第一篇：高等數學第一章 函數、極限與連續

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高等數學

教學備課系統

與《高等數學多媒體教學系統（經濟類）》配套使用

教師姓名：________________________

教學班級：________________________

2004年9月1至2005年1月10

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第一章

函數、極限與連續

第一節 函數概念

1、內容分布圖示

★ 集合的概念

★ 集合的運算

★ 區間

★ 例

1★ 鄰域

★ 例2

★ 常量與變量

★ 函數概念

★ 例

3★ 例

4★ 例★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 分段函數舉例

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11

★ 函數關系的建立

★ 例 12

★ 例 13

★ 例 14

★ 函數特性

★ 內容小結

★ 課堂練習

★習題1-1

★ 返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

例1解下列不等式,并將其解用區間表示.(1)|2x?1|?3;(2)|3x?2|?3;(3)0?(x?1)2?9.講解注意：

例2將點12的鄰域表示為不帶絕對值的不等式.33

講解注意：

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例3函數y?2.講解注意：

例4絕對值函數y?|x|??x,x?0??x,x?0?

講解注意：

例5下面是幾個常見的表格.(1)2002年2月21日國務院公布的利率表.如表1.1.1.表1.1.1時間年利率(%)3個月6個月1年1.711.891.982年2.253年2.525年2.79(2)國民生產總值統計表《中國統計年鑒((2001)》).如表1.1.2.表1.1.2年份生產總值(億元)******.966850.573142.776967.280579.488189.6

講解注意：

例6下面是幾個常見的圖形.(1)兩位患者的心電圖.見圖1.1.1.圖1.1.1(2)1995?2000年天津市人才市場狀況圖《天津年鑒((2001)》).見圖1.1.2.高等數學教學備課系統

人數(人)55 00044 00033 00022 00011 00001995達成意向人次進場人次***92000年份圖1.1.2

講解注意：

例7下面是幾個常見的公式.(1)自由落體運動的距離公式:12gt,g為常數2(2)成本函數(costfunctiong):C(x)?C0?C1(x),其中C0為S?固定成本;C1(x)為可變成本;x為生產量.講解注意：

例8判斷下面函數是否相同,并說明理由,畫圖表示.(1)y?x2與y?|x|;(2)y?1與y?sin2x?cos2x(3)y?2x?1與x?2y?1.講解注意：

例9求函數y ?講解注意：

121?x ?x?2的定義域.例10設f(x)??講解注意：

?1,0?x?1??2,1?x?2,求函數f(x?3)的定義域.高等數學教學備課系統

例11求函數f(x)?講解注意：

lg(3?x)sinx?5?4x?x2的定義域.例12把一半徑為R的圓形鐵片,自中心處剪去圓心角為?的扇形后,圍成一無底圓錐,試將圓錐的體積V表為?的函數.講解注意：

例13某工廠生產某型號車床,年產量為a臺,分若干批進行生產,每批生產準備費為b元,設產品均勻投入市場,且上一批用完后立即生產下一批,即平均庫存量為批量的一半.設每年每臺庫存費為c元.顯然,生產批量大則庫存費高;生產批量少則批數增多,因而生產準備費高.為了選擇最優批量,試求出一年中庫存費與生產準備費的和與批量的函數關系.講解注意：

例14某運輸公司規定貨物的噸公里運價為:在a公里以內,每公里k元,超過部分每公里為數關系.講解注意：

例15證明(1)函數y?(2)函數y?xx2?1在(??,??)上是有界的;4k元.求運價m和里程s之間的函5

1在(0,1)上是無界的.x2

講解注意：

例16證明函數y?講解注意：

x在(?1,??)內是單調增加的函數.1?x

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例17判斷下列函數的奇偶性.(1)f(x)?ex?1ex?1ln1?x1?x?1?x?1;(2)f(x)?(2?3)x?(2?3)x;(3)f(x)?lg(x?1?x2);(4)f(x)?(x2?x)sinx.講解注意：

例18設f(x)滿足af(x)?bf|a|?|b|,證明f(x)是奇函數.c?,其中a,b,c為常數,且(1)xx

講解注意：

?1,x?Q7,求D?,D(1?例19設D(x)??5?0,x?Q()2).并討論D(D(x))的性質.講解注意：

例20若f(x)對其定義域上的一切x,恒有f(x)?f(2a?x),則稱f(x)對稱于x?a.證明:若f(x)對稱于x?a及x?b(a?b),則f(x)是以T?2(b?a)為周期的周期函數.講解注意：

