第一篇：極限的概念
2-1極限的概念
（1）x?口
n??limf（x）??的讀法，直觀含義 x?R,n?N
f(x)???f(x)??(x?口）
limf(x)??limf(x)與x??limf(x)limf(x)???當x?口x?口（2）收斂或極限存在：x?口（3）無窮小：x?口limf(x)?Alimf(x)?0，無窮大：x?口
?????極限不存在（4）x?x
極限
（5）x?x0lim?f(x)?f(x0)0?、x?xlim?f(x)?f(x0)0? 稱為f(x)在點x的左、右limf(x)???f(x0)?f(x0)????；
。x??
2-2 函數的連續性 limf(x)???f(??)?f(??)??
x(1)定義：f(x)在點0連續 <=> x?xlimf(x)?f(x0)
當 f(x)在區間 I 上連續 <=> f(x)在 I 上的每一點都連續。
(2)初等函數都是連續的。另外，連續函數的和、差、積、商以及它們的復合函數也都是連續的。
x?口（3）有等式
2-3 基本初等函數在開區間端點的極限值
（1）常C=C limf(?(x))f連續時x?口f(lim?(x))
（2）冪(0)
???正?0，(??)???正??(?),(0)?負???,(??)負?0；?（3）指e
（4）對???,e??0?ln0???,ln(??)???
（5）三sin(??)、cos(??)?不存在arctan(??)?(??
2)?
（6）反，arccot(??)?0,arccot(-?)??.?
2-4 各類函數做四則運算后的極限（注意符號 “?”= “存在”）
(1)??(或?`x)???，??(非0?)??，??(?0的?)??；
（非?不?）?不?；（2）??(不?）?不?，非0??不??不?，1?
1?01??（3）?，0，∞×a（a≠0）=∞，∞×∞=∞，∞+a=∞
（±∞）+（±∞）= ∞；
（4）0?有界=0，∞+有界=∞ ；
0??00，0??,???,以及1,0,?(5)不定式：0? ；
0?（不?）（6）不定式： 不??(或?`?`?）不?。
2-5 洛必達法則
lim
f(x)g(x)
limx?口當代值結果為“00???時 2?xx2
例2—1 求 極限x?2x?2
分析：此題屬于極限計算類題型，由題型3-1所示，只需（1）代值，（2）定型 0
“0”，（3）洛必達法則，（4）再代值，(5)定式結束。即可。
lim2?xx2
解：x?2x?2“00lim(2?x)?x
(x?2)?xx2x?2= x?2lim2ln2?2x1x=2ln2?2?2?4ln2?4
例2-2求極限x?0lim?xlnx
分析：由題型
“?”2?1，第一步，代值，xlnx?0ln0?0????;第二步，變形為0“0”或?后用洛必達法則，由題型2?2(2)
有兩種變形方法：
xlnxxlnx?
①?ln1x?②xlnx??1
x?
(ln?)'由題型
(12?)'2(2)的解釋：變形要有利于洛必達法則的求導運算。應算，不應算ln?。所以要選上面②的變形方法，最后用洛必達法則，再代值即可得定式結果（注：如選①的變形方法，用洛必達法則，將越算越繁，得不出結果）。
解:
x?0lim?xlnx “0??”
x?0 x'lim?lnx
“?
?”lim?(lnx)xx
x?1?x2x?0x?0lim????
?x'lim(?x)x?0
=0
第二篇：函數極限概念
一． 函數極限的概念
1.x趨于?時函數的極限
設函數f定義在??,???上，類似于數列情形，我們研究當自變量x趨于+?時，對應的函數值能否無線地接近于某個定數A.例如，對于函數f?x?=，從圖象上可見，當無x限增大時，函數值無限地接近于x1
0；而對于函數g?x?=arctanx則當x趨于+?時，函數值無限地接近于.2?我們稱這兩個函數當x趨于+?時有極限.一般地，當x趨于+?時函數極限的精準定義如下：
定義1 設f為定義在??,???上的函數，A為定數。若對任給的??0，存在正數M????，使得當x?M時有f?x??A??，則稱函數f當x趨于+?時以A為極限，記作lim
f?x??A或f ?x??A?x????.x???
