第一篇：高中數學知識點津2函數反函數與基本初等函數的圖像與性質

高中數學知識點津2函數反函數與基本初等函數的圖像與性質

11.求一個函數的解析式或一個函數的反函數時，注明函數的定義域了嗎？

如：f

令t??2x?1?ex?x，求f(x).?x?1，則t?0

∴x?t?∴f(t)?et2?1?t2?1

∴f(x)?ex2?1?x2?1?x?0?

12.反函數存在的條件是什么？

（一一對應函數）

求反函數的步驟掌握了嗎？

（①反解x；②互換x、y；③注明定義域）

??1?x

如：求函數f(x)??2???x?1?x?0?的反函數

?x?0???x?1?x?1?）

（答：f(x)??????x?x?0?

13.反函數的性質有哪些？

①互為反函數的圖象關于直線y＝x對稱；

②保存了原來函數的單調性、奇函數性；

③設y?f(x)的定義域為A，值域為C，a?A，b?C，則f(a)=b?f?1(b)?a

?f?1?f(a)??f?1(b)?a，f?f?1(b)??f(a)?b

14.如何用定義證明函數的單調性？

（取值、作差、判正負）

如何判斷復合函數的單調性？

（y?f(u)，u??(x)，則y?f??(x)?（外層）（內層）

當內、外層函數單調性相同時f?(x)為增函數，否則f?(x)為減函數。）

????y?log1?x?2x的單調區間

如：求

2?2?

（設u??x?2x，由u?0則0?x?2 且log1u?，u???x?1??1，如圖： u O 1 2 x

當x?(0，1]時，u?，又log1u?，∴y?

當x?[1，2)時，u?，又log1u?，∴y?

2∴??）

15.如何利用導數判斷函數的單調性？

在區間a，b內，若總有f'(x)?0則f(x)為增函數。（在個別點上導數等于 ??零，不影響函數的單調性），反之也對，若f'(x)?0呢？

如：已知a?0，函數f(x)?x?ax在1，??上是單調增函數，則a的最大 值是（）

A.0

3??B.1 2 C.2 D.3

（令f'(x)?3x?a?3?x???a??a???x???0 3??3?

則x??aa 或x?33a?1，即a?3

3由已知f(x)在[1，??)上為增函數，則

∴a的最大值為3）

16.函數f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？

（f(x)定義域關于原點對稱）

若f(?x)??f(x)總成立?f(x)為奇函數?函數圖象關于原點對稱

若f(?x)?f(x)總成立?f(x)為偶函數?函數圖象關于y軸對稱

注意如下結論：

（1）在公共定義域內：兩個奇函數的乘積是偶函數；兩個偶函數的乘積是偶函數；一個偶函數與奇函數的乘積是奇函數。

（2）若f(x)是奇函數且定義域中有原點，則f(0)?0。

a·2x?a?2為奇函數，則實數a?

如：若f(x)?2x?

1（∵f(x)為奇函數，x?R，又0?R，∴f(0)?0

a·20?a?2?0，∴a?1）

即20?12x，又如：f(x)為定義在(?1，1)上的奇函數，當x?(0，1)時，f(x)?x4?1求f(x)在??1，1?上的解析式。

2?x

（令x???1，0?，則?x??0，1?，f(?x)??x

4?12?x2x??

又f(x)為奇函數，∴f(x)???x x4?11?4?2x??x?4?1

又f(0)?0，∴f(x)??x?2??4x?1

17.你熟悉周期函數的定義嗎？

x?(?1，0)x?0x??0，1?）

（若存在實數T（T?0），在定義域內總有f?x?T??f(x)，則f(x)為周期 函數，T是一個周期。）

如：若f?x?a???f(x)，則

（答：f(x)是周期函數，T?2a為f(x)的一個周期）

又如：若f(x)圖象有兩條對稱軸x?a，x?b???