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第二節 初等函數

1、內容分布圖示

★ 反函數

★ 例★ 例2 ★ 復合函數

★ 例★ 例4

★ 例★ 例6

★ 例7

★ 冪函數、指數函數與對數函數

★ 三角函數

★ 反三角函數

★ 初等函數

★ 函數圖形的迭加與變換

★ 內容小結

★ 課堂練習

★習題1-2

★ 返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

例1求函數y?1?1?1?4x1?4x的反函數.講解注意：

例2已知?1,x?0?sgnx??0,x?0,sgnx為符號函數,??1,x?0?求y?(1?x2)sgnx的反函數.講解注意：

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例3將下列函數分解成基本初等函數的復合.(1)y?lnsin2x;(2)y?earctanx2;(3)y?cos2ln(2?1?x2).講解注意：

例4設f(x)?x?1,?(x)?x2,求f[?(x)]及?[f(x)],并求它們的定義域.講解注意：

例5設求f[?(x)].f(x)??e??xx,x?1,x?1,??x?2,(x)??2?x?1,x?0x?0，講解注意：

例6設fx?講解注意：

(11?x2?2,求f(x).xx)

例7設f(x)?ln(3?x)?的定義域(a?0).149?x2,求g(x)?f(x?a)?f(x?a)

講解注意：

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第三節 經濟學中的常用函數

1、內容分布圖示

★ 單利與復利

★ 例1

★ 多次付息

★ 貼現

★ 例2 ★ 需求函數

★ 供給函數

★ 市場均衡

★ 例

3★ 例4 ★ 成本函數

★ 例5

★ 收入函數與利潤函數

★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 內容小結

★ 課堂練習

★習題1-3

★ 返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

例1現有初始本金100元,若銀行年儲蓄利率為7%,問：(1)按單利計算,3年末的本利和為多少?(2)按復利計算,3年末的本利和為多少?(3)按復利計算,需多少年能使本利和超過初始本金的一倍?

講解注意：

例2某人手中有三張票據,其中一年后到期的票據金額是500元,二年后到期的是800元,五年后到期的是2000元,已知銀行的貼現率6%,現在將三張票據向銀行做一次性轉讓,銀行的貼現金額是多少?

講解注意：

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例3某種商品的供給函數和需求函數分別為qd?25P?10,qs?200?5P求該商品的市場均衡價格和市場均衡數量.講解注意：

例4某批發商每次以160元/臺的價格將500臺電扇批發給零售售商,在這個基礎上零售商每次多進100臺電扇,則批發價相應降低2元,批發商最大批發量為每次1000臺,試將電扇批發價格表示為批發量的函數,并求出零售商每次進800臺電扇時的批發價格.講解注意：

例5某工廠生產某產品,每日最多生產200單位.它的日固定成本為150元,生產一個單位產品的可變成本為16元.求該廠日總成本函數及平均成本函數.講解注意：

例6某工廠生產某產品年產量為q臺,每臺售價500元,當年產量超過800臺時,超過部分只能按9折出售.這樣可多售出200臺,如果再多生產.本年就銷售不出去了.試寫出本年的收益(入)函數.講解注意：

例7已知某廠生產單位產品時,可變成本為15元,每天的固定成本為2000元,如這種產品出廠價為20元,求(1)利潤函數;(2)若不虧本,該廠每天至少生產多少單位這種產品.講解注意：

例8某電器廠生產一種新產品,在定價時不單是根據生產成本而定,還要請各銷售單位來出價,即他們愿意以什么價格來購買.根據調查得出需求函數為x??900P?45000.該廠生產該產品的固定成本是270000元,而單位產品的變動成本為10元.為獲得最大利潤,出廠價格應為多少?

講解注意：

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例9已知某商品的成本函數與收入函數分別是C?12?3x?x2R?11x試求該商品的盈虧平衡點,并說明盈虧情況.講解注意：

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第四節 數列的極限

1、內容分布圖示

★ 極限概念的引入

★ 數列的意義 ★ 數列的極限

★ 例1

★ 例

2★ 例

3★ 例

4★ 例

5★ 例6 ★ 收斂數列的有界性

★ 極限的唯一性

★ 例7

★ 收斂數列的保號性

★ 子數列的收斂性

★ 內容小結

★習題1-4

★ 返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

例1證明limn?(?1)n?1n?1.n??