在定義1中正數M的作用與數列極限定義中的N相類似，表明x充分大的程度；但這里所考慮的是比M大的所有實數x，而不僅僅是正整數n。因此，當x???時函數f以A為極限意味著：A的任意小鄰域內必含有f在+?的某鄰域內的全部函數值.
第三篇：極限的概念 教案
【教學課題】：§1.2數列的極限（第一課時）
【教學目的】：使學生逐步建立起數列極限的??N定義的清晰概念。會應用數列極限的??N定義證明數列收斂及有關命題，并能運用??N語言正確表述數列不以某實數為極限等相應陳述。
【教學重點】：數列極限的概念。
【教學難點】：數列極限的??N定義及其應用。
【教學方法】：系統講授，問題教學，多媒體的利用等。
一引言
通過介紹我國數學家劉徽（公元3世紀）利用圓內接正多邊形來推算圓面積的方法——割圓術，來介紹極限思想的最初萌芽。
二、數列極限的定義．定義（數列）：若函數f的定義域為全體正整數集合N?，則稱
f:N??R或f(n),n?N ?
為數列。因為正整數集可以由小到大排列，故數列f(n)也可以寫作
a1,a2,?,an,?
簡記為{an}，其中an稱為該數列的通項。
2收斂數列描述性定義：一般地說，對于數列?an?，若當n無限增大時，an能無限地接近某一個常數a，則稱此數列為收斂數列，常數a稱為它的極限。不具有這種特性的數列就不是收斂的數列，或稱為發散數列。
如何用數學語言把它精確地定義下來。還有待進一步分析。數列極限的數學定義 以?1???11?a?1?n為例，可觀察出該數列具以下特性：①隨著的無限增大，無限?nnn?
n地接近1。②隨著n的無限增大，1?
|1?
1n?1|無限減少，也就是說|1?
n?1|?1
101n與1的距離無限減少。③隨著n的無限增大，?1|會任意小，只要n充分大。如：要使|1?，只要n?10即可；
要使|1?
? 1n?1|?1100，只要n?100即可；
任給無論多么小的正數?，都會存在數列的一項aN，從該項之后(n?N)，|?1?
?
??
1?
??1|??。n?
?
1?
??1|??。n?
即???0,?N，當n?N時，|?1?
綜上所述，數列?1?
?
?
111?的通項隨的無限增大，無限接近于1，即是對任1?1?n?
nnn?
意給定正數?，總存在正整數N，當n?N時，有|?1?
?
?
1?1??
。此即?1|??1???以1為極?
n?n??
限的精確定義，記作lim?1?
n??
??
11?
或n??,1??1。?1?
nn?
定義 設?an?為數列，a為實數,，若對???0，總?N?N?，使得當n?N時有
|an?a|??
則稱數列?an?收斂于a,a稱為數列?an?的極限。并記作liman?a或an?a(n??)。
n??
由于n限于取正整數，所以在數列極限的記號中把n???寫成n??。
若數列?an?沒有極限，則稱?an?不收斂，或稱?an?為發散數列。
注意：關于?：① ?的任意性。?刻化an與常數a的接近程度，?越小，表示an與a越近；②?的固定性。盡管?有其任意性，但一經給出，就暫時地被確定下來，以便依靠它
?
2來求出Ｎ；③?的多值性。?既是任意小的正數，那么,3?,?等等，同樣也是任意小的正數，因此定義１中的不等式|an?a|??中的?可用“|an?a|??”可用“|an?a|??”代替；
?,3??,等來代替。從而
關于N：相應性。一般地，N隨?的改變而改變，因此常把N看作N(?)來強調N是依賴于?的，?一經給定，就可以找到相應的一個N。當然N并不是唯一的，N之后的任意的項數都可以作為N。舉例說明如何用??N定義來驗證數列極限
例１ 證明 lim
n?(?1)
n
n
n??