即f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x)

則f(x)是周期函數，2a?b為一個周期

如：

18.你掌握常用的圖象變換了嗎？

f(x)與f(?x)的圖象關于y軸對稱

f(x)與?f(x)的圖象關于x軸對稱

f(x)與?f(?x)的圖象關于原點對稱

f(x)與f?1(x)的圖象關于直線y?x對稱

f(x)與f(2a?x)的圖象關于直線x?a對稱

f(x)與?f(2a?x)的圖象關于點(a，0)對稱

將y?f(x)圖象??????????左移a(a?0)個單位右移a(a?0)個單位y?f(x?a)y?f(x?a)

y?f(x?a)?b上移b(b?0)個單位

???????? ??y?f(x?a)?b下移b(b?0)個單位

注意如下“翻折”變換：

f(x)???f(x)f(x)???f(|x|)

如：f(x)?log2?x?1?

作出y?log2?x?1?及y?log2x?1的圖象 y y=log2x O 1 x

19.你熟練掌握常用函數的圖象和性質了嗎？

(k<0)y(k>0)y=b O’(a,b)O x x=a

（1）一次函數：y?kx?b?k?0?

（2）反比例函數：y?的雙曲線。

kk?k?0?推廣為y?b??k?0?是中心O'(a，b)xx?a2b?4ac?b2?

（3）二次函數y?ax?bx?c?a?0??a?x?圖象為拋物線 ????2a4a2?b4ac?b2?b

頂點坐標為??，?，對稱軸x??

4a?2a?2a

開口方向：a?0，向上，函數ymin4ac?b2?

4a

a?0，向下，ymax4ac?b2?

4a

應用：①“三個二次”（二次函數、二次方程、二次不等式）的關系——二次方程

ax2?bx?c?0，??0時，兩根x1、x2為二次函數y?ax2?bx?c的圖象與x軸 的兩個交點，也是二次不等式ax2?bx?c?0(?0)解集的端點值。

②求閉區間［m，n］上的最值。

③求區間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。

④一元二次方程根的分布問題。

???0??b2

如：二次方程ax?bx?c?0的兩根都大于k????k

?2a??f(k)?0 y(a>0)O k x1 x2 x

一根大于k，一根小于k?f(k)?0

（4）指數函數：y?ax?a?0，a?1? ??

（5）對數函數y?logaxa?0，a?1

由圖象記性質！

（注意底數的限定?。?/p>

y y=ax(a>1)(01)1 O 1 x(0

（6）“對勾函數”y?x?k?k?0? x

利用它的單調性求最值與利用均值不等式求最值的區別是什么？ y ?k O k x

20.你在基本運算上常出現錯誤嗎？

指數運算：a?1(a?0)，amnnm?mn0?p

?1(a?0)pa

a?a(a?0)，a?1nam(a?0)

對數運算：logaM·N?logaM?logaNM?0，N?0

loga??M1n?logM?logN，logM?logaaaaM Nn

對數恒等式：alogax?x

對數換底公式：logab?

logcbn?logambn?logab

logcam

第二篇：2、函數的圖像與性質

高考必備：

二、函數的圖像和性質

要點強記

思想方法：

1、函數與方程的思想：若問題中含有解析式，應考慮使用函數的圖像和性質解決問題，若不含解析式，可構造函數，再用函數的圖象和性質解題。

2、形結合的思想：把數量關系的問題轉化為圖形的性質問題來研究，或者把圖形問題轉化為數量關系問題來處理，數形結合的思想在解選擇、填空題具有得天獨厚的優勢。

3、等價轉化的思想：等價轉化要求轉化前后互為充要條件。

4、分類討論思想：當問題不能進行統一，則應分類研究。

常規方法

1、定義域：定義域分默認型（式子有意義）、實際型（由實際有意義定）、規定型（無條件規定）。求函數表達式時務必寫出定義域。對于復合函數，如：已知fg?x?的表達式，求此時關于x定義域就是g?x?的值域；已知f?x?的表達式，求f?g?x??的f?x?表達式，表達式，此時關于x定義域就是使得g?x?的值域為f?x?的定義域的全體x的取值。

2、值域：函數的最值問題是函數各種性質的綜合反映，求函數的值域和最值的常用方法有常數分離法（一次分式法）、配方法（二次函數）、換元法（包括三角換元）、判別式法（二次分式函數）、單調法、，利用重要不等式、導數法、圖象法，利用幾何意義等。

