第一篇：函數、極限與連續測試卷帶答案

上海民航學院

函數、極限與連續測試卷

總分100分命題人:葉茂瑩

一、填空題（每空2分，共20分）

1、函數y?3?2x|?4的定義域是； 解：|3?2x|?4?0,3?2x?4,或3?2x??4 ??2x?1,或?2x??7

17?x??,或x? 2

217?x?(??,?]?[,??)222、把復合函數y?earctan(1?x)分解成簡單的函數________________________； 解：y?eu,u?arctanv,v?1?x23、函數y?arcsin2x的反函數是_____________________； 1????解：y?sinx,x???,? 2?22?

?1?x?

4、lim??； x???x?2x

2?1?x?解：lim??x???x?2x??1?x??lim??1????e2 x???x?????2

(2x?1)15(3x?1)30

?；

5、limx??(3x?2)4

5(2x?1)15(3x?1)30215?330?2????? 解：lim4545x??(3x?2)3?3?

x2?3x?

26、lim2； x?2x?4x?12?x?1??x?2??lim?x?1??1x2?3x?2lim解：lim2 x?2x?6x?2x?4x?12x?2x?6x?28157、x?1?；

2解：

lim?x?1x?x?1

2x?12?x?1 ?x?13x?

1??3

4x?2的連續區間為(x?1)(x?4)

解：x?2?0,且?x?1??x?4??0

8、函數f(x)?

?x??2,x??1,x?4,?x?[?2,?1)?(?1,4)?(4,??)

ax2?bx?

19、已知a，b為常數，lim?2，則a?，b?.x??2x?

1ax2?bx?1解：因為x的最高次為2，lim?2 x??2x?1

所以a?0，b?2，即b?4

2x?0在點x?0處連續，則a?

x?0

x1????lim??1?x?x?x?0???22?x?

10、已知f(x)??(1?x)?a?解：limf?x??lim?1?x?x?0x?0?e?

2因為f?x?在點x?0處連續，f?0??a?limf?x??e?2，所以a?e?2。x?0

二、單項選擇題（每小題4分，共20分．）

1、下列函數中，定義域為全體實數的是（D）

y?x2?x（A）（B）y?1(C)y?2x?1(D)y?x2?4x?5 lg|x?1|

解：（A）y?x2?x，x2?x?0,x?x?1??0,?x?0或x?1（B）y?1,|x?1|?0,lg|x?1|?0,所以x??1,x?1?1,即x??1,x?0 lg|x?1|

2x?1?0，2x?1，x?0(C)y?(D)y?x2?4x?5??x?2??1?0,?x?R2、當x?0時，sin2x是x的（C）

（A）高階無窮小（B）低階無窮小

(C)同階但不等價無窮小(D)等價無窮小 解：limsin2x?2 x?0x3、下列極限值等于1的是（D）（A）limsinxsin2xsinxsinx（B）lim(C)lim(D)lim x??x?0x?2?x??xxx??x

sinx?? x??x解：（A）lim

（B）lim

(C)lim

(D)limsin2x?2 x?0xsinxsin2???0 x?2?x2?sin???x?sinx?lim?1 x????xx????x14、函數f(x)?xsin在點x?0處（B）． x

（A）有定義且有極限（B）無定義但有極限（C）有定義但無極限(D)無定義且無極限 111解：因為limx?0sin?1，所以limf(x)?limxsin?0 limf(x)?limxsin，x?0x?0x?0x?0x?0xxx5、下列敘述正確的是（B）（A）分段函數的分界點必是間斷點

（B）函數無定義處必是間斷點

(C)若limf(x)存在，則x0不可能是第一類跳躍間斷點； x?x0

(D)若f(x0?0)?f(x0?0)?A，則x0必是連續點

三、簡單計算題（每小題5分，共30分）

?2?x,x?01、設f(x)??x，求f(?1),f(1)； 2,x?0?

解：??1?0,?f(?1)?2?1?

1?1?0,?f(1)?21?

22、設f(sinx)?cos2x?1，求f(cosx)；

解：?f(sinx)?cos2x?1?1?2sin2x?1?2?2sin2x

?f(cosx)??2?2cos2x?2sin2x?1?cos2x

x?1?x?4，3、設函數f(x)=?，求limf(x)及limf(x)，問limf(x)是否存x?1x?1?x?1?2x?1，x?1?

