第一篇：高數競賽練習題答案(函數、極限、連續)

函數、極限、連續

1.f(x),g(x)?C[a,b]，在(a,b)內二階可導且存在相等的最大值，又f(a)?g(a),f(b)?g(b),證明：(1)???(a,b),使f(?)?g(?)

(2)???(a,b),使f??(?)?g??(?)證明：設f(x),g(x)分別在x?c,x?d處取得最大值M，不妨設c?d(此時a?c?d?b)，作輔助函數F(x)?f(x)?g(x),往證???(a,b),使F??(?)?0

令F(x)?f(x)?g(x),則F(x)在[a,b]上連續，在(a,b)二階可導，且F(a)?F(b)?0，① 當c?d，由于 F(c)?f(c)?g(c)?M?g(c)?0F(d)?f(d)?g(d)?f(d)?M?0由“閉.連.”零點定理，???[c,d]?(a,b),使f(?)?g(?)② 當c?d，由于F(c)?f(c)?g(c)?f(c)?g(d)?M?M?0即???(a,b),使f(?)?g(?)

對F(x)分別在[a,?],[?,b]上用羅爾定理，??1?(a,?),?2?(?,b)，使

在[?1,?2]上對F(x)在用羅爾定理，F?(?1)?F?(?2)?0，???(?1,?2)?(a,b)，使F??(?)?0，???(a,b),使f??(?)?g??(?).2.設數列{xn}滿足0?x1??,xn?1?sinxn,n?1,2,?

xn存在，并求該極限(1)證明limn??

xn?1x1n(2)計算lim()n??xn

分析：(1)確定{xn}為單調減少有下界即可

1xn，用洛必達法則.(2)利用(1)確定的limn??

解：易得0?xn?1(n?2,3,?)，所以xn?1?sinxn?xn,n?(2,3,?)，即{xn}為

xn存在，并記為limxn?a,則a?[0,1]，單調減少有下界的數列，所以 lim n??n??

對等式xn?1?sinxn?xn,兩邊令n??取極限，得a?sina,a?[0,1]，所以

a?0,即limxn?0.n??

lim((2)n

??

xn?1sinxn)?lim()

n??xnxn

2xn

2xn

令t?xn

?lim（t?0

sint)?et?0t

tlim

ln()t

t

2由于

lim

t?0

t

ln(sin)ttsint

ln[1?(sin?1)]?1-1t2sint?t洛cost?11tt2

?lim?lim?lim?lim?lim?? t?0t?0t?0t?0t?03t2t2t2t33t26

xn?1xn?1

所以lim()?e.n??xn

3.已知f(x)在[0,1]連續，在(0,1)可導，且f(0)?0,f(1)?1，證明：(1)???(0,1),使f(?)?1??，(2)存在兩個不同點?,??(0,1),使f?(?)f?(?)?1

證：(1)令F(x)?f(x)?x?1，則F(x)在[0,1]上連續，且

F(0)??1?0,F(1)?1?0，由“閉.連.”零點定理，???(0,1),使F(?)?0,即f(?)?1??

(2)f(x)在[0,?],[?,1]上都滿足拉格朗日中值定理，所以

???(0,?),??(?,1)，使

f(?)?f(0)?f?(?)(??0),f(1)?f(?)?f?(?)(1??)，即

f?(?)?f?(?)?

f(?)

?

?

1??

?

1?f(?)1?(1??)?

??1??1??1??

?f?(?)f?(?)?

1??

?

?

?

1??

?1

4.設方程xn?nx?1?0，其中n為正整數，證明此方程存在唯一的正

?

實根xn，并證明當??1時，級數?xn收斂.n?1?

證：令f(x)?xn?nx?1,則f(x)在(0,??)上連續，且

f(0)??1?0,f()?()n?0

nn

所以由連續函數的零點定理，所給方程在(0,)內有根，又由f?(x)?n(xn?1?1)?0,即f(x)在(0,)內單調遞增，所以所給方程(0,)內只有唯一的根，在(，?)上無根，即所給方程存在唯一的正實根xn.?

