第一篇：基本初等函數的極限

基本初等函數在其定義域內極限值等于函數值.c?c 常函數 y?c limx

指數函數 y?ax?a?0,a?1?

a?1 limax??? limax?0；0?a?1 limax?0 limax??? x???x???x???x???對數函數 y?logax?a?0,a?1?

logax???；0?a?1limlogax???，limlogax??? a?1limlogax???，lim??x???x?0x???x?0

三角函數

y?tanx lim

?x??k???2?????tanx??? lim?x??k???2?????tanx???

y?cotx lim?cotx??? lim?cotx??? x??k??x??k??

反三角函數

x???limarctanx??2arctanx??；limarccotx?0 limarccotx??xlimx???x??????2?

冪函數 y?x?

x2??定義域為R,例如y?x2，limx??

1/21/21/2limx???limx?0（定義域內的點）0,??定義域為?，例如，y?x??x???x?0?

x?1?0，limx?1?? 定義域為???,0???0,???，例如y?x?1，limx??x?0

x?1/2?0，limx?1/2??? 定義域為?0,???，例如y?x?1/2，xlim???x?0?

注：不管?的取值，定義域都包括?0,???

???0，limx????，lim?x??0；??0，limx??0，limx??? ?x???x?0x???x?0

第二篇：基本初等函數

基本初等函數

一、考點分析

函數是高中數學的主要內容，它把中學數學的各個分支緊密地聯系在一起，是中學數學全部內容的主線。在高考中，至少三個小題一個大題，分值在３０分左右。以指數函數、對數函數、生成性函數為載體結合圖象的變換（平移、伸縮、對稱變換）、四性問題（單調性、奇偶性、周期性、對稱性）、反函數問題常常是選擇題、填空題考查的主要內容，其中函數的單調性和奇偶性有向抽象函數發展的趨勢。函數與導數的結合是高考的熱點題型，文科以三次（或四次）函數為命題載體，理科以生成性函數（對數函數、指數函數及分式函數）為命題載體，以切線問題、極值最值問題、單調性問題、恒成立問題為設置條件，與不等式、數列綜合成題，是解答題試題的主要特點。

考點：函數的定義域和值域，了解并簡單應用分段函數，函數的單調性、最值及幾何意義、奇偶性，會利用函數圖像表示并分析函數的性質；理解指數函數、對數函數的概念以及運算

性質，會畫圖像并且了解相關性質。了解冪函數的概念，結合圖像了解變化情況。

易錯點：容易遺忘判斷單調性以及奇偶性的方法；容易遺忘指數、對數函數的圖像性質，以及相關的運算性質。

難點：函數的單調性、奇偶性，指數、對數函數的圖像性質以及運算性質。

二、知識分析

1．函數的三要素是什么？如何比較兩個函數是否相同？（定義域、對應法則、值域）

2．求函數的定義域有哪些常見類型？

例：函數

y?lgx?3的定義域是答：?0，2?3??3，4? ?2，3．如何求復合函數的定義域？

如：函數f(x)的定義域是?a，b?，b??a?0，則函數F(x)?f(x)?f(?x)的定義域是_____________。答：?a，?a?

4．求一個函數的解析式數時，注明函數的定義域了嗎？

如：f

令t?ex?x，求f（x)t?0，∴x?t2?1，∴f(t)?et

x2?12?1?t2?1，∴f(x)?e?x2?1?x?0?

5．如何用定義證明函數的單調性？（取值、作差、判正負）

如何判斷復合函數的單調性？，u??(x)（內層），則y?f??(x)? y?f(u)（外層）

當內、外層函數單調性相同時，f

??(x)?為增函數，否則f??(x)?為減函數

如：求y?log1?x2?2x的單調區間。

設u??x?2x，由u?0，則0?x?2且log1u?，u???x?1??1，如圖

??

當x?(0，1]時，u?，又log1u?，∴y?

當x?[1，2)時，u?，又log1u?，∴y?