講解注意：

例2證明limqn?0,其中q?1.n??

講解注意：

例3用數列極限定義證明5?2n2??.n??1?3n3lim

講解注意：

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n2?2?1.例4用數列極限定義證明lim2n??n?n?1

講解注意：

例5設xn?0,且limxn?a?0,求證limn??n??xn?a.講解注意：

例6證明:若limxn?A,則存在正整數N,當n?N時,不等式n??|xn|?|A|2成立.講解注意：

例7證明數列xn?(?1)n?1是發散的.講解注意：

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第五節 函數的極限

1、內容分布圖示

★ 自變量趨向無窮大時函數的極限

★ 例★ 例★ 例3 ★ 自變量趨向有限值時函數的極限

★ 例★ 例5

★ 左右極限

★ 例6

★ 例7 ★ 函數極限的性質

★ 子序列收斂性 ★ 函數極限與數列極限的關系

★ 內容小結

★ 課堂練習

★習題1-5

★ 返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

例1證明lim講解注意：

sinx?0.x??x

例2用函數極限的??X定義證明limx??x?2?1.x?1

講解注意：

例3(1)lim12xx????0;(2)lim2x?0.x???

講解注意：

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例4證明limx2?1?2.x?1x?1

講解注意：

例5證明:當x0?0時,lim講解注意：

x?x0x?x0.例6設f(x)??講解注意：

例7驗證lim?1?x,x?0?1,x?0?x2,求limf(x).x?0

x?0x不存在.x

講解注意：

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第六節 無窮大與無窮小

1、內容分布圖示

★ 無窮小

★ 無窮小與函數極限的關系

★ 例1 ★ 無窮小的運算性質

★ 例2 ★ 無窮大

★ 無窮大與無界變量

★ 無窮小與無窮大的關系

★ 例3

★ 內容小結

★習題1-6

★ 返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

1例1根據定義證明:y?x2sinx當x?0時為無窮小.講解注意：

例2求lim講解注意：

x??sinx.x

x4.例3求lim3x??x?5講解注意：

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第七節 極限運算法則

1、內容分布圖示

★ 極限運算法則

★ 例1

★ 例2 –3

★ 例★ 例★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11 ★ 復合函數的極限運算法則

★ 例 12

★ 例 13

★ 內容小結

★ 課堂練習

★習題1-7

★ 返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

例1求x3?1xlim?2x2?3x?5.講解注意：

例2求lim4x?1x2?2x?3.x?1

講解注意：

例3求limx2?1.x?1x2?2x?3

講解注意：

★ 例 14

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例4求lim講解注意：

2x3?3x2?57x3?4x2?1x??.例5求lim講解注意：

x??12n?????222nnn

例6計算下列極限:x?1lim(1?x)(1?x)(1?x)(1?x)334.講解注意：

例7計算下列極限:?12?lim???.x?1?1?x21?x?

講解注意：

例8計算下列極限:3x??lim8x3?6x2?5x?1.3x?2

講解注意：

例9計算下列極限:x???lim(sinx?1?sinx).講解注意：

例10求lim(x2?x?x2?x).x??8

講解注意：

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例11計算下列極限:3(1)limn??n2sinn!;n?1(2)x?0limtanx12?ex.講解注意：

例12已知?x?1,?f(x)??x2?3x?1,??x3?1x???x?0x?0求limf(x),limf(x),limf(x).x?0x???

講解注意：

例13求極限limlnx?1[x2?1.2(x?1)]

講解注意：

例14已知lim(5x?ax2?bx?c)?2,求a,b之值.x???

講解注意：

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第八節 極限存在準則

兩個重要極限

1、內容分布圖示

★夾逼準則★例1★例2★單調有界準則★例4★limsinx?1x?0x★例6★例7★例9★例10 x★xlim??(1?1x)?e★例12 ★例13 ★例15 ★例16 ★例17 柯西極限存在準則★連續復制★內容小結★課堂練習★習題1-8★返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

例1求nlim1??n2?1?1n2?2???1n2?n?

講解注意：

例2計算下列極限:(1)lim(1nn???2?3n1)n;(2)1nlim??n2?1(n?1)2???1(n?n)2?

