第一篇：函數(shù)極限

習(xí)題

1.按定義證明下列極限:

(1)limx???6x?5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x?2x

x2?5?1;(4)lim?(3)lim2x???x?1x?2

(5)limcos x = cos x0 x?x04?x2=0;

2.根據(jù)定義2敘述limf(x)≠ A.x?x0

3.設(shè)limf(x)= A.,證明limf(x0+h)= A.x?x0h?0

4.證明:若limf(x)= A,則lim| f(x)| = |A|.當(dāng)且僅當(dāng)A為何值時(shí)反之也成立? x?x0x?x0

5.證明定理3.1

6.討論下列函數(shù)在x0→0 時(shí)的極限或左、右極限:(1)f(x)=x

x;(2)f(x)= [x]

?2x;x?0.?(3)f(x)=?0;x?0.?1?x2,x?0.?

7.設(shè) limf(x)= A,證明limf(x???x?x01)= A x

8.證明:對(duì)黎曼函數(shù)R(x)有l(wèi)imR(x)= 0 , x0∈[0,1](當(dāng)x0=0或1時(shí),考慮單側(cè)極限).x?x0

習(xí)題

1． 求下列極限：

x2?1（1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim;?x?02x2?x?1x?22

x2?1?x?1???1?3x?;

lim(3)lim;(4)

x?12x2?x?1x?0x2?2x3

xn?1(5)limm(n,m 為正整數(shù))；（6）lim

x?1xx?4?1

（7）lim

x?0

?2x?3x?2

70；

a2?x?a?3x?6??8x?5?.（a>0）;(8)lim

x???x5x?190

2． 利用斂性求極限：(1)lim

x???

x?cosxxsinx

;(2)lim2

x?0xx?4

x?x0

3． 設(shè) limf(x)=A, limg(x)=B.證明：

x?x0

（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;

x?x0

（2）lim[f(x)g(x)]=AB;

x?x0

（3）lim

x?x0

f(x)A

=(當(dāng)B≠0時(shí))g(x)B

4． 設(shè)

a0xm?a1xm?1???am?1x?am

f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn?1

b0x?b1x???bn?1x?bn

試求 limf(x)

x???

5． 設(shè)f(x)>0, limf(x)=A.證明

x?x0

x?x0

lim

f(x)=A，其中n≥2為正整數(shù).6.證明limax=1(0

x?0

7.設(shè)limf(x)=A, limg(x)=B.x?x0

x?x0

(1)若在某∪(x0)內(nèi)有f(x)< g(x)，問是否必有A < B ? 為什么？

（2）證明：若A>B,則在某∪(x0)內(nèi)有f(x)> g(x).8.求下列極限（其中n皆為正整數(shù)）：(1)lim ?

x?0

x

x11

lim;(2);nn?x?0x1?xx1?x

x?x2???xn?n

(3)lim;(4)lim

x?0x?0x?1

?x?1

x

(5)lim

x??

?x?(提示：參照例1)

x

x?0

x?0

x?0

9．（1）證明：若limf(x3)存在，則limf(x)= lim f(x3)（2）若limf(x2)存在，試問是否成立limf(x)=limf(x2)?

x?0

x?0

x?0

習(xí)題

1.敘述函數(shù)極限limf(x)的歸結(jié)原則,并應(yīng)用它證明limcos x不存在.n???

n???

2.設(shè)f 為定義在[a,+?)上的增(減)函數(shù).證明: lim= f(x)存在的充要條件是f在n???

[a,+?)上有上(下)界.3.(1)敘述極限limf(x)的柯西準(zhǔn)則;

n???

(2)根據(jù)柯西準(zhǔn)則敘述limf(x)不存在的充要條件,并應(yīng)用它證明limsin x不存在.n???

n???

4.設(shè)f在∪0(x0)內(nèi)有定義.證明:若對(duì)任何數(shù)列{xn}?∪0(x0)且limxn=x0,極限limf(xn)都

n??

n??

存在,則所有這極限都相等.提示: 參見定理3.11充分性的證明.5設(shè)f為∪0(x0)上的遞減函數(shù).證明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0)=supf(x),f(x0+0)=

0x?u?

?x0?

0x?un(x0)

inff(x)

6.設(shè) D(x)為狄利克雷函數(shù),x0∈R證明limD(x)不存在.x?x0

7.證明:若f為周期函數(shù),且limf(x)=0,則f(x)=0

x???

8.證明定理3.9

習(xí)題

1.求下列極限

sin2xsinx3

(1)lim;(2)lim

x?0x?0sinx2x

(3)lim

x?

cosxx?

?

tanx?sinxarctanx

lim(5)lim;(6);3x?0x?0xx

sin2x?sin2a1

(7)limxsin;(8)lim;

x???x?axx?a

;(4)lim

x?0

tanx

;x

?cosx2

(9)lim;(10)lim

x?0x?01?cosxx?1?1

sin4x

2.求下列極限

12?x

(1)lim(1?);(2)lim?1?ax?x(a為給定實(shí)數(shù));

n??x?0x

x

(3)lim?1?tanx?

x?0

cotx

;(4)lim?

?1?x?

?;

x?01?x??

(5)lim（x???

