第一篇：函數極限

數學之美2006年7月第1期

函數極限的綜合分析與理解

經濟學院 財政學 任銀濤 0511666

數學不僅僅是工具，更是一種能力。一些數學的方法被其它學科廣泛地運用。例如，經濟學中的邊際分析、彈性分析等方法。函數極限是高等數學中的一個重要問題。極限可以與很多的數學問題相聯系。例如，導數從根本上是求極限；函數連續首先要求函數在某一點的左極限等于右極限。有鑒于函數極限的重要性，結合自己的學習心得，筆者寫下了此文。其目的在于歸納和總結解決函數極限問題的實用方法和技巧，以期對函數極限問題的學習有所幫助。局限于筆者的認知水平，缺點和不足在所難免，歡迎批評指正。

一、函數極限的定義和基本性質

函數極限可以分成x→x0，x→∞兩類，而運用ε-δ定義更多的見諸于已知

極限值的證明題中。掌握這類證明對初學者深刻理解運用極限定義大有裨益。以x?x0的極限為例，f?x?在點x0以A極限的定義是：???0,???0,使當0?x?x0??時，有f(x)?A??(A為常數).問題的關鍵在于找到符合定義要求的?，在這一過程中會用到一些不等式技巧，例如放縮法等。1999年的研究生考試試題中，更是直接考察了考生對定義的掌握情況。詳見附例1。

函數極限性質的合理運用。常用的函數極限的性質有函數極限的唯一性、局部有界性、保序性以及函數極限的運算法則和復合函數的極限等等。如函數極限的唯一性（若lim存在，則在該點的極限是唯一的）可以體現在用海涅定理證明x?x0

''即如果f?xn??A，fxn，f?x?在x0處的極限不存在。?B（n??,xn和xn?x0）??

則f?x?在x0處的極限不存在。

運用函數極限的性質可以方便地求出一些簡單函數的極限值。例如對于有理分式f?x??P?x?P?x?,Q?x?均為多項式，Q?x??0）。設P?x?的次數為n,Q?x?的Qx次數為m，當x??時，若n?m，則f?x??0;若n?m，則f?x??P?x?與Q?x?的最高次項系數之比；若n?m，則f?x???。當x?x0時,f(x)?P(x0)(Q(x0)?0)。Q(x0)

二、運用函數極限的判別定理

最常用的判別定理包括單調有界定理和夾擠定理，在運用它們去求函數的極限時尤需注意以下關鍵之點。一是先要用單調有界定理證明收斂，然后再求極限值，參見附例2。二是應用夾擠定理的關鍵是找到極限值相同的函數g?x?與

h?x?，并且要滿足g?x??f?x??h?x?，從而證明或求得函數f?x?的極限值。

三、應用等價無窮小代換求極限

掌握常用的等價無窮小很重要。等價無窮小代換可以將復雜的極限式變的簡單明了，讓求解過程變得簡明迅速。

x?0時，sinx與x，tanx與x，arcsinx與x，arctanx與x，1?cosx與x2，xa，ax?1與xlna，?1?a?與ax（a?0）等等可ln?1?x?與x，loga?1?x?與lna

以相互替換。特別需要注意的是，等價無窮小代換只能用于分子、分母中的乘積

sinx?x

因子，而對于加減法運算則不能運用。例如lim，不能直接把sinx替換

x?0x

3sinx?x

1??成x，得出極限值為0，實際上lim。

x?0x36

四、運用洛必達法則求函數極限

設函數f?x?，g?x?在點a的某空心鄰域可導，且g'(x)?0。當x?a時，f?x?f'?x?，f?x?和g?x?的極限同時為0或?時才適用?'?A（A為常數或?）

gxgx洛必達法則。洛必達法則實際上把求函數極限問題轉化為學生較為拿手的求導數

0??、00、1?、?0等類型則需要問題。這使得求解思路簡單程序化。而對于???、0?

對式子進行轉化，或通分或取倒數或取對數等轉化為型，再使用洛必達法

0?