3、解析式：求解析式的方法有換元法和配湊法兩種，近幾年分段函數是高考的熱點。

4、函數的圖像：有些函數雖然不能畫出其正確的圖像，但是我們可以通過對導函數的研究，畫出原函數的圖像走向，這樣我們仍然可以求出函數的極值、最值等。

5、奇偶性：判斷函數的奇偶性應從兩方面考慮，即定義域和判別恒等式。奇偶性的應用主要是通過局部看整體。

奇函數若在x=0處有定義，則f?0??0。

6、單調性：①求單調區間時，必須先挖定義域，常用的方法有：定義法、導數法、圖象法、復合函數單調性質和利用重要不等式法。②作為單調性的應用，主要有：比大小，求最值，求值域。③有了導數這一工具后，給求函數的單調性帶來了極大的方便。

7、周期性：①判斷函數的周期性應從兩方面考慮，即定義域和判別恒等式；②周期性的應用是通過局部看整體。

8、對稱性：有兩種對稱，關于點對稱和關于直線對稱。若求對稱后的曲線（與原曲線不同）的方程，通常利用間接法（轉移法）。若要證明曲線自身關于點或直線對稱，通常是先設曲線上一點，再求出對稱點，然后證明對稱后的點也的在曲線上。

9、抽象函數的性質：①若f??x??f?x?,則函數圖像關于y軸對稱；②若f??x???f?x?,??則函數圖像關于原點對稱；③若f?x?a??f?b?x?,則函數圖像關于x?④若fa?b對稱；2?x??a???f?a?b?,0?對稱；⑤若b?x函數圖像關于點??,則

?2?f?x??a??f⑥若f?x?a???f?x?b?,則函數還是周期?xb?,則函數為周期函數。函數。

10、抽象函數解題策略：①利用函數的單調性，作等價轉化，最后脫離函數符號f；②利用函數的對稱性，通過數形結合，使抽象函數具體化；③利用函數的周期性，以點推面，回歸已知；④合理賦值，構造方程，解出抽象函數的表達式。

11、圖像的變換：常見的變換有平移、放縮、對稱，這些變換可以用間接法求之，要學會用向量法解決平移問題。另外還要掌握y?f?x?的圖像與y?f??x?,y??f?x?,y?f?x?,y?|f?x?|,y?f?1?x?,y?f'?x?之間的關系。

特別警示

1、研究函數的性質，要注意先確定函數的定義域，如奇函數的必要條件是定義域關于原點對稱。

2、函數的單調性是對某一個區間而言的。如函數f(x)在（-1，0）上是增函數，在（0，1）上是增函數，但在

（-1，0）∪（0，1）上卻不一定是增函數。

3、在反函數的運算中，要注意y?f?x?1?與y?f反函數是

?1?x?1?不是互為反函數；y?f?x?1?的y?f?1?x??1；y?f?1?x?1?是函數y?f?1?x?中自變量x換為x?1的結果。

第三篇：函數性質培優教案2(映射、反函數)

函

數（2）

映 射

逆映射：如果f是A與B之間的一一對應，那么可得B到A的一個映射g：任給b?B，規定g(b)?a，其中a是b在f下的原象，稱這個映射g是f的逆映射，并將g記為f —1.顯然有（f —1）—1= f，即如果f是A與B之間的一一對應，則f —1是B與A之間的一一對應，并且f —1的逆映射是f.典例分析

例1：設A={a,b,c},B={0,1},請寫出所有從A到B的映射

變式1：設集合A＝??1,0,1,2?集合B＝??1,0,1?。

（1）從集合A到集合B可以構造多少不同的映射？（2）從B到A的映射有多少個？

（3）若B中每個元素都要有原象，這樣的映射有多少個？

例2：假設集合M ={0,-1,1} N ={-2,-1 ,0,1,2} 映射f：M→N 滿足條件“對任意的x屬于M ,x+f(x)是奇數”，這樣的映射有多少個？

變式2：設集合A={-1，0，1} B={2，3，4，5，6 } 從A到B的映射 f滿足條件 ：對每個X∈A 有 f（X）+X為偶數 那么這樣的映射f的個數是多少？

