第一篇：第十六章多元函數的極限與連續
第十六章 多元函數的極限與連續
§1平面點集與多元函數
1、判斷下列平面點集中哪些是開集、閉集、有界集、區域？并區分它們的聚點與界點？分析：由定義結合圖形直接得。
(1)[a,b)?[c,d)解：是有界集，區域，聚點：E={(x,y)|(x,y)?[a,b]?[c,d]}界點：?E={(x,y)|(a,y),(b,y),c?y?d或(x,c),(x,d),a?x?b}(2){(x,y)|xy?0}解：是開集，聚點：E=R2,界點：{(x,y)|xy=0}(3){(x,y)|xy=0}解：是閉集，聚點：E={(x,y)|xy=0}(4){(x,y)|y>x2}解：是開集，區域，聚點：E?{(x,y)|y?x2}，界點集：{(x,y)|y=x2}(5){(x,y)|x?2,y?2,x?y?2}解：是開集，有界集，區域，聚點：E?{(x,y)|x?2,y?2,x?y?2}界點集：{(x,y)|x?2,0?y?2}?{(x,y)|y?2,0?x?2}?{(x,y)|x?y?2,0?x?2}(6){(x,y)|x2?y2?1,y?0,0?x?1}解：是閉集，有界點集，聚點：E?{(x,y)|x2?y2?1y?0,0?x?1},界點：?E?E(7){(x,y)|x2?y2?1或y?0,1?x?2}解：是閉集，有界集，聚點：E?{(x,y)|x2?y2?1或y?0,1?x?2}，?E?{(x,y)|x2?y2?1,y?0,1?x?2}(8){(x,y)|x,y均為整數}解：是閉集，界點集{(x,y)|x,y均為整數}1(9){(x,y)|y?sin,x?0}x1解：是閉集，聚點E?{(x,y)|y?sin,x?0}?x{(0,y)|?1?y?1},?E?E
2、試問集合{(x,y)|0 分析：畫出它們表示的圖形即可知結論，{(x,y)|0 解：不相同，因為點集E1={(x,y)|x?a,0 4、證明：閉域必為閉集，舉例說明反之不真。證：若D是閉域，由于閉是開域連同其邊界所成點集，故對任意一點P?E()若是開域中一點?P是一內點?P一定是聚點()若P是一界點?P同樣也是D的聚點(因為開域的邊界上的界點是非弧上點)從而推得D上一切點都是D的聚點，所以D是閉集反之不真：如E={(x,y)|x2+y2?1或y=0,2?x?3}這里E的一切點都是聚點，且是E的全部聚點，所以E是閉集，然而E中的開域是E1?{(x,y)|x2+y2?1}及?E1?{(x,y)|x2+y2?1}且E1??E1?E，所以E不是閉域 5、證明：點列{Pn(xn,yn)}收斂于P0(x0,y0)的充要條件是limxn=x0和limyn=y0 n??n?? 證：“必要性”，若limPn=P0???>0,?N?N+,當n>N時，就有Pn?U(P0,?)n??即 ?(Pn,P0)?(xn-x0)2?(yn-y0)2??推得xn-x0??(Pn,P0)??，即limxn=x0n??yn-y0??(Pn,P0)??，即limyn=y0n??“充分性”，若limxn=x0，limyn=y0?對???0,?N?N?n??n?? 當n>N時，就有xn-x0???,yn-y0?221212???=?，22這時?(Pn,P0)?(xn-x0)2?(yn-y0)2?即Pn?U(P0,?),所以limPn=P0n?? 6、求下列各函數的函數值1+31-3?arctan(x+y)?(1)，f(x,y)=?,求f(,)?arctan(x-y)22?? 2xyy(2)f(x,y)=2,求f(1,).x?y2xx(3)f(x,y)=x2+y2-xyarctan,求f(tx,ty).y21??2arctan(1+3+1-3)??1+31-3arctan19??2解:(1)f(,)???????16122arctan3???arctan(1+3-1+3)??2?2?1?yyx?2xy(2):f(1,)?x12?(y)2x2?y2xtxx(3)f(tx,ty)=(tx)2+(ty)2-(tx)(ty)arctan?t2(x2+y2-xyarctan)tyy27、設F(x,y)=lnxlny，證明：若u>0,v>0，則 F(xy,uv)=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v)證：右式=lnxlnu+lnxlnv+lnylnu+lnylnv=(lnx+lny)lnu+(lnx+lny)lnv=(lnx+lny)(lnu+lnv)=lnxylnuv=左式 8、求下列各函數的定義域，畫出定義的圖形，并說明是何種點集。 x2?y2(1)f(x,y)=2x?y2 定義域D={(x,y)|y??x},是開集，但不是開域，圖略。