選修2-2

1.2

第1課時

幾個常用的函數的導數

一、選擇題

1．下列結論不正確的是()

A．若y＝0，則y′＝0

B．若y＝5x，則y′＝5

C．若y＝x－1，則y′＝－x－2

[答案]　D

2．若函數f(x)＝，則f′(1)等于()

A．0

B．－

C．2

D.[答案]　D

[解析]　f′(x)＝()′＝，所以f′(1)＝＝，故應選D.3．拋物線y＝x2在點(2,1)處的切線方程是()

A．x－y－1＝0

B．x＋y－3＝0

C．x－y＋1＝0

D．x＋y－1＝0

[答案]　A

[解析]　∵f(x)＝x2，∴f′(2)＝li

＝li

＝1.∴切線方程為y－1＝x－2.即x－y－1＝0.4．已知f(x)＝x3，則f′(2)＝()

A．0

B．3x2

C．8

D．12

[答案]　D

[解析]　f′(2)＝

＝

＝

(6Δx＋12)＝12，故選D.5．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，則α的值等于()

A．2

B．－2

C．3

D．－3

[答案]　A

[解析]　若α＝2，則f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2適合條件．故應選A.6．函數y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1處的導數等于()

A．1

B．2

C．3

D．4

[答案]　D

[解析]　∵y＝x3＋x2－x－1

∴＝

＝4＋4Δx＋(Δx)2，∴y′|x＝1＝li

＝li[4＋4·Δx＋(Δx)2]＝4.故應選D.7．曲線y＝x2在點P處切線斜率為k，當k＝2時的P點坐標為()

A．(－2，－8)

B．(－1，－1)

C．(1,1)

D.[答案]　C

[解析]　設點P的坐標為(x0，y0)，∵y＝x2，∴y′＝2x.∴k＝＝2x0＝2，∴x0＝1，∴y0＝x＝1，即P(1,1)，故應選C.8．已知f(x)＝f′(1)x2，則f′(0)等于()

A．0

B．1

C．2

D．3

[答案]　A

[解析]　∵f(x)＝f′(1)x2，∴f′(x)＝2f′(1)x，∴f′(0)＝2f′(1)×0＝0.故應選A.9．曲線y＝上的點P(0,0)的切線方程為()

A．y＝－x

B．x＝0

C．y＝0

D．不存在[答案]　B

[解析]　∵y＝

∴Δy＝－

＝

＝

∴＝

∴曲線在P(0,0)處切線的斜率不存在，∴切線方程為x＝0.10．質點作直線運動的方程是s＝，則質點在t＝3時的速度是()

A.B.C.D.[答案]　A

[解析]　Δs＝－＝

＝

＝

∴li

＝＝，∴s′(3)＝

.故應選A.二、填空題

11．若y＝x表示路程關于時間的函數，則y′＝1可以解釋為________．

[答案]　某物體做瞬時速度為1的勻速運動

[解析]　由導數的物理意義可知：y′＝1可以表示某物體做瞬時速度為1的勻速運動．

12．若曲線y＝x2的某一切線與直線y＝4x＋6平行，則切點坐標是________．

[答案](2,4)

[解析]　設切點坐標為(x0，x)，因為y′＝2x，所以切線的斜率k＝2x0，又切線與y＝4x＋6平行，所以2x0＝4，解得x0＝2，故切點為(2,4)．

13．過拋物線y＝x2上點A的切線的斜率為______________．

[答案]

[解析]　∵y＝x2，∴y′＝x

∴k＝×2＝.14．(2010·江蘇，8)函數y＝x2(x>0)的圖像在點(ak，a)處的切線與x軸的交點的橫坐標為ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，則a1＋a3＋a5的值是________．

[答案]　21

[解析]　∵y′＝2x，∴過點(ak，a)的切線方程為y－a＝2ak(x－ak)，又該切線與x軸的交點為(ak＋1,0)，所以ak＋1＝ak，即數列{ak}是等比數列，首項a1＝16，其公比q＝，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.三、解答題

15．過點P(－2,0)作曲線y＝的切線，求切線方程．

[解析]　因為點P不在曲線y＝上，故設切點為Q(x0，)，∵y′＝，∴過點Q的切線斜率為：＝，∴x0＝2，∴切線方程為：y－＝(x－2)，即：x－2y＋2＝0.16．質點的運動方程為s＝，求質點在第幾秒的速度為－.[解析]　∵s＝，∴Δs＝－

＝＝

∴li

＝＝－.∴－＝－，∴t＝4.即質點在第4秒的速度為－.17．已知曲線y＝.(1)求曲線在點P(1,1)處的切線方程；

(2)求曲線過點Q(1,0)處的切線方程；

(3)求滿足斜率為－的曲線的切線方程．

[解析]　∵y＝，∴y′＝－.(1)顯然P(1,1)是曲線上的點．所以P為切點，所求切線斜率為函數y＝在P(1,1)點導數．

即k＝f′(1)＝－1.所以曲線在P(1,1)處的切線方程為

y－1＝－(x－1)，即為y＝－x＋2.(2)顯然Q(1,0)不在曲線y＝上．

則可設過該點的切線的切點為A，那么該切線斜率為k＝f′(a)＝.則切線方程為y－＝－(x－a)．①

將Q(1,0)坐標代入方程：0－＝(1－a)．

解得a＝，代回方程①整理可得：

切線方程為y＝－4x＋4.(3)設切點坐標為A，則切線斜率為k＝－＝－，解得a＝±，那么A，A′.代入點斜式方程得y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)．整理得切線方程為y＝－x＋或y＝－x－.18．求曲線y＝與y＝x2在它們交點處的兩條切線與x軸所圍成的三角形的面積．

[解析]　兩曲線方程聯立得解得.∴y′＝－，∴k1＝－1，k2＝2x|x＝1＝2，∴兩切線方程為x＋y－2＝0,2x－y－1＝0，所圍成的圖形如上圖所示．

∴S＝×1×＝.