則求極限。例如f?x?

g?x?的極限轉化為求eg?x?lnf?x?的極限等等。然而，對于數列，則必須轉化為函數再運用洛必達法則。這是因為如果把數列看作是自變量為n的函數時，它的定義域是一系列孤立的點，不存在導數。這是使用洛必達法則時必須要注意的一點。參見附例3。

五、泰勒公式的運用

對于使用洛必達法則不易求出結果的復雜函數式，可以考慮使用泰勒公式。這樣將函數式化為最高次項為相同或相近的式子，這時就變成了求多項式的極限值（接著求值見上文所述方法），使計算一目了然。因此掌握和記憶常用基本初

等函數的麥克勞林展開式是十分必要的。如ex，sinx，cosx，ln?1?x?等等。至于展開式展開多少，則要與題干中的自變量x最高次項保持一致。如

cosx?elimx?0x4x4)。

?x

2利用泰勒公式展開cosx,e

?

x22，展開到x4即可(原式x最高次項為

六、利用微分中值定理來求極限

f(x)在?a,b?上連續，在?a,b?上可導，則至少存在一點???a,b?，使

f'(?)?

f(b)?f(a)'f(b)?f(a),f(?)即可看成特殊的極限，用來求解。一般需

b?ab?a

要函數式可以看成同一函數的區間端點的差，這樣可以使用微分中值定理。參見附例4。

另外，一些重要的結論往往在求極限時可以直接加以引用，例如

lim(1?x)?e，lim

x?0

1x

sinx

?

1，?

1，?1等等。

x?0nnx

求極限的方法和技巧更多的在于實踐中的摸索和探討，上述方法只是筆者在高等數學學習和練習的一些心得，求極限的方法還有很多。局限于筆者的認知水平，缺點和不足在所難免，敬請批評指正。

南開大學張陽和張效成老師的課堂教學給了筆者很大的啟發，在此向兩位老師表示感謝。

附：例1：對任意給定的???0,1?，總存在正整數N,使得當n?N時，恒有。xn?a?2?，是數列?xn?收斂于a的（）

A 充分非必要條件 B必要非充分條件C充分必要條件D既非充分又非必要條件

解析：這道題是1999年全國考研試卷(二)的數學選擇題，這道題直接考察了對極限定義的掌握和理解。

例2：若x1?a，y1?b（b?a?0），xn?1?xnyn，yn?1?明數列?xn?,?yn?有相同的極限。（見習題冊1 Page.18）

解析：由已知條件易知，b?y1?y2?……?yn?1?xn?1?……?x1?a，數列

xn?1?yn?

1，試證

2文中習題冊是指南開大學薛運華，趙志勇主編的《高等數學習題課講義（上冊）》，為學生用數學練習冊。

x?yn

limyn?1?lin?xn?，?yn?單調有界，可以推出?xn?，?yn?收斂。n??n??

n??

。設

limyn?A，limxn?B，則?A?

n??

A?B,?A?B。2

例3：求lim(ntan)n的值。（見課本2 Page.153）

n??n

1??

解析：這是數列。設f?x???xtan?，則對limf?x?可以運用洛必達法則，x???x??且原式=limf?x?。

x???

x2

aa

?arctan),a?0

n??nn?1

arctan解析：如例題3，設f?x??a，則在?x,x?1?上f?x?連續，在?x,x?1?內

x

例4：求limn2(arctan

可導。于是，????x,x?1?,f'(?)?arctan

aaa?arctan??2（使用微分中x?1xa??2

a)?a。22

a??

值定理可得）。x??,則???,原式=lim?2（???

參考書目

[1] 張效成主編，《經濟類數學分析（上冊）》，天津大學出版社，2005年7月 [2] 薛運華，趙志勇主編，《高等數學習題課講義（上冊）》，南開大學 [3] 張友貴等，《掌握高等數學（理工類、經濟類）》，大連理工出版社，2004年11月

[4]《碩士研究生入學考試試題》，1984—2005

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文中課本是指筆者使用的天津大學出版社05年7月版的《經濟類數學分析（上冊）》張效成主編

第二篇：函數極限

習題

1.按定義證明下列極限:

(1)limx???6x?5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x?2x

x2?5?1;(4)lim?(3)lim2x???x?1x?2

(5)limcos x = cos x0 x?x04?x2=0;

2.根據定義2敘述limf(x)≠ A.x?x0

3.設limf(x)= A.,證明limf(x0+h)= A.x?x0h?0

4.證明:若limf(x)= A,則lim| f(x)| = |A|.當且僅當A為何值時反之也成立? x?x0x?x0

5.證明定理3.1

6.討論下列函數在x0→0 時的極限或左、右極限:(1)f(x)=x

x;(2)f(x)= [x]

?2x;x?0.?(3)f(x)=?0;x?0.?1?x2,x?0.?