(2)f(x,y)=12x2?3y2 解：定義域D={(x,y)|2x2?3y2?0},是開集，也是開域.圖略。(3)f(x,y)=xy解：定義域D={(x,y)|xy?0},是閉集，也是閉域.圖略。(4)f(x,y)=1-x2?y2?1 解：定義域D={(x,y)|x?1,y?1},是閉集，但不是區域。圖略。(5)f(x,y)?lnx?lny解：定義域D={(x,y)|x>0,y>0},是開集，也是開域。圖略。 (6)f(x,y)=sin(x2?y2)解：定義域D={(x,y)2k??x2+y2?(2k+1)?,k?0,1,2,?} 是閉集，但不是區域.(7)f(x,y)=ln(y-x)解：定義域D={(x,y)|y>x}，是開集，也是開域.(8)f(x,y)=e-(x2?y2)2解：定義域D=R,是開集，又是閉集，是閉域又是開域.(9)f(x,y,z)=zx2?y2?1 解：定義域D=R2，是開集也是閉集，是開域又是閉域.（10）f(x,y,z)=R2?x2?y2?z2?1x?y?z?r2222(R?r) 22222解：定義域{(x,y,z)r?x?y?z?R}不是開集，也不是閉集，是有界集。 9、證明：開集與閉集具有對偶性---若E是開集，則CE是閉集；若E是閉集，則CE是開集。分析：由開、閉集的定義。 證：(1)若E是開集??P?E且不為E的界點，若??>0，使U(P，?)?E=??點P有U(P，?)?CE.故P是CE的內點，從而也是CE的聚點；若P是E的界點，那么P同時也是CE的界點?P是CE的聚點。從而CE的一切點都是CE的聚點.于是CE是閉集。(2)若E是閉集?對?P?CE，即P?E，則P不是E的聚點?總存在P的某個鄰域U(P，?)，使U(P，?)?E=??U(P，?)?CE?P是CE的內點?CE的每個點都是CE的內點，所以CE也是開集.10、證明：(1)若F1，F2是閉集，則F1?F2與F1?F2都是閉集證：先證：C(F1?F2)=CF1?CF2；C(F1?F2)=CF1?CF2若P?C(F1?F2)?P?(F1?F2)?P?F1且P?F2?P?CF1且P?CF2?P?CF1?CF2)?C(F1?F2)=CF1?CF2反之，若Q?CF1?CF2?Q?CF1且Q?CF2?Q?F1且Q?F2Q?F1?F2?Q?C(F1?F2)?C(F1?F2)=CF1?CF2故C(F1?F2)=CF1?CF2.類似可證C(F1?F2)=CF1?CF2由于F1，F2是閉集，由習題9知，CF1，CF2是開集??P?C(F1?F2)?P?CF1?CF2???1>0.有U(P，?1)?CF1且??2>0.有U(P，?2)?CF2?U(P，min{?1，?2})?CF1?CF=C(F1?F2)是開集?F1?F2是閉集.而對?Q?C(F1?F2)?Q?CF1?CF2???'1>0,有U(P，?'1)?CF1或者??'2>0,有U(P，?'2)?CF2?U{Q，min{?'1,?'2}}?CF1?CF2?C(F1?F2)C(F1?F2)是開集，F1?F2是閉集。(2)若E1，E2是開集，則E1?E2與E1?E2都為開集。證：E1，E2都為開集?CE1，CE2都為閉集?CE1?CE2=C(E1?E2)CE1?CE2=C(E1?E2)都是閉集(見(1))?E1?E2，E1?E2(見習題9)(3)若F是閉集，E為開集，則FE為閉集，EF為開集證：先證：任何兩個集A，B：AB=A?CB因為：?x?AB?x?A，x?B?x?A，x?CB?x?A?CB反之，?y?A?CB=y?A?y?A，y?B?y?AB，所以AB=A?CB由于 F是閉集，E為開集?CF是開集，CE是閉集?FCE是閉集?FE為閉集，而E?CF是開集，EF是開集。注：本題亦可以按定義證明：這里只證EF為開集，?p?EF，則p?E,p?F,由此知p為E的內點，p為F的外點，于是分別存在?1?0和?2?0,使得U(p;?1)?E,U(p;?2)?F=?,取?=min(?1,?2),則有U(p;?)?EF,即p是EF的內點，所以EF為開集。 11、試把閉域套定理推廣 閉集套定理，并證明之.閉集套定理：設{Dn}是R2中的閉集列，它滿足(i)Dn?Dn+1,n?1,2,?(ii)dn?d(Dn),limdn?0n??則存在唯一點P0?D,n?1,2,?.其中為Dn非空點集?證：任取點列Pn?Dn,n=1,2,?,由于Dn+p?Dn,Pn+p,Pn從而有 ?(Pn+p,Pn)?dn?0(n??)根據柯西準則，?P0?R2,使limPn?P0n??對任意確定的n?N+，對?p?N+，有Pn+p?Dn,再令p??因為Dn是閉集，P0作為Dn的聚點必屬于Dn，即 P0?limPn+p?Dn,n=1,2,?,p??若還有P'0?Dn,n=1,2,?，則由?(P0,P'0)??(P0,Pn)??(P'0,Pn)?2d?0(n??)