講解注意：

★例3★例5★例8★例11★例14★例18

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例3證明下列極限:n?0(a?1);n??anan(2)lim?0(a?0);n??n!n!(3)limn?0.n??n(1)lim

講解注意：

例4證明數列xn?3?3???3(n重根式)的極限存在.講解注意：

例5設a?0為常數,數列xn由下式定義:xn?1axn?1?xn?12n??

(n?1,2,??)其中x0為大于零的常數,求limxn.講解注意：

例6求lim講解注意：

tan3x.x?0sin5x

例7求lim講解注意：

x?01?cosx.x2

例8下列運算過程是否正確:x??limxtanxtanxxtanx?lim??limlim?1.sinxx??xsinxx??xx??sinx

講解注意：

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例9計算lim講解注意：

cosx?cos3x.2x?0x

例10計算lim講解注意：

x21?xsinx?cosxx?0.例11計算lim講解注意：

x?02?tanx?2?sinx.x3

1例12求lim1?xx??講解注意：

().x

例13計算下列極限:limx?01x(1?2x);

講解注意：

例14求lim1?n??(1n)n?3.講解注意：

例15求lim講解注意：

x??(x2x2?1)x.例16計算limxx??0cosx.高等數學教學備課系統

講解注意：

例17計算lim(e?x?0x1xx).講解注意：

tan2x.例18求極限lim(tanx)x??4

講解注意：

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第九節 無窮小的比較

1、內容分布圖示

★ 無窮小的比較

★ 例1-2

★ 例3 ★ 常用等價無窮小

★ 等價無窮小替換定理

★ 例★ 例★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11

★ 內容小結

★ 課堂練習

★習題1-9 ★ 返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

例1證明:當x?0時,4xtan3x為x的四階無窮小.講解注意：

例2當x?0時,求tanx?sinx關于x的階數.講解注意：

例3當x?1時,試將下列各量與無窮小量x?1進行比較:(1)x3?3x?2;(2)lgx;(3)(x?1)?sin1.x?1

講解注意：

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例4求limx?0tan2x.sin5x

講解注意：

例5求limtanx?sinx.sin32xx?0

講解注意：

(1?x2)1/3?1.例6求limx?0cosx?1

講解注意：

例7計算lim1?tanx?1?tanx1?2x?1.x?0

講解注意：

ex?excosx.例8計算limx?0xln(1?x2)講解注意：

例9計算lim講解注意：

x?02?1?cosx.sin2x

例10求lim講解注意：

x?0ln(1?x?x2)?ln(1?x?x2).secx?cosx

例11求limx?0tan5x?cosx?1.sin3x

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講解注意：

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第十節 函數的連續性與間斷點

1、內容分布圖示

★ 函數的連續性

★ 例

1★ 例2 ★ 左右連續

★ 例3

★ 例

4★ 例5 ★ 連續函數與連續區間

★ 例6

★ 函數的間斷點

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11

★ 例 12

★ 內容小結

★ 課堂練習

★習題1-10

★ 返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

?xsin1,x?0,?x例1試證函數f(x)??在x?0處連續.?x?0,?0，講解注意：

例2f(x)是定義于[a,b]上的單調增加函數,x0?(a,b),若x?x0limf(x)存在,證明f(x)在x0連續.講解注意：

?x?2,x?0,()fx3?例討論在x?0處的連續性.??x?2,x?0，高等數學教學備課系統

講解注意：

?1?x,x?0?2?x?0在x?0和x?1處的連例4討論函數f(x)??0,?1?x2,0?x?1?x?1?4?x,續性.講解注意：

?x4?ax?b,x?1,x??2,?例5設f(x)??(x?1)(x?2)為使f(x)在x?1?x?1,?2,處連續,a與b應如何取值?

講解注意：

例6證明函數y?sinx在區間(??,??)內連續.講解注意：

例7討論函數f(x)????x,x?0,?1?x,x?0,在x?0處的連續性.講解注意：

例8討論函數?2x,0?x?1?f(x)??1,x?1?x?1?1?x,在x?1處的連續性.講解注意：

?1,x?0,?x例9討論函數f(x)??在x?0處的連續性.,0,xx??

講解注意：

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例10求下列函數的間斷點,并判斷其類型.若為可去間斷點,試補充或修改定義后使其為連續點.?x2?x?|x|(x2?1),f(x)???0,?x??1及0x??1

講解注意：

?x?sin1,x?0,?x例11研究f(x)??在x?0的連續性.?ex??,x?0,?

