第一篇：極限的四則運算函數的連續性

極限的四則運算函數的連續性

極限的四則運算，函數的連續性

二.教學重、難點： 1.函數在一點處連續

2.函數在開區間，閉區間上連續 3.連續函數的性質

（1）若與在處連續，則，（）在處也連續。

（2）最大、最小值，若是[]上的連續函數，那么在上有最大值和最小值，最值可在端點處取得，也可以在內取得。

【典型例題】 [例1] 求下列極限（1）（2）（3）（4）解：（1）原式（2）原式

（3）原式

（4）原式

[例2] 求下列各數列的極限（1）（2）（3）解：（1）原式（2）原式（3）原式

[例3] 已知數列是正數構成的數列，且滿足，其中是大于1的整數，是正數。

（1）求的通項公式及前項和；（2）求的值。解：

（1）由已知得

∴ 是公比為的等比數列，則

（2）① 當時，原式 ② 當時，原式 ③ 當時，原式

[例4] 判定下列函數在給定點處是否連續。（1）在處；（2），在處。解：（1），但

故函數在處不連續（2）函數在處有定義，但，即

故不存在，所以函數在點處不連續。

[例5] 已知函數，試求：（1）的定義域，并畫出的圖象；（2）求，；

（3）在哪些點處不連續。解：

（1）當，即時，當時，不存在 當時，當時，即或時，∴

∴ 定義域為（）（），圖象如圖所示

（2）

∴ 不存在

（3）在及處不連續

∵ 在處無意義 時，即不存在∴ 在及處不連續

[例6] 證明方程至少有一個小于1的正根。證明：令，則在（0，1）上連續，且當時。時，∴ 在（0，1）內至少有一個，使

即：至少有一個，滿足且，所以方程至少有一個小于1的正根。

[例7] 函數在區間（0，2）上是否連續？在區間[0，2]上呢？ 解：（且）任取，則

∴ 在（0，2）內連續，但在處無定義 ∴ 在處不連續，從而在[0，2]上不連續

[例8] 假設，在上不連續，求的取值范圍。

解：若函數，在上連續，由函數在點處連續的定義，必有，因為，所以，所以，若不連續，則且。

[例9] 設

（1）若在處的極限存在，求的值；（2）若在處連續，求的值。解：

（1），因為在處極限存在，所以，所以，即（2）因為在處連續，所以在處的極限存在，且，由（1）知，且，又，所以。

【模擬試題】 一.選擇題：

1.已知，則下列結論正確的是（）

A.B.不存在C.=1

D.= 2.的值為（）

A.5

B.4

C.7

D.0 3.的值為（）

A.1

B.0

C.D.4.的值為（）

A.B.C.1

D.5.若，則的取值范圍是（）

A.B.C.D.6.若在上處處連續，則常數等于（）

A.0

B.1

C.2

D.7.在點處連續是在點處連續的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

8.的不連續點是（）

A.無不連續點

B.C.D.二.解答題： 1.求下列極限：

（1）

（2）

（3）2.為常數，1，求。

3.已知

（1）在處是否連續？說明理由；（2）討論在和上的連續性。

【試題答案】 一.1.B

2.C

3.C D

二.1.解：（1）（2）

① 當時，∴

② 當時，∴

③ 當時，（3）2.解：∵

∴

∴，4.B

5.C

6.C

7.A

8.3.解：

（1）∵，則

∴

∵，且

∴

∵

∴ 不存在∴ 在處不連續（2）∵

∴ 在上是不連續函數 ∵

∴ 在上是連續函數。

第二篇：函數的極限和函數的連續性（本站推薦）

第一部分高等數學

第一節函數的極限和函數的連續性

考點梳理

一、函數及其性質

1、初等函數

冪函數：y?xa(a?R)

指數函數y?ax(a?1且a?1)

對數函數：y?logax(a?0且a?1)