?(P'0,Pn)?0,即P0?P'0，故定理成立. 12、證明定理16.4定理：設D?R2為一有界閉域，{??}為一開域族，它覆蓋D(即D?U??)，??U?則在{??}中必存在有限開域?1,?2?3??n，它覆蓋了D(即D???)，)證：因為D?R2為一有界域??a,b,c,d,?使 Dn?{(x,y)|a?x?b,c?y?d}1反證法：若不存在有限個開域覆蓋D，則取直線x=(a+b)及21y=(c+d)將區域劃分成四個區域，這四個區域將D劃分若個2區域，且其中至少有一個閉域不能被有限個開域所覆蓋.則D1?D且記上述閉域為D1，而A中包含A1則：D1?D，A1?A且d1?d(D1)?1(b?a)2?(d?c)22記A1?{(x,y)|a1?x?b1,c1?x?d1}11?b1?a1?(b?a),d1?c1?(b?a)22同理將長方形區域，劃分成四個長方形子域，而D1被劃分成若個閉子域，其中至少有一個閉子域D2，不能被有限個開域所覆蓋。記上述閉域為D2，而A1中包含D1的區域為A2.1(b1?a1)2?(d1?c1)221記A2?{(x,y)|a2?x?b2,c2?y?d2}?b2?a2?2(b?a),d2?c2211?2(d?c).如此繼續，得一閉域套{Dn}，其中bn?an?n(b?a)221dn?cn?n(d?c),n?3,4,?2且滿足(i)Dn+1?Dn,n?1,2,3,?，且Dn不能被有限中開域所則D2?D1，A2?A1，d2?d(D2)?覆蓋.(ii)dn?d(Dn)?所以limdn?0n??12n(b?a)2?(d?c)2.根據閉域定理，存在唯一點P0?Dn，N=1,2，3，?根據閉域定理，存在唯一點P0?Dn，n=1,2，3，??存在某個區域??，使P0????存在P0的某個鄰 域U(P0)使U(P0)???但因為limdn?0??N?N?,當n>N時，就有n?? Dn?U(P0)???與假設矛盾故必存在有限個區域?1,?2,??n，使它們覆蓋D. 數學分析 第16章 多元函數的極限與連續 計劃課時： 0 時 第16章 多元函數的極限與連續(1 0 時) § 1 平面點集與多元函數 一.平面點集:平面點集的表示: E?{(x,y)|(x,y)滿足的條件}.余集Ec.1.常見平面點集: ⑴ 全平面和半平面 : {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?a}，{(x,y)|y?ax?b}等.⑵ 矩形域: [a,b]?[c,d], {(x,y)|x|?|y|?1}.⑶ 圓域: 開圓 , 閉圓 , 圓環，圓的一部分.極坐標表示, 特別是 {(r,?)|r?2acos?}和{(r,?)|r?2asin?}.⑷ 角域: {(r,?)|?????}.⑸ 簡單域: X?型域和Y?型域.2.鄰域: 圓鄰域和方鄰域，圓鄰域內有方鄰域，方鄰域內有圓鄰域.空心鄰域和實心鄰域 , 空心方鄰域與集 {(x,y)|0?|x?x0|?? , 0?|y?y0|??}的區別.3． 點與點集的關系（集拓撲的基本概念）: （1）內點、外點和界點： 內點：存在U(A)使U(A)?E 集合E的全體內點集表示為intE,.外點：存在U(A)使U(A)?E?? 界點：A的任何鄰域內既有E的點也有不屬于E的點。E的邊界表示為?E 集合的內點?E, 外點?E , 界點不定.例1 確定集E?{(x,y)|0?(x?1)?(y?2)?1 }的內點、外點集和邊界.例2 E?{(x,y)|0?y?D(x), x?[ 0 , 1 ] } , D(x)為Dirichlet函數.確定集E的內點、外點和界點集.（2）(以凝聚程度分為)聚點和孤立點: 聚點：A的任何鄰域內必有屬于E的點。 孤立點：A?E但不是聚點。孤立點必為界點.例3 E?{(x,y)|y?sin }.確定集E的聚點集.解 E的聚點集?E?[ ?1 , 1 ].221x 2 4．區域： （1）(以包含不包含邊界分為)開集和閉集: intE ?E時稱E為開集 , E的聚點集?E時稱E為閉集.intE 存在非開非閉集.（3）有界集與無界集: （4） 點集的直徑d(E)： 兩點的距離?(P1 , P2).（5） 三角不等式： |x1?x2|（或|y1?y2|）?或?(P1,P2)?R2和空集?為既開又閉集.（2）(以連通性分為)開區域、閉區域、區域：以上常見平面點集均為區域.(x1?x2)2?(y1?y2)2? |x1?x2|?|y1?y2|.?(P1,P3)??(P2,P3) 二.R2中的完備性定理: 1． 點列的極限: 設Pn?(xn , yn)?R2, P0?(x0 , y0)?R2.Pn?P0的定義(用鄰域語言) 定義1。 limn?????0,?N,n?NPn?U(P0,?)或?