3x?22x?1?);(6)lim(1?)?x(?,?為給定實(shí)數(shù))

n???3x?1x

3.證明:lim?lim?cosxcoxcos4.利用歸結(jié)原則計(jì)算下列極限:(1)limnsin

n??

?

x?0n??

??

?

x2

xx???cos?1 2n??22??

?

n

;(2)

習(xí)題

1． 證明下列各式

(1)2x－x2=O(x)(x→0);(2)x sinx?O(x)(x→0);

+

(3)?x?1?o(1)(x→0);

(4)(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 為正整數(shù))(5)2x3 + x2=O(x3)(x→∞);

(6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0)

(7)o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0)2． 應(yīng)用定理3.12求下列極限：

?x2?1x(1)lim(2)lim x?01?cosxx??x?cosx

x3． 證明定理3.13

4． 求下列函數(shù)所表示曲線的漸近線：

13x3?4

(1)y =;(2)y = arctan x;(3)y = 2

xx?2x

5． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當(dāng)x→0時(shí)為同階無窮小量：

(1)sin2x－2sinx;(2)

－(1－x);1?x

(3)?tanx??sinx;(4)

x2?4x3

6． 試確定a的值，使下列函數(shù)與xa當(dāng)x→∞時(shí)為同階無窮大量：

(1)

x2?x5;(2)x+x2(2+sinx);

(3)(1+x)(1+x2)…(1+xn).7． 證明：若S為無上界數(shù)集，則存在一遞增數(shù)列{xn}?s，使得xn→+∞(n→∞)

8． 證明：若f為x→r時(shí)的無窮大量，而函數(shù)g在某U0(r)上滿足g(x)≥K>0，則fg為x→r

時(shí)的無窮大量。

9． 設(shè) f(x)~g(x)(x→x0)，證明：

f(x)－g(x)= o(f(x))或 f(x)－g(x)= o(g(x))

總 練習(xí)題

1． 求下列極限：

?1

(x?[x])lim([x]?1)(1)lim;(2)??

x?3

x?1

(3)lim（x???

a?xb?x?a?xb?x)

xx?a

(4)lim

x???

(5)lim

xx?a

x???

(6)lim

?x??x?x??x

x?0

(7)lim?

n??m,m,n 為正整數(shù) ?n?x?11?xm1?x??

2． 分別求出滿足下述條件的常數(shù)a與b：

?x2?1?

(1)lim??ax?b???0 x????x?1??

x(3)limx

(2)lim

x???x???x?2

??x?1?ax?b??0

?x?1?ax?b?0

x?2

3． 試分別舉出符合下列要求的函數(shù)f：

(1)limf(x)?f(2)；(2)limf(x)不存在。

4． 試給出函數(shù)f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一點(diǎn)x0處有l(wèi)imf(x)?0。這同極限的x?x0

局部保號(hào)性有矛盾嗎？

5． 設(shè)limf(x)?A，limg(u)?B，在何種條件下能由此推出

x?a

g?A

limg(f(x))?B?

x?a

6． 設(shè)f(x)=x cos x。試作數(shù)列

(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0(n→∞);(2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0(n→∞);(3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0(n→∞).7． 證明：若數(shù)列{an}滿足下列條件之一，則{an}是無窮大數(shù)列：

(1)liman?r?1

n??

(2)lim

an?1

?s?1(an≠0,n=1,2,…)

n??an

n2

n2

8． 利用上題（1）的結(jié)論求極限：

(1)lim?1?

?n??

?1??1??(2)lim?1??

n??n??n?

9． 設(shè)liman???，證明

n??

(1)lim

(a1?a2???an)??? n??n

n??

(2)若an > 0(n=1,2,…),則lima1a2?an??? 10.利用上題結(jié)果求極限：

(1)limn!(2)lim

n??

In(n!)

n??n

11.設(shè)f為U-0(x0)內(nèi)的遞增函數(shù)。證明：若存在數(shù)列{xn}?U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得

limf(xn)?A，則有

n??

f(x0－0)=

supf(x)?A

0x?U?(x0)

12.設(shè)函數(shù)f在(0,+∞)上滿足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)?A。證明：f(x)?A，x∈(0,+∞)

x???

13.設(shè)函數(shù)f在(0,+∞)此上滿足方程f(x2)= f(x)，且

f(x)=limf(x)?f(1)lim?

x?0

x???

證明：f(x)?f(1)，x∈(0,+∞)

14.設(shè)函數(shù)f定義在(a,+∞)上，f在每一個(gè)有限區(qū)間內(nèi)(a,b)有界，并滿足

x???

lim(f(x?1)?f(1))?A證明

x???

lim

f(x)

?A x

第二篇：函數(shù)極限

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

xbl

第三章 函數(shù)極限

教學(xué)目的：

1.使學(xué)生牢固地建立起函數(shù)極限的一般概念，掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)； 2.理解并運(yùn)用海涅定理與柯西準(zhǔn)則判定某些函數(shù)極限的存在性； 3.掌握兩個(gè)重要極限

和，并能熟練運(yùn)用；

4.理解無窮小（大）量及其階的概念，會(huì)利用它們求某些函數(shù)的極限。教學(xué)重（難）點(diǎn)：

本章的重點(diǎn)是函數(shù)極限的概念、性質(zhì)及其計(jì)算；難點(diǎn)是海涅定理與柯西準(zhǔn)則的應(yīng)用。

教學(xué)時(shí)數(shù)：16學(xué)時(shí)