三角函數：sin x , cos x , tan x , cot x

反三角函數：arcsin x , arcos x , arctan x , arccot x2、性質（定義域、值域、奇偶性、單調性、周期性、有界性）

【注】奇偶性、單調性相對考察的可能性打，但一般不會單獨出題，常與其他知識點結合起來考察（比如與積分、導數結合）

二、函數極限

1． 數列極限

定義（略）

收斂性質：極限的唯一性、極限的有界性、極限的保號性。

·類比數列極限，函數極限有唯一性、局部有界性、局部保號性。

單側極限（左極限、右極限）

【注】函數極限為每年的必考內容，常見于客觀題中。一般為2~3題。

2． 兩個重要極限

（1）limsinx?1 x?0x

x類似得到：x→0時，x～ln(x+1)～arcsin x～arctan x～tan x（2）lim(1?x)?e x?0

類似得到：lim(1?)?elim(1?)?x??x??1xx

1xx1 e

·此處，需提及無窮大，無窮小的概念，希望讀者進行自學。

三、函數的連續性

1． 概念：函數f(x)在x0處的連續（f(x)在x0點左連續、f(x)在x0點右連續）函數f(x)在開區間（a,b）上的連續

函數f(x)在閉區間[a,b]上的連續

2． 函數的間斷點分類

● 跳躍式間斷點：函數f(x)在點x0的左右極限都存在但不相等。

● 函數在點x0的左右極限都存在且相等，但不等于該點的函數值（或函數值在該

點無定義）

● 振蕩間斷點：f(x)在點x0的左右極限至少有一個不存在。

3． 連續函數的和、積、商，初等函數的連續性

● 有限個在某點連續的函數的和是一個在該點連續的函數。

● 有限個再某點連續的函數的積是一個在該點連續的函數。

● 兩個在某點連續的函數的商事一個在該點連續的函數（分母在該點不為零）● 一切基本初等函數在定義域（或定義區間）上是連續的。

4． 閉區間上的連續函數的性質

●（最大、最小定理）在閉區間上連續的函數一定有最大值和最小值。

●（有界性定理）在閉區間上連續的函數一定在該區間上有界。

●（零點定理）設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，且f(a)與f(b)異號（即f(a)·f(b)<0），那么在開區間(a,b)內至少有函數f(x)的一個零點。

● 介值定理：設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，且在這區間的端點處取不同的函

數值f(a)=A及f(b)=B，那么，對于A與B之間的任意一個數C，在開區間(a,b)

內至少有一點ξ，使得f(b)=C(a<ξ

【注】函數的連續性，一般在客觀題目中出現，分值不大，一般1~2題。

典型例題分析

【例1】（2010年真題）（工程類）計算極限limx?sinx? x?0x?sinx

A.1B.-1C.0D.2sinx?1這一重要極限。如此，我們不難解x?0x

sinxsinx1?1?limx?sinxx?0??0。出該極限為0.即lim?limx?0x?sinxx?01?1?limx?0xx

x?cx)?e6,則常數c=_________。【例2】（2010年真題）（工程類）設lim(x??x?c

1x1【解析】解決此類題目，我們要靈活運用lim(1?)?。x??xe【解析】：解決此類題目，我們要深刻掌握lim

2cxx?cx2cx

2?ccx?clim()?lim(1?)?limex??x?cx??x??x?c?2c1?c?e?2c?e6。則c=-3。

1???xsin,x?0【例3】（2009年真題）（工程類）設f(x)??若f(x)在點x=0處連續，則αx??0,x?0的取值范圍是

A．(-∞,+ ∞)B.[0,+ ∞]C.(0,+ ∞)D.(1,+ ∞)

【解析】函數f(x)為一個分段函數，要使其在點x=0處連續，只需limxsinx?0?1?0，不難x

發現x→0時，sin x 為有界的，我們只需滿足limx?0即可。易得，α>0。但α不能等于x?0?

0，否則limsinx?01?0。x

提高訓練

1、求下列函數的定義域

（1）y?

（2）y?1 2x?2x

（3）y=lg(3x+1)

(4)y?1? 1?x22、判斷一下函數的奇偶性

ax?a?x

(1)y = tan x(2)y?a(3)y? 2x3、求下列函數的極限

1x3?4x2(1)lim(3x?1)(2)lim3(3)limxsinx?3x?0x?0x?xx

sin3x15sin2x(4)lim(5)lim(6)lim(1?)x?0x??x?01?cosxxx

?1?ex,x?0??