講解注意：

x?x2e?nx例12討論f(x)?lim的連續性.n??1?e?nx

講解注意：

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第十一節 連續函數的運算與性質

1、內容分布圖示

★ 連續函數的算術運算

★ 復合函數的連續性

★ 例1★ 初等函數的連續性

★ 例

3★ 例★ 例4

閉區間上連續函數的性質 ★ 最大最小值定理與有界性定理

★ 零點定理與介值定理

★ 例5

★ 例6

★ 例7

★ 內容小結

★ 課堂練習★習題1-11 ★ 返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

例1求nlim??cos(x?1?x).講解注意：

例2求limln(1?x)x?0x.講解注意：

例3求limx?1sinex?1.講解注意：

★ 例8

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例4求lim(x?2ex?01xx?1).講解注意：

例5證明方程x3?4x2?1?0在區間(0,1)內至少有一個根.講解注意：

例6證明方程內的兩個實根.111???0有分別包含于(1,2),(2,3)x?1x?2x?3

講解注意：

例7設函數f(x)在區間[a,b]上連續,且f(a)?a,f(b)?b證明:???(a,b),使得f(?)??.講解注意：

例8設f(x)在[a,??)上連續,f(a)?0,且limf(x)?A?0,x???證明:在(a,??)上至少有一點?,使f(?)?0.講解注意：

第二篇：高等數學函數極限連續練習題及解析

數學任務——啟動——習題

1一、選擇題：

(1)函數y??x?arccosx?1的定義域是()

2(A)x?1;(B)?3?x?1(C)??3,1?(D)xx?1?x?3?x?

1(2)函數y?xcosx?sinx是()

(A)偶函數(B)奇函數(C)非奇非偶函數(D)奇偶函數

(3)函數y?1?cos?????

2x的最小正周期是()

(A)2?(B)

(4)與y??(C)4(D)1 2x2等價的函數是()

(A)x;(B)?x?(C)x?(D)23x

?x?1?1?x?0(5)f?x???,則limf?x??()x0?x?1x?0?

(A)-1(B)1(C)0(D)不存在二、填空題：

(1)若f????1?

?t?5?2t2,則f?t??_________,ft2?1?__________.t??

??

1(2)??t????sinx??????3，則??????______。???______,??6??6?x?

30,1?，則fx2的定義域為______，f?sinx?的定義域為x??(3)若f?x?的定義域為??

______，f?x?a??a?0?的定義域為___，f?x?a??f?x?a??a?0?的定義域為______。

1?4x

2(4)lim。?__________

12x?1x??2

(5)無窮小量皆以______為極限。

三、計算題

(1)證明函數y?11sin在區間?0,1?上無界，但當x??0時，這個函數不是無窮大。xx

(2)求下列極限(1)lim2x3?3x2?5

x??7x3?4x2?1

(3)lim?tanx?tan2x

x??

(5)limex?1

x

x?0

(7)lim?xsinx?1

x?0x2arctanx

(2)lim1?cos2x x?0xsinx(4)lim?1?2n?3n1n n??(6)limtanx?sinxx?0sin32x ?1(8)limx??ex?1??x?????

(3)設f?x???

?1?xx?0，求limf?x?。2x?0?x?1x?0

(4)證明數列2,2?2,2?2?2,??的極限存在，并求出該極限。

f(x)?2x3f(x)?2,lim?3, 求f(x)(5)設f(x)是多項式, 且lim2x??x?0xx

(6)證明方程x?asinx?b，其中a?0,b?0，至少有一個正根，并且它不超過a?b。

x2?ax?b?2,求:a,b.(7).lim2x?2x?x?2

第三篇：函數極限與連續

函數、極限與連續

一、基本題

1、函數f?

x??ln?6?x?的連續區間?ax2?x?2x?

12、設函數f?x???，若limf?x??0，且limf?x?存在，則 x?1x??1x?1?2ax?b

a?-1，b?

41sin2x??

3、lim?x2sin???-2x?0xx??

4、n2x?4/(√2-3)?k?

5、lim?1???e2，則k=-1x???x?

x2?ax?b?5，則a?3，b?-

46、設limx?1x?

17、設函數f?x??2x?sinx?1,g?x??kx，當x?0時，f?x?~g?x?，則k

?ex?2x?0?

8、函數f?x???2x?10?x?1的定義域R ；連續區間(-oo,1),(1,+oo)?3x?1x?1?

?1?xsinx

?a9、函數f?x????1?xsin?bx?x?0x?0在x?0處連續，則a?1，b?1x?010、函數f?x??e?