§ 1 函數(shù)極限概念（3學(xué)時(shí)）

教學(xué)目的：使學(xué)生建立起函數(shù)極限的準(zhǔn)確概念；會(huì)用函數(shù)極限的定義證明函數(shù)極限等有關(guān)命題。

教學(xué)要求：使學(xué)生逐步建立起函數(shù)極限的???定義的清晰概念。會(huì)應(yīng)用函數(shù)極限的???定義證明函數(shù)的有關(guān)命題，并能運(yùn)用???語言正確表述函數(shù)不以某實(shí)數(shù)為極限等相應(yīng)陳述。

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的概念。

教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限的???定義及其應(yīng)用。

一、復(fù)習(xí)：數(shù)列極限的概念、性質(zhì)等

二、講授新課：

（一）時(shí)函數(shù)的極限：

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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例4 驗(yàn)證

例5 驗(yàn)證

例6 驗(yàn)證

證 由 =

為使

需有

需有

為使

于是, 倘限制 , 就有

例7 驗(yàn)證

例8 驗(yàn)證(類似有

（三）單側(cè)極限:

1．定義：?jiǎn)蝹?cè)極限的定義及記法.幾何意義: 介紹半鄰域

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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我們引進(jìn)了六種極限:.以下以極限，為例討論性質(zhì).均給出證明或簡(jiǎn)證.二、講授新課：

（一）函數(shù)極限的性質(zhì): 以下性質(zhì)均以定理形式給出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號(hào)性:

4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)):

Th 4 若使，證 設(shè)

和都有 =

(現(xiàn)證對(duì) 都存在, 且存在點(diǎn) 的空心鄰域)，有

註: 若在Th 4的條件中, 改“ 就有

5.6.以

迫斂性:

”為“ 舉例說明.”, 未必

四則運(yùn)算性質(zhì):(只證“+”和“ ”)

（二）利用極限性質(zhì)求極限： 已證明過以下幾個(gè)極限：

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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例8

例9

例10 已知

求和

補(bǔ)充題:已知

求和（）§ 3 函數(shù)極限存在的條件（4學(xué)時(shí)）

教學(xué)目的：理解并運(yùn)用海涅定理與柯西準(zhǔn)則判定某些函數(shù)極限的存在性。教學(xué)要求：掌握海涅定理與柯西準(zhǔn)則，領(lǐng)會(huì)其實(shí)質(zhì)以及證明的基本思路。教學(xué)重點(diǎn)：海涅定理及柯西準(zhǔn)則。教學(xué)難點(diǎn)：海涅定理及柯西準(zhǔn)則 運(yùn)用。

教學(xué)方法：講授為主，輔以練習(xí)加深理解，掌握運(yùn)用。本節(jié)介紹函數(shù)極限存在的兩個(gè)充要條件.仍以極限

為例.一.Heine歸并原則——函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系：

Th 1 設(shè)函數(shù)在,對(duì)任何在點(diǎn)

且的某空心鄰域

內(nèi)有定義.則極限都存在且相等.(證)

存Heine歸并原則反映了離散性與連續(xù)性變量之間的關(guān)系,是證明極限不存在的有力工具.對(duì)單側(cè)極限,還可加強(qiáng)為

單調(diào)趨于

.參閱[1]P70.例1 證明函數(shù)極限的雙逼原理.7 《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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教學(xué)難點(diǎn)：兩個(gè)重要極限的證明及運(yùn)用。

教學(xué)方法：講授定理的證明，舉例說明應(yīng)用，練習(xí)。一．

（證）（同理有）

例1

例2.例3

例4

例5 證明極限 不存在.二.證 對(duì)

有

例6

特別當(dāng) 等.例7

例8

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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三． 等價(jià)無窮?。?/p>

Th 2(等價(jià)關(guān)系的傳遞性).等價(jià)無窮小在極限計(jì)算中的應(yīng)用: Th 3(等價(jià)無窮小替換法則)

幾組常用等價(jià)無窮小:（見[2]）

例3 時(shí), 無窮小

與

是否等價(jià)? 例4

四.無窮大量:

1.定義:

2.性質(zhì):

性質(zhì)1 同號(hào)無窮大的和是無窮大.性質(zhì)2 無窮大與無窮大的積是無窮大.性質(zhì)3 與無界量的關(guān)系.無窮大的階、等價(jià)關(guān)系以及應(yīng)用, 可仿無窮小討論, 有平行的結(jié)果.3.無窮小與無窮大的關(guān)系:

無窮大的倒數(shù)是無窮小,非零無窮小的倒數(shù)是無窮大

習(xí)題 課（2學(xué)時(shí)）

一、理論概述：

《數(shù)學(xué)分析》教案

第三章 函數(shù)極限

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例7.求

.注意 時(shí), 且

.先求

由Heine歸并原則

即求得所求極限

.例8 求是否存在.和.并說明極限

解;