?1。
n
證???0，考察
n?(?1)
n
?1?
1n
??，可得n?
?。
n?(?1)?1?
于是可取N?，則當n?N時，便有：?1??。?1???n??
n
所以lim
n?(?1)
n
n
n??
?1。
例2 證明lim
3n
n??
n?
3?3。
9n?3
證考察
3n
n?3
9?3??
?
?
9n
(n?3)，因此對
???0，只要n?，n?3，上式就小于?，故取N?max{3,，則當n?N時，總
??9
?9n
??，即lim
3n
有
3n
n?3
?3?
n?3
n
n??
n?3
?3。
例3證明limq?0(|q|?1)
n??
證若q?0，則結果顯然成立。
1q
現設0?q?1,記h?
?1?0,由qn?0?qn?
1(1?h)
n
?
11?nh
?
1nh
?，得
n?,因此取N??，所以???0,當n?N時，便有qn?0??。??h??h?即limq?0(|q|?1)。
n??
n
?1?
例4證明lim
n??
a?1(a?0)。
證①a=1時,，顯然成立。
n
②a?1時，令an?1??(??0)，則a?(1??)?1?n??????1?n??
a?1n
??
所以為了要使an?1??，只需
a?1n
?a?1?
??，可取N?。???
??
③0?a?1時，令a?
(b?1)，則由 an?1?()n?1?
bb
1?bn
?bn?1??,可得
bn
n?log??1b，可取N??log??1b?。
總之，當
a?0時，總有lim
n??
?1。
5．數列極限證明的步驟
(１)考察化簡an?a；
(２)放大an?a，通常適當放大或條件放大an?a??1(n)??2(n)????k(n)；(３)解?k(n)??，求出需要的N；(４)用??N語言再順著寫下來。
6．數列極限的幾何理解
在定義１中，“當n?N時有|an?a|??”?“當n?N時有a???an?a??” ?“當n?N時有” ?所有下標大于N的項an都落在鄰域U(a;?)內；而在U(a;?)之外，數列?an?中的項至多只有N個（有限個）。反之，任給??0，若在U(a;?)之外數列?an?中的項只有有限個。
a??aa??
由此寫出數列極限的一種等價定義（鄰域定義）：
定義1?任給??0，若在U(a;?)之外數列?an?中的項只有有限個，則稱數列?an?收斂于極限a.由此可見：１）若存在某個?0?0，使得數列?an?中有無窮多個項落在U(a;?0)之外，則?an?一定不以a為極限；２）數列是否有極限，只與它從某一項之后的變化趨勢有關，而與它前面的有限項無關。所以，在討論數列極限時，可以添加、去掉或改變它的有限項的數值，對收斂性和極限都不會發生影響。
a為定數。否定定義1 設{an}為數列，若對??0?0，對?N?N?，總存在n0?N，且|an?a|??0，則稱數列{an}不收斂于a。
否定定義1' 若存在?0?0，使得數列{an}中有無窮多項落在U(a;?0)之外，則
{an}不以a為極限。
例５ 證明?n2?和?(?1)n?都是發散數列。
證(?xn?發散??a?R,??0?0,?N，?n0?N，使得xn?a??0)
?a?R,取?0?1,則在U(a,?0)之外所有滿足n?a?1的項有無窮多,顯然都落在U(a,?0)之外，所以?n2?不以任何a為極限。即數列?n2?發散。
例６設limxn?limyn?a，作數列：求證limzn?a。?zn?:x1,y1,x2,y2,?,xn,yn,?，n??
n??
n??
證 由limxn?limyn?a，故???0，數列xn和yn中落在U(a;?)之外的項至多只
n??
n??
有有限項，所以?zn?落在U(a;?)之外的項也至多只有有限項，故由定義1?得limzn?a。
n??
例７ 設?an?為給定的數列，減少或改變有限項之后得到的數列，?bn?為對?an?增加、求證：數列?bn?與?an?同時收斂或發散，且在收斂時兩者的極限相等。
證 設?an?為收斂的數列，且liman?a，按定義1?，???0，數列?an?中落在n??
