第一篇：二元函數的極限與連續

§2.3 二元函數的極限與連續

定義

設二元函數有意義, 若存在常數A,都有

則稱A是函數當點 趨于點

或

或

趨于點時的極限,記作。的方式無關,即不,當（即）時，在點的某鄰域內或

必須注意這個極限值與點

論P以什么方

向和路徑（也可是跳躍式地，忽上忽下地）趨向

分接近, 就能 使。只要P與 充與A 接近到預先任意指定的程度。注意：點P趨于點點方式可有無窮多

種,比一元函數僅有左,右兩個單側極限要復雜的多（圖8-7）。

圖8-7

同樣我們可用歸結原則,若發現點P按兩個特殊的路徑趨于點時,極限

在該點

存在,但不相等, 則可以判定元函數極限不 存在的重要方法之一。

極限不存在。這是判斷多

一元函數極限中除了單調有界定理外,其余的有關性質和結論, 在二元函數極

限理論中都適用，在這里就不一一贅述了。例如若

有, 其中。

求多元函數的極限, 一般都是轉化為一元函數的極限來求, 或利用夾逼定理

來計算。例4 求。解由于,而,根據夾逼定理知,所以。

a≠0)。

解

例

求

（。例6 求。解

由于理知

且,所以根據夾逼定

.例7

研究函數

在點

處極限是否存在。解當x

2+y2≠0時，我們研究函數，沿x→0,y=kx→0這一方式趨于

（0，0）的極限，有值，可得到不同的極 限值,所以極限

不存在,但,。很顯然，對于不同的k。

注意：極限方式的的區別, 前面兩個求

本質是兩次求一元函數的極限, 我們稱為累次極限, 而最后一個是求二元函數的極限,我們稱為求二重極限。

例8

設函數極限都不存在,因

為對任何,當

時,。它關于原點的兩個累次的第二項不存在極限；同理對任何

時, 的第 一項也不存在極限,但是因此。

由例7知, 兩次累次極限存在, 但二重極限不存在。由例8可知,二重極限存

在,但二個累次極限不存在。我們有下面的結果:定理1 若累次極限

都存在,則

三者相等（證明略）。推論

若但不相等,則二重極限

不

存在和二重極

限,由于,存在。定義 設

在點的某鄰域內有意義,且稱

函

數,則

在點

處

連

續,記

上式稱為函數(值)的全增

量。

則。

定義

增量。

為函數(值)對x的偏

二元函數連續的定義可寫為

偏增量。

若

斷點, 若

在點

為函數（值）對y的處不連續,則稱點

是的間

在某區域

在區域G上連續。若

在閉區域G

G上每一點都連續,則稱的每一內點都連 續,并在G的連界點

處成立,則稱

為連續曲面。

在閉域G上連續。閉域上連續的二元函數的圖形稱

關于一元函數連續的有關性質, 如最值定理、介值定理、Cantor

定理,對于

二元函數也相應成立?？梢宰C明如下的重要結果：定理2設

在平面有界閉區域G上連續,則

（1）必在G上取到最大值,最小值及其中間的一切值;（2）,當

時,都有

。以上關于二元函數的在G上一致連續,即

極限和連續的有關性質和結論在n元函數中仍然成立。

第二篇：二元函數的極限與連續

§2.3 二元函數的極限與連續

定義 設二元函數有意義, 若存在 常數A,都有

則稱A是函數

當點

趨于點

或 或趨于點

時的極限,記作

。的方式無關,即不,當

（即）時，在點的某鄰域

內 或 必須注意這個極限值與點論P以什么方

向和路徑（也可是跳躍式地，忽上忽下地）趨向分接近, 就能 使

。只要P與 充與A 接近到預先任意指定的程度。注意：點P趨于點點方式可有無窮多

種,比一元函數僅有左,右兩個單側極限要復雜的多（圖8-7）。

圖8-7

同樣我們可用歸結原則,若發現點P按兩個特殊的路徑趨于點時,極限

在該點

存在,但不相等, 則可以判定元函數極限不 存在的重要方法之一。

極限不存在。這是判斷多 一元函數極限中除了單調有界定理外,其余的有關性質和結論, 在二元函數極

限理論中都適用，在這里就不一一贅述了。例如

若

有, 其中。

求多元函數的極限, 一般都是轉化為一元函數的極限來求, 或利用夾逼定理

來計算。例4 求。

解由于 , 而,根據夾逼定理知

,所以。

a≠0)。

解 例5 求

（。例6 求。解

由于理知

且,所以根據夾逼定

.例7 研究函數在點處極限是否存在。

解 當x2+y2≠0時，我們研究函數，沿x→0,y=kx→0這一方式趨于

