＋1)2 －

－k?k＋1?＝(－1)k1(－1)k(k＋1)2 2

－k＋2k＋2＝(－1)k·(k＋ 2

?k＋1??k＋2?＝(－1)k.2

即當n＝k＋1時結論也成立．

由(1)(2)可知，對一切正整數n等式都成立．

11．(1)解 a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，??5?n＝1?猜想an＝?.n－2*?5×2，?n≥2，n∈N??

(2)證明 ①當n＝2時，a2＝5×222＝5，公式成立． －

②假設n＝k(k≥2，k∈N*)時成立，即ak＝5×2k2，－

那么當n＝k＋1時，由已知條件和假設有

ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋a3＋…＋ak

＝5＋5＋10＋…＋5×2k2.－

5?1－2k1?－＝55×2k1.1－2－

故當n＝k＋1時公式也成立．

由①②可知，對n≥2，n∈N*，有an＝5×2n2.－

所以數列{an}的通項公式為

??5?n＝1?an＝?.n－2*?5×2?n≥2，n∈N??

12．解 假設存在a、b、c使上式對n∈N*均成立，則當n＝1,2,3時上式顯然也成立，此時可得

??1?1×2＋2×3＝24a＋2b＋c?，??1×2＋2×3＋3×4＝9a＋3b＋c，2222211×22＝?a＋b＋c?，6

解此方程組可得a＝3，b＝11，c＝10，n?n＋1?下面用數學歸納法證明等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n＋1)2＝×(3n2＋11n＋10)12

對一切正整數均成立．

(1)當n＝1時，命題顯然成立．

(2)假設當n＝k時，命題成立．

k?k＋1?2即1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k＋1)2＝(3k＋11k＋10)，12

則當n＝k＋1時，有

1×22＋2×32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2

＝

＝

＝

＝k?k＋1?2k＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2 12k?k＋1?k＋2)(3k＋5)＋(k＋1)(k＋2)2 12?k＋1??k＋2?2k＋5k＋12k＋24)12?k＋1??k＋2?k＋1)2＋11(k＋1)＋10]． 12

即當n＝k＋1時，等式也成立．

由(1)(2)可知，對任何正整數n，等式都成立．

第三篇：《步步高 學案導學設計》2013-2014學年 高中數學人教B版選修2-3第一章二項式定理

§1.3 二項式定理 1.3.1 二項式定理

一、基礎過關

1．(x＋2)6的展開式中x3的系數是A．20B．40

2x－?6的展開式的常數項是2.?2x??A．20A．33

()A．－5

()A．840

二、能力提升

6．設S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，則S等于A．(x－1)3C．x

3B．(x－2)3 D．(x＋1)3

()

B．－840

C．210

D．－210

B．

5C．－10

D．10

5．(x2y)10的展開式中x6y4項的系數是

B．－20B．29

()

C．80

D．160

()

C．40C．23

D．－40

()

D．19

3．若(1＋2)4＝a＋b2(a、b為有理數)，則a＋b等于4．在(1－x)5－(1－x)6的展開式中，含x3的項的系數是

7．(1＋2x)3(1－x)5的展開式中x的系數是

()A．－

4B．－2

C．2D．4

3x2－n的展開式中含有常數項，則正整數n的最小值為8．在?2x?A．4

B．

5C．6

D．7

()

9．若(1－2x)5的展開式中，第2項小于第1項，且不小于第3項，則x的取值范圍是()

11111

A．x<－B．－

10104104

10．(1＋x＋x2)(x6的展開式中的常數項為________．

x

?x＋2n11.??展開式第9項與第10項二項式系數相等，求x的一次項系數．

x??

12．設a>0，若(1＋n的展開式中含x2項的系數等于含x項的系數的9倍，且展開式中第2

3項等于135x，求a的值．

三、探究與拓展

13．已知f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋4x)n(m，n∈N*)的展開式中含x項的系數為36，求展開式中含

x2項的系數最小值．

答案

1．D 2.B 3.B 4.D 5.A 6.C 7.C8．B 9.B 10.－5

911．解 C8n＝Cn，17－rrr∴n＝17，Tr＋1＝Crx2·x－ 1723

17－rr∴1，∴r＝9，23

9∴T10＝C17·x4·29·x3＝C929·x，17·－

9其一次項系數為C9172.12．解 通項公式為

1rrrrTr＋1＝Cr(ax＝Cax.nn·22

若含x2項，則r＝4，此時的系數為C4a4； n·

若含x項，則r＝2，此時的系數為C2a2.n·

422根據題意，有C4na＝9Cna，22即C4na＝9Cn.①

2又T3＝135x，即有C2na＝135.② 2C49C由①②兩式相除，得Cn135

5結合組合數公式，整理可得3n2－23n＋30＝0，解得n＝6，或n＝(舍去)． 3

將n＝6代入②中，得15a2＝135，∴a2＝9.∵a>0，∴a＝3.1113．解(1＋2x)m＋(1＋4x)n展開式中含x的項為Cm·2x＋C14x＝(2C1n·m＋4Cn)x，1∴2C1m＋4Cn＝36，即m＋2n＝18，(1＋2x)m＋(1＋4x)n展開式中含x2項的系數為

22222t＝C2m2＋Cn4＝2m－2m＋8n－8n，∵m＋2n＝18，∴m＝18－2n，∴t＝2(18－2n)2－2(18－2n)＋8n2－8n

＝16n2－148n＋612

37153n2－＋?，＝16?44??

