第一篇：函數極限概念

一． 函數極限的概念

1.x趨于?時函數的極限

設函數f定義在??,???上，類似于數列情形，我們研究當自變量x趨于+?時，對應的函數值能否無線地接近于某個定數A.例如，對于函數f?x?=，從圖象上可見，當無x限增大時，函數值無限地接近于x1

0；而對于函數g?x?=arctanx則當x趨于+?時，函數值無限地接近于.2?我們稱這兩個函數當x趨于+?時有極限.一般地，當x趨于+?時函數極限的精準定義如下：

定義1 設f為定義在??,???上的函數，A為定數。若對任給的??0，存在正數M????，使得當x?M時有f?x??A??，則稱函數f當x趨于+?時以A為極限，記作lim

f?x??A或f ?x??A?x????.x???

在定義1中正數M的作用與數列極限定義中的N相類似，表明x充分大的程度；但這里所考慮的是比M大的所有實數x，而不僅僅是正整數n。因此，當x???時函數f以A為極限意味著：A的任意小鄰域內必含有f在+?的某鄰域內的全部函數值.

第二篇：函數極限

習題

1.按定義證明下列極限:

(1)limx???6x?5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x?2x

x2?5?1;(4)lim?(3)lim2x???x?1x?2

(5)limcos x = cos x0 x?x04?x2=0;

2.根據定義2敘述limf(x)≠ A.x?x0

3.設limf(x)= A.,證明limf(x0+h)= A.x?x0h?0

4.證明:若limf(x)= A,則lim| f(x)| = |A|.當且僅當A為何值時反之也成立? x?x0x?x0

5.證明定理3.1

6.討論下列函數在x0→0 時的極限或左、右極限:(1)f(x)=x

x;(2)f(x)= [x]

?2x;x?0.?(3)f(x)=?0;x?0.?1?x2,x?0.?

7.設 limf(x)= A,證明limf(x???x?x01)= A x

8.證明:對黎曼函數R(x)有limR(x)= 0 , x0∈[0,1](當x0=0或1時,考慮單側極限).x?x0

習題

1． 求下列極限：

x2?1（1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim;?x?02x2?x?1x?22

x2?1?x?1???1?3x?;

lim(3)lim;(4)

x?12x2?x?1x?0x2?2x3

xn?1(5)limm(n,m 為正整數)；（6）lim

x?1xx?4?1

（7）lim

x?0

?2x?3x?2

70；

a2?x?a?3x?6??8x?5?.（a>0）;(8)lim

x???x5x?190

2． 利用斂性求極限：(1)lim

x???

x?cosxxsinx

;(2)lim2

x?0xx?4

x?x0

3． 設 limf(x)=A, limg(x)=B.證明：

x?x0

（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;

x?x0

（2）lim[f(x)g(x)]=AB;

x?x0

（3）lim

x?x0

f(x)A

=(當B≠0時)g(x)B

4． 設

a0xm?a1xm?1???am?1x?am

f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn?1

b0x?b1x???bn?1x?bn

試求 limf(x)

x???

5． 設f(x)>0, limf(x)=A.證明

x?x0

x?x0

lim

f(x)=A，其中n≥2為正整數.6.證明limax=1(0

x?0

7.設limf(x)=A, limg(x)=B.x?x0

x?x0

(1)若在某∪(x0)內有f(x)< g(x)，問是否必有A < B ? 為什么？

（2）證明：若A>B,則在某∪(x0)內有f(x)> g(x).8.求下列極限（其中n皆為正整數）：(1)lim ?

x?0

x

x11

lim;(2);nn?x?0x1?xx1?x

x?x2???xn?n

(3)lim;(4)lim

x?0x?0x?1

?x?1

x

(5)lim

x??

?x?(提示：參照例1)

x

x?0

x?0

x?0

9．（1）證明：若limf(x3)存在，則limf(x)= lim f(x3)（2）若limf(x2)存在，試問是否成立limf(x)=limf(x2)?

x?0

x?0

x?0

習題

1.敘述函數極限limf(x)的歸結原則,并應用它證明limcos x不存在.n???

n???