（0，0）的極限，有值，可得到不同的極 限值,所以極限

不存在,但 ,。很顯然，對于不同的k。注意：極限方式的 的區別, 前面兩個求本質是兩次求一元函數的極限, 我們稱為累次極限, 而最后一個是求二元函數的

極限,我們稱為求二重極限。

例8 設函數極限都不存在,因 為對任何,當

時,。它關于原點的兩個累次

的第二項不存在極限；同理對任何 時, 的第 一項也不存在極限,但是因此。

由例7知, 兩次累次極限存在, 但二重極限不存在。由例8可知,二重極限存

在,但二個累次極限不存在。我們有下面的結果: 定理1 若累次極限都存在,則

三者相等（證明略）。推論 若但不相等,則二重極限

不

存在和二重極限, 由于, 存在。定義 設

在點的某鄰域內有意義,且稱函數,則

在點

處

連

續,記

上式稱為函數(值)的全增量。則。

定義

增量。

為函數(值)對x的偏二元函數連續的定義可寫為

偏增量。若斷點, 若

在點

為函數（值）對y的處不連續,則稱點

是的間在某區域

在區域G上連續。若

在閉區域GG上每一點都連續,則稱的每一內點都連 續,并在G的連界點

處成立 , 則稱為連續曲面。在閉域G上連續。閉域上連續的二元函數的圖形稱 關于一元函數連續的有關性質, 如最值定理、介值定理、Cantor定理,對于

二元函數也相應成立?？梢宰C明如下的重要結果：

定理2 設

在平面有界閉區域G上連續,則（1）必在G上取到最大值,最小值及其中間的一切值;（2）,當

時,都有

。以上關于二元函數的在G上一致連續,即

極限和連續的有關性質和結論在n元函數中仍然成立。

第三篇：6.1 二元函數的極限與連續

第6章 多元微分學

教學目的：

1．理解多元函數的概念和二元函數的幾何意義。

2．了解二元函數的極限與連續性的概念，以及有界閉區域上的連續函數的性質。

3．理解多元函數偏導數和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。

4．理解方向導數與梯度的概念并掌握其計算方法。5．掌握多元復合函數偏導數的求法。

6．會求隱函數（包括由方程組確定的隱函數）的偏導數。

7．了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。

8．理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值。

9．會用拉格郎日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題。

教學重點：

1．二元函數的極限與連續性； 2．函數的偏導數和全微分；

3．方向導數與梯度的概念及其計算； 4．多元復合函數偏導數； 5．隱函數的偏導數

6．曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線； 7．多元函數極值和條件極值的求法。教學難點：

1．二元函數的極限與連續性的概念； 2．全微分形式的不變性； 3．復合函數偏導數的求法；

4．隱函數（包括由方程組確定的隱函數）的偏導數； 5．拉格郎日乘數法；

6．多元函數的最大值和最小值。

6.1 二元函數的極限與連續

6．1．1 區域

1．平面點集

由平面解析幾何知道? 當在平面上引入了一個直角坐標系后?平面上的點P與有序二元實數組(x,y)之間就建立了一一對應? 于是? 我們常把有序實數組(x,y)與平面上的點P視作是等同的? 這種建立了坐標系的平面稱為坐標平面?

二元的序實數組(x,y)的全體? 即R2?R?R??(x,y)x,y?R?就表示坐標平面?

坐標平面上具有某種性質B的點的集合? 稱為平面點集? 記作：E?(x,y)(x,y)具有性質B??。

例如?平面上以原點為中心、r為半徑的圓內所有點的集合是 C??(x,y)x2?y2?r2?

如果我們以點P表示(x,y)，以OP表示點P到原點O的距離? 那么集合C可表成 C??POP?r?.2．鄰域

設P0(x0,y0)是xoy平面上的一個點? ?是某一正數? 與點P0(x0,y0)距離小于?的點P(x,y)的全體? 稱為點P0的?鄰域? 記為U(P0,?)? 即

U(P0,?)?{P| |PP0|??}或U(P0,?)?{(x, y)|(x?x0)2?(y?y0)2?? }?