7.設 limf(x)= A,證明limf(x???x?x01)= A x

8.證明:對黎曼函數R(x)有limR(x)= 0 , x0∈[0,1](當x0=0或1時,考慮單側極限).x?x0

習題

1． 求下列極限：

x2?1（1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim;?x?02x2?x?1x?22

x2?1?x?1???1?3x?;

lim(3)lim;(4)

x?12x2?x?1x?0x2?2x3

xn?1(5)limm(n,m 為正整數)；（6）lim

x?1xx?4?1

（7）lim

x?0

?2x?3x?2

70；

a2?x?a?3x?6??8x?5?.（a>0）;(8)lim

x???x5x?190

2． 利用斂性求極限：(1)lim

x???

x?cosxxsinx

;(2)lim2

x?0xx?4

x?x0

3． 設 limf(x)=A, limg(x)=B.證明：

x?x0

（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;

x?x0

（2）lim[f(x)g(x)]=AB;

x?x0

（3）lim

x?x0

f(x)A

=(當B≠0時)g(x)B

4． 設

a0xm?a1xm?1???am?1x?am

f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn?1

b0x?b1x???bn?1x?bn

試求 limf(x)

x???

5． 設f(x)>0, limf(x)=A.證明

x?x0

x?x0

lim

f(x)=A，其中n≥2為正整數.6.證明limax=1(0

x?0

7.設limf(x)=A, limg(x)=B.x?x0

x?x0

(1)若在某∪(x0)內有f(x)< g(x)，問是否必有A < B ? 為什么？

（2）證明：若A>B,則在某∪(x0)內有f(x)> g(x).8.求下列極限（其中n皆為正整數）：(1)lim ?

x?0

x

x11

lim;(2);nn?x?0x1?xx1?x

x?x2???xn?n

(3)lim;(4)lim

x?0x?0x?1

?x?1

x

(5)lim

x??

?x?(提示：參照例1)

x

x?0

x?0

x?0

9．（1）證明：若limf(x3)存在，則limf(x)= lim f(x3)（2）若limf(x2)存在，試問是否成立limf(x)=limf(x2)?

x?0

x?0

x?0

習題

1.敘述函數極限limf(x)的歸結原則,并應用它證明limcos x不存在.n???

n???

2.設f 為定義在[a,+?)上的增(減)函數.證明: lim= f(x)存在的充要條件是f在n???

[a,+?)上有上(下)界.3.(1)敘述極限limf(x)的柯西準則;

n???

(2)根據柯西準則敘述limf(x)不存在的充要條件,并應用它證明limsin x不存在.n???

n???

4.設f在∪0(x0)內有定義.證明:若對任何數列{xn}?∪0(x0)且limxn=x0,極限limf(xn)都

n??

n??

存在,則所有這極限都相等.提示: 參見定理3.11充分性的證明.5設f為∪0(x0)上的遞減函數.證明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0)=supf(x),f(x0+0)=

0x?u?

?x0?

0x?un(x0)

inff(x)

6.設 D(x)為狄利克雷函數,x0∈R證明limD(x)不存在.x?x0

7.證明:若f為周期函數,且limf(x)=0,則f(x)=0

x???

8.證明定理3.9

習題

1.求下列極限

sin2xsinx3

(1)lim;(2)lim

x?0x?0sinx2x

(3)lim

x?

cosxx?

?

tanx?sinxarctanx

lim(5)lim;(6);3x?0x?0xx

sin2x?sin2a1

(7)limxsin;(8)lim;

x???x?axx?a

;(4)lim

x?0

tanx

;x

?cosx2

(9)lim;(10)lim

x?0x?01?cosxx?1?1

sin4x

2.求下列極限

12?x

(1)lim(1?);(2)lim?1?ax?x(a為給定實數);

n??x?0x

x

(3)lim?1?tanx?

x?0

cotx

;(4)lim?