U(a;?)之外的項最多只有有限項，而數列?bn?是對?an?增加、減少、改變有限項之后得
到的。故數列?bn?與?an?同時收斂或發散，且在收斂時兩者的極限相等。
三 小結
本課時的主要內容要求：
① 使學生逐步建立起數列極限的??N定義的清晰概念。② 會應用數列極限的??N定義證明數列的有關命題。③ 能運用??N語言正確表述數列不以某實數為極限等相應陳述。
第四篇：理論真空和極限真空的概念區分
理論真空和極限真空的概念區分
其實這兩個概念相差很遠，只是有幾個同事都問過我同樣的問題，所以干脆寫幾句。
所謂“理論真空”就是指最理想的真空狀態，比如，某密閉容器中一個氣體分子都沒有，氣體壓力絕對等于零，這種狀態就是最理想的真空狀態，這就是平常說的“理論真空”，僅在理論上存在，實際上不可能存在。
“極限真空”完整名稱是“極限真空度”，是指微型真空泵能達到的最大真空度。比如，某臺抽氣能力很弱的微型真空泵，它經過無限長的時間也只能把密閉容器內的氣體壓力由常態的100KPa降到95KPa，那么95KPa就是這臺泵的極限真空度，比如成都氣海公司生產的PM950.2。再比如，有一臺抽氣能力很強的微型真空泵，它可以把氣壓由100KPa降到10 KPa，那么10KPa就是這臺泵的極限真空度，比如成都氣海公司生產的VCH1028。
“極限真空”是真空泵的一個重要參數，是反應泵抽氣能力的特性值，是與真空泵相關的一個數值，不同的真空泵可以有不同的“極限真空”度。而“理論真空”是理論研究時的一個概念，是排除各種實際因素的影響而提煉出的一種最理想的真空狀態。
第五篇：函數、極限、連續 易混淆概念總結
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《高等數學》易混淆概念
一、函數、極限、連續
1.1 無界變量一定是無窮大量嗎？
答：不一定是．
?x?X?D 無界變量：設函數f(x)的定義域為D，如果存在正數M，使得f(x)?M，則稱函數f(x)在X上有界，如果這樣的M不存在，就成函數f(x)在X上無界；也就是說如果對于任何正數M，總存在x1?X，使f(x1)?M，那么函數f(x)在X上無界．
無窮大量：設函數f(x)在x0的某一去心鄰域內有定義（或x大于某一正數時有定義）．如果對于任意給定的正數M（不論它多么大），總存在正數?（或正數X），只要x適合不等式0?x?x0??（或x?X），對應的函數值f(x)總滿足不等式f(x)?M，則稱函數f(x)為當x?x0（或x??）時的無窮大．
注意相互關系: 無窮大變量一定是無界變量, 無界變量不一定是無窮大變量.根據以上敘述, 很容易舉出無界變量不一定是無窮大變量的反例:
例1.1．f?x??x,g?x????x,????x?n，limf?x??limx??，即當 x??時, x???0,?????x?nx??
f?x?是無窮大量；對于g?x?, 當x??時, g?x?的值總可以大于任何的正數M, 但是也總有可能等于0 g?n??0.所以當 x??時, g?x?是無界變量但不是無窮大量.例1.2． 當 g?x?時, f?x??xsin?x是無界變量, 不是無窮大量.1.2 當a?0時，limf(x)?a，可以推出limf(x)?a成立；反之，若limf(x)?a，x?0??x?0x?0
可以推出成立limf(x)?a嗎？當a?0的時候呢？
x?0
答：當a?0時，反過來是不一定成立的．例如：若an??則此時an的絕對值極限為1，而本身極限不存在．
?1?????????n為偶數,??1????????n為奇數
當a?0時，limf(x)?a?limf(x)?a，并且對于任意的極限過程都是成立的．
x?0
x?0
1.3 設xn?zn?yn，且lim(yn?xn)?0,則limzn一定存在嗎？
n??
n??