鄰域的幾何意義：U(P0,?)表示xoy平面上以點P0(x0,y0)為中心、? >0為半徑的圓的內部的點P(x,y)的全體?

點P0的去心?鄰域? 記作U(P0, ?)，即 ：U(P0, ?)?{P| 0?|P0P|??}? 注：如果不需要強調鄰域的半徑?? 則用U(P0)表示點P0的某個鄰域? 點P0的去心鄰域記作U(P0)?

3．點與點集之間的關系

任意一點P?R2與任意一個點集E?R2之間必有以下三種關系中的一種?(1)內點：如果存在點P的某一鄰域U(P)? 使得U(P)?E? 則稱P為E的內點?

(2)外點：如果存在點P的某個鄰域U(P)? 使得U(P)?E??? 則稱P為E的???外點?

(3)邊界點：如果點P的任一鄰域內既有屬于E的點? 也有不屬于E的點? 則稱P點為E的邊界點?

E的邊界點的全體? 稱為E的邊界? 記作?E?

E的內點必屬于E? E的外點必定不屬于E? 而E的邊界點可能屬于E? 也可能不屬于E?

聚點：如果對于任意給定的??0? 點P的去心鄰域U(P,?)內總有E中的點? 則稱P是E的聚點?

由聚點的定義可知? 點集E的聚點P本身? 可以屬于E? 也可能不屬于E。例如? 設平面點集E?{(x? y)|1?x?y?2}?

滿足1?x2?y2?2的一切點(x? y)都是E的內點? 滿足x2?y2?1的一切點(x? y)都是E的邊界點? 它們都不屬于E? 滿足x2?y2?2的一切點(x? y)也是E的邊界點? 它們都屬于E? 點集E以及它的界邊?E上的一切點都是E的聚點?

4．區域

開集? 如果點集E 的點都是內點? 則稱E為開集?

c 閉集? 如果點集的余集E為開集? 則稱E為閉集?

開集的例子? E?{(x? y)|1

閉集的例子? E?{(x? y)|1?x2?y2?2}? 集合{(x? y)|1?x?y?2}既非開集? 也非閉集?

連通性? 如果點集E內任何兩點? 都可用折線連結起來? 且該折線上的點都屬于E? 則稱E為連通集?

區域(或開區域)? 連通的開集稱為區域或開區域? 例如E?{(x? y)|1?x2?y2?2}?

閉區域? 開區域連同它的邊界一起所構成的點集稱為閉區域? 例如E ? {(x? y)|1?x2?y2?2}?

有界集? 對于平面點集E? 如果存在某一正數r? 使得E?U(O? r)? 其中O是坐標原點? 則稱E為有界點集?

無界集? 一個集合如果不是有界集? 就稱這集合為無界集?

例如? 集合{(x? y)|1?x2?y2?2}是有界閉區域? 集合{(x? y)| x?y?1}是無界開區域?

集合{(x? y)| x?y?1}是無界閉區域?

*5? n維空間

設n為取定的一個自然數? 我們用Rn表示n元有序數組(x1? x2? ? ? ? ? xn)的全體所構成的集合? 即

Rn?R?R?????R?{(x1? x2? ? ? ? ? xn)| xi?R? i?1? 2? ???? n}? nR中的元素(x1? x2? ? ? ? ? xn)有時也用單個字母x來表示? 即x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)? 當所有的xi(i?1? 2? ???? n)都為零時? 稱這樣的元素為Rn中的零元? 記為0

23或O ? 在解析幾何中? 通過直角坐標? R(或R)中的元素分別與平面(或空間)中的點或向量建立一一對應? 因而Rn中的元素x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)也稱為Rn中的一個點或一個n維向量? xi稱為點x的第i個坐標或n維向量x的第i個分量? 特別地? Rn中的零元0稱為Rn中的坐標原點或n維零向量?

為了在集合Rn中的元素之間建立聯系? 在Rn中定義線性運算如下?

? 設x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)? y?(y1? y2? ? ? ? ? yn)為Rn中任意兩個元素? ??R? 規定

x?y?(x1? y1? x2? y2? ? ? ? ? xn? yn)? ?x?(?x1? ?x2? ? ? ? ? ?xn)?

n這樣定義了線性運算的集合R稱為n維空間?

Rn中點x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)和點 y?(y1? y2? ? ? ? ? yn)間的距離? 記作?(x? y)? 規定

?(x,y)?(x1?y1)2?(x2?y2)2? ? ? ? ?(xn?yn)2?

