第一篇：極限證明

極限證明

1.設(shè)f(x)在(??,??)上無窮次可微，且f(x)??(xn)(n???)，求證當(dāng)k?n?1時，?x，limf(k)(x)?0． x???

2.設(shè)f(x)??0sinntdt，求證：當(dāng)n為奇數(shù)時，f(x)是以2?為周期的周期函數(shù)；當(dāng)n為

偶數(shù)時f(x)是一線性函數(shù)與一以2?為周期的周期函數(shù)之和． x

f(n)(x)?0．?{xn}?3.設(shè)f(x)在(??,??)上無窮次可微；f(0)f?(0)?0xlim求證：n?1，???

?n，0?xn?xn?1，使f(n)(xn)?0．

sin(f(x))?1．求證limf(x)存在． 4.設(shè)f(x)在(a,??)上連續(xù)，且xlim???x???

5.設(shè)a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,證明權(quán)限limn??xn存在并求極限值。

6.設(shè)xn?0,n?1,2,?.證明：若limxn?1?x,則limxn?x.n??xn??n

7.用肯定語氣敘述：limx???f?x????.8.a1?1,an?1?1,求證：ai有極限存在。an?

1t?x9.設(shè)函數(shù)f定義在?a,b?上，如果對每點(diǎn)x??a,b?,極限limf?t?存在且有限（當(dāng)x?a或b時，為單側(cè)極限）。證明：函數(shù)f在?a,b?上有界。

10.設(shè)limn??an?a,證明：lima1?2a2???nana?.n??2n

211.敘述數(shù)列?an?發(fā)散的定義，并證明數(shù)列?cosn?發(fā)散。

12.證明：若???

af?x?dx收斂且limx???f?x???，則??0.11?an?收斂。?,n?1,2,?.求證：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2?

n

14.證明公式?k?11k?2n?C??n，其中C是與n無關(guān)的常數(shù)，limn???n?0.15.設(shè)f?x?在[a,??)上可微且有界。證明存在一個數(shù)列?xn??[a,?),使得limn??xn???且limn??f'?xn??0.16.設(shè)f?u?具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且limu???f'?u??A?0,D??x,y?|x2?y2?R2,x,y?0

??

?R?0?.I

?1?證明：limu??f?u????;?2?求IR???f'?x2?y2?dxdy;?3?求limR2

R??

D

R

17.設(shè)f?x?于[a,??)可導(dǎo)，且f'?x??c?0?c為常數(shù)?,證明：

?1?limx???f?x????;?2?f?x?于[a,??)必有最小值。

18.設(shè)limn???an?a,limn???bn?b,其中b?0,用??N語言證明lim

ana?.n???bbn

?Sn?x??19.設(shè)函數(shù)列?Sn?x??的每一項Sn?x?都在x0連續(xù)，U是以x0為中心的某個開區(qū)間，在U??x0?內(nèi)閉一致收斂于S?x?,又limn??Sn?x0????,證明：limS?x????.x?x0

20.敘述并證明limx???f?x?存在且有限的充分必要條件?柯西收斂原理?

??a

23.設(shè)?

f(x)= 0.證明xlimf(x)dx收斂,且f(x)在?a,???上一致連續(xù)，???

24.設(shè)a1>0，an?1＝an＋，證明＝1 nan25.設(shè)f?x?在a的某領(lǐng)域內(nèi)有定義且有界，對于充分小的h，M?h?與m?h?分別表示f?x?在?a?h,a?h?上的上、下確界，又設(shè)?hn?是一趨于0的遞減數(shù)列，證明：

1）limn??M?hn?與limn??m?hn?都存在；

2)limn?0M?h??limn??M?hn?,limn?0m?h??limn??m?hn?;

3)f?x?在x?a處連續(xù)的充要條件是llimn??M?hn??imn??m?hn?26設(shè)?xn?滿足：|xn?1?xn|?|qn||xn?xn?1|,|qn|?r?1|,證明?xn?收斂。

27.設(shè)an?a,用定義證明:limn???an?a

28.設(shè)x1?0，xn?1?

