第一篇：示范教案(第2章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 2.5.2)
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2.5.2 用二分法求方程的近似解
整體設(shè)計
教材分析
本課題內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)課程中新增加的內(nèi)容，是《函數(shù)與方程》這一節(jié)內(nèi)容的深入探究.二分法是研究方程問題的新的方法，是數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，也是創(chuàng)新思想的體現(xiàn)，新課改內(nèi)容的顯露.對于這些內(nèi)容，教師要把握標(biāo)準(zhǔn)，教學(xué)時通過學(xué)生對已有知識的掌握和函數(shù)的圖象來實現(xiàn)對二分法的理解.我們知道方程的根也叫做函數(shù)的零點，從幾何圖形的方面看，是函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)，并且在課本內(nèi)容的最后，我們得到一個結(jié)論：如果二次函數(shù)y=f(x)對于實數(shù)m、n,m＜n，有f(m)·f(n)＜0，那么一定存在x0∈(m,n)，使得f(x0)=0.我們把這個結(jié)論推廣，對于一般的函數(shù)y=f(x)，只要在(m,n)上圖象連續(xù)，就也有相同的結(jié)論，這個結(jié)論就是用二分法求方程的近似解的理論支持.求方程的根是常見的數(shù)學(xué)問題，在這之前，我們掌握了諸多就方程的根的代數(shù)方法，但沒有得到所有求方程的根的通法.本節(jié)課試圖從另外一個角度來研究代數(shù)問題，即從數(shù)形結(jié)合的思想出發(fā)，利用現(xiàn)代化的計算工具求方程的近似解.二分法盡管也不是一個通法，但是它對方程的形式要求比較低，只需在(m,n)上圖象連續(xù)且f(m)·f(n)＜0即可.新課標(biāo)明確提出了在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該恰當(dāng)運用現(xiàn)代信息技術(shù)，提高教學(xué)質(zhì)量.這就是說我們必須重視信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的有機(jī)整合，而這種整合的原則是有利于對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，即信息技術(shù)為數(shù)學(xué)服務(wù)，而不是數(shù)學(xué)課圍繞著信息技術(shù)來展開，教師在教學(xué)中應(yīng)予以關(guān)注.信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的整合還有較大的開發(fā)空間，教師可在這方面進(jìn)行積極的、有意義的探索，恰當(dāng)使用信息技術(shù)，改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，引導(dǎo)學(xué)生借助信息技術(shù)學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容，探索、研究一些有意義、有價值的數(shù)學(xué)問題.三維目標(biāo)
1.通過具體實例理解二分法的概念及其適用條件，并能夠根據(jù)這樣的過程進(jìn)行實際求解.了解二分法是求方程近似解的常用方法，從中體會函數(shù)與方程之間的聯(lián)系及其在實際問題中的應(yīng)用.2.通過學(xué)生的自主探究，了解逼近思想和極限思想；
3.適當(dāng)借助現(xiàn)代化的科學(xué)工具解決問題，變?nèi)斯び嬎銥闄C(jī)器運算，把人從繁重的重復(fù)勞動中解脫出來.使學(xué)生體會到正面解決問題困難時可以采取迂回曲折的辦法從側(cè)面解決.重點難點
教學(xué)重點：
二分法的理解和操作流程.教學(xué)難點：
逼近思想的理解和近似解的取值.課時安排
1課時
教學(xué)過程
導(dǎo)入新課
設(shè)計思路一(情境導(dǎo)入)
播放錄像(CCTV－2《幸運52》片斷)
主持人李詠：……規(guī)則：30秒內(nèi)猜出這件商品的價格，計價單位：元，……計時開始！(禮儀小姐給現(xiàn)場觀眾展示價格：1678元)
幸運觀眾：2000.中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司
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主持人：高了！
觀眾：1000.主持人：低了！觀眾：1800.主持人：高了！
觀眾：1300.主持人：低了！
觀眾：1400.主持人：低了！
觀眾：1700.主持人：高了！
……
觀眾：1670.(剩余時間5秒)
主持人：低了！
觀眾：1671.主持人：低了！
觀眾：1672.主持人：低了！
觀眾：1673.(剩余時間3秒，現(xiàn)在觀眾和學(xué)生都高呼：“快！跳過去啊！”)
主持人：低了！
觀眾：1674.(學(xué)生替他著急)
主持人：低了！
觀眾：1675.(學(xué)生：“快！”)主持人：低了！觀眾：1676.主持人：時間到！(學(xué)生嘆息！)
他為什么游戲失敗？
學(xué)生甲：他一元一元往上加，太慢了，應(yīng)該幅度大一點.那應(yīng)該怎么加？
學(xué)生甲：剛剛開始猜的時候還可以，變化幅度比較大，后來不好.他過早開始1元1元往上加了，應(yīng)該先100元100元加，再50元50元加，再10元10元，再5元5元，再2元2元，最后1元1元加.學(xué)生乙：還不好，應(yīng)該每次猜的價錢都是前面最近的一次“高了”的價錢和“低了”的價錢的中點.大家說剛才兩位同學(xué)的方法哪位更加好？
學(xué)生：乙的好.對！如果他早一點用同學(xué)乙的辦法，那么獎品就非他莫屬了.這個方法在我們數(shù)學(xué)上有沒有理論依據(jù)？我們有沒有學(xué)過和這個方法類似的知識？ 我們當(dāng)然知道，游戲中的正確價格就在一次“高了”和一次“低了”的價格之間，這就像我們剛剛學(xué)過函數(shù)和方程的內(nèi)容：如果一個函數(shù)y=f(x)對于實數(shù)m、n，m＜n，有f(m)f(n)＜0，那么一定存在x0∈(m,n)，使得f(x0)=0，也就是說，方程f(x)=0的根一定在區(qū)間(m,n)上.由于f(m)·f(n)＜0，相當(dāng)于游戲中幸運觀眾猜的兩次價格為m和n，這時主持人告訴我們一次“高了”和一次“低了”，正確價格就是那個x0.所以這個方法可以給我們提供一個解方程的思路：每次把方程的根(游戲中的正確價格)的所在區(qū)間縮小一半，最后確定出方程的近似解.中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司
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引入課題：用二分法求方程的近似解
設(shè)計思路二(事例導(dǎo)入)
在一個風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障，這是一條10 km長的電話線路，每隔50 m有一根電線桿，維修工人需爬上電線桿測試，如何迅速查出故障所在？如果沿著線路一小段一小段地查找，困難很多，每查一個電線桿都要爬一次電線桿呢.想一想，你能幫他找到一個簡單易行的方法嗎？(鼓勵學(xué)生設(shè)計方案)
思路引導(dǎo)：如圖所示，他首先從中點C開始查，用隨身帶的話機(jī)向兩端測試時，發(fā)現(xiàn)AC段正常，斷定故障在BC段，再到BC中點D，這次發(fā)現(xiàn)BD段正常，可見故障在CD段，再到CD段中點E來查.像這樣每查一次，可以把待查的線路長度縮減一半.設(shè)計思路三(問題導(dǎo)入)
在我們掌握的數(shù)學(xué)知識中，解方程既是一個重要知識和考查重點，又是解決其他數(shù)學(xué)問題的工具，我們已經(jīng)掌握了不少類型方程的求解方法，但是還有許多方程我們?nèi)匀粺o法求解，例如方程lgx=3-x，要求出這個方程的解是較為困難的,我們能否求出這個方程的近似解呢?這節(jié)課我們就來研究這個問題.(引入課題)推進(jìn)新課
新知探究
求方程x-2x-1=0的根.2當(dāng)然我們可以用一元二次方程的求根公式來解，這時求得方程的精確解為x1,2=?b?b?4ac2a2=
2?2?422=1±2，精確到0.1的近似解為2.4和－0.4.現(xiàn)在我們作出函數(shù)f(x)=x2-2x-1的圖象〔如圖(1)〕，同學(xué)們能夠估計根是多少嗎？
根據(jù)前面的知識，我們知道，方程x2-2x-1=0的根就是函數(shù)f(x)=x2-2x-1的零點，由函數(shù)f(x)=x2-2x-1的圖象〔圖(１)〕，我們可以知道方程x2-2x-1=0的正根大概是多少？由于我們從圖中可以看出f(2)＜0,f(3)＞0，所以這個根是2點幾.這時如果我們要求方程的根精確到0.1，是不是可以確定根的近似值了？不行！現(xiàn)在我們把(2,3)的部分局部放大，看圖(2)，我們發(fā)現(xiàn)f(因為f(2?322?32)＞0，這時可以把方程的根限定在比(2，3)更小的范圍內(nèi)嗎？為什么？)＞0，f(2)＜0，所以方程的根就在區(qū)間(2,2.5)內(nèi)，我們繼續(xù)下去，這樣就可以把方程的根進(jìn)一步縮小范圍.定義：像這樣每次取中點，將區(qū)間一分為二，再經(jīng)比較，按需要留下其中一個子區(qū)間的方法叫二分法，也叫對分法.中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司
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當(dāng)我們用二分法來求方程的近似解的時候，怎么樣的區(qū)間才滿足精確度的要求？對于這個問題，同學(xué)們要注意“精確到0.1”和“誤差不超過0.1”是不一樣的，只有當(dāng)區(qū)間左右端點精確到0.1的近似值相等時，這個區(qū)間才滿足精確到的要求，而不是區(qū)間長度小于0.1就可以了.(這一點要向同學(xué)們交待清楚，因為許多參考書都把上面兩種說法混為一談了)
現(xiàn)在請同學(xué)們用二分法來解決引例(這里作為例１).下面我們利用計算器來求方程x-2x-1=0的一個近似解(精確到0.1).解：令f(x)=x2-2x-1，設(shè)方程x2-2x-1=0的正根為x1，作出函數(shù)的簡圖〔“新知探究”中圖(1)和(2)〕.因為f(2)=-1＜0，f(3)=2＞0，所以x1∈(2,3)，取2和3的平均數(shù)
因為f(2.5)=0.25＞0，又f(2)＜0，所以x1∈(2,2.5)，取2和2.5的平均數(shù)
2?2.522
2?32=2.5，=2.25，因為f(2.25)=-0.437 5＜0，又f(2.5)＞0，所以x1∈(2.25,2.5)，取2.25和2.5的平均數(shù)
因為f(2.375)=-0.109 375＜0，又f(2.5)＞0，所以x1∈(2.375,2.5)，取2.437 5和2.5的平均數(shù)
2.375?2.522.25?2.52=2.375
=2.437 5，因為f(2.437 5)=0.066 406 25＞0，又f(2.375)＜0，所以x1∈(2.375,2.437 5).因為區(qū)間(2.375，2.437 5)的左右端點精確到0.1的近似值都是2.4，所以此方程精確到0.1的近似解為x1≈2.4.利用同樣方法，我們還可以求出方程的另一個根的近似值.為了書寫簡便，也為了看起來更加清晰，我們用下面更簡潔的方法來表示：
令f(x)=x2-2x-1，設(shè)方程x2-2x-1=0的另一個根為x2，f(-1)＞0,f(0)＜0?x2∈(-1,0)，f(-0.5)＞0,f(0)＜0?x2∈(-0.5,0)，f(-0.5)＞0,f(-0.25)＜0?x2∈(-0.5,-0.25)，f(-0.5)＞0,f(-0.375)＜0?x2∈(-0.5,-0.375)，f(-0.437 5)＞0,f(-0.375)＜0?x2∈(-0.437 5,-0.375).因為－0.437 5與－0.375精確到0.1的近似值都為－0.4，所以此方程的近似解為 x2≈-0.4.錯誤解法：由于學(xué)生第一次接觸二分法，計算又煩瑣，所以容易把自己繞進(jìn)去，對到底取哪個區(qū)間無所適從，最后算到什么程度結(jié)束也茫然，容易認(rèn)為最后的區(qū)間長度小于0.1就是符合條件的范圍，例如解出x1∈(2.375,2.5)時，由于區(qū)間中點為2.437 5，與區(qū)間兩端的誤差都小于0.1，所以就認(rèn)為x1≈2.4.這個結(jié)果盡管正確，但是思路是有問題的，正確思路應(yīng)該是區(qū)間兩端的近似值相等.點評：二分法求方程的近似解的方法從一開始就必須嚴(yán)格按照要求一步一步求解，不能為了貪圖方便而隨意省略步驟.具體步驟如下：
1.尋找最初起步區(qū)間；(方法：函數(shù)圖象法、函數(shù)特征法)
2.取區(qū)間中點，求中點的函數(shù)值；
3.選擇符合要求的半?yún)^(qū)間作為新的區(qū)間；(其中的一個端點是中點，另一個端點是函數(shù)
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值與中點處的函數(shù)值異號的原區(qū)間的端點)
4.判斷這個半?yún)^(qū)間是否滿足精確度；(要求是左右端點的近似值相等)
5.若符合，這個相等的近似值就是方程的近似解，若不符合，回到步驟2繼續(xù)計算，最后得到結(jié)論.為了幫助同學(xué)們理解這個過程，教師可以在解例１時用右圖來輔助確定子區(qū)間，圖中負(fù)號“-”表示此點所對應(yīng)的函數(shù)值為負(fù)，正號“+”表示此點所對應(yīng)的函數(shù)值為正.從圖中可以更加清晰地看出根所在區(qū)間的不斷減半縮小的過程.應(yīng)用示例
例
1利用計算器，求方程lgx=3-x的近似解(精確到0.1).分析：例2與例１有明顯的不同，例１的方程對應(yīng)的函數(shù)圖象容易作出，所以根據(jù)圖象初步判斷方程的根的起步區(qū)間比較容易，而例2中，方程可以化為lgx-3+x=0，對應(yīng)的函數(shù)是f(x)=lgx-3+x，無法作出它的圖象.但是我們考慮原方程兩邊的對應(yīng)函數(shù)都是我們熟悉的形式，分別是對數(shù)函數(shù)y=lgx和一次函數(shù)y=3-x，我們分別畫出y=lgx和y=3-x的圖象，如圖所示.在兩個函數(shù)圖象的交點處，函數(shù)值相等即y值相等.因此，這個點的橫坐標(biāo)就是方程lgx=3-x的解.由函數(shù)y=lgx與y=3-x的圖象可以發(fā)現(xiàn)，方程lgx=3-x有唯一解，記為x1，并且這個解在區(qū)間(2，3)內(nèi).然后如同例１，利用二分法，多次把區(qū)間縮小，取其中符合條件的半?yún)^(qū)間，直到精確到符合要求為止.解：在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=lgx和函數(shù)y=3-x的圖象(如上圖)，因為函數(shù)y=lgx是定義域內(nèi)的增函數(shù)，函數(shù)y=3-x是定義域內(nèi)的減函數(shù)，由圖象可知，方程的根在區(qū)間(2,3)內(nèi)，且只有這一個根.設(shè)方程的根為x1，令f(x)=lgx-3+x，用計算器計算，得
f(2)＜0,f(3)＞0?x1∈(2,3)，f(2.5)＜0,f(3)＞0?x1∈(2.5,3)，f(2.5)＜0,f(2.75)＞0?x1∈(2.5,2.75)，f(2.5)＜0,f(2.625)＞0?x1∈(2.5,2.625)，f(2.562 5)＜0,f(2.625)＞0?x1∈(2.562 5,2.625).因為2.562 5與2.625精確到0.1的近似值都為2.6，所以原方程的近似解為x1≈2.6.點評：同樣，在解題過程中，要提醒同學(xué)們注意保證計算的準(zhǔn)確率，取近似解時的最后一個區(qū)間應(yīng)該是哪一個，怎樣判斷我們的計算已經(jīng)符合精確度的要求了.例
2作出函數(shù)y=x3與y=3x-1的圖象,并寫出方程x3=3x-1的近似解(精確到0.1).中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司
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解：函數(shù)y=x與y=3x-1的圖象如圖所示,在兩個函數(shù)圖象的交點處,函數(shù)值相等.因此,這三個交點的橫坐標(biāo)就是方程x=3x-1的解.3由圖象可以知道,方程x3=3x-1的解分別在區(qū)間(-2,-1),(0,1)和(1,2)內(nèi).那么,對于區(qū)間(-2,-1),(0,1)和(1,2)分別利用二分法就可以求得它精確到0.1的近似解為
x1≈-1.9，x2≈0.3, x3≈1.5.例3
求方程2x+x=4的近似解(精確到0.1).解：方程2x+x=4可以化為2x=4-x.分別畫函數(shù)y=2x與y=4-x的圖象,如右圖所示.由圖象可以知道,方程2x+x=4的解在區(qū)間(1,2)內(nèi),那么對于區(qū)間(1,2),利用二分法就可以求得它的近似解為x≈1.4.知能訓(xùn)練
課本第79頁練習(xí)1、2.課本第81頁練習(xí)1、2.解答：
課本第79頁練習(xí)
1.設(shè)f(x)=x3+3x-1.因為f(0)=-1＜0，f(1)=3＞0，所以方程x3+3x-1=0在(0,1)內(nèi)有解.中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司
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2.略
3.用二分法求方程f(x)=0近似解的一般步驟.第一步：取一個區(qū)間(a,b)，使f(a)·f(b)＜0，令a0=a,b0=b；
第二步：取區(qū)間(a0,b0)的中點，x0=
12(a0+b0)；
第三步：計算f(x0)，①若f(x0)=0，則x0就是f(x)=0的解，計算終止；②若f(a)·f(x0)＜0，則解位于區(qū)間(a0,x0)中，令a1=a0，b1=x0；③若f(x0)·f(b0)＜0，則解位于區(qū)間(a0,b0)中，令a1=x0，b1=b0；
第四步：取區(qū)間(a1,b1)的中點，x1=程的解總位于區(qū)間(an,bn)內(nèi)；