2.設f 為定義在[a,+?)上的增(減)函數.證明: lim= f(x)存在的充要條件是f在n???

[a,+?)上有上(下)界.3.(1)敘述極限limf(x)的柯西準則;

n???

(2)根據柯西準則敘述limf(x)不存在的充要條件,并應用它證明limsin x不存在.n???

n???

4.設f在∪0(x0)內有定義.證明:若對任何數列{xn}?∪0(x0)且limxn=x0,極限limf(xn)都

n??

n??

存在,則所有這極限都相等.提示: 參見定理3.11充分性的證明.5設f為∪0(x0)上的遞減函數.證明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0)=supf(x),f(x0+0)=

0x?u?

?x0?

0x?un(x0)

inff(x)

6.設 D(x)為狄利克雷函數,x0∈R證明limD(x)不存在.x?x0

7.證明:若f為周期函數,且limf(x)=0,則f(x)=0

x???

8.證明定理3.9

習題

1.求下列極限

sin2xsinx3

(1)lim;(2)lim

x?0x?0sinx2x

(3)lim

x?

cosxx?

?

tanx?sinxarctanx

lim(5)lim;(6);3x?0x?0xx

sin2x?sin2a1

(7)limxsin;(8)lim;

x???x?axx?a

;(4)lim

x?0

tanx

;x

?cosx2

(9)lim;(10)lim

x?0x?01?cosxx?1?1

sin4x

2.求下列極限

12?x

(1)lim(1?);(2)lim?1?ax?x(a為給定實數);

n??x?0x

x

(3)lim?1?tanx?

x?0

cotx

;(4)lim?

?1?x?

?;

x?01?x??

(5)lim（x???

3x?22x?1?);(6)lim(1?)?x(?,?為給定實數)

n???3x?1x

3.證明:lim?lim?cosxcoxcos4.利用歸結原則計算下列極限:(1)limnsin

n??

?

x?0n??

??

?

x2

xx???cos?1 2n??22??

?

n

;(2)

習題

1． 證明下列各式

(1)2x－x2=O(x)(x→0);(2)x sinx?O(x)(x→0);

+

(3)?x?1?o(1)(x→0);

(4)(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 為正整數)(5)2x3 + x2=O(x3)(x→∞);

(6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0)

(7)o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0)2． 應用定理3.12求下列極限：

?x2?1x(1)lim(2)lim x?01?cosxx??x?cosx

x3． 證明定理3.13

4． 求下列函數所表示曲線的漸近線：

13x3?4

(1)y =;(2)y = arctan x;(3)y = 2

xx?2x

5． 試確定a的值，使下列函數與xa當x→0時為同階無窮小量：

(1)sin2x－2sinx;(2)

－(1－x);1?x

(3)?tanx??sinx;(4)

x2?4x3

6． 試確定a的值，使下列函數與xa當x→∞時為同階無窮大量：

(1)

x2?x5;(2)x+x2(2+sinx);

(3)(1+x)(1+x2)…(1+xn).7． 證明：若S為無上界數集，則存在一遞增數列{xn}?s，使得xn→+∞(n→∞)

8． 證明：若f為x→r時的無窮大量，而函數g在某U0(r)上滿足g(x)≥K>0，則fg為x→r

時的無窮大量。

9． 設 f(x)~g(x)(x→x0)，證明：

f(x)－g(x)= o(f(x))或 f(x)－g(x)= o(g(x))

總 練習題

1． 求下列極限：

?1

(x?[x])lim([x]?1)(1)lim;(2)??

x?3

x?1

(3)lim（x???

a?xb?x?a?xb?x)

xx?a

(4)lim

x???

(5)lim

xx?a

x???

(6)lim

?x??x?x??x

x?0

(7)lim?

n??m,m,n 為正整數 ?n?x?11?xm1?x??

2． 分別求出滿足下述條件的常數a與b：

?x2?1?