?1?x?

?;

x?01?x??

(5)lim（x???

3x?22x?1?);(6)lim(1?)?x(?,?為給定實數)

n???3x?1x

3.證明:lim?lim?cosxcoxcos4.利用歸結原則計算下列極限:(1)limnsin

n??

?

x?0n??

??

?

x2

xx???cos?1 2n??22??

?

n

;(2)

習題

1． 證明下列各式

(1)2x－x2=O(x)(x→0);(2)x sinx?O(x)(x→0);

+

(3)?x?1?o(1)(x→0);

(4)(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 為正整數)(5)2x3 + x2=O(x3)(x→∞);

(6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0)

(7)o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0)2． 應用定理3.12求下列極限：

?x2?1x(1)lim(2)lim x?01?cosxx??x?cosx

x3． 證明定理3.13

4． 求下列函數所表示曲線的漸近線：

13x3?4

(1)y =;(2)y = arctan x;(3)y = 2

xx?2x

5． 試確定a的值，使下列函數與xa當x→0時為同階無窮小量：

(1)sin2x－2sinx;(2)

－(1－x);1?x

(3)?tanx??sinx;(4)

x2?4x3

6． 試確定a的值，使下列函數與xa當x→∞時為同階無窮大量：

(1)

x2?x5;(2)x+x2(2+sinx);

(3)(1+x)(1+x2)…(1+xn).7． 證明：若S為無上界數集，則存在一遞增數列{xn}?s，使得xn→+∞(n→∞)

8． 證明：若f為x→r時的無窮大量，而函數g在某U0(r)上滿足g(x)≥K>0，則fg為x→r

時的無窮大量。

9． 設 f(x)~g(x)(x→x0)，證明：

f(x)－g(x)= o(f(x))或 f(x)－g(x)= o(g(x))

總 練習題

1． 求下列極限：

?1

(x?[x])lim([x]?1)(1)lim;(2)??

x?3

x?1

(3)lim（x???

a?xb?x?a?xb?x)

xx?a

(4)lim

x???

(5)lim

xx?a

x???

(6)lim

?x??x?x??x

x?0

(7)lim?

n??m,m,n 為正整數 ?n?x?11?xm1?x??

2． 分別求出滿足下述條件的常數a與b：

?x2?1?

(1)lim??ax?b???0 x????x?1??

x(3)limx

(2)lim

x???x???x?2

??x?1?ax?b??0

?x?1?ax?b?0

x?2

3． 試分別舉出符合下列要求的函數f：

(1)limf(x)?f(2)；(2)limf(x)不存在。

4． 試給出函數f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一點x0處有limf(x)?0。這同極限的x?x0

局部保號性有矛盾嗎？

5． 設limf(x)?A，limg(u)?B，在何種條件下能由此推出

x?a

g?A

limg(f(x))?B?

x?a

6． 設f(x)=x cos x。試作數列

(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0(n→∞);(2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0(n→∞);(3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0(n→∞).7． 證明：若數列{an}滿足下列條件之一，則{an}是無窮大數列：

(1)liman?r?1

n??

(2)lim

an?1

?s?1(an≠0,n=1,2,…)

n??an

n2

n2

8． 利用上題（1）的結論求極限：

(1)lim?1?

?n??

?1??1??(2)lim?1??

n??n??n?

9． 設liman???，證明

n??

(1)lim

(a1?a2???an)??? n??n

n??

(2)若an > 0(n=1,2,…),則lima1a2?an??? 10.利用上題結果求極限：

(1)limn!(2)lim

n??

In(n!)

n??n

11.設f為U-0(x0)內的遞增函數。證明：若存在數列{xn}?U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得

limf(xn)?A，則有

n??

f(x0－0)=

supf(x)?A

0x?U?(x0)

12.設函數f在(0,+∞)上滿足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)?A。證明：f(x)?A，x∈(0,+∞)

x???

13.設函數f在(0,+∞)此上滿足方程f(x2)= f(x)，且

f(x)=limf(x)?f(1)lim?

x?0

x???