顯然? n?1? 2? 3時? 上術規定與數軸上、直角坐標系下平面及空間中兩點間的距離一致?

n1 R中元素x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)與零元0之間的距離?(x? 0)記作||x||(在R、R2、R3中? 通常將||x||記作|x|)? 即 ||x||?x12?x2? ? ? ? ? xn采用這一記號? 結合向量的線性運算? 便得

||x?y||?(x1?y1)2?(x2?y2)2? ? ? ? ?(xn?yn)2??(x,y)?

在n維空間Rn中定義了距離以后? 就可以定義Rn中變元的極限?

設x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)? a?(a1? a2? ? ? ? ? an)?Rn? 如果

||x?a||?0?

n則稱變元x在R中趨于固定元a? 記作x?a ?

顯然? x?a ? x1?a1? x2?a2? ? ? ? ? xn?an ?

在Rn中線性運算和距離的引入? 使得前面討論過的有關平面點集的一系列概念? 可以方便地引入到n(n?3)維空間中來? 例如?

設a?(a1? a2? ? ? ? ? an)?Rn? ?是某一正數? 則n維空間內的點集

U(a? ?)?{x| x? Rn? ?(x? a)??} 就定義為Rn中點a的?鄰域? 以鄰域為基礎? 可以定義點集的內點、外點、邊界點和聚點? 以及開集、閉集、區域等一系列概念?

6．1．2 多元函數的概念

例１ 圓柱體的體積V 和它的底半徑r、高h之間具有關系

V ??r2h?

這里? 當r、h在集合{(r ? h)| r>0? h>0}內取定一對值(r ? h)時? V對應的值就隨之確定?

例2 一定量的理想氣體的壓強p、體積V和絕對溫度T之間具有關系 p?RT?

V其中R為常數? 這里? 當V、T在集合{(V ?T)| V>0? T>0}內取定一對值(V? T)時? p的對應值就隨之確定?

例3 設R 是電阻R1、R2并聯后的總電阻? 由電學知道? 它們之間具有關系 R?R1R2R1?R2? 這里? 當R1、R2在集合{(R1? R2)| R1>0? R2>0}內取定一對值(R1 ? R2)時? R的對應值就隨之確定?

定義1：設D是R2的一個非空子集? 稱映射f:D?R為定義在D上的二元函數? 通常記為： z?f(x,y),(x,y)?D(或z?f(P),P?D)其中點集D稱為該函數的定義域? x? y稱為自變量? z稱為因變量?

上述定義中? 與自變量x、y的一對值(x? y)相對應的因變量z的值? 也稱為f在點(x? y)處的函數值? 記作f(x,y)? 即z?f(x,y).值域? f(D)?{z| z?f(x? y)?(x? y)?D}?

函數的其它符號: z?z(x,y), z?g(x,y)等.類似地可定義三元函數u?f(x? y? z)?(x? y? z)?D以及三元以上的函數?

一般地? 把定義1中的平面點集D換成n維空間Rn內的點集D? 映射f ? D?R就稱為定義在D上的n元函數? 通常記為：u?f(x1? x2? ? ? ? ? xn)?(x1? x2? ? ? ? ? xn)?D?

或簡記為：u?f(x)? x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)?D? 也可記為：u?f(P)? P(x1? x2? ? ? ? ? xn)?D ?

關于函數定義域的約定? 在一般地討論用算式表達的多元函數u?f(x)時? 就以使這個算式有意義的變元x的值所組成的點集為這個多元函數的自然定義域? 因而? 對這類函數? 它的定義域不再特別標出? 例如?

函數z?ln(x?y)的定義域為{(x? y)|x?y>0}(無界開區域)?

函數z?arcsin(x2?y2)的定義域為{(x? y)|x2?y2?1}(有界閉區域)?

二元函數的圖形? 點集{(x? y? z)|z?f(x? y)?(x? y)?D}稱為二元函數z?f(x? y)的圖形? 二元函數的圖形是一張曲面?

例如 z?ax?by?c是一張平面? 而函數z=x2+y2的圖形是旋轉拋物面?

6．1．3 二元函數的極限

與一元函數的極限概念類似? 如果在P(x,y)?P0(x0,y0)的過程中? 對應的函數值f(x,y)無限接近于一個確定的常數A? 則稱A是函數f(x,y)當(x,y)?(x0,y0)時的極限?

