第一篇：關于二元函數極限定義的教學探討

關于二元函數極限定義的教學探討

【摘要】本文對二重極限的兩種不同定義進行了比較，指出了二重極限與二次極限的異同，并通過具體的例子加深理解.【關鍵詞】二重極限；二次極限；定義

二元函數的極限是在一元函數極限的基礎上建立起來的，是一元函數極限概念的推廣.因而二元函數的極限比一元函數極限更抽象，要求更高，從而更難理解.初學者很容易犯一些概念性的錯誤，因此加強對二元函數的極限概念的教學和理解顯得尤為重要.1.二重極限的定義

現行教材中，對于二重極限有兩種定義方法：

并且兩種順序的二次極限中的里層極限都存在，則兩種順序的二次極限都存在，且與二重極限的值相等.【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.高等數學（第4版）[M].北京：高等教育出版社，1996.[2]同濟大學數學系.高等數學（第6版）[M].北京：高等教育出版社，2007.[3]裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，2006.

第二篇：二元函數的極限

§2 二元函數的極限

(一)教學目的：

掌握二元函數的極限的定義，了解重極限與累次極限的區別與聯系．

(二)教學內容：二元函數的極限的定義；累次極限．

基本要求：

(1)掌握二元函數的極限的定義，了解重極限與累次極限的區別與聯系，熟悉判別極限存在性的基本方法．

(2)較高要求：掌握重極限與累次極限的區別與聯系，能用來處理極限存在性問題．

(三)教學建議：

(1)要求學生弄清一元函數極限與多元函數極限的聯系與區別，教會他們求多元函數極

限的方法．

(2)對較好學生講清重極限與累次極限的區別與聯系，通過舉例介紹判別極限存在性的較完整的方法．

一二元函數的極限

先回憶一下一元函數的極限： limf(x)?A 的“???” 定義(c31)：

x?x0

0設函數f(x)在x0的某一空心鄰域U(x0,?1)內由定義，如果對

???0,當 x?U(x0,?)，即 |x?x0|?? 時，都有 |f(x)?A|??，???0,???1，則稱x?x0時，函數f(x)的極限是 A.類似的，我們也可以定義二元函數的極限如下：

設二元函數f(x,y)為定義在D?R2上的二元函數，在點P0(x0,y0)為D的一個聚點，A是一個確定的常數，如果對 ???0,???0，使得當 P(x,y)?U(P0,?)?D 時，0都有 |f(P)?A|??，則稱f在D上當 P?P0時，以A為極限。記作

P?P0P?Dlimf(P)?A

也可簡寫為limf(P)?A或

P?P0(x,y)?(x0,y0)

2limf(x,y)?A 例1用定義驗證

2lim(x,y)?(2,1)2(x?xy?y)?7 222證明:|x?xy?y?7|?|x?x?6?xy?x?y?1|

?|x?3||x?2|?|x?y?1||y?1|

限制在（2，1）的鄰域 {(x,y)||x?2|?1,|y?1|?1}

|x?3|?6,|x?y?1|?6

取 ??min{1,?/6}，則有

|x?xy?y|??

由二元函數極限定義lim

(x,y)?(2,1)

(x?xy?y)?7

?x?y,(x,y)?(0,0)?xy22

例2 f(x,y)??x?y，?0,(x,y)?(0,0)?

證明lim

(x,y)?(0,0)

f(x,y)?0

x?yx?y

證|f(x,y)|?|xy

所以

lim

(x,y)?(0,0)

|?|xy|

lim

(x,y)?(0,0)

|f(x,y)|?lim

(x,y)?(0,0)

|xy|?0

|f(x,y)|?0

對于二元函數的極限的定義，要注意下面一點：

P?P0

limf(P)?A 是指： P(x,y)以任何方式趨于P0(x0,y0)，包括沿任何直線，沿任

何曲線趨于p0(x0,y0)時，f(x,y)必須趨于同一確定的常數。

對于一元函數，x 僅需沿X軸從x0的左右兩個方向趨于x0，但是對于二元函數，P趨于P0的路線有無窮多條，只要有兩條路線，P趨于P0時，函數f(x,y)的值趨于不同的常數，二元函數在P0點極限就不存在。

?1,0?y?x2

例1 二元函數f(x,y)??