(1)lim??ax?b???0 x????x?1??

x(3)limx

(2)lim

x???x???x?2

??x?1?ax?b??0

?x?1?ax?b?0

x?2

3． 試分別舉出符合下列要求的函數f：

(1)limf(x)?f(2)；(2)limf(x)不存在。

4． 試給出函數f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一點x0處有limf(x)?0。這同極限的x?x0

局部保號性有矛盾嗎？

5． 設limf(x)?A，limg(u)?B，在何種條件下能由此推出

x?a

g?A

limg(f(x))?B?

x?a

6． 設f(x)=x cos x。試作數列

(1){xn} 使得 xn→∞(n→∞), f(xn)→0(n→∞);(2){yn} 使得 yn→∞(n→∞), f(yn)→0(n→∞);(3){zn} 使得 zn→∞(n→∞), f(zn)→0(n→∞).7． 證明：若數列{an}滿足下列條件之一，則{an}是無窮大數列：

(1)liman?r?1

n??

(2)lim

an?1

?s?1(an≠0,n=1,2,…)

n??an

n2

n2

8． 利用上題（1）的結論求極限：

(1)lim?1?

?n??

?1??1??(2)lim?1??

n??n??n?

9． 設liman???，證明

n??

(1)lim

(a1?a2???an)??? n??n

n??

(2)若an > 0(n=1,2,…),則lima1a2?an??? 10.利用上題結果求極限：

(1)limn!(2)lim

n??

In(n!)

n??n

11.設f為U-0(x0)內的遞增函數。證明：若存在數列{xn}?U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得

limf(xn)?A，則有

n??

f(x0－0)=

supf(x)?A

0x?U?(x0)

12.設函數f在(0,+∞)上滿足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)?A。證明：f(x)?A，x∈(0,+∞)

x???

13.設函數f在(0,+∞)此上滿足方程f(x2)= f(x)，且

f(x)=limf(x)?f(1)lim?

x?0

x???

證明：f(x)?f(1)，x∈(0,+∞)

14.設函數f定義在(a,+∞)上，f在每一個有限區間內(a,b)有界，并滿足

x???

lim(f(x?1)?f(1))?A證明

x???

lim

f(x)

?A x

第三篇：函數極限

《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

第三章 函數極限

教學目的：

1.使學生牢固地建立起函數極限的一般概念，掌握函數極限的基本性質； 2.理解并運用海涅定理與柯西準則判定某些函數極限的存在性； 3.掌握兩個重要極限

和，并能熟練運用；

4.理解無窮小（大）量及其階的概念，會利用它們求某些函數的極限。教學重（難）點：

本章的重點是函數極限的概念、性質及其計算；難點是海涅定理與柯西準則的應用。

教學時數：16學時

§ 1 函數極限概念（3學時）

教學目的：使學生建立起函數極限的準確概念；會用函數極限的定義證明函數極限等有關命題。

教學要求：使學生逐步建立起函數極限的???定義的清晰概念。會應用函數極限的???定義證明函數的有關命題，并能運用???語言正確表述函數不以某實數為極限等相應陳述。

教學重點：函數極限的概念。

教學難點：函數極限的???定義及其應用。

一、復習：數列極限的概念、性質等

二、講授新課：

（一）時函數的極限：

《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

例4 驗證

例5 驗證

例6 驗證

證 由 =

為使

需有

需有

為使

于是, 倘限制 , 就有

例7 驗證

例8 驗證(類似有

（三）單側極限:

1．定義：單側極限的定義及記法.幾何意義: 介紹半鄰域

《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

我們引進了六種極限:.以下以極限，為例討論性質.均給出證明或簡證.二、講授新課：

（一）函數極限的性質: 以下性質均以定理形式給出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號性:

4.單調性(不等式性質):

Th 4 若使，證 設

和都有 =

(現證對 都存在, 且存在點 的空心鄰域)，有

註: 若在Th 4的條件中, 改“ 就有

5.6.以

迫斂性:

”為“ 舉例說明.”, 未必

四則運算性質:(只證“+”和“ ”)