(P0,Pn)?? 例4(xn , yn)?(x0 , y0)?xn?x0, yn?y0,(n??).例5 設P0為點集E的一個聚點.則存在E中的點列{ Pn }, 使limPn?P0.n?? 2．R2中的完備性定理： （1）Cauchy收斂準則: .（2）.閉域套定理:（3）.聚點原理: 列緊性 ，Weierstrass聚點原理.（4）有限復蓋定理: 三．二元函數: 1.二元函數的定義、記法、圖象： 2.定義域： 例6 求定義域： ⅰ> f(x,y)?3.二元函數求值: 例7 例8 9?x2?y2x2?y2?1;ⅱ> f(x,y)?lny.2ln(y?x?1)yf(x,y)?2x?3y2, 求 f(1 , ?1), f(1 ,).xf(x,y)?ln(1?x2?y2), 求f(?cos? , ?sin?).4.三種特殊函數: ⑴ 變量對稱函數: f(x,y)?f(y,x),例8中的函數變量對稱.⑵ 變量分離型函數: f(x,y)??(x)?(y).例如 z?xye2x?3y, z?xy?2x?y?2, f(x,y)?(xy?y)(xy?x)等.(xy)2 4 但函數z?x?y不是變量分離型函數.⑶ 具有奇、偶性的函數 四．n元函數 二元函數 推廣維空間 記作R n 作業 P9—8.§ 2 二元函數的極限 一.二重極限 二重極限亦稱為全面極限 1.二重極限 定義1 設f為定義在D?R上的二元函數，P0為D的一個聚點，A是確定數 若 ???0,???0,或 2P?U0(P0,?)?D,f(P)?A??則limf(P)?A P?P0(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A 例1 用“???”定義驗證極限 (x,y)?(2,1)lim(x2?xy?y2)?7.xy2?0.例2 用“???”定義驗證極限 lim2x?0x?y2y?0例3 ?x2?y2,(x,y)?(0,0),?xyf(x,y)??x2?y2 ?0 ,(x,y)?(0,0).?f(x,y)?0.(用極坐標變換) P94 E2.證明 (x,y)?(0,0)lim2.歸結原則： 定理 1 limf(P)?A, ? 對D的每一個子集E , 只要點P0是E的聚點 , P?P0P?D就有limf(P)?A.P?P0P?E 推論1 設E1?D, P0是E1的聚點.若極限limf(P)不存在 , 則極限limf(P)也不存在.P?P0P?E1P?P0P?D 推論2 設E1,E2?D, P0是E1和E2的聚點.若存在極限limf(P)?A1，P?P0P?E1P?P0P?E2limf(P)?A2, 但A1?A2, 則極限limf(P)不存在.P?P0P?DP?P0P?D 推論3 極限limf(P)存在, ? 對D內任一點列{ Pn }, Pn?P0但Pn?P0, 數列{f(Pn)}收斂.通常為證明極限limf(P)不存在, 可證明沿某個方向的極限不存在 , 或證明沿某兩個方向的極限P?P0不相等, 或證明極限與方向有關.但應注意 , 沿任何方向的極限存在且相等 ?? 全面極限存在 例4 ?xy ,(x,y)?(0,0),? 證明極限limf(x,y)不存在.f(x,y)??x2?y2(x,y)?(0,0)?0 ,(x,y)?(0,0).?6 例二重極限具有與一元函數極限類似的運算性質.例6 求下列極限: ⅰ> (x,y)?(0,0)limsinxyx2ylim;ⅱ>;(x,y)?(3,0)yx2?y2 ⅲ> 3．極限(x,y)?(0,0)limxy?1?1ln(1?x2?y2);ⅳ> lim.22(x,y)?(0,0)xyx?y(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)???的定義: 2定義2．設f為定義在D?R上的二元函數，P0為D的一個聚點，若 ?M?0,???0,或 P?U0(P0,?)?D,f(P)?M則limf(P)??? P?P0(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)??? 其他類型的非正常極限，(x,y)?無窮遠點的情況.例7 驗證(x,y)?(0,0)lim1???.222x?3y二.累次極限 二次極限 1.累次極限的定義: 定義3．設Ex,Ey?R,x0,y0分別是Ex,Ey的聚點，二元函數f在集合Ex?Ey上有定義。若對每一個y?Eyy?y0存在極限limf(x,y) 記作?(y)?limf(x,y) x?x0x?Ex?x0x?E若L?lim?(y)存在，則稱此極限為二元函數f先對x后對y的累次極限 y?y0y?Ey記作L?limlim?(y) 簡記L?limlim?