?由上述知，對n?1,2,?，有0?xn?,有0?xn

?

1n

1n1n

1n

1n1，n?

此外，由??1知，級數?

收斂，所以由正項級數比較審斂法，知?

n?1n

?x?收斂.nn?1

?

5.求lim(cosx)

x?0

1ln(1?x)

x?0ln(1?x)

解：lim(cosx)

x?0

1ln(1?x)

=e

lim

lncosx，其中limln(1?x

x?0

lncosx)

?lim

x?0

ln[1?(cosx?1)]ln(1?x)

?lim

x?0

?x22x

??

(cosx)所以，limx?0

ln(1?x)

?e

?

6.f(x)在x?0的某鄰域內具有一階連續導數，且f(0)?0,f?(0)?0,若

af(h)?bf(2h)?f(0)在h?0時是比h高階的無窮小，試確定a,b的值.解1：（利用導數定義）

0?lim

af(h)?bf(2h)?f(0)af(h)?af(0)?af(0)?bf(2h)?bf(0)?bf(0)?f(0)

?lim

h?0h?0hhaf(h)?af(0)bf(2h)?bf(0)[(a?b)?1]f(0)[(a?b)?1]f(0)?lim?lim?lim?(a?b)f?(0)?limh?0h?0h?0h?0hhhh

?a?b?1

?由f(0)?0,f(0)?0,得?,即a?2,b??1

a?2b?0?

解2：按解1，只要假定f(x)在x?0處可導即可，但在題中“f(x)在x?0的某鄰域內具有一階連續導數”的假定下，有以下解法：由lim

h?0

h?0

af(h)?bf(2h)?f(0)

?0得 limaf(h)?bf(2h)?f(0)=0

h?0h

即0?limaf(h)?bf(2h)?f(0)?(a?b?1)f(0)，由f(0)?0,得a?b?1（1）

af(h)?bf(2h)?f(0)洛

?limaf?(h)?2bf?(2h)?(a?2b)f?(0)且f?(0)?0,又由0?lim

h?0h?0h

所以 a?2b?0（2）

由（1）、（2）得a?2,b??1.?2?esinx?

?.7.求lim?4??x?0x??1?e?

解：

?2e??e?sinx??2?esinx?

??1 ???lim?lim?4?4????x?0x?0?x?x??1?e??e?1??2?esinx??2?esinx?

?????1 lim?lim4?4??????x?0x?x?0?1?ex??1?e?

所以 原式 = 1

8.求lim

x?0

143

?x??x?2

.2

x

解1：（泰勒公式）因

?x??x?2?[1?

1111

x?x2?o(x2)]?[1?x?x2?o(x2)]?22828(x?0)

??x2?o(x2)~?x2

所以

1?x2

?x??x?2??1lim?limx?0x?0x2x24

解2：（洛必達法則）

?

?x??x?2洛必達lim?limx?0x?0x22x1?x??x1

?lim?lim x?0?x?x4x?0x

1?2x1?lim.??4x?0x(?x??x)4

第二篇：高數課件-函數極限和連續

一、函數極限和連續自測題

1,是非題

（1）無界變量不一定是無窮大量

（）（2）若limf(x)?a，則f(x)在x0處必有定義

（）

x?x012x（3）極限lim2sinx?limx?0

（）

x???x???33x2，選擇題

（1）當x?0時，無窮小量1?x?1?x是x的（）A．等價無窮小

B.同階但不等價

C.高階無窮小

D.低價無窮小

?x?1?1x?0?（2）設函數f(x)??，則x?0是f(x)的（）x?0x?0?A.可去間斷點 B.無窮間斷點

C 連續點

D 跳躍間斷點

?exx?0（3）設函數f(x)??，要使f(x)在x0處連續，則a?

（）?a?xx?0A.2

B 1

C 0

D ?1

3n2?5n?1?