在？；

f?x??lim解：lim?x?4??5 ??x?1x?

1x?1?limf?x??lim?2x?1??1 ?x?1

x?1x?1f?x??limf?x? 因為lim??

所以limf?x?不存在 x?1

6??14、計算lim??2?； x?2x?3x?9??

6?x?3?611?1?2?lim?lim?解：lim? ?x?2x?2x?3x?2x?9?x?3x?3x?35?

?21?xsin，x?05、設函數f(x)??，討論f(x)在x?0的連續性； x

?a?x2，x?0?

解：因為limx?0，sin

2x?0121?1，所以limf(x)?limxsin?0 ??x?0x?0xxx?0limf?x??lim??a?x2??a，f?0??a ?x?0

x?0x?0f(x)?0?limf(x)?f(0)，f(x)在x?0的連續。當a?0時，lim??

f(x)?0?lim?f(x)?f(0)?a，f(x)在x?0的不連續，為跳當a?0時，lim?x?0x?0

躍間斷點。

?x2，0?x?

16、設函數f(x)??，討論f(x)在x?1的連續性.x?1?x?1，2fx?limx?1，解：lim????x?1x?

1x?1?limf(x)?lim?x?1??2 ?x?1

x?1?limf?x??limf?x? ?x?1

f(x)在x?1的不連續，為跳躍間斷點。

四、解答題（每小題6分，共30分）

1、lim

解：

?x?0x?0?x?1； sin3xx?0

1?x?0?x???1

6?x2?1???ax?b2、已知 lim???0，求a,b的值； x???x?1??

解：

x2?1?ax?x?1??b?x?1?x2?ax2??a?b?x?1?b?x2?1?lim??ax?b??lim?lim?0x??x??x??x?1x?1?x?1?

?1?a?0,a?b?0

?a?1,b??

1?sin2x，x?0?

3、函數f(x)??x，問常數k為何值時，函數f(x)在其定義域內?3x2?2x?k，x?0?

連續？；

解：

x?0limf?x??lim??x?0

x?0sin2x?2，xx?0limf(x)?lim??3x2?2x?k??k ?

因為函數f(x)在其定義域內連續

所以lim?f?x??2?lim?f?x??k x?0x?0

所以k?

2??ex，x?0?

4、設f(x)??1，x?0求lim?f(x),lim?f(x)并問f(x)在x?0處是否連續？ x?0x?0?sinx?,x?0?x

解：因為

x?0xlimfx?lime?1，????x?0

x?0limf(x)?lim??x?0

x?0sinx?1 xx?0所以lim?f?x??1?lim?f?x??f?0?

所以f(x)在x?0處是連續。

5、設函數f在[0,2a]上連續，且f(0)?f(2a)，證明：存在點x0?[0,a]，使得f(x0)?f(x0?a)

證明：令g?x??f?x?a??f?x?,x??0,a? 因為f在[0,2a]上連續，所以g?x?在x??0,a?連續 g?0??f?0?a??f?0?=f?a??f?0?

g?a??f?a?a??f?a?=f?2a??f?a??f?0??f?a? 所以g?0??g?a??0

所以存在點x0?[0,a]，使得g?x0??0。即存在點x0?[0,a]，使得f(x0)?f(x0?a)

第二篇：函數極限與連續

函數、極限與連續

一、基本題

1、函數f?

x??ln?6?x?的連續區間?ax2?x?2x?

12、設函數f?x???，若limf?x??0，且limf?x?存在，則 x?1x??1x?1?2ax?b

a?-1，b?

41sin2x??

3、lim?x2sin???-2x?0xx??

4、n2x?4/(√2-3)?k?

5、lim?1???e2，則k=-1x???x?

x2?ax?b?5，則a?3，b?-

46、設limx?1x?

17、設函數f?x??2x?sinx?1,g?x??kx，當x?0時，f?x?~g?x?，則k

?ex?2x?0?

8、函數f?x???2x?10?x?1的定義域R ；連續區間(-oo,1),(1,+oo)?3x?1x?1?

?1?xsinx

?a9、函數f?x????1?xsin?bx?x?0x?0在x?0處連續，則a?1，b?1x?010、函數f?x??e?