第五步：當(dāng)an、bn精確到規(guī)定的精確度的近似值相等時，那么這個值就是所求的近似解.課本第81頁練習(xí)
1.解法1：由2x2=3x-1，得2x2-3x+1=0，即(2x-1)(x-1)=0，所以x1=1，x2=解法2：由2x=3x-1，得2x-3x+1=0，即(x-
32212(a1+b1)，重復(fù)第二步和第三步，直到第n步，方
1234.-142
34)=
116，所以x1=
34+
14=1，x2=
=
12.2.設(shè)f(x)=x-2x-1.因為f(-1)=0，所以x1=-1是方程的解.所以f(x)=(x+1)(x-x-1).由x-x-1=0，得x=1?25，即x2≈-0.6，x3≈1.6.課堂小結(jié)
二分法是求方程的近似解一種方法，但是并不能求所有方程的解，只有在零點兩側(cè)函數(shù)值異號并且圖象連續(xù)的函數(shù)，才能用二分法求解.求解時先根據(jù)圖象或函數(shù)性質(zhì)得到初始區(qū)間，然后取區(qū)間中點，求中點函數(shù)值，再取其中的一個子區(qū)間，如此循環(huán)，直到區(qū)間兩端的近似值相等為止.當(dāng)然，如果在求中點函數(shù)值的時候結(jié)果恰為0，則運算立即終止，中點值就是方程的零點.作業(yè)
課本第81頁習(xí)題2.5 3、5.設(shè)計感想
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求能“根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠借助計算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法”.因此在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生甲聯(lián)系的觀點理解知識，溝通函數(shù)、方程、不等式及算法等內(nèi)容，體現(xiàn)知識與知識之間、知識與實際之間的聯(lián)系，使學(xué)生能夠感受到多方面的聯(lián)系，從整體上把握所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，加強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力.函數(shù)應(yīng)用的一個重要內(nèi)容就是利用函數(shù)的性質(zhì)和圖象求解函數(shù)對應(yīng)方程的根，二分法就是體現(xiàn)這種應(yīng)用的方法.通過對二分法的學(xué)習(xí)，不僅使學(xué)生掌握一種求方程近似解的方法，而且通過對二分法的步驟的理解，開始懂得“有步驟、程序化”是算法思想的重要特征，為必修3中學(xué)習(xí)算法內(nèi)容埋下伏筆.在本節(jié)課的教學(xué)中，我們通過求具體的方程的近似解介紹“二分法”并總結(jié)其實施步驟，注意讓學(xué)生歸納概括所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論或規(guī)律，并用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表述出來.近似的思想和逼近的思想在以往傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中被忽視了，好像數(shù)學(xué)不講究近似，其實這兩種數(shù)學(xué)思想很重要.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生體會到函數(shù)與方程之間的緊密聯(lián)系.有了函數(shù)的觀點，中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司
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對方程的認(rèn)識和理解將會更加深入.二分法就是函數(shù)知識的一個應(yīng)用，通過它可以求得方程的近似解.在選定的初始區(qū)間時，注意分析函數(shù)圖象的變化趨勢，通過試驗確定端點.初始區(qū)間可以選的不同，不影響最終計算結(jié)果.二分法只是求方程近似解的一種方法，類似的還有0.618法、牛頓法與迭代法等.在教學(xué)過程中，我們要聯(lián)系函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，利用函數(shù)的有關(guān)知識，求相應(yīng)方程的近似解.培養(yǎng)學(xué)生“函數(shù)與方程的思想方法”，即對于某些函數(shù)的問題，從方程的角度去解決，或方程的問題用函數(shù)的觀點去解決，充分體現(xiàn)函數(shù)與方程的有機(jī)聯(lián)系.很多參考資料是源于人教版教材，而人教版(A)中的精確度是這樣定義的：給定精度ε，若|a-b|＜ε，則得到零點近似值a(或b).教材第105頁給出例2，要求“精確到0.1”，解答中提到“由于|1.375－1.437 5|＝0.062 5＜0.1，此時區(qū)間(1.375－1.437 5)的兩個端點精確到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精確到0.1的近似解為1.4”，所以兩套教材并不矛盾.人教版(B)中精確度的定義與(A)版一致，在教材第79頁給出一個例題，要求是“誤差不超過0.1”，所以用|a-b|＜ε也是正確的.但是按照蘇教版精確度的定義，正確的處理方法應(yīng)該是“區(qū)間兩個端點的近似值相等”.習(xí)題詳解
課本第81頁習(xí)題2.5
1.解法1：∵Δ=12-4×1×1=-3＜0，∴方程x2+x+1=0沒有實數(shù)根.解法2：令f(x)=x2+x+1它的圖象是開口向上，對稱軸為直線x=?
∴當(dāng)x=?1212的拋物線，時，y有最小值ymin=f(?12)=(?12)2+(?12)+1=
34＞0.∴函數(shù)的圖象全部在x軸上方，∴方程x2+x+1=0沒有實數(shù)根.2.令f(x)=5x2-7x-1
∵f(-1)·f(0)=(5+7-1)×(-1)=-11＜0，∴方程的一個根在區(qū)間(－1，0)內(nèi).同理f(1)·f(2)=(5-7-1)×(5×22-7×2-1)=-15＜0，∴方程的另一個根在區(qū)間(1，2)內(nèi).2
3.令f(x)=x-2x-2，作出函數(shù)的示意圖，設(shè)函數(shù)的一個零點為x1，由圖象可知，f(2)＜0,f(3)＞0.用計算器計算，得
f(2)＜0,f(3)＞0?x1∈(2,3)，f(2.5)＜0,f(3)＞0?x1∈(2.5,3)，f(2.5)＜0,f(2.75)＞0?x1∈(2.5,2.75)，f(2.625)＜0,f(2.75)＞0?x1∈(2.625,2.75)，f(2.718 75)＜0,f(2.75)＞0?x1∈(2.718 75,2.75)，f(2.718 75)＜0,f(2.734 375)＞0?x1∈(2.718 75,2.734 375).中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司
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因為2.718 75與2.734 375精確到0.1的近似值都為2.7，所以原方程的近似解為x1≈2.7.類似地可以求得另一個近似解為x2≈-0.7.點評：本題嚴(yán)格按照要求嚴(yán)格這樣算，但是在具體計算過程中，可少算一步.當(dāng)計算得到x1∈(2.718 75,2.75)時，盡管區(qū)間兩端的近似值不同，左端點的近似值為2.7，右端點的近似值為2.8，但是由于x1＜2.75，所以只要比2.75小任何一點點，近似值都只能是2.7，所以到這一步其實我們已經(jīng)可以確定x1的近似值只能是2.7了.至于另一個根x2，我們完全可以利用二次函數(shù)的對稱性得到，因為函數(shù)的對稱軸為直線x=1，所以x1+x2=2，所以x2≈-0.7，而沒有必要再進(jìn)行如此重復(fù)的運算了.所以這里可以告誡學(xué)生，知識是死的，方法是活的，我們應(yīng)該靈活應(yīng)用所掌握的知識.4.解法1：由x2-3x-10=0，得(x-5)(x+2)=0，所以x1=-2，x2=5.解法2：由x-3x-10=0，得x=2
3?9?402?3?72，所以x1=-2，x2=5.5.(1)作出函數(shù)y=lg2x和函數(shù)y=-x+1的圖象〔圖(1)〕
圖(1)
令f(x)=lg2x+x-1，由圖象可知，函數(shù)只有一個零點在區(qū)間(0.5，1)內(nèi).由計算器計算，可得：
f(0.5)＜0,f(1)＞0?x1∈(0.5,1), f(0.75)＜0,f(1)＞0?x1∈(0.75,1)，f(0.75)＜0,f(0.875)＞0?x1∈(0.75,0.875)，f(0.75)＜0,f(0.812 5)＞0?x1∈(0.75,0.812 5)，因為0.75與0.812 5精確到0.1的近似值都為0.8，所以原方程的近似解為x1≈0.8.x
(2)作出函數(shù)y=3和函數(shù)y=x+4的圖象〔圖(2)〕.令f(x)=3x-x-4，由圖象可知，函數(shù)的一個零點在區(qū)間(1，2)內(nèi)，設(shè)其為x1
圖(2)
由計算器計算，可得：
f(1)＜0,f(2)＞0?x1∈(1,2)，f(1.5)＜0,f(2)＞0?x1∈(1.5,2)，f(1.5)＜0,f(1.75)＞0?x1∈(1.5,1.75)，f(1.5)＜0,f(1.625)＞0?x1∈(1.5,1.625)，f(1.5)＜0,f(1.562 5)＞0?x1∈(1.5,1.562 5)，f(1.531 25)＜0,f(1.562 5)＞0?x1∈(1.531 25,1.562 5)，中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司
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f(1.546 875)＜0,f(1.562 5)＞0?x1∈(1.546 875,1.562 5)，f(1.554 687 5)＜0,f(1.562 5)＞0?x1∈(1.554 687 5,1.5625).因為1.554 687 5與1.562 5精確到0.1的近似值都為1.6，所以原方程的近似解為x1≈1.6.類似地可以求得另一個近似解為x2≈-4.0.中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司
第二篇：基本初等函數(shù)
基本初等函數(shù)
一、考點分析
函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，它把中學(xué)數(shù)學(xué)的各個分支緊密地聯(lián)系在一起，是中學(xué)數(shù)學(xué)全部內(nèi)容的主線。在高考中，至少三個小題一個大題，分值在３０分左右。以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、生成性函數(shù)為載體結(jié)合圖象的變換（平移、伸縮、對稱變換）、四性問題（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性）、反函數(shù)問題常常是選擇題、填空題考查的主要內(nèi)容，其中函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性有向抽象函數(shù)發(fā)展的趨勢。函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合是高考的熱點題型，文科以三次（或四次）函數(shù)為命題載體，理科以生成性函數(shù)（對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及分式函數(shù)）為命題載體，以切線問題、極值最值問題、單調(diào)性問題、恒成立問題為設(shè)置條件，與不等式、數(shù)列綜合成題，是解答題試題的主要特點。
考點：函數(shù)的定義域和值域，了解并簡單應(yīng)用分段函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性、最值及幾何意義、奇偶性，會利用函數(shù)圖像表示并分析函數(shù)的性質(zhì)；理解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念以及運算
性質(zhì)，會畫圖像并且了解相關(guān)性質(zhì)。了解冪函數(shù)的概念，結(jié)合圖像了解變化情況。
易錯點：容易遺忘判斷單調(diào)性以及奇偶性的方法；容易遺忘指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)，以及相關(guān)的運算性質(zhì)。
難點：函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)以及運算性質(zhì)。
二、知識分析
1．函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個函數(shù)是否相同？（定義域、對應(yīng)法則、值域）
2．求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？
例：函數(shù)
y?lgx?3的定義域是答：?0，2?3??3，4? ?2，3．如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？
如：函數(shù)f(x)的定義域是?a，b?，b??a?0，則函數(shù)F(x)?f(x)?f(?x)的定義域是_____________。答：?a，?a?
4．求一個函數(shù)的解析式數(shù)時，注明函數(shù)的定義域了嗎？
如：f
令t?ex?x，求f（x)t?0，∴x?t2?1，∴f(t)?et
x2?12?1?t2?1，∴f(x)?e?x2?1?x?0?
5．如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？（取值、作差、判正負(fù)）
如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性？，u??(x)（內(nèi)層），則y?f??(x)? y?f(u)（外層）
當(dāng)內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同時，f
??(x)?為增函數(shù)，否則f??(x)?為減函數(shù)
如：求y?log1?x2?2x的單調(diào)區(qū)間。
設(shè)u??x?2x，由u?0，則0?x?2且log1u?，u???x?1??1，如圖
??
當(dāng)x?(0，1]時，u?，又log1u?，∴y?
當(dāng)x?[1，2)時，u?，又log1u?，∴y?
∴……）
6．如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？
在區(qū)間?a，b?內(nèi)，若總有f'(x)?0，則f(x)為增函數(shù)。（在個別點上導(dǎo)數(shù)等于零，不影響函數(shù)的單調(diào)性），反之也對，若f'(x)?0呢？
如：已知a?0，函數(shù)f(x)?x3?ax在?1，???上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值是 A．0
B．1C．2D．
3?x??0令f'(x)?3x?a?3?x?，則x?
x?，??
由已知f(x)在?1，????1，即a?3，∴a的最大值為3 7．函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？（f(x)定義域關(guān)于原點對稱）
若f(?x)??f(x)總成立?f(x)為奇函數(shù)?函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱 若f(?x)?f(x)總成立?f(x)為偶函數(shù)?函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱 注意如下結(jié)論：
（1）在公共定義域內(nèi)：兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。
（2）若f(x)是奇函數(shù)且定義域中有原點，則f(0)?0
a·2x?a?
2如：若f(x)?為奇函數(shù)，則實數(shù)a?
2x?
1a·20?a?2
?0，∴a?1 ∵f(x)為奇函數(shù)，x?R，又0?R，∴f(0)?0，即0
2?12x
又如：f(x)為定義在(?11)，求f(x)在，上的奇函數(shù)，當(dāng)x?(0，1)時，f(x)?x
4?1(?11)，上的解析式。
2?x
令x???10，?，則?x??01，?，f(?x)??x
4?12?x2x
??又f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)???x
4?11?4x
?2x
0)??4x?1,x?(?1，??
又f(0)?0，∴f(x)??0,x?0
?2x
?x,x??0，1??4?1?
8．你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？
（T?0）若存在實數(shù)T，在定義域內(nèi)總有f?x?T??f(x)，則f(x)為周期函數(shù)，T是
一個周期。如：若f?x?a???f(x)，則答： T?2a為f(x)的一個周期。
又如：若f(x)圖像有兩條對稱軸x?a，x?b???即f(b?x)?f(b?x)，f(a?x)?f(a?x)，則f(x)是周期函數(shù)，2|a?b|為一個周期
如圖：
9．你掌握常用的圖象變換了嗎？
f(x)與f(?x)的圖像關(guān)于y軸對稱 f(x)與?f(x)的圖像關(guān)于x軸對稱 f(x)與?f(?x)的圖像關(guān)于原點對稱 ?將y?f(x)圖像??????右移a(a?0)個單位
左移a(a?0)個單位
y?f(x?a)上移b(b?0)個單位y?f(x?a)?b
??????? 下移b(b?0)個單位
y?f(x?a)y?f(x?a)?b
注意如下“翻折”變換：f(x)?|f(x)|,f(x)?f(|x|)
如：f(x)?log2?x?1?y=log2x
作出y?|log2?x?1?|及y?log2|x?1|的圖像
10．你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？
（1）一次函數(shù)：y?kx?b?k?0?（2）反比例函數(shù)：y?
kk
?k?0?推廣為y?b??k?0?是中心O'(a，b)的雙曲線。
xx?a
b?4ac?b2?
