第一篇：二元函數(shù)的極限

§2 二元函數(shù)的極限

(一)教學(xué)目的：

掌握二元函數(shù)的極限的定義，了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系．

(二)教學(xué)內(nèi)容：二元函數(shù)的極限的定義；累次極限．

基本要求：

(1)掌握二元函數(shù)的極限的定義，了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，熟悉判別極限存在性的基本方法．

(2)較高要求：掌握重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，能用來處理極限存在性問題．

(三)教學(xué)建議：

(1)要求學(xué)生弄清一元函數(shù)極限與多元函數(shù)極限的聯(lián)系與區(qū)別，教會他們求多元函數(shù)極

限的方法．

(2)對較好學(xué)生講清重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，通過舉例介紹判別極限存在性的較完整的方法．

一二元函數(shù)的極限

先回憶一下一元函數(shù)的極限： limf(x)?A 的“???” 定義(c31)：

x?x0

0設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某一空心鄰域U(x0,?1)內(nèi)由定義，如果對

???0,當(dāng) x?U(x0,?)，即 |x?x0|?? 時，都有 |f(x)?A|??，???0,???1，則稱x?x0時，函數(shù)f(x)的極限是 A.類似的，我們也可以定義二元函數(shù)的極限如下：

設(shè)二元函數(shù)f(x,y)為定義在D?R2上的二元函數(shù)，在點P0(x0,y0)為D的一個聚點，A是一個確定的常數(shù)，如果對 ???0,???0，使得當(dāng) P(x,y)?U(P0,?)?D 時，0都有 |f(P)?A|??，則稱f在D上當(dāng) P?P0時，以A為極限。記作

P?P0P?Dlimf(P)?A

也可簡寫為limf(P)?A或

P?P0(x,y)?(x0,y0)

2limf(x,y)?A 例1用定義驗證

2lim(x,y)?(2,1)2(x?xy?y)?7 222證明:|x?xy?y?7|?|x?x?6?xy?x?y?1|

?|x?3||x?2|?|x?y?1||y?1|

限制在（2，1）的鄰域 {(x,y)||x?2|?1,|y?1|?1}

|x?3|?6,|x?y?1|?6

取 ??min{1,?/6}，則有

|x?xy?y|??

由二元函數(shù)極限定義lim

(x,y)?(2,1)

(x?xy?y)?7

?x?y,(x,y)?(0,0)?xy22

例2 f(x,y)??x?y，?0,(x,y)?(0,0)?

證明lim

(x,y)?(0,0)

f(x,y)?0

x?yx?y

證|f(x,y)|?|xy

所以

lim

(x,y)?(0,0)

|?|xy|

lim

(x,y)?(0,0)

|f(x,y)|?lim

(x,y)?(0,0)

|xy|?0

|f(x,y)|?0

對于二元函數(shù)的極限的定義，要注意下面一點：

P?P0

limf(P)?A 是指： P(x,y)以任何方式趨于P0(x0,y0)，包括沿任何直線，沿任

何曲線趨于p0(x0,y0)時，f(x,y)必須趨于同一確定的常數(shù)。

對于一元函數(shù)，x 僅需沿X軸從x0的左右兩個方向趨于x0，但是對于二元函數(shù)，P趨于P0的路線有無窮多條，只要有兩條路線，P趨于P0時，函數(shù)f(x,y)的值趨于不同的常數(shù)，二元函數(shù)在P0點極限就不存在。

?1,0?y?x2

例1 二元函數(shù)f(x,y)??

?0,rest

請看圖像（x62），盡管P(x,y)沿任何直線趨于原點時f(x,y)都趨于零，但也不能說該函數(shù)在原點的極限就是零，因為當(dāng)P(x,y)沿拋物線 y?kx,0?k?1時，f(x,y)的值趨于１而不趨于零，所以極限不存在。

(考慮沿直線y?kx的方向極限).?x2y,?

例2設(shè)函數(shù)f(x,y)??x2?y2

?0,?

(x.,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)

求證limf(x,y)?0

x?0

y?0

證明因為|f(x,y)?0|?

x|y|x?y

?

x|y|x

?|y|

所以，當(dāng)(x,y)?(0,0)時，f(x,y)?0。

請看它的圖像，不管P(x,y)沿任何方向趨于原點，f(x,y)的值都趨于零。

通常為證明極限limf(P)不存在,可證明沿某個方向的極限不存在 , 或證明沿某兩

P?P0

個方向的極限不相等, 或證明方向極限與方向有關(guān).但應(yīng)注意 ,沿任何方向的極限存在且相等 ?? 全面極限存在.例3

設(shè)函數(shù)

(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)

?xy,?22

f(x,y)??x?y

?0,?