1e?11

x1x的間斷點為x=0，類型是 跳躍間斷點。

11、f?x,y??x2?y2?xycosx，則f?0,1??f?t,1??y12、f?xy,x?y??x2?y2，則f?x,y??y^2+x13、函數z?ln?

2?x2?y2??的定義域為 {(x,y)|1=0}

14、1?e2?xylim?-1?2；?x,y???0,0?x2?y2?exy?x,y???0,0?1?x2?y2x2?y2lim

3?-12；lim?1?2xy?x?15、x?0

y?0

二、計算題

1、求下列極限

（1）0

0型：

1）limex?e?x?2x

x?0xsin3x；=0

2）limex?x?

1x?0x1?e2x;=-1/

43）limtan3x?ln?1?2x?

x?01?cos2x;=-

34）limtanx?sinx

x?0xsin2x2;=1/4

（2）?

?型：

1）lnsin3x

xlim?0?lnsin2x=1

lim2n?1?3n?1

2）n??2n?3n=3

（3）???型：

1）lim?11?

x?0??x?ex?1??=1/

22）lim?

x?1?11??x?1?lnx??=-1/2

3)xlim???arccosx?=π/3

4)xlim???x?=-1 x?0y?2

（4）0??型：

???1）limx??arctanx?=1x????2?

2)lim?x?1?tanx?1?x2=-π/2

（5）1?型：

?2?1）lim?1??x???x?3x?2=e^(-6)

4x?2?3x?1?2）lim??x??3x?2??

3)lim?1?2x?x?0 =e^(-4)=e^(2/5)1sin5x

1??4)lim?cos?=e^(-1/2)x??x??

（6）00型：1）lim?xsinx=1 x?0x2

方法:lim x^sinx=lim e^(sinxlnx)

公式：f(x)^g(x)=e^(g(x)ln(f(x)))

（7）?型：1）lim?x?20x

x????1x=2

同上

2、已知：f?x??sin2x?ln?1?3x??2limf?x?，求f?x? x?0x

f(x)=(sin2x)/x+ln(1-3x)+

2(方法：兩邊limf(x)x->0)

x2?x3、求函數f?x??的間斷點，并判定類型。2xx?1駐點x=0,x=1,x=-

11）當x=0+時，f(x)=-1；當x=0-時，f(x)=1 跳躍間斷點

2）當x=1時，f(x)=oo;第二類間斷點

3）當x=-1時，f(x)=1/2;但f(-1)不存在，所以x=-1是可去間斷點

?sin2x?x??

4、設函數f?x???a

?ln1?bx?????1?e2xx?0x?0在定義域內連續，求a與b x?0

Lim sin(2x)/x|x->0-=2=a=b/-2=>a=2,b=-

45、證明方程：x3?3x2?9x?1?0在?0,1?內有唯一的實根。（存在性與唯一性）證明：

1）存在性：

令f(x)=x^3-3x^2-9x+1

f(0)=1>0;

f(1)=-10<0;

因為f(0).f(1)<0所以在（0,1）內存在一個實根

2）唯一性

f’(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)

所以f(x)在(0,1)內為單調減函數

故x3?3x2?9x?1?0在?0,1?內有唯一的實根。

第三篇：函數、極限和連續試題及答案

極限和連續試題（A卷）

1.選擇題（正確答案可能不止一個）。（1）下列數列收斂的是（）。A.xnn?1n?(?1)n

B.xn1n?(?1)n

C.xn?n?sinD.xn?2n（2）下列極限存在的有（）。

A.lim1x??sinx

B.xlim??xsinx

C.lim11x?02x?D.limn??2n2?1

（3）下列極限不正確的是（）。

A.lim(x?1)?2

B.lim1x?1?x?0x?1?1 12C.lim4x?2xx?2??

D.xlim?0?e???（4）下列變量在給定的變化過程中，是無窮小量的有（）。A.2?x?1(x?0)

B.sinxx(x?0)

2C.e?x(x???)