（）（4）lim2n??6n?3n?2A 151

B ?

C ?

D ? 2321?xsinx?0??x(5)設f(x)??，則在x?0處f(x)

（）

?1sinx?1x?0??xA 有定義

B 有極限

C 連續

D左連續

3(6)x?1是函數y?x?1的（）x?1A 可去間斷點

B 無窮間斷點

C 連續

D跳躍間斷點

3.求下列極限

（1）limx??x?sinxsin(?2x)x?2?3

（2）lim

（3）lim

x?0x?12xln(1?2x)x?1e?2x?1（4）lim

（5）limn[ln(1?n)?lnn]

（6）lim(sinn?1?sinn)

n??n??x?0x2x?3x?2(sinx3)tanx2lim()(7)lim

(8)

（9）limx(x?1?x)x??2x?1x?01?cosx2x??cosx?cosaarctanxex?ex0（10）lim

(11)lim

（12）lim

x?ax??x?x0x?xx?ax0x2?32x2?1sin(x?1))（13）lim

（14）lim(2

x??x?1x?1x?24，求滿足下列條件的a,b的值

1x2?x?a?b

（2）lim(3x?ax2?x?1)?（1）limx???x?26x?2?tanaxx?0ax?b??2

(4)已知f(x)??x（3）lim且limf(x)存在

x?0x?1x?2?x?2x?0?x??1??2?2（5）已知f(x)??x?ax?b?1?x?1在(??,??)內連續

?2x?1??sin2x?e2ax?1x?0?(6)函數f(x)??在x?0點連續 x?ax?0?5．求下列函數的間斷點并判斷其類型

?x?1x?11?cosxx2?1（1）y?2

（2）y??

（3）f(x)?

sinxx?3x?2?3?xx?1?1x?0x?（4）f(x)??ex?1

（5）y?

tanx??ln(1?x)?1?x?026.已知x??1時，x?ax?5x?1是同階無窮小，求a

7.證明方程x?4x?2?0在區間(1,2)內至少有一個根 8.當x?0時，e?ln(1?x)?1與x是同階無窮小，求n 9.設函數f(x)?a,(a?0,a?1)，求limxxn41ln[f(1)f(2)?f(n)]

n??n2

第三篇：極限連續-高數競賽超好

高數競賽例題

第一講 函數、極限、連續

例1.例2.例3.例4.例5.例6.例7.例8.例9.lim1nn??(1?n2???nn).lim1?3?5?(2n?1)2?4?6?(2n)n??

limx?0x?3????5?x?，其中[?]為取整函數

lim1?cosxx2x?0

lim(cosn???n)n2

lim(x??x?ax?a)2x?1e，求常數a.lim(sinx??2x?cos1x)x

lim[(n?n?n??32n21)en?1?n]

6limln(1?3x)(e2x3x?0?1)sinx2 例10.例11.例12.lim1?tanx?1?sinx2x?0xln(1?x)?x

limln(1?2)ln(1?x??x3x)

limsinx?xcosxsinx3x?0

例13.已知f(x)在x?0的某鄰域內有連續導數，且lim(sin2x?x?0f(x)xx)?2，求 f(0),f?(0).例14.例15.例16.lim(n??nn?12?nn?222???nn?n22)

?2?n??sinsinsin?n?n???nlim?n??11?n?1n?n?2n??????

x???lim[x?x?1?(ax?b)]?0，求常數a,b.2例17.設f(x)?nlim???

x2n?1?ax?bxx2n2?1為連續函數，求a,b.例18.設f(x)在(??,??)上連續，且f(f(x))?x，證明至少??，使得f(?)??.....................................................................................................................極 限