1e?11

x1x的間斷點為x=0，類型是 跳躍間斷點。

11、f?x,y??x2?y2?xycosx，則f?0,1??f?t,1??y12、f?xy,x?y??x2?y2，則f?x,y??y^2+x13、函數z?ln?

2?x2?y2??的定義域為 {(x,y)|1=0}

14、1?e2?xylim?-1?2；?x,y???0,0?x2?y2?exy?x,y???0,0?1?x2?y2x2?y2lim

3?-12；lim?1?2xy?x?15、x?0

y?0

二、計算題

1、求下列極限

（1）0

0型：

1）limex?e?x?2x

x?0xsin3x；=0

2）limex?x?

1x?0x1?e2x;=-1/

43）limtan3x?ln?1?2x?

x?01?cos2x;=-

34）limtanx?sinx

x?0xsin2x2;=1/4

（2）?

?型：

1）lnsin3x

xlim?0?lnsin2x=1

lim2n?1?3n?1

2）n??2n?3n=3

（3）???型：

1）lim?11?

x?0??x?ex?1??=1/

22）lim?

x?1?11??x?1?lnx??=-1/2

3)xlim???arccosx?=π/3

4)xlim???x?=-1 x?0y?2

（4）0??型：

???1）limx??arctanx?=1x????2?

2)lim?x?1?tanx?1?x2=-π/2

（5）1?型：

?2?1）lim?1??x???x?3x?2=e^(-6)

4x?2?3x?1?2）lim??x??3x?2??

3)lim?1?2x?x?0 =e^(-4)=e^(2/5)1sin5x

1??4)lim?cos?=e^(-1/2)x??x??

（6）00型：1）lim?xsinx=1 x?0x2

方法:lim x^sinx=lim e^(sinxlnx)

公式：f(x)^g(x)=e^(g(x)ln(f(x)))

（7）?型：1）lim?x?20x

x????1x=2

同上

2、已知：f?x??sin2x?ln?1?3x??2limf?x?，求f?x? x?0x

f(x)=(sin2x)/x+ln(1-3x)+

2(方法：兩邊limf(x)x->0)

x2?x3、求函數f?x??的間斷點，并判定類型。2xx?1駐點x=0,x=1,x=-

11）當x=0+時，f(x)=-1；當x=0-時，f(x)=1 跳躍間斷點

2）當x=1時，f(x)=oo;第二類間斷點

3）當x=-1時，f(x)=1/2;但f(-1)不存在，所以x=-1是可去間斷點

?sin2x?x??

4、設函數f?x???a

?ln1?bx?????1?e2xx?0x?0在定義域內連續，求a與b x?0

Lim sin(2x)/x|x->0-=2=a=b/-2=>a=2,b=-

45、證明方程：x3?3x2?9x?1?0在?0,1?內有唯一的實根。（存在性與唯一性）證明：

1）存在性：

令f(x)=x^3-3x^2-9x+1

f(0)=1>0;

f(1)=-10<0;

因為f(0).f(1)<0所以在（0,1）內存在一個實根

2）唯一性

f’(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)

所以f(x)在(0,1)內為單調減函數

故x3?3x2?9x?1?0在?0,1?內有唯一的實根。

第四篇：函數極限與連續教案

第四講

Ⅰ 授課題目（章節）

1.8：函數的連續性

Ⅱ 教學目的與要求：

1、正確理解函數在一點連續及在某一區間內連續的定義；

2、會判斷函數的間斷點.4、了解初等函數在定義區間內是連續的、基本初等函數在定義域內是連續的；

5、了解初等函數的和、差、積、商的連續性，反函數與復合函數的連續性； 6 掌握閉區間上連續函數的性質

教學重點與難點：

重點：函數在一點連續的定義，間斷點，初等函數的連續性

難點：函數在一點連續的定義，閉區間上連續函數的性質

Ⅳ 講授內容：

一 連續函數的概念函數的增量

定義1設變量u從它的初值u0變到終值u1，終值與初值之差u1?u0，稱為變量u的增

量，或稱為u的改變量，記為?u，即?u?u1?u0

?x?x1?x0

?y?f(x0??x)?f(x0)函數的連續性

定義2 設函數y?f(x)在點x0的某個鄰域內有定義，若當自變量的增量?x趨近于零

時，相應函數的增量?y也趨近于零，即

lim?y?0或 ?x?0

?x?0limf(x0??x)?f(x0)?0

則稱函數f(x)在x0點連續

2例1 用連續的定義證明y?3x?1在點x0?2處是連續的證明 略

若令x??x0?x則當?x?0時，x?x0又?y?f(x0??x)?f(x0)即

f(x)?f(x0)??y故?y?0就是f(x)?f(x0)