?0,rest

請看圖像（x62），盡管P(x,y)沿任何直線趨于原點時f(x,y)都趨于零，但也不能說該函數在原點的極限就是零，因為當P(x,y)沿拋物線 y?kx,0?k?1時，f(x,y)的值趨于１而不趨于零，所以極限不存在。

(考慮沿直線y?kx的方向極限).?x2y,?

例2設函數f(x,y)??x2?y2

?0,?

(x.,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)

求證limf(x,y)?0

x?0

y?0

證明因為|f(x,y)?0|?

x|y|x?y

?

x|y|x

?|y|

所以，當(x,y)?(0,0)時，f(x,y)?0。

請看它的圖像，不管P(x,y)沿任何方向趨于原點，f(x,y)的值都趨于零。

通常為證明極限limf(P)不存在,可證明沿某個方向的極限不存在 , 或證明沿某兩

P?P0

個方向的極限不相等, 或證明方向極限與方向有關.但應注意 ,沿任何方向的極限存在且相等 ?? 全面極限存在.例3

設函數

(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)

?xy,?22

f(x,y)??x?y

?0,?

證明函數 f(x,y)在原點處極限不 存在。

證明盡管 P(x,y)沿 ｘ軸和ｙ軸

趨于原點時(f(x,y)的值都趨于零，但沿直線y?mx 趨于原點時

x?mxx?(mx)

f(x,y)??

mx

(1?m)x

?

m1?m

沿斜率不同的直線趨于原點時極限不一樣，請看它的圖象, 例１沿任何路線趨于原點時，極

限都是0，但例２沿不同的路線趨于原點時，函數趨于不同的值，所以其極限不存在。

例4

非正常極限極限

lim

(x,y)?(x0,y0)

判別函數f(x,y)?

xy?1?1x?y

在原點是否存在極限.f(x,y)???的定義:

12x?3y

例1設函數f(x,y)?證明limf(x,y)??

x?0y?0

證|

12x?3y

|?|

13(x?y)

|

只要取??

16M

|x?0|??,|y?0|??時，都有

|

12x?3y16?

|?|

13(x?y)

|

??M

12x?3y

請看它的圖象，因此是無窮大量。

例2求下列極限: i)

lim

xyx?y

;ii)

(x,y)?(0,0)(x,y)?(3,0)

lim

sinxyy

;

iii)

(x,y)?(0,0)

lim

xy?1?1xy

;iV)

(x,y)?(0,0)

lim

ln(1?x?y)

x?y

.二.累次極限: 累次極限

前面講了P(x,y)以任何方式趨于P0(x0,y0)時的極限，我們稱它為二重極限，對于兩個自變量x,y依一定次序趨于x0,y0時 f(x,y)的極限，稱為累次極限。對于二元函數f(x,y)在P0(x0,y0)的累次極限由兩個

limlimf(x,y)和limlimf(x,y)

y?y0x?x0

x?x0y?y0

例1

f(x,y)?

xyx?yx?yx?y

222, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限.22

例2 f(x,y)?, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限.例3 f(x,y)?xsin

1y

?ysin

1x, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限.二重極限與累次極限的關系:

（１）兩個累次極限可以相等也可以不相等，所以計算累次極限時一定要注意不能隨意改變它們的次序。

例函數 f(x,y)?

x?y?x?y

x?y

22的兩個累次極限是 y?yyx?xx

limlim

x?y?x?y

x?yx?y?x?y

x?y

y?0x?0

?lim

y?0

?lim(y?1)??1

y?0

?lim(x?1)?1

x?0

limlim

x?0y?0

?lim

x?0

（２）兩個累次極限即使都存在而且相等，也不能保證二重極限存在 例f(x,y)?