（二）利用極限性質求極限： 已證明過以下幾個極限：

《數學分析》教案

第三章 函數極限

xbl

例8

例9

例10 已知

求和

補充題:已知

求和（）§ 3 函數極限存在的條件（4學時）

教學目的：理解并運用海涅定理與柯西準則判定某些函數極限的存在性。教學要求：掌握海涅定理與柯西準則，領會其實質以及證明的基本思路。教學重點：海涅定理及柯西準則。教學難點：海涅定理及柯西準則 運用。

教學方法：講授為主，輔以練習加深理解，掌握運用。本節介紹函數極限存在的兩個充要條件.仍以極限

為例.一.Heine歸并原則——函數極限與數列極限的關系：

Th 1 設函數在,對任何在點

且的某空心鄰域

內有定義.則極限都存在且相等.(證)

存Heine歸并原則反映了離散性與連續性變量之間的關系,是證明極限不存在的有力工具.對單側極限,還可加強為

單調趨于

.參閱[1]P70.例1 證明函數極限的雙逼原理.7 《數學分析》教案

第三章 函數極限

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教學難點：兩個重要極限的證明及運用。

教學方法：講授定理的證明，舉例說明應用，練習。一．

（證）（同理有）

例1

例2.例3

例4

例5 證明極限 不存在.二.證 對

有

例6

特別當 等.例7

例8

《數學分析》教案

第三章 函數極限

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三． 等價無窮小：

Th 2(等價關系的傳遞性).等價無窮小在極限計算中的應用: Th 3(等價無窮小替換法則)

幾組常用等價無窮小:（見[2]）

例3 時, 無窮小

與

是否等價? 例4

四.無窮大量:

1.定義:

2.性質:

性質1 同號無窮大的和是無窮大.性質2 無窮大與無窮大的積是無窮大.性質3 與無界量的關系.無窮大的階、等價關系以及應用, 可仿無窮小討論, 有平行的結果.3.無窮小與無窮大的關系:

無窮大的倒數是無窮小,非零無窮小的倒數是無窮大

習題 課（2學時）

一、理論概述：

《數學分析》教案

第三章 函數極限

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例7.求

.注意 時, 且

.先求

由Heine歸并原則

即求得所求極限

.例8 求是否存在.和.并說明極限

解;

可見極限 不存在.--32

第四篇：函數極限

數學之美2006年7月第1期

函數極限的綜合分析與理解

經濟學院 財政學 任銀濤 0511666

數學不僅僅是工具，更是一種能力。一些數學的方法被其它學科廣泛地運用。例如，經濟學中的邊際分析、彈性分析等方法。函數極限是高等數學中的一個重要問題。極限可以與很多的數學問題相聯系。例如，導數從根本上是求極限；函數連續首先要求函數在某一點的左極限等于右極限。有鑒于函數極限的重要性，結合自己的學習心得，筆者寫下了此文。其目的在于歸納和總結解決函數極限問題的實用方法和技巧，以期對函數極限問題的學習有所幫助。局限于筆者的認知水平，缺點和不足在所難免，歡迎批評指正。

一、函數極限的定義和基本性質

函數極限可以分成x→x0，x→∞兩類，而運用ε-δ定義更多的見諸于已知

極限值的證明題中。掌握這類證明對初學者深刻理解運用極限定義大有裨益。以x?x0的極限為例，f?x?在點x0以A極限的定義是：???0,???0,使當0?x?x0??時，有f(x)?A??(A為常數).問題的關鍵在于找到符合定義要求的?，在這一過程中會用到一些不等式技巧，例如放縮法等。1999年的研究生考試試題中，更是直接考察了考生對定義的掌握情況。詳見附例1。

函數極限性質的合理運用。常用的函數極限的性質有函數極限的唯一性、局部有界性、保序性以及函數極限的運算法則和復合函數的極限等等。如函數極限的唯一性（若lim存在，則在該點的極限是唯一的）可以體現在用海涅定理證明x?x0

''即如果f?xn??A，fxn，f?x?在x0處的極限不存在。?B（n??,xn和xn?x0）??

