第一篇：證明二重極限不存在

證明二重極限不存在

如何判斷二重極限(即二元函數極限)不存在,是二元函數這一節的難點,在這里筆者對這一問題不打算做詳細的討論,只是略談一下在判斷二重極限不存在時,一個值得注意的問題。由二重極限的定義知,要討論limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找幾條通過(或趨于)定點(x0,y0)的特殊曲線,如果動點(x,y)沿這些曲線趨于(x0,y0)時,f(x,y)趨于不同的值,則可判定二重極限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,這一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲線時,是有一定技巧的,不過不管找哪條曲線,這條曲線一定要經過(x0,y0),并且定點是這條曲線的非孤立點,這一點很容易疏忽大意,特別是為圖方便,對于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的極限,在判斷其不存在時,不少人找的曲線是f(x,y)-g(x,y)=0,這樣做就很容易出錯。例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲線x2y-(x2+y2)=0→(0,0)時,所得的結論就不同(這時f(x,y)→1)。為什么會出現這種情況呢?仔細分析一下就不難得到答案

若用沿曲線，(，y)一g(，y)=0趨近于(，y0)來討論，一0g，Y。可能會出現錯誤，只有證明了(，)不是孤立點后才不會出錯。o13A1673-3878(2008)0l__0l02__02如何判斷二重極限(即二元函數極限)不存在。是二元函數這一節的難點，在這里筆者對這一問題不打算做詳細的討論。只是略談一下在判斷二重極限不存在時。一個值得注意的問題。由二重極限的定義知，要討論limf(x，y)不存在，通常x—’10y—’y0的方法是：找幾條通過(或趨于)定點(xo，Yo)的特殊曲線，如果動點(x，Y)沿這些曲線趨于(xo，Y。)時，f(x，Y)趨于不同的值，則可判定二重極限limf(x，Y)不存在，這一方I—’10r’Y0法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲線時，是有一定技巧的，不過不管找哪條曲線，這條曲線一定要經過(xo，Y。)，并且定點是這條曲線的非孤立點，這一點很容易疏忽大意，特別是為圖方便，對于型如2的極限，在判卜’Iogx，Yy—·y0斷其不存在時，不少人找的曲線是f(x，y)一g(x，y)：0，這樣做就很容易出錯。

當沿曲線y=-x+x^2趨于(00)時，極限為lim(-x^2+x^3)/x^2=-1;

當沿直線y=x趨于(00)時，極限為limx^2/2x=0。故極限不存在。

x-y+x^2+y^2

f(x,y)=————————

x+y

它的累次極限存在：

x-y+x^2+y^2

limlim————————=-1

y->0x->0x+y

x-y+x^2+y^2

limlim————————=1

x->0y->0x+y

當沿斜率不同的直線y=mx,(x,y)->(0,0)時，易證極限不同，所以它的二重極限不存在。

第二篇：如何證明極限不存在

如何證明極限不存在

反證法

若存在實數L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0點的任意小的鄰域X內，總存在整數n，①記x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin=1，②記x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin=-1，使|sin-L|<1/3，和|sin-L|<1/3，同時成立。

即|1-L|<1/2，|-1-L|<1/2，同時成立。

這與|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2發生矛盾。

所以，使limsin(1/x)=L成立的實數L不存在。

反證法：

一個數列{an}極限存在,另一個數列{bn}極限不存在假設兩數列之和{cn}的極限存在，那么bn=cn-an極限也存在(兩個數列和的極限等于兩個數列極限的和)

矛盾

所以原命題成立

令y=x,lim(x,y)趨于(0,0)xy/x+y

=lim(x趨于0)x^2/(2x)=0

令y=x^2-x,lim(x,y)趨于(0,0)xy/x+y

=lim(x趨于0)x^3-x^2/x^2=-1

兩種情況極限值不同，故原極限不存在2答案：首先需要二項式定理：

(a+b)^n=∑C(i=0–i=n)nia^(n-i)*b^i(式一)

用數學歸納法證此定理：

n=1(a+b)^1a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1

?a+b

?故此，n=1時，式一成立。

設n1為任一自然數，假設n=n1時，(式一)成立，即：

(a+b)^n1=∑C(i=0–i=n1)n1ia^(n1-i)*b^i(式二)

則，當n=n1+1時:

式二兩端同乘(a+b)

*(a+b)=*(a+b)

=(a+b)^(n1+1)=∑C(i=0–i=(n1+1))(n1+1)ia^((n1+1)-i)*b^i(據乘法分配律)

因此二項式定理(即式一成立)

下面用二項式定理計算這一極限：

(1+1/n)^n(式一)