（3）二次函數(shù)y?ax?bx?c?a?0??a?x?的圖像為拋物線 ??
2a?4a?
?b4ac?b2?bx??頂點坐標(biāo)為??，對稱軸 ?2a4a??2a
開口方向：a?0，向上，函數(shù)ymin
4ac?b2?
4a
a?0，向下，ymax
4ac?b2?
4a
應(yīng)用：①“三個二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不
等式）的關(guān)系——二次方程ax?bx?c?0，??0時，兩根x1、x2為二次函數(shù)
也是二次不等式ax?bx?c?0(?0)解集的端y?ax2?bx?c的圖像與x軸的兩個交點，點值。
②求閉區(qū)間［m，n］上的最值。
③求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。④一元二次方程根的分布問題。
如：二次方程ax?bx?c?0的兩根都大于
???0
?b?k????k，一根大于k，一根小于k?f(k)?0
2a???f(k)?0
（4）指數(shù)函數(shù)：y?a
x
?a?0，a?1?
ax(a>1)
（5）對數(shù)函數(shù)：y?logax?a?0，a?1?
由圖象記性質(zhì)！（注意底數(shù)的限定！）（6）“對勾函數(shù)”y?x?
(a?
0)，k
?k?0? x
1ap
11．你在基本運算上常出現(xiàn)錯誤嗎？
指數(shù)運算：a0?1(a?0)，a
?p
?
a?a?
0)，a
mn
?
mn
?
a?0)
對數(shù)運算：logaM·N?logaM?logaN?M?0，N?0?
loga
M
1?logaM?logaN，loga?logaM Nn
logax
對數(shù)恒等式：a
?x；對數(shù)換底公式：logab?
logcbn
?logambn?logab logcam
12．如何解抽象函數(shù)問題？（賦值法、結(jié)構(gòu)變換法）
如：（1）x?R，f(x)滿足f(x?y)?f(x)?f(y)，證明f(x)為奇函數(shù)。先令x?y?0?f(0)?0，再令y??x，……
（2）x?R，f(x)滿足f(xy)?f(x)?f(y)，證明f(x)為偶函數(shù)。先令x?y??t?f[(?t)(?t)]?f(t?t)，∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t)，∴f(?t)?f(t)……
（3）證明單調(diào)性：f(x2)?f???x2?x1??x2???…… 13．掌握求函數(shù)值域的常用方法了嗎？
（二次函數(shù)法（配方法），換元法，均值定理法，利用函數(shù)單調(diào)性法，導(dǎo)數(shù)法等。）
三、習(xí)題
第三篇：示范教案(第2章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ 2.3.2)
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2.3.2 對數(shù)函數(shù)
整體設(shè)計
教材分析
對數(shù)函數(shù)是我們學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等最簡單的函數(shù)后，在新的知識平臺上系統(tǒng)研究的又一類基本初等函數(shù).對數(shù)函數(shù)的有關(guān)知識是以對數(shù)概念和運算法則、換底公式作為基礎(chǔ)知識來學(xué)習(xí)的.對數(shù)函數(shù)的圖象是對照指數(shù)函數(shù)的圖象，運用計算機(jī)(器)描繪出來的，通過比較分析來研究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的教學(xué)可利用類比指數(shù)函數(shù)的教學(xué)進(jìn)行.對數(shù)函數(shù)的概念是通過一個關(guān)于細(xì)胞分裂次數(shù)的實際問題提出的，這說明對數(shù)函數(shù)的概念來自于實踐，便于學(xué)生接受，但在教學(xué)中，學(xué)生往往容易忽略定義域，因此，要結(jié)合指數(shù)式強(qiáng)調(diào)說明對數(shù)函數(shù)的定義域.本章節(jié)教學(xué)的重點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)、會求簡單對數(shù)函數(shù)的定義域、值域.在研究對數(shù)函數(shù)的時候，底數(shù)的取值范圍對圖象的影響(即單調(diào)性的影響)是本節(jié)的一個教學(xué)難點，因此在教學(xué)過程中可以通過指數(shù)函數(shù)的的圖象對比著學(xué)習(xí)，加強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想.在比較系統(tǒng)的學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，利用對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)研究一些含有對數(shù)式的、形式上比較復(fù)雜的函數(shù)的圖象和性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性也成為本節(jié)的教學(xué)難點.三維目標(biāo)
1.理解對數(shù)函數(shù)的概念，能正確描繪和辨別對數(shù)函數(shù)的圖象.2.掌握對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及簡單應(yīng)用.3.通過對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生分清指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)這兩類基本的初等函數(shù)在研究方法上的異同之處.使學(xué)生體會到知識之間的有機(jī)聯(lián)系以及蘊含在其中的數(shù)學(xué)思想和方法.4.通過對數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)的研究，加深對對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的理解，深化學(xué)生對函數(shù)圖象變化規(guī)律的理解，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納的思維能力以及數(shù)學(xué)交流能力.5.通過對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)，樹立相互聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化的觀點，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，同時培養(yǎng)學(xué)生與人合作、共同探討的優(yōu)良品質(zhì).重點難點
教學(xué)重點：
1.對數(shù)函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)以及應(yīng)用.2.對數(shù)函數(shù)的特性以及函數(shù)的通性在解決有關(guān)問題中的靈活使用.教學(xué)難點：
1.對數(shù)函數(shù)的底數(shù)的變化對函數(shù)圖象的影響，對于含參數(shù)的對數(shù)式滲透分類討論思想.2.函數(shù)圖象的平移、翻轉(zhuǎn)變化以及復(fù)合對數(shù)式函數(shù)的圖象研究.課時安排
3課時
教學(xué)過程
第一課時
對數(shù)函數(shù)(一)導(dǎo)入新課
設(shè)計思路一(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)
1.在前面通過系統(tǒng)地學(xué)習(xí)指數(shù)和對數(shù)這兩種運算，請同學(xué)們回顧指數(shù)冪運算和對數(shù)運算的定義并說出這兩種運算的本質(zhì)區(qū)別.2.回顧指數(shù)函數(shù)定義、圖象和性質(zhì)，并繪制指數(shù)函數(shù)圖象，根據(jù)圖象指出指數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)(定義域、值域、過定點、單調(diào)性).在等式ab=N(a＞0，且a≠1，N＞0)中已知底數(shù)a和指數(shù)b，求冪值N，就是指數(shù)問題；
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已知底數(shù)a和冪值N，求指數(shù)b，就是我們前面剛剛學(xué)習(xí)過的對數(shù)問題，而且無論是求冪值N還是求指數(shù)b，結(jié)果都只有一個，有指數(shù)函數(shù)，那么也有對數(shù)函數(shù).設(shè)計思路二(情境導(dǎo)入)
x
在某細(xì)胞分裂過程中，細(xì)胞個數(shù)y是分裂次數(shù)x的函數(shù)y=2.因此，當(dāng)已知細(xì)胞的分裂次數(shù)x的值(即輸入值是分裂次數(shù)x)，就能求出細(xì)胞個數(shù)y的值(即輸出值是細(xì)胞個數(shù)y),這樣，就建立起細(xì)胞個數(shù)y和分裂次數(shù)x之間的一個關(guān)系式，你還記得這個函數(shù)模型的類型嗎？ 反過來，在等式y(tǒng)=2x中，如果我們知道了細(xì)胞個數(shù)y，求分裂次數(shù)x，這將會是我們研究的哪類問題？
x
能否根據(jù)等式y(tǒng)=2，把分裂次數(shù)x表示出來？
在關(guān)系式x=log2y中每輸入一個細(xì)胞個數(shù)y的值，是否一定都能得到唯一一個分裂次數(shù)x的值？
(生思考，并交流思考結(jié)果，師總結(jié))
我們通過研究發(fā)現(xiàn)：在關(guān)系式x=log2y中把細(xì)胞個數(shù)y看作自變量，則每輸入一個y的值，都能得到唯一一個分裂次數(shù)x的值，根據(jù)函數(shù)的定義，分裂次數(shù)x就可以看作是細(xì)胞個數(shù)y的函數(shù)，這樣就得到我們生活中的又一類與指數(shù)函數(shù)有密切關(guān)系的函數(shù)模型——對數(shù)函數(shù).這就是我們下面將要研究的問題.推進(jìn)新課
新知探究
在前面學(xué)習(xí)中所提到的放射性物質(zhì)，經(jīng)過時間x(年)與物質(zhì)剩留量y的關(guān)系為y=0.84x，我們也可把它寫成對數(shù)式：x=log0.84y，其中時間x(年)也可以看作物質(zhì)剩留量y的函數(shù)，可見這樣的問題在實際生活中還是不少的.一般地，函數(shù)y=logax(a＞0，a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，由對數(shù)概念可知，對數(shù)函數(shù)y=logax的定義域是(0，+∞).合作探究：為什么對數(shù)函數(shù)的定義域是(0，+∞)？
函數(shù)y=logax和函數(shù)y=ax(a＞0，且a≠1)的定義域、值域之間有什么關(guān)系？
分析：由指數(shù)式和對數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化可得到：對數(shù)函數(shù)的定義域就是相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的值域，對數(shù)函數(shù)的值域就是相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的定義域.由指數(shù)函數(shù)的定義域為(-∞，+∞)，值域為(0，+∞)，故對數(shù)函數(shù)的定義域為(0，+∞)，值域為(-∞，+∞).由此探究可以得出，研究對數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)完全可以由指數(shù)函數(shù)入手研究，因為兩者之間是緊密聯(lián)系的，根據(jù)我們研究指數(shù)函數(shù)的經(jīng)歷，你覺得下面應(yīng)該學(xué)習(xí)什么內(nèi)容了？ 請回顧一下指數(shù)函數(shù)的圖象的研究過程，根據(jù)對數(shù)的定義，列舉幾個對數(shù)函數(shù)的解析式，并嘗試在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出它們的圖象.合作探究：借助于計算器或計算機(jī)在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出它們的圖象，并觀察各組函數(shù)的圖象，探究它們之間的關(guān)系.(1)y=2x，y=log2x；
(2)y=(12)x，y=log1x；
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(組織學(xué)生討論，互相交流自己獲得的結(jié)論，師用多媒體顯示以上兩組函數(shù)圖象，借助
x于《幾何畫板》軟件動態(tài)演示圖象的形成過程，揭示函數(shù)y=
2、y=log2x圖象間的關(guān)系及函數(shù)y=(12)x，y=log1x圖象間的關(guān)系，得出如下結(jié)論)
2結(jié)論：(1)函數(shù)y=2和y=log2x的圖象關(guān)于直線y=x對稱；
(2)函數(shù)y=(12x)和y=log1x圖象也關(guān)于直線y=x對稱.2x
合作探究：分析你所畫的兩組函數(shù)圖象,看看一般的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象有什么關(guān)系？即當(dāng)a＞0，且a≠1時，函數(shù)y=ax，y=logax的圖象之間有什么關(guān)系？
結(jié)論：函數(shù)y=ax和y=logax(a＞0，且a≠1)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.觀察歸納：觀察課本第66頁圖233的函數(shù)圖象，對照指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，你發(fā)現(xiàn)對數(shù)函數(shù)y=logax的哪些性質(zhì)？
對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
a＞1
0＜a＜1 圖象
(1)定義域：(0，+∞)；
性質(zhì)
(2)值域：R；
(3)過點(1，0)，即當(dāng)x=1時，y=0；
(4)在(0，+∞)上是單調(diào)增函數(shù)；(4)在(0，+∞)上是單調(diào)減函數(shù)
函數(shù)y=ax稱為y=logax的反函數(shù)，反之，y=logax稱為y=ax的反函數(shù).一般地，如果函數(shù)y=f(x)存在反函數(shù)，那么它的反函數(shù)記作y=f-1(x).應(yīng)用示例
例
1求下列函數(shù)的定義域：
(1)y=log0.2(4-x)；
(2)y=loga
(3)y=logx?1(a＞0，a≠1)；
12(5x?3).解：(1)由題意可得4-x＞0，解之得x＜4，中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司
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所以函數(shù)y=log0.2(4-x)的定義域為{x|x＜4}.(2)由題意可得x?1＞0，又因為偶次根號下非負(fù)，所以x-1＞0，即x＞1，所以函數(shù)y=logax?1(a＞0，a≠1)的定義域為{x|x＞1}.(3)由題意可得要偶次根號下非負(fù)，又因為真數(shù)要大于0，?log1(5x?3)?0,?5x?3?1,??2
所以?即? 3??x?,?5x?3?0,5?