變式3：設集合X＝

??1,0,1?，Y＝?2,3,4,5,6?，映射f：

X?Y，使得對任意的x?X，都有x+f?x?+xf?x?是奇數，這樣的映射f有多少個？

例3：已知：集合M?{a,b,c}，N?{?1,0,1}，映射f:??M?N滿足f(a)?f(b)?f(c)?0，那么映射f:??M?N的個數是多少？

例4：設集合A＝??1,0,1?，集合B＝??2,?1,0,1,2?。若A中的元

素x對應B中元素f（x），且滿足f?x??f?x2?，則這樣的映射有

多少個？

變式4：知集合M＝

?x,y,z?，N＝??1,0,1?，由集合M到N的映射f滿足：f?x?＝f?y?+f?z?，那么這樣的映射有多少個？

反 函 數

1．反函數的定義

設函數y=f(x)的定義域是A，值域是C．我們從式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y)．如果對于y在C中的任何一個值，通過式子x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它對應，那么式子x=φ(y)叫函數y=f(x)的反函數，記作x=f-1(y)，習慣表示為y=f-1(x)．注意：函數y=f(x)的定義域和值域，分別是反函數y=f-1(x)的值域和定義域，例如：f(x)=的定義域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函數f-1(x)=x2-1, x≥0，定義域為[0，+∞），值域是[-1，+∞)。

2．反函數存在的條件

按照函數定義，y=f(x)定義域中的每一個元素x，都唯一地對應著值域中的元素y，如果值域中的每一個元素y也有定義域中的唯一的一個元素x和它相對應，即定義域中的元素x和值域中的元素y，通過對應法則y=f(x)存在著一一對應關系，那么函數y=f(x)存在反函數，否則不存在反函數．

3．函數與反函數圖象間的關系

函數y=f(x)和它的反函數y=f-1(x)的圖象關于y=x對稱．若點(a,b)在y=f(x)的圖象上，那么點(b,a)在它的反函數y=f-1(x)的圖象上．

4．反函數的幾個簡單命題

（1）一個奇函數y=f(x)如果存在反函數，那么它的反函數y=f-1(x)一定是奇函數．

（2）一個函數在某一區間是（減）函數，并且存在反函數，那么它的反函數在相應區間也是增（減）函數． 典例分析

例1：求下列函數的反函數：

(1)y=x2+2x-2, x∈[-3,-2]

(2)y=

（3）已知f(x)=(0≤x≤4)

例2：已知點（1，2）既在y=的圖象上，又在它反函數的圖象上，求a、b．

例3：函數y=f(x+1)與函數y=f-1(x+1)的圖象（）.A、關于直線y=x對稱

B、關于直線y=x+1對稱

C、關于直線y=x-1對稱

D、關于直線y=-x對稱

例4：設y=f(x)=, y=g(x)的圖象與 y=f-1(x+1)的圖象關于y=x

對稱，求g(3)的值．

例5：函數y=f(x)=(1+)2-2(x≥-2), 求方程f(x)=f-1(x)的解集．

例6．已知f(x)=(x≥3), 求f-1(5).課后練習

1．定義在R上的函數y=f(x)有反函數，則函數y=f(x+a)+b的圖象與

y=f-1(x+a)+b的圖象間的關系是（）.A、關于直線y=x+a+b對稱

B、關于直線x=y+a+b對稱

C、關于直線y=x+a-b對稱

D、關于直線x=y+a-b對稱

2．設定義域為R的函數y = f(x)、y = g(x)都有反函數，并且f(x－1)和g-1(x－2)函數的圖像關于直線y = x對稱，若g(5)= 1999，那么 f(4)=（）

A、1999

B、2000

C、2001

D、2002

3．設有三個函數，第一個函數式y=f(x)，第二個函數是它的反函數，而第三個函數的圖象關于直線x+y=0對稱。則第三個函數是（）A、y=-f（x）

B、y=-f（-x）

C、y=-f-1(x)

D、y=-f-1(-x)

4．若函數f(x)的圖象過（0，1）點，則f-1(x+4)的圖象必過點________．

5．已知f(x)?2x?3，則f?1(x?1)______________．

6．已知f(x)?2x?3，則f(x?1)的反函數為_____________．

7．已知y?f(x)反函數為y?f?1(x)，則f(x?3)的反函數

_____________．

8．已知y?f(x)的圖象過點（0,1），則函數y?f(4?x)的反函數圖象過點____________． 9．若函數圖象y?f?1(x)過點（-2,0），則函數圖象y?f(x?5)過點___________． 10．若函數f(x)?x,則f?11x?2(3)=______________． 參 考 答 案