∴……）

6．如何利用導數判斷函數的單調性？

在區間?a，b?內，若總有f'(x)?0，則f(x)為增函數。（在個別點上導數等于零，不影響函數的單調性），反之也對，若f'(x)?0呢？

如：已知a?0，函數f(x)?x3?ax在?1，???上是單調增函數，則a的最大值是 A．0

B．1C．2D．

3?x??0令f'(x)?3x?a?3?x?，則x?

x?，??

由已知f(x)在?1，????1，即a?3，∴a的最大值為3 7．函數f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？（f(x)定義域關于原點對稱）

若f(?x)??f(x)總成立?f(x)為奇函數?函數圖像關于原點對稱 若f(?x)?f(x)總成立?f(x)為偶函數?函數圖像關于y軸對稱 注意如下結論：

（1）在公共定義域內：兩個奇函數的乘積是偶函數；兩個偶函數的乘積是偶函數；一個偶函數與奇函數的乘積是奇函數。

（2）若f(x)是奇函數且定義域中有原點，則f(0)?0

a·2x?a?

2如：若f(x)?為奇函數，則實數a?

2x?

1a·20?a?2

?0，∴a?1 ∵f(x)為奇函數，x?R，又0?R，∴f(0)?0，即0

2?12x

又如：f(x)為定義在(?11)，求f(x)在，上的奇函數，當x?(0，1)時，f(x)?x

4?1(?11)，上的解析式。

2?x

令x???10，?，則?x??01，?，f(?x)??x

4?12?x2x

??又f(x)為奇函數，∴f(x)???x

4?11?4x

?2x

0)??4x?1,x?(?1，??

又f(0)?0，∴f(x)??0,x?0

?2x

?x,x??0，1??4?1?

8．你熟悉周期函數的定義嗎？

（T?0）若存在實數T，在定義域內總有f?x?T??f(x)，則f(x)為周期函數，T是

一個周期。如：若f?x?a???f(x)，則答： T?2a為f(x)的一個周期。

又如：若f(x)圖像有兩條對稱軸x?a，x?b???即f(b?x)?f(b?x)，f(a?x)?f(a?x)，則f(x)是周期函數，2|a?b|為一個周期

如圖：

9．你掌握常用的圖象變換了嗎？

f(x)與f(?x)的圖像關于y軸對稱 f(x)與?f(x)的圖像關于x軸對稱 f(x)與?f(?x)的圖像關于原點對稱 ?將y?f(x)圖像??????右移a(a?0)個單位

左移a(a?0)個單位

y?f(x?a)上移b(b?0)個單位y?f(x?a)?b

??????? 下移b(b?0)個單位

y?f(x?a)y?f(x?a)?b

注意如下“翻折”變換：f(x)?|f(x)|,f(x)?f(|x|)

如：f(x)?log2?x?1?y=log2x

作出y?|log2?x?1?|及y?log2|x?1|的圖像

10．你熟練掌握常用函數的圖象和性質了嗎？

（1）一次函數：y?kx?b?k?0?（2）反比例函數：y?

kk

?k?0?推廣為y?b??k?0?是中心O'(a，b)的雙曲線。

xx?a

b?4ac?b2?

（3）二次函數y?ax?bx?c?a?0??a?x?的圖像為拋物線 ??

2a?4a?

?b4ac?b2?bx??頂點坐標為??，對稱軸 ?2a4a??2a

開口方向：a?0，向上，函數ymin

4ac?b2?

4a

a?0，向下，ymax

4ac?b2?

4a

應用：①“三個二次”（二次函數、二次方程、二次不

等式）的關系——二次方程ax?bx?c?0，??0時，兩根x1、x2為二次函數

也是二次不等式ax?bx?c?0(?0)解集的端y?ax2?bx?c的圖像與x軸的兩個交點，點值。

②求閉區間［m，n］上的最值。

③求區間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。④一元二次方程根的分布問題。

如：二次方程ax?bx?c?0的兩根都大于

???0

?b?k????k，一根大于k，一根小于k?f(k)?0

2a???f(k)?0

（4）指數函數：y?a

x

?a?0，a?1?

ax(a>1)

（5）對數函數：y?logax?a?0，a?1?