(y) y?y0x?x0y?Eyx?Exy?y0x?x0例8 f(x,y)?xy, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限.x2?y2 7 例9 x2?y2, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限.f(x,y)?22x?y11?ysin, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限.yx例10 f(x,y)?xsin2.二重極限與累次極限的關系: ⑴ 兩個累次極限存在時, 可以不相等.(例9)⑵ 兩個累次極限中的一個存在時, 另一個可以不存在.例如函數f(x,y)?xsin1在點(0 , 0)的情況.y ⑶ 二重極限存在時, 兩個累次極限可以不存在.例如例10中的函數, 由 , y)?(0,0).可見全面極限存在 , 但兩個累次極限均不存在.|f(x,y)| ? |x|?|y|?0 ,(x ⑷ 兩個累次極限存在(甚至相等)?? 二重極限存在.(參閱例4和例8).綜上 , 二重極限、兩個累次極限三者的存在性彼此沒有關系.但有以下確定關系.定理2 若二重極限 推論1 二重極限和兩個累次極限三者都存在時 , 三者相等.推論1給出了累次極限次序可換的一個充分條件.推論2 兩個累次極限存在但不相等時 , 二重極限不存在.但兩個累次極限中一個存在 , 另一個不存在 ?? 二重極限不存在.參閱⑵的例.(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在 , 則必相等.x?x0y?y0 作業提示: P99 1、2、4 § 3 二元函數的連續性(4 時) 一． 二元函數的連續（相對連續）概念：由一元函數連續概念引入.1.連續的定義: 定義 用鄰域語言定義相對連續.全面連續.函數f(x,y)有定義的孤立點必為連續點.例1 ?xy22 , x?y?0 ,22??x?y f(x,y)???m , x2?y2?0.??1?m2證明函數f(x,y)在點(0 , 0)沿方向y?mx連續.?1 , 0?y?x2, ???x??? ,例2 f(x,y)?? ([1]P124 E4)0 , 其他.?證明函數f(x,y)在點(0 , 0)沿任何方向都連續 , 但并不全面連續.函數的增量: 全增量、偏增量.用增量定義連續性.函數在區域上的連續性.2.二元連續(即全面連續)和單元連續 : 定義 (單元連續) 二元連續與單元連續的關系: 參閱[1]P132 圖16—9.3.連續函數的性質: 運算性質、局部有界性、局部保號性、復合函數連續性.僅證復合函數連續性.二.二元初等函數及其連續性: 二元初等函數 , 二元初等函數的連續性.三.一致連續性: 定義.四.有界閉區域上連續函數的性質: 1.有界性與最值性.(證) 2.一致連續性.(證) 3.介值性與零點定理.(證) Ex [1]P136—137 1 ⑴—⑸，2，4，5； P137—138 1，4.10 多元函數的極限 1.求下列極限： x2y111)lim(4x?3y)； 2）lim(x?y)sinsin； 3）lim2.2x?0x?2x?0x?yxyy?0y?1y?02 2.證明：若f(x，y)? x?y，(x?y?0)，求 lim?limf(x，y)?與lim?limf(x，y)?.?x?0???y?0?y?0?x?0x?yx4y43.設函數f(x，y)?4，證明：當點(x，y)沿通過原點的任意直線(y?mx)趨于（0,0）時，函數f(x，y)23(x?y)存在極限，且極限相等.但是，此函數在原點不存在極限.x2?y22D?(x，y)y?x4.若將函數f(x，y)?2限制在區域，則函數f(x，y)在原點（0，0）存在極限.2x?y?? 5.求下列極限： 1）lim 3）lim(x?y)In(x?y)； 4）limx?0y?022x?ysinxy； 2）； limx?1x2?xy?y2x?0xy?2y?4(1?4x2)(1?6y2)?12x2?3y2x?0y?0. 一、多元函數、極限與連續 ㈠二元函數 ．二元函數的定義：設 D 是平面上的一個點集，如果對于每個點 P（x，y）∈ D，變量 按照 一定法則總有確定的值與它對應，則稱 是變量 x、y 的二元函數（或點 P 的函數），記為 （或），點集 D 為該函數的定義域，x、y 為自 為該函數值域。由此變量，為因變量，數集也可定義三元函數以及三元以上的函數。二元函數的圖形通常是一張曲面。例如 面。 ㈡二元函數的極限 ⒈設函數 f（x,y）在開區域（或閉區域）D 內有定義，是 D 的內點或邊界點，如果對于任意給定的正數，總存在正數，使得對于適合不等式，都有 的一切點 是球心在原點，半徑為 1 的上半球 成立，則稱常數 A 為函數f（x,y）當 或 , 這里 時的極限，記作 。