解得35＜x≤45，(5x?3)的定義域為{x|
5故函數(shù)y=log12＜x≤
45}.點評：解決有關(guān)函數(shù)求定義域的問題時可以從以下幾個方面考慮，列出相應(yīng)不等式或不等式組，解之即可.①若函數(shù)解析式中含有分母，則分母不等于0；
②若函數(shù)解析式中含有根號，要注意偶次根號下非負(fù)；
③0的0次冪沒有意義；
④若函數(shù)解析式中含有對數(shù)式，要注意對數(shù)的真數(shù)大于0.求函數(shù)的定義域的本質(zhì)是解不等式或不等式組.問題①：請大家課后總結(jié)在求對數(shù)函數(shù)定義域時需要注意哪些問題？ 問題②：在建立不等式組求解的過程中，你認(rèn)為哪些地方比較容易出錯？
例2
比較下列各組數(shù)中兩個數(shù)的大小：
(1)log23.4，log23.8；
(2)log0.51.8，log0.52.1；
(3)log20.8，log0.52.5；
(4)loga5.1，loga5.9；
(5)log75，log67.分析：(1)(2)兩個對數(shù)是同底數(shù)的，故可直接根據(jù)單調(diào)性進(jìn)行比較；(3)雖然不同底但是可以化為同底數(shù)的對數(shù)，然后再利用單調(diào)性進(jìn)行比較；(4)的底數(shù)是個參數(shù)，遇到參數(shù)的題討論是必不可少的，于是分類討論，當(dāng)a＞1時，函數(shù)是增函數(shù)，當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)是減函數(shù).(5)是上述所說情況中沒有的，不能化同底，那么只能尋求中介值進(jìn)行比較，一般都找1或0作為中介值.解：(1)考查函數(shù)y=log2x，因為它的底數(shù)是2，且2＞1,所以它在(0，+∞)上是單調(diào)增函數(shù).又因為0＜3.4＜3.8，所以log23.4＜log23.8；
(2)考查函數(shù)y=log0.5x，因為它的底數(shù)是0.5，且0＜0.5＜1,所以它在(0，+∞)上是單調(diào)減函數(shù).又因為0＜1.8＜2.1，所以log0.51.8＞log0.52.1；
(3)考查兩個log20.8，log0.52.5的底數(shù)不相同，但是出現(xiàn)的是2和0.5，故可轉(zhuǎn)化同底log20.8與log20.4的大小比較，與(1)同，因為log20.8＞log20.4，所以log20.8＞log0.52.5；
(4)當(dāng)a＞1時，函數(shù)y=logax在(0，+∞)上是單調(diào)遞增的,所以loga5.1＜loga5.9；當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)y=logax在(0，+∞)上是單調(diào)遞減的,所以loga5.1＞loga5.9；
(5)考查函數(shù)y=log7x，因為它的底數(shù)是7，且7＞1,所以它在(0，+∞)上是單調(diào)增函數(shù).又因為0＜5＜7，所以log75＜log77=1.同理log67＞log66=1，所以log75＜log67.中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司
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點評：本例是利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較兩個對數(shù)式的大小的問題，一般是根據(jù)所給對數(shù)式的特征，確定一個目標(biāo)函數(shù)，把需要比較大小的對數(shù)式看作是對應(yīng)函數(shù)中兩個能比較大小的自變量的值對應(yīng)的函數(shù)值，再根據(jù)所確定的目標(biāo)函數(shù)的單調(diào)性比較對數(shù)式的大小.當(dāng)?shù)讛?shù)為變量時，要分情況對底數(shù)進(jìn)行討論來比較兩個對數(shù)的大小.例
3已知logm4＜logn4，試比較m，n的大小.分析：要比較的兩個對數(shù)真數(shù)相同，屬于比較底數(shù)的大小的問題，所以和前面例2很類似，但是不同的是沒有給出它的符號，所以難度要大點，但是m，n的范圍都是大于0且不等于1的實數(shù)，于是解答時要對m，n的范圍進(jìn)行討論，此時要利用分類討論的思想.解：logm4＜logn4?1log4m?1log4n，當(dāng)m＞1，n＞1時，有0＜
1log4m?1log4n，所以log4n＜log4m，此時m＞n＞1.當(dāng)0＜m＜1，0＜n＜1時，有
1log4m?1log4n＜0，所以log4n＜log4m，此時0＜n＜m＜1.當(dāng)0＜m＜1，n＞1時，有l(wèi)og4m＜0，0＜log4n，此時滿足.所以0＜m＜1＜n.綜上所述，m，n的大小關(guān)系為m＞n＞1或0＜n＜m＜1或0＜m＜1＜n.點評：本題也可通過作圖形進(jìn)行觀察比較，在此不作詳解，請學(xué)生自己完成.例
4求下列函數(shù)的值域：
(1)y=log2x+2(x≥1)；(2)y=log1(x+1)(0＜x＜3)；
(3)y=log2(2-x)；(4)y=log2(x?1)(-3≤x≤1).分析：由對數(shù)函數(shù)的圖象可得定義域為(0，+∞)，值域為R.所以在求對數(shù)函數(shù)的值域時要結(jié)合圖象，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來求解.對于形式上比較復(fù)雜的則要先求出定義域，根據(jù)具體的形式作出判斷，從內(nèi)到外進(jìn)行求解.解：(1)因為2＞1，所以函數(shù)y=log2x為增函數(shù)，當(dāng)x≥1時，log2x≥0，所以函數(shù)y=log2x+2(x≥1)的值域為[2，+∞).(2)因為0＜x＜3，所以1＜x+1＜4，又函數(shù)y=log
所以log4＜log(x+1)＜log12x為減函數(shù)，1212121，即得值域為(-2，0).(3)由題意可得2-x＞0，即得當(dāng)x＜2時，函數(shù)的值域為R.2
(4)令t=x+1，則當(dāng)-3≤x≤1時，t∈[1，10]，故log2t∈[0，log210]，所以函數(shù)y=log2(x?1)
2(-3≤x≤1)的值域為[0，log210].點評：前面兩個比較容易接受，(3)理解有點困難，教學(xué)時要強(qiáng)調(diào)當(dāng)x＜2時，真數(shù)2-x能取到所有的大于0的實數(shù)，所以值域為R；(4)是個根式和對數(shù)復(fù)合的函數(shù)求值域的問題，中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司
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此時要先求根式里面的對數(shù)的范圍，再結(jié)合根式有意義最終寫出值域.知能訓(xùn)練
一、課本第69頁練習(xí)1、3.2二、1.求函數(shù)y=loga(9-x)(a＞0，a≠1)的定義域.2.比較下列各題中兩個值的大小:
(1)log36_________log38；(2)log0.56_________log0.54；
(3)log0.10.5________lg0.6；(4)log1.51.6_________log20.4.3.已知下列不等式，比較正數(shù)m，n的大小：
(1)log3m＜log3n；(2)log0.3m＞log0.3n；
(3)logam＜logan(0＜a＜1)；(4)logam＞logan(a＞0，a≠1).4.將0.3，log20.5，log0.51.5由小到大排列的順序是：____________.解答：
一、1.圖略，y=log3x與y=log1x的圖象關(guān)于x軸對稱.323.(1)log35.4＜log35.5；(2)log1π＜log1e；
(3)lg0.02＜lg3.12；(4)ln0.55＜ln0.56.二、1.由對數(shù)函數(shù)的定義知：9-x2＞0，解得-3＜x＜3，所以函數(shù)y=loga(9-x2)(a＞0，a≠1)的定義域為{x|-3＜x＜3}.2.(1)＜；(2)＜；(3)＞；(4)＞.3.(1)由于3＞1，所以0＜m＜n.(2)由于0＜0.3＜1，所以0＜m＜n.(3)由于0＜a＜1，所以m＞n＞0.(4)當(dāng)a＞1時，m＞n＞0；當(dāng)0＜a＜1時，0＜m＜n.4.因為0＜0.3＜1，log20.5＜0，log0.51.5=log
2課堂小結(jié)
1.對數(shù)函數(shù)的概念.2.對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).3.會求對數(shù)函數(shù)的定義域.4.利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小的一般方法和步驟.作業(yè)
課本第70頁習(xí)題2.3(2)1、2、3.設(shè)計感想
本節(jié)是對數(shù)函數(shù)第一課時，主要教學(xué)目標(biāo)就是講解對數(shù)函數(shù)的概念，會求簡單的對數(shù)函數(shù)的定義域，根據(jù)單調(diào)性比較對數(shù)大小.教學(xué)中通過計算器列表描點或幾何畫板來刻畫對數(shù)函數(shù)圖象，在教學(xué)中讓學(xué)生在同一個坐標(biāo)系畫出同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象，將指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)作比較發(fā)現(xiàn)它們的圖象是關(guān)于直線y=x對稱的.從中發(fā)現(xiàn)指對數(shù)函數(shù)的定義域和值域之間的關(guān)系，即對數(shù)函數(shù)中的定義域就是指數(shù)函數(shù)中的值域，對數(shù)函數(shù)中的值域就是指數(shù)函數(shù)中的定義域.在教學(xué)中充分利用圖象，幫助學(xué)生理解底數(shù)a的取值對圖象的影響(即確定函數(shù)的單調(diào)性)，對數(shù)函數(shù)的定義域為正實數(shù)這也是個難點，學(xué)生在解題中很容易漏掉.講解定義域時，要注意函數(shù)求定義域時需要注意的一些問題，尤其是復(fù)合函數(shù)的定義域要保證每個部分都要有意義.利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行對數(shù)的大小比較時，要讓學(xué)生觀察當(dāng)?shù)讛?shù)相同時如何比較，當(dāng)?shù)讛?shù)不同時又怎樣比較.對于真數(shù)相同而底不同的對數(shù)大小比較
223＜0，所以log20.5＜log0.51.5＜0.3.2中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司
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可以采取取倒數(shù)化同底，也可以利用圖象的特征進(jìn)行觀察比較.關(guān)于對數(shù)求值域的問題，在此只要講解比較簡單的對數(shù)求值域，即利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行觀察求解，關(guān)于含有對數(shù)式的復(fù)合函數(shù)的值域在此涉及的不多，到講含對數(shù)式復(fù)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)后再作加強(qiáng)訓(xùn)練.(設(shè)計者：顧文艷)
第二課時
對數(shù)函數(shù)(二)
導(dǎo)入新課
將函數(shù)y=2的圖象通過怎樣的變換可得到y(tǒng)=2的圖象以及y=2+1的圖象？
xx+1x
結(jié)論：將y=2的圖象向左平移一個單位可得到y(tǒng)=2的圖象，將y=2的圖象向上平移一個單位可得到y(tǒng)=2x+1的圖象.那么如何由函數(shù)y=2的圖象得到函數(shù)y=2
(學(xué)生回答，老師顯示如下結(jié)論)
結(jié)論：(1)由函數(shù)的y=2圖象得到函數(shù)y=2的圖象的變化規(guī)律為：
當(dāng)a＞0時，只需將函數(shù)y=2x的圖象向左平移a個單位就可得到函數(shù)y=2x+a的圖象.當(dāng)a＜0時，只需將函數(shù)y=2x的圖象向右平移|a|個單位就可得到函數(shù)y=2x+a的圖象.(2)由函數(shù)的y=2x圖象得到函數(shù)y=2x+b的圖象的變化規(guī)律為：
當(dāng)b＞0時，只需將函數(shù)y=2的圖象向上平移b個單位就可得到函數(shù)y=2+b的圖象.當(dāng)b＜0時，只需將函數(shù)y=2x的圖象向下平移|b|個單位就可得到函數(shù)y=2x+b的圖象.以上的變化規(guī)律是否對于對數(shù)函數(shù)也同樣適用？如何畫y=log2(-x)、y=-log2x、y=log2|x|、y=|log2x|等形式上比較復(fù)雜的函數(shù)圖象呢？這將是本節(jié)課我們所要討論的主要問題.推進(jìn)新課
新知探究
在同一個坐標(biāo)系作出下列函數(shù)圖象，并指出它們與對數(shù)函數(shù)y=log2x的圖象的關(guān)系：
(1)y=log2(x+1)與y=log2(x+2)；
(2)y=log2x+1與y=log2x+2.分析：要畫出一個函數(shù)的圖象，需要描繪圖象上的點，于是就要列表、描點然后連線.解：(1)列出下列的函數(shù)數(shù)據(jù)表：
y=log2x y=log2(x+1)y=log2(x+2)y x x x
0 1 0-1 2 1 0 4 3 2
0.5 2 2-1 2-2
x
x
x
x+a
x
x+ax
x+
1x的圖象呢？
-1 0.5-0.5-1.5
-2 0.25-0.75-1.75
通過上面的數(shù)據(jù)表，進(jìn)行描點連線可以得到函數(shù)y=log2(x+1)和y=log2(x+2)的圖象，如圖(1).由圖象上點的特征可以得出如下結(jié)論：
若點(x0，y0)在函數(shù)y=log2x的圖象上，那么對應(yīng)點(x0-1，y0)必在函數(shù)y=log2(x+1)的圖象上.于是函數(shù)y=log2(x+1)的圖象就是由函數(shù)y=log2x的圖象向左平移1個單位得到.若點(x0，y0)在函數(shù)y=log2x的圖象上，那么對應(yīng)點(x0-2，y0)必在函數(shù)y=log2(x+2)的圖象上.于是函數(shù)y=log2(x+2)的圖象就是由函數(shù)y=log2x的圖象向左平移2個單位得到.(2)列出下列函數(shù)數(shù)據(jù)表：
函數(shù) Y=log2x y=log2x+1 x y y 1 0 1 0.5-1 0 2 1 2 4 2 3 0.25-2-1 8 3 4
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y=log2x+2 y 2 1 3 4 0 5
通過上面的數(shù)據(jù)表，進(jìn)行描點連線可以得到函數(shù)y=log2x+1和y=log2x+2的圖象，如圖(2).由圖象上點的特征可以得出如下結(jié)論:若點(x0，y0)在函數(shù)y=log2x的圖象上，那么對應(yīng)點(x0，y0+1)在函數(shù)y=log2x+1的圖象上；對應(yīng)點(x0，y0+2)在函數(shù)y=log2x+2的圖象上,于是，函數(shù)y=log2x+1的圖象可由函數(shù)y=log2x的圖象向上平移1個單位；函數(shù)y=log2x+2的圖象可由函數(shù)y=log2x的圖象向上平移2個單位得到.圖(1)
圖(2)
點評：通過列表、描點、連線繪圖的三步驟，可以畫出函數(shù)的圖象，并由圖形上點的特征觀察圖象之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系.這樣便于學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握圖象變化的規(guī)律.可參照課本第68頁例3.思考
如何由函數(shù)y=log2x的圖象得到函數(shù)y=log2(x-1)與函數(shù)y=log2x-1的圖象呢？并說出函數(shù)y=log2(x+a)和函數(shù)y=log2x+b的圖象以及函數(shù)y=log2(x+a)+b的圖象可由函數(shù)y=log2x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
解：函數(shù)y=log2(x-1),y=log2x-1的圖象與函數(shù)y=log2x的圖象的變化規(guī)律如下：函數(shù)y=log2(x-1)的圖象是由函數(shù)y=log2x的圖象向右平移1個單位就得到；函數(shù)y=log2x-1的圖象是由函數(shù)y=log2x的圖象向下平移1單位就得到.由函數(shù)的y=log2x圖象得到函數(shù)y=log2(x+a)的圖象的變化規(guī)律為：
當(dāng)a＞0時，只需將函數(shù)y=log2x的圖象向左平移a個單位就可得到函數(shù)y=log2(x+a)的圖象.當(dāng)a＜0時，只需將函數(shù)y=log2x的圖象向右平移|a|個單位就可得到函數(shù)y=log2(x+a)的圖象.由函數(shù)的y=log2x圖象得到函數(shù)y=log2x+b的圖象的變化規(guī)律為：
當(dāng)b＞0時，只需將函數(shù)y=log2x的圖象向上平移b個單位就可得到函數(shù)y=log2x+b的圖象.當(dāng)b＜0時，只需將函數(shù)y=log2x的圖象向下平移|b|個單位就可得到函數(shù)y=log2x+b的圖象.由函數(shù)y=log2x的圖象得到函數(shù)y=log2(x+a)+b的圖象的變化規(guī)律為：
先將函數(shù)y=log2x的圖象向左(當(dāng)a＞0時)或向右(當(dāng)a＜0時)平移|a|個單位，得到函數(shù)y=log2(x+a)的圖象，再將函數(shù)y=log2(x+a)的圖象向上(當(dāng)b＞0時)或向下(當(dāng)b＜0時)平移|b|個單位就可得到函數(shù)y=log2(x+a)+b的圖象.點評：由列表繪制的圖象同樣可觀察出對應(yīng)圖象上點之間的關(guān)系，從而得出函數(shù)圖象之間的變換關(guān)系.當(dāng)函數(shù)y=log2x中的自變量x變?yōu)閤+a的時候，此時函數(shù)y=log2(x+a)的圖象就是由函數(shù)y=log2x的圖象進(jìn)行左右平移得到，即a＞0(左移)和a＜0(右移).當(dāng)在函數(shù)整體后變化時，即f(x)變?yōu)閒(x)+b時，此時函數(shù)y=log2x+b的圖象是由函數(shù)y=log2x的圖象進(jìn)行上下平移，即b＞0(上移)和b＜0(下移).對于圖象進(jìn)行多次平移變換所得的函數(shù)圖象，則要將上述的兩種情況合起來，先進(jìn)行左右平移，再將所得圖象進(jìn)行上下平移，對于平移的先后順序
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是沒有影響的.應(yīng)用示例
例
1探究函數(shù)y=-logax、y=loga(-x)的圖象和函數(shù)y=logax的圖象之間的關(guān)系.分析：我們需找出函數(shù)圖象上對應(yīng)點的坐標(biāo)之間的關(guān)系.若點(x0，y0)是函數(shù)y=logax上任意一點，則點(x0，-y0)在函數(shù)y=-logax的圖象上，所以函數(shù)y=-logax的圖象和函數(shù)y=logax的圖象關(guān)于x軸對稱；若點(x0，y0)是函數(shù)y=logax上任意一點，則點(-x0，y0)在函數(shù)y=loga(-x)的圖象上，所以函數(shù)y=loga(-x)的圖象和函數(shù)y=logax的圖象關(guān)于y軸對稱.(有條件的學(xué)校可以利用幾何畫板讓學(xué)生直接觀察得出結(jié)論)
解：設(shè)點(x0，y0)是函數(shù)y=logax上任意一點，則點(x0，-y0)在函數(shù)y=-logax的圖象上；點(-x0，y0)在函數(shù)y=loga(-x)的圖象上，所以函數(shù)y=-logax的圖象和函數(shù)y=logax的圖象關(guān)于x軸對稱；函數(shù)y=loga(-x)的圖象和函數(shù)y=logax的圖象關(guān)于y軸對稱.點評：函數(shù)圖象上的對應(yīng)點若關(guān)于x軸對稱，則函數(shù)圖象就關(guān)于x軸對稱；若函數(shù)圖象上的對應(yīng)點關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)圖象就關(guān)于y軸對稱.例
2畫出函數(shù)y=log2|x|的圖象，并根據(jù)圖象寫出它的單調(diào)區(qū)間.分析：對于遇到含絕對值的問題的時候，基本思想方法是去掉絕對值，于是就要用到分類討論的思想方法，將函數(shù)y=log2|x|寫成分段函數(shù)的形式，然后在畫圖象就比較簡單了，那么在本題中如何去掉絕對值呢？去掉絕對值以后又該怎么辦呢？
(學(xué)生回答，老師板書如下)
?log2x,x?0,解：由于y=log2|x|=?
log(?x),x?0.2?