由圖象記性質！（注意底數的限定！）（6）“對勾函數”y?x?

(a?

0)，k

?k?0? x

1ap

11．你在基本運算上常出現錯誤嗎？

指數運算：a0?1(a?0)，a

?p

?

a?a?

0)，a

mn

?

mn

?

a?0)

對數運算：logaM·N?logaM?logaN?M?0，N?0?

loga

M

1?logaM?logaN，loga?logaM Nn

logax

對數恒等式：a

?x；對數換底公式：logab?

logcbn

?logambn?logab logcam

12．如何解抽象函數問題？（賦值法、結構變換法）

如：（1）x?R，f(x)滿足f(x?y)?f(x)?f(y)，證明f(x)為奇函數。先令x?y?0?f(0)?0，再令y??x，……

（2）x?R，f(x)滿足f(xy)?f(x)?f(y)，證明f(x)為偶函數。先令x?y??t?f[(?t)(?t)]?f(t?t)，∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t)，∴f(?t)?f(t)……

（3）證明單調性：f(x2)?f???x2?x1??x2???…… 13．掌握求函數值域的常用方法了嗎？

（二次函數法（配方法），換元法，均值定理法，利用函數單調性法，導數法等。）

三、習題

第三篇：基本初等函數教學反思

初中我們學習了一次函數、二次函數、反比例函數三類初等函數，必修一中我們又要學習另外三種初等函數----指數函數、對數函數、冪函數。在前兩章中我們已經學習了函數的概念、函數的基本性質——單調性、奇偶性，我在教學學過程中就將這些性質和初中學習的函數進行結合，分析討論這些函數的相關性質。指數函數、對數函數、冪函數的研究也是以這些基本性質為出發點，來進行研究的。實質是對函數性質研究的延續。我主要談一下我在教學對數函數的圖像和性質方面的感受。

指數函數和對數函數間有著密不可分的關系，它們的性質有好多的相似指處，因此在教學過程中，我比較注重培養學生運用對比、類比的數學思想去學習對數函數函數。；同時從數形結合的角度去感性認識對數函數的性質，這樣可以把函數的抽象性以更為直觀的形式表現出來；在教學過程中，我還適時運用肢體語言讓同學們感知函數圖像，從而比較自然地使學生能盡快記住函數圖像的樣子，有了圖像性質全部寫在圖上。數形結合這種重要的數學思想貫穿整個高中數學，應該逐漸使學生養成運用意識。學生對函數性質的把握還是不錯的。

但是，對于新知的理解和接受需要一個過程，就像我們人與人之間的交往一樣，新朋友的熟悉需要一個認識的過程。由于課程時間安排比較緊，我們不可能停下來認識，一個學期或一個學年后發現好多學生已經將對數函數、指數函數的性質忘記了，碰到了和陌生的一樣。我覺得這和我們平時的月考內容安排有關系，我們的月考內容應該是之前的全部學習內容，非本學期的前面的知識要占一定比例，但是我們的安排都是本月學習什么只考什么，前面的根本不涉及。這樣前面的東西就慢慢忘了。我們應該在這方面改進一下。

第四篇：函數極限

習題

1.按定義證明下列極限:

(1)limx???6x?5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x?2x

x2?5?1;(4)lim?(3)lim2x???x?1x?2

(5)limcos x = cos x0 x?x04?x2=0;

2.根據定義2敘述limf(x)≠ A.x?x0

3.設limf(x)= A.,證明limf(x0+h)= A.x?x0h?0

4.證明:若limf(x)= A,則lim| f(x)| = |A|.當且僅當A為何值時反之也成立? x?x0x?x0

5.證明定理3.1

6.討論下列函數在x0→0 時的極限或左、右極限:(1)f(x)=x

x;(2)f(x)= [x]

?2x;x?0.?(3)f(x)=?0;x?0.?1?x2,x?0.?