證明函數(shù) f(x,y)在原點處極限不 存在。

證明盡管 P(x,y)沿 ｘ軸和ｙ軸

趨于原點時(f(x,y)的值都趨于零，但沿直線y?mx 趨于原點時

x?mxx?(mx)

f(x,y)??

mx

(1?m)x

?

m1?m

沿斜率不同的直線趨于原點時極限不一樣，請看它的圖象, 例１沿任何路線趨于原點時，極

限都是0，但例２沿不同的路線趨于原點時，函數(shù)趨于不同的值，所以其極限不存在。

例4

非正常極限極限

lim

(x,y)?(x0,y0)

判別函數(shù)f(x,y)?

xy?1?1x?y

在原點是否存在極限.f(x,y)???的定義:

12x?3y

例1設(shè)函數(shù)f(x,y)?證明limf(x,y)??

x?0y?0

證|

12x?3y

|?|

13(x?y)

|

只要取??

16M

|x?0|??,|y?0|??時，都有

|

12x?3y16?

|?|

13(x?y)

|

??M

12x?3y

請看它的圖象，因此是無窮大量。

例2求下列極限: i)

lim

xyx?y

;ii)

(x,y)?(0,0)(x,y)?(3,0)

lim

sinxyy

;

iii)

(x,y)?(0,0)

lim

xy?1?1xy

;iV)

(x,y)?(0,0)

lim

ln(1?x?y)

x?y

.二.累次極限: 累次極限

前面講了P(x,y)以任何方式趨于P0(x0,y0)時的極限，我們稱它為二重極限，對于兩個自變量x,y依一定次序趨于x0,y0時 f(x,y)的極限，稱為累次極限。對于二元函數(shù)f(x,y)在P0(x0,y0)的累次極限由兩個

limlimf(x,y)和limlimf(x,y)

y?y0x?x0

x?x0y?y0

例1

f(x,y)?

xyx?yx?yx?y

222, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限.22

例2 f(x,y)?, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限.例3 f(x,y)?xsin

1y

?ysin

1x, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限.二重極限與累次極限的關(guān)系:

（１）兩個累次極限可以相等也可以不相等，所以計算累次極限時一定要注意不能隨意改變它們的次序。

例函數(shù) f(x,y)?

x?y?x?y

x?y

22的兩個累次極限是 y?yyx?xx

limlim

x?y?x?y

x?yx?y?x?y

x?y

y?0x?0

?lim

y?0

?lim(y?1)??1

y?0

?lim(x?1)?1

x?0

limlim

x?0y?0

?lim

x?0

（２）兩個累次極限即使都存在而且相等，也不能保證二重極限存在 例f(x,y)?

xyx?y

xyx?y，兩個累次極限都存在limlim

y?0x?0

?0,limlim

xyx?y

x?0y?0

?0

但二重極限卻不存在，事實上若點P(x,)沿直線 y?kx趨于原點時，kx

f(x,y)?

x?(kx)

?

k1?k

二重極限存在也不能保證累次極限存在二重極限存在時,兩個累次極限可以不存在.例函數(shù) f(x,y)?xsin

1y?ysin

1x

由|f(x,y)| ? |x|?|y|?0 ,(x ,y)?(0,0).可見二重極限存在 ,但

1x

limsin

x?0

和limsin

y?0

1y

不存在，從而兩個累次極限不存在。

（4）二重極限極限lim

(x,y)?(x0,y0)

f(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存

x?x0y?y0

在 , 則必相等.(證)

（5）累次極限與二重極限的關(guān)系

若累次極限和二重極限都存在，則它們必相等

第二篇：二元函數(shù)極限的研究

二元函數(shù)極限的研究

作者：鄭露遙指導(dǎo)教師：楊翠

摘要 函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容，二元函數(shù)的極限是一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，本文討論了二元函數(shù)極限的定義、二元函數(shù)極限存在或不存在的判定方法、求二元函數(shù)極限的方法、簡單討論二元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限的關(guān)系以及二元函數(shù)極限復(fù)雜的原因、最后討論二重極限與累次極限的關(guān)系。