例1.例2.nlim(n??1n?n?12?2n?n?22???nn?n?n2)

limn???k?1kn?k?122

先兩邊夾，再用定積分定義 例3.例4.例5.設limx?0 例6.例7.?1x2lim(n?1)nnn?1n??sin1n

lime?e2xsinx2x?0x[ln(1?x?x)?ln(1?x?x)]

ln(1?)f(x)tanx?5，求limx2x?02?1xf(x).12(3sint?tcos)dt?0tlimxx?0(1?cosx)?ln(1?t)dtx0

x???limln(2e2?x?x?1)x?xsinx?1

例8.例9.limexx?0100

x???lim(x?x?x?x)

1例10.xxxlim??a1?a2???an?x?，其中，ax?0?.?n??1,a2?,an均為正數

例11.已知2nf(x)?limxe(1?x)n?xen??e(1?x)n?x2n?1，求?0f(x)dx.例12.設10?a?b，求lim?a?n?b?n?nn??

例13.設f(x)在(??,??)內可導，且limf?(x)?ex??，xlim?的值.??x?c???lim[f(x)?f(x?1)]，求cx??x?c?x??

例14.設f(x)在x?0的某鄰域內二階可導，且f??(0)?0，x又已知)dtlim?0f(tx?0?x??sinx???0,求?,?.例15.當x?1時，lim(1?x)(1?x2)(1?x4)n?(1?x2)n??

例16.當x?0時，求limxn??cosx2cosx4?cos2n

例17.lim(1?1(1?1n??22)(1?132)?n2)

例18.lim1nn??nn(n?1)?(2n?1)

limf(x)x?0x?0，連 續

例1.求f(x)?lim

例2.設g(x)在x?0的某鄰域內連續，且lim?1g(x2t)dt?1??02?x??1f(x)???2?a?bcosx2?x??x?0x?0x?01?x1?x2n的間斷點，并判斷其類型

n??g(x)?1xn?0?a，已知

在x?0處連續，求a,b的值.例3.證方程ln實根.例4.f(x)在[a,b]上連續，且a?c?d?b，證：在(a,b)內至少存在?x?xe???01?cos2xdx在區間(0,??)內有且僅有兩個不同，使得pf(c)?qf(d)?(p?q)f(?)，其中p,q為任意正常數.例5.設f(x)在(a,b)內連續，且x1,x2,?,xn?(a,b)，試證：???(a,b)，使

例6.試證方程x?asin且它不超過b?a.例7.設f(x),g(x)在(??,??)上連續，且g(x)?0,利用閉區間上連續函數的性質，證明存在一點??[a,b]，使?abf(?)?1n[f(x1)?f(x2)???f(xn)].x?b，其中a?0,b?0，至少存在一個正根，并

f(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx

ab

第四篇：函數、極限和連續試題及答案

極限和連續試題（A卷）

1.選擇題（正確答案可能不止一個）。（1）下列數列收斂的是（）。A.xnn?1n?(?1)n

B.xn1n?(?1)n

C.xn?n?sinD.xn?2n（2）下列極限存在的有（）。

A.lim1x??sinx

B.xlim??xsinx

C.lim11x?02x?D.limn??2n2?1

（3）下列極限不正確的是（）。

A.lim(x?1)?2

B.lim1x?1?x?0x?1?1 12C.lim4x?2xx?2??

D.xlim?0?e???（4）下列變量在給定的變化過程中，是無窮小量的有（）。A.2?x?1(x?0)

B.sinxx(x?0)

2C.e?x(x???)

D.xx?1(2?sin1x)(x?0)??1（5）如果函數f(x)?xsinx,?x?0;?a,x?0;在x?0處連續，則a、b的值為（???xsin1x?b,x?0.A.a?0,b?0

B.a?1,b?1 C.a?1,b?0

D.a?0,b?1 2.求下列極限：

（1）lim(x322x?1?3x?1)；

（2）xlim??2(3x?2x?5)；

（3）lim1x(1?x?3)；

（4）limx?3?0x?2x2?x；

x2?8x2（5）limx?3x?3；

（6）lim?16x?4x?4；

（7）limx2?1x?2x?12x2?x?1；

（8）lim；

x?2x?2。）（9）limx?0cosx1?x?1；

（10）lim；

x??xxx3?3x?1x4?3x?1（11）lim；

（12）lim；

x??3x3?xx??5x4?x3x3?3x?19x3?3x?1（13）lim；

（14）lim； 42x??x??x?xx?1x3.（15）limx?03xsin?2?x，x?0?23.設f(x)??2x?1，0?x?1，求limf(x)，limf(x)，limf(x)，limf(x)。