31?xn,(n?1,2,?)，證明limxn存在并求出來。

n??3?xn

??

29.用“???語言”證明lim30.設(shè)f(x)?

(x?2)(x?1)

?0

x?1x?3

x?2，數(shù)列?xn?由如下遞推公式定義：x0?1，xn?1?f(xn)，(n?0，x?1

n??

1，2，?)，求證：limxn?2。

31.設(shè)fn(x)?cosx?cos2x???cosnx，求證：

（A）對任意自然數(shù)n，方程fn(x)?1在[0,?/3)內(nèi)有且僅有一個正根；

（B）設(shè)xn?[0,1/3)是fn(x)?1的根，則limxn??/3。

n??

32.設(shè)函數(shù)f(t)在(a,b)連續(xù)，若有數(shù)列xn?a,yn?a(xn,yn?(a,b))使

Limf(xn)?A(n??)及Limf(yn)?B(n??)，則對A，B之間的任意數(shù)?，可找到數(shù)列xn?a，使得Limf(zn)??

33.設(shè)函數(shù)f在[a,b]上連續(xù)，且

f?0,記fvn?f(a?v?n),?n?

?exp{

b?a，試證明：n

1b

lnf(x)dx}(n??)并利用上述等式證明下?ab?a

式

2?

?

2?

ln(1?2rcosx?r2)dx?2lnr(r?1)

f(b)?f(a)

?K

b?a

34.設(shè)f‘(0)?K,試證明lim

a?0?b?0?

35.設(shè)f(x)連續(xù)，?(x)??0f(xt)dt，且lim

x?0

論?'(x)在x?0處的連續(xù)性。

f(x)，求?'(x)，并討?A（常數(shù)）

x

36． 給出Riemann積分?af(x)dx的定義，并確定實數(shù)s的范圍使下列極限收斂

i1

lim?()s。n??ni?0n

?x322,x?y?0?2

37.定義函數(shù)f?x???x?y2.證明f?x?在?0,0?處連續(xù)但不可微。

?0,x?y?0?

n?1

b

38.設(shè)f是?0,??上有界連續(xù)函數(shù)，并設(shè)r1,r2,?是任意給定的無窮正實數(shù)列，試證存在無窮正實數(shù)列x1,x2,?,使得：limn???f?xn?rn??f?xn???0.39.設(shè)函數(shù)f?x?在x?0連續(xù)，且limx?0

f?2x??f?x??A,求證：f'?0?存在且等于A.x

1n

40.無窮數(shù)列?an??,bn?滿足limn??an?a,limn??bn?b,證明:lim?aibn?1-i?ab.n??ni?1

41.設(shè)f是?0,??上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的正函數(shù)，且f'?x??0,f''有界，則limt??f'?t??0

42.用???分析定義證明limt??1

x?31

? x2?92

43.證明下列各題

?1?設(shè)an??0,1?，n?1,2,?,試證明級數(shù)?2nann?1?an?n收斂；

n?1

?

?2?設(shè)?an?為單調(diào)遞減的正項數(shù)列，級數(shù)?n2000an收斂，試證明limn2001an?0;

n??

n?1

?

?3?設(shè)f?x?在x?0附近有定義，試證明權(quán)限limx?0f?x?存在的充要條件是：對任何趨于0的數(shù)列?xn??,yn?都有l(wèi)imn???f?xn??f?yn???0.?1?44.設(shè)?an?為單調(diào)遞減數(shù)列的正項數(shù)列，級數(shù)?anln?1?an?0???收斂，試證明limn??n?n?1?

a?1。45.設(shè)an?0，n=1,2，an?a?0,(n??),證 limn

n??

?

46.設(shè)f為上實值函數(shù)，且f（1）＝1，f?（x）＝〔1，＋?〕

limf（x）存在且小于1＋。

x?＋?4，證明x?1）2

x2＋f（x）

?