7.設 limf(x)= A,證明limf(x???x?x01)= A x

8.證明:對黎曼函數R(x)有limR(x)= 0 , x0∈[0,1](當x0=0或1時,考慮單側極限).x?x0

習題

1． 求下列極限：

x2?1（1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim;?x?02x2?x?1x?22

x2?1?x?1???1?3x?;

lim(3)lim;(4)

x?12x2?x?1x?0x2?2x3

xn?1(5)limm(n,m 為正整數)；（6）lim

x?1xx?4?1

（7）lim

x?0

?2x?3x?2

70；

a2?x?a?3x?6??8x?5?.（a>0）;(8)lim

x???x5x?190

2． 利用斂性求極限：(1)lim

x???

x?cosxxsinx

;(2)lim2

x?0xx?4

x?x0

3． 設 limf(x)=A, limg(x)=B.證明：

x?x0

（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;

x?x0

（2）lim[f(x)g(x)]=AB;

x?x0

（3）lim

x?x0

f(x)A

=(當B≠0時)g(x)B

4． 設

a0xm?a1xm?1???am?1x?am

f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn?1

b0x?b1x???bn?1x?bn

試求 limf(x)

x???

5． 設f(x)>0, limf(x)=A.證明

x?x0

x?x0

lim

f(x)=A，其中n≥2為正整數.6.證明limax=1(0

x?0

7.設limf(x)=A, limg(x)=B.x?x0

x?x0

(1)若在某∪(x0)內有f(x)< g(x)，問是否必有A < B ? 為什么？

（2）證明：若A>B,則在某∪(x0)內有f(x)> g(x).8.求下列極限（其中n皆為正整數）：(1)lim ?

x?0

x

x11

lim;(2);nn?x?0x1?xx1?x

x?x2???xn?n

(3)lim;(4)lim

x?0x?0x?1

?x?1

x

(5)lim

x??

?x?(提示：參照例1)

x

x?0

x?0

x?0

9．（1）證明：若limf(x3)存在，則limf(x)= lim f(x3)（2）若limf(x2)存在，試問是否成立limf(x)=limf(x2)?

x?0

x?0

x?0

習題

1.敘述函數極限limf(x)的歸結原則,并應用它證明limcos x不存在.n???

n???

2.設f 為定義在[a,+?)上的增(減)函數.證明: lim= f(x)存在的充要條件是f在n???

[a,+?)上有上(下)界.3.(1)敘述極限limf(x)的柯西準則;

n???

(2)根據柯西準則敘述limf(x)不存在的充要條件,并應用它證明limsin x不存在.n???

n???

4.設f在∪0(x0)內有定義.證明:若對任何數列{xn}?∪0(x0)且limxn=x0,極限limf(xn)都

n??

n??

存在,則所有這極限都相等.提示: 參見定理3.11充分性的證明.5設f為∪0(x0)上的遞減函數.證明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0)=supf(x),f(x0+0)=

0x?u?

?x0?

0x?un(x0)

inff(x)

6.設 D(x)為狄利克雷函數,x0∈R證明limD(x)不存在.x?x0

7.證明:若f為周期函數,且limf(x)=0,則f(x)=0

x???

8.證明定理3.9

習題

1.求下列極限

sin2xsinx3

(1)lim;(2)lim

x?0x?0sinx2x

(3)lim

x?

cosxx?

?

tanx?sinxarctanx

lim(5)lim;(6);3x?0x?0xx

sin2x?sin2a1

(7)limxsin;(8)lim;

x???x?axx?a

;(4)lim

x?0

tanx

;x

?cosx2

(9)lim;(10)lim

x?0x?01?cosxx?1?1

sin4x

2.求下列極限

12?x

(1)lim(1?);(2)lim?1?ax?x(a為給定實數);

n??x?0x

x

(3)lim?1?tanx?

x?0

cotx

;(4)lim?

?1?x?

?;

x?01?x??

(5)lim（x???

3x?22x?1?);(6)lim(1?)?x(?,?為給定實數)

n???3x?1x

3.證明:lim?lim?cosxcoxcos4.利用歸結原則計算下列極限:(1)limnsin

n??

?

x?0n??

??

?

x2

xx???cos?1 2n??22??