1x?0x?3x??1x??3?(x?1)3，x?12?4.證明：x?sinx~x(x?0?)。

5.求下列函數的連續區間：

?2x?1,x?1;（1）y?ln(3?x)?9?x；

（2）y??2

x?1,x?1.?26.證明limx?2x?2不存在.x?21?xsin,???x?0;?x7.設f(x)??求f(x)在x?0時的左極限，并說明它在x?0時10?x???.?sin,x?右極限是否存在？

8.證明lim(n??1n?12?1n?22???1n?n2)存在并求極限值。

x2?1?ax?b)?0，求a、b的值。9.若lim(x??x?1

答案

1.（1）B；（2）BD；

（3）C；

（4）ACD ；（5）B.2.（1）-1；（2）3；（3）

21；（4）?；（5）?；（6）8；

36（7）21111；

（8）；（9）；（10）0；（11）；（12）； 323522（13）0；（14）?；（15）

1.9x?123.limf(x)?3, limf(x)不存在, limf(x)?x??1x?03, limf(x)?11.2x?35.（1）[?3,3)；

（2）(??,1)?(1,??).7.f(x)在x?0時的左極限為0，在x?0時右極限不存在。8.極限值為1.9.a?1,b??1.

第五篇：高等數學函數極限連續練習題及解析

數學任務——啟動——習題

1一、選擇題：

(1)函數y??x?arccosx?1的定義域是()

2(A)x?1;(B)?3?x?1(C)??3,1?(D)xx?1?x?3?x?

1(2)函數y?xcosx?sinx是()

(A)偶函數(B)奇函數(C)非奇非偶函數(D)奇偶函數

(3)函數y?1?cos?????

2x的最小正周期是()

(A)2?(B)

(4)與y??(C)4(D)1 2x2等價的函數是()

(A)x;(B)?x?(C)x?(D)23x

?x?1?1?x?0(5)f?x???,則limf?x??()x0?x?1x?0?

(A)-1(B)1(C)0(D)不存在二、填空題：

(1)若f????1?

?t?5?2t2,則f?t??_________,ft2?1?__________.t??

??

1(2)??t????sinx??????3，則??????______。???______,??6??6?x?

30,1?，則fx2的定義域為______，f?sinx?的定義域為x??(3)若f?x?的定義域為??

______，f?x?a??a?0?的定義域為___，f?x?a??f?x?a??a?0?的定義域為______。

1?4x

2(4)lim。?__________

12x?1x??2

(5)無窮小量皆以______為極限。

三、計算題

(1)證明函數y?11sin在區間?0,1?上無界，但當x??0時，這個函數不是無窮大。xx

(2)求下列極限(1)lim2x3?3x2?5

x??7x3?4x2?1

(3)lim?tanx?tan2x

x??

(5)limex?1

x

x?0

(7)lim?xsinx?1

x?0x2arctanx

(2)lim1?cos2x x?0xsinx(4)lim?1?2n?3n1n n??(6)limtanx?sinxx?0sin32x ?1(8)limx??ex?1??x?????

(3)設f?x???

?1?xx?0，求limf?x?。2x?0?x?1x?0

(4)證明數列2,2?2,2?2?2,??的極限存在，并求出該極限。

f(x)?2x3f(x)?2,lim?3, 求f(x)(5)設f(x)是多項式, 且lim2x??x?0xx

(6)證明方程x?asinx?b，其中a?0,b?0，至少有一個正根，并且它不超過a?b。

x2?ax?b?2,求:a,b.(7).lim2x?2x?x?2