關(guān)鍵詞 二元函數(shù)極限、累次極限、二重極限、連續(xù)性、判別法、洛必達(dá)法則、運算定理引言

函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容, 關(guān)于一元函數(shù)的極限及其求法, 各種教材中都有詳盡的說明。二元函數(shù)極限是在一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的, 兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。例如, 在極運算法則上, 它們是一致的, 但隨著變量個數(shù)的增加, 二元函數(shù)極限比一元函數(shù)極限變得復(fù)雜得多, 但目前的各類教材、教學(xué)參考書中有關(guān)二元函數(shù)極限的求法介紹不夠詳二元函數(shù)的極限是反映函數(shù)在某一領(lǐng)域內(nèi)的重要屬性的一個基本概念, 它刻劃了當(dāng)自變量趨向于某一個定值時, 函數(shù)值的變化趨勢。是高等數(shù)學(xué)中一個極其重要的問題。但是, 一 般來說, 二元函數(shù)的極限比起一元函數(shù)的極限, 無論從計算還是證明都具有更大的難度。本文就二元函數(shù)極限的問題作如下探討求一元函數(shù)的極限問題, 主要困難多數(shù)集中于求未定型極限問題, 而所有未定型的極限又總可轉(zhuǎn)化為兩類基本型即00 與∞∞型,解決這兩類基本未定型的有力工具是洛泌達(dá)(LHO SP ital)法則。類似地, 二元函數(shù)基本未定型的極限問題也有相似的洛泌達(dá)法則。為了敘述上的方便, 對它的特殊情形(即(x0,y0)=(0, 0))作出如下研究, 并得到相應(yīng)的法則與定理。二元函數(shù)的極限是反映函數(shù)在某一領(lǐng)域內(nèi)的重要屬性的 一個基本概念, 它刻劃了當(dāng)自變量趨向于某一個定值時, 函數(shù)

值的變化趨勢。是高等數(shù)學(xué)中一個極其重要的問題。但是, 一

般來說, 二元函數(shù)的極限比起一元函數(shù)的極限, 無論從計算還

是證明都具有更大的難度。本文就二元函數(shù)極限的問題作如

下探討。

第三篇：二元函數(shù)極限證明

二元函數(shù)極限證明

設(shè)p=f(x,y),p0=(a,b)，當(dāng)p→p0時f(x,y)的極限是x,y同時趨向于a,b時所得到的稱為二重極限。

此外，我們還要討論x,y先后相繼地趨于a,b時的極限,稱為二次極限。

我們必須注意有以下幾種情形：’

(1)兩個二次極限都不存在而二重極限仍有可能存在(2)兩個二次極限存在而不相等

(3)兩個二次極限存在且相等，但二重極限仍可能不存在2函數(shù)f(x)當(dāng)x→X0時極限存在，不妨設(shè)：limf(x)=a(x→X0)

根據(jù)定義:對任意ε>0,存在δ>0,使當(dāng)|x-x0|<δ時,有|f(x)-a|<ε

而|x-x0|<δ即為x屬于x0的某個鄰域U(x0;δ)

又因為ε有任意性,故可取ε=1,則有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-

1再取M=max{|a-1|,|a+1|},則有:存在δ>0,當(dāng)任意x屬于x0的某個鄰域U(x0;δ)時,有|f(x)|

證畢

3首先，我的方法不正規(guī)，其次，正確不正確有待考察。

1，y以y=x^2-x的路徑趨于0Limitedsin(x+y)/x^2=Limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路徑趨于0結(jié)果是無窮大。

2，3可以用類似的方法，貌似同濟(jì)書上是這么說的，二元函數(shù)在該點極限存在，是p(x,y)以任何方式趨向于該點。

4f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x)

顯然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在當(dāng)x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0處是波動的所以不存在而當(dāng)x->0,y->0時

由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)

而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^

2所以|f|<=|x|+|y|

所以顯然當(dāng)x->0,y->0時，f的極限就為0

這個就是你說的，唯一不一樣就是非正常極限是不存在而不是你說的正無窮或負(fù)無窮或無窮，我想這個就可以了

就我這個我就線了好久了

5(一)時函數(shù)的極限：

以時和為例引入.介紹符號:的意義,的直觀意義.定義(和.)

幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.例1驗證例2驗證例3驗證證……

(二)時函數(shù)的極限：

由考慮時的極限引入.定義函數(shù)極限的“”定義.幾何意義.用定義驗證函數(shù)極限的基本思路.例4驗證例5驗證例6驗證證由=

為使需有為使需有于是,倘限制,就有

例7驗證例8驗證(類似有(三)單側(cè)極限:

1.定義：單側(cè)極限的定義及記法.幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系:

Th類似有:例10證明:極限不存在.例11設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有

=§2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時)

教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。

教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號性、不等式性質(zhì)以及有理運算性等。

教學(xué)重點：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計算。

教學(xué)難點：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。

教學(xué)方法：講練結(jié)合。

一、組織教學(xué)：

我們引進(jìn)了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.二、講授新課：

(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號性:

4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)):

Th4若和都存在,且存在點的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對有)

註:若在Th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.5.迫斂性:

6.四則運算性質(zhì):(只證“+”和“”)

(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過以下幾個極限：

(注意前四個極限中極限就是函數(shù)值)

這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.利用極限性質(zhì)，特別是運算性質(zhì)求極限的原理是：通過有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.例1(利用極限和)

例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時的極限.例4

例5例6例7

第四篇：二元函數(shù)的極限與連續(xù)

§2.3 二元函數(shù)的極限與連續(xù)