因而lim?y?0可以改寫成limf(x)?f(x0)?x?0x?x0

定義3 設函數y?f(x)在點x0的某個鄰域內有定義，若

x?x0limf(x)?f(x0)

則稱函數f(x)在x0點連續

由定義3知函數f?x?在點x0連續包含了三個條件：

（1）f?x?在點x0有定義

（2）limf(x)存在x?x0

（3）limf(x)?f(x0)x?x0

?sinx,x?0?例2 考察函數f(x)??x在點x?0處得連續性

?1,x?0?

解略

3左連續及右連續的概念.定義4 若limf(x)?f(x0)，則函數f(x)在x0點左連續 x?x0?

若limf(x)?f(x0)，則函數f(x)在x0點右連續 x?x0+

由此可知函數f(x)在x0點連續的充分必要條件函數f(x)在x0點左連續又右連續

4、函數在區間上連續的定義

（a,b）（a,b）定義5 若函數f(x)在開區間內每一點都連續，則稱函數f(x)在開區間內連

續

（a,b）若函數f(x)在開區間內連續，且在左端點a右連續，在右端點b左連續，則

稱稱函數f(x)在閉區間?a,b?上連續

（-?,+?）例3 討論函數y?x在內的連續性

解 略

二 函數的間斷點定義6函數f(x)不連續的點x0稱為函數f(x)的間斷點

由定義6可知函數f(x)不連續的點x0有下列三種情況

（1）f?x?在點x0沒有定義

（2）limf(x)不存在x?x0

（3）limf(x)?f(x0)x?x0

2間斷點的分類

??左右極限都相等（可去間斷點）第一類間斷點：左右極限都存在??間斷點? ?左右極限不相等（跳躍間斷點）

?第二類間斷點：左右極限至少有一個不存在?

?x2?1,x?0例4考察函數f(x)??在x?0處得連續性

?0,x?0

解 略

例5考察函數f(x)??

解 略

?1?,x?0例6考察函數f(x)??x在x?0處得連續性

?0,x?0??x,x?0?x?1,x?0在x?0處得連續性

解 略

三 連續函數的運算與初等函數的連續性

1、連續函數的和、差、積、商的連續性

2、反函數與復合函數的連續性

3、初等函數的連續性：基本初等函數在它們的定義域內都是連續的．一切初等函數在其定義區間內都是連續的．對于初等函數,由于連續性x?x0limf(x)?f(x0),求其極限即等價于求函數的函數值

四閉區間上連續函數的性質

定理1（最大值最小值定理）

若函數f(x)在閉區間?a,b?上連續，則函數f(x)在閉區間?a,b?上必有最大值和最小值

定理2（介值定理）

若函數f(x)在閉區間?a,b?上連續，m 和M分別為f(x)在?a,b?上的最小值和最大值，則對于介于m 和M之間的任一實數C，至少存在一點???a,b?，使得

f(?)?C

定理3（零點定理）

若函數f(x)在閉區間?a,b?上連續，且f(a)與f(b)異號，則至少存在一點???a,b?，使得f(?)?0

例7 證明x5?2x?2?0在區間(0,1)內至少有一個實根 證明 略

Ⅴ 小結與提問：

Ⅵ 課外作業：

習題1-8 2，5，7，9

第五篇：高等數學基礎第二章極限與連續

第二章 極限與連續

一、教學要求

1.了解極限概念，了解無窮小量的定義與基本性質，掌握求極限的方法.2.了解函數連續性的概念，掌握函數連續性的性質及運算.重點：極限的計算，函數連續性的性質及運算。難點：極限、連續的概念。

二、課程內容導讀

1.掌握求簡單極限的常用方法。求極限的常用方法有(1)利用極限的四則運算法則；(2)利用兩個重要極限；

(3)利用無窮小量的性質（無窮小量乘以有界變量還是無窮小量）；(4)利用連續函數的定義。

例1 求下列極限：

（1）limx?09?sin3x?

3x1x

（2）limsin(x?1)2x?1x?1（3）lim(1?2x)

x?0

x2?cos2x?