則f?x?在x0處的極限不存在。

運用函數極限的性質可以方便地求出一些簡單函數的極限值。例如對于有理分式f?x??P?x?P?x?,Q?x?均為多項式，Q?x??0）。設P?x?的次數為n,Q?x?的Qx次數為m，當x??時，若n?m，則f?x??0;若n?m，則f?x??P?x?與Q?x?的最高次項系數之比；若n?m，則f?x???。當x?x0時,f(x)?P(x0)(Q(x0)?0)。Q(x0)

二、運用函數極限的判別定理

最常用的判別定理包括單調有界定理和夾擠定理，在運用它們去求函數的極限時尤需注意以下關鍵之點。一是先要用單調有界定理證明收斂，然后再求極限值，參見附例2。二是應用夾擠定理的關鍵是找到極限值相同的函數g?x?與

h?x?，并且要滿足g?x??f?x??h?x?，從而證明或求得函數f?x?的極限值。

三、應用等價無窮小代換求極限

掌握常用的等價無窮小很重要。等價無窮小代換可以將復雜的極限式變的簡單明了，讓求解過程變得簡明迅速。

x?0時，sinx與x，tanx與x，arcsinx與x，arctanx與x，1?cosx與x2，xa，ax?1與xlna，?1?a?與ax（a?0）等等可ln?1?x?與x，loga?1?x?與lna

以相互替換。特別需要注意的是，等價無窮小代換只能用于分子、分母中的乘積

sinx?x

因子，而對于加減法運算則不能運用。例如lim，不能直接把sinx替換

x?0x

3sinx?x

1??成x，得出極限值為0，實際上lim。

x?0x36

四、運用洛必達法則求函數極限

設函數f?x?，g?x?在點a的某空心鄰域可導，且g'(x)?0。當x?a時，f?x?f'?x?，f?x?和g?x?的極限同時為0或?時才適用?'?A（A為常數或?）

gxgx洛必達法則。洛必達法則實際上把求函數極限問題轉化為學生較為拿手的求導數

0??、00、1?、?0等類型則需要問題。這使得求解思路簡單程序化。而對于???、0?

對式子進行轉化，或通分或取倒數或取對數等轉化為型，再使用洛必達法

0?

則求極限。例如f?x?

g?x?的極限轉化為求eg?x?lnf?x?的極限等等。然而，對于數列，則必須轉化為函數再運用洛必達法則。這是因為如果把數列看作是自變量為n的函數時，它的定義域是一系列孤立的點，不存在導數。這是使用洛必達法則時必須要注意的一點。參見附例3。

五、泰勒公式的運用

對于使用洛必達法則不易求出結果的復雜函數式，可以考慮使用泰勒公式。這樣將函數式化為最高次項為相同或相近的式子，這時就變成了求多項式的極限值（接著求值見上文所述方法），使計算一目了然。因此掌握和記憶常用基本初

等函數的麥克勞林展開式是十分必要的。如ex，sinx，cosx，ln?1?x?等等。至于展開式展開多少，則要與題干中的自變量x最高次項保持一致。如

cosx?elimx?0x4x4)。

?x

2利用泰勒公式展開cosx,e

?

x22，展開到x4即可(原式x最高次項為

六、利用微分中值定理來求極限

f(x)在?a,b?上連續，在?a,b?上可導，則至少存在一點???a,b?，使

f'(?)?

f(b)?f(a)'f(b)?f(a),f(?)即可看成特殊的極限，用來求解。一般需

b?ab?a

要函數式可以看成同一函數的區間端點的差，這樣可以使用微分中值定理。參見附例4。

另外，一些重要的結論往往在求極限時可以直接加以引用，例如

lim(1?x)?e，lim

x?0

1x

sinx

?

1，?