為了區別一元函數的極限，我們把二元函數的極限叫做二重極限。⒉注意：二重極限存在是指 都無限接近A。因此，如果條定直線或定曲線趨于 沿任意路徑趨于，函數 沿某一特殊路徑，例如沿著一時，即使函數無限接近于某一確定值，我們也不能由此判定函數的極限存在。 ㈢多元函數的連續性 ．定義：設函數 f（x，y）在開區間（或閉區間）D 內有定義，是 D 的內點或邊界點且 。如果 連續。如果函，則稱函數 f（x，y）在點 數 f（x，y）在開區間（或閉區間）D 內的每一點連續，那么就稱函數 f（x，y）在 D 內連續，或者稱 f（x，y）是 D 內的連續函數。2 ．性質 ⑴一切多元初等函數在其定義域內是連續的； ⑵在有界閉區域 D 上的多元連續函數，在 D 上一定有最大值和最小值； ⑶在有界閉區域 D 上的多元連續函數，如果在 D 上取兩個不同的函數值，則它在 D 上取得介于這兩 個值之間的任何值至少一次； ⑷在有界閉區域 D 上的多元連續函數必定在 D 上一致連續。 二、偏導數和全微分 ㈠偏導數 ⒈偏導數定義：設函數 在點 的某一鄰域內有定義，時，相應地函數有增量 存在，則稱此極限為 處對 的偏導數，記作，當 固定 在而 在處有增量，如果函數 或 類似，函數 在點 在點 處對 的偏導數定義為，記作 際中求，或。在實的偏導數，并不需要用新的方法，因為這里只有一個自變量在變動，另一個自變量是看作固定的，所以求 時只要將暫時看作常量而對 求導數；求 時，則只要將 暫時看作常量而對 求導數。偏導數可以推廣到二元以上的函數 注意：對于一元函數來說 可以看作函數的微分 分 之商，而偏導數的記 與自變量微號是一個整體符號，不能看作分母與分子之商。⒉偏導數的幾何意義：設 過 做平面，截此曲面得一曲線，此曲線在平面，則導數 上的方程為 為曲面 上的一點，即偏導數 對 軸的 斜率。同樣，偏導數 截得的曲線在點 的切線 處，就是這曲線在點 處的切線 的幾何意義是曲面被平面 所對 軸的斜率。 在區域 D 內具有偏導數，都是，⒊高階偏導數：設函數，那么在 D 內 的函數，如果這兩個函數的偏導數也存在，則稱它們是函數 的二階偏導數。按照對變量求導次序的不同有以下四個二階偏導數： ,。二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數。 定理：如果函數 的兩個二階混合偏導數 及 在區域 D 內連續，那么在該區域內這兩個二階混合偏導數必相等。（即二階混合偏導數在連續的條件下與求導的次序無關。）㈡全微分 ⒈全微分定義：如果函數 可表示為 賴于、而僅與、有關，在點 可微分，而 稱 在點 的全增量，其中 A、B 不依，則稱函數 為函數 在點 的全微分，記作，即。如果函數在區域 D 內各點都可微分，那么稱這函數在 D 內可微分。定理 1（必要條件）：如果函數 函數在點 的偏導數 在點 的全微分為 在點 可微分，則該必定存在，且函數 。定理2（充分條件）：如果函數續，則函數在該點可微分。的偏導數 在點 連以上關于二元函數全微分的定義及可微分的必要條件和充分條件，可以完全類似地推廣到三元和三元以上的多元函數。習慣上將自變量的增量、分別記作、；并分別稱為自變量的微分，則函數 的全微分可表示為 分等于它的兩個偏微分之和 這件事稱為二元函數的微分符合疊加原理。疊加原理也適用于二元以上的函數的情形。 三、多元復合函數的求導法則 ㈠復合函數的全導數：如果函數 函數 在對應點 在點 可導，且 及 都在點 可導。通常將二元函數的全微具有連續偏導數，則復合函數 其導數可用下列公式計算：。此定理可推廣到中間變量多余兩個的情況，例如，，則，其中 稱為全導數。上述定理還可推廣 到中間變量不是一元函數而是多元函數的情形。㈡復合函數的偏導數 : 設 則 是 可微，函數，對，并且，的復合函數。如果 的偏導數存在，則 復合函數 對 的偏導數存在，且 ㈢全微分形式的不變性 : 設函數 則有全微分 果、又是，如 的函數、具有連續偏導數，且這兩個函數也具有連續偏導數，則復合 函數 的全微分為 由此可見，無論 是自變量、的函數或中間變量、的函數，它的全微分形式是一樣的，這個性質叫做全微分形式不變性。 四、隱函數的求導公式 ㈠、一個方程的情形 隱函數存在定理 1 ：設函數 有連續的偏導數，且，內恒能 唯一確定一個單值連續且具有連續偏導數的函數，它滿，則方程 在點 的某一鄰域 在點 的某一鄰域內具 足條件，并有 隱函數存在定理 2 ：設函數 具有連續的偏導數，且，一鄰域 內恒能唯一確定一個單值連續且具有連續偏導數的函數，它滿足條件，則方程 在點 的某 在點 的某一鄰域內，并有 ㈡、方程組的情況 隱函數存在定理 3 ：設 某一鄰域內、在點 的具有對各個變量的連續偏導數，又，且，偏導數所組成的函數行列式（或稱雅可比（Jacobi）行列式）： 在點 點 不等于零，則方程組，在的某一鄰域內恒能唯一確定一組單值連續且具有連續偏導數的函數，它們滿足條件，并有，，五、方向導數、梯度 ㈠、方向導數 1、定義：設函數 在點 的某一鄰域 內有定義，自點 P 引射線。