映射

例

1、從A到B的映射共有2^3=8個：（a，b，c）→（0，0，0）；（a，b，c）→（0，0，1）；（a，b，c）→（0，1，0）；（a，b，c）→（1，0，0）；（a，b，c）→（0，1，1）；（a，b，c）→（1，0，1）；（a，b，c）→（1，1，0）；（a，b，c）→（1，1，1）。

變式

1、分析 這個問題是要建立沒有限制條件的映射。它的關鍵是正確理解映射的概念。對于映射f：A?B，集合A中的任何一個元素在集合B中都有B中都有唯一的象(可理解為放球模型)，因此，建立從A到B的映射就是給A中的每個元素找到一個象，而A中的每個元素都有3種對應方式，根據乘法原理，共有34個不同的映射。

1)變形思考 C234P3＝36個 2)43個

例

2、①當x=-1時，x+f(x)=-1+f(-1)恒為奇數，相當于題目中的限制條件“使對任意的x屬于M，都有x+f(x)是奇數” f(-1)=-2,0,2 ②當x=0時，x+f(x)=f(0),根據題目中的限制條件“使對任意的x屬于M，都有x+f(x)是奇數”可知f(0)只能等于-1和1 ③當x=1時，x+f(x)=1+f(1)恒為奇數

f(1)=-2,0,2 綜上①②③可知，只有第②種情況有限制，所以這樣的映射共有3×2×3=18個

變式

2、映射可以多對一，要讓f（X）+X＝偶數，當X＝－1和1時，只能從B中取奇數，有3，5兩種可能，當X＝0從B中取偶數有2 4 6三種，則一共有2×2×3＝12個

變式

3、分析 此題需仔細分析題意，根據映射的定義，要使X中的每個元素都有象，而集合X中只有三個元素，所以我們可以直接對元素進行分類。

1)當x＝－1時，x+f?x?+xf?x?＝－1，恒滿足題意，所以－1的象可在Y中任取，有5種可能。

2)當x＝0時x+f?x?+xf?x?＝f?0?，要滿足題意，0的象可在3，5中任取一個，有2種可能。3)當x＝1時，x+f?x?+xf?x?＝1+2f?1?，恒滿足題意，所以－1的象可在Y中任取，有5種可能。由乘法原理得：共有映射5?2?5＝50個。

例

3、思路提示：滿足f(a)?f(b)?f(c)?0，則只可能

0?0?0?0?1?(?1)?0，即f(a)、f(b)、f(c)中可以全部為0，或0,1,?1各取一個．

解：∵f(a)?N,??f(b)?N,??f(c)?N，且f(a)?f(b)?f(c)?0 ∴有0?0?0?0?1?(?1)?0．

當f(a)?f(b)?f(c)?0時，只有一個映射；

當f(a)、f(b)、f(c)中恰有一個為0，而另兩個分別為1，－1時，有3?2＝6個映射．因此所求的映射的個數為1＋6＝7．

評注：本題考查了映射的概念和分類討論的思想．

例

4、分析 這是一個要建立有限制條件的映射，所以關鍵是分析它有何限制條件。由條件f?x??f?x2?可知，f??1??f???1?2?＝

f?1?，也就是說，－1和1應該和同一個元素對應，又f?0??f?02?是一定

滿足的，所以這樣的映射可以有：5?5＝25個。變式:

4、7個。

反 函 數

例

1、解：（1）∵ y=(x+1)2-3, x∈[-3,-2]，∴-2≤y≤1且(x+1)

2=y+3.∴ x+1=-, y=-1-，∴ 所求反函數y=-1--2≤x≤1.(2)若x≤0，則y=x2

≥0, x=-.若x>0, 則 y=-x-1<-1, x=-y-1.∴ 所求反函數y=.（3）∵0≤x≤4,∴0≤x2

≤16, 9≤25-x2≤25, ∴ 3≤y≤5，∵ y=, y2

=25-x2, ∴ x2

=25-y2

.∵ 0≤x≤4, ∴x=

(3≤y≤5)