1，?1等等。

x?0nnx

求極限的方法和技巧更多的在于實踐中的摸索和探討，上述方法只是筆者在高等數學學習和練習的一些心得，求極限的方法還有很多。局限于筆者的認知水平，缺點和不足在所難免，敬請批評指正。

南開大學張陽和張效成老師的課堂教學給了筆者很大的啟發，在此向兩位老師表示感謝。

附：例1：對任意給定的???0,1?，總存在正整數N,使得當n?N時，恒有。xn?a?2?，是數列?xn?收斂于a的（）

A 充分非必要條件 B必要非充分條件C充分必要條件D既非充分又非必要條件

解析：這道題是1999年全國考研試卷(二)的數學選擇題，這道題直接考察了對極限定義的掌握和理解。

例2：若x1?a，y1?b（b?a?0），xn?1?xnyn，yn?1?明數列?xn?,?yn?有相同的極限。（見習題冊1 Page.18）

解析：由已知條件易知，b?y1?y2?……?yn?1?xn?1?……?x1?a，數列

xn?1?yn?

1，試證

2文中習題冊是指南開大學薛運華，趙志勇主編的《高等數學習題課講義（上冊）》，為學生用數學練習冊。

x?yn

limyn?1?lin?xn?，?yn?單調有界，可以推出?xn?，?yn?收斂。n??n??

n??

。設

limyn?A，limxn?B，則?A?

n??

A?B,?A?B。2

例3：求lim(ntan)n的值。（見課本2 Page.153）

n??n

1??

解析：這是數列。設f?x???xtan?，則對limf?x?可以運用洛必達法則，x???x??且原式=limf?x?。

x???

x2

aa

?arctan),a?0

n??nn?1

arctan解析：如例題3，設f?x??a，則在?x,x?1?上f?x?連續，在?x,x?1?內

x

例4：求limn2(arctan

可導。于是，????x,x?1?,f'(?)?arctan

aaa?arctan??2（使用微分中x?1xa??2

a)?a。22

a??

值定理可得）。x??,則???,原式=lim?2（???

參考書目

[1] 張效成主編，《經濟類數學分析（上冊）》，天津大學出版社，2005年7月 [2] 薛運華，趙志勇主編，《高等數學習題課講義（上冊）》，南開大學 [3] 張友貴等，《掌握高等數學（理工類、經濟類）》，大連理工出版社，2004年11月

[4]《碩士研究生入學考試試題》，1984—2005

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文中課本是指筆者使用的天津大學出版社05年7月版的《經濟類數學分析（上冊）》張效成主編

第五篇：函數、極限、連續 易混淆概念總結

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《高等數學》易混淆概念

一、函數、極限、連續

1.1 無界變量一定是無窮大量嗎？

答：不一定是．

?x?X?D 無界變量：設函數f(x)的定義域為D，如果存在正數M，使得f(x)?M，則稱函數f(x)在X上有界，如果這樣的M不存在，就成函數f(x)在X上無界；也就是說如果對于任何正數M，總存在x1?X，使f(x1)?M，那么函數f(x)在X上無界．

無窮大量：設函數f(x)在x0的某一去心鄰域內有定義（或x大于某一正數時有定義）．如果對于任意給定的正數M（不論它多么大），總存在正數?（或正數X），只要x適合不等式0?x?x0??（或x?X），對應的函數值f(x)總滿足不等式f(x)?M，則稱函數f(x)為當x?x0（或x??）時的無窮大．

注意相互關系: 無窮大變量一定是無界變量, 無界變量不一定是無窮大變量.根據以上敘述, 很容易舉出無界變量不一定是無窮大變量的反例:

例1.1．f?x??x,g?x????x,????x?n，limf?x??limx??，即當 x??時, x???0,?????x?nx??

f?x?是無窮大量；對于g?x?, 當x??時, g?x?的值總可以大于任何的正數M, 但是也總有可能等于0 g?n??0.所以當 x??時, g?x?是無界變量但不是無窮大量.例1.2． 當 g?x?時, f?x??xsin?x是無界變量, 不是無窮大量.1.2 當a?0時，limf(x)?a，可以推出limf(x)?a成立；反之，若limf(x)?a，x?0??x?0x?0

可以推出成立limf(x)?a嗎？當a?0的時候呢？

x?0

答：當a?0時，反過來是不一定成立的．例如：若an??則此時an的絕對值極限為1，而本身極限不存在．

?1?????????n為偶數,??1????????n為奇數

當a?0時，limf(x)?a?limf(x)?a，并且對于任意的極限過程都是成立的．

x?0

x?0

1.3 設xn?zn?yn，且lim(yn?xn)?0,則limzn一定存在嗎？

n??

n??