D.xx?1(2?sin1x)(x?0)??1（5）如果函數f(x)?xsinx,?x?0;?a,x?0;在x?0處連續，則a、b的值為（???xsin1x?b,x?0.A.a?0,b?0

B.a?1,b?1 C.a?1,b?0

D.a?0,b?1 2.求下列極限：

（1）lim(x322x?1?3x?1)；

（2）xlim??2(3x?2x?5)；

（3）lim1x(1?x?3)；

（4）limx?3?0x?2x2?x；

x2?8x2（5）limx?3x?3；

（6）lim?16x?4x?4；

（7）limx2?1x?2x?12x2?x?1；

（8）lim；

x?2x?2。）（9）limx?0cosx1?x?1；

（10）lim；

x??xxx3?3x?1x4?3x?1（11）lim；

（12）lim；

x??3x3?xx??5x4?x3x3?3x?19x3?3x?1（13）lim；

（14）lim； 42x??x??x?xx?1x3.（15）limx?03xsin?2?x，x?0?23.設f(x)??2x?1，0?x?1，求limf(x)，limf(x)，limf(x)，limf(x)。

1x?0x?3x??1x??3?(x?1)3，x?12?4.證明：x?sinx~x(x?0?)。

5.求下列函數的連續區間：

?2x?1,x?1;（1）y?ln(3?x)?9?x；

（2）y??2

x?1,x?1.?26.證明limx?2x?2不存在.x?21?xsin,???x?0;?x7.設f(x)??求f(x)在x?0時的左極限，并說明它在x?0時10?x???.?sin,x?右極限是否存在？

8.證明lim(n??1n?12?1n?22???1n?n2)存在并求極限值。

x2?1?ax?b)?0，求a、b的值。9.若lim(x??x?1

答案

1.（1）B；（2）BD；

（3）C；

（4）ACD ；（5）B.2.（1）-1；（2）3；（3）

21；（4）?；（5）?；（6）8；

36（7）21111；

（8）；（9）；（10）0；（11）；（12）； 323522（13）0；（14）?；（15）

1.9x?123.limf(x)?3, limf(x)不存在, limf(x)?x??1x?03, limf(x)?11.2x?35.（1）[?3,3)；

（2）(??,1)?(1,??).7.f(x)在x?0時的左極限為0，在x?0時右極限不存在。8.極限值為1.9.a?1,b??1.

第四篇：函數極限與連續教案

第四講

Ⅰ 授課題目（章節）

1.8：函數的連續性

Ⅱ 教學目的與要求：

1、正確理解函數在一點連續及在某一區間內連續的定義；

2、會判斷函數的間斷點.4、了解初等函數在定義區間內是連續的、基本初等函數在定義域內是連續的；

5、了解初等函數的和、差、積、商的連續性，反函數與復合函數的連續性； 6 掌握閉區間上連續函數的性質

教學重點與難點：

重點：函數在一點連續的定義，間斷點，初等函數的連續性

難點：函數在一點連續的定義，閉區間上連續函數的性質

Ⅳ 講授內容：

一 連續函數的概念函數的增量

定義1設變量u從它的初值u0變到終值u1，終值與初值之差u1?u0，稱為變量u的增

量，或稱為u的改變量，記為?u，即?u?u1?u0

?x?x1?x0

?y?f(x0??x)?f(x0)函數的連續性

定義2 設函數y?f(x)在點x0的某個鄰域內有定義，若當自變量的增量?x趨近于零

時，相應函數的增量?y也趨近于零，即

lim?y?0或 ?x?0

?x?0limf(x0??x)?f(x0)?0

則稱函數f(x)在x0點連續

2例1 用連續的定義證明y?3x?1在點x0?2處是連續的證明 略

若令x??x0?x則當?x?0時，x?x0又?y?f(x0??x)?f(x0)即

f(x)?f(x0)??y故?y?0就是f(x)?f(x0)

因而lim?y?0可以改寫成limf(x)?f(x0)?x?0x?x0

定義3 設函數y?f(x)在點x0的某個鄰域內有定義，若

x?x0limf(x)?f(x0)

則稱函數f(x)在x0點連續

由定義3知函數f?x?在點x0連續包含了三個條件：

（1）f?x?在點x0有定義

（2）limf(x)存在x?x0

（3）limf(x)?f(x0)x?x0

?sinx,x?0?例2 考察函數f(x)??x在點x?0處得連續性

?1,x?0?

解略

3左連續及右連續的概念.定義4 若limf(x)?f(x0)，則函數f(x)在x0點左連續 x?x0?