證明：f(x)?f(1)，x∈(0,+∞)

14.設函數f定義在(a,+∞)上，f在每一個有限區間內(a,b)有界，并滿足

x???

lim(f(x?1)?f(1))?A證明

x???

lim

f(x)

?A x

第三篇：函數極限

《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

第三章 函數極限

教學目的：

1.使學生牢固地建立起函數極限的一般概念，掌握函數極限的基本性質； 2.理解并運用海涅定理與柯西準則判定某些函數極限的存在性； 3.掌握兩個重要極限

和，并能熟練運用；

4.理解無窮小（大）量及其階的概念，會利用它們求某些函數的極限。教學重（難）點：

本章的重點是函數極限的概念、性質及其計算；難點是海涅定理與柯西準則的應用。

教學時數：16學時

§ 1 函數極限概念（3學時）

教學目的：使學生建立起函數極限的準確概念；會用函數極限的定義證明函數極限等有關命題。

教學要求：使學生逐步建立起函數極限的???定義的清晰概念。會應用函數極限的???定義證明函數的有關命題，并能運用???語言正確表述函數不以某實數為極限等相應陳述。

教學重點：函數極限的概念。

教學難點：函數極限的???定義及其應用。

一、復習：數列極限的概念、性質等

二、講授新課：

（一）時函數的極限：

《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

例4 驗證

例5 驗證

例6 驗證

證 由 =

為使

需有

需有

為使

于是, 倘限制 , 就有

例7 驗證

例8 驗證(類似有

（三）單側極限:

1．定義：單側極限的定義及記法.幾何意義: 介紹半鄰域

《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

我們引進了六種極限:.以下以極限，為例討論性質.均給出證明或簡證.二、講授新課：

（一）函數極限的性質: 以下性質均以定理形式給出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號性:

4.單調性(不等式性質):

Th 4 若使，證 設

和都有 =

(現證對 都存在, 且存在點 的空心鄰域)，有

註: 若在Th 4的條件中, 改“ 就有

5.6.以

迫斂性:

”為“ 舉例說明.”, 未必

四則運算性質:(只證“+”和“ ”)

（二）利用極限性質求極限： 已證明過以下幾個極限：

《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

例8

例9

例10 已知

求和

補充題:已知

求和（）§ 3 函數極限存在的條件（4學時）

教學目的：理解并運用海涅定理與柯西準則判定某些函數極限的存在性。教學要求：掌握海涅定理與柯西準則，領會其實質以及證明的基本思路。教學重點：海涅定理及柯西準則。教學難點：海涅定理及柯西準則 運用。

教學方法：講授為主，輔以練習加深理解，掌握運用。本節介紹函數極限存在的兩個充要條件.仍以極限

為例.一.Heine歸并原則——函數極限與數列極限的關系：

Th 1 設函數在,對任何在點

且的某空心鄰域

內有定義.則極限都存在且相等.(證)

存Heine歸并原則反映了離散性與連續性變量之間的關系,是證明極限不存在的有力工具.對單側極限,還可加強為

單調趨于

.參閱[1]P70.例1 證明函數極限的雙逼原理.7 《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

教學難點：兩個重要極限的證明及運用。

教學方法：講授定理的證明，舉例說明應用，練習。一．

（證）（同理有）

例1

例2.例3

例4

例5 證明極限 不存在.二.證 對

有

例6

特別當 等.例7

例8

《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

三． 等價無窮小：

Th 2(等價關系的傳遞性).等價無窮小在極限計算中的應用: Th 3(等價無窮小替換法則)

幾組常用等價無窮小:（見[2]）

例3 時, 無窮小

與

是否等價? 例4

四.無窮大量:

1.定義:

2.性質:

性質1 同號無窮大的和是無窮大.性質2 無窮大與無窮大的積是無窮大.性質3 與無界量的關系.無窮大的階、等價關系以及應用, 可仿無窮小討論, 有平行的結果.3.無窮小與無窮大的關系:

無窮大的倒數是無窮小,非零無窮小的倒數是無窮大

習題 課（2學時）

一、理論概述：

《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

例7.求

.注意 時, 且

.先求

由Heine歸并原則

即求得所求極限

.例8 求是否存在.和.并說明極限

解;