47.已知數(shù)列{an}收斂于a，且

a?a???aSn?，用定義證明{Sn}也收斂于a

n

48.若f?x?在?0,???上可微，lim

n??

f(x)

?0，求證?0,???內(nèi)存在一個單

x??x

調(diào)數(shù)列{?n}，使得lim?n???且limf?(?n)?0

n??

x??e?sinx?cosx?,x?0

49.設(shè)f?x???2,確定常數(shù)a,b,c,使得f''?x?在???,??處處存在。

??ax?bx?c,x?0

第二篇：極限的證明

極限的證明

利用極限存在準(zhǔn)則證明：

(1)當(dāng)x趨近于正無窮時，(Inx/x^2)的極限為0;

(2)證明數(shù)列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=/2,n=1,2,…收斂，并求其極限。

1)用夾逼準(zhǔn)則:

x大于1時,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2極限為0

故(Inx/x^2)的極限為0

2)用單調(diào)有界數(shù)列收斂:

分三種情況,x0=√a時,顯然極限為√a

x0>√a時,Xn-X(n-1)=/2<0,單調(diào)遞減

且Xn=/2>√a,√a為數(shù)列下界,則極限存在.設(shè)數(shù)列極限為A,Xn和X(n-1)極限都為A.對原始兩邊求極限得A=/2.解得A=√a

同理可求x0<√a時,極限亦為√a

綜上,數(shù)列極限存在,且為√

(一)時函數(shù)的極限：

以時和為例引入.介紹符號:的意義,的直觀意義.定義(和.)

幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.例1驗證例2驗證例3驗證證……

(二)時函數(shù)的極限：

由考慮時的極限引入.定義函數(shù)極限的“”定義.幾何意義.用定義驗證函數(shù)極限的基本思路.例4驗證例5驗證例6驗證證由=

為使需有為使需有于是,倘限制,就有

例7驗證例8驗證(類似有(三)單側(cè)極限:

1.定義：單側(cè)極限的定義及記法.幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗證證考慮使的2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系:

Th類似有:例10證明:極限不存在.例11設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)單調(diào).若存在,則有

=§2函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時)

教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。

教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號性、不等式性質(zhì)以及有理運(yùn)算性等。

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計算。

教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。

教學(xué)方法：講練結(jié)合。

一、組織教學(xué)：

我們引進(jìn)了六種極限:,.以下以極限為例討論性質(zhì).均給出證明或簡證.二、講授新課：

(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號性:

4.單調(diào)性(不等式性質(zhì)):

Th4若和都存在,且存在點(diǎn)的空心鄰域,使，都有證設(shè)=(現(xiàn)證對有)

註:若在Th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.5.迫斂性:

6.四則運(yùn)算性質(zhì):(只證“+”和“”)

(二)利用極限性質(zhì)求極限：已證明過以下幾個極限：

(注意前四個極限中極限就是函數(shù)值)

這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.利用極限性質(zhì)，特別是運(yùn)算性質(zhì)求極限的原理是：通過有關(guān)性質(zhì),把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.例1(利用極限和)

例2例3註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時的極限.例4

例5例6例7

第三篇：函數(shù)極限證明

函數(shù)極限證明

記g(x)=lim^(1/n)，n趨于正無窮;

下面證明limg(x)=max{a1,...am},x趨于正無窮。把max{a1,...am}記作a。

不妨設(shè)f1(x)趨于a;作b>a>=0,M>1;

那么存在N1,當(dāng)x>N1,有a/M<=f1(x)注意到f2的極限小于等于a，那么存在N2，當(dāng)x>N2時，0<=f2(x)同理，存在Ni，當(dāng)x>Ni時，0<=fi(x)取N=max{N1,N2...Nm};

那么當(dāng)x>N,有

(a/M)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n所以a/M<=^(1/n)

第四篇：如何證明極限不存在

如何證明極限不存在

反證法

若存在實數(shù)L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0點(diǎn)的任意小的鄰域X內(nèi)，總存在整數(shù)n，①記x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin=1，②記x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin=-1，使|sin-L|<1/3，和|sin-L|<1/3，同時成立。