將x, y互換，∴ f(x)的反函數f-1(x)=(3≤x≤5).評注：求函數y=f(x)的反函數的一般步驟是

（1）確定原函數的值域，也就是反函數的定義域．

（2）由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y).（3）將x、y交換位置得y=f-1(x)．

（4）求分段函數的反函數，應分別求出各段的反函數，它們聯合在一起構成原函數的反函數．

例

2、解：∵點（1，2）在y=上，∴ 2=...........(1)

∵點（1，2）在y=的反函數的圖象上，∴點（2，1）在y=

上，∴1=...........(2)由(1),(2)得a=-3, b=7．

評議：本題目巧妙的運用了：若點(a,b)在y=f(x)的圖象上，那么點(b,a)在它的反函數y=f-1(x)的圖象上．

例

3、解答：y=f(x+1)與y=f-1(x+1)圖象是分別將y=f(x), y=f-1(x)的圖象向左平移一個單位所得，∵ y=f(x)與y=f-1(x)的圖象關于直線y=x對稱，y=x向左平移一個單位而得y=x+1.故選B.例

4、解：由y=f-1(x+1), f(y)=x+1.∴ x=f(y)-1, y=f(x)-1是y=f-

1(x+1)的反函數，即它們關于y=x對稱．所以g(x)=f(x)-1，∴g(3)=f(3)-1=

-1=

．

例

5、分析：若先求出反函數f-

1(x)=2-2(x≥-2)，再求它的解集，這時由題設有

2-2=(1+)2-2.整理得四次方程，求解

有困難，但我們可利用y=f(x)與y=f-1

(x)的圖象關系求解．

首先畫出y=f(x)=(1+)2-2的圖象，如圖所示．因為互為反函數的兩個函數的圖象是關于直線y=x對稱的，故立即可畫出y=f-1

(x)的圖象，由圖可見兩圖象恰有兩個交點，且交點在y=x上，因此可由方程組：

解得 x=2或-2, 從而得方程f(x)=f-1

(x)的解集為{-2,2}． 例

6、解：設f-

1(5)=x0, 則 f(x0)=5,即 =5(x0≥3)

∴ x02+1=5x0-5, x0

2-5x0+6=0.解得：x0=3或x0=2(舍）∴ f-1

(5)=3.課后練習

1、解答:將y=x向左平移a個單位，向上平移b個單位得y=x+a+b，故選A.2、解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函數的圖像關于直線y = x對稱，∴y = g-1(x－2)反函數是y = f(x－1)，而y = g-

1(x－2)的反函數是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1)= 2 + g(x), ∴有f(5－1)= 2 + g(5)=2001 故f(4)= 2001,應選（C）

3、B

4、分析：∵f(x)的圖象過（0，1）點，∴ f-1(x)的圖象過（1，0）點，而f-1(x+4)-1的圖象是把y=f-

1(x)的圖象向左平移4個單位而得到的，故f(x+4)的圖象過(-3,0)點．

5、f?1(x?1)=12(x?4)

6、y?12(x?1)

7、y?f?1(x)?

38、（1,4）

9、（-5，-2）10、1

第四篇：函數與基本初等函數2.6冪函數(作業)

響水二中高三數學（理）一輪復習作業 第二編 函數與基本初等函數Ⅰ

主備人

張靈芝

總第9期

§2.6冪函數

一、填空題 1.設α∈{-1,1,12α ,3}，則使函數y=x定義域為R且為奇函數的所有的α值為.α2.冪函數f(x)=x(α是有理數）的圖象過點（2，m2?m?214），則f(x)的一個單調遞減區間是.3.如果冪函數y=（m-3m+3）x

2的圖象不過原點，則m的取值是.4.如圖所示，曲線是冪函數y=xn在第一象限的圖象，已知n取±

2、±C3，C4的n值依次為.2??1?x,5.設函數f(x)=?2??x?x?2,312四個值，則相應的曲線C1，C2，x?1,x?1，則f（1)的值為.f(2)6.設f(x)=x+x,則對任意實數a，b，“a+b≥0”是“f(a)+f(b)≥0”的 條件.127.當0

2121D上封閉.若定義域D=（0，1），則函數①f(x)=3x-1;②f(x)=-x-22

12x+1;③f3(x)=1-x;④ f4(x)=x,12其中在D上封閉的是.（填序號即可）

二、解答題 9.求函數y=x

1m2?m?1(m∈N)的定義域、值域，并判斷其單調性.