可見極限 不存在.--32

第四篇：函數極限證明

函數極限證明

記g(x)=lim^(1/n)，n趨于正無窮;

下面證明limg(x)=max{a1,...am},x趨于正無窮。把max{a1,...am}記作a。

不妨設f1(x)趨于a;作b>a>=0,M>1;

那么存在N1,當x>N1,有a/M<=f1(x)注意到f2的極限小于等于a，那么存在N2，當x>N2時，0<=f2(x)同理，存在Ni，當x>Ni時，0<=fi(x)取N=max{N1,N2...Nm};

那么當x>N,有

(a/M)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n所以a/M<=^(1/n)

第五篇：1-2函數極限

高等數學教案

§1.2函數極限

教學目標：

1.掌握各種情形下的函數極限的基本概念和性質。

2.掌握極限存在性的判定及應用。

3.熟練掌握求函數極限的基本方法。

教學重難點：函數極限的概念、性質及計算。

教學過程：

一、復習數列極限的定義及性質

二、導入新課：

由上節知，數列是自變量取自然數時的函數，xn?f(n)，因此，數列是函數的一種特殊情況。對于函數，自變量的變化主要表現在兩個方面：

1、自變量x任意接近于有限值a，記為x?a，相應的函數值f(x)的變化情況。

2、當自變量x的絕對值x無限增大，記x??，相應的函數值f(x)的變化情況。

三、講授新課：

Ⅰ、當x?a（a為有限實數）時函數f(x)的極限

（一）引例 曲線的切線：求拋物線y?2x2在點M0(1,2)處的切線。

方法：割線――切線。求曲線的切線可歸結為求出曲線在定點的切線斜率，從數量上看，動割線的斜率的極限就是切線的斜率。

（二）函數極限的概念

1、當x?a（a為有限實數）時函數f(x)的極限

與數列極限的意義相仿，自變量趨于有限值a時的函數極限可理解為：當x?a時，f(x)?A（A為某常數），即當x?a時，f(x)與A無限地接近，或說f(x)?A可任意小，亦即對于預先任意給定的正整數?（不論多么小），當x與a充分接近時，可使得f(x)?A小于?。用數學的語言說，即

定義(???定義)：設函數f(x)在點a的某空心鄰域內有定義，A為定數.若對??＞0，??＞0，使得當0＜|x-a|＜δ時有

f(x)?A??,則稱x?a時,函數f(x)以A為極限，記作 limf(x)?A,或f(x)→A(x→a).x?a

???0，說明：（1）“x與x0充分接近”在定義中表現為：有0?x?x0??，即x?U(x0,?)。

?

顯然?越小，此?與數列極限中的N所起的作用是一樣的，它也依賴于?。x與x0接近就越好，一般地，?越小，?相應地也小一些。

（2）定義中“0＜|x-a|＜δ”指出x?a，這說明，當x?a時，函數f(x)有沒有極限與

f(x)在點a有無定義無關。函數極限概念側重于描述f(x)在x?a且x?a時的變化趨勢。

正因為如此，這個概念能解決切線問題。

（3）函數極限limf(x)?A的幾何意義：當x在a的去心?鄰域時,函數y?f(x)圖形完全落在x?a

以直線y?A為中心線,寬為2?的帶形區域內.（|f(x)?A|??，A???f(x)?A??)

y

A?（4）在應用???定義驗證這種 類型的函數極限時，具體方法是：對任A??給的??0，通過不等式|f(x)?A|?? 反解出|x?x0|，進而找到滿足條件的?，證明結論。

Ⅱ、求函數極限

下面我們舉例說明如何應用

定義來驗證這種類型的函數極限。請讀者特別注意以下

各例中的值（依賴于?）是怎樣確定的。

例1 證明limC?C,(C為常數).x?a

證明：任給??0,任取??0,當0?x?x0??時,總有 f(x)?c?C?C?0??，依???定義，有limC?C.x?a

例2 證明lim(3x?2)?4.x?

2證明：任給??0,由于f(x)?4?(3x?2)?4?3x?6?3x?2,取??

?，則當

0?x?2??時,總有f(x)?4??，所以lim(3x?2)?4.x?2

x2?