當(dāng)x＞0時，畫出函數(shù)y=log2x的圖象；當(dāng)x＜0時，畫出函數(shù)y=log2(-x)的圖象.如圖所示：
由圖象可得函數(shù)y=log2|x|的單調(diào)增區(qū)間為：(0，+∞)；單調(diào)減區(qū)間為(-∞，0).探究：在例2中除了利用去掉絕對值畫出圖象，你還能想到用其他的方法解答嗎？
(學(xué)生相互交流)
結(jié)論：由于函數(shù)y=log2|x|是偶函數(shù)，所以只要先畫出函數(shù)y=log2x(x＞0)的圖象，再將函數(shù)y=log2x(x＞0)的圖象關(guān)于坐標(biāo)軸y軸對稱過來，就可得到y(tǒng)=log2|x|(x＜0時)的圖象，兩部分合起來就是函數(shù)y=log2|x|的圖象.例
3已知函數(shù)f(x)=log12(1-x)，(1)求此函數(shù)的定義域，值域；(2)判斷它的單調(diào)性并證明你的結(jié)論，并指出單調(diào)區(qū)間.分析：對數(shù)函數(shù)的定義域只要真數(shù)大于0，值域必須在定義域的范圍內(nèi)先求內(nèi)函數(shù)的值域，然后根據(jù)底數(shù)的取值確定外函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)外函數(shù)的單調(diào)性把值域求出即可.對于函數(shù)單調(diào)性的證明，要在定義域內(nèi)任取兩個值，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的證明方法和步驟對函數(shù)值進(jìn)行作差或作商比較，進(jìn)而判斷單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間.解：(1)因為1-x＞0，即x＜1，所以函數(shù)f(x)=log12(1-x)的定義域為(-∞,1)；
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因為函數(shù)f(x)=log值域為：R.(2)函數(shù)f(x)=log1212(1-x)的定義域為(-∞，1)，當(dāng)x∈(-∞,1)時，有1-x＞0，所以函數(shù)的(1-x)在定義域(-∞,1)上為單調(diào)遞增.證明：任取x1,x2∈(-∞,1)且x1＜x2，則有
f(x1)-f(x2)=log1(1-x1)-log212(1-x2)=log1?x1121?x21?x11?x2，因為x1＜x2＜1，所以1-x1＞1-x2＞0，得
＞1，所以f(x1)-f(x2)=log
所以函數(shù)f(x)=log1?x1121?x2＜0，即f(x1)＜f(x2)，12(1-x)在定義域(-∞,1)上為單調(diào)遞增.例
4判斷下列函數(shù)的奇偶性:
(1)函數(shù)f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)；
(2)函數(shù)f(x)=ln(x+1)+ln(1-x).分析：判斷函數(shù)奇偶性的方法和步驟請學(xué)生回顧一下，首先定義域要關(guān)于原點對稱，然后看f(-x)與f(x)之間的關(guān)系，解答如下：
解：(1)由題意可得??x?1?0,?x?1?0即??x??1,?x?1,解得x＞1，所以函數(shù)f(x)的定義域為(1，+∞)，不關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)是非奇非偶函數(shù).?x?1?0,?x??1,(2)由題意可得?即?解得-1＜x＜1，所以函數(shù)f(x)的定義域為(-1，1)，1?x?0x?1,??定義域關(guān)于原點對稱，而f(-x)=ln(-x+1)+ln(1+x)=f(x)，所以函數(shù)f(x)=ln(x+1)+ln(1-x)是偶函數(shù).點評：在判斷函數(shù)奇偶性的時候，一定要保證定義域關(guān)于原點對稱，這點學(xué)生在解題時很容易遺漏，所以老師在講解時一定要強(qiáng)調(diào).有些學(xué)生會根據(jù)對數(shù)函數(shù)的運算法則將函數(shù)進(jìn)行化簡，這個想法很好，但是一定要注意在化簡的時候注意不要改變函數(shù)的定義域，化簡的基本要求是實施的是等價變形.如(1)，有學(xué)生會發(fā)生下面出現(xiàn)的錯解：
因為函數(shù)f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)=lg(x2-1)，由x2-1＞0得其定義域為x∈(-∞，-1)∪(1,+∞)，又f(-x)=lg(x2-1)=f(x)，所以函數(shù)f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)為偶函數(shù).因此老師在講解時特別要注意這一點，避免出現(xiàn)上述不該出現(xiàn)的錯誤.知能訓(xùn)練
課本第69頁練習(xí)2、4、5.解答：
2.(1)因為2x+1＞0，所以x＞?1212，所以函數(shù)y=log2(2x+1)的定義域為(?，+∞).中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司
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2因為y=log2(2x+1)=1+log2(x+函數(shù)y=log2(x+1212)，所以先將函數(shù)y=log2x的圖形向左平移
12個單位得到)的圖象，再將函數(shù)y=log2(x+)的圖象向上平移1個單位就可得到函數(shù)y=log2(2x+1)的圖象.如圖(一).圖(一)
圖(二)
(2)因為1x?11x?11x?1＞0，所以x＞1，所以函數(shù)y=lg的定義域為(1，+∞).因為y=lg=-lg(x-1)，所以將函數(shù)y=lgx的圖形向右平移1個單位得到函數(shù)y=lg(x-1)的圖象，再將函數(shù)y=lg(x-1)的圖象作關(guān)于x軸對稱所得到的圖象就是所求函數(shù)的圖象.如圖(二).4.解：(1)由題意可得：3x=2x+1＞0，解得x=1.?2x?1?0??x=3.(2)由題意可得：?x2?2?0?2?2x?1?x?2?x?1?0?x=2.(3)由題意可得：??x?1?x?
15.解：(1)由題意可得3x+5=3?x=-
23.12
(2)由題意可得2x=log212=2+log23?x=1+
(3)由題意可得1-x=log32?x=1-log32.log23.課堂小結(jié)
前面一節(jié)課主要學(xué)習(xí)了對數(shù)函數(shù)的概念，那么這節(jié)課主要是為了加深對對數(shù)函數(shù)圖象以及性質(zhì)的學(xué)習(xí)而給出的.講解了對數(shù)函數(shù)的圖象變換，即左右平移和上下平移以及關(guān)于軸對稱和關(guān)于原點對稱圖象的畫法，會作出函數(shù)圖象并能根據(jù)圖象準(zhǔn)確地求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；能根據(jù)定義判斷含對數(shù)式的復(fù)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，定義域一定要首先考慮.作業(yè)
1.課本第70頁習(xí)題2.3(2)、4、5、6、8.2.請大家利用計算機(jī)作出函數(shù)y=logax，y=loga(x+m)，y=logax+n的圖象，加深對函數(shù)圖象變換的規(guī)律的理解；隨意畫一個函數(shù)y=f(x)的圖象，觀察函數(shù)y=f(|x|)的圖象和函數(shù)y=|f(x)|的圖象，看看它們的圖象之間的變換關(guān)系又如何.是否與本節(jié)課得到的變化規(guī)律一致.寫出你的結(jié)論，并加以相關(guān)的解釋說明.設(shè)計感想
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這節(jié)課的圖象比較多，所以在剛開始的時候針對不同層次的學(xué)生，在這里直接給出幾個函數(shù)的圖象和圖象上相關(guān)點的坐標(biāo)，讓他們從圖象上一些具體的點觀察圖象之間的關(guān)系并得出結(jié)論，然后由具體的例子從特殊性推廣到一般性，從而達(dá)到對知識的學(xué)習(xí)和掌握.例1和例2給出了圖象關(guān)于軸對稱的關(guān)系式和畫法，例3和例4解決了含對數(shù)式的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域的求解和單調(diào)性、奇偶性的判斷，講解時要利用相關(guān)的數(shù)學(xué)工具作出圖象讓學(xué)生從直觀上掌握圖形變換，也為以后我們學(xué)習(xí)圖象的變換打下堅實的基礎(chǔ).(設(shè)計者：趙家法)
第三課時
對數(shù)函數(shù)(三)導(dǎo)入新課
回顧前面所學(xué)有關(guān)對數(shù)函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容：
1.對數(shù)函數(shù)的概念.2.對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及相應(yīng)指數(shù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系.3.利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行對數(shù)大小比較.4.求解對數(shù)函數(shù)的定義域要注意真數(shù)大于0，遇到對數(shù)函數(shù)的復(fù)合形式要注意根據(jù)條件建立不等式組進(jìn)行求解；求對數(shù)函數(shù)的值域要根據(jù)單調(diào)性進(jìn)行求解.5.掌握對數(shù)函數(shù)圖象平移的變化規(guī)律以及圖象的翻轉(zhuǎn)，并能根據(jù)圖象寫出單調(diào)區(qū)間.6.利用定義判斷對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性.今天我們來繼續(xù)學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，并利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決一些比較復(fù)雜的綜合問題.在指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，我們學(xué)習(xí)了利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，以及指數(shù)函數(shù)和其他函數(shù)復(fù)合形式的相關(guān)問題，如復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷以及單調(diào)區(qū)間的求解問題.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些對數(shù)函數(shù)基本的性質(zhì)，這節(jié)課我們來學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在對數(shù)方程以及對數(shù)不等式中的應(yīng)用；復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解等復(fù)合函數(shù)的綜合應(yīng)用.應(yīng)用示例
例
1解下列方程：
(1)4x-3×2x-4=0；(2)(log2x)2-2log2x-3=0.解：(1)原方程可化為(2x)2-3×2x-4=0，令t=2x(t＞0)，則t2-3t-4=0，解得t=-1或t=4，因為t＞0，所以t=4，即2x=4.解得x=2，所以原方程的解集為{x|x=2}.2(2)令t=log2x，則原方程可化為t-2t-3=0，解得t=-1或t=3，因為t=log2x，所以log2x=-1或log2x=3，解得x=12或x=8，1
2所以原方程的解集為{x|x=或x=8}.點評：本例題是解指對數(shù)方程的問題，遇到這種類型的題目時，應(yīng)設(shè)法將方程化為可解的代數(shù)方程的形式，利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為我們比較熟悉的代數(shù)方程進(jìn)行求解，最后再求出本題的解，其中要對求出的解進(jìn)行檢驗，這一點要對學(xué)生多強(qiáng)調(diào).例2
求下列不等式的解集.(1)log2(x+1)＞log2(2x-1)；
(2)logx(3x-2)＞2.分析：解對數(shù)不等式時，若底數(shù)相同則直接根據(jù)對數(shù)的單調(diào)性建立不等式組，注意真數(shù)大于0不要遺漏；若對數(shù)的底數(shù)不相同，則根據(jù)運算法則化為底數(shù)相同，然后建立不等式組進(jìn)行求解；若底數(shù)是個參數(shù)，則要進(jìn)行分類討論.解：(1)因為a=2＞1，所以函數(shù)y=log2x為單調(diào)遞增函數(shù)，中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司
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?x??1?x?1?0?11??
則有?2x?1?0＜x＜2.??x??22?x?1?2x?1????x?2
所以不等式的解集為{x|
12＜x＜2}.(2)由題意可知要對x進(jìn)行分類討論，?x?1?
當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時，有下列不等式組：?3x?2?0?1＜x＜2；
?2?3x?2?x?0?x?12?