4、討論f(x)??0,x?0在x=0點的連續性。

x?05、證明方程x?3x?1至少有一個根介于1和2之間。

【答案】

1、（1）[-1,1](2)(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞)(3)(-1/3,+∞)

(4)[-2,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)

2、（1）奇（2）非奇非偶（3）偶

3、（1）8（2）4（3）0（4）2（5）3（6）

14、連續

5、證明：記f(x)?x?3x?1，f(1)=-3<0,f(2)=25>0。由零點存在定理知，至少存在一個零點介于1和2之間。即方程x?3x?1在1和2之間至少有一個根。555

第三篇：函數的極限及函數的連續性典型例題

函數的極限及函數的連續性典型例題

一、重點難點分析：

①

此定理非常重要，利用它證明函數是否存在極限。② 要掌握常見的幾種函數式變形求極限。③ 函數f(x)在x=x0處連續的充要條件是在x=x0處左右連續。

。④ 計算函數極限的方法，若在x=x0處連續，則

⑤ 若函數在[a,b]上連續，則它在[a,b]上有最大值，最小值。

二、典型例題

例1．求下列極限

①

②

③

④

解析：①。

②。

③。

④。

例2．已知，求m,n。

解：由可知x2+mx+2含有x+2這個因式，∴ x=-2是方程x2+mx+2=0的根，∴ m=3代入求得n=-1。

例3．討論函數的連續性。

解析：函數的定義域為(-∞,+∞)，由初等函數的連續性知，在非分界點處函數是連續的，又

∴

由

從而f(x)在點x=-1處不連續。

∴ f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上連續，x=-1為函數的不連續點。，∴ f(x)在x=1處連續。，例4．已知函數

試討論a,b為何值時，f(x)在x=0處連續。,(a,b為常數)。

解析：∵

且，∴，∴ a=1, b=0。

例5．求下列函數極限

①

②

解析：①。

②。

例6．設

解析：∵

要使存在，只需，問常數k為何值時，有存在？。，∴ 2k=1，故 時，存在。

例7．求函數

在x=-1處左右極限，并說明在x=-1處是否有極限？

解析：由∵，∴ f(x)在x=-1處極限不存在。，三、訓練題：

1．已知，則

2．的值是_______。

3.已知，則=______。

4．已知

5．已知，2a+b=0，求a與b的值。，求a的值。

參考答案：1.3

2.3.4.a=2, b=-45.a=0

第四篇：第十三章多元函數的極限和連續性

《數學分析（1，2，3）》教案

第十三章 多元函數的極限和連續性

§

1、平面點集

一 鄰域、點列的極限

定義1 在平面上固定一點M0?x0,y0?，凡是與M0的距離小于?的那些點M組成的平面點集，叫做M0的?鄰域，記為O?M0,??。

定義2 設Mn??xn,yn?，M0??x0,y0?。如果對M0的任何一個?鄰域O?M0,??，總存在正整數N，當n?N時，有Mn?O?M0,??。就稱點列?Mn?收斂，并且收斂于

M0，記為limMn??n?M0或?xn,yn???x0,y0??n???。

性質：（1）?xn,yn???x0,y0??xn?x0,yn?y0。（2）若?Mn?收斂，則它只有一個極限，即極限是唯一的。二 開集、閉集、區域

設E是一個平面點集。

1． 內點：設M0?E，如果存在M0的一個?鄰域O?M0,??，使得O?M0,???E，就稱M0是E的內點。2． 外點：設M1?E，如果存在M1的一個?鄰域O?M1,??，使得O?M1,???E??，就稱M1是E的外點。

3． 邊界點：設M*是平面上的一點，它可以屬于E，也可以不屬于E，如果對M*的任何?鄰域O?M*,??，其中既有E的點，又有非E中的點，就稱M*是E的邊界點。E的邊界點全體叫做E的邊界。4． 開集：如果E的點都是E的內點，就稱E是開集。

5． 聚點：設M*是平面上的一點，它可以屬于E，也可以不屬于E，如果對M*的任何?鄰域O?M*,??，至少含有E中一個（不等于M*的）點，就稱M*是E的聚點。性質：設M0是E的聚點，則在E中存在一個點列?Mn?以M0為極限。6． 閉集：設E的所有聚點都在E內，就稱E是閉集。

7． 區域：設E是一個開集，并且E中任何兩點M1和M2之間都可以用有限條直線段所組成的折線連接起來，而這條折線全部含在E中，就稱E是區域。一個區域加上它的邊界就是一個閉區域。三平面點集的幾個基本定理