xyx?y

xyx?y，兩個累次極限都存在limlim

y?0x?0

?0,limlim

xyx?y

x?0y?0

?0

但二重極限卻不存在，事實上若點P(x,)沿直線 y?kx趨于原點時，kx

f(x,y)?

x?(kx)

?

k1?k

二重極限存在也不能保證累次極限存在二重極限存在時,兩個累次極限可以不存在.例函數 f(x,y)?xsin

1y?ysin

1x

由|f(x,y)| ? |x|?|y|?0 ,(x ,y)?(0,0).可見二重極限存在 ,但

1x

limsin

x?0

和limsin

y?0

1y

不存在，從而兩個累次極限不存在。

（4）二重極限極限lim

(x,y)?(x0,y0)

f(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存

x?x0y?y0

在 , 則必相等.(證)

（5）累次極限與二重極限的關系

若累次極限和二重極限都存在，則它們必相等

第三篇：二元函數極限的研究

二元函數極限的研究

作者：鄭露遙指導教師：楊翠

摘要 函數的極限是高等數學重要的內容，二元函數的極限是一元函數極限的基礎上發展起來的，本文討論了二元函數極限的定義、二元函數極限存在或不存在的判定方法、求二元函數極限的方法、簡單討論二元函數極限與一元函數極限的關系以及二元函數極限復雜的原因、最后討論二重極限與累次極限的關系。

關鍵詞 二元函數極限、累次極限、二重極限、連續性、判別法、洛必達法則、運算定理引言

函數的極限是高等數學中非常重要的內容, 關于一元函數的極限及其求法, 各種教材中都有詳盡的說明。二元函數極限是在一元函數極限的基礎上發展起來的, 兩者之間既有聯系又有區別。例如, 在極運算法則上, 它們是一致的, 但隨著變量個數的增加, 二元函數極限比一元函數極限變得復雜得多, 但目前的各類教材、教學參考書中有關二元函數極限的求法介紹不夠詳二元函數的極限是反映函數在某一領域內的重要屬性的一個基本概念, 它刻劃了當自變量趨向于某一個定值時, 函數值的變化趨勢。是高等數學中一個極其重要的問題。但是, 一 般來說, 二元函數的極限比起一元函數的極限, 無論從計算還是證明都具有更大的難度。本文就二元函數極限的問題作如下探討求一元函數的極限問題, 主要困難多數集中于求未定型極限問題, 而所有未定型的極限又總可轉化為兩類基本型即00 與∞∞型,解決這兩類基本未定型的有力工具是洛泌達(LHO SP ital)法則。類似地, 二元函數基本未定型的極限問題也有相似的洛泌達法則。為了敘述上的方便, 對它的特殊情形(即(x0,y0)=(0, 0))作出如下研究, 并得到相應的法則與定理。二元函數的極限是反映函數在某一領域內的重要屬性的 一個基本概念, 它刻劃了當自變量趨向于某一個定值時, 函數

值的變化趨勢。是高等數學中一個極其重要的問題。但是, 一

般來說, 二元函數的極限比起一元函數的極限, 無論從計算還

是證明都具有更大的難度。本文就二元函數極限的問題作如

下探討。

第四篇：二元函數極限證明

二元函數極限證明

設p=f(x,y),p0=(a,b)，當p→p0時f(x,y)的極限是x,y同時趨向于a,b時所得到的稱為二重極限。

此外，我們還要討論x,y先后相繼地趨于a,b時的極限,稱為二次極限。

我們必須注意有以下幾種情形：’

(1)兩個二次極限都不存在而二重極限仍有可能存在(2)兩個二次極限存在而不相等

(3)兩個二次極限存在且相等，但二重極限仍可能不存在2函數f(x)當x→X0時極限存在，不妨設：limf(x)=a(x→X0)