當(dāng)?shù)讛?shù)大于0且小于1時，有下列不等式組：?3x?2?0?＜x＜1.3?2?3x?2?x
綜上可得，原不等式的解集為{x|
23＜x＜2且x≠1}.點評：利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解對數(shù)不等式時，要注意以下幾點：定義域要考慮；利用單調(diào)性得到正確的不等式；當(dāng)?shù)讛?shù)為自變量x時，對x進(jìn)行討論所得不等式的解集最后要合并；當(dāng)?shù)讛?shù)為參數(shù)a時，對a討論所得不等式的解集不能合并，要分開給出.老師在講解時一定要強(qiáng)調(diào)這一點，因為學(xué)生對最后的結(jié)果該如何寫掌握的還不是很好.例
3已知x∈[2，4]，求函數(shù)y=log12x-log1x+5的值域.4
4分析：本題采用換元法將函數(shù)化為一元二次函數(shù)，然后利用單調(diào)性求函數(shù)的最值.解：令u=log1x，由x∈[2，4]，得log14≤log14x≤log12，即-1≤u≤?444412.又y=u2-u+5=(u?當(dāng)u=?1212)2+
194?，在u∈[-1，12]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)u=-1即x=4時，ymax=7；
234即x=2時，ymin=
234，所以函數(shù)的值域為[，7].點評：利用函數(shù)單調(diào)性是求函數(shù)的最值或值域的主要方法之一，而換元法是化歸的常用手段.若函數(shù)形式比較復(fù)雜則要通過相關(guān)變換找出換元的部分，然后利用單調(diào)性進(jìn)行最值的求解，進(jìn)而求出函數(shù)的值域.例4
求函數(shù)y=log0.2(x-x2)的單調(diào)區(qū)間.分析：對于復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解問題，要先求函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.解：設(shè)t=x-x=-(x?2
12)+
14，則有y=log0.2t.由x-x2＞0解得函數(shù)的定義域為(0,1).在(0，12]上t隨x的增大而增大，而y隨t的增大而減小，所以y隨x的增大而減小，中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司
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即函數(shù)在區(qū)間(0，12]上是減函數(shù)；在[
12，1)上t隨x的增大而減小，而y隨t的增大而減
12小，所以y隨x的增大而增大，即函數(shù)在區(qū)間[
所以函數(shù)y=log0.2(x-x2)的增區(qū)間為[
12，1)上是增函數(shù).12，1)，減區(qū)間為(0，].點評：判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性以及求單調(diào)區(qū)間的時候，要注意先求函數(shù)的定義域，然后依據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，遵循增、增為增，減、減為增，增、減為減的原則.當(dāng)對數(shù)函數(shù)的底數(shù)為參數(shù)時，則要對底數(shù)進(jìn)行分類討論.例
5求證：函數(shù)f(x)=loga
1?x1?x(0＜a＜1)是減函數(shù).分析：對于函數(shù)單調(diào)性的證明一般利用定義來證明.證明：由
設(shè)g(x)= 1?x＞0可得-1＜x＜1，即函數(shù)的定義域為(-1，1).，任取x1,x2∈(-1,1)且x1＜x2，1?x11?x11?x21?x22(x1?x2)(1?x1)(1?x2)1?x1?x1?x
則有g(shù)(x1)-g(x2)=??.因為-1＜x1＜x2＜1，所以x1-x2＜0，1-x1＞0，1-x2＞0，所以g(x1)-g(x2)＜0，即0＜g(x1)＜g(x2).因為0＜a＜1，所以logag(x1)＞logag(x2)，即f(x1)＞f(x2).所以函數(shù)f(x)=loga1?x1?x在定義域(-1，1)上是減函數(shù).點評：本例是對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的證明問題，利用定義直接證明即可，但是要考慮到定義域.本題中給出了底數(shù)的范圍，即0＜a＜1，由此可知外函數(shù)是單調(diào)遞減的.若沒有給出底數(shù)的具體范圍則要對底數(shù)進(jìn)行討論.知能訓(xùn)練
1.解下列方程：(1)9x?xx?123=81；(2)45x=54x.2解：(1)原方程可化為
32x?2x3x?1=34，即32x?3x?12=34
于是有2x2-3x+1=4，解得x=543?433.(2)原方程可化為(45)x=1，所以x=0.2.函數(shù)y=logax在區(qū)間[2，10]上的最大值與最小值的差為1，則常數(shù)a=__________.解：當(dāng)a＞1時，ymax=loga10，ymin=loga2，則有l(wèi)oga10-loga2=loga
102=loga5=1，所以a=5；
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210
當(dāng)0＜a＜1時，ymax=loga2，ymin=loga10，則有l(wèi)oga2-loga10=loga
3.函數(shù)y=log
A.(-∞,3212=loga
15=1，所以a=
15.(x-3x+2)的遞增區(qū)間是（）
322]
B.(-∞,1)
C.[,+∞)
D.(2,+∞)
解：由x2-3x+2＞0，可得x＜1或x＞2，即函數(shù)的定義域為(-∞,1)∪(2,+∞)
設(shè)t=x2-3x+2，則y=log以函數(shù)y=log1212t在(-∞,1)上t隨x的增大而減小，而y隨t的增大而減小，所(x2-3x+2)在區(qū)間(-∞,1)上是增函數(shù)；在(2,+∞)上t隨x的增大而增大，而y隨
(x2-3x+2)在區(qū)間(2，+∞)上是減函數(shù).綜上可得函數(shù)t的增大而減小，所以函數(shù)y=logy=log1212(x2-3x+2)的遞增區(qū)間是(-∞,1)，故選B.4.已知y=loga(2-x)是x的增函數(shù),則a的取值范圍是（）
A.(0，2)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,+∞)
解：由2-x＞0，解得函數(shù)的定義域為(-∞,2)，令t=2-x,則y=logat.在區(qū)間(-∞,2)上t隨x的增大而減小，而y是x的增函數(shù),所以y隨t的增大而減小,即y是t的減函數(shù)，故0＜a＜1,選B.點評：此練習(xí)是針對本節(jié)課所講的內(nèi)容而設(shè)計的，即對數(shù)方程的求解、對數(shù)不等式的求解、復(fù)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的判斷以及單調(diào)區(qū)間的求解等問題.對學(xué)生的訓(xùn)練很有幫助，通過練習(xí)使學(xué)生熟練掌握對數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，并學(xué)會思考問題，提高解決問題的能力.課堂小結(jié)
本節(jié)課是對對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，體會對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在解對數(shù)方程和對數(shù)不等式中的應(yīng)用，加強(qiáng)分類討論思想在解題中的應(yīng)用.添加了對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的兩種復(fù)合以及和一次函數(shù)的復(fù)合問題，掌握復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，先求定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法進(jìn)行判斷.作業(yè)
1.課本第70頁習(xí)題2、3(2)7、9、10、11、12.2.試總結(jié)求解對數(shù)方程、對數(shù)不等式、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷以及單調(diào)區(qū)間的方法和步驟.設(shè)計感想
本節(jié)課是對對數(shù)函數(shù)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，主要解決利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行對數(shù)方程求解、對數(shù)不等式的求解，以及復(fù)合函數(shù)等相關(guān)問題.設(shè)計的題目有的比較簡單，基礎(chǔ)一般的學(xué)生比較容易接受和掌握；也有在難度上有所加深的題目，尤其加強(qiáng)了分類討論思想的應(yīng)用.對于復(fù)合函數(shù)的問題，老師可根據(jù)所教班級的不同有所選擇地進(jìn)行教學(xué).教學(xué)中要注意強(qiáng)調(diào)對數(shù)函數(shù)的定義域，不管是在求解對數(shù)不等式還是求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間.接下來通過練習(xí)的訓(xùn)練加深對本節(jié)課的學(xué)習(xí)，教學(xué)中老師可讓學(xué)生板演并進(jìn)行點評，這樣效果會更好些.習(xí)題詳解
課本第70頁習(xí)題2.3(2)
1.這兩個函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱.共同點為：定義域是(0，+∞)，值域是R，都過點(1，0)；不同點：函數(shù)y=log4x是定義域上的增函數(shù)，函數(shù)y=log1x是定義域上的減函數(shù).4中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司
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2.(1)由已知可知3x-1＞0，所以x＞知可知24x?313，所以函數(shù)y=ln(3x-1)的定義域是（3413,+∞).(2)由已＞0，所以4x-3＞0，即x＞，所以函數(shù)的定義域是（3423，+∞).3.(1)log57.8＜log57.9；(2)log0.33＜log0.32；(3)ln0.32＜lg2；(4)log65＜log78.4.證明：函數(shù)y=log0.5(3x-2)的定義域是（3x1?23x2?223，+∞)，任取x1、x2∈（23，+∞)，且x1＜x2，則log0.5(3x1-2)-log0.5(3x2-2)=log0.5，因為
＜x1＜x2，所以0＜3x1-2＜3x2-2.所以0＜3x1?23x2?2＜1，可得到
log0.5(3x1-2)-log0.5(3x2-2)=log0.5
3x1?23x2?2＞log0.51=0，即log0.5(3x1-2)＞log0.5(3x2-2).所以函數(shù)y=log0.5(3x-2)在定義域上是單調(diào)減函數(shù).5.證明：設(shè)f(x)=lg1?x1?x，由
1?x1?x＞0得-1＜x＜1，即函數(shù)的定義域為(-1，1)，又對于
1?x1?x定義域(-1，1)內(nèi)任意的x，都有f(-x)=lg=-lg
1?x1?x=-f(x)，所以函數(shù)y=lg
1?x1?x是奇函數(shù).6.函數(shù)y=log2(x+1)的圖象可以由函數(shù)y=log2x的圖象向左平移1個單位得到；函數(shù)y=log2(x-1)的圖象可以由函數(shù)y=log2x的圖象向右平移1個單位得到，這樣，將函數(shù)y=log2(x+1)的圖象向右平移2個單位就能得到函數(shù)y=log2(x-1)的圖象，或?qū)⒑瘮?shù)y=log2(x-1)的圖象向左平移2個單位就能得到函數(shù)y=log2(x+1)的圖象，如圖所示.7.因為log25＞log24=2，log58=log525=2，所以
log25＞log24=2=log525＞log58，即log25＞log58.8.由圖可知，函數(shù)y=loga(x+b)的圖象過(0,2)點和(-2,0)點，將這兩點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式可得：
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?a?3(?3舍去),?b?a2?logab? ? ?????loga(b?2)?0?b?2?1?b?3.9.比較對數(shù)函數(shù)底數(shù)的大小，只要作直線y=1，其交點的橫坐標(biāo)的大小就是對數(shù)函數(shù)底數(shù)的大小，由圖可知，有以下關(guān)系：0＜b＜a＜1＜d＜c.10.因為x出現(xiàn)在指數(shù)位置，所以本題要利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化公式對x進(jìn)行求解.(1)由方程21-x=5，可得1-x=log25，所以x=1-log25.(2)由方程2×5x+1-9=0，可得5x+1=
所以x+1=log5923-x
92，所以x=log5x+2
92-1.11.(1)由不等式5＞2，可得x+2＞log52，所以x＞log52-2；
(2)由不等式3＜6，可得3-x＜log36=1+log32，所以x＞2-log32；
(3)由不等式log3(x+2)＞3，可得x+2＞27，所以x＞25；
(4)由不等式lg(x-1)＜1,可得0＜x-1＜10，所以1＜x＜11.(定義域要考慮)
12.證明：對任意的x1、x2∈(0,+∞)，由f(x)=lgx，有
f(x1)?f(x2)2x1?x22?lgx1?lgx2212?lgx1x2,f（x1?x22)=lg
x1?x22，因為?x1x2=(x1?x2)≥0，所以
2x1?x22≥
x1x2，又因為f(x)=lgx
x1?x22是(0,+∞)上的增函數(shù)，所以lg
x1?x22≥lg
x1x2，即
f(x1)?f(x2)2≤f().中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司
第四篇：示范教案(第2章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ習(xí)題課(二))
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習(xí)題課(二)
(函數(shù)的概念和圖象)
教學(xué)過程
復(fù)習(xí)(教師引導(dǎo)，學(xué)生回答)
1.函數(shù)單調(diào)性的定義.2.證明函數(shù)單調(diào)性的基本步驟.3.函數(shù)奇、偶性的定義.4.根據(jù)定義判定函數(shù)奇、偶性的步驟.5.根據(jù)奇偶性可以把函數(shù)分為四類：奇函數(shù)；偶函數(shù)；既是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)；既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).6.既是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)的函數(shù)有無數(shù)個，解析式都為f(x)=0，只要定義域關(guān)于原點對稱即可.7.映射的定義.8.映射f:A→B說的是兩個集合A與B間的一種對應(yīng)，兩個集合是有序的.映射是由集合A、集合B和對應(yīng)法則三部分組成的一個整體，判斷一個對應(yīng)是不是映射應(yīng)該抓住關(guān)鍵：A中之任一對B中之唯一.A中不能有多余的元素，應(yīng)該一個不剩，而B中元素沒有這個要求，可以允許有剩余；映射只能是“一對一”或“多對一”，而不能是“一對多”或“多對多”，A到B的映射與B到A的映射往往不是同一個映射.映射所涉及兩個集合A、B，可以是數(shù)集，也可以是點集或其他類元素構(gòu)成的集合.導(dǎo)入新課
前面一段，我們一起研究了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及映射有關(guān)概念及問題，并掌握了一定的分析問題、解決問題的方法，這一節(jié)，我們將對這部分內(nèi)容集中訓(xùn)練一下，使大家進(jìn)一步熟悉函數(shù)的有關(guān)概念、基本方法與基本的解題思想；并通過典型例題進(jìn)一步提高大家的分析問題、解決問題的能力.推進(jìn)新課
基礎(chǔ)訓(xùn)練
思路1
1.對應(yīng)①：A={x|x∈R}，B={y||y|＞0}，對應(yīng)法則f:
1→y； x
對應(yīng)②：A={(x,y)||x|＜2,|y|＜2,x∈Z,y∈Z}，B={-2,-1,0,1,2}，對應(yīng)法則f:(x,y)→x+y，下列判斷正確的是（）
A.只有①為映射
B.只有②為映射
C.①和②都是映射
D.①和②都不是映射
2.已知f(x)、g(x)是定義在R上的兩個不恒為零的函數(shù)，若f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則f(x)·g(x)是（）
A.奇函數(shù)
B.偶函數(shù)
C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
D.非奇非偶函數(shù)
3.設(shè)f(x)、g(x)都是單調(diào)函數(shù)，有如下四個命題：
①若f(x)單調(diào)遞增，g(x)單調(diào)遞增，則f(x)-g(x)單調(diào)遞增；
②若f(x)單調(diào)遞增，g(x)單調(diào)遞減，則f(x)-g(x)單調(diào)遞增；
③若f(x)單調(diào)遞減，g(x)單調(diào)遞增，則f(x)-g(x)單調(diào)遞減；
④若f(x)單調(diào)遞減，g(x)單調(diào)遞減，則f(x)-g(x)單調(diào)遞減.其中正確的命題是（）
A.①和③
B.①和④
C.②和③
D.②和④
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4.指出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并說明在單調(diào)區(qū)間上函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)：
(1)f(x)=-x2+x-6;(2)f(x)=?
解答：1.A 2.A 3.C
4.(1)函數(shù)f(x)=-x2+x-6單調(diào)區(qū)間為(-∞，(-∞，x;(3)f(x)=-x3+1.11]，[，+∞)，f(x)在 2211]上為增函數(shù)，f(x)在[，+∞)上為減函數(shù).2
2(2)f(x)=?x單調(diào)區(qū)間是[0，+∞)，f(x)在[0，+∞)上是減函數(shù)；
(3)f(x)=-x3+1單調(diào)區(qū)間為(-∞，+∞)，f(x)在(-∞,+∞)上是減函數(shù).思路2
1.映射f:X→Y是定義域X到值域Y上的函數(shù)，則下面四個結(jié)論中正確的是…（）
A.Y中元素在X中不一定有元素與之對應(yīng)
B.X中不同的元素在Y中有不同的元素與之對應(yīng)
C.Y可以是空集
D.以上結(jié)論都不對
2.下列函數(shù)中，既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)，并且在(-∞,0)上是增函數(shù)的是（）
A.f(x)=5x+2
B.f(x)=
C.f(x)=
x
1-1
D.f(x)=x2 x
3.設(shè)f(x)為定義在數(shù)集A上的增函數(shù)，且f(x)＞0，有下列函數(shù)：①y=3-2f(x)；②y=
1；f(x)③y=[f(x)]2；④y=f(x).其中減函數(shù)的個數(shù)為（）
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
1?x2
4.函數(shù)f(x)=（）x
A.是偶函數(shù)
B.是奇函數(shù)
C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
5.函數(shù)f(x)=a(a≠0)在區(qū)間(-∞,0)上是（）x
A.增函數(shù)
B.減函數(shù)
C.a＞0時是增函數(shù)，a＜0時是減函數(shù)
D.a＞0時是減函數(shù)，a＜0時是增函數(shù)
6.對于定義在R上的函數(shù)f(x)，有下列判斷：
(1)f(x)是單調(diào)遞增的奇函數(shù)；
(2)f(x)是單調(diào)遞減的奇函數(shù)；
(3)f(x)是單調(diào)遞增的偶函數(shù)；
(4)f(x)是單調(diào)遞減的偶函數(shù).其中一定不成立的是_________________.解答：1.D 2.A 3.B 4.B 5.D 6.(3)(4)
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應(yīng)用示例
思路1
例
1若函數(shù)f(x)=x2+bx+c對任意實數(shù)x都有f(2+x)=f(2-x)，那么…（）
A.f(2)＜f(1)＜f(4)
B.f(1)＜f(2)＜f(4)
C.f(2)＜f(4)＜f(1)
D.f(4)＜f(2)＜f(1)
分析：此題解決的關(guān)鍵是將函數(shù)的對稱語言轉(zhuǎn)化為對稱軸方程.解法一：由f(2+x)=f(2-x)可知：函數(shù)f(x)=x2+bx+c的對稱軸為直線x=2，由二次函數(shù)f(x)開口方向向上，可得f(2)最小，又f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)，因為當(dāng)x＜2時，y=f(x)為單調(diào)減函數(shù)，又因為0＜1＜2，所以f(0)＞f(1)＞f(2)，即f(2)＜f(1)＜f(4)，故選A.解法二：由f(2+x)=f(2-x)可知：函數(shù)f(x)=x2+bx+c的對稱軸為直線x=2，由二次函數(shù)f(x)開口方向向上，畫出函數(shù)f(x)=x2+bx+c的草圖如右圖所示：
由草圖易知：f(2)＜f(1)＜f(4)，故選A.點評：(1)解法一是先將要比較大小的幾個數(shù)對應(yīng)的自變量通過函數(shù)圖象的對稱軸化到該函數(shù)的同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后再利用該函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性來比較這幾個數(shù)的大小；解法二是根據(jù)所給條件畫出函數(shù)的草圖，只需將要比較大小的幾個數(shù)對應(yīng)的自變量進(jìn)行比較大小即可，當(dāng)然，這與函數(shù)圖象的開口方向也有關(guān).記憶技巧：若函數(shù)圖象開口向上，則當(dāng)自變量離對稱軸越遠(yuǎn)時函數(shù)值越大；
若函數(shù)圖象開口向下，則當(dāng)自變量離對稱軸越遠(yuǎn)時函數(shù)值越小.(2)通過此題可將對稱語言推廣如下：
①若對任意實數(shù)x，都有f(a+x)=f(a-x)成立，則x=a是函數(shù)f(x)的對稱軸；
②若對任意實數(shù)x，都有f(a+x)=f(b-x)成立，則x=
a?b是函數(shù)f(x)的對稱軸.2
例2
有下列說法：
①函數(shù)f(x)在兩個區(qū)間A、B上都是單調(diào)減函數(shù)，則函數(shù)f(x)在A∪B上也是單調(diào)減函數(shù)；
②反比例函數(shù)y=1在定義域內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)； x
③函數(shù)y=-x在R上是減函數(shù)；
④函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，則y=[f(x)]2在定義域內(nèi)也是單調(diào)增函數(shù).其中正確的說法有（）
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
分析：本題是有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的選擇題，解決時采取各個擊破的方法.解：①不正確.因為函數(shù)f(x)=
1在區(qū)間A=(-∞,0)，B=(0,+∞)上都是單調(diào)減函數(shù)，但f(x)x在區(qū)間A∪B=(-∞,0)∪(0,+∞)上是沒有單調(diào)性的，所以①不正確、②不正確.反比例函數(shù)y=
1在定義域(-∞,0)∪(0,+∞)內(nèi)是沒有單調(diào)性的、x中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司
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③正確、④不正確.因為函數(shù)f(x)=x在定義域(-∞,+∞)內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，但是函數(shù)y=[f(x)]2=x2在區(qū)間(-∞,0]上單調(diào)減，在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)增，而在定義域(-∞,+∞)內(nèi)是沒有單調(diào)性的，所以④不正確.所以正確的說法只有1個，故本題選A.點評：(1)在“反比例函數(shù)y=
1在定義域(-∞,0)∪(0,+∞)內(nèi)是沒有單調(diào)性”這一點上，學(xué)生x經(jīng)常會出錯，教師應(yīng)向?qū)W生強(qiáng)調(diào).(2)對于要讓我們判斷正確與否的問題，要學(xué)會通過舉反例的方法來判斷.(3)要判斷某個說法正確，需要嚴(yán)密的推理論證；要判斷某個說法不正確，只需要取出一個反例即可.例
3定義在(-1,1)上的奇函數(shù)f(x)在整個定義域上是減函數(shù)，若f(1-a)+f(1-3a)＜0，求實數(shù)a的取值范圍.分析：本題所給函數(shù)為抽象函數(shù)，沒有具體的函數(shù)解析式，要求實數(shù)a的取值范圍，關(guān)鍵是脫去“f”，因此要通過討論，在f(x)的單調(diào)區(qū)間上，利用函數(shù)的單調(diào)性使問題獲得解決.解：因為f(x)的定義域為(-1,1)，所以???1?1?a?1,2解得0＜a＜.①
3??1?1?3a?1,原不等式f(1-a)+f(1-3a)＜0化為f(1-3a)＜-f(1-a)，因為f(x)是奇函數(shù)，所以-f(1-a)=f(a-1)，所以原不等式化為f(1-3a)＜f(a-1)，因為f(x)是減函數(shù)，所以1-3a＞a-1，即a＜
由①和②得實數(shù)a的取值范圍為(0,1.② 21).2點評：(1)學(xué)生容易忘記定義域的限制，因此要重視定義域在解題中的作用.(2)解關(guān)于抽象函數(shù)的函數(shù)方程或函數(shù)不等式，基本思路是依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性脫去“f”，要注意函數(shù)單調(diào)性定義與奇偶性定義的正確運用.若函數(shù)f(x)在區(qū)間A上遞增，且f(x1)＜f(x2)，則??x1,x2?A；
?x1?x2?x1,x2?A
若函數(shù)f(x)在區(qū)間A上遞減，且f(x1)＜f(x2)，則?.x?x2?