1?2.例3 證明lim

x?1x?1

證明：函數在點x=1處沒有定義，x2?1

f(x)?A??2?x?1，任給??0,要使

x?1

x2?1x2?1

?2.f(x)?A??,只要取???,當0?x?1??時,就有?2??,?lim

x?1x?1x?1

練習：

1、證明lim(ax?b)?ax0?b

x?x0

(a?0)

證明：對???0，要使得(ax?b)?(ax0?b)?a(x?x0)?ax?x0??，只須

x?x0?

?

a，所以取??

?

a

?0顯然當x?x0??時，有(ax?b)?(ax0?b)??。

x2?1

2?。

2、證明lim

2x?12x?x?1

3x2?12x?121?x證明：對???0，因為a?1,所以x?1?0.? ????2

2x?x?132x?133(2x?1)[此處x?1，即考慮x0?1附近的情況，故不妨限制x為0?x?1?1，即0?x?2，x?x?x2?121?x

x?1]。因為2x?1?1,?，要使,只須 ??，即????2

33(2x?1)32x?x?13

x2?12

1,3?}（從圖形中解釋），當0?x???時，有2x??3?。取??min{???。

2x?x?13

Ⅲ、單側極限

有些函數在其定義域上某些點左側與右側的解析式不同（如分段函數定義域上的某些點），或函數在某些點僅在其一側有定義（如在定義區間端點處），這時函數在那些點上的極限只能

?1,x?0,單側地給出定義。例如函數f(x)??，當x從左側趨于0時，f(x)以1為極限.當x

?x,x?0.從右側趨于0時，f(x)以0為極限.它們分別稱為x趨于0時f(x)的左極限和右極限。

左極限：???0,???0,使得當a???x?a時,都有f(x)?A??.則稱A為函數f(x)當x?a

時的左極限。記作 lim?f(x)?A，或f(a?0)?A。

x?a

右極限：???0,???0,使得當a?x?a??時,都有f(x)?A??.則稱A為函數f(x)當x?a

時的右極限。記作 lim?f(x)?A，或f(a?0)?A。

x?a

由左、右極限的定義不難看出，函數f(x)當x?a時極限存在?函數左、右極限存在且相等，即lim?f(x)?lim?f(x).x?a

x?a

若左、右極限存在不相等，則極限不存在。

??1,x?0,?

例4 函數f(x)?sngx??0,x?0,當x?0時極限不存在。

?1,x?0.?

證明：事實上，f(x)的左極限lim?f(x)??1，右極限lim?f(x)?1，左右極限不相等，所以

x?0

x?0

limf(x)不存在。

x?0

Ⅳ、當x??時，函數f(x)的極限

（一）當x??時，函數f(x)的極限

定義：對于任意給定的??0，總存在一個M?0,使得對于滿足不等式x?M的一切x,均有不等式f(x)?A??成立，則稱函數f（x）當x?∞時以A為極限，記作

limf(x)?A

x??

x???

x???，或 f(x)→A(x→∞).同樣可以定義limf(x)?A,limf(x)?A.注意：(1)limf(x)?A可看作數列極限limf(n)?a的直接推廣。它們不同之處在于，這里所

x???

n??

考慮的是所有大于M的實數（連續），而不僅僅是正整數(跳躍性的)。(2)limf(x)?A?limf(x)?limf(x)?A。

x??

x???

x???

（3）幾何意義：當x??M或x?M時,函數y?f(x)圖形完全落在以直線y?A為中心線,寬為2?的帶形區域內.（二）例題 例5 證明lim

?0.x??x

211?0|???|x|?M?，只需，如果取，則對x2x2

證明：任意給定??0，要使|一切滿足x?M的x，均有|

例6 證明lim

sinx

?0.x??x

?0|??，證畢。x2

證：要使

11sinxsinx

1?0????,只需|x|?.，因此對???0,取M?,當x?M時,有

??xxx

sinxsinx

?0??,故lim?0.x??xx

Ⅴ、函數極限的性質

下面以limf(x)為代表敘述函數極限的性質，這些性質對其余5種類型的函數極限也成立.x?a1、(唯一性)若limf(x)存在，則此極限是唯一的.x?a2、(局部有界性)若limf(x)?A,存在某個?0?0和常數M?0,當0?x?x0??0時,有