10.已知f(x)=x ?n2?2n?3（n=2k,k∈Z）的圖象在［0，+∞）上單調遞增，解不等式f(x-x)>f(x+3). 17

x2?4x?5211.指出函數f（x）=2的單調區間，并比較f（-?）與f(-)的大小.

x?4x?42

12.已知函數f(x)=x?x513?13，g(x)=

x?x513?13.

（1）證明f(x)滿足f(-x)=-f(x),并求f(x）的單調區間；

（2）分別計算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函數f(x)和g(x)的對所有 不等于零的實數x都成立的一個等式，并加以證明.

第五篇：正切函數的性質與圖像教案

1．4．3 正切函數的性質和圖像

一、教學目標

1.用單位圓中的正切線作正切函數的圖象；2.用正切函數圖象解決函數有關的性質；

二、課時 1課時

三、教學重點 正切函數的性質與圖象的簡單應用.四、教學難點 正切函數性質的深刻理解及其簡單應用.五、教具

多媒體、實物投影儀

六、教學過程 導入新課

思路1.(直接導入)常見的三角函數還有正切函數,前面我們研究了正、余弦函數的圖象和性質,你能否根據研究正弦函數、余弦函數的圖象與性質的經驗,以同樣的方法研究正切函數的圖象與性質？由此展開新課.思路2.先由圖象開始,讓學生先畫正切線,然后類比正弦、余弦函數的幾何作圖法來畫出正切函數的圖象.這也是一種不錯的選擇,這是傳統的導入法.推進新課 新知探究 提出問題

①我們通過畫正弦、余弦函數圖象探究了正弦、余弦函數的性質.正切函數是我們高中要學習的最后一個基本初等函數.你能運用類比的方法先探究出正切函數的性質嗎？都研究函數的哪幾個方面的性質？②我們學習了正弦線、余弦線、正切線.你能畫出四個象限的正切線嗎？③我們知道作周期函數的圖象一般是先作出長度為一個周期的區間上的圖象,然后向左、右擴展,這樣就可以得到它在整個定義域上的圖象.那么我們先選哪一個區間來研究正切函數呢？為什么？④我們用“五點法”能簡捷地畫出正弦、余弦函數的簡圖,你能畫出正切函數的簡圖嗎？

你能類比“五點法”也用幾個字總結出作正切簡圖的方法嗎？

活動:問題①,教師先引導學生回憶:正弦、余弦函數的性質是從定義域、值域、奇偶性、單調性、周期性這幾個方面來研究的,有了這些知識準備,然后點撥學生也從這幾個方面來探究正切函數的性質.由于還沒有作出正切函數圖象,教師指導學生充分利用正切線的直觀性.(1)周期性 由誘導公式tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠

?+kπ,k∈Z

2可知,正切函數是周期函數,周期是π.這里可通過多媒體課件演示,讓學生觀察由角的變化引起正切線的變化的周期性,直觀理解正切函數的周期性,后面的正切函數圖象作出以后,還可從圖象上觀察正切函數的這一周期性.(2)奇偶性 由誘導公式 tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠

?+kπ,k∈Z 2

可知,正切函數是奇函數,所以它的圖象關于原點對稱.教師可進一步引導學生通過圖象還能發現對稱點嗎？與正余弦函數相對照,學生會發現正切函數也是中心對稱函數,它的對稱中心是(k?,0)k∈Z.2(3)單調性

通過多媒體課件演示,由正切線的變化規律可以得出,正切函數在(?又由正切函數的周期性可知,正切函數在開區間(???22,)內是增函數,?2+kπ,?+kπ),k∈Z內都是增函數.2(4)定義域

根據正切函數的定義tanα=

y,顯然,當角α的終邊落在y軸上任意一點時,都有x=0,這時x正切函數是沒有意義的；又因為終邊落在y軸上的所有角可表示為kπ+數的定義域是{α|α≠kπ+

?,k∈Z,所以正切函2??,k∈Z},而不是{α≠+2kπ,k∈Z},這個問題不少初學者很不理解,在22解題時又很容易出錯,教師應提醒學生注意這點,深刻明了其內涵本質.(5)值域