用二項式展開得：

(1+1/n)^n=1^n+(n/1)(1/n)+*(1/n)^2+*(1/n)^3+…+*(1/n)^(n-2)+*(1/n)^(n-1)+*(1/n)^n

由于二項展開式系數項的分子乘積的最高次項與(1/n)的次數相同，而系數為1，因此，最高次項與(1/n)的相應次方剛好相約，得1，低次項與1/n的相應次方相約后，分子剩下常數，而分母總余下n的若干次方，當n-+∞,得0。因此總的結果是當n-+∞，二項展開式系數項的各項分子乘積與(1/n)的相應項的次方相約，得1。余下分母。于是式一化為：

(1+1/n)^n=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+…+1/n!(式二)

當n-+∞時，你可以用計算機，或筆計算此值。這一數值定義為e。

第三篇：定義證明二重極限

定義證明二重極限

就是說當點(x,y)落在以(x0,y0)點附近的一個小圈圈內的時候，f(x,y)與A的差的絕對值會灰常灰常的接近。那么就說f(x,y)在(x0,y0)點的極限為A

關于二重極限的定義，各類數學教材中有各種不同的表述，歸納起來主要有以下三種：定義1設函數在點的某一鄰域內有定義(點可以除外)，如果對于任意給定的正數。，總存在正數，使得對于所論鄰域內適合不等式的一切點p(X，y)所對應的函數值都滿足不等式那末，常數A就稱為函數當時的極限.定義2設函數的定義域為是平面上一點，函數在點兒的任一鄰域中除見外，總有異于凡的屬于D的點，若對于任意給定的正數。，總存在正數a，使得對D內適合不等式0<戶幾卜8的一切點p，有不等式V(p)一周<。成立，則稱A為函數人p)當p～p。時的極限.定義3設函數X一人工，”的定義域為D，點產人工。，人)是D的聚點，如果對于任意給定的正數。，總存在正數8，使得對于適合不等式的一切點p(X，…ED，都有成立，則稱A為函數當時的極限.以上三種定義的差異主要在于對函數的前提假設不盡相同.定義1要求人X，…在點p入x。，汕)的某去心鄰域內有定義，而定義2允許人工，y)在點p。(X。，入)的任一去心鄰域內都有使人X，y)無定義的點，相應地，定義I要求見的去心鄰域內的點p都適合/(p)一A卜

利用極限存在準則證明：

(1)當x趨近于正無窮時，(Inx/x^2)的極限為0;

(2)證明數列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=/2,n=1,2,…收斂，并求其極限。

1)用夾逼準則:

x大于1時,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2極限為0

故(Inx/x^2)的極限為0

2)用單調有界數列收斂:

分三種情況,x0=√a時,顯然極限為√a

x0>√a時,Xn-X(n-1)=/2<0,單調遞減

且Xn=/2>√a,√a為數列下界,則極限存在.設數列極限為A,Xn和X(n-1)極限都為A.對原始兩邊求極限得A=/2.解得A=√a

同理可求x0<√a時,極限亦為√a

綜上,數列極限存在,且為√

(一)時函數的極限：

以時和為例引入.介紹符號:的意義,的直觀意義.定義(和.)

幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數.然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.例1驗證例2驗證例3驗證證……

(二)時函數的極限：

由考慮時的極限引入.定義函數極限的“”定義.幾何意義.用定義驗證函數極限的基本思路.例4驗證例5驗證例6驗證證由=

為使需有為使需有于是,倘限制,就有

例7驗證例8驗證(類似有(三)單側極限:

1.定義：單側極限的定義及記法.幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗證證考慮使的2.單側極限與雙側極限的關系:

Th類似有:例10證明:極限不存在.例11設函數在點的某鄰域內單調.若存在,則有

=§2函數極限的性質(3學時)

教學目的：使學生掌握函數極限的基本性質。

教學要求：掌握函數極限的基本性質：唯一性、局部保號性、不等式性質以及有理運算性等。

教學重點：函數極限的性質及其計算。

教學難點：函數極限性質證明及其應用。

教學方法：講練結合。

一、組織教學：

我們引進了六種極限:,.以下以極限為例討論性質.均給出證明或簡證.二、講授新課：

(一)函數極限的性質:以下性質均以定理形式給出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號性:

4.單調性(不等式性質):

Th4若和都存在,且存在點的空心鄰域,使，都有證設=(現證對有)

註:若在Th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.5.迫斂性:

6.四則運算性質:(只證“+”和“”)

(二)利用極限性質求極限：已證明過以下幾個極限：

(注意前四個極限中極限就是函數值)

這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,我們將陸續證明這些公式.利用極限性質，特別是運算性質求極限的原理是：通過有關性質,把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.例1(利用極限和)

例2例3註:關于的有理分式當時的極限.例4

例5例6例7

第四篇：極限不存在的證明

不如何證明極限不存在一、歸結原則

原理:設f在U0(x0;?')內有定義，limf(x)存在的充要條件是：對任何含于

x?x0

U(x0;?)且以x0為極限的數列?xn?極限limf(xn)都存在且相等。

'

n??

