選修2-2

1.1

第3課時

導數的幾何意義

一、選擇題

1．如果曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為x＋2y－3＝0，那么()

A．f′(x0)＞0

B．f′(x0)＜0

C．f′(x0)＝0

D．f′(x0)不存在[答案]　B

[解析]　切線x＋2y－3＝0的斜率k＝－，即f′(x0)＝－＜0.故應選B.2．曲線y＝x2－2在點處切線的傾斜角為()

A．1

B.C.π

D．－

[答案]　B

[解析]　∵y′＝li

＝li

(x＋Δx)＝x

∴切線的斜率k＝y′|x＝1＝1.∴切線的傾斜角為，故應選B.3．在曲線y＝x2上切線的傾斜角為的點是()

A．(0,0)

B．(2,4)

C.D.[答案]　D

[解析]　易求y′＝2x，設在點P(x0，x)處切線的傾斜角為，則2x0＝1，∴x0＝，∴P.4．曲線y＝x3－3x2＋1在點(1，－1)處的切線方程為()

A．y＝3x－4

B．y＝－3x＋2

C．y＝－4x＋3

D．y＝4x－5

[答案]　B

[解析]　y′＝3x2－6x，∴y′|x＝1＝－3.由點斜式有y＋1＝－3(x－1)．即y＝－3x＋2.5．設f(x)為可導函數，且滿足

＝－1，則過曲線y＝f(x)上點(1，f(1))處的切線斜率為()

A．2

B．－1

C．1

D．－2

[答案]　B

[解析]

＝

＝－1，即y′|x＝1＝－1，則y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為－1，故選B.6．設f′(x0)＝0，則曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線()

A．不存在B．與x軸平行或重合C．與x軸垂直

D．與x軸斜交

[答案]　B

[解析]　由導數的幾何意義知B正確，故應選B.7．已知曲線y＝f(x)在x＝5處的切線方程是y＝－x＋8，則f(5)及f′(5)分別為()

A．3,3

B．3，－1

C．－1,3

D．－1，－1

[答案]　B

[解析]　由題意易得：f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故應選B.8．曲線f(x)＝x3＋x－2在P點處的切線平行于直線y＝4x－1，則P點的坐標為()

A．(1,0)或(－1，－4)

B．(0,1)

C．(－1,0)

D．(1,4)

[答案]　A

[解析]　∵f(x)＝x3＋x－2，設xP＝x0，∴Δy＝3x·Δx＋3x0·(Δx)2＋(Δx)3＋Δx，∴＝3x＋1＋3x0(Δx)＋(Δx)2，∴f′(x0)＝3x＋1，又k＝4，∴3x＋1＝4，x＝1.∴x0＝±1，故P(1,0)或(－1，－4)，故應選A.9．設點P是曲線y＝x3－x＋上的任意一點，P點處的切線傾斜角為α，則α的取值范圍為()

A.∪

B.∪

C.D.[答案]　A

[解析]　設P(x0，y0)，∵f′(x)＝li

＝3x2－，∴切線的斜率k＝3x－，∴tanα＝3x－≥－.∴α∈∪.故應選A.10．(2010·福州高二期末)設P為曲線C：y＝x2＋2x＋3上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為[0，]，則點P橫坐標的取值范圍為()

A．[－1，－]

B．[－1,0]

C．[0,1]

D．[，1]

[答案]　A

[解析]　考查導數的幾何意義．

∵y′＝2x＋2，且切線傾斜角θ∈[0，]，∴切線的斜率k滿足0≤k≤1，即0≤2x＋2≤1，∴－1≤x≤－.二、填空題

11．已知函數f(x)＝x2＋3，則f(x)在(2，f(2))處的切線方程為________．

[答案]　4x－y－1＝0

[解析]　∵f(x)＝x2＋3，x0＝2

∴f(2)＝7，Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝4·Δx＋(Δx)2

∴＝4＋Δx.∴li

＝4.即f′(2)＝4.又切線過(2,7)點，所以f(x)在(2，f(2))處的切線方程為y－7＝4(x－2)

即4x－y－1＝0.12．若函數f(x)＝x－，則它與x軸交點處的切線的方程為________．

[答案]　y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)

[解析]　由f(x)＝x－＝0得x＝±1，即與x軸交點坐標為(1,0)或(－1,0)．

∵f′(x)＝li

＝li

＝1＋.∴切線的斜率k＝1＋＝2.∴切線的方程為y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)．

13．曲線C在點P(x0，y0)處有切線l，則直線l與曲線C的公共點有________個．

[答案]　至少一

[解析]　由切線的定義，直線l與曲線在P(x0，y0)處相切，但也可能與曲線其他部分有公共點，故雖然相切，但直線與曲線公共點至少一個．

14．曲線y＝x3＋3x2＋6x－10的切線中，斜率最小的切線方程為________．

[答案]　3x－y－11＝0

[解析]　設切點P(x0，y0)，則過P(x0，y0)的切線斜率為，它是x0的函數，求出其最小值．

設切點為P(x0，y0)，過點P的切線斜率k＝＝3x＋6x0＋6＝3(x0＋1)2＋3.當x0＝－1時k有最小值3，此時P的坐標為(－1，－14)，其切線方程為3x－y－11＝0.三、解答題

15．求曲線y＝－上一點P處的切線方程．

[解析]　∴y′＝

＝

＝

＝－－

.∴y′|x＝4＝－－＝－，∴曲線在點P處的切線方程為：

y＋＝－(x－4)．

即5x＋16y＋8＝0.16．已知函數f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一點P(1，－2)，過點P作直線l.(1)求使直線l和y＝f(x)相切且以P為切點的直線方程；

(2)求使直線l和y＝f(x)相切且切點異于點P的直線方程y＝g(x)．

[解析](1)y′＝li

＝3x2－3.則過點P且以P(1，－2)為切點的直線的斜率

k1＝f′(1)＝0，∴所求直線方程為y＝－2.(2)設切點坐標為(x0，x－3x0)，則直線l的斜率k2＝f′(x0)＝3x－3，∴直線l的方程為y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)

又直線l過點P(1，－2)，∴－2－(x－3x0)＝(3x－3)(1－x0)，∴x－3x0＋2＝(3x－3)(x0－1)，解得x0＝1(舍去)或x0＝－.故所求直線斜率k＝3x－3＝－，于是：y－(－2)＝－(x－1)，即y＝－x＋.17．求證：函數y＝x＋圖象上的各點處的切線斜率小于1.[解析]　y′＝li

＝li

＝li

＝li

＝＝1－＜1，∴y＝x＋圖象上的各點處的切線斜率小于1.18．已知直線l1為曲線y＝x2＋x－2在點(1,0)處的切線，l2為該曲線的另一條切線，且l1⊥l2.(1)求直線l2的方程；

(2)求由直線l1、l2和x軸所圍成的三角形的面積．

[解析](1)y′|x＝1

＝li

＝3，所以l1的方程為：y＝3(x－1)，即y＝3x－3.設l2過曲線y＝x2＋x－2上的點B(b，b2＋b－2)，y′|x＝b＝li

＝2b＋1，所以l2的方程為：y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)·(x－b)，即y＝(2b＋1)x－b2－2.因為l1⊥l2，所以3×(2b＋1)＝－1，所以b＝－，所以l2的方程為：y＝－x－.(2)由得

即l1與l2的交點坐標為.又l1，l2與x軸交點坐標分別為(1,0)，.所以所求三角形面積S＝××＝.