由多媒體課件演示正切線的變化規律,從正切線知,當x大于?切線AT向Oy軸的負方向無限延伸;當x小于向無限延伸.因此,tanx在(??2且無限接近??2時,正

??且無限接近時,正切線AT向Oy軸的正方22??22,)內可以取任意實數,但沒有最大值、最小值.因此,正切函數的值域是實數集R.問題②,教師引導學生作出正切線,并觀察它的變化規律,如圖1.圖1

問題③,正切函數圖象選用哪個區間作為代表區間更加自然呢？教師引導學生在課堂上展開充分討論,這也體現了“教師為主導,學生為主體”的新課改理念.有的學生可能選取了［0,π］作為正切函數的周期選取,這正是學生作圖的真實性的體現.此時,教師應調整計劃,把課件中先作出［-??,］內的圖象,改為先作出［0,π］內的圖象,再進行圖象的平移,得到整22??,)的圖象為好.22?+kπ(k∈Z)2個定義域內函數的圖象,讓學生觀察思考.最后由學生來判斷究竟選用哪個區間段內的函數圖象既簡單又能完全體現正切函數的性質,讓學生通過分析得到先作區間(-這時條件成熟,教師引導學生來作正切函數的圖象,如圖2.根據正切函數的周期性,把圖2向左、右擴展,得到正切函數y=tanx,x∈R,且x≠的圖象,我們稱正切曲線,如圖3.圖2

圖3

問題④,教師引導學生觀察正切曲線,點撥學生討論思考,只需確定哪些點或線就能畫出函數y=tanx,x∈(???22,)的簡圖.學生可看出有三個點很關鍵:(??4,-1),(0,0),（?,1),還有兩4條豎線.因此,畫正切函數簡圖的方法就是:先描三點(?x=??4,-1),(0,0),（?,1),再畫兩條平行線4?2,x=?,然后連線.教師要讓學生動手畫一畫,這對今后解題很有幫助.2討論結果:①略.②正切線是AT.③略.④能,“三點兩線”法.提出問題

①請同學們認真觀察正切函數的圖象特征,由數及形從正切函數的圖象討論它的性質.②設問:每個區間都是增函數,我們可以說正切函數在整個定義域內是增函數嗎？請舉一個例子.活動:問題①,從圖中可以看出,正切曲線是被相互平行的直線x=

?+kπ,k∈Z所隔開的無2窮多支曲線組成的.教師引導學生進一步思考,這點反應了它的哪一性質——定義域；并且函數圖象在每個區間都無限靠近這些直線,我們可以將這些直線稱之為正切函數的什么線——漸近線；從y軸方向看,上下無限延伸,得到它的哪一性質——值域為R；每隔π個單位,對應的函數值相等,得到它的哪一性質——周期π;在每個區間圖象都是上升趨勢,得到它的哪一性

?+kπ),k∈Z,沒有減區間.它的圖象是關于原點對稱

22k?的,得到是哪一性質——奇函數.通過圖象我們還能發現是中心對稱,對稱中心是(,0),k∈Z.2質——單調性,單調增區間是(?+kπ,問題②,正切函數在每個區間上都是增函數,但我們不可以說正切函數在整個定義域內是增函數.如在區間(0,π)上就沒有單調性.討論結果:①略.②略.應用示例 略

課堂小結

1.先由學生回顧本節都學到了哪些知識方法,有哪些啟發、收獲.本節課我們是在研究完正、余弦函數的圖象與性質之后,研究的又一個具體的三角函數,與研究正弦、余弦函數的圖象和性質有什么不同?研究正、余弦函數,是由圖象得性質,而這節課我們從正切函數的定義出發得出一些性質,并在此基礎上得到圖象,最后用圖象又驗證了函數的性質.2.(教師點撥)本節研究的過程是由數及形,又由形及數相結合,也是我們研究函數的基本方法,特別是又運用了類比的方法、數形結合的方法、化歸的方法.請同學們課后思考總結:這種多角度觀察、探究問題的方法對我們今后學習有什么指導意義？ 作業課本習題1.4 A組6、8、9.?