若limf(x)?f(x0)，則函數f(x)在x0點右連續 x?x0+

由此可知函數f(x)在x0點連續的充分必要條件函數f(x)在x0點左連續又右連續

4、函數在區間上連續的定義

（a,b）（a,b）定義5 若函數f(x)在開區間內每一點都連續，則稱函數f(x)在開區間內連

續

（a,b）若函數f(x)在開區間內連續，且在左端點a右連續，在右端點b左連續，則

稱稱函數f(x)在閉區間?a,b?上連續

（-?,+?）例3 討論函數y?x在內的連續性

解 略

二 函數的間斷點定義6函數f(x)不連續的點x0稱為函數f(x)的間斷點

由定義6可知函數f(x)不連續的點x0有下列三種情況

（1）f?x?在點x0沒有定義

（2）limf(x)不存在x?x0

（3）limf(x)?f(x0)x?x0

2間斷點的分類

??左右極限都相等（可去間斷點）第一類間斷點：左右極限都存在??間斷點? ?左右極限不相等（跳躍間斷點）

?第二類間斷點：左右極限至少有一個不存在?

?x2?1,x?0例4考察函數f(x)??在x?0處得連續性

?0,x?0

解 略

例5考察函數f(x)??

解 略

?1?,x?0例6考察函數f(x)??x在x?0處得連續性

?0,x?0??x,x?0?x?1,x?0在x?0處得連續性

解 略

三 連續函數的運算與初等函數的連續性

1、連續函數的和、差、積、商的連續性

2、反函數與復合函數的連續性

3、初等函數的連續性：基本初等函數在它們的定義域內都是連續的．一切初等函數在其定義區間內都是連續的．對于初等函數,由于連續性x?x0limf(x)?f(x0),求其極限即等價于求函數的函數值

四閉區間上連續函數的性質

定理1（最大值最小值定理）

若函數f(x)在閉區間?a,b?上連續，則函數f(x)在閉區間?a,b?上必有最大值和最小值

定理2（介值定理）

若函數f(x)在閉區間?a,b?上連續，m 和M分別為f(x)在?a,b?上的最小值和最大值，則對于介于m 和M之間的任一實數C，至少存在一點???a,b?，使得

f(?)?C

定理3（零點定理）

若函數f(x)在閉區間?a,b?上連續，且f(a)與f(b)異號，則至少存在一點???a,b?，使得f(?)?0

例7 證明x5?2x?2?0在區間(0,1)內至少有一個實根 證明 略

Ⅴ 小結與提問：

Ⅵ 課外作業：

習題1-8 2，5，7，9

第五篇：函數極限連續試題

····· ········密············································訂·········線·································裝·····系·····封················· ··················__ __：_ ：___： ___________名______________業_姓_____ _號_____ _：：___級_ ____別年專______學

· ·····密·········· ·············································卷···線·································閱·······封········································

函數 極限 連續試題

1.設f(x)?

求

(1)f(x)的定義域;(2)12?f[f(x)]?2

;(3)lim

f(x)x?0x

.2.試證明函數f(x)?x3e?x2

為R上的有界函數.3.求lim1n??nln[(1?1n)(1?2

n)

(1?nn)].4.設在平面區域D上函數f(x,y)對于變量x連續，對于變量y 的一階偏導數有界，試證：f(x,y)在D上連續.（共12頁）第1頁

5.求lim（2x?3x?4x1

x?03)x.1(1?x)x

6.求lim[

x?0e]x.7.設f(x)在[?1,1]上連續，恒不為0，求x?0

8.求lim(n!)n2

n??