定義2：設二元函數f(P)?f(x,y)的定義域為D，P0(x0,y0)是D的聚點.如果存在常數A，對于任意給定的正數??0總存在正數?? 使得當P(x,y)?D?U(P0,?)時? 都有 f(P)?A?f(x,y)?A???

成立? 則稱常數A為函數f(x,y)當(x,y)?(x0,y0)時的極限? 記為 也記作(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A? 或f(x,y)?A((x,y)?(x0,y0)), limf(P)?A或f(P)?A(P?P0)

P?P0 上述定義的極限也稱為二重極限? 例4.設f(x,y)?(x2?y2)sin證：因為

|f(x,y)?0|?|(x?y)sin221x2?y2? 求證

(x,y)?(0,0)limf(x,y)?0?

1x?y22?0| ?|x?y|?|sin221x?y22| ?x?y22?

可見對??>0? 取???? 則

當0?(x?0)?(y?0)??，即P(x,y)?D?U(O,?)時，總有f(x,y)??，22?因此lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?0。

必須注意?

(1)二重極限存在? 是指P以任何方式趨于P0時? 函數都無限接近于A.(2)如果當P以兩種不同方式趨于P0時? 函數趨于不同的值? 則函數的極限不存在.討論：

?xy22 x?y?0?2（i）函數f(x,y)??x?y2在點(0? 0)有無極限？

22??0 x?y?0提示：當點P(x,y)沿x軸趨于點(0? 0)時? lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?limf(x, 0)?lim0?0?

x?0x?0當點P(x,y)沿y軸趨于點(0? 0)時? lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?limf(0, y)?lim0?0?

y?0y?0當點P(x,y)沿直線y?kx有

(x,y)?(0,0)y?kxlimxyx?y22?limkx2222x?0x?kx?k1?k2?

因此? 函數f(x,y)在(0? 0)處無極限?（ii）xy?1?1x?y(x,y)?(0,0)lim

提示：f(x,y)?xy?1?1x?y在(0,0)點的去心領域內并不總是有意義（x?y?0），這有悖于二重極限的定義，所以極限不存在。亦可：當取路徑y?kx2?x(k?0)時，由于極限

1(x,y)?(0,0)limxy?1?1x?y=limkx?x?1?1kx232x?0=lim2x?0(kx?x)kx232??12k

與k值有關[(1?t)??1）～?t（t?0）]，所以極限不存在。

多元函數的極限運算法則? 與一元函數的情況類似? 例5：求lim(x,y)?(0,2)sin(xy)x?

解?

sin(xy)sin(xy)sin(xy)?lim?y?lim?limyxxy(x,y)?(0,2)(x,y)?(0,2)xy(x,y)?(0,2)(x,y)?(0,2)lim?1?2?2?

注（3）：求二元函數的極限一般是通過換元或代數式變形等方法把問題轉化為一元函數的極限問題---即多元問題‘一元化’。需要強調的是一元函數極限的L’Hospital法則不能用于二元函數求極限。例6：求下列極限

1（1）(x,y)?(0,0)lim(1?sinxy)4xy；（2）

(x,y)?(0,0)lim(x?y)sin1xcos1y；

（3）(x,y)?(0,0)limsin(x?y)x?y224；（4）lim(x???y???1xyx?y22)x2

sinxy1解：（1）(x,y)?(0,0)lim(1?sinxy)xy=

1y(x,y)?(0,0)lim[(1?sinxy)sinxy]xy?e；

（2）(x,y)?(0,0)lim(x?y)sin1xcos=0；（無窮小乘有界函數仍為無窮?。?）設x?rcos?,y?rsin?，則

limsin(x?y)x?y2244(x,y)?(0,0)=limsin(rcos??rsin?)r24444=limr2(sin4??cos4?)?0；

r?0r?0（4）由于：?0(xyx?y22)x2?122??(x?y)????222?x?y?????x2?()21x2，lim()x???1x22?0，由夾逼法則可知原極限等于零。

6．1．4 二元函數的連續性

定義3：設二元函數f(P)?f(x,y)的定義域為D,P0(x0,y0)為D的聚點? 且P0?D.如果

lim(x,y)?(x0,y0)f(x,y)?f(x0,y0)?

則稱函數f(x,y)在點P0(x0,y0)連續?

如果函數f(x,y)在D的每一點都連續? 那么就稱函數f(x,y)在D上連續? 或者稱f(x,y)是D上的連續函數?