可見極限 不存在.--32

第三篇：函數(shù)極限

數(shù)學(xué)之美2006年7月第1期

函數(shù)極限的綜合分析與理解

經(jīng)濟(jì)學(xué)院 財(cái)政學(xué) 任銀濤 0511666

數(shù)學(xué)不僅僅是工具，更是一種能力。一些數(shù)學(xué)的方法被其它學(xué)科廣泛地運(yùn)用。例如，經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際分析、彈性分析等方法。函數(shù)極限是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要問題。極限可以與很多的數(shù)學(xué)問題相聯(lián)系。例如，導(dǎo)數(shù)從根本上是求極限；函數(shù)連續(xù)首先要求函數(shù)在某一點(diǎn)的左極限等于右極限。有鑒于函數(shù)極限的重要性，結(jié)合自己的學(xué)習(xí)心得，筆者寫下了此文。其目的在于歸納和總結(jié)解決函數(shù)極限問題的實(shí)用方法和技巧，以期對(duì)函數(shù)極限問題的學(xué)習(xí)有所幫助。局限于筆者的認(rèn)知水平，缺點(diǎn)和不足在所難免，歡迎批評(píng)指正。

一、函數(shù)極限的定義和基本性質(zhì)

函數(shù)極限可以分成x→x0，x→∞兩類，而運(yùn)用ε-δ定義更多的見諸于已知

極限值的證明題中。掌握這類證明對(duì)初學(xué)者深刻理解運(yùn)用極限定義大有裨益。以x?x0的極限為例，f?x?在點(diǎn)x0以A極限的定義是：???0,???0,使當(dāng)0?x?x0??時(shí)，有f(x)?A??(A為常數(shù)).問題的關(guān)鍵在于找到符合定義要求的?，在這一過程中會(huì)用到一些不等式技巧，例如放縮法等。1999年的研究生考試試題中，更是直接考察了考生對(duì)定義的掌握情況。詳見附例1。

函數(shù)極限性質(zhì)的合理運(yùn)用。常用的函數(shù)極限的性質(zhì)有函數(shù)極限的唯一性、局部有界性、保序性以及函數(shù)極限的運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的極限等等。如函數(shù)極限的唯一性（若lim存在，則在該點(diǎn)的極限是唯一的）可以體現(xiàn)在用海涅定理證明x?x0

''即如果f?xn??A，fxn，f?x?在x0處的極限不存在。?B（n??,xn和xn?x0）??

則f?x?在x0處的極限不存在。

運(yùn)用函數(shù)極限的性質(zhì)可以方便地求出一些簡(jiǎn)單函數(shù)的極限值。例如對(duì)于有理分式f?x??P?x?P?x?,Q?x?均為多項(xiàng)式，Q?x??0）。設(shè)P?x?的次數(shù)為n,Q?x?的Qx次數(shù)為m，當(dāng)x??時(shí)，若n?m，則f?x??0;若n?m，則f?x??P?x?與Q?x?的最高次項(xiàng)系數(shù)之比；若n?m，則f?x???。當(dāng)x?x0時(shí),f(x)?P(x0)(Q(x0)?0)。Q(x0)

二、運(yùn)用函數(shù)極限的判別定理

最常用的判別定理包括單調(diào)有界定理和夾擠定理，在運(yùn)用它們?nèi)デ蠛瘮?shù)的極限時(shí)尤需注意以下關(guān)鍵之點(diǎn)。一是先要用單調(diào)有界定理證明收斂，然后再求極限值，參見附例2。二是應(yīng)用夾擠定理的關(guān)鍵是找到極限值相同的函數(shù)g?x?與

h?x?，并且要滿足g?x??f?x??h?x?，從而證明或求得函數(shù)f?x?的極限值。

三、應(yīng)用等價(jià)無窮小代換求極限

掌握常用的等價(jià)無窮小很重要。等價(jià)無窮小代換可以將復(fù)雜的極限式變的簡(jiǎn)單明了，讓求解過程變得簡(jiǎn)明迅速。

x?0時(shí)，sinx與x，tanx與x，arcsinx與x，arctanx與x，1?cosx與x2，xa，ax?1與xlna，?1?a?與ax（a?0）等等可ln?1?x?與x，loga?1?x?與lna

以相互替換。特別需要注意的是，等價(jià)無窮小代換只能用于分子、分母中的乘積

sinx?x

因子，而對(duì)于加減法運(yùn)算則不能運(yùn)用。例如lim，不能直接把sinx替換

x?0x

3sinx?x

1??成x，得出極限值為0，實(shí)際上lim。

x?0x36

四、運(yùn)用洛必達(dá)法則求函數(shù)極限

設(shè)函數(shù)f?x?，g?x?在點(diǎn)a的某空心鄰域可導(dǎo)，且g'(x)?0。當(dāng)x?a時(shí)，f?x?f'?x?，f?x?和g?x?的極限同時(shí)為0或?時(shí)才適用?'?A（A為常數(shù)或?）

gxgx洛必達(dá)法則。洛必達(dá)法則實(shí)際上把求函數(shù)極限問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生較為拿手的求導(dǎo)數(shù)

0??、00、1?、?0等類型則需要問題。這使得求解思路簡(jiǎn)單程序化。而對(duì)于???、0?

對(duì)式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化，或通分或取倒數(shù)或取對(duì)數(shù)等轉(zhuǎn)化為型，再使用洛必達(dá)法

0?