x?a

|f(x)|?M.注意：如果一個數列收斂，則這個數列有界。但函數f(x)在點a有極限，只能斷言它在某個

局部范圍，即在點a的某空心鄰域有界，稱為局部有界。

3、(局部保號性)若limf(x)=A＞0(或＜0），則存在?0?0，使當0?x?x0??0時,有f(x)?0

x?a

（或f(x)?0）。

A，則由limf(x)=A，對上述?0，總存在?0?0，使當0?x?x0??0時,x?a

2AA

有|f(x)?A|??0，因而f(x)?A??0?A???0.22

A

若A<0, 取?0??,則由limf(x)=A，對上述?0，總存在?0?0，使當0?x?x0??0時,有

x?a2

AA

|f(x)?A|??0，因而f(x)?A??0?A???0.224、四則運算法則

證：設A>0，取?0?

設limf(x)與limg(x)存在，則函數f±g，f·g，(若limg(x)≠0)當x→a時極限存在且

x?a

x?a

fg

x?x0

1)lim[f(x)?g(x)]=limf(x)±limg(x)；

x?a

x?a

x?a

2)lim[f(x)?g(x)]=limf(x)?limg(x)；

x?a

x?a

x?a

f(x)f(x)limx?a

3)lim=.(limg(x)≠0)

x?ag(x)limg(x)x?x0

x?a

注意：公式（1）、（2）可以推廣到任意有限個函數的情況。特別地，有

lim[(f(x))n]?[limf(x)]n.x?a

x?a

例7 求lim[(3x2?2x?1)(x3?3)].x?

2x2?3x?2

例8 求lim.（先約分）

x?1x3?

12x3?1

3x例9 求lim3.（分子分母同除以）

x??x?8x2?7x

?x?1,x?0?

例10 設f(x)??x2?3x?1，求limf(x),limf(x).x?0x??,x?0?3

?x?1

（注意求limf(x)時，由于時分段函數，所以要求在x?0時的左右極限。）

x?0

四、習題處理

五、小結，作業：p36ex1、6、8.附錄：設limf(x)?A，limg(x)?B。證明：

x?x0

x?x0

f(x)A

?，（當 B≠0時）

x?x0x?x0x?x0g(x)B

證明因為limf(x)?A，limg(x)?B所以???0，分別存在?1?0，?2?0，使得當

（1）lim[f(x)?g(x)]?A?B；（2）lim[f(x)g(x)]?AB；（3）lim

x?x0

x?x0

0?|x?x0|??1時，有|f(x)?A|??；當0?|x?x0|??2時，有|g(x)?B|??。（1）取??min{?1,?2}，于是當0?|x?x0|??時，有

|(f(x)?g(x))?(A?B)|?|f(x)?A|?|g(x)?B|?????2?，所以lim[f(x)?g(x)]?A?B。

x?x0

同理可證：lim[f(x)?g(x)]?A?B

x?x0

（2）因為limf(x)?A，由局部有界性定理，知存在?3?0，使f(x)在U0(x0,?3)有界。即存在x?x0

M?0，當0?|x?x0|??3時，|f(x)|?M。現在取??min{?1,?2,?3}，于是當0?|x?x0|??時，有

|f(x)?g(x)?A?B|?|f(x)?g(x)?f(x)?B|?|f(x)?B?A?B|

?|f(x)|?|g(x)?B|?B?|f(x)?A|?M??B??(M?B)?所以lim[f(x)g(x)]?AB

x?x0

B2

?0，于是由局部保號性定理知，存在?4?0，（3）因為limg(x)?B?0，limB?g(x)?B?

x?x0x?x02

B2

當0?|x?x0|??4時，|Bg(x)|?。現在取??min{?1,?2,?4}，于是當0?|x?x0|??時，有

f(x)ABf(x)?Ag(x)|Bf(x)?AB?AB?Ag(x)|

???g(x)BB?g(x)|B|?|g(x)|

|B|?|f(x)?A|?|A|?|B?g(x)||B|??|A|?|B|?|A|

???22

|B|?|g(x)|BBf(x)A

?。所以lim

x?x0g(x)B?