根據定義:對任意ε>0,存在δ>0,使當|x-x0|<δ時,有|f(x)-a|<ε

而|x-x0|<δ即為x屬于x0的某個鄰域U(x0;δ)

又因為ε有任意性,故可取ε=1,則有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-

1再取M=max{|a-1|,|a+1|},則有:存在δ>0,當任意x屬于x0的某個鄰域U(x0;δ)時,有|f(x)|

證畢

3首先，我的方法不正規，其次，正確不正確有待考察。

1，y以y=x^2-x的路徑趨于0Limitedsin(x+y)/x^2=Limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路徑趨于0結果是無窮大。

2，3可以用類似的方法，貌似同濟書上是這么說的，二元函數在該點極限存在，是p(x,y)以任何方式趨向于該點。

4f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x)

顯然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在當x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0處是波動的所以不存在而當x->0,y->0時

由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)

而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^

2所以|f|<=|x|+|y|

所以顯然當x->0,y->0時，f的極限就為0

這個就是你說的，唯一不一樣就是非正常極限是不存在而不是你說的正無窮或負無窮或無窮，我想這個就可以了

就我這個我就線了好久了

5(一)時函數的極限：

以時和為例引入.介紹符號:的意義,的直觀意義.定義(和.)

幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數.然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.例1驗證例2驗證例3驗證證……

(二)時函數的極限：

由考慮時的極限引入.定義函數極限的“”定義.幾何意義.用定義驗證函數極限的基本思路.例4驗證例5驗證例6驗證證由=

為使需有為使需有于是,倘限制,就有

例7驗證例8驗證(類似有(三)單側極限:

1.定義：單側極限的定義及記法.幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗證證考慮使的2.單側極限與雙側極限的關系:

Th類似有:例10證明:極限不存在.例11設函數在點的某鄰域內單調.若存在,則有

=§2函數極限的性質(3學時)

教學目的：使學生掌握函數極限的基本性質。

教學要求：掌握函數極限的基本性質：唯一性、局部保號性、不等式性質以及有理運算性等。

教學重點：函數極限的性質及其計算。

教學難點：函數極限性質證明及其應用。

教學方法：講練結合。

一、組織教學：

我們引進了六種極限:,.以下以極限為例討論性質.均給出證明或簡證.二、講授新課：

(一)函數極限的性質:以下性質均以定理形式給出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號性:

4.單調性(不等式性質):

Th4若和都存在,且存在點的空心鄰域,使，都有證設=(現證對有)

註:若在Th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.5.迫斂性:

6.四則運算性質:(只證“+”和“”)

(二)利用極限性質求極限：已證明過以下幾個極限：

(注意前四個極限中極限就是函數值)

這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,我們將陸續證明這些公式.利用極限性質，特別是運算性質求極限的原理是：通過有關性質,把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.例1(利用極限和)

例2例3註:關于的有理分式當時的極限.例4

例5例6例7

第五篇：函數極限的定義證明

習題1?3

1.根據函數極限的定義證明:

(1)lim(3x?1)?8;x?3

(2)lim(5x?2)?12;x?2

x2?4??4;(3)limx??2x?2

1?4x3

(4)lim?2.x??2x?12

1證明(1)分析 |(3x?1)?8|?|3x?9|?3|x?3|, 要使|(3x?1)?8|?? , 只須|x?3|??.3

1證明 因為?? ?0, ????, 當0?|x?3|??時, 有|(3x?1)?8|?? , 所以lim(3x?1)?8.x?33

1(2)分析 |(5x?2)?12|?|5x?10|?5|x?2|, 要使|(5x?2)?12|?? , 只須|x?2|??.5

1證明 因為?? ?0, ????, 當0?|x?2|??時, 有|(5x?2)?12|?? , 所以lim(5x?2)?12.x?25

(3)分析

|x?(?2)|??.x2?4x2?4x?4x2?4?(?4)??|x?2|?|x?(?2)|, 要使?(?4)??, 只須x?2x?2x?2

x2?4x2?4?(?4)??, 所以lim??4.證明 因為?? ?0, ????, 當0?|x?(?2)|??時, 有x??2x?2x?2

(4)分析 1?4x3111?4x31?2??, 只須|x?(?)|??.?2?|1?2x?2|?2|x?(?)|, 要使2x?12x?1222

1?4x3111?4x3

?2??, 所以lim證明 因為?? ?0, ????, 當0?|x?(?)|??時, 有?2.12x?12x?122x??2.根據函數極限的定義證明:

(1)lim1?x3

2x3

sinxx???1;2(2)limx???x?0.證明(1)分析

|x|?1

1?x32x311?x3?x3??22x3?12|x|3, 要使1?x32x3?11??, 只須??, 即322|x|2?.證明 因為?? ?0, ?X?(2)分析

sinxx?0?

12?, 當|x|?X時, 有1x

1?x32x311?x31???, 所以lim?.x??2x322

1x

??, 即x?

sinxx

|sinx|x

?, 要使

sinx

證明 因為???0, ?X?

?2, 當x?X時, 有

xsinxx

?0??, 只須

?

.?0??, 所以lim

x???

?0.3.當x?2時,y?x2?4.問?等于多少, 使當|x?2|

解 由于x?2, |x?2|?0, 不妨設|x?2|?1, 即1?x?3.要使|x2?4|?|x?2||x?2|?5|x?2|?0.001, 只要

|x?2|?

0.001

?0.0002, 取??0.0002, 則當0?|x?2|??時, 就有|x2?4|?0.001.5

x2?1x?

34.當x??時, y?

x2?1x2?3

?1, 問X等于多少, 使當|x|>X時, |y?1|<0.01?

解 要使?1?

4x2?3

?0.01, 只|x|?

?3?397, X?.0.01

5.證明函數f(x)?|x| 當x?0時極限為零.x|x|

6.求f(x)?, ?(x)?當x?0時的左﹑右極限, 并說明它們在x?0時的極限是否存在.xx

證明 因為

x

limf(x)?lim?lim1?1,x?0?x?0?xx?0?x

limf(x)?lim?lim1?1,x?0?x?0?xx?0?limf(x)?limf(x),??

x?0

x?0

所以極限limf(x)存在.x?0

因為

lim?(x)?lim??

x?0

x?0

|x|?x

?lim??1,?x?0xx|x|x?lim?1,xx?0?x

lim?(x)?lim??

x?0

x?0

lim?(x)?lim?(x),??

x?0

x?0

所以極限lim?(x)不存在.x?0

7.證明: 若x???及x???時, 函數f(x)的極限都存在且都等于A, 則limf(x)?A.x??

證明 因為limf(x)?A, limf(x)?A, 所以??>0,x???

x???

?X1?0, 使當x??X1時, 有|f(x)?A|??;?X2?0, 使當x?X2時, 有|f(x)?A|??.取X?max{X1, X2}, 則當|x|?X時, 有|f(x)?A|?? , 即limf(x)?A.x??

8.根據極限的定義證明: 函數f(x)當x?x0 時極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等.證明 先證明必要性.設f(x)?A(x?x0), 則??>0, ???0, 使當0<|x?x0|

|f(x)?A|

|f(x)?A|0,??1>0, 使當x0??10, 使當x0

| f(x)?A|

證明 設f(x)?A(x??)? 則對于? ?1? ?X?0? 當|x|?X時? 有|f(x)?A|?? ?1? 所以|f(x)|?|f(x)?A?A|?|f(x)?A|?|A|?1?|A|?

這就是說存在X?0及M?0? 使當|x|?X時? |f(x)|?M? 其中M?1?|A|?