1（4）lim

x??(x?sinx)2（5）lim(xe?x?0x1)x?1 解（1）對分子進行有理化，然后消去零因子，再利用四則運算法則和第一重要極限計算，即 limx?09?sin3x?3

x =lim(9?sin3x?3)(9?sin3x?3)

x?0x(9?sin3x?3)=limsin3x1 ?limx?0x?0x9?sin3x?3 =3?11? 62（2）利用第一重要極限和函數的連續性計算，即 limsin(x?1)sin(x?1)?lim

x?1x?1(x?1)(x?1)x2?1 ?lim sin(x?1)1 ?limx?1x?1x?1x?111 ?1??

1?12（3）利用第二重要極限計算，即

lim(1?2x)＝lim[(1?2x)x?0x?01x1?2x?2]?e?2。

（4）利用無窮小量的性質（無窮小量乘以有界變量還是無窮小量）計算，即

cos2x?1cos2x?11?lim[1?]22x??x2?cos2x?1xx

lim= 1 ?lim?2x??(x?sinx)x??sinx2sinx2(1?)lim(1?)x??xxcos2x?11sinx1注：其中當x??時，?2(cos2x?1)都是無窮小量乘以有?sinx，2xxxx界變量，即它們還是無窮小量。

（5）利用函數的連續性計算，即

lim(xe?x?0x11)＝0?e0???1 x?10?1 2.知道一些與極限有關的概念

(1)知道數列極限、函數極限、左右極限的概念，知道函數在某點極限存在的充分必要條件是該點左右極限都存在且相等；

(2)了解無窮小量的概念，了解無窮小量與無窮大量的關系，知道無窮小量的性質；(3)了解函數在某點連續的概念，知道左連續和右連續的概念，了解“初等函數在定義區間內連續”的結論；會判斷函數在某點的連續性，會求函數的間斷點；

例2 填空、選擇題

(1)下列變量中，是無窮小量的為（）A.ln?1(x?0?)

B.lnx(x?1)x1x C.e(x?0)

D.?x?2(x?2)2x?4111???，故 ln???，ln不是無窮小量； xxx 選項B中：因為x?1時，lnx?0，故lnx是無窮小量； 解 選項A中：因為 x?0時，?11? 選項C中：因為 x?0時，故ex?0；但是x?0時，????，? ???，xx?1???，因此e當x?0時不是無窮小量。

x?21x?21x?2 選項D中：因為2，故當x?2時，2不是無窮小??，2x?4x?2x?44x?4故e量。

因此正確的選項是B。

（2）下列極限計算正確的是（）。A.limxsinx?0?1x?1x11?limxlimsin?0

xx?0x?0xtan2xtan2x B.lim?lim2x?1

x?0sin2xx?0sin2x2x C.lim(x2?x?x)?limx??x??x2?x?limx?0

x??x?1x?1x?1xx?1?1e?1)?lim()lim()??1e?e

x??x?1x??x?1x??x?1e1 解 選項A不正確。因為limsin不存在，故不能直接用乘積的運算法則，即

x?0x11limxsin?limxlimsin x?0xx?0x?0x D.lim(選項B正確。將分子、分母同除以2x，再利用第一個重要極限的擴展形式，得到

tan2xtan2xlim?lim2x?1 x?0sin2xx?0sin2x2x 選項C不正確。因為x??時，x?x??，x??，故不能直接用極限的減法運算法則，即

2lim(x2?x?x)?limx2?x?limxx??x??x??

x?1x?1)可以分成兩項乘積，即

x??x?1x?1x?1x?1xx?1?1lim()=lim()lim()x??x?1x??x?1x??x?1111?lim(1?)xx?1xx)x=x??x?e 其中第一項lim()=lim(x??x??x?111xe?11?lim(1?)x??xx11?x?1?1x)?1?1?e?1 而第二項lim()?lim(x??x??x?111?x 選項D不正確。lim(故原算法錯誤。

正確選項應是B。

?x?1（3）當k?（）時，f(x)??2?x?kx?0x?0在x?0處連續。

A.0 B.－1 C.2 D.1 解 函數在一點連續必須滿足既是左連續又是右連續。因為函數已是右連續，且

f(0)?0?1?1

?2而左連續f(0)?lim?(x?k)?k?f(0)

x?0 故當k?1時，f(x)在x?0處連續。

正確的選項是D。