即|1-L|<1/2，|-1-L|<1/2，同時成立。

這與|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2發(fā)生矛盾。

所以，使limsin(1/x)=L成立的實數(shù)L不存在。

反證法：

一個數(shù)列{an}極限存在,另一個數(shù)列{bn}極限不存在假設(shè)兩數(shù)列之和{cn}的極限存在，那么bn=cn-an極限也存在(兩個數(shù)列和的極限等于兩個數(shù)列極限的和)

矛盾

所以原命題成立

令y=x,lim(x,y)趨于(0,0)xy/x+y

=lim(x趨于0)x^2/(2x)=0

令y=x^2-x,lim(x,y)趨于(0,0)xy/x+y

=lim(x趨于0)x^3-x^2/x^2=-1

兩種情況極限值不同，故原極限不存在2答案：首先需要二項式定理：

(a+b)^n=∑C(i=0–i=n)nia^(n-i)*b^i(式一)

用數(shù)學(xué)歸納法證此定理：

n=1(a+b)^1a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1

?a+b

?故此，n=1時，式一成立。

設(shè)n1為任一自然數(shù)，假設(shè)n=n1時，(式一)成立，即：

(a+b)^n1=∑C(i=0–i=n1)n1ia^(n1-i)*b^i(式二)

則，當(dāng)n=n1+1時:

式二兩端同乘(a+b)

*(a+b)=*(a+b)

=(a+b)^(n1+1)=∑C(i=0–i=(n1+1))(n1+1)ia^((n1+1)-i)*b^i(據(jù)乘法分配律)

因此二項式定理(即式一成立)

下面用二項式定理計算這一極限：

(1+1/n)^n(式一)

用二項式展開得：

(1+1/n)^n=1^n+(n/1)(1/n)+*(1/n)^2+*(1/n)^3+…+*(1/n)^(n-2)+*(1/n)^(n-1)+*(1/n)^n

由于二項展開式系數(shù)項的分子乘積的最高次項與(1/n)的次數(shù)相同，而系數(shù)為1，因此，最高次項與(1/n)的相應(yīng)次方剛好相約，得1，低次項與1/n的相應(yīng)次方相約后，分子剩下常數(shù)，而分母總余下n的若干次方，當(dāng)n-+∞,得0。因此總的結(jié)果是當(dāng)n-+∞，二項展開式系數(shù)項的各項分子乘積與(1/n)的相應(yīng)項的次方相約，得1。余下分母。于是式一化為：

(1+1/n)^n=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+…+1/n!(式二)

當(dāng)n-+∞時，你可以用計算機(jī)，或筆計算此值。這一數(shù)值定義為e。

第五篇：數(shù)列極限的證明

例1 設(shè)數(shù)列?xn?滿足0?x1??,xn?1?sinxn?n?1,2,??。（Ⅰ）證明limxn存在，并求該極限；

n??

?xn?1?xn（Ⅱ）計算lim??。n??

?xn?

解（Ⅰ）用歸納法證明?xn?單調(diào)下降且有下界，由0?x1??，得

0?x2?sinx1?x1??，設(shè)0?xn??，則

0?xn?1?sinxn?xn??，所以?xn?單調(diào)下降且有下界，故limxn存在。

n??

記a?limxn，由xn?1?sinxn得

x??

a?sina，所以a?0，即limxn?0。

n??

（Ⅱ）解法1 因為

?sinx?lim??x?0

?x?

1x?lime

x?0

1sinxlnx2x

?lime

x?0

1?cosx1?

???

2x?sinxx?

?xsinx6x2

xcosx?sinx

?lime

x?0

2x3

?lime

x?0

?e

?

又由（Ⅰ）limxn?0，所以

n??

1xn

?xn?1??sinxn?xn2

lim???lim??n??n??xx?n??n?

?sinx?

?lim??x?0x??

解法2 因為

1xx?e

?

sinx?x

?sinx????x?

?

?sinx?x????1????x??

xsinx?x

????

x3，又因為

limsinx?x1?sinx?x???,lim?1??x?0x36x?0?x?

xnxsinx?x?e，??sinx?6所以lim?，?e?x?0?x?1

故

11?x?lim?n?1?n???xn?xn?sinxn??lim??n??x?n?

?sinx??lim??x?0?x?xn1x ?e?1

6.