二元函數的連續性概念可相應地推廣到n元函數f(P)上去? 例7：設f(x,y)?sinx,證明f(x,y)是R2上的連續函數。

證 設P0(x0,y0)?R2, ???0? 由于sinx在x0處連續? 故???0? 當x?x0??時? 有 sinx?sinx0??

以上述?作P0的?鄰域U(P0,?)，則當P(x,y)?U(P0,?)時? 顯然 f(x,y)?f(x0,y0)?sinx?sinx0??

即f(x,y)?sinx在點P0(x0,y0)連續? 由P0的任意性知? sinx作為x,y的二元函數在R2上連續。

證 對于任意的P0(x0,y0)?R2，因為 lim(x,y)?(x0,y0)f(x,y)?lim(x,y)?(x0,y0)sinx?sinx0?f(x0,y0)? 所以函數f(x,y)?sinx在點P0(x0,y0)連續? 由P0的任意性知? sinx作為x,y的二元函數在R2上連續?

類似的討論可知? 一元基本初等函數看成二元函數或二元以上的多元函數時? 它們在各自的定義域內都是連續的?

定義4:設函數f(x,y)的定義域為D,P0(x0,y0)是D的聚點? 如果函數f(x,y)在點P0(x0,y0)不連續? 則稱P0(x0,y0)為函數f(x,y)的間斷點?

?xy x2?y2?0?22 例如:函數f(x,y)??x?y?

22??0 x?y?0其定義域D?R2,O(0? 0)是D的聚點? f(x,y)當(x? y)?(0? 0)時的極限不存在? 所以點O(0? 0)是該函數的一個間斷點?

又如? 函數z?sin1? 其定義域為22x?y?1D?{(x? y)|x2?y2?1}? 圓周C?{(x? C上沒有定義? 當然

f(x,y)在y)|x2?y2?1}上的點都是D的聚點? 而f(x,y)在C上各點都不連續? 所以圓周C上各點都是該函數的間斷點?

注? 間斷點可能是孤立點也可能是曲線上的點?

可以證明? 多元連續函數的和、差、積仍為連續函數? 連續函數的商在分母不為零處仍連續? 多元連續函數的復合函數也是連續函數?

多元初等函數? 與一元初等函數類似? 多元初等函數是指可用一個式子所表示的多元函數? 這個式子是由常數及具有不同自變量的一元基本初等函數經過有限次的四則運算和復合運算而得到的?

例如x?x2?y221?y? sin(x?y), ex2?y2?z2都是多元初等函數?

一切多元初等函數在其定義區域內是連續的? 所謂定義區域是指包含在定義域內的區域或閉區域?

由多元連續函數的連續性? 如果要求多元連續函數f(P)在點P0處的極限? 而該點又在此函數的定義區域內? 則limf(P)?f(P0)。

p?p0例8：求lim(x,y)?(1,2)x?yxy?

是初等函數? 它的定義域為D??(x,y)x?0,y?0?, 解? 函數f(x,y)?P0(1,2)為Dx?yxy的內點? 故存在P0的某一鄰域U(P0)?D,而任何鄰域都是區域? 所以U(P0)是f(x,y)的一個定義區域? 因此

(x,y)?(1,2)limf(x,y)?f(1,2)?32?

一般地? 求limf(P)時? 如果f(P)是初等函數? 且P0是f(P)的定義域的內P?P0點? 則f(P)在點P0處連續? 于是limf(P)?f(P0).P?P0例9：求lim(x,y)?(0, 0)xy?1?1xy?

(xy?1?1)(xy?1?1)xy(xy?1?1)解? lim(x,y)?(0, 0)xy?1?1xy?lim(x,y)?(0, 0)?lim(x,y)?(0, 0)1xy?1?1?1? 2

多元連續函數的性質?

性質1(有界性與最大值最小值定理)在有界閉區域D上的多元連續函數? 必定在D上有界? 且能取得它的最大值和最小值?

性質1就是說? 若f(P)在有界閉區域D上連續? 則必定存在常數M?0? 使得對一切P?D,有f(P)?M,且存在P1,P2?D,使得

f(P1)?max?f(P)P?D?;f(P2)?min?f(P)P?D?，性質2(介值定理)在有界閉區域D上的多元連續函數必取得介于最大值和最小值之間的任何值?

思考：一元連續函數的零點存在定理在多元連續函數中該如何理解？

第四篇：函數極限與連續

函數、極限與連續

一、基本題

1、函數f?

x??ln?6?x?的連續區間?ax2?x?2x?