答：不一定存在．
分析：若limxn?limyn?a?0，由夾逼定理可得limzn?a?0．取，n??
n??
n??
xn?(?1)n?,yn?(?1)n?,zn?(?1)n，則xn?zn?yn，且lim(yn?xn)?0，n??nn
但limzn不存在．遇到此類問題一定要會用反例．
n??
1.4 和函數的極限一定等于函數的極限和嗎？答：不一定．
例1.3： lim（12n
??...?)22n??n2?n?1n?n?2n?n?n12n
?lim2?lim2?...?lim2 n??n?n?1n??n?n?2n??n?n?n?0?0?...?0?0，對嗎？顯然不對．原因在于：錯用了極限的運算法則中“和的極限等于極限的和”，這一法則只適用于有限項的和，不適用無限項的和．
正確答案：因為，12n12n
??...????...? 222222
n?n?nn?n?nn?n?nn?n?1n?n?2n?n?n
12n?2?2?...?2所以，n?n?1n?n?1n?n?1
?
n(n?1)12nn(n?1)
???...?? 22222
2(n?n?n)n?n?1n?n?2n?n?n2(n?n?1)n(n?1)n(n?1)1
?lim?，故由夾逼準則得，n??2(n2?n?n)n??2(n2?n?1)2
lim（n??
而，lim
12n1
??...?)?
n2?n?1n2?n?2n2?n?n2
例1.4：求極限lim
1n??n
...2
解答：因為，lim1n??n
...?lim
n??
?
k?n
n
k??1
?lim?f()?xk
nn?n??k?1
其中，f(x)??xk?所以，原式?
?
n，?
?
?
?
?
?
?
x cosdx?
2?
如何求此類函數的極限值呢？通常有兩種方法：
①用“夾逼準則”，適當的“放大”和“縮小”所求的式子，求出其極限．如例1.3； ②用“定積分定義”，把所求的式子看做是某個函數在某個區間上的積分，利用積分求出其極限值．如例1.4．
1.5 函數乘積的極限等于各個函數極限的乘積嗎？
答：不一定．只有當各個函數的極限都存在時，該命題才成立．
x2sin
例1.5：lim
x?0
sinx
?limx
x?0
limsin?0，對嗎？ x?0xlimx?0x
這樣做的錯誤在于limsin
x?0
不存在，從而不能利用“函數乘積的極限等于極限的乘積”x
這一結論．正確的做法：
因為limxsin
x?0
1sinx=0，（無窮小量與有界函數的乘積仍為無窮小量）．而lim=1，所
x?0xx
以，原函數極限為0.雖然結果一樣，但是也要運用正確的求解方法求解．
1.6 含參數的數列極限中常見的問題.例1.6： lim
1?e
?n???1，這樣做對嗎？ ?nxn??1?elim(1?e?nx)
n??
?nx
lim(1?e?nx)
這樣做是不對的，錯誤在于，忽視了對參數取值范圍的討論.?e?nx)1?e?nxlim(1n??
正確解答，當x?0時, lim??1.?nxn??1?e?nxlim(1?e)
n??
當x?0時, lim
1?e
?n???nxnx??1 ?nxn??1?elime(e?1)
n??
?nx
lime?nx(enx?1)
注：含參數數列或函數求極限時，注意對參數進行討論．
1.7 如果函數極限不存在，那么極限一定是無窮大嗎？答：不一定．
當x?x0（或x??）時的無窮大的函數f(x)，按函數極限定義來說，極限是不存在的，但是為了便于敘述函數的性態，我們也說“函數的極限是無窮大”．但極限不存在并不代表其極限是無窮大．
?x?1?
例1.7：函數f(x)??0
?x?1?
x?0x?0x?0，當x?0時f(x)的極限不存在．
1.8如果limf(x)?0，那么是否有lim
x?x0
x?x0
??？ f(x)
答：不一定．
?x
例1.8：f(x)??