則求極限。例如f?x?

g?x?的極限轉(zhuǎn)化為求eg?x?lnf?x?的極限等等。然而，對(duì)于數(shù)列，則必須轉(zhuǎn)化為函數(shù)再運(yùn)用洛必達(dá)法則。這是因?yàn)槿绻褦?shù)列看作是自變量為n的函數(shù)時(shí)，它的定義域是一系列孤立的點(diǎn)，不存在導(dǎo)數(shù)。這是使用洛必達(dá)法則時(shí)必須要注意的一點(diǎn)。參見附例3。

五、泰勒公式的運(yùn)用

對(duì)于使用洛必達(dá)法則不易求出結(jié)果的復(fù)雜函數(shù)式，可以考慮使用泰勒公式。這樣將函數(shù)式化為最高次項(xiàng)為相同或相近的式子，這時(shí)就變成了求多項(xiàng)式的極限值（接著求值見上文所述方法），使計(jì)算一目了然。因此掌握和記憶常用基本初

等函數(shù)的麥克勞林展開式是十分必要的。如ex，sinx，cosx，ln?1?x?等等。至于展開式展開多少，則要與題干中的自變量x最高次項(xiàng)保持一致。如

cosx?elimx?0x4x4)。

?x

2利用泰勒公式展開cosx,e

?

x22，展開到x4即可(原式x最高次項(xiàng)為

六、利用微分中值定理來求極限

f(x)在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?上可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)???a,b?，使

f'(?)?

f(b)?f(a)'f(b)?f(a),f(?)即可看成特殊的極限，用來求解。一般需

b?ab?a

要函數(shù)式可以看成同一函數(shù)的區(qū)間端點(diǎn)的差，這樣可以使用微分中值定理。參見附例4。

另外，一些重要的結(jié)論往往在求極限時(shí)可以直接加以引用，例如

lim(1?x)?e，lim

x?0

1x

sinx

?

1，?

1，?1等等。

x?0nnx

求極限的方法和技巧更多的在于實(shí)踐中的摸索和探討，上述方法只是筆者在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和練習(xí)的一些心得，求極限的方法還有很多。局限于筆者的認(rèn)知水平，缺點(diǎn)和不足在所難免，敬請(qǐng)批評(píng)指正。

南開大學(xué)張陽和張效成老師的課堂教學(xué)給了筆者很大的啟發(fā)，在此向兩位老師表示感謝。

附：例1：對(duì)任意給定的???0,1?，總存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n?N時(shí)，恒有。xn?a?2?，是數(shù)列?xn?收斂于a的（）

A 充分非必要條件 B必要非充分條件C充分必要條件D既非充分又非必要條件

解析：這道題是1999年全國考研試卷(二)的數(shù)學(xué)選擇題，這道題直接考察了對(duì)極限定義的掌握和理解。

例2：若x1?a，y1?b（b?a?0），xn?1?xnyn，yn?1?明數(shù)列?xn?,?yn?有相同的極限。（見習(xí)題冊(cè)1 Page.18）

解析：由已知條件易知，b?y1?y2?……?yn?1?xn?1?……?x1?a，數(shù)列

xn?1?yn?

1，試證

2文中習(xí)題冊(cè)是指南開大學(xué)薛運(yùn)華，趙志勇主編的《高等數(shù)學(xué)習(xí)題課講義（上冊(cè)）》，為學(xué)生用數(shù)學(xué)練習(xí)冊(cè)。

x?yn

limyn?1?lin?xn?，?yn?單調(diào)有界，可以推出?xn?，?yn?收斂。n??n??

n??

。設(shè)

limyn?A，limxn?B，則?A?

n??

A?B,?A?B。2

例3：求lim(ntan)n的值。（見課本2 Page.153）

n??n

1??

解析：這是數(shù)列。設(shè)f?x???xtan?，則對(duì)limf?x?可以運(yùn)用洛必達(dá)法則，x???x??且原式=limf?x?。

x???

x2

aa

?arctan),a?0

n??nn?1

arctan解析：如例題3，設(shè)f?x??a，則在?x,x?1?上f?x?連續(xù)，在?x,x?1?內(nèi)

x

例4：求limn2(arctan

可導(dǎo)。于是，????x,x?1?,f'(?)?arctan

aaa?arctan??2（使用微分中x?1xa??2

a)?a。22

a??

值定理可得）。x??,則???,原式=lim?2（???

參考書目

[1] 張效成主編，《經(jīng)濟(jì)類數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）》，天津大學(xué)出版社，2005年7月 [2] 薛運(yùn)華，趙志勇主編，《高等數(shù)學(xué)習(xí)題課講義（上冊(cè)）》，南開大學(xué) [3] 張友貴等，《掌握高等數(shù)學(xué)（理工類、經(jīng)濟(jì)類）》，大連理工出版社，2004年11月

[4]《碩士研究生入學(xué)考試試題》，1984—2005

※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○※○

文中課本是指筆者使用的天津大學(xué)出版社05年7月版的《經(jīng)濟(jì)類數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）》張效成主編

第四篇：1-2函數(shù)極限

高等數(shù)學(xué)教案

§1.2函數(shù)極限

教學(xué)目標(biāo)：

1.掌握各種情形下的函數(shù)極限的基本概念和性質(zhì)。

2.掌握極限存在性的判定及應(yīng)用。

3.熟練掌握求函數(shù)極限的基本方法。

教學(xué)重難點(diǎn)：函數(shù)極限的概念、性質(zhì)及計(jì)算。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)數(shù)列極限的定義及性質(zhì)