1．矩形套定理：設?an?x?bn,cn?y?dn?是矩形序列，其中每一個矩形都含在前一個矩形中，并且

13-1

《數學分析（1，2，3）》教案

bn?an?0，dn?cn?0，那么存在唯一的點屬于所有的矩形。

2.致密性定理：如果序列?Mn?xn,yn??有界，那么從其中必能選取收斂的子列。

3.有限覆蓋定理：若一開矩形集合???????x??,??y???覆蓋一有界閉區域。那么從???里，必可選出有限個開矩形，他們也能覆蓋這個區域。

N4．收斂原理：平面點列?Mn?有極限的充分必要條件是：對任何給定的??0，總存在正整數N，當n,m?時，有r?Mn,Mm???。

§2 多元函數的極限和連續

一 多元函數的概念

不論在數學的理論問題中還是在實際問題中，許多量的變化，不只由一個因素決定，而是由多個因素決定。例如平行四邊行的面積A由它的相鄰兩邊的長x和寬y以及夾角?所確定,即A?xysin?;圓柱體體積V由底半徑r和高h所決定,即V??rh。這些都是多元函數的例子。

2一般地，有下面定義：

定義1 設E是R的一個子集，R是實數集，f是一個規律，如果對E中的每一點(x,y)，通過規律f，在R中有唯一的一個u與此對應，則稱f是定義在E上的一個二元函數，它在點(x,y)的函數值是u，并記此值為f(x,y)，即u?f(x,y)。

有時，二元函數可以用空間的一塊曲面表示出來，這為研究問題提供了直觀想象。例如，二元函數x?R22?x2?y2就是一個上半球面，球心在原點，半徑為R，此函數定義域為滿足關系式x?y?R222222的x，y全體，即D?{(x,y)|x?y?R}。又如，Z?xy是馬鞍面。二 多元函數的極限

2定義2

設E是R的一個開集，A是一個常數，二元函數f?M??f(x,y)在點M0?x0,y0??E附近有定義．如果???0，???0，當0?r?M,M0???時，有f(M)?A??，就稱A是二元函數在M0點的極限。記為limf?M??A或f?M??A?M?M0?。

M?M02定義的等價敘述1 設E是R的一個開集，A是一個常數，二元函數f?M??f(x,y)在點M0?x0,y0??E附近有定義．如果???0，???0，當0??x?x0???y?y0???時，有f(x,y)?A??，就稱A是13-2

《數學分析（1，2，3）》教案

二元函數在M0點的極限。記為limf?M??A或f?M??A?M?M0?。

M?M02定義的等價敘述2 設E是R的一個開集，A是一個常數，二元函數f?M??f(x,y)在點M0?x0,y0??E附近有定義．如果???0，???0，當0?x?x0??,0?y?y0??且?x,y???x0,y0?時，有

f0f(x,y)?A??，就稱A是二元函數在M0點的極限。記為limM?M?M??A或f?M??A?M?M0 ?。注：（1）和一元函數的情形一樣，如果limf(M)?A，則當M以任何點列及任何方式趨于M0時，f(M)M?M0的極限是A；反之，M以任何方式及任何點列趨于M0時，f(M)的極限是A。但若M在某一點列或沿某一曲線?M0時，f(M)的極限為A，還不能肯定f(M)在M0的極限是A。所以說，這里的“”或“”要比一元函數的情形復雜得多，下面舉例說明。例：設二元函數f(x,y)?xyx2?y22，討論在點(0,0)的的二重極限。

例：設二元函數f(x,y)?2xyx2?y或2，討論在點(0,0)的二重極限是否存在。

??0,例：f(x,y)????1,x?y其它y?0，討論該函數的二重極限是否存在。

二元函數的極限較之一元函數的極限而言，要復雜得多，特別是自變量的變化趨勢，較之一元函數要復雜。例：limx??y??x?yx2?xy?ysinxyx2。

例：① limx?0y?0② lim(x?y)ln(x?y)③ lim(x?y)ex?0y?0x??y??2222222?(x?y)

例：求f(x,y)?xy3223x?y在（０，０）點的極限，若用極坐標替換則為limrr?0coscos32?sin2?3??sin??0?（注意：cos3??sin?在??37?4時為０，此時無界）。

xyx22例：（極坐標法再舉例）：設二元函數f(x,y)??y2，討論在點(0,0)的二重極限．

證明二元極限不存在的方法．

基本思想：根據重極限定義，若重極限存在，則它沿任何路徑的極限都應存在且相等，故若１）某個特殊路徑的極限不存在；或２）某兩個特殊路徑的極限不等；３）或用極坐標法，說明極限與輻角有關． 例：f(x,y)?xyx2?y2在(0,0)的二重極限不存在．