答：不一定存在．

分析：若limxn?limyn?a?0，由夾逼定理可得limzn?a?0．取，n??

n??

n??

xn?(?1)n?,yn?(?1)n?,zn?(?1)n，則xn?zn?yn，且lim(yn?xn)?0，n??nn

但limzn不存在．遇到此類問題一定要會用反例．

n??

1.4 和函數的極限一定等于函數的極限和嗎？答：不一定．

例1.3： lim（12n

??...?)22n??n2?n?1n?n?2n?n?n12n

?lim2?lim2?...?lim2 n??n?n?1n??n?n?2n??n?n?n?0?0?...?0?0，對嗎？顯然不對．原因在于：錯用了極限的運算法則中“和的極限等于極限的和”，這一法則只適用于有限項的和，不適用無限項的和．

正確答案：因為，12n12n

??...????...? 222222

n?n?nn?n?nn?n?nn?n?1n?n?2n?n?n

12n?2?2?...?2所以，n?n?1n?n?1n?n?1

?

n(n?1)12nn(n?1)

???...?? 22222

2(n?n?n)n?n?1n?n?2n?n?n2(n?n?1)n(n?1)n(n?1)1

?lim?，故由夾逼準則得，n??2(n2?n?n)n??2(n2?n?1)2

lim（n??

而，lim

12n1

??...?)?

n2?n?1n2?n?2n2?n?n2

例1.4：求極限lim

1n??n

...2

解答：因為，lim1n??n

...?lim

n??

?

k?n

n

k??1

?lim?f()?xk

nn?n??k?1

其中，f(x)??xk?所以，原式?

?

n，?

?

?

?

?

?

?

x cosdx?

2?

如何求此類函數的極限值呢？通常有兩種方法：

①用“夾逼準則”，適當的“放大”和“縮小”所求的式子，求出其極限．如例1.3； ②用“定積分定義”，把所求的式子看做是某個函數在某個區間上的積分，利用積分求出其極限值．如例1.4．

1.5 函數乘積的極限等于各個函數極限的乘積嗎？

答：不一定．只有當各個函數的極限都存在時，該命題才成立．

x2sin

例1.5：lim

x?0

sinx

?limx

x?0

limsin?0，對嗎？ x?0xlimx?0x

這樣做的錯誤在于limsin

x?0

不存在，從而不能利用“函數乘積的極限等于極限的乘積”x

這一結論．正確的做法：

因為limxsin

x?0

1sinx=0，（無窮小量與有界函數的乘積仍為無窮小量）．而lim=1，所

x?0xx

以，原函數極限為0.雖然結果一樣，但是也要運用正確的求解方法求解．

1.6 含參數的數列極限中常見的問題.例1.6： lim

1?e

?n???1，這樣做對嗎？ ?nxn??1?elim(1?e?nx)

n??

?nx

lim(1?e?nx)

這樣做是不對的，錯誤在于，忽視了對參數取值范圍的討論.?e?nx)1?e?nxlim(1n??

正確解答，當x?0時, lim??1.?nxn??1?e?nxlim(1?e)

n??

當x?0時, lim

1?e

?n???nxnx??1 ?nxn??1?elime(e?1)

n??

?nx

lime?nx(enx?1)

注：含參數數列或函數求極限時，注意對參數進行討論．

1.7 如果函數極限不存在，那么極限一定是無窮大嗎？答：不一定．

當x?x0（或x??）時的無窮大的函數f(x)，按函數極限定義來說，極限是不存在的，但是為了便于敘述函數的性態，我們也說“函數的極限是無窮大”．但極限不存在并不代表其極限是無窮大．

?x?1?

例1.7：函數f(x)??0

?x?1?

x?0x?0x?0，當x?0時f(x)的極限不存在．

1.8如果limf(x)?0，那么是否有lim

x?x0

x?x0

??？ f(x)

答：不一定．

?x

例1.8：f(x)??