37∴當nt取最小值，但n∈N*，8

∴n＝5時，t即x2項的系數最小，最小值為272.

第四篇：高中數學《2.2.1綜合法和分析法》導學案 新人教A版選修1-2

§2.2.1綜合法和分析法(二)

.2.根據問題的特點，結合分析法的思考過程、特點，選擇適當的證明方法.4850

復習1：綜合法是由導;

復習2：基本不等式:

二、新課導學

※ 學習探究

探究任務一：分析法

問題：

a?b如何證明基本不等式?(a?0,b?0)

2新知：從要證明的結論出發，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.反思：框圖表示

要點：逆推證法；執果索因

※ 典型例題

例

1變式：求證

小結：證明含有根式的不等式時,用綜合法比較困難,所以我們常用分析法探索證明的途徑.例2 在四面體S?ABC中,SA?面ABC,AB?BC,過A作SB的垂線,垂足為E,過E作SC的垂線,垂足為F,求證AF?SC.變式：設a,b,c為一個三角形的三邊,s?1

2(a?b?c),且s2?2ab,試證s?2a.小結：用題設不易切入,要注意用分析法來解決問題.※ 動手試試

練1.求證:當一個圓和一個正方形的周長相等時,圓的面積比正方形的面積大.練2.設a, b, c是的△ABC三邊，S

是三角形的面積，求證：c2?a2?b2?4ab?

三、總結提升

※ 學習小結

分析法由要證明的結論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到所有的已知P都成立.※ 知識拓展

證明過程中分析法和綜合法的區別:

在綜合法中,每個推理都必須是正確的,每個推論都應是前面一個論斷的必然結果,因此語氣必須是肯定的.分析法中,首先結論成立,依據假定尋找結論成立的條件，這樣從結論一直到已知條件.※ 自我評價 你完成本節導學案的情況為（）.A.很好B.較好C.一般D.較差

※ 當堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分：

1.,其中最合理的是

A.綜合法B.分析法C.反證法D.歸納法

ba2.不等式①x2?3?3x;②??2,其中恒成立的是 ab

A.①B.②C.①②D.都不正確

3.已知y?x?0,且x?y?1,那么

x?yx?yA.x??y?2xyB.2xy?x??y 22

x?yx?yC.x??2xy?yD.x?2xy??y 22

2224.若a,b,c?R,則a?b?cab?bc?ac.5.將a千克的白糖加水配制成b千克的糖水(b?a?0),則其濃度為;若再加入m千克的白糖(m?0),糖水更甜了,根據這一生活常識提煉出一個常見的不等式:.1.已知a?b?0,(a?b)2a?b(a?b)2

求證

:.?8a28b

2.設a,b?R?,且a?b,求證:a3?b3?a2b?ab2

第五篇：《步步高 學案導學設計》2013-2014學年 高中數學人教B版必修4第三章 3.1.1兩角和與差的余弦

第三章 三角恒等變換

§3.1 和角公式

3．1.1 兩角和與差的余弦

一、基礎過關

1． 化簡cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)得

A.21B

()

()

D．－ 12

2． 計算cos 70°cos 335°＋sin 110°sin 25°的結果是

A．

1B.2

3． 若cos(α－β)＝

πA.6

510，cos 2α＝α、β均為銳角且α<β，則α＋β的值為()510πB.43π

45π6

()

→

4． 已知點A(cos 80°，sin 80°)，B(cos 20°，sin 20°)，則|AB|＝

A.2B.2

D．1

π35＋φ?＝－5． 若sin(π＋θ)θ是第二象限角，sin?，φ是第三象限角，則cos(θ－φ)?2?55的值是A．－

()

5525

D.56． 若cos(α－β)＝(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.311

7． 已知cos α－cos β＝sin α－sin β＝－cos(α－β)．

311

8． 已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－，α、β均為銳角，求cos β的值．

4二、能力提升

9． 已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，則cos(α－β)的值是________．

10．已知α、β均為銳角，且sin α11．已知：cos(2α－β)＝－

2cos 50°－3sin 1012．求 cos 10°

三、探究與拓展

π0，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，求β－α的值． 13．已知α、β、γ∈??2510，cos β＝，則α－β的值為________． 51022πππ，sin(α－2β)＝，且<α<，0<β

答案

8591．A 2.B 3.C 4.D 5.B 6.7.372

π0，tan α＝43，8． 解 ∵α∈??2431∴sin α＝，cos α77

11∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)14

3∴sin(α＋β).14

∴cos β＝cos[(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α

11153431－?×＝??14?7147＝2.1ππ9． －10.－11.0 12.1 13.243