設軸正向到射線 的轉角為 , 并設 為 上的另一點，且 。我們考慮函數的增量 的比 與 和 兩點間的距離 值。當 沿著 趨于 時，如果這個比的極限存在，則稱這極限為函數 在點沿著方向的方向導數，記作，即。、定理：如果函數 在點 是可微分的，那么函數，在該點沿任一方向 的方向導數都存在，且有 其中 為 x 軸到方向 的轉角。上述定義也可推廣到三元函數 著方向（設方向 的方向角為，其中，它在空間一點 沿）的方向導數可以定義為，如果函數在所考慮的點處可微，則函數在該點沿著方向 的方向導數為 ㈡、梯度、定義(二元函數的情形)：設函數 內具有一階連續偏導數，則對于每一點量，這個向量稱為函數，即，在點 在平面區域 D，都可定出一個向的梯度，記作，由梯度的定義可知，梯度的模為： 當 不為零時，x 軸到梯度的轉角的正切為 2、與方向導數的關系：如果設 是與方向 同方向的單位向量，則由方向導數的計算公式可知： 由此可知，就是梯度在 上的投影，當方向 與梯度的方向一致時，有，從而 有最大值。所以沿梯度方向的方向導數達最大值，也就是說，梯度的方向是函數 在該點增長最快的方向，因此，函數在某點的梯度的方向與取得最大方向導數的方向一致，而它的模為方向導數的最大值。※上述所講的梯度的概念也可推廣到三元函數的情況。設函數 續偏導數，則對于每一點，這個向量稱為函數 六、多元函數的泰勒公式、極值和幾何應用 ㈠、二元函數的泰勒公式 定理：設 的連續偏導數，在點 的某一鄰域內連續且有直到 階 在空間區域 G 內具有一階連，都可定出一個向量 在點 的梯度，即 為此鄰域內任一點，則有 一般地，記號 表示 設，則上式可表示為 ⑴，公式⑴稱為二元函數 在點的n階泰勒公式，而的表達式為拉格朗日型余項。在泰勒公式⑴中，如果取 公式，則⑴式成為 n 階麥克勞林 ㈡、多元函數的極值 定理 1（必要條件）：設函數 數，且在點 在點（,）具有偏導(,)處有極值，則它在該點的偏導數必然為零： 定理 2（充分條件）: 設函數 內連續且 有一階及二階連續偏導數，又)=A,(,)=B,(,)=C, 則 f(x,y)在（,）處是否取得極值的條件如下：，令 (,，在點（,）的某鄰域⑴ AC->0 時具有極值，且當 A<0 時有極大值，當 A>0 時有極小值； ⑵ AC-<0 時沒有極值； ⑶ AC-=0 時可能有極值，也可能沒有極值，還需另作討論。㈢、幾何應用、空間曲線的切線和法平面： ⑴設空間曲線 的參數方程為 在曲線上取相應于 的一點，這里假設 解析幾何中有，假設三個函數都可導，則曲線在點 M 處的切線方程為 均不為零。如果有個別為零，則應按空間關直線的對稱式方程來理解。切線的方向向量成為曲線的切向量。向量 就是曲線 在點 M 處的一個切向量。 ⑵通過點 M 而與切線垂直的平面稱為曲線 在點 M 處的法平面，它是通過點 而與 T 為法向量的平面，因此方程為。 ⑶若空間曲線 的方程以 為： 的形式給出 , 則切線方程，其中分母中帶下標 0 的行列式表示 行列式在點 的值；曲線在點 處的法平面方程為 的值；曲線在點 處的法平面方程為、曲面的切平面和法線 ⑴若曲面方程為 M 處的 切平面的方程為： ；，是曲面上一點，則曲面在點 法線方程為： ⑵若曲面方程為，則切平面方程為 或 ；而法線方程為 多元函數的極限與連續習題 1.用極限定義證明:lim(3x?2y)?14。x?2y?1 2.討論下列函數在（0,0）處的兩個累次極限，并討論在該點處的二重極限的存在性。 （1）f(x,y)?x?y； x?y (2)f(x,y)?(x?y)sisi； 1 x1y x3?y3 (3)f(x,y)?2； x?y 1(4)f(x,y)?ysi。x 3.求極限（1）lim(x?y)x?0y?022x2y2； （2）limx2?y2 ?x?y?122x?0y?0； （3）lim(x?y)sinx?0y?01； 22x?y sin(x2?y2)（4）lim。22x?0x?yy?0 ln(1?xy)??4.試證明函數f(x,y)??x?y? x?0x?0在其定義域上是連續的。 1.用極限定義證明:lim(3x?2y)?14。 x?2y?1 因為x?2,y?1，不妨設|x?2|?0,|y?1|?0，有|x?2|?|x?2?4|?|x?2|?4?5，|3x?2y?14|?|3x?12?2y?2| ?3|x?2||x?2|?2|y?1|?15|x?2|?2|y?1|?15[|x?2|?|y?1|] ???0，要使不等式 |3x?2y?14|?15[|x?2|?