?0
x為有理數lim，則x
?x0
x為無理數
f(x)?0，但由于1
f(x)
在x?0的任一
鄰域的無理點均沒有定義，故無法討論
在x?0的極限． f(x)
結論：如果limf(x)?0，且f(x)在x0的某一去心鄰域內滿足f(x)?0，則
x?x0
x?x0
li11
??．反之，f(x)為無窮大，則為無窮小． f(x)f(x)
1.9 求函數在某點處極限時要注意其左右極限是否相等，求無窮大處極限要注意自變量取正無窮大和負無窮大時極限是否相等，遇到間斷點求極限要注意左右極限是否相等．
例1.9：求極限lime,lime
x??
x?0x
1x
解：limex???,limex?0，因而x??時ex極限不存在．
x???
x???1x
lime?0,lime???，因而x?0時e極限不存在．
x?0?
x?0?
1x1x
1.10 利用等價無窮小代換求極限時應注意的問題．
tanx?sinx
x?0x3
tanx?sinxx?x
?lim?0解：lim33x?0x?0xx
例1.10：求極限lim
利用等價無窮小代換．這樣計算對嗎？計算的錯誤在于在運算過程中利用了未加證明的命題．
若?~?',?~?',則???~?'??'.考察這個命題，????????????
???????????lim?lim?lim，當?1時,這個命題是真命題；當
?????1?1??
時,命題是假命題． ?1
?
?
對于例1.10，因為，??sinx,??tanx,?'??'?x，lim所以，證明的結論是錯誤的．正確解答:
?sinx?lim?1 x?0?x?0tanx
x2x
tanx?sinxtanx(1?cosx)?1.limlim?limx?0x?0x?0x3x3x32
sin(x2sin 例1.11：求lim
x?0x
sin(x2sin)x2sin
?lim?limxsin1?0 錯誤解答: lim
x?0x?0x?0xxx
錯誤的原因在于在運算中錯誤的運用了等價無窮小代換：
1?1?
sin?x2sin??x2sin,???x?0?
x?x?
而根據無窮小的比較的定義，當x取所以不能用等價無窮小的代換．
正確解答：當x?0時，111(n?Z)時，sin(x2sin)和x2sin均為0，n?xx
11sin(x2sin)x2sin
11??x?0(x?0)sin(x2sin)?x2sin?x2，xxxx
所以，由夾逼準則知原函數極限為0．
sinx
x??x
解：本題切忌將sinx用x等價代換，導致結果為1．
sinxsin?
應該為：lim??0.x??x?
例1.12：求極限lim
注意：
（1）乘除運算中可以使用等價無窮小因子替換，加減運算中由于用等價無窮小替換是有條件的，故統一不用．這時，一般可以用泰勒公式來求極限．
（2）注意等價無窮小的條件，即在哪一點可以用等價無窮小因子替換．
1.11 函數連續性的判斷
（1）設f(x)在x?x0間斷，g(x)在x?x0連續，則f(x)?g(x)在x?x0間斷．而
f(x)?g(x),f2(x),f(x)在x?x0可能連續．
?0
例如，設f(x)??
?1
x?0，g(x)?sinx，則f(x)在x?0間斷，g(x)在x?0連續，x?0
f(x)?g(x)?f(x)?sinx?0在x?0連續．
?1
若設f(x)??
??1
x?0，f(x)在x?0間斷，但f2(x)?f(x)?1在x?0均連續． x?0
（2）“f(x)在x0點連續”是“f(x)在x0點連續”的充分不必要條件．
x?a”可得“如果limf(x)?f(x0)，則分析：由“若limf(x)?a，則limf（x?x0
x?x0x?x0
x?x0
limf(x?fx(0)”，因此，f(x)在x0點連續，則f(x)在x0點連續．f(x)
在x0點連續并不能推出f(x)在x0點連續．
（3）?(x)在x?x0連續，f(u)在u?u0??(x0)連續，則f(?(x))在x?x0連續．其余結論均不一定成立．
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