12、設函數f?x???，若limf?x??0，且limf?x?存在，則 x?1x??1x?1?2ax?b

a?-1，b?

41sin2x??

3、lim?x2sin???-2x?0xx??

4、n2x?4/(√2-3)?k?

5、lim?1???e2，則k=-1x???x?

x2?ax?b?5，則a?3，b?-

46、設limx?1x?

17、設函數f?x??2x?sinx?1,g?x??kx，當x?0時，f?x?~g?x?，則k

?ex?2x?0?

8、函數f?x???2x?10?x?1的定義域R ；連續區間(-oo,1),(1,+oo)?3x?1x?1?

?1?xsinx

?a9、函數f?x????1?xsin?bx?x?0x?0在x?0處連續，則a?1，b?1x?010、函數f?x??e?

1e?11

x1x的間斷點為x=0，類型是 跳躍間斷點。

11、f?x,y??x2?y2?xycosx，則f?0,1??f?t,1??y12、f?xy,x?y??x2?y2，則f?x,y??y^2+x13、函數z?ln?

2?x2?y2??的定義域為 {(x,y)|1=0}

14、1?e2?xylim?-1?2；?x,y???0,0?x2?y2?exy?x,y???0,0?1?x2?y2x2?y2lim

3?-12；lim?1?2xy?x?15、x?0

y?0

二、計算題

1、求下列極限

（1）0

0型：

1）limex?e?x?2x

x?0xsin3x；=0

2）limex?x?

1x?0x1?e2x;=-1/

43）limtan3x?ln?1?2x?

x?01?cos2x;=-

34）limtanx?sinx

x?0xsin2x2;=1/4

（2）?

?型：

1）lnsin3x

xlim?0?lnsin2x=1

lim2n?1?3n?1

2）n??2n?3n=3

（3）???型：

1）lim?11?

x?0??x?ex?1??=1/

22）lim?

x?1?11??x?1?lnx??=-1/2

3)xlim???arccosx?=π/3

4)xlim???x?=-1 x?0y?2

（4）0??型：

???1）limx??arctanx?=1x????2?

2)lim?x?1?tanx?1?x2=-π/2

（5）1?型：

?2?1）lim?1??x???x?3x?2=e^(-6)

4x?2?3x?1?2）lim??x??3x?2??

3)lim?1?2x?x?0 =e^(-4)=e^(2/5)1sin5x

1??4)lim?cos?=e^(-1/2)x??x??

（6）00型：1）lim?xsinx=1 x?0x2

方法:lim x^sinx=lim e^(sinxlnx)

公式：f(x)^g(x)=e^(g(x)ln(f(x)))

（7）?型：1）lim?x?20x

x????1x=2

同上

2、已知：f?x??sin2x?ln?1?3x??2limf?x?，求f?x? x?0x

f(x)=(sin2x)/x+ln(1-3x)+

2(方法：兩邊limf(x)x->0)

x2?x3、求函數f?x??的間斷點，并判定類型。2xx?1駐點x=0,x=1,x=-

11）當x=0+時，f(x)=-1；當x=0-時，f(x)=1 跳躍間斷點

2）當x=1時，f(x)=oo;第二類間斷點

3）當x=-1時，f(x)=1/2;但f(-1)不存在，所以x=-1是可去間斷點

?sin2x?x??

4、設函數f?x???a

?ln1?bx?????1?e2xx?0x?0在定義域內連續，求a與b x?0

Lim sin(2x)/x|x->0-=2=a=b/-2=>a=2,b=-

45、證明方程：x3?3x2?9x?1?0在?0,1?內有唯一的實根。（存在性與唯一性）證明：

1）存在性：

令f(x)=x^3-3x^2-9x+1

f(0)=1>0;

f(1)=-10<0;

因為f(0).f(1)<0所以在（0,1）內存在一個實根

2）唯一性

f’(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)

