選修2-2

1.2.2

第2課時

基本初等函數的導數公式及導數運算法則

一、選擇題

1．函數y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1處的導數等于()

A．1

B．2

C．3

D．4

[答案]　D

[解析]　y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′

＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.2．若對任意x∈R，f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，則f(x)＝()

A．x4

B．x4－2

C．4x3－5

D．x4＋2

[答案]　B

[解析]　∵f′(x)＝4x3.∴f(x)＝x4＋c，又f(1)＝－1

∴1＋c＝－1，∴c＝－2，∴f(x)＝x4－2.3．設函數f(x)＝xm＋ax的導數為f′(x)＝2x＋1，則數列{}(n∈N*)的前n項和是()

A.B.C.D.[答案]　A

[解析]　∵f(x)＝xm＋ax的導數為f′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，∴數列{}(n∈N*)的前n項和為：

Sn＝＋＋＋…＋

＝＋＋…＋

＝1－＝，故選A.4．二次函數y＝f(x)的圖象過原點，且它的導函數y＝f′(x)的圖象是過第一、二、三象限的一條直線，則函數y＝f(x)的圖象的頂點在()

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

[答案]　C

[解析]　由題意可設f(x)＝ax2＋bx，f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)的圖象是過第一、二、三象限的一條直線，故2a>0，b>0，則f(x)＝a2－，頂點在第三象限，故選C.5．函數y＝(2＋x3)2的導數為()

A．6x5＋12x2

B．4＋2x3

C．2(2＋x3)2

D．2(2＋x3)·3x

[答案]　A

[解析]　∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，∴y′＝6x5＋12x2.6．(2010·江西文，4)若函數f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)＝()

A．－1

B．－2

C．2

D．0

[答案]　B

[解析]　本題考查函數知識，求導運算及整體代換的思想，f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f′(1)＝4a＋2b，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2

要善于觀察，故選B.7．設函數f(x)＝(1－2x3)10，則f′(1)＝()

A．0

B．－1

C．－60

D．60

[答案]　D

[解析]　∵f′(x)＝10(1－2x3)9(1－2x3)′＝10(1－2x3)9·(－6x2)＝－60x2(1－2x3)9，∴f′(1)＝60.8．函數y＝sin2x－cos2x的導數是()

A．2cos

B．cos2x－sin2x

C．sin2x＋cos2x

D．2cos

[答案]　A

[解析]　y′＝(sin2x－cos2x)′＝(sin2x)′－(cos2x)′

＝2cos2x＋2sin2x＝2cos.9．(2010·高二濰坊檢測)已知曲線y＝－3lnx的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標為()

A．3

B．2

C．1

D.[答案]　A

[解析]　由f′(x)＝－＝得x＝3.10．設函數f(x)是R上以5為周期的可導偶函數，則曲線y＝f(x)在x＝5處的切線的斜率為()

A．－

B．0

C.D．5

[答案]　B

[解析]　由題設可知f(x＋5)＝f(x)

∴f′(x＋5)＝f′(x)，∴f′(5)＝f′(0)

又f(－x)＝f(x)，∴f′(－x)(－1)＝f′(x)

即f′(－x)＝－f′(x)，∴f′(0)＝0

故f′(5)＝f′(0)＝0.故應選B.二、填空題

11．若f(x)＝，φ(x)＝1＋sin2x，則f[φ(x)]＝_______，φ[f(x)]＝________.[答案]，1＋sin2

[解析]　f[φ(x)]＝＝

＝|sinx＋cosx|＝.φ[f(x)]＝1＋sin2.12．設函數f(x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f′(x)是奇函數，則φ＝________.[答案]

[解析]　f′(x)＝－sin(x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)

＝2sin.若f(x)＋f′(x)為奇函數，則f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sin，∴φ＋＝kπ(k∈Z)．

又∵φ∈(0，π)，∴φ＝.13．函數y＝(1＋2x2)8的導數為________．

[答案]　32x(1＋2x2)7

[解析]　令u＝1＋2x2，則y＝u8，∴y′x＝y′u·u′x＝8u7·4x＝8(1＋2x2)7·4x

＝32x(1＋2x2)7.14．函數y＝x的導數為________．

[答案]

[解析]　y′＝(x)′＝x′＋x()′＝＋＝.三、解答題

15．求下列函數的導數：

(1)y＝xsin2x；(2)y＝ln(x＋)；

(3)y＝；(4)y＝.[解析](1)y′＝(x)′sin2x＋x(sin2x)′

＝sin2x＋x·2sinx·(sinx)′＝sin2x＋xsin2x.(2)y′＝·(x＋)′

＝(1＋)＝

.(3)y′＝＝

.(4)y′＝

＝

＝.16．求下列函數的導數：

(1)y＝cos2(x2－x)；

(2)y＝cosx·sin3x；

(3)y＝xloga(x2＋x－1)；(4)y＝log2.[解析](1)y′＝[cos2(x2－x)]′

＝2cos(x2－x)[cos(x2－x)]′

＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](x2－x)′

＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](2x－1)

＝(1－2x)sin2(x2－x)．

(2)y′＝(cosx·sin3x)′＝(cosx)′sin3x＋cosx(sin3x)′

＝－sinxsin3x＋3cosxcos3x＝3cosxcos3x－sinxsin3x.(3)y′＝loga(x2＋x－1)＋x·logae(x2＋x－1)′＝loga(x2＋x－1)＋logae.(4)y′＝′log2e＝log2e

＝.17．設f(x)＝，如果f′(x)＝·g(x)，求g(x)．

[解析]　∵f′(x)＝

＝[(1＋x2)cosx－2x·sinx]，又f′(x)＝·g(x)．

∴g(x)＝(1＋x2)cosx－2xsinx.18．求下列函數的導數：(其中f(x)是可導函數)

(1)y＝f；(2)y＝f()．

[解析](1)解法1：設y＝f(u)，u＝，則y′x＝y′u·u′x＝f′(u)·＝－f′.解法2：y′＝′＝f′·′＝－f′.(2)解法1：設y＝f(u)，u＝，v＝x2＋1，