1變式訓(xùn)練
問題：請對題目條件作適當(dāng)改變，并寫出解答過程.(學(xué)生有可能會得出如下變式)
(錯誤)變式一：定義在(-1,1)上的偶函數(shù)f(x)在整個定義域上是減函數(shù)，若f(1-a)+f(1-3a)＜0，求實數(shù)a的取值范圍.點撥：教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)此變式一是錯誤的，因為偶函數(shù)f(x)在整個定義域上不可能是單調(diào)函數(shù)(圖象關(guān)于ｙ軸對稱)，鼓勵學(xué)生再改.(不當(dāng))變式二：定義在(-1，1)上的偶函數(shù)f(x)在(-1,0]上是減函數(shù)，若f(1-a)+f(1-3a)＜0，求實數(shù)a的取值范圍.點撥：教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)此變式二的題目是正確的，但是沒有辦法解決.因為解決此類問題是依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性脫去“f”，由f(1-a)+f(1-3a)＜0，得f(1-a)＜-f(1-3a)，不等式右邊的中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司
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負(fù)號沒有辦法去掉.例3中的函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，不等式右邊的負(fù)號可以拿到括號里面，再根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性來解決即可，而變式二中的函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，不等式右邊的負(fù)號去不掉就沒有辦法利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性來解決.拓展探究：
(正確)變式三：定義在(-1,1)上的偶函數(shù)f(x)在(-1,0]上是減函數(shù)，若f(1-a)＜f(1-3a)，求實數(shù)a的取值范圍.例
4已知函數(shù)f(x)=ax3+bx+1，常數(shù)a、b∈R，且f(4)=0，則f(-4)=____________.分析：本題所給的函數(shù)雖然給出了函數(shù)解析式，但解析式中含有兩個參數(shù).想要將這兩個參數(shù)全部求出來再來求解顯然是不可能的，因為題目中只給出了一個條件，根據(jù)一個條件想要求出兩個未知數(shù)的值是辦不到的.因此嘗試著用整體思想來解決本題.解：(方法一)設(shè)g(x)=ax3+bx，則f(x)=g(x)+1.因為g(-x)=a(-x)3+b(-x)=-ax3-bx=-g(x)，所以g(x)是奇函數(shù).因為f(4)=g(4)+1=0，所以g(4)=-1；又因為g(x)是奇函數(shù)，所以g(-4)=-g(4)=1，所以f(-4)=g(-4)+1=2.(方法二)因為f(x)=ax3+bx+1，所以f(-x)=a(-x)3+b(-x)+1=-ax3-bx+1，則f(-x)+f(x)=-ax3-bx+1+ax3+bx+1=2，即f(-x)=2-f(x)，所以f(-4)=2-f(4)=2-0=2.點評：(1)審題要重視問題的特征；(2)整體代換是解決此類問題常用的思想方法.例
5求函數(shù)f(x)=x2-2ax+2在[2，4]上的最小值.分析：本題中的函數(shù)是二次函數(shù)，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題按照“配方——草圖——有效圖象”三部進(jìn)行.解：因為函數(shù)f(x)的對稱軸是x=a，可分以下三種情況：
(1)當(dāng)a＜2時，f(x)在[2，4]上為增函數(shù)，所以f(x)min=f(2)=6-4a；
(2)當(dāng)2≤a≤4時，f(x)min=f(a)=2-a2；
(3)當(dāng)a＞4時，f(x)在[2，4]上為減函數(shù)，所以f(x)min=f(4)=18-8a.(a?2),?6?7a,?
2綜上所述：f(x)min=?2?a,(2?a?4)，?18?8a,(a?2).?
點評：本題屬于二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，由于二次函數(shù)的系數(shù)含有參數(shù)，對稱軸是變動的，屬于“軸動區(qū)間定”，由于圖象開口向上，所以求最小值要根據(jù)對稱軸x=a與區(qū)間[2，4]的位置關(guān)系，分三種情況討論；最大值在端點取得時，只須比較f(2)與f(4)的大小，按兩種情況討論即可，實質(zhì)上是討論對稱軸位于區(qū)間中點的左、右兩種情況.變式訓(xùn)練
1.求函數(shù)f(x)=x2-2ax+2在[2，4]上的最大值.解：由例5可知f(x)max為f(2)與f(4)中較大者，根據(jù)函數(shù)f(x)=x2-2ax+2的草圖可知：
(1)當(dāng)a≥3時，f(2)≥f(4)，則f(x)max=f(2)=6-4a；
(2)當(dāng)a＜3時，f(2)＜f(4)，則f(x)max=f(4)=18-8a.中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司
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故f(x)max=??6?4a,(a?3)，?8?8a,(a?3).2.求函數(shù)f(x)=x2-2ax+2在[2，4]上的最值.解：因為f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2，函數(shù)f(x)的對稱軸是x=a，(1)當(dāng)a≤2時，f(x)min=f(2)=6-4a，f(x)max=f(4)=18-8a;
(2)當(dāng)2＜a＜3時，f(x)min=f(a)=2-a2，f(x)max=f(4)=18-8a；
(3)當(dāng)3≤a＜4，f(x)min=f(a)=2-a2，f(x)max=f(2)=6-4a；
(4)當(dāng)a≥4時，f(x)min=f(4)=18-8a，f(x)max=f(2)=6-4a.例6
設(shè)x1，x2為方程4x2-4mx+m+2=0的兩個實根，當(dāng)m為何實數(shù)值時，x12+x22有最小值，并求這個最小值.錯解：因為x1、x2是方程4x2-4mx+m+2=0的兩個實根，m?2.4m?2117
所以x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=m2-=(m-)2-.4162117
所以當(dāng)m=時，x12+x22有最小值，且最小值為-.416
由韋達(dá)定理，得x1+x2=m，x1·x2=
分析：關(guān)于x的一元二次方程4x2-4mx+m+2=0有兩個實根，則它的判別式：Δ=(-4m)2-4×4(m+2)≥0，即m∈(-∞-1]∪[2,+∞)，m取不到
1，不能忽視一元二次方程有實根4的充要條件.正解：因為x1、x2是方程4x2-4mx+m+2=0的兩個實根，由韋達(dá)定理，得x1+x2=m，x1·x2=m?2.4m?2117=(m-)2-.41621217)-的416
所以x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=m2-
又因為Δ=(-4m)2-4×4(m+2)≥0，解得m≤-1或m≥2.可根據(jù)二次函數(shù)f(m)=(m-草圖，知當(dāng)m=-1時，ymin=
1.2
點評：求函數(shù)值域、最值，解方程、不等式等均要考慮字母的取值范圍，有些問題的定義域非常隱蔽.因此，我們要注意充分挖掘題目中的隱含條件.思路2
例
1是否存在實數(shù)λ，使函數(shù)f(x)=x4+(2-λ)x2+2-λ在區(qū)間(-∞,-2]上是減函數(shù)，而在區(qū)間[-1,0)上是增函數(shù)？若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請說明理由.分析：已知函數(shù)在規(guī)定區(qū)間上的單調(diào)性，運用定義可得出λ與所設(shè)的x1、x2的不等關(guān)系式，再根據(jù)變量x1、x2的兩個范圍，求出λ的范圍，由兩個已知條件求出λ的兩個范圍，中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司
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若有公共部分則λ存在，若無公共部分，則λ不存在.解：因為f(x1)-f(x2)=x14-x24+(2-λ)(x12-x22)=(x12-x22)(x12+x22+2-λ).若x1＜x2≤-2，則x12-x22＞0，且x12+x22+2＞4+4+2=10，所以當(dāng)且僅當(dāng)λ≤10時，f(x1)-f(x2)＞0恒成立，從而f(x)在區(qū)間(-∞,-2]上是減函數(shù).若-1≤x1＜x2＜0，則x12-x22＞0，且x12+x22+2＜1+1+2=4，所以當(dāng)且僅當(dāng)λ≥4時，f(x1)-f(x2)＜0恒成立，從而f(x)在區(qū)間[-1,0)上是增函數(shù).綜上所述，存在實數(shù)λ使f(x)在區(qū)間(-∞,-2]上是減函數(shù)，而在區(qū)間[-1,0)上是增函數(shù)，且實數(shù)λ的取值范圍為[4,10].點評：本題是一道探索性命題，是一道求函數(shù)單調(diào)性的逆向問題，定義是解決此類問題的最佳方法.例
2設(shè)定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是減函數(shù)，若實數(shù)x滿足f(x)＞f(2x+1)，試求x的取值范圍.分析：要求x的取值范圍，關(guān)鍵是脫去“f”，因此要通過討論，在f(x)的單調(diào)區(qū)間上，利用函數(shù)的單調(diào)性使問題獲得解決.解：可分為三類來加以討論：
(1)若x≥0，則2x+1＞0，由題設(shè)，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是減函數(shù)，得0≤x＜2x+1，解之得x≥0.(2)若??x?0,1即x＜-，由于函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x)，故f(x)＞
2?2x?1?0,f(2x+1)f(-x)＞f(-2x-1)，而-x＞0，-2x-1＞0,且函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是減函數(shù)，得1?x??,?解之，得x＜-1.2????x??2x?1,?x?0,1(3)若?即-＜x＜0，仿上可得f(x)＞f(2x+1)f(-x)＞f(2x+1)，22x?1?0,??11???x?0,有?2解之，得?＜x＜0.3???x?2x?1,綜上所述，x的取值范圍是(-∞,-1)∪(?1,+∞).3點評：(1)解關(guān)于抽象函數(shù)的函數(shù)方程或函數(shù)不等式，基本思路是依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性脫去“f”，要注意函數(shù)單調(diào)性定義的正確運用；
若f(x)在區(qū)間A上遞增，且f(x1)＜f(x2)，則??x1,x2?A，x?x,2?1?x1,x2?A,若f(x)在區(qū)間A上遞減，且f(x1)＜f(x2)，則?