所以f(x)在(0,1)內為單調減函數

故x3?3x2?9x?1?0在?0,1?內有唯一的實根。

第五篇：函數極限與連續教案

第四講

Ⅰ 授課題目（章節）

1.8：函數的連續性

Ⅱ 教學目的與要求：

1、正確理解函數在一點連續及在某一區間內連續的定義；

2、會判斷函數的間斷點.4、了解初等函數在定義區間內是連續的、基本初等函數在定義域內是連續的；

5、了解初等函數的和、差、積、商的連續性，反函數與復合函數的連續性； 6 掌握閉區間上連續函數的性質

教學重點與難點：

重點：函數在一點連續的定義，間斷點，初等函數的連續性

難點：函數在一點連續的定義，閉區間上連續函數的性質

Ⅳ 講授內容：

一 連續函數的概念函數的增量

定義1設變量u從它的初值u0變到終值u1，終值與初值之差u1?u0，稱為變量u的增

量，或稱為u的改變量，記為?u，即?u?u1?u0

?x?x1?x0

?y?f(x0??x)?f(x0)函數的連續性

定義2 設函數y?f(x)在點x0的某個鄰域內有定義，若當自變量的增量?x趨近于零

時，相應函數的增量?y也趨近于零，即

lim?y?0或 ?x?0

?x?0limf(x0??x)?f(x0)?0

則稱函數f(x)在x0點連續

2例1 用連續的定義證明y?3x?1在點x0?2處是連續的證明 略

若令x??x0?x則當?x?0時，x?x0又?y?f(x0??x)?f(x0)即

f(x)?f(x0)??y故?y?0就是f(x)?f(x0)

因而lim?y?0可以改寫成limf(x)?f(x0)?x?0x?x0

定義3 設函數y?f(x)在點x0的某個鄰域內有定義，若

x?x0limf(x)?f(x0)

則稱函數f(x)在x0點連續

由定義3知函數f?x?在點x0連續包含了三個條件：

（1）f?x?在點x0有定義

（2）limf(x)存在x?x0

（3）limf(x)?f(x0)x?x0

?sinx,x?0?例2 考察函數f(x)??x在點x?0處得連續性

?1,x?0?

解略

3左連續及右連續的概念.定義4 若limf(x)?f(x0)，則函數f(x)在x0點左連續 x?x0?

若limf(x)?f(x0)，則函數f(x)在x0點右連續 x?x0+

由此可知函數f(x)在x0點連續的充分必要條件函數f(x)在x0點左連續又右連續

4、函數在區間上連續的定義

（a,b）（a,b）定義5 若函數f(x)在開區間內每一點都連續，則稱函數f(x)在開區間內連

續

（a,b）若函數f(x)在開區間內連續，且在左端點a右連續，在右端點b左連續，則

稱稱函數f(x)在閉區間?a,b?上連續

（-?,+?）例3 討論函數y?x在內的連續性

解 略

二 函數的間斷點定義6函數f(x)不連續的點x0稱為函數f(x)的間斷點

由定義6可知函數f(x)不連續的點x0有下列三種情況

（1）f?x?在點x0沒有定義

（2）limf(x)不存在x?x0

（3）limf(x)?f(x0)x?x0

2間斷點的分類

??左右極限都相等（可去間斷點）第一類間斷點：左右極限都存在??間斷點? ?左右極限不相等（跳躍間斷點）

?第二類間斷點：左右極限至少有一個不存在?

?x2?1,x?0例4考察函數f(x)??在x?0處得連續性

?0,x?0

解 略

例5考察函數f(x)??

解 略

?1?,x?0例6考察函數f(x)??x在x?0處得連續性

?0,x?0??x,x?0?x?1,x?0在x?0處得連續性

解 略

三 連續函數的運算與初等函數的連續性

1、連續函數的和、差、積、商的連續性

2、反函數與復合函數的連續性

3、初等函數的連續性：基本初等函數在它們的定義域內都是連續的．一切初等函數在其定義區間內都是連續的．對于初等函數,由于連續性x?x0limf(x)?f(x0),求其極限即等價于求函數的函數值

四閉區間上連續函數的性質

定理1（最大值最小值定理）

若函數f(x)在閉區間?a,b?上連續，則函數f(x)在閉區間?a,b?上必有最大值和最小值

定理2（介值定理）

若函數f(x)在閉區間?a,b?上連續，m 和M分別為f(x)在?a,b?上的最小值和最大值，則對于介于m 和M之間的任一實數C，至少存在一點???a,b?，使得

f(?)?C

定理3（零點定理）

若函數f(x)在閉區間?a,b?上連續，且f(a)與f(b)異號，則至少存在一點???a,b?，使得f(?)?0

例7 證明x5?2x?2?0在區間(0,1)內至少有一個實根 證明 略

Ⅴ 小結與提問：

Ⅵ 課外作業：

習題1-8 2，5，7，9