二、導(dǎo)入新課：

由上節(jié)知，數(shù)列是自變量取自然數(shù)時(shí)的函數(shù)，xn?f(n)，因此，數(shù)列是函數(shù)的一種特殊情況。對(duì)于函數(shù)，自變量的變化主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：

1、自變量x任意接近于有限值a，記為x?a，相應(yīng)的函數(shù)值f(x)的變化情況。

2、當(dāng)自變量x的絕對(duì)值x無限增大，記x??，相應(yīng)的函數(shù)值f(x)的變化情況。

三、講授新課：

Ⅰ、當(dāng)x?a（a為有限實(shí)數(shù)）時(shí)函數(shù)f(x)的極限

（一）引例 曲線的切線：求拋物線y?2x2在點(diǎn)M0(1,2)處的切線。

方法：割線――切線。求曲線的切線可歸結(jié)為求出曲線在定點(diǎn)的切線斜率，從數(shù)量上看，動(dòng)割線的斜率的極限就是切線的斜率。

（二）函數(shù)極限的概念

1、當(dāng)x?a（a為有限實(shí)數(shù)）時(shí)函數(shù)f(x)的極限

與數(shù)列極限的意義相仿，自變量趨于有限值a時(shí)的函數(shù)極限可理解為：當(dāng)x?a時(shí)，f(x)?A（A為某常數(shù)），即當(dāng)x?a時(shí)，f(x)與A無限地接近，或說f(x)?A可任意小，亦即對(duì)于預(yù)先任意給定的正整數(shù)?（不論多么小），當(dāng)x與a充分接近時(shí)，可使得f(x)?A小于?。用數(shù)學(xué)的語言說，即

定義(???定義)：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)a的某空心鄰域內(nèi)有定義，A為定數(shù).若對(duì)??＞0，??＞0，使得當(dāng)0＜|x-a|＜δ時(shí)有

f(x)?A??,則稱x?a時(shí),函數(shù)f(x)以A為極限，記作 limf(x)?A,或f(x)→A(x→a).x?a

???0，說明：（1）“x與x0充分接近”在定義中表現(xiàn)為：有0?x?x0??，即x?U(x0,?)。

?

顯然?越小，此?與數(shù)列極限中的N所起的作用是一樣的，它也依賴于?。x與x0接近就越好，一般地，?越小，?相應(yīng)地也小一些。

（2）定義中“0＜|x-a|＜δ”指出x?a，這說明，當(dāng)x?a時(shí)，函數(shù)f(x)有沒有極限與

f(x)在點(diǎn)a有無定義無關(guān)。函數(shù)極限概念側(cè)重于描述f(x)在x?a且x?a時(shí)的變化趨勢(shì)。

正因?yàn)槿绱?，這個(gè)概念能解決切線問題。

（3）函數(shù)極限limf(x)?A的幾何意義：當(dāng)x在a的去心?鄰域時(shí),函數(shù)y?f(x)圖形完全落在x?a

以直線y?A為中心線,寬為2?的帶形區(qū)域內(nèi).（|f(x)?A|??，A???f(x)?A??)

y

A?（4）在應(yīng)用???定義驗(yàn)證這種 類型的函數(shù)極限時(shí)，具體方法是：對(duì)任A??給的??0，通過不等式|f(x)?A|?? 反解出|x?x0|，進(jìn)而找到滿足條件的?，證明結(jié)論。

Ⅱ、求函數(shù)極限

下面我們舉例說明如何應(yīng)用

定義來驗(yàn)證這種類型的函數(shù)極限。請(qǐng)讀者特別注意以下

各例中的值（依賴于?）是怎樣確定的。

例1 證明limC?C,(C為常數(shù)).x?a

證明：任給??0,任取??0,當(dāng)0?x?x0??時(shí),總有 f(x)?c?C?C?0??，依???定義，有l(wèi)imC?C.x?a

例2 證明lim(3x?2)?4.x?

2證明：任給??0,由于f(x)?4?(3x?2)?4?3x?6?3x?2,取??

?，則當(dāng)

0?x?2??時(shí),總有f(x)?4??，所以lim(3x?2)?4.x?2

x2?

1?2.例3 證明lim

x?1x?1

證明：函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒有定義，x2?1

f(x)?A??2?x?1，任給??0,要使

x?1

x2?1x2?1

?2.f(x)?A??,只要取???,當(dāng)0?x?1??時(shí),就有?2??,?lim

x?1x?1x?1

練習(xí)：

1、證明lim(ax?b)?ax0?b

x?x0

(a?0)

證明：對(duì)???0，要使得(ax?b)?(ax0?b)?a(x?x0)?ax?x0??，只須

x?x0?

?

a，所以取??