.9.設x??

ax?b)?2,試確定常數a和b的值.（共12頁）第2頁

10.設函數f(x)=limx2n?1?ax?b

n??1?x

2n連續，求常數a,b的值.11.若limsin6x?xf(x)6?f(xx?0x3?0，求lim)

x?0x2

.12.設lim

ax?sinx

x?0?c(c?0),求常數a,b,c的值.?xln(1?t3)btdt

13.判斷題：當x?0時，?x

1?cost2

0t

是關于x的4階無窮小量.114.設a為常數，且lim（ex

??x?0

2?a?arctan1

x)存在，求a的值，并計算極限.ex?1

（共12頁）第3頁

215.設lim[

ln(1?ex)x?0

1?a?[x]]存在，且a?N?，求a的值，并計算極限.ln(1?ex)

16.求n(a?0).?n

17.求limn?????2(a?0,b?0).?

ln(1?

f(x)

18.設lim)

x?0

3x?1

=5，求limf(x)x?0x2.19.設f(x)為三次多項式，且xlim

f(x)f(x)f?2ax?2a?xlim?4ax?4a?1，求xlim(x)

?3ax?3a的值.（共12頁）第4頁

24.設連續函數f(x)在[1,??)上是正的，單調遞減的，且

dn??f(k)??f(x)dx，試證明：數列?dn?收斂.n

n

20.設x?1,求lim(1?x)(1?x2)(1?x4n

n??)

(1?x2).21.試證明：(1)?（?1n111?1+n)?1?

?

?

為遞減數列；(2)n?1?ln(1?n)?n,n?1,2,3,.limnn

22.求n??3nn!

.23.已知數列：a1

11?2，a2?2?2，a3?2?，2?2

a4?2?

12?

1的極限存在，求此極限.2?2

（共12頁）第5頁

k?1

25.設數列?xn?，x0?a，x1?b，求limn??

xn.26.求lima2n

n??1?a2n

.28.求limx???

.x1

n?2

(xn?1?xn?2)(n?2)，（共12頁）第6頁

29.設函數f(x)是周期為T(T?0)的連續函數，且f(x)?0,試證：

xlim1x???x?0f(t)dt?1T?T0f(t)dt.30.求lim?1

1n??0

x.en

(1?x)n

n

31.設lim（1?x)?x

???tetx??x

??dt，求?的值.32.判斷函數f(x)?limxn?1

n??xn?1的連續性.33.判斷函數f(x.（共12頁）第7頁

34.設f(x)為二次連續可微函數，f(0)=0，定義函數

?g(x)??

f?(0)當x?0?，試證：g(x)?f(x)

?x當x?0連續可微.35.設f(x)在[a,b]上連續，f(a)?f(b)，對x?(a,b)，g(x)?lim

f(x?t)?f(x?t)

t?0

t

存在，試證：存在c?(a,b),使g(c)?0.36.若f(x)為[a,b]上定義的連續函數，如果?b

a[f(x)]2dx?0，試證：

f(x)?0(a?x?b).37.設函數f(x)在x=0處連續，且lim

f(2x)?f(x)

x?0

x

?A，試證：f?(0)=A.（共12頁）第8頁

38.設f(x)在[a,b]上二階可導，過點A(a,f(a))與B(b,f(b))的直線與曲線

y?f(x)相交于C(c,f(c))，其中a?c?b.試證：至少存在一點??(a,b)，使得f??(?)=0.39.設f(x)，g(x)，h(x)在a?x?b上連續，在(a,b)內可導，試證：

f(a)

g(a)

h(a)

至少存在一點??(a,b)，使得f(b)

g(b)h(b)=0,并說明拉格朗日中值 f?(?)g?(?)h?(?)

定理和柯西中值定理是它的特例.40.試證明函數y?sgnx在x?[?1,1]上不存在原函數.41.設函數f(x)=nf(x)的不可導點的個數.（共12頁）第9頁

42.設f(x(0?x?

?),求f?(x).43.設xn?1?(n?1,2,3,)，0?x1?3，試說明數列?xn?的極限存在.?x?0

44.求函數f(x)=??sin1?

x2?1

?x(??2x)的間斷點.??2cosx

x?0

45.求曲線??

3???的斜漸近線.（共12頁）第10頁

??1?

46.求數列?nn?的最小項.??

50.求lim

x.x?0

sin1

x

47.求limtan(tanx)?sin(sinx)

x?0tanx?sinx

.48.設f(x)在[0,2]上連續，在（0,2)內有二階導數，且lim

f(x)

x?1(x?1)2

?1，?

f(x)dx?f(2)，試證：存在??(0,2)，使得f??(?)=(1+??1)f?(?).49.試證：若函數f(x)在點a處連續，則函數f+(x)=max?f(x),0?與

f-(x)=min?f(x),0?在點a處都連續.（共12頁）第11頁

12頁）第12頁

（共