?

n

;(2)

習題

1． 證明下列各式

(1)2x－x2=O(x)(x→0);(2)x sinx?O(x)(x→0);

+

(3)?x?1?o(1)(x→0);

(4)(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 為正整數)(5)2x3 + x2=O(x3)(x→∞);

(6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0)

(7)o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0)2． 應用定理3.12求下列極限：

?x2?1x(1)lim(2)lim x?01?cosxx??x?cosx

x3． 證明定理3.13

4． 求下列函數所表示曲線的漸近線：

13x3?4

(1)y =;(2)y = arctan x;(3)y = 2

xx?2x

5． 試確定a的值，使下列函數與xa當x→0時為同階無窮小量：

(1)sin2x－2sinx;(2)

－(1－x);1?x

(3)?tanx??sinx;(4)

x2?4x3

6． 試確定a的值，使下列函數與xa當x→∞時為同階無窮大量：

(1)

x2?x5;(2)x+x2(2+sinx);

(3)(1+x)(1+x2)…(1+xn).7． 證明：若S為無上界數集，則存在一遞增數列{xn}?s，使得xn→+∞(n→∞)

8． 證明：若f為x→r時的無窮大量，而函數g在某U0(r)上滿足g(x)≥K>0，則fg為x→r

時的無窮大量。

9． 設 f(x)~g(x)(x→x0)，證明：

f(x)－g(x)= o(f(x))或 f(x)－g(x)= o(g(x))

總 練習題

1． 求下列極限：

?1

(x?[x])lim([x]?1)(1)lim;(2)??

x?3

x?1

(3)lim（x???

a?xb?x?a?xb?x)

xx?a

(4)lim

x???

(5)lim

xx?a

x???

(6)lim

?x??x?x??x

x?0

(7)lim?

n??m,m,n 為正整數 ?n?x?11?xm1?x??

2． 分別求出滿足下述條件的常數a與b：

?x2?1?

(1)lim??ax?b???0 x????x?1??

x(3)limx

(2)lim

x???x???x?2

??x?1?ax?b??0

?x?1?ax?b?0

x?2

3． 試分別舉出符合下列要求的函數f：

(1)limf(x)?f(2)；(2)limf(x)不存在。

4． 試給出函數f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一點x0處有limf(x)?0。這同極限的x?x0

局部保號性有矛盾嗎？

5． 設limf(x)?A，limg(u)?B，在何種條件下能由此推出

x?a

g?A

limg(f(x))?B?

x?a

6． 設f(x)=x cos x。試作數列

(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0(n→∞);(2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0(n→∞);(3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0(n→∞).7． 證明：若數列{an}滿足下列條件之一，則{an}是無窮大數列：

(1)liman?r?1

n??

(2)lim

an?1

?s?1(an≠0,n=1,2,…)

n??an

n2

n2

8． 利用上題（1）的結論求極限：

(1)lim?1?

?n??

?1??1??(2)lim?1??

n??n??n?

9． 設liman???，證明

n??

(1)lim

(a1?a2???an)??? n??n

n??

(2)若an > 0(n=1,2,…),則lima1a2?an??? 10.利用上題結果求極限：

(1)limn!(2)lim

n??

In(n!)

n??n

11.設f為U-0(x0)內的遞增函數。證明：若存在數列{xn}?U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得

limf(xn)?A，則有

n??

f(x0－0)=

supf(x)?A

0x?U?(x0)

12.設函數f在(0,+∞)上滿足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)?A。證明：f(x)?A，x∈(0,+∞)

x???

13.設函數f在(0,+∞)此上滿足方程f(x2)= f(x)，且

f(x)=limf(x)?f(1)lim?

x?0

x???