x?x,2?1
(2)若能注意到偶函數(shù)y=f(x)具有如下性質(zhì)：f(x)=f(|x|)，則由題意可得，f(x)=f(|2x+1|)，從而有|x|＞|2x+1|，本題的求解可避開討論，過程更為簡捷.中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司
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例3
設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為R，且對于任意x1,x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，又當(dāng)x＞0時，f(x)＜0,f(1)=-
1.求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-4,4]上的最大值和最小值.2
分析：問題中的函數(shù)解析式?jīng)]有給出，求最值應(yīng)從哪里入手呢？只要知道了函數(shù)的單調(diào)性，問題也就迎刃而解了.解：由題意知，對于任意x1,x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)①
在①中，令x1=x2=0，可得f(0)=0.在①中，令x1=x,x2=-x，可得f(0)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x).設(shè)x1,x2∈R且x1＜x2，則f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1).因為x2-x1＞0，由題設(shè)知f(x2-x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，所以函數(shù)y=f(x)在R上是減函數(shù)，因此在區(qū)間[-4,4]上，有f(4)≤f(x)≤f(-4).又因為f(1)=-1，2
所以f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=-1,f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)=-2，則f(-4)=-f(4)=2.故在區(qū)間[-4,4]上函數(shù)y=f(x)的最大值為2，最小值為-2.點評：(1)求解有關(guān)抽象函數(shù)的問題時，賦值法是常用的方法，給自變量x賦以一些特殊的數(shù)值，構(gòu)造出含有某個函數(shù)值的方程，通過解方程使問題獲解；
(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值是常用方法之一，如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上是增(或減)函數(shù)，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值為f(b)〔或f(a)〕，最小值為f(a)[或f(b)].例
4有甲、乙兩種商品，經(jīng)營、銷售這兩種商品所能獲得的利潤依次為P萬元和Q萬元，它們與投入資金x萬元的關(guān)系有經(jīng)驗公式P=
13x，現(xiàn)有3萬元資金投入經(jīng)營x，Q=
55甲、乙兩種商品，設(shè)其中有x萬元投入經(jīng)營甲種商品，這時所獲得的總利潤為y萬元.(1)試將y表示為x的函數(shù)；
(2)為使所獲得的總利潤最大，對甲、乙兩種商品的資金投入應(yīng)分別為多少萬元？這時的最大利潤是多少萬元？
分析：這是一道實際應(yīng)用問題，建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式是實現(xiàn)問題解決的基礎(chǔ)，要注意：充分利用題目中所給的信息，不要忘記定義域.解：(1)當(dāng)有x萬元投入經(jīng)營甲種商品時，則有(3-x)萬元投入經(jīng)營乙種商品，根據(jù)題意得：y=13x?3?x(x∈[0,3]).5
5這就是所求的函數(shù)關(guān)系式.(2)設(shè)y=3?x=t，則x=3-t2(t∈[0,3])，于是原函數(shù)關(guān)系式可化為123131(3-t)+t=-(t?)2+20(t∈[0,3]).555223213339
當(dāng)t=時，ymax=.此時，x=3-()2=，3-x=3-=.220244
4因此，為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入應(yīng)分別投入0.75萬元和2.25萬元，所獲最大利潤是1.05萬元.點評：(1)遇到實際應(yīng)用問題，建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式是實現(xiàn)問題解決的基礎(chǔ)，另外要注意：充分利用題目中所給的信息，不要忘記定義域.(2)求函數(shù)的最大值和最小值，方法比較靈活，對一些復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系式，通過換元，中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司
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將其轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)來求解，體現(xiàn)了化歸思想的運用，值得我們好好地加以體會.本題中通過換元，將十分復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為我們較為熟悉的二次函數(shù)，求函數(shù)的最值就變得輕而易舉了.ax2?1
5例5
已知函數(shù)f(x)=是奇函數(shù)，且f(1)=2,f(2)=.2bx?c
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；
(2)當(dāng)x＞0時，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并寫出證明過程.分析：用方程確定a,b,c的值，用定義來證明函數(shù)單調(diào)性.解：(1)由f(-x)=-f(x)得-bx+c=-(bx+c)，所以c=0.又f(1)=2，即a+1=2b.因為f(2)=
5，所2?a?1,x2?14a?15?以=，得a=1，故?b?1,從而得f(x)=.a?12x?c?0,?x2?1
1(2)f(x)==x+在(0,1]上是單調(diào)減函數(shù)，在[1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù).證明如下：
xx任取0＜x1＜x2，則f(x1)-f(x2)=(x1+
(x?x2)(x1x2?1)11111)-(x2+)=(x1-x2)+()=1.?)=(x1-x2)(1-x1x2x1x2x1x2x1x21x1x
①若0＜x1＜x2≤1，則x1-x2＜0,0＜x1x2＜1，于是f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2).所以y=x+在區(qū)間(0,1]上是單調(diào)減函數(shù).②若1≤x1＜x2，所以x1-x2＜0,x1x2＞1，于是f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).所以y=x+在區(qū)間[1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù).x2?11
綜上所述，函數(shù)f(x)==x+在(0,1]上是單調(diào)減函數(shù)，在[1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù).xx
點評：解題時值得注意的是奇(偶)函數(shù)條件的使用，函數(shù)是奇函數(shù)(或偶函數(shù))也就意味著等式f(-x)=-f(x)[或f(-x)=f(x)]對于定義域內(nèi)的任意x都成立，通過恒等式有關(guān)知識尋求等量關(guān)系.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間一般有三種方法：(1)圖象法；(2)定義法；(3)利用已知函數(shù)的單調(diào)性法.本例圖象不易作出，利用函數(shù)y=x和y=
1的單調(diào)性也不行，故只能使用函數(shù)單調(diào)性的定x義來確定.例6
已知y=f(x)是定義在區(qū)間(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù)，且在(0,+∞)上是增函數(shù)，f(1)=0.(1)解不等式f(x)≥0；
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=-x2+mx-2m(x∈[0,1],m∈R)，集合M={m|g(x)＜0}，集合N={m|f[g(x)]＜0}，求M∩N.分析：本題中的函數(shù)f(x)是抽象函數(shù)，因此只能由函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的草圖來解決本題.中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司
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解：(1)因為f(x)為定義在區(qū)間(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù)且f(1)=0，所以f(-x)=-f(x)，則f(-1)=-f(1)=0；
當(dāng)x∈(0,+∞)時，因為f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)，由f(x)≥0得x≥1；
因為奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，又f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間(-∞,0)上也是增函數(shù)，又因為f(-1)=0，所以當(dāng)x∈(-∞,0)時，由f(x)≥0得-1≤x＜0.綜上所述，不等式f(x)≥0的解集為[-1,0)∪[1,+∞).(2)由(1)可知f(x)≥0的解集為[-1,0)∪[1,+∞)，因為f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞)，所以f(x)＜0的解集為(-∞,-1)∪(0,1).所以由f[g(x)]＜0得g(x)＜-1或0＜g(x)＜1，即N={m|g(x)＜-1或0＜g(x)＜1}，因為M={m|g(x)＜0}，所以M∩N={m|g(x)＜-1}.因為g(x)=-x2+mx-2m(x∈[0,1])，所以g(x)＜-1化為-x2+mx-2m+1＜0，即(x-2)m+1-x2＜0，因為x∈[0,1]，所以m＞x2?1(x?2)2?4(x?2)?333?=(x-2)++4=-[(2-x)+]+4，當(dāng)x∈[0,1]時，2-x＞0，x?22?xx?2x?2根據(jù)函數(shù)h(t)=t+的圖象可知：-[(2-x)+m＞?21t3]+4≤?23+4，當(dāng)x=2?3時取等號，所以2?x3+4.點評：本題所給函數(shù)是抽象函數(shù)，具有一定的綜合性；在解決第一問時可以借助函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性畫出草圖來幫助我們解題；在解決第二問時，可能有學(xué)生會分別求出集合M與N，然后再取交集，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生按照以上解答過程來解決省時省力.鞏固訓(xùn)練
思路1
1.已知函數(shù)f(x)=(m-1)x2+2mx+3為偶函數(shù)，則f(x)在區(qū)間(-5，-2)上是（）
A.增函數(shù)
B.減函數(shù)
C.部分為增函數(shù)，部分為減函數(shù)
D.無法確定增減性
解答：A
2.設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+cx+5，已知f(-3)=3，則f(3)等于（）
A.3
B.-3
C.2
D.7
解答：D
3.已知偶函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)，則f(-3)和f(π)的大小關(guān)系是（）
A.f(-3)＞f(π)
B.f(-3)＜f(π)
C.f(-3)=f(π)
D.無法確定
解答：B
4.已知f(x)=x2+1在[-3，-2]上是減函數(shù)，下面結(jié)論正確的是（）|x|
A.f(x)是偶函數(shù)，在[2，3]上單調(diào)遞減
B.f(x)是奇函數(shù)，在[2，3]上單調(diào)遞減
C.f(x)是偶函數(shù)，在[2，3]上單調(diào)遞增
D.f(x)是奇函數(shù)，在[2，3]上單調(diào)遞增
解答：C
5.已知f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f(x)=x(1-x)，則當(dāng)x＜0時，f(x)等于 …（）
A.x(x+1)
B.x(x-1)
C.x(1-x)
D.-x(1+x)
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解答：A
6.定義在R上的函數(shù)f(x)、g(x)都是奇函數(shù)，函數(shù)F(x)=af(x)+bg(x)+3在區(qū)間(0，+∞)上的最大值為10，那么函數(shù)F(x)在(-∞，0)上的最小值是.解答：-4
7.函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx是奇函數(shù)，函數(shù)g(x)=x2+(c-2)x+5是偶函數(shù)，則b=__________，c=__________.解答：0 2
8.函數(shù)f(x)=|x-a|-|x+a|(a∈R)的奇偶性是__________.解答：a≠0奇函數(shù)，a=0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
9.偶函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù)，且在(0，+∞)上單調(diào)遞減，則f(-
3)和f(a2-a+1)的大4小關(guān)系是__________.10.f(x)是(-∞，+∞)上的奇函數(shù)，且在(-∞，+∞)上是減函數(shù)，那么滿足f(a)+f(a2)＞0的實數(shù)a的取值范圍是__________.解答：f(-3)≥f(a2-a+1)10.-1＜a＜0
4點評：本組練習(xí)以基礎(chǔ)題為主，難度不大.思路2
1.已知二次函數(shù)y=f(x)滿足條件f(0)=1及f(x+1)-f(x)=2x.(1)求y=f(x)的表達(dá)式；
(2)求y=f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最大值和最小值.2.已知y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x+2)=?1，若當(dāng)2≤x≤3時，f(x)=x，則f(x)f(5.5)＝___________.3.某產(chǎn)品的總成本y萬元與產(chǎn)量x臺之間的函數(shù)關(guān)系式是y=3 000+20x-0.1x2,x∈(0,240)，若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本的最低產(chǎn)量為多少？
4.已知函數(shù)f(x)=ax2+a2x+2b-a3，(1)當(dāng)x∈(-2，6)時，其值為正；x∈(-∞,-2)∪(6,+∞)時，其值為負(fù)，求a,b的值及f(x)的表達(dá)式；
(2)設(shè)F(x)=?kf(x)+4(k+1)x+2(6k-1)，k為何值時，函數(shù)F(x)的值恒為負(fù)值.4a10a，該集團(tuán)今年計劃對這兩項生產(chǎn)共投入,Q=
35.某農(nóng)工貿(mào)集團(tuán)開發(fā)的養(yǎng)殖業(yè)和養(yǎng)殖加工生產(chǎn)業(yè)的年利潤分別是T和Q(萬元)，這兩項生產(chǎn)與投入的獎金a(萬元)的關(guān)系是P=獎金60萬元，為獲得最大利潤，對養(yǎng)殖業(yè)與養(yǎng)殖加工生產(chǎn)業(yè)投入應(yīng)各為多少萬元？最大利潤為多少萬元？
解答：
1.解：(1)由題意可設(shè)f(x)=ax2+bx+1，則f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=2x，因此a=1,b=-1, 所以f(x)=x2-x+1.123)+，x∈[-1,1], 2413
所以ymax=f(-1)=3，ymin=f()=.24
(2)因為f(x)=x2-x+1=(x-
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2.解：因為f(x+2)=?11，所以f(x+4)=?=f(x)，f(x?2)f(x)
則f(5.5)=f(1.5)，f(1.5)=f(-2.5)，又因為y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)2≤x≤3時，f(x)=x，所以f(-2.5)=f(2.5)=2.5，因此f(5.5)=2.5.3.解：因為25x≥3 000+20x-0.1x2，即x2+50x-30 000≥0，所以x≥150(x≤-200舍去)，所以最低產(chǎn)量為150臺.23??f(?2)?4a?2a?2b?a?0,4.解：(1)由已知?解得：32a+8a2=0(a＜0)，所以a=-4，23??f(6)?36a?6a?2b?a?0,從而b=-8，所以f(x)=-4x2+16x+48.(2)F(x)=?k(-4x2+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1)=kx2+4x-2，要使F(x)＜0，只要4?k?0,得k＜-2.????16?8k?0,5.解：設(shè)投入養(yǎng)殖業(yè)為x萬元，則投入養(yǎng)殖加工生產(chǎn)業(yè)為60-x萬元
x10?60?x(0≤x≤60)，設(shè)t=60?x,則0≤t≤60，x=60-t2，則33110185P+Q=(60-t2)+t=-(t-5)2+，33338
5所以當(dāng)t=5，即x=35時，(P+Q)max=.385
因此對養(yǎng)殖業(yè)投入35萬元，對養(yǎng)殖加工生產(chǎn)業(yè)投入25萬元，可獲最大利潤萬元.3由題意，P+Q=
點評：本組練習(xí)對學(xué)生的能力要求比較高.課堂小結(jié)
函數(shù)的基本性質(zhì)中單調(diào)性與奇偶性是緊密地聯(lián)系在一起的，在許多問題中常常需要結(jié)合在一起加以運用，因此，學(xué)習(xí)函數(shù)時，要正確理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，把握其本質(zhì)特征，學(xué)會靈活地運用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解題.研究函數(shù)問題時，要重視函數(shù)圖象的功能，掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合解題的意識，提高數(shù)形結(jié)合解題的能力.作業(yè)
課本第43頁習(xí)題2.1(3)
3、11.設(shè)計感想
深刻理解函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：
概念是數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)、概念性強(qiáng)是中學(xué)數(shù)學(xué)中函數(shù)理論的一個顯著特征，函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，最大(小)值等是函數(shù)有關(guān)概念的重要內(nèi)容.本章學(xué)習(xí)的內(nèi)容中數(shù)學(xué)概念較多，正確地理解數(shù)學(xué)概念在于準(zhǔn)確把握概念的本質(zhì)特征.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)重要概念之一，應(yīng)明確：
(1)它是一個區(qū)間概念，即函數(shù)的單調(diào)性是針對定義域內(nèi)的區(qū)間而言的，談到函數(shù)的單調(diào)性必須指明區(qū)間(可以是定義域，也可以是定義域內(nèi)某個區(qū)間)
(2)用函數(shù)單調(diào)性定義來確定函數(shù)在某區(qū)間是增函數(shù)還是減函數(shù)的一般方法步驟是：取值——作差——變形——定號——結(jié)論.中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司
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(3)由函數(shù)單調(diào)性的定義知，當(dāng)自變量由小到大，函數(shù)值也由小到大時，則為增函數(shù)，反之，為減函數(shù)；由于函數(shù)圖象的走向能直觀反映函數(shù)的變化趨勢，所以當(dāng)函數(shù)的圖象(曲線)從左到右是逐漸上升的，它是增函數(shù)，反之為減函數(shù).函數(shù)的奇偶性：奇偶性是對于函數(shù)的整個定義域而言的.判斷函數(shù)是否具有奇偶性時，首先要檢查其定義域是否關(guān)于原點對稱，然后再根據(jù)定義求出f(-x)并判斷它與f(x)的關(guān)系.函數(shù)圖象可直觀、生動地反映函數(shù)的某些性質(zhì)，因此在研究函數(shù)性質(zhì)時，應(yīng)密切結(jié)合函數(shù)圖象的特征，對應(yīng)研究函數(shù)的性質(zhì).函數(shù)是用以描述客觀世界中量的存在關(guān)系的數(shù)學(xué)概念，函數(shù)思想的實質(zhì)是用聯(lián)系與變化的觀點提出數(shù)學(xué)對象，抽象數(shù)量特征，建立函數(shù)關(guān)系、解決各種問題.縱觀近幾年的高考試題，考查函數(shù)的思想方法已放在一個突出的位置上，特別是近三年加大了應(yīng)用題的考查力度，選用的題目都要應(yīng)用函數(shù)的思想、知識、方法才能解答的，因此在函數(shù)的學(xué)習(xí)中，一定要認(rèn)識函數(shù)思想的實質(zhì)，一定要強(qiáng)化應(yīng)用意識.中鴻智業(yè)信息技術(shù)有限公司
第五篇：基本初等函數(shù)教學(xué)反思
初中我們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)三類初等函數(shù)，必修一中我們又要學(xué)習(xí)另外三種初等函數(shù)----指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)。在前兩章中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、函數(shù)的基本性質(zhì)——單調(diào)性、奇偶性，我在教學(xué)學(xué)過程中就將這些性質(zhì)和初中學(xué)習(xí)的函數(shù)進(jìn)行結(jié)合，分析討論這些函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的研究也是以這些基本性質(zhì)為出發(fā)點，來進(jìn)行研究的。實質(zhì)是對函數(shù)性質(zhì)研究的延續(xù)。我主要談一下我在教學(xué)對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)方面的感受。
指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)間有著密不可分的關(guān)系，它們的性質(zhì)有好多的相似指處，因此在教學(xué)過程中，我比較注重培養(yǎng)學(xué)生運用對比、類比的數(shù)學(xué)思想去學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)函數(shù)。；同時從數(shù)形結(jié)合的角度去感性認(rèn)識對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，這樣可以把函數(shù)的抽象性以更為直觀的形式表現(xiàn)出來；在教學(xué)過程中，我還適時運用肢體語言讓同學(xué)們感知函數(shù)圖像，從而比較自然地使學(xué)生能盡快記住函數(shù)圖像的樣子，有了圖像性質(zhì)全部寫在圖上。數(shù)形結(jié)合這種重要的數(shù)學(xué)思想貫穿整個高中數(shù)學(xué)，應(yīng)該逐漸使學(xué)生養(yǎng)成運用意識。學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的把握還是不錯的。
但是，對于新知的理解和接受需要一個過程，就像我們?nèi)伺c人之間的交往一樣，新朋友的熟悉需要一個認(rèn)識的過程。由于課程時間安排比較緊，我們不可能停下來認(rèn)識，一個學(xué)期或一個學(xué)年后發(fā)現(xiàn)好多學(xué)生已經(jīng)將對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)忘記了，碰到了和陌生的一樣。我覺得這和我們平時的月考內(nèi)容安排有關(guān)系，我們的月考內(nèi)容應(yīng)該是之前的全部學(xué)習(xí)內(nèi)容，非本學(xué)期的前面的知識要占一定比例，但是我們的安排都是本月學(xué)習(xí)什么只考什么，前面的根本不涉及。這樣前面的東西就慢慢忘了。我們應(yīng)該在這方面改進(jìn)一下。
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