?

a

?0顯然當(dāng)x?x0??時(shí)，有(ax?b)?(ax0?b)??。

x2?1

2?。

2、證明lim

2x?12x?x?1

3x2?12x?121?x證明：對(duì)???0，因?yàn)閍?1,所以x?1?0.? ????2

2x?x?132x?133(2x?1)[此處x?1，即考慮x0?1附近的情況，故不妨限制x為0?x?1?1，即0?x?2，x?x?x2?121?x

x?1]。因?yàn)?x?1?1,?，要使,只須 ??，即????2

33(2x?1)32x?x?13

x2?12

1,3?}（從圖形中解釋），當(dāng)0?x???時(shí)，有2x??3?。取??min{???。

2x?x?13

Ⅲ、單側(cè)極限

有些函數(shù)在其定義域上某些點(diǎn)左側(cè)與右側(cè)的解析式不同（如分段函數(shù)定義域上的某些點(diǎn)），或函數(shù)在某些點(diǎn)僅在其一側(cè)有定義（如在定義區(qū)間端點(diǎn)處），這時(shí)函數(shù)在那些點(diǎn)上的極限只能

?1,x?0,單側(cè)地給出定義。例如函數(shù)f(x)??，當(dāng)x從左側(cè)趨于0時(shí)，f(x)以1為極限.當(dāng)x

?x,x?0.從右側(cè)趨于0時(shí)，f(x)以0為極限.它們分別稱為x趨于0時(shí)f(x)的左極限和右極限。

左極限：???0,???0,使得當(dāng)a???x?a時(shí),都有f(x)?A??.則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x?a

時(shí)的左極限。記作 lim?f(x)?A，或f(a?0)?A。

x?a

右極限：???0,???0,使得當(dāng)a?x?a??時(shí),都有f(x)?A??.則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x?a

時(shí)的右極限。記作 lim?f(x)?A，或f(a?0)?A。

x?a

由左、右極限的定義不難看出，函數(shù)f(x)當(dāng)x?a時(shí)極限存在?函數(shù)左、右極限存在且相等，即lim?f(x)?lim?f(x).x?a

x?a

若左、右極限存在不相等，則極限不存在。

??1,x?0,?

例4 函數(shù)f(x)?sngx??0,x?0,當(dāng)x?0時(shí)極限不存在。

?1,x?0.?

證明：事實(shí)上，f(x)的左極限lim?f(x)??1，右極限lim?f(x)?1，左右極限不相等，所以

x?0

x?0

limf(x)不存在。

x?0

Ⅳ、當(dāng)x??時(shí)，函數(shù)f(x)的極限

（一）當(dāng)x??時(shí)，函數(shù)f(x)的極限

定義：對(duì)于任意給定的??0，總存在一個(gè)M?0,使得對(duì)于滿足不等式x?M的一切x,均有不等式f(x)?A??成立，則稱函數(shù)f（x）當(dāng)x?∞時(shí)以A為極限，記作

limf(x)?A

x??

x???

x???，或 f(x)→A(x→∞).同樣可以定義limf(x)?A,limf(x)?A.注意：(1)limf(x)?A可看作數(shù)列極限limf(n)?a的直接推廣。它們不同之處在于，這里所

x???

n??

考慮的是所有大于M的實(shí)數(shù)（連續(xù)），而不僅僅是正整數(shù)(跳躍性的)。(2)limf(x)?A?limf(x)?limf(x)?A。

x??

x???

x???

（3）幾何意義：當(dāng)x??M或x?M時(shí),函數(shù)y?f(x)圖形完全落在以直線y?A為中心線,寬為2?的帶形區(qū)域內(nèi).（二）例題 例5 證明lim

?0.x??x

211?0|???|x|?M?，只需，如果取，則對(duì)x2x2

證明：任意給定??0，要使|一切滿足x?M的x，均有|

例6 證明lim

sinx

?0.x??x

?0|??，證畢。x2

證：要使

11sinxsinx

1?0????,只需|x|?.，因此對(duì)???0,取M?,當(dāng)x?M時(shí),有

??xxx

sinxsinx

?0??,故lim?0.x??xx

Ⅴ、函數(shù)極限的性質(zhì)

下面以limf(x)為代表敘述函數(shù)極限的性質(zhì)，這些性質(zhì)對(duì)其余5種類型的函數(shù)極限也成立.x?a1、(唯一性)若limf(x)存在，則此極限是唯一的.x?a2、(局部有界性)若limf(x)?A,存在某個(gè)?0?0和常數(shù)M?0,當(dāng)0?x?x0??0時(shí),有

x?a

|f(x)|?M.注意：如果一個(gè)數(shù)列收斂，則這個(gè)數(shù)列有界。但函數(shù)f(x)在點(diǎn)a有極限，只能斷言它在某個(gè)

局部范圍，即在點(diǎn)a的某空心鄰域有界，稱為局部有界。

3、(局部保號(hào)性)若limf(x)=A＞0(或＜0），則存在?0?0，使當(dāng)0?x?x0??0時(shí),有f(x)?0

x?a

（或f(x)?0）。

A，則由limf(x)=A，對(duì)上述?0，總存在?0?0，使當(dāng)0?x?x0??0時(shí),x?a

2AA

有|f(x)?A|??0，因而f(x)?A??0?A???0.22

A

若A<0, 取?0??,則由limf(x)=A，對(duì)上述?0，總存在?0?0，使當(dāng)0?x?x0??0時(shí),有

x?a2

AA

|f(x)?A|??0，因而f(x)?A??0?A???0.224、四則運(yùn)算法則

證：設(shè)A>0，取?0?