13-3

《數學分析（1，2，3）》教案

三

二元函數的連續性

定義3

設f?M?在M0點有定義，如果limf(M)?f(M0)，則稱f?M?在M0點連續．

M?M0“???語言”描述：???0,???0,當0

????四 有界閉區域上連續函數的性質

有界性定理

若f?x,y?再有界閉區域D上連續，則它在D上有界。一致連續性定理

若f?x,y?再有界閉區域D上連續，則它在D上一致連續。

最大值最小值定理

若f?x,y?再有界閉區域D上連續，則它在D上必有最大值和最小值。

nP0和P1是D內任意兩點，f是D內的連續函數，零點存在定理

設D是R中的一個區域，如果f(P0)?0，????????f(P1)?0，則在D內任何一條連結P0,P1的折線上，至少存在一點Ps，使f(Ps)?0。

五

二重極限和二次極限

在極限limf(x,y)中，兩個自變量同時以任何方式趨于x0,y0，這種極限也叫做重極限（二重極限）．此x?x0y?y0外，我們還要討論當x,y先后相繼地趨于x0與y0時f(x,y)的極限．這種極限稱為累次極限（二次極限），其定義如下：

若對任一固定的y，當x?x0時，f(x,y)的極限存在：limf(x,y)??(y),而?(y)在y?y0時的x?x0極限也存在并等于A，亦即lim?(y)?A，那么稱A為f(x,y)先對x，再對y的二次極限，記為y?y0limlimf(x,y)?A．

y?y0x?x0同樣可定義先y后x的二次極限：limlimf(x,y)．

x?x0y?y0上述兩類極限統稱為累次極限。

注意：二次極限（累次極限）與二重極限（重極限）沒有什么必然的聯系。例：（二重極限存在，但兩個二次極限不存在）．設

11?xsin?ysin?yxf(x,y)???0?x?0,y?0x?0ory?0

由f(x,y)?x?y 得limf(x,y)?0（兩邊夾）;由limsinx?0y?0y?01y不存在知f(x,y)的累次極限不存在。

例：（兩個二次極限存在且相等，但二重極限不存在）。設

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《數學分析（1，2，3）》教案

f(x,y)?xyx2?y2，(x,y)?(0,0)

由limlimf(x,y)?limlimf(x,y)?0知兩個二次極限存在且相等。但由前面知limf(x,y)不存在。

x?0y?0y?0x?0x?0y?0例：（兩個二次極限存在，但不相等）。設

f(x,y)xx22?y?y22，(x,y)?(0,0)

則 limlimf(x,y)?1，limlimf(x,y)??1;limlimf(x,y)?limlimf(x,y)（不可交換）

x?0y?0y?0x?0x?0y?0y?0x?0上面諸例說明：二次極限存在與否和二重極限存在與否，二者之間沒有一定的關系。但在某些條件下，它們之間會有一些聯系。

定理1 設（1）二重極限limf(x,y)?A；（2）?y,y?y0，limf(x,y)??(y)。則

x?x0y?y0x?x0y?y0lim?(y)?limlimf(x,y)?A。

y?y0x?x0（定理1說明：在重極限與一個累次極限都存在時，它們必相等。但并不意味著另一累次極限存在）。推論1

設（1）limf(x,y)?A；（2）?y,y?y0，limf(x,y)存在；（3）?x,x?x0，limf(x,y)x?x0y?y0x?x0y?y0存在；則limlimf(x,y)，limlimf(x,y)都存在，并且等于二重極限limf(x,y)。

y?y0x?x0x?x0y?y0x?x0y?y0推論2 若累次極限limlimf(x,y)與limlimf(x,y)存在但不相等，則重極限limf(x,y)必不存在（可x?x0y?y0y?y0x?x0x?x0y?y0用于否定重極限的存在性）。例：求函數f?x,y??xy22222xy??x?y?在?0,0?的二次極限和二重極限。

13-5

第五篇：§1.7 復變函數的極限和連續性

§1.7復變函數的極限和連續性 復變函數設E??是非空點集.稱映射f:E??為復變函數,也可用w?f(z)表示.若記z?x?iy,w?u?iv,則

w?f(z)?f(x,y)?u(z)?iv(z)?u(x,y)?iv(x,y).于是,復變函數w?f(z)的極限、連續、一致連續等概念就是映射(u,v):E??2的相應概念.有關映射的各種性質也對復變函數成立.重要注記由于x?z?2z?2i,y?,故一般將w?f(z)理解為以z,為自變量的函數,即w?f(z,)?u(z,)?iv(z,).以后將看到,這樣 做會帶來很多方便,并且具有“復風格”.習題1.7(P33)3,4,5.