|y?1|]??成立 取??min{ ? 30,1}，于是 ???0，???min{ ? 30,1}?0，?(x,y)：|x?2|??,|y?1|?? 且(x,y)?(2,1)，有|3x?2y?14|??，即證。 2.討論下列函數在（0,0）處的兩個累次極限，并討論在該點處的二重極限的存在性。（1）f(x,y)? x?y ； x?y x?yx?y limli??1，limlim?1 y?0x?0x?yx?0y?0x?y 二重極限不存在。 x?yx?y1 或lim?0，li??。 x?0x?yx?0x?y3 y?x y?2x (2)f(x,y)?(x?y)sin 11sin； xy 0?|(x?y)sinsin|?|x|?|y| xy 可以證明lim(|x|?|y|)?0所以limf(x,y)?0。 x?0y?0 x?0y?0 當x? 111，y?0時，f(x,y)?(x?y)sinsin極限不存在，k?xy 因此limlim(x?y)sisi不存在，x?0y?0xy lim(x?y)sisi不存在。同理lim y?0x?0 x1y x3?y3 (3)f(x,y)?2； x?y 2x3 limf(x,y)?lim?0，x?0x?0x?x y?x 當 P(x, y)沿著y??x?x趨于（0,0）時有 y??x?x x3?(x3?x2)3limf(x,y)?li2?1，x?0x?0x?x3?x223 x?0y?0 所以 limf(x,y)不存在； limlimf(x,y)?0，limlimf(x,y)?0。 x?0y?0 y?0x?0 (4)f(x,y)?ysinx 0?|ysin|?|y| x ∴limf(x,y)?0，x?0y?0 limlimysi?0，limlimysi不存在。x?0y?0y?0x?0xx 3.求極限（1）lim(x?y) x?0 y?0 2x2y2； (x2?y2)2 0?|xyln(x?y)|?|ln(x2?y2)|，22 (x2?y2)2t ln(x2?y2)?limlnt?0，又 lim x?0t?0?44 y?0 ∴lim(x?y) x?0 y?0 2x2y2 ?e limx2y2ln(x2?y2)(x,y)?(0,0) ?1。 （2）lim x2?y2?x?y?1 x?0y?0； (x2?y2)(?x2?y2?1)?lim?2。lim2222x?0?01?x?y?1?x?y?1x y?0y?0 x2?y2 （3）lim(x?y)sin x?0y?0 ；22 x?y |?|x?y|，|(x?y)sin2 x?y 而lim(x?y)?0 x?0 y?0 故lim(x?y)si2?0。2x?0x?yy?0 sin(x2?y2) （4）lim。22x?0x?yy?0 令x?rcos?，y?rsin?，(x,y)?(0,0)時，r?0，sin(x2?y2)sinr2 lim?lim2?1。22x?0r?0rx?yy?0 ln(1?xy)?? 4.試證明函數f(x,y)??x ?y? x?0x?0 在其定義域上是連續的。 證明：顯然f(x, y)的定義域是xy>-1.當x?0時，f(x, y)是連續的，只需證明其作為二元函數在y軸的每一點上連續。以下分兩種情況討論。（1）在原點（0,0）處 f(0, 0)=0,當x?0時 0ln(1?xy)??1f(x,y)??? xyx??yln(1?xy) 由于limln1(?xy) x?0 y?0 1xy y?0,y?0 ?1 1xy 不妨設|ln1(?xy)從而???0，取?? xy ?1|?1，|ln1(?xy)|?2，當0?|x|??,0?|y|??時，? ln(1?xy) ?0|?|yln(1?xy)xy|| x ?|y||ln(1?xy)|?2|y|??，于是，無論x?0,x?0，當|x|??,|y|??時，都有limf(x,y)?0?f(0,0) x?0y?0 1xy （2）在(0,)處。（?0) xy 當x?0時，|f(x,y)?f(0,)|?|yln(1?xy) 1xy ?| 1(?xy)?|y(ln?1)?(y?)| ?1|?|y?| ?|y||ln(1?xy) xy 當x=0時,|f(x,y)?f(0,)|?|y?|,1xy 注意到，當?0時limln1(?xy) x?0 y??1，于是，無論x?0,x?0，當?0時lim|f(x,y)?f(0,)|?0，x?0y?即 f(x, y)在在(0,)處連續，綜上，f(x, y)在其定義域上連續。第二篇：多元函數的極限與連續
第三篇：多元函數的極限與連續
第四篇：一、多元函數、極限與連續解讀
第五篇：多元函數的極限與連續習題
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