證明：f(x)?f(1)，x∈(0,+∞)

14.設函數f定義在(a,+∞)上，f在每一個有限區間內(a,b)有界，并滿足

x???

lim(f(x?1)?f(1))?A證明

x???

lim

f(x)

?A x

第五篇：函數極限

《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

第三章 函數極限

教學目的：

1.使學生牢固地建立起函數極限的一般概念，掌握函數極限的基本性質； 2.理解并運用海涅定理與柯西準則判定某些函數極限的存在性； 3.掌握兩個重要極限

和，并能熟練運用；

4.理解無窮小（大）量及其階的概念，會利用它們求某些函數的極限。教學重（難）點：

本章的重點是函數極限的概念、性質及其計算；難點是海涅定理與柯西準則的應用。

教學時數：16學時

§ 1 函數極限概念（3學時）

教學目的：使學生建立起函數極限的準確概念；會用函數極限的定義證明函數極限等有關命題。

教學要求：使學生逐步建立起函數極限的???定義的清晰概念。會應用函數極限的???定義證明函數的有關命題，并能運用???語言正確表述函數不以某實數為極限等相應陳述。

教學重點：函數極限的概念。

教學難點：函數極限的???定義及其應用。

一、復習：數列極限的概念、性質等

二、講授新課：

（一）時函數的極限：

《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

例4 驗證

例5 驗證

例6 驗證

證 由 =

為使

需有

需有

為使

于是, 倘限制 , 就有

例7 驗證

例8 驗證(類似有

（三）單側極限:

1．定義：單側極限的定義及記法.幾何意義: 介紹半鄰域

《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

我們引進了六種極限:.以下以極限，為例討論性質.均給出證明或簡證.二、講授新課：

（一）函數極限的性質: 以下性質均以定理形式給出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號性:

4.單調性(不等式性質):

Th 4 若使，證 設

和都有 =

(現證對 都存在, 且存在點 的空心鄰域)，有

註: 若在Th 4的條件中, 改“ 就有

5.6.以

迫斂性:

”為“ 舉例說明.”, 未必

四則運算性質:(只證“+”和“ ”)

（二）利用極限性質求極限： 已證明過以下幾個極限：

《數學分析》教案

第三章 函數極限

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例8

例9

例10 已知

求和

補充題:已知

求和（）§ 3 函數極限存在的條件（4學時）

教學目的：理解并運用海涅定理與柯西準則判定某些函數極限的存在性。教學要求：掌握海涅定理與柯西準則，領會其實質以及證明的基本思路。教學重點：海涅定理及柯西準則。教學難點：海涅定理及柯西準則 運用。

教學方法：講授為主，輔以練習加深理解，掌握運用。本節介紹函數極限存在的兩個充要條件.仍以極限

為例.一.Heine歸并原則——函數極限與數列極限的關系：

Th 1 設函數在,對任何在點

且的某空心鄰域

內有定義.則極限都存在且相等.(證)

存Heine歸并原則反映了離散性與連續性變量之間的關系,是證明極限不存在的有力工具.對單側極限,還可加強為

單調趨于

.參閱[1]P70.例1 證明函數極限的雙逼原理.7 《數學分析》教案

第三章 函數極限

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教學難點：兩個重要極限的證明及運用。

教學方法：講授定理的證明，舉例說明應用，練習。一．

（證）（同理有）

例1

例2.例3

例4

例5 證明極限 不存在.二.證 對

有

例6

特別當 等.例7

例8

《數學分析》教案

第三章 函數極限

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三． 等價無窮小：

Th 2(等價關系的傳遞性).等價無窮小在極限計算中的應用: Th 3(等價無窮小替換法則)

幾組常用等價無窮小:（見[2]）

例3 時, 無窮小

與

是否等價? 例4

四.無窮大量:

1.定義:

2.性質:

性質1 同號無窮大的和是無窮大.性質2 無窮大與無窮大的積是無窮大.性質3 與無界量的關系.無窮大的階、等價關系以及應用, 可仿無窮小討論, 有平行的結果.3.無窮小與無窮大的關系:

無窮大的倒數是無窮小,非零無窮小的倒數是無窮大

習題 課（2學時）

一、理論概述：

《數學分析》教案

第三章 函數極限

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例7.求

.注意 時, 且

.先求

由Heine歸并原則

即求得所求極限

.例8 求是否存在.和.并說明極限

解;

可見極限 不存在.--32