?0

x為有理數lim，則x

?x0

x為無理數

f(x)?0，但由于1

f(x)

在x?0的任一

鄰域的無理點均沒有定義，故無法討論

在x?0的極限． f(x)

結論：如果limf(x)?0，且f(x)在x0的某一去心鄰域內滿足f(x)?0，則

x?x0

x?x0

li11

??．反之，f(x)為無窮大，則為無窮小． f(x)f(x)

1.9 求函數在某點處極限時要注意其左右極限是否相等，求無窮大處極限要注意自變量取正無窮大和負無窮大時極限是否相等，遇到間斷點求極限要注意左右極限是否相等．

例1.9：求極限lime,lime

x??

x?0x

1x

解：limex???,limex?0，因而x??時ex極限不存在．

x???

x???1x

lime?0,lime???，因而x?0時e極限不存在．

x?0?

x?0?

1x1x

1.10 利用等價無窮小代換求極限時應注意的問題．

tanx?sinx

x?0x3

tanx?sinxx?x

?lim?0解：lim33x?0x?0xx

例1.10：求極限lim

利用等價無窮小代換．這樣計算對嗎？計算的錯誤在于在運算過程中利用了未加證明的命題．

若?~?',?~?',則???~?'??'.考察這個命題，????????????

???????????lim?lim?lim，當?1時,這個命題是真命題；當

?????1?1??

時,命題是假命題． ?1

?

?

對于例1.10，因為，??sinx,??tanx,?'??'?x，lim所以，證明的結論是錯誤的．正確解答:

?sinx?lim?1 x?0?x?0tanx

x2x

tanx?sinxtanx(1?cosx)?1.limlim?limx?0x?0x?0x3x3x32

sin(x2sin 例1.11：求lim

x?0x

sin(x2sin)x2sin

?lim?limxsin1?0 錯誤解答: lim

x?0x?0x?0xxx

錯誤的原因在于在運算中錯誤的運用了等價無窮小代換：

1?1?

sin?x2sin??x2sin,???x?0?

x?x?

而根據無窮小的比較的定義，當x取所以不能用等價無窮小的代換．

正確解答：當x?0時，111(n?Z)時，sin(x2sin)和x2sin均為0，n?xx

11sin(x2sin)x2sin

11??x?0(x?0)sin(x2sin)?x2sin?x2，xxxx

所以，由夾逼準則知原函數極限為0．

sinx

x??x

解：本題切忌將sinx用x等價代換，導致結果為1．

sinxsin?

應該為：lim??0.x??x?

例1.12：求極限lim

注意：

（1）乘除運算中可以使用等價無窮小因子替換，加減運算中由于用等價無窮小替換是有條件的，故統一不用．這時，一般可以用泰勒公式來求極限．

（2）注意等價無窮小的條件，即在哪一點可以用等價無窮小因子替換．

1.11 函數連續性的判斷

（1）設f(x)在x?x0間斷，g(x)在x?x0連續，則f(x)?g(x)在x?x0間斷．而

f(x)?g(x),f2(x),f(x)在x?x0可能連續．

?0

例如，設f(x)??

?1

x?0，g(x)?sinx，則f(x)在x?0間斷，g(x)在x?0連續，x?0

f(x)?g(x)?f(x)?sinx?0在x?0連續．

?1

若設f(x)??

??1

x?0，f(x)在x?0間斷，但f2(x)?f(x)?1在x?0均連續． x?0

（2）“f(x)在x0點連續”是“f(x)在x0點連續”的充分不必要條件．

x?a”可得“如果limf(x)?f(x0)，則分析：由“若limf(x)?a，則limf（x?x0

x?x0x?x0

x?x0

limf(x?fx(0)”，因此，f(x)在x0點連續，則f(x)在x0點連續．f(x)

在x0點連續并不能推出f(x)在x0點連續．

（3）?(x)在x?x0連續，f(u)在u?u0??(x0)連續，則f(?(x))在x?x0連續．其余結論均不一定成立．

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