設(shè)limf(x)與limg(x)存在，則函數(shù)f±g，f·g，(若limg(x)≠0)當(dāng)x→a時(shí)極限存在且

x?a

x?a

fg

x?x0

1)lim[f(x)?g(x)]=limf(x)±limg(x)；

x?a

x?a

x?a

2)lim[f(x)?g(x)]=limf(x)?limg(x)；

x?a

x?a

x?a

f(x)f(x)limx?a

3)lim=.(limg(x)≠0)

x?ag(x)limg(x)x?x0

x?a

注意：公式（1）、（2）可以推廣到任意有限個(gè)函數(shù)的情況。特別地，有

lim[(f(x))n]?[limf(x)]n.x?a

x?a

例7 求lim[(3x2?2x?1)(x3?3)].x?

2x2?3x?2

例8 求lim.（先約分）

x?1x3?

12x3?1

3x例9 求lim3.（分子分母同除以）

x??x?8x2?7x

?x?1,x?0?

例10 設(shè)f(x)??x2?3x?1，求limf(x),limf(x).x?0x??,x?0?3

?x?1

（注意求limf(x)時(shí)，由于時(shí)分段函數(shù)，所以要求在x?0時(shí)的左右極限。）

x?0

四、習(xí)題處理

五、小結(jié)，作業(yè)：p36ex1、6、8.附錄：設(shè)limf(x)?A，limg(x)?B。證明：

x?x0

x?x0

f(x)A

?，（當(dāng) B≠0時(shí)）

x?x0x?x0x?x0g(x)B

證明因?yàn)閘imf(x)?A，limg(x)?B所以???0，分別存在?1?0，?2?0，使得當(dāng)

（1）lim[f(x)?g(x)]?A?B；（2）lim[f(x)g(x)]?AB；（3）lim

x?x0

x?x0

0?|x?x0|??1時(shí)，有|f(x)?A|??；當(dāng)0?|x?x0|??2時(shí)，有|g(x)?B|??。（1）取??min{?1,?2}，于是當(dāng)0?|x?x0|??時(shí)，有

|(f(x)?g(x))?(A?B)|?|f(x)?A|?|g(x)?B|?????2?，所以lim[f(x)?g(x)]?A?B。

x?x0

同理可證：lim[f(x)?g(x)]?A?B

x?x0

（2）因?yàn)閘imf(x)?A，由局部有界性定理，知存在?3?0，使f(x)在U0(x0,?3)有界。即存在x?x0

M?0，當(dāng)0?|x?x0|??3時(shí)，|f(x)|?M?，F(xiàn)在取??min{?1,?2,?3}，于是當(dāng)0?|x?x0|??時(shí)，有

|f(x)?g(x)?A?B|?|f(x)?g(x)?f(x)?B|?|f(x)?B?A?B|

?|f(x)|?|g(x)?B|?B?|f(x)?A|?M??B??(M?B)?所以lim[f(x)g(x)]?AB

x?x0

B2

?0，于是由局部保號(hào)性定理知，存在?4?0，（3）因?yàn)閘img(x)?B?0，limB?g(x)?B?

x?x0x?x02

B2

當(dāng)0?|x?x0|??4時(shí)，|Bg(x)|?。現(xiàn)在取??min{?1,?2,?4}，于是當(dāng)0?|x?x0|??時(shí)，有

f(x)ABf(x)?Ag(x)|Bf(x)?AB?AB?Ag(x)|

???g(x)BB?g(x)|B|?|g(x)|

|B|?|f(x)?A|?|A|?|B?g(x)||B|??|A|?|B|?|A|

???22

|B|?|g(x)|BBf(x)A

?。所以lim

x?x0g(x)B?

第五篇：函數(shù)極限概念

一． 函數(shù)極限的概念

1.x趨于?時(shí)函數(shù)的極限

設(shè)函數(shù)f定義在??,???上，類似于數(shù)列情形，我們研究當(dāng)自變量x趨于+?時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值能否無線地接近于某個(gè)定數(shù)A.例如，對(duì)于函數(shù)f?x?=，從圖象上可見，當(dāng)無x限增大時(shí)，函數(shù)值無限地接近于x1

0；而對(duì)于函數(shù)g?x?=arctanx則當(dāng)x趨于+?時(shí)，函數(shù)值無限地接近于.2?我們稱這兩個(gè)函數(shù)當(dāng)x趨于+?時(shí)有極限.一般地，當(dāng)x趨于+?時(shí)函數(shù)極限的精準(zhǔn)定義如下：

定義1 設(shè)f為定義在??,???上的函數(shù)，A為定數(shù)。若對(duì)任給的??0，存在正數(shù)M????，使得當(dāng)x?M時(shí)有f?x??A??，則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于+?時(shí)以A為極限，記作lim

f?x??A或f ?x??A?x????.x???

在定義1中正數(shù)M的作用與數(shù)列極限定義中的N相類似，表明x充分大的程度；但這里所考慮的是比M大的所有實(shí)數(shù)x，而不僅僅是正整數(shù)n。因此，當(dāng)x???時(shí)函數(shù)f以A為極限意味著：A的任意小鄰域內(nèi)必含有f在+?的某鄰域內(nèi)的全部函數(shù)值.