例如：證明極限limsin

x?0

1x

不存在12n??

證：設xn??

1n?

?,xn?

?

(n?1,2,?)，則顯然有

xn?0,xn?0(n??)，si由歸結原則即得結論。

??

?0?0,si?1?1(n??)??xnxn

二、左右極限法

原理：判斷當x?x0時的極限，只要考察左、右極限，如果兩者相等，則極限存在，否則極限不存在。例如：證明f(x)?arctan(因為limarctan（x?0

?

1x)

當x

?0

時的極限不存在。

1x)?

1x)??

?

x=0，limarctan（x?0

?

?

2，limarctan（x?0

?

1x)?lim?arctan（x?0

1x)，所以當x?0時，arctan（1x)的極限不存在。

三、證明x??時的極限不存在原理：判斷當x?

?

時的極限，只要考察x???與x???時的極限，如果兩者

相等，則極限存在，否則極限不存在。例如：證明f(x)?ex在x?

x???

?

時的極限不存在x???

x???

xxxx

因為lime?0，lime???；因此，lime?lime

x???

所以當x?

四、柯西準則

?

時，ex的極限不存在。

0'

原理：設f在U(x0;?)內有定義，limf(x)存在的充要條件是：任給?

x?x0

?0，存

在正數?(???)，使得對任何x?,x???U0(x0;?)，使得f(x?)?f(x??)??0。例如：在方法一的例題中，取?0?1，對任何??0，設正數n?

x??1

n?,x???1

n??1?，令?

2即證。

五、定義法

原理：設函數f(x)在一個形如(a,??)的區間中有定義，對任何A?R，如果存在?0?0，使對任何X?0都存在x0?X,使得f(x0)?A??0,則f(x)在x???

x???時沒有極限。例如：證明limcosx不存在設函數f(x)?cosx，f(x)在(0,??)中有定義，對任何A?R，不妨設A?取?0?120,，于是對任何??0，取?0?0 反證法（利用極限定義）數學歸納法

第五篇：證明極限不存在

證明極限不存在

二元函數的極限是高等數學中一個很重要的內容,因為其定義與一元函數極限的定義有所不同,需要定義域上的點趨于定點時必須以任意方式趨近,所以與之對應的證明極限不存在的方法有幾種.其中有一種是找一種含參數的方式趨近,代入二元函數,使之變為一元函數求極限.若最后的極限值與參數有關,則說明二重極限不存在.但在證明這類型的題目時,除了選y=kx這種趨近方式外,許多學生不知該如何選擇趨近方式.本文給出證明一類常見的有理分式函數極限不存在的一種簡單方法.例1證明下列極限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.證明一般地,對于(1)選擇當(x,y)沿直線y=kxy=kx趨近于(0,0)時,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.顯然它隨著k值的不同而改變,故原極限不存在.對于(2)若仍然選擇以上的趨近方式,則不能得到證明.實際上,若選擇(x,y)沿拋物線y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趨近于(0,0),則有l..2是因為定義域D={(x,y)|x不等于y}嗎，從哪兒入手呢，請高手指點

沿著兩條直線y=2x

y=-2x趨于(0,0)時

極限分別為-3和-1/3不相等

極限存在的定義要求延任何過(0,0)直線求極限時極限都相等

所以極限不存在3lim(x和y)趨向于無窮大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

證明該極限不存在lim(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

=lim(x^2+3y^2)/(x^2+3y^2)-8y^2/(x^2+3y^2)

=1-lim8/

因為不知道x、y的大校

所以lim(x和y)趨向于無窮大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

極限不存在4

如圖用定義證明極限不存在~謝謝！

反證法

若存在實數L，使limsin(1/x)=L，取ε=1/2，在x=0點的任意小的鄰域X內，總存在整數n，①記x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X，有sin=1，②記x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X，有sin=-1，使|sin-L|<1/3，和|sin-L|<1/3，同時成立。

即|1-L|<1/2，|-1-L|<1/2，同時成立。

這與|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2發生矛盾。

所以，使limsin(1/x)=L成立的實數L不存在。