定義 設(shè)二元函數(shù)有意義, 若存在 常數(shù)A,都有

則稱A是函數(shù)

當(dāng)點

趨于點

或 或趨于點

時的極限,記作

。的方式無關(guān),即不,當(dāng)

（即）時，在點的某鄰域

內(nèi) 或 必須注意這個極限值與點論P以什么方

向和路徑（也可是跳躍式地，忽上忽下地）趨向分接近, 就能 使

。只要P與 充與A 接近到預(yù)先任意指定的程度。注意：點P趨于點點方式可有無窮多

種,比一元函數(shù)僅有左,右兩個單側(cè)極限要復(fù)雜的多（圖8-7）。

圖8-7

同樣我們可用歸結(jié)原則,若發(fā)現(xiàn)點P按兩個特殊的路徑趨于點時,極限

在該點

存在,但不相等, 則可以判定元函數(shù)極限不 存在的重要方法之一。

極限不存在。這是判斷多 一元函數(shù)極限中除了單調(diào)有界定理外,其余的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論, 在二元函數(shù)極

限理論中都適用，在這里就不一一贅述了。例如

若

有, 其中。

求多元函數(shù)的極限, 一般都是轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限來求, 或利用夾逼定理

來計算。例4 求。

解由于 , 而,根據(jù)夾逼定理知

,所以。

a≠0)。

解 例5 求

（。例6 求。解

由于理知

且,所以根據(jù)夾逼定

.例7 研究函數(shù)在點處極限是否存在。

解 當(dāng)x2+y2≠0時，我們研究函數(shù)，沿x→0,y=kx→0這一方式趨于

（0，0）的極限，有值，可得到不同的極 限值,所以極限

不存在,但 ,。很顯然，對于不同的k。注意：極限方式的 的區(qū)別, 前面兩個求本質(zhì)是兩次求一元函數(shù)的極限, 我們稱為累次極限, 而最后一個是求二元函數(shù)的

極限,我們稱為求二重極限。

例8 設(shè)函數(shù)極限都不存在,因 為對任何,當(dāng)

時,。它關(guān)于原點的兩個累次

的第二項不存在極限；同理對任何 時, 的第 一項也不存在極限,但是因此。

由例7知, 兩次累次極限存在, 但二重極限不存在。由例8可知,二重極限存

在,但二個累次極限不存在。我們有下面的結(jié)果: 定理1 若累次極限都存在,則

三者相等（證明略）。推論 若但不相等,則二重極限

不

存在和二重極限, 由于, 存在。定義 設(shè)

在點的某鄰域內(nèi)有意義,且稱函數(shù),則

在點

處

連

續(xù),記

上式稱為函數(shù)(值)的全增量。則。

定義

增量。

為函數(shù)(值)對x的偏二元函數(shù)連續(xù)的定義可寫為

偏增量。若斷點, 若

在點

為函數(shù)（值）對y的處不連續(xù),則稱點

是的間在某區(qū)域

在區(qū)域G上連續(xù)。若

在閉區(qū)域GG上每一點都連續(xù),則稱的每一內(nèi)點都連 續(xù),并在G的連界點

處成立 , 則稱為連續(xù)曲面。在閉域G上連續(xù)。閉域上連續(xù)的二元函數(shù)的圖形稱 關(guān)于一元函數(shù)連續(xù)的有關(guān)性質(zhì), 如最值定理、介值定理、Cantor定理,對于

二元函數(shù)也相應(yīng)成立。可以證明如下的重要結(jié)果：

定理2 設(shè)

在平面有界閉區(qū)域G上連續(xù),則（1）必在G上取到最大值,最小值及其中間的一切值;（2）,當(dāng)

時,都有

。以上關(guān)于二元函數(shù)的在G上一致連續(xù),即

極限和連續(xù)的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論在n元函數(shù)中仍然成立。

第五篇：關(guān)于二元函數(shù)極限定義的教學(xué)探討

關(guān)于二元函數(shù)極限定義的教學(xué)探討

【摘要】本文對二重極限的兩種不同定義進(jìn)行了比較，指出了二重極限與二次極限的異同，并通過具體的例子加深理解.【關(guān)鍵詞】二重極限；二次極限；定義

二元函數(shù)的極限是在一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上建立起來的，是一元函數(shù)極限概念的推廣.因而二元函數(shù)的極限比一元函數(shù)極限更抽象，要求更高，從而更難理解.初學(xué)者很容易犯一些概念性的錯誤，因此加強(qiáng)對二元函數(shù)的極限概念的教學(xué)和理解顯得尤為重要.1.二重極限的定義

現(xiàn)行教材中，對于二重極限有兩種定義方法：

并且兩種順序的二次極限中的里層極限都存在，則兩種順序的二次極限都存在，且與二重極限的值相等.【參考文獻(xiàn)】

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